Erzurum İli Kuraklıkların İki Değişkenli Frekans Analizi: Kopula Fonksiyonlarının Kullanımı

Transkript

1 Erzurum İli Kuraklıkların İki Değişkenli Frekans Analizi: Kopula Fonksiyonlarının Kullanımı Fatih Tosunoğlu 1, İbrahim Can 2 1 Erzurum Teknik Üniversitesi, Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Tel: (0442) (2103) E-Posta: ftosunoglu@erzurum.edu.tr 2 Atatürk Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Tel: (0442) E-Posta: ibcan@atauni.edu.tr Öz Bu çalışmada Erzurum ili kuraklıklarının frekans analizleri iki değişkenli kopula fonksiyonları kullanılarak yapılmıştır. Bu amaç için Erzurum ili yılları arası döneme ait aylık toplam yağış miktarları kullanılmış ve aylık yağış değerlerinin kuraklık analizleri için Standart Yağış İndeksi (SYİ) Metodundan yararlanılmıştır. Daha sonra aylık SYİ serileri kullanılarak kuraklık şiddet ve süre parametreleri elde edilmiştir. Kuraklık süre ve şiddet serilerinin tek değişkenli marjinal dağılımları Akaike Bilgi Kriteri (AIC) kullanılarak tespit edilmiş ve süre için en uygun dağılımın iki parametreli Lognormal, şiddet için ise en uygun dağılımın Weibull olduğu sonucuna varılmıştır. Kuraklık şiddet ve süre parametrelerinin ortak dağılımının modellemesinde ise son yıllarda etkili bir metot olarak kullanılan Kopula fonksiyonlarından yararlanılmıştır. Bu amaç için sırasıyla iki değişkenli Clayton, Frank ve Gumbel- Hougaard kopulaları kullanılmıştır. İstatistiksel testler sonucunda Gumbel-Hougaard kopulasının kuraklık süre ve şiddet serilerinin ortak dağılım fonksiyonunu ifade etmede daha etkili olduğu görülmüştür. Son olarak, bu kopula yardımıyla kuraklık şiddet ve süre parametrelerinin ortak ve şartlı olasılık özellikleri, ortak ve şartlı dönüş periyotları elde edilmiştir. Anahtar sözcükler: Erzurum, Kuraklık, Standart Yağış İndeksi (SYİ), Kopula Giriş Kuraklıklar yağış ve akım gibi stokastik olaylarla ilişkili olduğu için, kuraklıkların araştırılmasında ve analiz edilmesinde kullanılacak en uygun yöntemler olasılık teorisi ve stokastik süreç metotlarıdır. Özellikle, meteorolojik ve hidrolojik kuraklıklar neticesinde meydana gelebilecek su sıkıntılarının fazla olacağı bölgelerde kuraklıkların olasılık karakteristiklerinin bilinmesi oldukça önemlidir lardan beri birçok araştırmacı kuraklıkların olasılık özellikleri konusunda çalışmalar yapmaktadır (Yevjevich 1967; Şen 1990; Fernandez and Salas 1999; Shiau and Shen 2001; Cancelliere and Salas 2004; ;Beyazit ve Önöz 2005; Şarlak 2009). Bu araştırmacıların birçoğu, kuraklığın tek değişkenli analizi üzerinde yoğunlaşmıştır. Fakat şunu belirtmek gerekir ki, kuraklık aralarında yüksek korelasyona sahip ve rastgele olan birkaç parametre ile (süre ve şiddet) açıklanabilen karmaşık bir olaydır. Bu nedenle bir 508

2 bölgedeki kuraklığın etkilerinin daha gerçekçi bir perspektif ile değerlendirilebilmesi ve tasarlanacak su yapılarının daha doğru bir şekilde boyutlandırılabilmesi için kuraklık değişkenlerinin ortak modellemesi gereklidir. Bu da ancak çok değişkenli metotların kullanılması ile mümkün olacaktır. Bu amaç için geleneksel çok değişkenli olasılık dağılım fonksiyonları (çok değişkenli normal, çok değişkenli lognormal, çok değişkenli exponansiyel ve çok değişkenli gamma v.b) araştırmacılar tarafından kullanılmaktadır. Bu geleneksel çok değişkenli dağılımların uygulanabilmesi için rastgele değişkenlerin olasılık dağılım tiplerinin aynı olması gerekmektedir. Fakat süre ve şiddet gibi kuraklık parametreleri genellikle farklı olasılık dağılımlarına uygunluk gösterdiklerinden çok değişkenli modellemesi konusunda bazı zorluklar ortaya çıkmaktadır. Son yıllarda, çok değişkenli kopula fonksiyonları bu sorunu ortadan kaldırabilecek bir yöntem olarak farklı bilim dallarında kullanılmaya başlanmıştır. Kopula fonksiyonların en önemli özelliği hem rastgele değişkenler arasındaki korelasyonu koruyabilme ve hem de rastgele değişkenlere ait farklı dağılım özelliklerini bünyesinde taşıyabilmesidir. Bu özellikte rastgele değişkenlerin marjinal dağılımlarının belirlenmesi konusunda araştırmacılara büyük bir kolaylık sağlamaktadır. Bu çalışma kapsamında Erzurum ili yağışlarının iki değişkenli kuraklık analizleri Kopula fonksiyonları ile yapılacaktır. Çalışma dört ana aşamadan oluşmaktadır. Birin aşamada, Erzurum ili meteoroloji istasyonuna ait aylık yağışlarının kuraklık analizleri Standart yağış indeksi metodu ile yapılacak ve kuraklık süre ve şiddet parametrelerine ait rastgele seriler elde edilecektir. İkinci aşamada elde edilen bu kuraklık parametre serilerine en iyi uyan tek değişkenli olasılık dağılımları belirlenecektir. Üçüncü aşamada ise kuraklık süre ve şiddet parametrelerinin olasılık dağılım özelliklerini ve aralarında korelasyon yapısını en iyi modelleyen kopula fonksiyonu belirlenecektir. Bu amaç için sırasıyla iki değişkenli Clayton, Frank ve Gumbel-Hougaard kopulaları kullanılacaktır. Son aşamada ise en uygun kopula fonksiyonu kullanılarak kuraklık süre ve şiddet parametrelerinin farklı kombinasyonları için şartlı (conditional) ve ortak (joint) dağılım özellikleri, şartlı ve ortak dönüş periyodları elde edilecektir. Yöntem Standartlaştırılmış Yağış İndeksi Yöntemi (SYİ) Bu yöntem yağıştaki azalmanın anlaşılması, yeraltı suyu, su biriktirme haznesi depolaması, toprak nemi, kar yığını ve akarsu üzerindeki etkilerini belirlemek için McKee et al. (1993) tarafından geliştirilmiştir. SYİ çoklu zaman ölçümlerinde yağış azalmasını belirlemek için tasarlanmıştır. Zaman dilimleri farklı su kaynaklarının uygunluğunda kuraklık etkilerini yansıtır. Kurak olay SYİ zaman serisinin değerlerinin eksi olduğu süre boyunca devam eder ve şiddeti -1 veya daha küçüktür. Kurak olay SYİ artı değer alınca son bulur. Her kurak olay başlangıç ve bitişi olan bir kurak süreye ve her kurak süre de devam eden olayın şiddetine sahiptir. Zaman periyodu 3 ve 6 ay gibi kısa olduğunda SYİ sıfırın üzerinde ve altında çok sayıda değer verir. Ana zaman aralığı 12, 24 veya 48 ay ise SYİ yağıştaki değişime daha yavaş cevap verir. Böylece SYİ kuraklığın süresini, toplam eksikliği ve şiddetini hesap etmeye yarar. SYİ ne alansal kuraklıkla ne de diğer meteorolojik değişkenleri ile standartlaştırılmış dizinin ilişkisini gösterir. Bunun sonuçları kuraklığın sadece zamanla olan değişkenliğini ve özelliklerini ortaya çıkarmaya yarar. Pratik çalışmalarda SYİ sonuçlarının genelleştirilmesi için yağış değerlerinin normal (Gauss) dağılımına uygunluk göstermesi gereklidir, ama özellikle yıllık yağışlardan daha kısa süreli yağışların dağılımı genelde normal olmaz. SYİ esas alınarak kuraklık, ard arda yağışların 0 dan daha az olması ile tanımlanabilir. Diğer bir 509

3 taraftan, bir kuraklık standart yağış değerinin 0 dan daha aşağıya düşmesi ile başlar ve yeniden 0 ın üzerine çıkması ile son bulur. SYİ nin yapısından araştırmacılar yağış verisi kayıtlardan dünyanın herhangi bir yerinde belirli bir zaman ölçeğinde kuraklığın azlığını veya sulak olaylardaki anormallikleri de belirleyebilir (Sırdaş ve Şen 2003; Sönmez vd. 2005; Vicente-Serrano 2006; Bacanlı vd 2009; Keskin vd 2009; Türkeş ve Tatlı 2009). İlk olarak Thom (1958) yağış serisini en iyi temsil eden dağılımın Gamma dağılımı olduğunu bulmuştur. Bu dağılımın ihtimal (olasılık) yoğunluk fonksiyonu (İYF) x>0 yağış değerlerini göstermek üzere aşağıda verilmiştir. 1 1 x f ( x) x e (1) ( ) Burada α>0 ve β>0 sırası ile şekil ve ölçek parametreleridir. Г(x) Gamma fonksiyonu da 0 1 y ( ) y e dy (2) olarak verilmiştir. Bu dağılım yağış sıklık dağılımında daha fazla miktarda sıfıra yakın alanda sola yanaşıktır. SYİ bir istasyon için yağış toplamları verilmiş olan sıklık dağılımına Gamma İYF uydurulmasına dayanır. Bu sırada her bir istasyon için α ve β parametreleri göz önünde tutulan bir zaman ölçeği esas alınarak (1 ay, 3 ay, 12 ay v.b) tahmin edilir. Burada n yağış gözlemlerinin sayısını gösterir. Bu parametreler daha sonra o istasyonun zaman ölçeği için gözlenmiş yağışın TİYF u aşağıda şekilde hesaplamak için kullanılır. x x 1 1 x ˆ G( x) g( x) dx x ˆ e dx (3) ˆ ˆ 0 ( ˆ) 0 Gamma fonksiyonu x=0 için belirsizdir. Bir yağış dağılımı sıfır yağışları (yağışsız süreleri) da içerir ve bu durumda toplam ihtimal aşağıdaki şekilde yazılabilir. H( x) q (1 q) G( x) (4) Burada q yağışsız sürelerin ihtimalini gösterir. Eğer n uzunluklu bir yağış serisinde sıfırların sayısı m ise basitçe q m şeklinde hesaplanır. Toplam ihtimal, H(x), n varyansı 1 ve ortalaması 0 ile standart normal rastgele değerlere, Z, dönüştürülür (Şen 2009). Kopula fonksiyonları Kopulalar (Copulas), tek-değişkenli marjinal dağılımlar ile bunların çok-değişkenli dağılımları arasında ilişki kuran bir fonksiyondur. Olasılık teorisi kapsamında Copula terim olarak ilk defa Sklar (1959) tarafından kullanılmıştır. Değişkenler arasındaki ilişkilerin anlaşılması ve analiz edilmesi konularında sağladıkları kolaylık nedeniyle copula dağılımları, son zamanlarda yoğun ilgi görmeye başlamış, çok değişkenli olasılık modelleri olarak başta finansal verilerin modellenmesi olmak üzere birçok alanda yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Sklar teoremi Sklar teoremi, kopulalar teorisinin en önemli teoremidir. Bu teorem, çok boyutlu dağılım fonksiyonları ile onların marjinal dağılım fonksiyonları arasındaki ilişkide 510

4 kopulaların rolünü açıklar. Bu teoreme göre; FXY, (, xymarjinalleri ) F X (x) ve F Y (y) olan bir ortak dağılım fonksiyonu olarak tanımlanmış olsun, öyleyse R (reel sayı) deki her x ve y için FXY, ( xy, ) CF ( X( x), FY( y)) (5) şeklinde tanımlı bir C kopulası vardır. Bunun aksi de geçerlidir. Yani; eğer C bir kopula ve F X (x) ve F Y (y) marjinel dağılımlar ise F, (, xy; ) XY FXY, ( xy, ) CF ( X( x), FY( y)) (6) şeklinde tanımlı bir ortak dağılım fonksiyonudur. Sklar teoremi için ayrıntılı bilgi Schweizer and Sklar (1983) de bulunabilir. Söz konusu marjinal dağılımların sürekli rastgele değişkenlere ait olasılık yoğunluk fonksiyonlarını sırasıyla f X (x) ve f Y (y) olarak kabul edersek, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde olur; F ( x), F ( y) f ( x) f ( ) f( X, Y) c X Y X Y y (7) buradaki c; Kopula nın (C) yoğunluk fonksiyonu olarak; 2 C( u, v) c( u, v) (8) uy şeklinde tanımlanır. Literatürde birçok kopula fonksiyonu bulunmaktadır. Bunların en önemlileri Eliptical (normal ve t kopula), Archimedean (Clayton, Gumbel_Hougaard, Frank ve Ali-Mikhail-Hap kopula), Ekstrem değer (Husler-Reiss, Galambos, Tawn, and t-ev) ve diğer çeşitler (Plackett ve Farlie-Gumbel-Morgenstern kopula) dir. Bu kopula çeşitlerinin her birinin uygulama alanı bulunmaktadır. Bu kopulalar arasından Archimedean kopulaların hidrolojik olaylar için oldukça başarılı sonuçlar vermekte ve popülerliğini davam ettirmektedir (Mirabbasi et.al. 2012; Reddy and Ganguli 2012) Nelsen (2006) ya göre iki boyutlu Archimedean kopulası; 1 C( u, v) ( ( u) ( v)) (9) şeklinde ifade edilir. Ekstrem hidrolojik olayların (taşkın ve kuraklık gibi) iki değişkenli Kopula tipi Kopula olasılık fonksiyonu, C(u,v) modellenmesinde sıkça kullanılan Archimedean kopulalarının matematiksel ifadeleri aşağıdaki Tablo-1 de verilmiştir. Bu ifadelerdeki lar kopula parametrelerini ve u ve v ise rastgele değişkenlerin marjinal dağılımlarının kümülatif olasılık fonksiyonlarını göstermektedir. Tablo 1. Çalışmada kullanılan iki değişkenli kopula fonksiyonları 511

5 Frank Gumbel-Hougard Clayton u v 1 ( e 1)( e 1) ln 1 e 1 1 exp ln( u) ln( v) u v 1 1 İstasyon Adı (Kodu) Enlem Boylam Yükseklik (m) Erzurum (17096) 39 53' K 41 16' D 1757 Veri Bu çalışmada Meteoroloji Genel Müdürlüğü nden alınan Erzurum ili meteoroloji istasyonuna ait aylık toplam yağış verileri kullanılmıştır. Yağış verilerine ait gözlem süresi yılları arası olup, istatistiksel açıdan (minimum 30 yıl) yeterlidir. Verilerin ön analiz aşamasında, yağış verilerinin homojenliği Standart Normal Homojenlik Testi (SNHT) ve Pettit Testi kullanılarak test edilmiştir. Belirtilen testler aylık yağışların toplamından elde edilen yıllık toplam yağışlara uygulanmıştır. Her iki teste de sıfır hipotezi (H 0 ) olarak yıllık toplam yağış değerlerinin benzer dağılıma sahip olduğu kabul edilirken alternatif hipotez olarak (H 1 ) ortalamada bir kayma olduğu kabul edilmiştir. Testler sonucunda gözlem süresince %95 güven düzeyinde yağış verilerinin homojen olduğu sonucuna varılmıştır. Çalışmada kullanılan meteoroloji istasyonuna ait özet bilgi Tablo 2 de sunulmuştur. Tablo 2. Erzurum meteoroloji istasyonu özet bilgi Kuraklık Analizleri ve Modellemeler Standart Yağış İndisi (SYİ) Değerlerinin Elde Edilmesi Çalışmanın bu kısmında kullanılan aylık yağış verilerine ait SYİ değerleri Matlab programı yardımıyla elde edilecektir. Bu amaç için ilk olarak aylık veriler kendi içerisinde sıralanarak aşılmama olasılıkları hesaplanmış ve verilere ait kümülatif olasılık yoğunluk fonksiyonu (KOYF) elde edilmiştir. Daha sonra, her bir aya ait yağış verilerine Gamma dağılımı uydurularak parametreler hesaplanmıştır. Bu dağılımların verilere uygunluğu tekrar gözlemlemek için verilerin KOYF nın üstüne Teorik dağılımın toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu çizilerek dağılımın uygunluğu tekrar kontrol edilmiştir. Gamma dağılımının eldeki verilere tam olarak uyduğu anlaşıldıktan sonra, bu verilerin standart normal (Gauss) dağılımına dönüştürülerek SYİ değerlerinin bulunmasına sıra gelmiştir. Bunun için önce aylık veri değerlerine karşı söz konusu dağılımın KOYF da karşı gelen aşılmama ihtimalleri (p) hesaplanmıştır. Bulunan ihtimal değerleri standart normal dağılımda da aynen geçerli olacağından bu sefer bunlara karşı normal KOYF da karşı gelen SYİ değerleri hesaplanmış ve hesaplanan SYİ değerlerinin zamanla değişimine veren grafik Şekil 1 de gösterilmiştir. 512

6 Şekil 1. Erzurum ili meteoroloji istasyonuna ait aylık SYİ değerlerinin zamanla değişimi Grafikten de görüldüğü üzere SYİ değerleri 0 etrafında salınım yapmaktadır. 0 ın üstündeki değerler yağışın normalin üstünde olduğunu gösterirken 0 altındaki değerler ise yağışın ortalamanı altında olduğu dönemleri göstermektedir. Daha sonra, elde edilen bu SYİ değerleri kullanılarak her bir kuraklık olayı için süre (D) ve şiddet (S) değişkenleri hesaplanmıştır. Bu çalışmada kuraklığı olayını belirleyen eşik değer 0 olarak seçilmiş ve süre (D) SYİ değerinin 0 altında olduğu süreyi, şiddet (S) ise SYİ nin 0 dan küçük olduğu zaman süresince SYİ değerlerinin toplamını göstermektedir. Kuraklık parametrelerinin iki değişkenli frekans analizi Kuraklık parametrelerinin frekans analizi kısmında, ilk olarak kuraklık süre ve şiddet serileri arasındaki ilişkinin gücünü sayısal olarak ortaya çıkarmak için korelasyon katsayısı olarak pearson (ρ) ve kendall (τ) korelasyon katsayıları kullanılmış ve korelasyon değerleri sırasıyla 0.76 ve 0.55 olarak hesaplanmıştır. Hesaplanan bu katsayılardan da görüldüğü üzere kuraklık parametreleri aralarında istatistiksel açıdan anlamlı sayılabilecek korelasyona sahip rastgele değişkenlerdir. Pearson korelasyon katsayısının sadece dizilerdeki verilerin normal dağılıma uyduğu zaman kullanılması uygundur bu nedenle bu konuda daha esnek olan kendall korelasyonu da kullanılmıştır. Kuraklık süre ve şiddet değişkenlerine ait saçılma grafiği Şekil 2 de sunulmuştur. Şekil 2. Kuraklık süre ve şiddetin serilerine ait histogram ve saçılma grafiği Saçılma grafiğinden de görüldüğü üzere aynı süreye sahip farklı şiddette ya da aynı şiddete sahip farklı sürede birçok kuraklık olayı meydana gelmiştir. Buradan da anlaşılacağı üzere kuraklığın frekans analizi yapılırken iki (süre-şiddet) veya daha fazla değişkenli (süre-şiddet-yoğunluk) olasılık dağılım fonksiyonlarının kullanılması daha güvenilir sonuçlar verecektir. Bu amaç için ilk olarak kuraklık parametrelerinin tek değişkenli olasılık dağılım tiplerinin belirlenmesi gereklidir. Bu amaç için kuraklık süre 513

7 ve şiddet serilerine sırasıyla Normal (NORM), iki parametreli Log-Normal (LN2), Gamma (G2), Pearson Tip-III, Genelleştirilmiş Ekstrem Değer (GEV), Gumbel(EV1), Weibull (WB, Genelleştirilmiş Pareto (GPA), Logistik (LOGS), LogLogistik(LLOGS) dağılımları uygulanarak en uygun dağılım tipi belirlenmiştir. En uygun olasılık dağılımının belirlenmesi aşamasında Akaike Bilgi Kriteri (AIC) kullanılmıştır. Her bir dağılım için hesaplanan AIC değerlerinden kuraklık süre veri setleri için en uygun dağılımın iki parametreli lognormal (LN2) ve şiddet serileri için ise en uygun dağılımın Weibull (WB olduğu gözlenmiştir. Kuraklık süre ve şiddet serileri farklı olasılık dağılımlarına uygunluk gösterdiğinden dolayı hidrolojide yaygın olarak kullanılan geleneksel iki değişkenli dağılımların (iki değişkenli normal, iki değişkenli lognormal v.b.) kullanılması mümkün olmayacaktır. Bu nedenle bu çalışmada son yıllarda hidrolojik ve meteorolojik kuraklıkların parametrelerinin çok değişkenli olasılık dağılımlarının modellemesi konusunda oldukça başarılı sonuçlar veren Kopula fonksiyonları kullanılmıştır. Bu amaç için iki değişkenli Clayton, Frank ve Gumbel-Hougaard kopulaları kullanılmıştır. Denenen alternatif kopulalar arasından en uygununun belirlenmesi aşamasında ise Anderson-Darling (AD) test istatistiği kullanılmıştır. Kullanılan kopula fonksiyonlarına ait AD test değerleri; n n 2 ( Cn ( u1, i, u2, j ) C ( u1, i, u2, j )) DAD (10) C ( u, u ) (1 C ( u, u )) i1 j1 1, i 2, j 1, i 2, j denklemi yardımıyla hesaplanmıştır. Buradaki θ ilgili kopula parametresini, C parametrik kopula fonksiyonunu ve C n ise n gözleme dayalı elde edilen deneysel ortak dağılım fonksiyonunu göstermektedir. Denklem 10 yardımıyla çalışmada kullanılan kopulalar için AD test değerleri hesaplanmış ve elde edilen sonuçlar Tablo 3 de sunulmuştur. Tablodan da görüldüğü kuraklık süre ve şiddet verileri için en uygun kopula tipi en küçük AD test değerine sahip olan Gumbel-Hougaard kopulasıdır. Gumbel-Hougaard kopulasına ait kümülatif olasılık dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekilde ifade edilmektedir; 2.101, S( d, s) exp ( ln ( d)) ( ln FS ( s)) (11) Buradaki F D ve F S ifadeleri kuraklık süre ve şiddet verilerine en uygun tek değişkenli dağılımlarının (LN2 ve WB kümülatif olasılık dağılım fonksiyonlarını ifade etmektedir. Tablo 3. Kopula fonksiyonları için AD testi sonuçları Kopula Tipi AD test istatistiği Kopula Parametresi (θ) Clayton Frank Gumbel-Hougaard Kuraklık parametrelerinin tek ve iki değişkenli dönüş periyotları Kuraklık etkisi altında su kaynakları sistemlerinin planlanması ve yönetiminin en güvenilir şekilde yapılabilmesi için önemli kuraklık parametrelerinin (süre, şiddet ve yoğunluk) alacağı değerlerin dönüş periyotlarının (ya da farklı dönüş periyotları için bu 514

8 parametrelerin alacağı değerlerin) bilinmesi gerekmektedir. Bu amaçla ilk olarak, bir önceki bölümde olasılık dağılımları belirlenen kuraklık süre ve şiddet parametrelerinin 2, 5, 10, 20, 50,100 ve 200 yıllık dönüş periyotları için alacağı değerler ayrı ayrı aşağıdaki eşitlikler yardımıyla elde edilmiştir. T D (12) ve 1 F ( d) D T S 1 F ( s) Buradaki T D (T S ) kuraklık süresinin (şiddetinin) belirli değere eşit ve büyük olması olması durumundaki dönüş periyodunu, ise kuraklığın ortalama gecikme zamanını (the average drought inter-arrival time) göstermektedir. Erzurum ili için yapılan kuraklık analizleri sonucunda değeri 4.08 ay (0.34 yıl) olarak hesaplanmıştır. Farklı dönüş aralıkları için hesaplanan kuraklık süre şiddet değerleri Tablo 4 te verilmiştir. Kuraklık süre ve şiddet parametreleri aralarında yüksek korelasyona sahip değişkenler olduklarından, bu parametrelerin tek tek değerlendirilmelerine nazaran ortak olarak değerlendirilmeleri sonucu dönüş periyotlarının belirlenmesi söz konusu bölge için kuraklıkların değerlendirilmesi ve yönetimi konusundaki çalışmalara daha fazla yarar sağlayacaktır. Tablo 4. Erzurum istasyonu için kuraklık süre ve şiddet değerleri dönüş periyotları Dönüş Periyodu (yıl) Kuraklık süresi (ay) Kuraklık şiddet Shiau (2006) ya göre, kuraklık süre ve şiddet değerleri için ortak dönüş periyot değerleri iki şekilde olarak aşağıdaki eşitlikler kullanılarak hesaplanmaktadır; S T DS EL ( ) EL ( ) EL ( ) P( Dd, Ss) 1 F ( d) F () s F ( d,) s 1 F ( d) F () s C( F ( d) F ()) s D S DS D S D S (13) T DS (14) P( D d veya S s) 1C( F ( d), F D S ( s)) Bu formüllerdeki T DS hem kuraklık süresinin hem de şiddetinin belirli bir değere eşit ve büyük olması durumundaki dönüş periyodu değerini, T' DS ise ya kuraklık süresinin ya da kuraklık şiddetinin belirli bir değere eşit ve büyük olması durumunda dönüş periyodu değerini ifade etmektedir. Kuraklık parametrelerinin alacağı farklı değerlerine karşılık gelen ortak dönüş periyotları (T DS ve T' DS ) Matlab programı yardımıyla hesaplanmış ve elde edilen eğriler Şekil 3 de gösterilmiştir. Bu eğriler sayesinde kuraklık parametrelerinin alacağı farklı değerler için ortak dönüş periyot analizleri ve tek değişkenli frekans analizleri ile karşılaştırılmaları kolaylıkla yapılabilir. Örneğin kuraklık süre ve şiddet parametreleri tek değişkenli olarak ele alındığında sürenin ve şiddetin 7.40 dan büyük olması olayının dönüş periyodu (tekerrür aralığı) 100 yıl olarak hesaplanmıştır. Fakat iki değişkenli olarak hem sürenin hem de şiddetinin birlikte 515

9 7.40 dan büyük olması durumunda ise bu olayın tekerrür aralığı eşitlik 17 den 164 yıl olarak hesaplanır. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli husus çalışma bölgesinde su temini için yapılmış bir su kaynakları yapısı için tehlikeli sayılabilecek bir kuraklık olayı ancak her iki parametre değerinin de belirli bir değeri aşması durumunda söz konusu olacaktır. Örneğin çalışma bölgesi olan Erzurum ilinin merkezinin yakınından bulunan Palandöken barajı yaklaşık 15 yıldan beri bölgenin içme suyu ihtiyacını karşılamaktadır. Bu çalışma sonucunda elde edilen farklı kuraklık senaryolarına ait bilgiler hem bu barajın yeterliliğinin değerlendirilmesi açısından hem de meydana gelebilecek olası kritik kuraklıkların yönetimi açısından bölgedeki yöneticilere önemli katkı sağlayacaktır. Ortak hesaplanan dönüş periyotlarının yanı sıra, kuraklık süre ve şiddetlerinin dönüş periyotları şartlı durumlar içinde elde edilmektedir. Örnek olarak, bir kuraklığın şiddetinin belli değerden fazla olması durumunda herhangi bir kuraklığın süresinin dönüş periyodu ( TD S s ) veya bir kuraklığın süresinin belli bir değerden fazla olması durumunda herhangi bir kuraklığın şiddet değerinin dönüş periyodu ( T S D d ) aşağıdaki eşitlikler yardımıyla hesaplanabilir; TS TD S s PD d, S s 1 FS ( s) 1 ( d) FS ( s) C( ( d), FS ( s)) (15) TD TS D d PD d, S s 1 ( d) 1 ( d) FS ( s) C( ( d), FS ( s)) Bu denklemler kullanılarak kuraklık süre ve şiddet parametrelerinin bir birbirlerine göre şartlı durumları için dönüş periyodu değerleri Matlab programı yardımıyla hesaplanmış ve bunlara ait grafikler Şekil 4 de sunulmuştur. Bu şekillerden yola çıkarak bir su kaynağı (rezervuar) sisteminde meydana gelebilecek aksaklıklar için risk değerlendirilmeleri yapılabilir. Örneğin, Erzurum meteoroloji istasyonu yakınındaki bir su kaynağı sisteminin, kuraklığın şiddetinin 5 ve süresinin ise 2 ay dan fazla olduğu bir dönemde yeterli su sağlayamadığını düşünürsek bu durumu dönüş periyodu( T yukardaki eşitliklerden 34.9 yıl olarak hesaplanmıştır. S D d ) Şekil 3. Kuraklık süre ve şiddet parametreleri için elde edilen T DS ve T' DS eğrileri 516

10 Şekil 4. Şartlı dönüş periyodu ( TD S s ve TS D d ) grafikleri Sonuçlar Bu çalışmada Erzurum yılları arası aylık yağışlarının iki değişkenli kuraklık frekans analizleri modern ve güvenilir bir teknik olan kopula fonksiyonları yardımıyla yapılmıştır. Çalışmadan elde edilen sonuçlar özetle aşağıdaki şekilde sıralanabilir; 1- Aylık yağışların kuraklık analizleri Standart Yağış indeksi yöntemi ile yapılmış ve süre ve şiddet gibi önemli kuraklık parametrelerine ait rastgele seriler elde edilmiştir. 2- Kuraklık süre serilerinin marginal dağılımının iki parametreli Lognormal olduğu ve buna karşın kuraklık şiddet serilerinin marginal dağılımının Weibull olduğu sonucuna varılmıştır. 3- Kuraklık süre ve şiddet serilerinin ortak dağılım fonksiyonunu en iyi temsil eden kopula tipinin iki değişkenli Gumbel-Hougaard olduğu sonucuna varılmıştır. 4- Gumbel-Hougaard kopulası kullanılarak kuraklık şiddet ve süre parametrelerinin alacağı farklı değerleri için ortak ve şartlı dönüş periyotları elde edilmiştir. Bu çalışmadan elde edilen sonuçların Erzurum ili civarındaki su yapılarının yeterliliğinin analizi ve bölgede yapılacak yeni su yapılarının tasarımı ve işletmesi açısından oldukça yararlı olacağı düşünülmektedir. Teşekkür Bu çalışmada kullanılan aylık yağış verilerinin temin konusunda verdikleri destekten dolayı Meteoroloji Genel Müdürlüğüne teşekkür ederiz. Kaynaklar Bacanlı U.G., M. Firat and F. Dikbas (2009) Adaptive Neuro-Fuzzy Inference system for drought forecasting. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, Vol. 23, No.8, pp Bayazıt, B. and B. Önöz (2005) Probabilities and return periods of multisite droughts. Hydrological Sciences Journal, Vol. 50, No.4, pp Cancelliere, A. and J.D. Salas (2004) Drought length properties for periodic-stochastic hydrologic data. Water Resources Research, Vol. 40, W02503, doi: /2002WR Fernandez, B. and J. D. Salas (1999) Return period and risk of hydrologic events. I: Mathematical formulations. Journal of Hydrologic Engineering, ASCE, Vol. 4, No. 4, pp Keskin M.E., Ö. Terzi, E.D. Taylan and D. Küçükyaman (2009) Meteorological drought analysis using data-driven models for the Lakes District, Turkey. Hydrological Sciences Journal, Vol. 54, No. 6, pp Mckee, T.B., N.J. Doesken and J. Kleist (1993) The Relationship of Drought Frequency and Duration to Time Scales, Eight Conference on Applied Climatology, Anaheim, California. 517

11 Mirabbasi. R., A. Fakheri-Fard and Y. Dinpashoh (2012). Bivariate drought frequency analysis using the copula method. Theor. Appl. Climatol., Vol. 108, No. 1, pp Nelsen, R. B. (1999) An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, New York. Reddy, M.J. and P. Ganguli (2012) Application of copulas for derivation of drought severityduration frequency curves. Hydrol.Process.,Vol. 26. No. 11, pp Şarlak, N., E. Kahya and O.A. Bég (2009) Critical Drought Analysis: Case Study of Göksu River Turkey and North Atlantic Oscillation Influences. Journal of Hydrologic Engineering. Vol.14, pp Şen, Z. (1990). Critical drought analysis by second order Markov chain. Journal of Hydrologic Engineering, Vol. 120, pp Şen, Z. (2009) Kuraklık Afet ve Modern Hesaplama Yöntemleri. Su Vakfı Yayınları. Shiau, J. T. and H.W. Shen (2001) Recurrence analysis of hydrologic droughts of differing severity. Journal of Water Resources Planning and Management, ASCE, Vol. 127, No. 1, pp Shiau J.T. (2006) Fitting drought duration and severity with two dimensional copulas. Water Resources Managements, Vol. 20, pp Sırdaş S. and Z. Şen (2003) Spatio-temporal drought analysis in the Trakya region, Turkey. Hydrological Sciences Journal, Vol. 48, No. 5, pp Sklar, A. (1959) Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges. Publications de l Institut de Statistique de l Univ. de Paris, Vol. 8, pp Sönmez F.K., A.U. Kömüşcü, A. Erkan and E. Turgu (2005) An analysis of spatial and temporal dimension of drought vulnerability in Turkey using the standardized precipitation index. Natural Hazards, Vol. 35, pp Thom, H.C.S. (1958) A note on the Gamma distribution. Monthly Wheather Review. Vol. 86, No. 41, pp Türkes M and H. Tatlı (2009) Use of the standardized precipitation index (SPI) and a modified SPI for shaping the drought probabilities over Turkey. International Journal of Climatology, Vol. 29, pp Vicente-Serrano S.M., (2006) Spatial and temporal analysis of droughts in the Iberian Peninsula ( ). Hydrological Sciences Journal, Vol. 51, No. 1, pp Yevjevich, V. (1967) An Objective Approach to Definitions and Investigations of Continental Hydrlogic Droughts, Hydrology Papers 23, Colo.St.Univ.. 518