DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci

Transkript

1 DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci

2 Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin gelecekte alabilecekleri değerleri kestirimini amaçlanmaktadır. Geleneksel ekonometrik model kurmadaki aşamalar: 1. Ekonometrik Modelin Formüle Edilmesi 2. Veri Toplama 3. Modelin Parametrelerinin Tahmini 4. Çıkarsama ve Önraporlama 2

3 DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Zaman serisi verisi analizlerinde model kurmak yerine serinin kendisi analiz edilir. Ekonomik değişkeni meydana getiren değerler dizisinin iç dinamikleri araştırılır. Bu iç dinamikleri ortaya çıkaran istatistiksel model zaman serisi modeli olarak adlandırılmaktadır. 3

4 DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Bu iç dinamikleri ortaya çıkaran istatistiksel model zaman serisi modeli olarak adlandırılmaktadır. Zaman serisi modelleri analizi iktisadi teori ile başlamaz. Zaman serisi modeli serinin kendi değerlerini dikkate alarak gelecekteki değerleri hakkında bilgi verir. 4

5 DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Önraporlama amacıyla bir zaman serisi kullanılacaksa şu hususlara dikkat edilmelidir. Kısa dönemi önraporlamak Önrapor için çok kısa süreye ihtiyaç duyulması Önraporu yapılacak zaman serisi için yeterince gözlem bulunması 5

6 DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Zaman serisi modeli Y t = f (Y t-1, Y t-2,, e t, e t-1, e t-2, ) Fonksiyonel Form Gecikme Yapısı Kalıntı Terimleri Yapısı 6

7 Otoregresif Süreç: AR(p) Bir ekonomik değişkenin geçmiş değerlerinin içerdiği bilgiye dayanarak gelecek değerleri hakkında önraporlama yapılabilir. Ekonomik değişkenin geçmişini yansıtan bilgi yalnızca kendi değerlerine göre modellenirse otoregresif süreç sözkonudur. 7

8 AR Süreci için bir örnek Bir limonata satıcısı olduğunuzu ve her saat beşbardak limonata sattığınızı düşünürseniz. Eğer siz limonata sattığınız yeri kapatmak ve limonata bittiği için satmaktan vazgeçmek istemiyorsanız, her saat başına tükenen limonata yerine yeni limonata doldurmanız gerekir. Böylece her saat beş bardak limonata satılsa da siz her zaman yerine yenisini ilave ettiğinizden siz bir kaza geçirmediğiniz sürece asla limonata satışınızda bir aksama olmaz. Bu bir otoregresif süreci tarif eder. Çünkü daha az ya da daha fazla limonata satmanız şeklinde bir şok belli bir saatteki limonata seviyesini etkiler. 8

9 p. Derece Otoregresif Süreç Y t = + 1 Y t Y t-2 +,+ p Y t-p +e t : Sabit terim olup stokastik süreç olan Y t nin ortalamasıdır. ler : Bilinmeyen ototregresif parametreler e t : Ortalaması sıfır, sabit varyanslı; rassal değişkendir. 2 e otokorelasyonsuz 9

10 AR(1) Süreci Birinci derece otoregressif süreç Y t = + 1 Y t-1 + e t -1 < 1 < +1 Zaman serileri analizi, ilgilenilen değişkenin yani Y t nin -ortalama, -varyans -kovaryansının hesaplanmasıyla başlar. 10

11 AR(1) Süreci Geçmiş ve gelecekteki rassal değişkenler örneklem gözleminde (Y 1, Y 2,.,Y t ) olduğu gibi aynı olasılık yoğunluk fonksiyonunu takip eder. Bir değişken tüm dönemlerde aynı olasılık fonksiyonuna sahipse, bu değişkenin geçmiş ve gelecek değerlerine bakılmaksızın aynı ortalama ve varyansa sahip oldukları varsayılır. 11

12 AR(1) Süreci Y t ve Y t-s arasındaki kovaryans zamana değil, bu iki rassal değişken arasındaki s sayıdaki öncül yada gecikmeye bağlıdır. Bu ise geçmişe dayanarak geleceği öngörmek için önemli bir varsayımdır. Y t = + 1 Y t-1 + e t e t ~IID(0, 2 ) 12

13 AR(1) Sürecinin Ortalaması E(Y) = E( + 1 Y t-1 + e t ) = E( + 1 Y t-1 ) + E(e t ) = E( + 1 Y t-1 ) = =

14 AR(1) Süreci Otoregresif parametrenin değeri 1 <1 ise süreç durağandır. 1 =1 ise serinin varyansı sabit olmaz ve zamanla büyür. =0 ise Y t nin ortalaması = 0 dır. Bu durum seriyi ortalamadan sapmalar cinsinden tanımlamakla özdeştir. Yani (Y t - ) a ulaşırız. 14

15 AR(1) Sürecinin Varyansı = 0 olarak varsayılsın. Bu durumda AR(1) denklemi: Y t = 1 Y t-1 + e t Var(Y t ) = 2 Y Var( 1 Y t-1 +e t ) 2 Var ( Y ) 1 Var ( e 1 t t e e Y ) 15

16 AR(1) Sürecinin Kovaryansı Cov(Y t, Y t-1 )= E { [Y t E(Y t )] [Y t-1 E(Y t-1 )] } E(Y t )= E()= 0 = E(Y t Y t-1 ) = E[( Y t-1 + e t ) Y t-1 ] = E[ Y t-12 + e t Y t-1 ] = E(Y t-12 ) + E [e t Y t-1 ] = 1 2 Y 16

17 AR(1) Sürecinin Kovaryansı Bu kovaryans bütün rassal değişkenler için aynıdır. Cov(Y t-1, Y t-2 )= E(Y t-1 Y t-2 )= 1 Y 2 Cov(Y t-2, Y t-3 )= E(Y t-2 Y t-3 )= 1 Y 2 17

18 t=2 için kovaryans Cov(Y t, Y t-2 )= E {[Y t E(Y t )] [Y t-2 E(Y t-2 )]} 0 0 = E(Y t Y t-2 ) = E[( Y t-1 + e t ) Y t-2 ] = E[ Y t-1 Y t-2 + e t Y t-2 ] = E(Y t-1 Y t-2 ) + E [e t Y t-2 ] = 1 ( 1 Y2 ) = 12 Y

19 t=k için kovaryans k k = Cov(Y t, Y t-k )= 1 2 Y Y t nin varyansı 0 = Cov(Y t, Y t )= Y 2 =( e2 )/(1-12 ) k = 1 k-1 = 1k Y2 = 1k 0 Y t ve Y t-k arasındaki kovaryans zamana bağlı değildir. 19

20 Korelasyon Katsayısı Kovaryanslar Y t nin ölçü birimlerine bağlı olduğundan yorum problemi ile karşılaşılır. Bu durumu aşmak için Y t ve Y t-k arasındaki korelasyon hesaplanır. Cor Y t,yt k r k = cov Y,Y Var Y t tk Var Y t tk r k = Y Y k 0 k 0, 1, 2,... 20

21 Otokorelasyon Fonksiyonu Otokovaryans ve otokorelasyon katsayıları sıfır gecikme civarında simetriktirler: r -k = r k Bu nedenle de yalnızda pozitif gecikmeleri dikkate almak yeterlidir. AR (1) süreci için otokorelasyon katsayısını tanımlayan r k =Фr k-1 = Ф 1 k k=1,2, ifadesi serinin otokorelasyon fonksiyonu olarak (ACF) bilinir. 21

22 Ф 1 nin Etkisi Ф 1 sıfıra yakın değerler aldıkça ortalamayı sıkça keser. Ф 1 bire yakın değerler aldıkça ortalamayı daha az sayıda keser. Ф 1 1 olursa patlayan seri ile karşılaşılır. Ф 1 = 1 olduğunda temiz dizi söz konusudur. 22

23 AR(1) Modeli ACF ve PACF GRAFİKLERİ Uygulamalarda PACF grafiğinin sadece ilk gecikmesine ait ilişki miktarı istatistiksel olarak önemli ise, yani güven sınırını aşıyorsa ve ACF grafiğindeki ilişki miktarları gecikme sayısı arttıkça yavaş yavaş azalıyorsa seriye en uygun model AR(1) modelidir. 23

24 AR(1) Modeli ACF ve PACF GRAFİKLERİ 24

25 25

26 26

27 AR (2) Sürecinin Özellikleri AR(1) zaman serisi modelleri bir çok ekonomik zaman serisini tasvir eder. Ancak konunun teorik yapısı için AR(2) süreci ile genel hal olan ve AR(p) süreci açıklanacaktır. 27

28 AR (2) Sürecinin Özellikleri Y t = +Ф 1 Y t-1 + Ф 2 Y t-2 +e t e t ~IID(0, 2 ) E(Y t ) = E(+Ф 1 Y t-1 + Ф 2 Y t-2 +e t ) = E()+Ф 1 E(Y t-1 )+ Ф 2 E(Y t-2 )+E(et) = +Ф 1 μ+ Ф 2 μ veya E(Y t ) = μ =

29 AR (2) Sürecinin Özellikleri AR (2) sürecinin durağan olması için Ф 1 ve Ф 2 Ф 1 + Ф 2 < 1 Ф 2 Ф 1 < 1 Ф 2 < 1 olmalıdır. 29

30 AR (2) Sürecinin Özellikleri = = 0 varsayılarak Y t nin varyans ve kovaryansı E(Y t2 ) = = E[Y t Y t ] E [Y t ( Ф 1 Y t-1 + Ф 2 Y t-2 +e t ) ] 0 = Ф Ф e 2 E(Y t-1 Y t ) = E [ Y t-1 ( Ф 1 Y t-1 + Ф 2 Y t-2 +e t ) ] 1 = Ф Ф 2 1 E(Y t-1 Y t ) = E [ Y t-2 ( Ф 1 Y t-1 + Ф 2 Y t-2 +e t ) ] 2 = Ф Ф

31 AR (2) Sürecinin Özellikleri Genel olarak k 2 için E(Y t-k Y t ) = E [ Y t-k ( Ф 1 Y t-1 + Ф 2 Y t-2 +e t ) ] yazılabilir. k = Ф 1 k-1 + Ф 2 k-2 0, 1 ve 2 eşitliklerini eş anlı olarak çözüp Ф 1, Ф 2 ve e 2 terimleri cinsinden 0 değeri elde edilebilir: 31

32 AR (2) Sürecinin Özellikleri 1 = Ф Ф 2 1 φγ 1 0 γ= 1 1-φ 2 2 eşitliğini 0 eşitliğinde yerine yazıp düzenleyelim: 0 = Ф Ф 2 (Ф Ф 2 0 ) + 2 e 0 = Ф Ф 2 Ф Ф e 1 eşitliğini yukarıdaki eşitlikte yerine yazalım: γ γ γ = + + γ +σ e

33 AR (2) Sürecinin Özellikleri γ= 1-2σe Otokovaryanslar arasındaki ilişkiler aşağıdaki gibi ifade edilebilir: 1 = Ф Ф = Ф Ф

34 AR (2) Sürecinin Özellikleri Otokovaryanslar arasındaki ilişkilerin benzeri otokorelasyon katsayıları için de elde edilebilir. r 1 = Ф 1 + Ф 2 r 2 Bunların çözümü yapılırsa: r 2 = Ф 1 r 1 + Ф 2 r 1 = Ф 1 / (1 - Ф 2 ) ve r 2 = Ф 2 + (Ф 2 1 ) / (1 - Ф 2 ) Elde edilir. 34

35 AR (2) Sürecinin Özellikleri AR(2) süreci için otokorelasyon fonksiyonu: r k = Ф 1 r k-1 + Ф 2 r k-2 k =3,4, Ф1 ve Ф1 değerleri sıfıra yaklaştıkça saçılım çok sık ortalamayı keser. Ф 1 ve Ф 1 değerleri bire yaklaştıkça saçılım daha az olarak ortalamayı keser. 35

36 AR(2) Modeli ACF ve PACF Grafikleri Uygulamalarda AR(2) modelinin seriye en uygun model olarak belirlenebilmesi için ACF grafiğinde ilişki miktarları yavaş yavaş azalırken PACF grafiğinde ilk iki gecikmeye ait ilişkilerin önemli olması, ikinci gecikmeden sonra da ilişkilerin önemsiz hale helmesi, yani güven sınırlarını geçmemesi gerekmektedir. 36

37 AR(2) Modeli ACF ve PACF Grafikleri 37

38 38

39 39

40 40

41 41

42 AR (p) Sürecinin Özellikleri Y t = + Ф 1 Y t-1 + Ф 2 Y t Ф r Y t-r +e t Bu modelde denklemin sağında yer alan değişkenler rassaldır. Cor (e t,e s ) = 0 olduğu içim Y t nin gecikmeli değerleri ile korelasyonsuz olacaktır. Bu modelde EKKY kullanılarak tutarlı bir tahmin üretilebilir. Otoregresif süreç durağan ise ortalaması μ ile gösterilir ve zamanla değişmez. 42

43 AR (p) Sürecinin Özellikleri E(Y t ) = E(Y t-1 )=.= E(Y t-r )= μ μ= +Ф 1 μ+ Ф 2 μ+ + Ф r μ μ= () / (1- Ф 1 - Ф Ф r ) Süreç durağan ise μ sonludur. Bu durumda Ф 1 + Ф Ф r < 1 olur. Ancak bu durağanlığı sağlamak için yeterli koşul değildir. 43

44 AR (p) Sürecinin Özellikleri μ sonlu değilse, süreç herhangi bir referans noktasından daha uzağa kayar. Bu durumda süreç durağan değildir. Ф 1 =1, μ= ve >0 olduğu için kayan rassal süreç sürekli yukarıya doğru kayma eğilimindedir. 44

45 AR (p) Sürecinin Tahmini Zaman serisi sürecinin gözlenen değerlerinin tamamını aşağıdaki biçimde ifade edebiliriz: Y p+1 = + Ф 1 Y p + Ф 2 Y p Ф r Y 1 +e p+1 Y p+2 = + Ф 1 Y p+1 + Ф 2 Y p + + Ф r Y 2 +e p+2 Y T = + Ф 1 Y T-1 + Ф 2 Y T-p + + Ф r Y T-p +e T Bu denklem sisteminin matris notasyonunda gösterimi: 45

46 AR (p) Sürecinin Tahmini y = Xβ+e y = (Y p+1, Y p+2,, Y T ) e = (e p+1, e p+2,, e T ) β = (, Ф 1, Ф 2,, Ф p ) X 1 Y Y P P1 1 Y Y P1 1 Y Y P T1 T2 Y Y Y 1 2 tp 46

47 AR (p) Sürecinin Tahmini ˆβ nın en küçük kareler tahminci ˆβ= XX 1 Xy ˆβ nın kovaryansı ˆ 2 cov β= σ XX 1 e 2 σe (y Xβ) ˆ y Xβˆ T 2p 1 AR(p) sürecinin ortalaması nün tahmincisi ˆδ ˆμ= 1-φˆ φˆ φˆ 1 2 p 47

48 Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu AR sürecinin derecesinin belirlenmesinde: p değerlerini arttırarak ilave parametreli yeni bir AR sürecini tahmin edilir. İlave edilen yeni parametrenin anlamlılığı test edilir. Yada AR sürecinin derecesinin belirlenmesinde kısmi otokorelasyonlardan faydalanılır. pp p.dereceden bir AR sürecinin kısmi otokorelasyon katsayısını göstersin. 48

49 Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu Bu katsayı Y t-1, Y t-2,, Y p-t+1 in etkilerini hesapladıktan sonra Y t ile Y t-p arasındaki korelasyonu ölçer. Y t = + Ф 1 Y t-1 +e t Y t = + Ф 1 Y t-1 + Ф 2 Y t-2 +e t ˆφ tk kk 12 1T Tφˆ kk 49

50 AR(p) Modeli ACF ve PACF Grafikleri AR(1) ve AR(2) modelinin özelliklerine bakarak AR(p) modeli için ACF grafiğindeki ilişkiler yavaş yavaş azalırken PACF grafiğindeki ilk p gecikmeye ait ilişkiler önemli p inci gecikmeden sonraki ilişkilerin de önemsiz olduğu söylenebilir. 50

51 12 gecikme için AR(1),φ 1 = 0.6

52 12 gecikme içinar(1), φ 1 = 0.7

53 53

54 54

55 55

56 56

57 57

58 58

59 59