KAVRAM HARİTALARI İLE MATEMATİKTE BAŞARININ ANAHTARI

Transkript

1 SINAVLARA HAZIRLANANLARA! TÜRKİYE DERECELİ MATEMATİKÇİDEN KAVRAM HARİTALARI İLE MATEMATİKTE BAŞARININ ANAHTARI HEDEF BELİRLEME ÇALIŞMA PLANI HAZIRLAMA VERİMLİ ÇALIŞMA YÖNTEMLERİ PRATİK HAFIZA GELİŞTİRME İPUÇLARI MATEMATİK: KORKU MU? BAŞARI MI? AZ BİLİNEN MATEMATİK FORMÜLLERİ KAVRAM HARİTALARIYLA MATEMATİK,GEOMETRİ (YGS-LYS TÜM KONULARIN ÖZET KAVRAM HARİTALARI) NUMAN KASAP

2 Eserin tüm hakları yazarına aittir.yazarın izni olmadan kısmen de olsa çoğaltılması,alıntı yapılması yasaktır. 1.Basım Basım Tarihi Ağustos-2011 Basım Yeri Ankara 2

3 NUMAN KASAP 1979 yılında Ankara da doğdu.ilkokulu memleketi Nevşehir in Avanos İlçesinde, Liseyi Ankara Çankaya Sokullu Mehmet Paşa Lisesinde Bitirdi.(Şubat-1996) Üniversite öğrenimine 1996 yılında Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Jeoloji Mühendisliğinde başladı,bir yıl devam etti ve tekrar sınava girip Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik (İngilizce) bölümünü kazandı. Üniversite eğitimi boyunca çeşitli kurs ve etkinliklere katıldı.tömer dil eğitimi merkezinde Fransızca kursuna katıldı ve 1.kur (temel eğitim) sınıfında birinci olarak başarı belgesi kazandı.daha sonra 2. kur için Fransız Kültür Merkezine devam etti. İzmir Büyükşehir Belediyesinin açmış olduğu tenis kursunu başarıyla tamamladı.ekonomiye ilgi duymaya başladı ve İşletme Fakültesinde Para ve Banka derslerine izleyici olarak katıldı yılında Üniversiteyi bitirip Ege Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Tezsiz Yüksek Lisans Programına devam etti ve 2004 Şubat ayında yüksek lisansını tamamladı. Hafıza eğitimi,öğrenmeyi öğrenme teknikleri,verimli çalışma yöntemleri üzerinde kendini geliştirdi KPSS yi Türkiye derecesi yaparak ( 6.cılık) kazandı ve Mersin İline Matematik Öğretmeni olarak atandı Yılında Anadolu Lisesi Öğretmenleri Seçme Sınavında Türkiye 3.sü olarak İzmir e tayini çıktı.halen İzmir de çalışma hayatını sürdürmektedir. 3

4 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ....5 GİRİŞ BÖLÜM:HEDEF BELİRLEME BÖLÜM:ÇALIŞMA PLANI HAZIRLAMA BÖLÜM:VERİMLİ ÇALIŞMA YÖNTEMLERİ BÖLÜM:HAFIZA GELİŞTİRME İPUÇLARI BÖLÜM: MATEMATİKTE BAŞARININ ANAHTARI BÖLÜM: AZ BİLİNEN MATEMATİK FORMÜLLERİ BÖLÜM: KAVRAM HARİTALARI İLE MATEMATİK KAYNAKÇA

5 ÖNSÖZ Bu eserimi,hayatımın her anında bana olan inançlarını ve desteklerini esirgemeyen,moral ve motivasyon kaynağım olan ve huzurlu bir ortamda bu kitabı yazmamı sağlayan annem Şerife ve babam Yaşar a ithaf ediyorum. 5

6 GİRİŞ Bu kitap,sınavlara hazırlanan öğrencilerin anlayabileceği sadelikte,amaca yönelik ve konsantre bir özellik taşımaktadır. Bu bağlamda süslü bir dil kullanımından ve dolaylı anlatımlardan özellikle kaçınılmıştır. Kitabın ilk bölümlerinde başarıya ulaşabilmek için uygulanması gereken adımlar anlatılmış, hedef belirlemenin önemi, öğrencilerin en çok zorlandığı konulardan çalışma programı yapımı ve uygulaması üzerinde durulmuş,verimli çalışma yöntemlerine dikkat çekilmiştir. Diğer bölümlerde ise Matematik dersi özelinde yapılması gereken çalışmalardan bahsedilmiştir.matematik dersinin diğer derslerden ayrıştığı bir çok nokta vardır.dolayısıyla çalışma sistemi de buna göre farklılık göstermektedir. Matematik ve diğer sayısal derslere çalışma biçimi,sözel derslere çalışıldığı gibi olmamalıdır.öğrenciler genelde her derse aynı mantıkla çalışırlar,ama dersin özelliğine göre çalışmadıkları için başarı verimi olması gerekenin çok altında kalabilmektedir. Kitabın son bölümünde Matematik ve Geometri derslerinin tüm konularının özet kavram haritaları mevcuttur.tüm konuları kapsayan bu haritalar Türkiye de ilk ve tek uygulamadır. Alanında bir çok ilki barından bu kitabın Sınavlara hazırlanan tüm öğrencilere faydalı olması dileklerimle. İletişim Tel: İnternet Sitesi: numanhoca.blogspot.com TEMMUZ 2011 İZMİR 6

7 I.BÖLÜM (HEDEF BELİRLEME) BENİM HİKAYEM ENERJİ ZAMAN DÜŞÜNCE ÜÇGENİ 7

8 BENİM HİKAYEM Bir yanda seyahat edenler;diğer yanda bir yerlere gidenler vardır.bunlar hem birbirinden farklı,hem de birbirlerinin aynıdırlar.başarılı olanların rakiplerine göre üstünlüğü şudur: Başarılı olanlar,nereye gittiklerini bilenlerdir. MARK CAINE Verimli çalışma ve hafıza geliştirme yöntemlerine üniversite yıllarımda merak sarmıştım.yüksek lisansımı bitirdiğim 2004 yılının şubat ayında Milli Eğitim Bakanlığı nın öğretmen ataması yapılacaktı.benim 2002 yılında hiç çalışmadan girdiğim sınavdan 78 puanım vardı.arkadaşlarımın hepsi tercih yaparken benim aklımda daha farklı bir hedef vardı. Yakın dostum Gökhan Şahin çok ısrar etti,aynı yerleri yazıp gitmemiz için,puanlarımız da birbirine çok yakındı.onun ataması Karabük iline çıktı.risk alarak tercih yapmadım ben, açıklamasını da şöyle yaptım: Temmuz ayına kadar çalışacağım ve Türkiye derecesi yaparak atanacağım! Kendime bir hedef koymuştum,geri dönüşü yoktu artık. Türkiye derecesi yapmak kolay bir şey değildi,önümde 6 ay vardı bunu başarabilmek için,nereden başlayacağımı,nasıl çalışacağımı planlayarak işe koyuldum.6 ayı kapsayan haftalık bir plan yaptım,her hafta hangi konuyu çalışacağım, kaç soru çözeceğim hepsini ayarladım. Piyasadaki KPSS hazırlık kitaplarını inceledim,ama bana yeterli gelmedi,çünkü hedefim büyüktü ve bu kitaplar o anlamda beni tatmin etmedi.ege Üniversitesi Kütüphanesi nde,kitaplarda eksik gördüğüm konular üzerinde, yaklaşık bir ay araştırma yaptım.tüm materyali topladıktan sonra ise geriye yaptığım plan çerçevesinde çalışmak kalmıştı. Hedef belirlemek güzeldi,ama başarılı olabilmek için bu hedefi hak edecek çalışmayı da yapmam gerekiyordu. 8

9 Yaklaşık 6 ay kendimi dış ve iç uyaranlardan soyutladım, verimli çalışma yöntemlerini,hafıza geliştirme tekniklerini, özellikle kavram haritası metodunu sıkça kullandım.(ileriki sayfalarda o dönemde kullandığım kavram haritası örneklerini inceleyebilirsiniz.)ağustos ayı içinde sonuçlar açıklandı, kişi arasından 6. olmuştum. Hedefim gerçekleşmişti. İşte şimdi atanabilirdim. İzmir e atanmak istiyordum ama kontenjan yoktu,mersin e çıktı tayinim.yüksek puan aldığım için ben istemiştim orayı,ama kaderin bir cilvesi olsa gerek Mersin de kura çektik ve bana Tarsus un en uzak köyü çıktı.bu kadar çabanın ardından köyde çalışmak nasip oldu üç yıl.çok güzel anılarım, dostluklarım oldu köyde,ama gösterdiğim başarının ödülünü alamamıştım,bu da bana hüzün veriyordu. Üç yılımı tamamladıktan sonra bu defa zorunlu hizmet zamanı gelmişti,il içi tayin istedim ve bu defa Mersin in en uzak ilçelerinden birinde Endüstri Meslek Lisesi ne çıkmıştı tayinim.zorunlu hizmetimi tamamlamak için, beş yıl burada çalışmam gerekiyordu ama ben o kadar kalmayı hiç düşünmüyordum doğrusu. Artık iyice isyan noktasına gelmiştim ki,imdadıma ALÖSS (Anadolu Lisesine Öğretmen Seçimi Sınavı) yetişti.alöss sınavına M.E.B da çalışan branş öğretmenleri katılıyordu.zor bir sınavdı,çoğu öğretmen başarısız olma korkusu yüzünden sınava bile girmiyordu. Benim İzmir e dönebilmem için çok önemli bir fırsattı bu. Türkiye derecemin tesadüf olmadığını gösterip aynı başarıyı tekrarlamak ve hatta daha da geliştirmek hedefiyle yola çıktım. Yine önümde altı ay ve çalışılması gereken bir yığın konu vardı.kpss sınavına çalışma yöntemlerimi aynen bu sınav için de kullandım.kavram haritaları oluşturdum,haftalık planımı yaptım,iç ve dış uyaranlardan kendimi soyutladım. Sonuçlar açıklandı,mülakat listeleri yayınlandı,bu defa yaklaşık tane kadrolu matematik öğretmeni arasından 3. olmuştum.mülakata girdim ve Anadolu Öğretmen Lisesi ne de atanma hakkı kazandım. 9

10 Türkiye derecesi yaptığımdan ötürü İzmir in en köklü liselerine atamam yapılabilirdi.ama zorunlu hizmetim henüz tamamlanmamıştı,dokuz ay kalmıştım o ilçede.bu yüzden merkez okul yazamıyordum,bu kaderin ikinci cilvesiydi. Atatürk Lisesi,B.A.L ve İzmir Kız Lisesi ne benden düşük puanlılar giderken,ben İzmir in en uzak ilçelerinden birinin Anadolu Lisesi olan Kınık Anadolu Lisesi ne gelmiştim. Üç yıl da burada,güzel bir ortamda çalıştıktan sonra,bu defa sınava girmeden normal il içi tayinle İzmir merkeze gelebildim,fakat hizmet yılım az olduğu için elit bir liseye gelme imkanım olmadı. Ama yine de tekrar İzmir in havasını doyasıya içime çekebilmek,kordonda gün batımını seyredebilmek her şeye değerdi. 10

11 KISSADAN HİSSE (İŞİN ÖZÜ ) Az önceki başarı hikayesinin özü;eğer bir hedef belirleyip onun gerektirdiği çalışmayı yaparsanız başaramayacağınız işin olmadığıdır.gideceği limanı belli olmayan bir gemi için hiçbir rüzgar faydalı değildir.onun için önce kendinize bir liman belirleyin. Ders çalışırken,sınavlara hazırlanırken amaçlarınız ve hedefleriniz olsun.türkiye derecesi yapmak mı? Sınavdan 100 almak mı?doktor olmak mı?avukat olmak mı?öğretmen olmak mı? ---Kendinizi tanıyın. ---Ne istediğinizi bilin. ---Hedefinizi ortaya koyun. ---Hedefinizi gerçekleştireceğinize inanın. ---Kendinizi buna göre motive edin. --- Bu hedefi hak eden çalışmayı yapın. Göreceksiniz başarı umduğunuzdan da hızlı gelecek. 11

12 ÇOCUKLARIMA Diyelim ıslık çalacaksın ıslık Sen ıslık çalınca Ne ıslık çalıyor diye şaşacak herkes Kimse çalmamalı senin gibi güzel Örneğin kıyıya çarpan dalgaları sayacaksın Senden önce kimse saymamış olmalı Senin saydığın gibi doğru ve güzel Hem dalgaları hem saymasını severek De ki sinek avlıyorsun sinek En usta sinek avcısı olmalısın Dünya sinek avcıları örgütünde yerin başta Örgüt yoksa seninle başlamalı Diyelim zindana düştün bir ip al Görmediğin yıldızları diz ipe bir bir Sonra yıldızlardan kolyeyi Düşlemindeki sevgilinin boynuna geçir Say ki hiçbir işin yok da düşünüyorsun Düşün düşünebildiğince üç boyutlu Amma da düşünüyor diye şaşsın dünya Sanki senden önce düşünen hiç olmamış Dalga mı geçiyor düşler mi kuruyorsun Öyle sonsuz sınırsız düşler kur ki çocuğum Düşlerini som somut görüp şaşsınlar Böyle dalgacı daha dünyaya gelmedi desinler Dünyada yapılmamış işler çoktur çocuğum Derlerse ki bu işler bir şeye yaramaz De ki bütün işe yarayanlar İşe yaramaz sanılanlardan çıkar AZİZ NESİN 12

13 ENERJİ,ZAMAN,DÜŞÜNCE ÜÇGENİ Enerjinizi,zamanınızı ve düşüncelerinizi doğru yere yönlendirirseniz başarı kaçınılmaz olur. N.K. Bu söz,elde ettiğim başarılar ve dereceleri bir cümlede özetlemem istendiğinde aklıma gelen ve başarıyı en iyi tanımlayan söz olarak kafamda şekillendi.bu üçleme,bir hedef belirledikten sonra o hedefe odaklanmayı ifade etmektedir. Atalarımız ne güzel söylemiş; bir koltuğa iki karpuz sığmaz diye,burada koltuk derken oturduğumuz koltuk anlaşılmasın, bahsedilen kolumuzun altıdır.çok karşılaştığımız bir durum,öğrenci ders çalışır,ama bir yandan gözü bilgisayarda, elinde telefon mesaj yazmakta,kulağında kulaklık müzik dinlemekte! Saatlerce bu şekilde masanın başından kalkmaz ve ders çalışır,gelgelelim sınav puanlarına tam bir hayal kırıklığı,veli gelir ama benim çocuğum saatlerce masanın başından kalkmıyor,ders çalışıyor! der.oysa öğrencinin o anda koltuğunun altında üç dört karpuz vardır.bu şekilde çalışmak,daha doğrusu çalışamamak size hiçbir şey katmaz. Etkili çalışabilmek için masanın başına oturduğunuzda düşüncelerinizi o ders üzerine yoğunlaştırmanız gerekir,dış dünya yıkılsa da umurunuzda olmamalı,derin bir konsantrasyon içinde o anki işin hakkını vermelisiniz. Enerjinizi sadece yaptığınız işe verdiğinizde veriminiz katlanarak artacaktır.dış uyaranlar,dikkatinizi dağıtacağı, enerjinizi ve düşüncelerinizi yaptığınız işe odaklamayı zorlaştıracağı için mümkün olduğunca sessiz,izole bir ortamda çalışmanız,cep telefonu,televizyon,bilgisayar,müzik vb. çeldiricilerden uzak durmanız gerekir. Düşünceyi dağıtan dış uyaranları ortamdan kaldırmak çalışma verimi açısından önemlidir,bunlar somut davranışlar 13

14 olduğu için yapılması daha kolay şeylerdir,daha zor olan ise iç uyaranları ortadan kaldırmaktır.bu da motivasyonun devreye girmesini gerektirir. Çalışmaya başladığınızda kafanızdaki sorunları, hayalleri, duyguları bir kenara bırakın,hem çalışıp hem sevgilinizi düşünüyorsanız,ya da o gün sizi sinirlendiren bir olaya kafanızı takıyorsanız, masadan kalkın.çünkü boşa zaman harcamanın bir anlamı yok,yaptığınız çalışmanın getirisi olmayacaktır. Kafanızı berraklaştırıp iç uyaranları ortadan kaldırınca tekrar oturun,yaptığınız işe konsantre olun, zamanın nasıl geçtiğini anlamayacaksınız. Aslında hayatta her yapılan iş için bu üçleme geçerlidir,o anki zamanınızı kullandığınız her ne ise,dış ve iç uyaranları ortadan kaldırıp enerjinizi ve düşüncelerinizi konsantre biçimde o işe yönlendirirseniz başarısız olmanız hemen hemen imkansız olur. ZEKAMIZI ÇALIŞTIRALIM Nehrin karşı kıyısına kurt, kuzu, ve bir çuval ot geçirilecektir.yanlarında kimse yokken,hemen kurt kuzuya, kuzu da ota saldırmaktadır.bir kayıkçı,kayığına her seferinde yalnız birini almak şartıyla kuzuyu kurda,otu da kuzuya yedirmeden hepsini nasıl karşıya geçirir? Kolay gelsin 14

15 II.BÖLÜM (ÇALIŞMA PROGRAMI HAZIRLAMA) 15

16 PLANLAMA İnsanı kendisiyle yüz yüze getiren bazı sorular: -Belirli bir zamanda nerede olmak istiyorum? -Oraya nasıl gideceğim? -Kendimi bulunduğum yerden,olmak istediğim yere götürmek için ne yapmalıyım? -Harekete geçmek için atmam gereken ilk,küçük adım nedir? GEORGE A. FORD Hayatın her kademesinde karşımıza çıkacak olan,yapılması kolay ama uygulanması bir o kadar zor görünen,başarının en önemli adımıdır planlama! Öğrenciler çalışma planına genellikle büyük bir hevesle başlar,2-3 gün uyguladıktan sonra bir daha yüzüne bakmazlar.aslında mükemmel bir plan yapmışlardır Her dakikaları ayarlanmış,hiç boşluk kalmamıştır programda. Ama unutulan şey,insanın bir makine olmadığı gerçeğidir. Alışkanlıklar çok çabuk değişmemektedir,her gün saatlerce bilgisayar başında oyun oynayıp internete giriyor,cep telefonu ile uğraşıyor ya da arkadaşlarınız ile görüşüyorsanız,bu davranışlarınız sürekli tekrarlandığı için alışkanlık düzeyine gelmiş demektir.bu da,hemen birkaç günde düzene girecek bir durum değildir.onun için plan aşamalı olmalıdır,bir anda tüm alışkanlıklarınızın değişmesini gerektiren planlar çok geçerli ve uygulanabilir değildir. Yapılacak olan plan öncelikle,tüm kişisel ve sosyal ihtiyaçlarınızı karşılayacak düzeyde olmalı,ikna edici ve cezbedici özellikler taşımalı,aşamalı bir sıra izlemeli ve en önemlisi esnek olmalıdır. 16

17 Esnek bir plan size hareket alanı sağladığı için uygulamada başarı oranı daha yüksek olacaktır.örneğin,pazartesi günü çalışması gereken bir saatte arkadaşlarının yaptığı bir etkinliğe davetli olan Büşra,bu süredeki yapması gereken çalışmayı Salı gününe kaydırabilmelidir.unutulmamalıdır ki, en iyi plan uygulanabilen plandır. Çalışma planı,koşullara göre günlük,haftalık ya da aylık yapılabilir.12.sınıf öğrencileri sınav hazırlığı yapacakları için tüm müfredatı çalışmaları gerekir,bu açıdan haftalık plan yapmaları daha uygun olacaktır.bölümler bazında yapılacak haftalık plan örnekleri diğer sayfalarda verilmiştir. Haftalık planda sınav tarihine kadar tüm haftaları yazıp,her hafta hangi dersten hangi konuya çalışacağınızı ve kaç soru çözeceğinizi belirleyip buna göre çalıştığınızda,hem konuları yetiştirememe kaygısı,hem de önünüzü görebildiğiniz için sınav stresi daha az olacaktır. Matematik özelinde tüm müfredatı kapsayacak biçimde hazırlanan 32 haftalık (8 ay) plan da örnek amaçlı incelemeniz için sunulmuştur. Ara sınıflar için ise,günlük plan daha kullanılabilir bir özellik taşımaktadır.günlük plan yaparken,derslerin özelliklerini, kendi ilgi ve becerilerinizi dikkate almanız gerekir. Matematik ve diğer sayısal derslerde esas olan günlük çözülen soru sayıları olmalıdır. Haftanın belli günlerinde o hafta öğrenilen konu ile ilgili test çözülmeli,diğer günlerde ise genel tekrar testleri uygulanarak geçmiş konular pekiştirilmelidir.test çözümü esnasında hatırlanmayan konulara göz atılarak eksikler bu şekilde telafi edilmelidir.sözel dersleri plana yerleştirirken ise öğrencinin ezber yeteneği,derse olan ilgisi ve okuduğunu anlama düzeyi de dikkate alınmalıdır. Sonuç olarak planlama,tüm öğrenciler için aynı özellikleri taşıyacak biçimde olmamalı,esnek, kullanılabilir ve öğrencinin tüm kişisel ve sosyal ihtiyaçlarına uygun biçimde tasarlanmalıdır.bundan sonraki 4 sayfada günlük ve haftalık 17

18 çalışma planı örnekleri,uygulayabileceğiniz bir plan oluşturmanız için size yol gösterecektir. Fen bölümü öğrencileri aşağıdaki örnek plana göre çalışmalarını hazırlayabilir,planda konuların yanına o hafta çözeceğiniz soru hedefinizi de yazmayı unutmayın. 18

19 TM bölümü öğrencileri de aşağıdaki örnek plana göre çalışmalarını hazırlayabilir,planda sadece matematik dersi konularının yanına o hafta çözeceğiniz soru hedefinizi yazmanız yeterli olacaktır,çünkü matematik dersine soru çözme ağırlıklı çalışacaksınız. 19

20 Matematik dersine özel bu planda,konuların yerlerinde okul ve dershanedeki işleyişe göre değişiklik yapabilirsiniz.önceki sayfalarda verilen boş taslak planların matematik ve geometri kısımlarına bu plandan aktarım yapıp,diğer derslerin konularını da bu kapsamda hazırlamanız işinizi kolaylaştıracaktır. 20

21 Günlük plan örneğinde okul,dershane ve dershane etütlerinin olduğu varsayıldı,fen ve Tm öğrencileri için matematik ve geometri dersleri ortak,diğer dersler ise bölüme göre Fen için ayrı,tm için ayrı belirtildi.taslak plandaki okul,dershane ve etüt saatleri farklılık gösterebildiği için kendinize göre planı düzenlemeniz gerekir,etüt saatleri dahil toplam haftada 42 saat ders çalışma süresi belirlendi.bu süre planın uygulanabilirliği açısından azaltılıp çoğaltılabilir,bu da planın kişiye özel olma durumuna güzel bir örnektir. 21

22 2004 KPSS SINAV SONUCU ZEKAMIZI ÇALIŞTIRALIM İhtiyar bir adamın 3 tane oğluyla 17 tane devesi vardı.ölmeden önce oğullarına şöyle vasiyet eder: En büyüğünüz develerin yarısını ortancanız 1/3 ini, en küçüğünüz ise 1/9 ini alsın.sakın hiç bir deveyi kesmeyin.babaları öldükten sonra develeri paylaşmak istemişler ama bir türlü paylaşamamışlar.bu sırada oradan devesiyle geçmekte olan yaşlı bir kimseden yardım istemişler.o da çocukların babalarının istediği gibi develeri paylaştırmış ve sonun da kendi devesine binip gitmiş.bunu nasıl becermiş? Beş tane 2 ve matematik sembollerini kullanarak 100 sayısını oluşturun. Bir trenin üç vagonunda toplam 90 yolcu vardı.eğer birinci vagondan ikinci vagona 12 yolcu geçip, ikinci vagondan üçüncü vagona 9 yolcu geçerse vagonlardaki yolcuların sayıları eşit oluyor.başlangıçta her bir vagonda kaç yolcu vardı? Kolay gelsin 22

23 III.BÖLÜM (VERİMLİ ÇALIŞMA YÖNTEMLERİ) 23

24 VERİMLİ ÇALIŞMA YÖNTEMLERİ Hedefinizi belirleyin.(bölüm 1) Yaptığınız işi ciddiye alın,kendinize güvenin. Planınızı yapın.(bölüm 2) Çalışma odanızı düzenli hale getirin. Çalışma masanızın üstünde sadece kullanacağınız malzemeler olmasına dikkat edin. Dış uyaranları ortamdan kaldırın. (Bilgisayar, müzik, televizyon,cep telefonu v.b.)(bölüm 1) İç uyaranları susturun.kafanızı berraklaştırıp sadece derse odaklanın.(bölüm 1) Mutlaka oturarak çalışın,gezinerek,ya da uzanarak ders çalışmayın,çünkü motivasyonu bozar. Çalışma seansınız dakika arasında olmalı,sonrasında dakika mola verin,çünkü uzun çalışma süreleri öğrenme kalitesini düşürür. Çalışırken önce ana çatıyı kurun,bütünü gözünüzün önüne getirin.(bölüm 4) Yazarak çalışmaya özen gösterin. Fosforlu kalemle,çalıştığınız materyalin önemli yerlerinin altını çizin. Kavram haritalarını mutlaka oluşturun.(bölüm7) 24

25 Sayısal derslere soru çözerek çalışın. Sözel derslere pratik hafıza geliştirme yöntemlerini kullanarak çalışın. (BÖLÜM 4) Her işi zamanında yapmaya özen gösterin,işlerinizi son dakikaya bırakmayın. Odanızın duvarlarına poster yerine sayısal derslerin formüllerini,sözel derslerin ezber gerektiren bilgilerini içeren kavram haritalarını asın ve her sabah uyandığınızda bu kağıtlara bir göz atıp odadan öyle çıkın. Her akşam yatmadan önce yarım saat kitap okuma seansı uygulayın,bu sizin okuduğunu anlama hızınızı artırarak soru çözme sürenizi kısaltacaktır. Günde 7 saatten az 8 saatten çok uyumamaya özen gösterin. Sigara,alkol gibi beyninizi uyuşturan maddelerden uzak durun. Mümkün olduğunca sağlıklı beslenmeye çalışın,çünkü sağlam kafa sağlam vücutta bulunur. Kahve,kola gibi kafeinli içecekler yerine yeşil çay,ıhlamur gibi bitki çaylarını tercih edin,hem sizi rahatlatacak,hem de öğrenme hızınıza olumlu katkı sağlayacaktır. Haftada en az bir gün balık yemeye çalışın,çünkü balık, hafızayı güçlendiren bir üründür. Fast food ürünlerden uzak durun. Kırmızı eti az tüketmeye çalışın,çünkü kırmızı et stresi ve agresifliği tetikler,bu da çalışma verimini düşürür. 25

26 Sosyal aktiviteleri ihmal etmeyin,her hafta bunun için zaman ayırın,sinema,tiyatro,arkadaş toplantıları, aşırıya kaçmamak koşulu ile sizin kişisel gelişiminiz için önemlidir. Yüzme,tenis gibi aktivitelerde bulunun,çünkü hem spor insanı zinde tutar hem de bu tip sporlar insandaki negatif enerjiyi alır. Halı saha futbol maçları, öğrencilerin sıkça yaptığı bir spor olmasına rağmen,çok fazla tavsiye edilmemek - tedir, çünkü sert bir spor olmasından dolayı oluşabilecek sakatlıkların sizin sınava hazırlanma performansınıza olumsuz yansıması olabilir,ayrıca bu tip aktivitelerde bazı durumlarda stres atmak yerine daha çok agresif tavırların ortaya çıktığı da gözlenmiştir. Kitap Önerileri:Matematik ve geometri için;karekök Yayınları, Kişisel gelişim için;bir Pırıltıdır Yaşamak (İpek Ongun ),Hafıza Geliştirme Teknikleri (Oğuz Saygın),On Günde Kusursuz Bellek ( Dr. Joyce Brothers),Erdem ve Mutluluk (Erich Fromm), Öğrenmenin ABC si (Gloria Fender ) 26

27 IV.BÖLÜM (HAFIZA GELİŞTİRME İPUÇLARI) 27

28 BEYNİMİZİN YAPISI VE HAFIZA GELİŞTİRME Yapılan araştırmalar insanların beyinlerinin kapasitesinin çok azını kullandığını göstermekle beraber,bu kapasitenin nasıl daha verimli kullanılacağına dair geniş kitlelerce kabul gören kullanışlı çözümler son yıllarda ortaya çıkmaktadır. Beynin yapısı anlaşıldıkça buna paralel öğrenmeyi kolaylaştıran yöntemler geliştirilmektedir.o halde kısaca beynimizin çalışma sistemine bir göz atalım : Beyin, iki lobdan oluşur ve ikisinin de farklı fonksiyonları vardır.sağ beyin,vücudun sol yanını kontrol eder.sol beyin vücudun sağ yanını kontrol eder.yani bulundukları yerin çaprazını kontrol eder. SOL LOB: Konuşma, Yazma,Sözcükler, Mantık, Sayılar, Ardışıklık, Matematik, Analiz, Listeleme SAĞ LOB: Görüntüler, Ritim,Uzamsal düşünme,müzik, Bütünü görme, Hayal gücü, Renkler ve şekiller. Yukarıdaki özelliklerden sol beyinin mantıksal bir yapıda olduğunu,kelimelerle ve sayılarla düşündüğünü,bir problemi adım adım çözdüğünü,sağ beyinin ise duygusal özellikler taşıdığını,görüntülerle düşündüğünü ve bir olayın önce bütününü görerek hafızaya aldığını söyleyebiliriz. Hafızasını,hiçbir çalışma yapmadan,doğuştan itibaren çok iyi kullanan insanlarla yapılan çalışmalarda ;bu insanların beyinlerinin hem sol hem de sağ tarafını dengeli biçimde kullandıkları belirlenmiş,ve hafıza geliştirme çalışmaları bu temel veri üzerinde yükselmiştir. 28

29 Günümüzde eğitim sistemi sınav odaklı olduğu için,sol beyin üzerine büyük yük binmekte, sağ beyinin özellikleri ise ihmal edilmektedir.sayılar,sözcükler,mantık,matematik neredeyse sınav sisteminin bütününü oluşturduğu için sol beyin dominant karakter durumundadır. Öğrenme işine sağ beynin de koşulması durumunda,öğrenme oranının aritmetik değil geometrik biçimde artış gösterdiğini kendi yapmış olduğum uygulamalardan da gözlemledim.bu uygulamaların bir kısmından aşağıda bahsedeceğim.ayrıntılı biçimde öğrenmek isteyenler piyasadaki hafıza geliştirme kitaplarından faydalanabilir. Bütünü görerek öğrenme:sağ beyinin bu özelliği öğrenme açısından büyük bir öneme sahiptir.bir konuyu çalışırken önce konunun bütününden genel bir izlenim elde edilip,daha sonra ayrıntılara inilirse bilgiler beyinde daha organize biçimde depolanır.bir anlamda,öğrenilecek olan bilgiler önce beyinde klasörlere ayrılır,sonra klasör içindeki bilgiler düzenli bir sırayla oluşturulur.bunun için ise en güzel yöntem kavram haritaları meydana getirmektir.(7.bölümde kavram haritaları ayrıntılı biçimde anlatılmıştır)önce ana çatıyı oluşturup daha sonra ayrıntılara inilen bu yöntemi ben de kişisel çalışmalarımda sık sık kullanmaktayım ve ciddi verim aldığımı söylemeliyim. Örneğin;Tarih dersine çalışırken, Kurtuluş savaşı döneminin ana çatısı oluşturulur, Atatürk ün Samsun a çıkışı,amasya,erzurum,sivas ve Ankara ya gelişi, Meclis in açılışı,düzenli ordunun kuruluşu, I.İnönü, II.İnönü,Eskişehir-Kütahya,Sakarya Savaşları, ve nihayet Büyük Taarruz.Daha sonra ayrıntılara inilir, kongreler,alınan kararlar,savaşların sonuçları gibi. Bu şekilde bir çalışma biçimi bilgilerin hafızada kalıcılığını artırır. Akrostiş yöntemi:akrostiş daha çok şairlerin ve aşıkların şiir yazarken kullandıkları bir yöntemdir. Okunan bir dörtlüğün ilk harfleri sıralandığında 29

30 anlamlı bir kelime oluşur.eğitimde ise, yine sağ beynin kullanılması için başvurulan bir yöntemdir. Örneğin;I.İnönü savaşı MİLAT tır.moskova Antlaşması, İstiklal Marşı,Londra Konferansı, Afgan Dostluk Antlaşması,Teşkilat-ı Esasi. Bu şifreleme yöntemiyle ezberlenmesi gereken bir listedeki elemanların baş harflerinden anlamlı bir sözcük oluşturulabilir. Yabancı kelimelerin ezberlenmesi :Yabancı sözcüklerin anlamlı hale getirilmesi temelli bu yöntemde, sözcük içindeki harflerle anlamlı Türkçe kelimeler oluşturulur ve bu kelimeler de sağ beyin işe koşularak hayal gücüyle birbirine bağlanır. Örneğin; Salary:Maaş.Bu kelimeyi iki parçaya ayırıp Türkçe düşündüğümüzde sel ve ileri sözcükleri oluşur, anlamı maaş olduğuna göre hayal gücümüzü kullanıp gözümüzde maaş çekmek için bankamatiğe gittiğimizi, ama tam bu sırada caddeden büyük bir sel gelip maaş alamadan bizi ileri götürdüğünü canlandıralım.bu çağrışım artık salary le karşılaştığımız her zaman aklımıza gelecek ve bize maaşı hatırlatacaktır.başka bir örnek ise Attribute:Bağlamak.Bu zor sözcüğü at ve tribün olarak iki parçaya ayıralım.(kelimedeki harflerin birebir aynı olması gerekmez)şimdi bu iki kelimeyi bağlamak sözcüğünü çağrıştıracak biçimde ilişkilendirelim.çok kritik bir maça gittiğimizi,yanımızdaki koltuğa at üzerinde birinin geldiğini ve atını tribüne bağlamaya çalıştığını uçuk bir durum olarak gözümüzde canlandıralım,evet biraz garip gelebilir ama sağ beyinin daha net biçimde kullanılması için gözümüzde canlandırdığımız olayın akılda kalıcı, çarpıcı bir özellik göstermesi gerekir,merak etmeyin çağrışım yaptığınız ilişkileri sadece siz bileceğiniz için sorun oluşturmaz 30

31 V.BÖLÜM (MATEMATİKTE BAŞARININ ANAHTARI) MATEMATİK KORKU MU! BAŞARI MI! 31

32 MATEMATİK KORKU MU! BAŞARI MI! Bilinmeyen korkutur! Matematik,pek çok öğrenci için korkuyu çağrıştıran bir olgudur.bazı öğrenciler için ise matematik pek çok oyundan daha zevkli bir şeydir,onlar için bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur. Peki bu öğrencileri diğerlerinden ayıran özellik nedir? Niçin bu tip öğrenciler matematik testi çözerken zamanın nasıl akıp gittiğini anlamazken,diğer öğrenciler için 1 dakika 1 asır gibi gelmektedir? Bu soruyu cevaplamak için sorunu iyi tespit etmek gerekir.sorun matematikte değildir,çünkü eğer matematik olmasaydı pozitif bilimler olmazdı,diğer bilim dallarının gelişmesi matematiğin gelişimiyle olanaklı olmuştur,bir çok filozof matematik ve geometriyle özellikle ilgilenmişlerdir, onlara göre insanın analitik düşünme becerisini geliştirebilmesi için matematikle uğraşması gerekir. Sorun peki öğrencide midir?eğitim sistemimiz gereği bir okuldaki öğrencilerin seviyesi birbirine yakındır,dolayısıyla kapasite bakımından benzerlik göstermektedirler,o zaman bazılarının daha ön plana çıkmasını sağlayan sebep ne olabilir? Matematikte başarılı olan öğrencilerle yapılan görüşmelerde ortak olarak görülen özellikler şunlardır: 32

33 Bir plan çerçevesinde düzenli olarak çalışmaları Kitap okumaları! ( Evet bu önemli,çünkü okuduğunu anlamak matematikte çok önemlidir bu da kitap okumakla sağlanır.) Derste anlatılan konuya konsantre olmaları ve başka bir şeyle ilgilenmemeleri Anlamadıkları yeri sorarak dersi derste öğrenmeleri. Matematiği nasıl çalışacaklarını bilmeleri.(diğer derslerle matematiğin ayrıştığı pek çok nokta vardır.) Bol test çözmeleri,(değişik soru tiplerini görmek ve pratik kazanmak amacıyla bu madde çok önemlidir ) Geçmiş bilgileriyle bağlantı kurabilmeleri.(geçmiş yıllarda öğrenilen konulara eğer hakim olunamazsa,şu anki konular tam olarak öğrenilemez,örneğin oran orantı konusunda eksiği olan bir öğrencinin denklem çözümü yapması beklenemez. Azimli olmaları,test çözerken yapamadıkları zaman pes etmeyip üzerine gitmeleri. Yukarıda belirtilen özelliklere bakıldığında sorunun genel olarak çalışma sisteminde yattığı görülmektedir.o zaman matematik korkusunu yenip,matematiği sevilen bir ders haline getirebilmek için,öğretmen-öğrenci-veli diyalogunu geliştirerek bir plan çerçevesinde doğru bir çalışma sistemi oluşturmak gerekmektedir. Yukarıdaki maddeleri baz alarak bir öğrenci olarak yapmanız gerekenleri özetlersek: 1. Mutlaka bir çalışma planınız olmalı ve planlı çalışma alışkanlığını kazanmalısınız. 33

34 2. Her gün yatmadan önce en az yarım saat kitap okumalısınız,bu sizin okuduğunuzu anlama yetinizi geliştirir.ayrıca kişisel gelişim kitapları,hafıza geliştirme kitapları okunursa diğer derslerde de başarınıza katkısı olur. 3. Derste öğretmeni çok iyi dinlemelisiniz,mutlaka düzenli bir defteriniz olmalı,size verilen yardımcı kaynaklar mutlaka yanınızda olmalıdır. 4. Soru sormaktan korkmamalısınız,ders en iyi derste öğrenilir,bir daha anlatıldığı halde anlaşılmadı ise teneffüste öğretmenin yanına giderek tekrar anlatmasını istemelisiniz. 5. Matematikte başarılı olmak için formülleri bilmek yetmez,onun için çalışırken formülleri öğrendikten sonra önceki bilgilerle pekiştirmeniz gerekir,bunun için de bol soru çözmelisiniz. 6. Her gün en az 40 soruluk matematik testi ile 20 soruluk geometri testi çözmelisiniz.bu sayı,çözme hızınıza bağlı olarak 100 matematik 50 geometri sorusuna kadar yükselebilir. 7. Geçmiş yıllardan konu eksiğiniz olmamalıdır.çünkü matematik bir bütündür,bu yılki konuların geçmiş yıllardakilerle mutlaka bir bağlantısı vardır,onun için konu eksiklerinizi tamamlamalı ve ona göre ayrı bir plan yapmalısınız. 8. Eğer konuya tam olarak hakim olduğunuzu düşünüyorsanız, test çözerken sabırlı olmalı, çözemediğiniz soruları bir kenara yazıp daha sonra tekrar bakmalısınız,çünkü bazen o an görülemeyen bir çözüm yöntemi bir süre sonra tekrar bakıldığında hemen göze çarpmaktadır,hala çözemiyorsanız bir kenara atmamalı,öğretmeninize sormalısınız. 34

35 MATEMATİK VE GEOMETRİDE BAŞARI MATEMATİK VE GEOMETRİ ÇALIŞMAK DEMEK, FORMÜLLERİ EZBERLEYİP ÇÖZÜLEN ÖRNEKLERE BAKMAK DEMEK DEĞİLDİR. MATEMATİK VE GEOMETRİ ÇALIŞMAK; BOL BOL SORU ÇÖZMEK DEMEKTİR, HERGÜN EN AZ 40 MATEMATİK, 20 GEOMETRİ SORUSU ÇÖZEN BİR ÖĞRENCİNİN BAŞARISIZ OLMASI HEMEN HEMEN İMKANSIZDIR. N.K. 35

36 HAFIZAYI ZİNDE TUTAN BESİNLER Özellikle domates, havuç ve kırmızıbiberde bulunan antioksidan beynin daha uzun süre sağlıklı kalmasını sağlıyor. Önemli bir B vitamini kaynağı olan tahıllar, kan şekerini dengeliyor. Fasulye, lif ve protein ile bir arada özellikle çocuklarda zekayı açıyor. Balıktaki Omega-3 yağları hem beyni koruyor hem hafızayı güçlendiriyor. Yoğurt içinde bulunan tirozin isimli madde hafızayı güçlendirip, beyni uyarıyor. Bitter çikolata,magnezyum ve antioksidan içeriğiyle beyne oksijen taşıyarak daha aktif çalışmasını sağlıyor. Konsantrasyon için ceviz, fındık, fıstık gibi sinirleri kuvvetlendiren yiyeceklerin yenmesini öneriliyor. Çilek,içeriğindeki fisetin maddesi ile hafıza kaybının etkilerini azaltıp, bunamayı geciktiriyor. Lahana, tiroit bezlerinin aktivitesini yavaşlattığı için daha stressiz öğrenmeyi sağlıyor. 36

37 VI.BÖLÜM (AZ BİLİNEN MATEMATİK FORMÜLLERİ) 37

38 1)ROMA RAKAMLARI VE SAYILARI 2)π SAYISININ VİRGÜLDEN SONRA 200 BASAMAĞI 3) e SAYISININ VİRGÜLDEN SONRA 200 BASAMAĞI 4)KÖKLÜ VE LOGARİTMİK SAYILARIN YAKLAŞIK DEĞERLERİ 38

39 5)ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMI 6)TOPLAM SEMBOLÜ 39

40 7)TRİGONOMETRİ FORMÜLLERİ 8)TRİGONOMETRİ FONKSİYONLARININ ÜSSÜ 40

41 9)ÜÇGENDE MOLLWEİDE VE NEWTON FORMÜLÜ 10)İNTEGRAL FORMÜLLERİ 41

42 11)ALTIN ORAN Mısır daki piramitler, Leonardo da Vinci nin Mona Lisa adlı tablosu, ay çiçeği, salyangoz, çam kozalağı ve parmaklarınız arasındaki ortak özellik nedir? Bu sorunun cevabı, Fibonacci isimli italyan matematikçinin bulduğu bir dizi sayıda gizlidir. Fibonacci sayıları olarak da adlandırılan bu sayıların özelliği, dizideki sayılardan her birinin, kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmasıdır.fibonacci sayılarının ilginç bir özelliği vardır. Dizideki bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Hatta serideki 13. sırada yer alan sayıdan sonra bu sayı sabitlenir.işte bu sayı altın oran olarak adlandırılır. Altın Oran 1, 618 Fibonacci Sayıları: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987 12)ALTIN DİKDÖRTGEN Kenarlarının oranı altın orana eşit olan bir dikdörtgene "altın dikdörtgen" denir. Uzun kenarı 1,618 birim kısa kenarı 1 birim olan bir dikdörtgen altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin kısa kenarının tamamını kenar kabul eden bir kare ve hemen ardından karenin iki köşesi arasında bir çeyrek çember çizelim. Kare çizildikten sonra yanda kalan küçük bir kare ve çeyrek çember çizip bunu asıl dikdörtgenin içinde kalan tüm dikdörtgenler için yapalım. Bunu yaptığınızda karşınıza bir sarmal çıkacaktır. 42

43 13)ALTIN ÜÇGEN Taban açıları 72 derece ve tepe açısı 36 derece olan bir ABC ikizkenar üçgenini ele alalım.ab/bc=altın Oran olduğu için bu üçgene altın üçgen denir.altın üçgende B açısının açıortayı AC kenarını altın oranda kesmektedir.böylelikle ABC üçgeni bu kez tepe açıları 36 derece ve 108 derece olan iki Altın Üçgene bölünmüş olmaktadır. Üstelik bu iki yeni Altın Üçgenin alanları oranı da altın orana eşit olur. 14)MÜKEMMEL SAYILAR Pisagor a göre say sal mükemmellik bir say n n bölenleri ile ilgiliydi. Mesela en önemli ve ender olan sayılar bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılardır. İşte bu sayılara mükemmel sayılar deniyor. 6 sayısı bir mükemmel sayıdır çünkü bölenlerinin toplamı kendisini verir: = 6. Bir sonraki mükemmel sayı 28 dir: =28. Sayma sayıları büyüdükçe mükemmel sayıları bulmak da gittikçe güçleşir. Üçüncü mükemmel sayı 496, dördüncü mükemmel sayı ise 8128 dir. Tabi mükemmel sayıların yetenekleri sadece bölenleri toplamı olmasıyla sınırlı değildir. Örneğin mükemmel sayılar daima birbirini izleyen bir dizi sayma sayısının toplamına eşittir. Bunu aşağıdaki birkaç örnekle açıklayalım: 6 = = = =

44 15)PRATİK ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ 5 ile çarpma: Çarpılacak sayının yarısı alınır ve sağına bir sıfır konulur. Sayı tek ise yarısı virgüllü olacaktır bu durumda virgül bir basamak sağa kaydırılır.. 25 ile çarpma: Sayının dörtte biri ve sağına iki sıfır ilave edilir. Virgüllü sonuç varsa iki virgül kaydırılır. 50 ile çarpma: 5 ile çarpma ile aynıdır. Farkı sayının yarısı alındıktan sonra sonuna iki sıfır eklenir. 15 ile çarpma: Sayının kendisi ve yarısı toplanır sonuna bir sıfır ilave edilir. 11 ile çarpma: Eğer 11 ile çarpacağınız sayı iki basamaklıysa sayının birler ve onlar basamağı toplanır sayının ortasına yazılır.eğer toplam 10 ve daha büyük sayı ise elde onlar basamağına aktarılır. 9 ile çarpma: Sayı 10 ile çarpılır ve kendisi çıkarılır. 5 ile bölme: Sayının iki katı alınır ve bir sıfır eksiltilir. Sayının sonunda sıfır yoksa bir virgül sola kaydırılır. 25 ile bölme: Sayının dört katı alınır ve iki sıfır çıkarılır. 10 ile çarpma: 10 ile çarpılan sayının sonuna bir sıfır ilave edilir. Eğer sayı virgüllüyse virgül sağa doğru kaydırılır. 44

45 VII.BÖLÜM (KAVRAM HARİTALARI) 45

46 Öğrenme veriminin artırılması için beynimizin sağ lobunun daha aktif kullanılması gerektiğini daha önceki bölümlerde gördük. Bütünü görme,şekiller,renkler,görsel ilişkiler,sağ beyinin ilgi alanına girmektedir.öğrenmenin en önemli bölümlerinden biri, yazarak çalışma olduğuna göre,bununla ilgili bir yöntemin sağ beyin bağlamında uygulama alanı bulması gerekmektedir.bu noktada kavram haritası uygulamaları bu amaca yönelik uygun çalışmalardır. Kavram haritası,önce ana temanın ortaya yazılıp,daha sonra dallara ayrılmasıyla,bütünden parçaya gitme çalışmasına güzel bir örnek teşkil etmektedir.şimdi kavram haritası oluştururken nelere dikkat edeceğiz onlara bakalım: Harita oluştururken kendinize göre bir sistematik oluşturmaya çalışın. Ana başlık orta kısma gelecek şekilde,kağıdın sağ alt kısmına ilk konu başlığını yazıp,saat yönünün tersi yönünde diğer konu başlıkları sıralanabilir.böylece şekli oluşturduktan sonra,tekrar aşamasında gözümüzün önüne getirirken nereden başlayacağımızı biliriz. Ana başlıklardan sonra, küçük dallarla ayrıntılara inilmelidir,bu aşamada sağ beynin dikkatini çekmek için bol renkli, simli kalemler kullanılması önerilir. Kağıt yatay biçimde kullanılırsa daha geniş kullanım alanı oluşmaktadır. Kavram haritasının amacına ulaşabilmesi için mutlaka sizin tarafınızdan hazırlanması gerekmektedir.hazır kavram haritaları,öğrenmenin kalıcılığı anlamında çok fazla uygun değildir,ancak size fikir vermesi açısından önemlidir. 46

47 Kavram haritalarını oluşturduktan sonra odanızın duvarına asar ve her sabah kalktığınızda,odadan çıkmadan önce bir göz atarsanız hafızada kalma oranı da katlanarak artacaktır. Bundan sonraki kısımda, YGS ve LYS tüm matematik ve geometri konularının kavram haritaları özet biçimde oluşturulmuştur.bu haritalar,kendi haritalarınızı ayrıntılı biçimde oluşturmanız için rehber rolü oynayacaktır. Küçük bir hatırlatma: BU HARİTALAR BAŞKA YERDE YOK BAŞARILAR... 47

48 2,3,5,7,11,13,17,19,23 En küçük asal sayı 2 dir.2 den başka çift asal sayı yoktur. birden fazla pozitif ortak böleni olmayan en az iki tamsayıya aralarında asal sayılar denir. a ile b,x ile y aralarında asal x:artış miktarı SAYI ÇEŞİTLERİ İki pozitif sayının toplamı pozitif,negatif sayının toplamı negatiftir.aynı işaretli iki sayının çarpımı ya da bölümü +, farklı işaretli iki sayının çarpımı ya da bölümü - dir. Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.negatif sayıların tek kuvvetleri negatif,çift kuvvetleri pozitiftir. en büyük değeri bulunurken p asal ise,aardı ardına p ye bölünüp bölümler toplanır,p asal değil ise bu işlem p nin en büyük asal çarpanı için yapılır ASAL SAYILAR TABAN SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR SAYI KÜMELERİ {0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9} rakamlar sayıları ifade eden sembollerdir. Sayı:Rakamların bir çokluk belirtecek biçimde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelerdir. BASAMAK KAVRAMI + N = { 1,2,3,... } 48

49 Son üç basamağı 000 veya 8 in katı ise 8 ile,rakamlar toplamı 9 un katı ise 9 ile,son basamağı 0 olan sayılar 10 ile 3 ve 4 ile bölün. 12 ile, 4 ve 9 ile bölün. 36 ile, (aralarında asal olan sayıların çarpımı )bölünür. EKOK Bir problemde parçadan bütüne gidiliyorsa Ekok Bütün parçalara ayrılıyorsa Ebob kullanılır. EBOB TAMSAYI PROBLEMLERİ BÖLÜNEBİLME EKOK-EBOB BÖLME BÖLÜNEBİLME Çift sayılar 2 ile tam bölünür.rakamları toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile,son iki basamağı 00 veya 4 ün katı olanlar 4 ile,birler basamağın daki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile,2 ve 3 ile tam bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünür. 49

50 SAYI ARALIKLARI Sayı doğrusu üzerindeki x reel sayısının başlangıç noktasına uzaklığı,x in mutlak değeridir ve x biçiminde gösterilir. MUTLAK DEĞER EŞİTSİZLİKLER BASİT EŞİTSİZLİK MUTLAK DEĞER MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER SIRALAMA 50

51 Tabanları aynı,üsleri farklı iki üslü çokluğunçarpımı, ortak taban üzerinde üsler toplamına eşittir.tabanları farklı üsleri aynı iki üslü çokluğun çarpımı için,tabanlar çarpılır,ortak üs bu çarpıma üs olarak yazılır.tabanları ve üsleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılır. a b a+ b a a a x. x = x, x. y = ( x. y) Bir üslü ifadenin üssü alınırken üsler çarpılır,taban aynen kalır. n m m n mn ( x ) = ( x ) = x m n x ifadesi belirsizdir. DÖRT İŞLEM SIRALAMA ÜSLÜ SAYILAR ÜSSÜN ÜSSÜ NEGATİF ÜS ÜSLÜ DENKLEMLER ÖZELLİKLERİ 51

52 Tanımlı olduğu durumlarda PAYDAYI RASYONEL YAPMA DÖRT İŞLEM SIRALAMA KÖKLÜ SAYILAR TANIM a nın n. dereceden kökü denir. İÇ İÇE KÖKLER ÖZELLİKLERİ iki ardışık sayının çarpımı ise büyüğüne eşit,arada eksi varsa küçüğüne eşittir. 52

53 ,,, KÜMELERDE İŞLEMLER ALT KÜME EVRENSEL KÜME KÜMELER KÜMELERİN GÖSTERİMİ KÜME PROBLEMLERİ TANIM Bir kümenin bütün altkümelerinin kümesine kuvvet kümesi denir. 53

54 mına gelir. A kümesinin her elemanını B kümesinin yalnız bir elemanına eşleyen bir f fonk. FONSİYON TEMEL KAVRAMLAR BAĞINTI KARTEZYEN ÇARPIM BAĞINTI FONKSİYON FONKSİYONLA RDA İŞLEMLER SIRALI İKİLİ FONKSİYON ÇEŞİTLERİ Birebir: Sayısı: arasında belirli bir sıra gözetilerek oluşturulan (x,y) şekilndeki elemana sıralı ikili denir. birim fonksiyon 54 sabit fonk.

55 İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ MOD TEMEL KAVRAMLAR İŞLEM MODÜLER ARİTMETİK İŞLEM TEMEL KAVRAMLAR MOD ÖZELLİKLERİ 55

56 ORANTI ÖZELLİKLERİ ORANTI ÇEŞİTLERİ ORAN ORANTI ORANTI İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. ORTALAMALAR ORAN b ve c ye içler,ave d ye dışlar denir. dördüncü orantılıdır. Aynı birimden olan iki çokluğun karşılaştırılmasına oran denir. a ve b birimleri aynı olan iki çokluk ise, a/b bir orandır. 56

57 İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ I.DERECEDEN DENKLEMLER İKİ BİLİNMEYENLİ DENK.ÇÖZÜMÜ TANIM 57

58 Bir sayının 3 fazlası: x+3 Bir sayının 2 katının 2 eksiği : 2x-2 Bir sayının yarısının 4 fazlası : x/2 +4 Bir sayının 4 fazlasının yarısı : (x+4/)2 Hangi sayının 3 eksiğinin 2 katının 4 fazlası,aynı sayının 3 te birinin 2 fazlasına eşittir: x 2 ( x 3) + 4= kadar birkaç defa okumalı.problemde verilenler matematik diline çevrilmeli,bilinmeyenler belirlenmeli.denklem kurularak çözüm yapılmalı. YAŞ PROBLEMLERİ SAYI PROBLEMLERİ PROBLEMLER PROBLEM ÇÖZÜMÜ Karışım problemlerinin çözümünde, karışımı oluşturan maddelerin, karışım içindeki miktarlarının toplam madde miktarına oranı, yüzde olarak ifade edilir. İŞÇİ HAVUZ PROBLEMLERİ YÜZDE-FAİZ KARIŞIM HIZ PROBLEMLERİ Yüzde problemlerinin çözümünde, bütünü 100 birim ya da 100x birim olarak seçmek, soruların çözümünde kolaylık sağlar. 58

59 Bir önerme daima doğru(1) değeri alıyor ise buna totoloji, 0 değerini alıyorsa çelişki denir. bildiren ifadelere önerme denir. doğru ise 1 veya D yanlış ise 0 veya Y ile gösterilir. BİLEŞİK ÖNERME TOTOLOJİ- ÇELİŞKİ MANTIK ÖNERME KOŞULLU ÖNERME İSPAT 59

60 DÖRT İŞLEM POLİNOM ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR bir polinomda x yerine 1 yazılırsa katsayılar toplamı,0 yazılırsa sabit terim bulunur. POLİNOMLAR KALAN BULMA ASAL POLİNOM HORNER YÖNTEMİ İ Sabit olmayan ve birden fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılamayana polinomlara indirgenemeyen polinom denir.başkatsayısı 1 olan indirgenemeyen polinomlara asal polinom denir. 60

61 GRUPLAMA ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER ORTAK ÇARPAN PARANTEZİ ÖZDEŞLİKLER OKEK-OBEB TERİM EKLEYİP ÇIKARMA = = 61

62 köklü denklemlerde köklü ifadeler bir tarafta toplanır,daha sonra her iki tarafın karesi alınır,bulunan kökler denklemde yazılır. Yüksek dereceden ve üslü denklemlerde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. (DELTA) ÖZEL DENKLEMLER GENEL ÇÖZÜM 2.DERECEDEN DENKLEMLER KÖKLER VE KATSAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR TEMEL KAVRAMLAR KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ KURMA 2 abc,, Rax, + bx+ c= 0 kökler x 1,x 2 ise Ç.K={ x,x 1 2 } olur. Kökleri x 1,x2 olan denklem biçiminde yazılabilir.ya da, a.( x x ).( x x2) 1 = 0 62

63 EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ 2.DER.DENK. KÖKLERİNİN İŞARETİ EŞİTSİZLİK GRAFİĞİ EŞİTSİZLİK VE PARABOL TEPE NOKTASI PARABOLÜN KOLLARI İŞARET TABLOSU GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİ İşaret tablosu için önce kökler bulunur ve tabloya yazılır,en büyük dereceli terimin işareti en sağa yazılır.her kökte işaret değişir,kök çift katlıysa işaret değişmez x eksenini kestiği noktalar belli ise: f ( x) = a.( x x1).( x x2) tepe noktası belli ise 2 f ( x) = a.( x r) + k a>o ise kollar yukarı,a<0 ise kollar aşağı 63

64 n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine n nin r li kombinasyonu denir. n tane elemana sahip bir kümeden seçilen r tane elemanın farklı sıralamalarının her birine n nin r-li bir permütasyonu denir. KOMBİNASYON OLASILIK PERMUTASYON PERMÜTASYON KOMBİNASYON OLASILIK SAYMANIN TEMEL KURALI FAKTÖRİYEL Bir işlem n yoldan yapılabildiği gibi aynı işlem farklı m yoldan da yapılıyorsa,bu işlem n+m yoldan yapılabilir. Birden çok işlemden birincisi a türlü,2.si b türlü yapılabiliyorsa,birin cisi ve 2.si a.b türlü yapılabilir. BİNOM Bir deneyde elde edilebilecek tüm çıktıların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. 64

65 PERİYOT VE ARC FONKSİYONLAR ÜÇGENDE TEOREMLER DİK ÜÇGENDE DAR AÇILAR TRİGONOMETRİ TOPLAM-FARK DÖNÜŞÜM,TERS DÖNÜŞÜM TEMEL KAVRAMLAR TRİGONOMETRİK DENKLEMLER SİN COS 65

66 z = z.(cosα+ i sinα) Arg( z) = α MODÜL z= a bi De Moivre Kuralı z= zcis z n = n φ z cisnφ KUTUPSAL GÖSTERİM KÖKLER KARMAŞIK SAYILAR EŞLENİK TEMEL KAVRAMLAR DÖNDÜRME Z sayısı orjin etrafında ve pozitif yönde α derece döndürülürse yeni oluşacak sayı W=Z. cisα olur. Negatif yönde döndürülürse W=Z.cis(- α) olur. 66 Z=a+bi Re(z)=a İm(z)=b 0 i i i i = = = = 1 i 1 i Bundan sonrakileri mod gibi düşün

67 x ln(e ) =x lne=1 ln1=0 e f(x)=lnx ise f ln x =x 1 ( x ) =e x LOGARİTMA ÖZELLİKLERİ Üstel fonksiyon LN FONKSİYONU LOGARİTMA LOGARİTMA FONKSİYONU GRAFİKLER ÜSTEL FONKSİYON Logaritma fonk.,üstel fonksiyonun x eksenine göre simetriğidir. YAKLAŞIK DEĞER VE BASAMAK SAYISI 1 den büyük bir sayının tam kısmının kaç basamaklı olduğunu bulmak için bu sayının logaritması alınır,çıkan sayının tam kısmına 1 eklenir. 67 a 1 birebir ve örten a>1 için artan, 0<a<1 için azalan.

68 TOPLAM SEMBOLÜ FORMÜLLERİ ÇARPIM SEMBOLÜ VE ÖZELLİKLERİ TOPLAM SEMBOLÜ ÖZELLİKLERİ TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ ÇARPIM SEMBOLÜ FORMÜLLERİ TOPLAM SEMBOLÜ TÜMEVARIM toplanan terimler arasında düzenli bir bağıntı varsa kısaca SIGMA ile gösterilir. P(n),n ye bağlı bir hüküm,eğer; P(1) doğru ise P(n) yi doğru kabul edelim. P(n+1) in doğruluğunu gösterebiliyorsak P(n) tüm pozitif doğal sayılar için doğrudur. 68

69 dizilerde tanım kümesi pozitif doğal sayılardır. ardışık 2 terim arasındaki fark sabit MONOTONLUK DİZİLERDE İŞLEMLER DİZİLER SERİLER SABİT DİZİ SINIRLI DİZİ SABİT DİZİ a n = c SINIRLI DİZİ a, b R a n a b ARİTMETİK DİZİ SERİLER GEOMETRİK DİZİ a ve b arasına p kadar sayı yerleştirilirse ortak fark bir dizi hem aritmetik hem geometrik ise sabit 69

70 AYNI MERTEBEDEN OLMALI = SKALERLE ÇARPIM TÜM ELEMANLAR K İLE ÇARPILIR. MATRİS ÇEŞİTLERİ kare,sıfır,brim,köşegen,skaler matris,üçgen matris,simetrik matris,antisimetrik,dikdörtgen matris 1ATRİSİN SÜTUN SAYISI,2.MATRİSİN SATIR SAYISINA EŞİT TOPLAMA VE SKALERLE ÇARPIM MATRİS DETERMİNANT MATRİS MATRİSİN SATIRLARI,SÜTUN YAPILIR. ÇARPMA VE TRANSPOZ DETERMİNANT EK MATRİS VE TERS MATRİS 70

71 R de tanımlıdır. PARÇALI FONKSİYON EN GENİŞ TANIM KÜMESİ PERİYODİK FONKSİYON f(x) in periyodu T dönüştürülür ya da ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR simetriği alınır,x ekseni MUTLAK DEĞER FONKSİYONU TEK VE ÇİFT FONKSİYON Mutlak değer içini 0 yapan değerler kritik noktalardır.bu noktalarda fonk.kırılma ya da kıvrılma yapar.f(x)in negatif olmadığı yerde f(x) in grafiği f(x) ile aynıdır.f(x) in negatif olduğu yerde f(x) in grafiği f(x) in Ox eksenine göre simetriğidir. GRAFİKLERDE ÖTELEME Çift fonk. grafikleri y eksenine göre,tek fonk.grafikleri orijine göre simetriktir. 71

72 x=a kritik nokta ise,soldan ve sağdan limit incelenir.x=a kritik nokta değil ise lim f(x) = f(a) f in x=a da sürekli olması için =f(a) olmalıdır. f(x)=sinx fonksiyonu x R de süreklidir. ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLA RIN LİMİTİ SÜREKLİLİK BELİRSİZLİK DURUMLARI LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR GRAFİKLERDE LİMİT- SÜREKLİLİK 72

73 mutlak değerin içini 0 yapan değer için türev yok ÖZELLİKLERİ min. maks. ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLA RIN TÜREVİ TÜREVİN UYGULAMALARI GRAFİKLERDE TÜREV TEMEL KAVRAMLAR TÜREV şeklinde gösterilir.bir fonk. TÜREV ALMA KURALLARI türevli ise süreklidir,ama tersi her zaman doğru değildir. Fonk. tanım aralığı bulunur.eğrinin eksenleri kestiği noktalar ve varsa asimptotlar bulunur.türev alınır,kökler i bulnur,gerekirse 2.türev yardımıyla bükeyliğe bakılır.tablo yapılır ve bu tablo yardımıyla grafik çizilir. 73

74 FORMÜLLER BELİRLİ İNTEGRAL TEMEL KAVRAMLAR İNTEGRAL İNTEGRALİN UYGULAMALARI BELİRSİZ İNTEGRAL GRAFİKLERDE İNTEGRAL 74

75 Eş Açılar:Ölçüleri eşit olan açılardır. Tümler Açılar:Ölçüleri toplamı 90 derece olan açılardır. Komşu Tümler Açılar:Her bir açı 45 derece olan iki açıdır. Bütünler Açılar:Ölçüleri toplamı 180 derece olan açılar. Dar Açı: ölçüsü 90 dereceden küçük Dik Açı:ölçüsü 90 derece. Geniş Açı:Ölçüsü 90 dereceden büyük Doğru Açı:ölçüsü 180 derece Tam Açı:Ölçüsü 360 derece. Komşu Açı:Köşeleri ve birer kenarları aynı. PARALEL DOĞRU İLE KESEN AÇILARI KENARLARI PARALEL AÇILAR AÇI ÇEŞİTLERİ AÇILAR GENEL FORMÜLLER AÇI TEMEL KAVRAMLAR birleşimine açı denir. 75

76 AÇILARINA GÖRE ÜÇGENLER GENEL FORMÜLLER ÜÇGENDE AÇILAR TEMEL KAVRAMLAR 76

77 ÜÇGENDE AÇI KENAR BAĞINTILARI 77

78 AÇIORTAY KENARORTAY 78

79 DİK ÜÇGEN Eşkanar üçgende,yüksekliklerin kesim noktası,ağırlık merkezi,iç açıortayların kesim noktası(iç teğet çemberin merkezi) ve de kenar orta dikmelerin kesim noktası(çevrel çemberin merkezi) aynıdır. İKİZKENAR ÜÇGEN ÖZEL ÜÇGENLER EŞKENAR ÜÇGEN 79

80 ALAN ÖZEL TEOREMLER BENZERLİK ALAN ÖZEL TEOREMLER BENZERLİK 80

81 Bir düzgün çokgenin kenar sayısı tek ise,bir köşeden karşı kenara çizilen dikme,hem açıortay hem de kenarortay olur. DIŞBÜKEY ÇOKGEN Bir köşesinden n-3 tane köşegen çizilir.bir köşesinden çizilen köşegenler n-2 üçgensel bölge oluşturur.iç açılarının toplamı (n-2).180 dir.bir köşesine ait iç açıyla dış açının toplamı 180 derecedir.dış açılarının toplamı 360 derecedir.toplam köşegen sayısı n.(n-3)/2 dir.çizilebilmesi için en az 2n-3 elemanın bilinmesi gerekir.bunlardan en az (n-2) tanesi uzunluk olmalıdır.simetri eksenlerinin sayısı n dir.n>4 olmak üzere n köşeli yıldızıl çokgenin köşegenlerindeki açılar toplamı (n-4).180 dir. DÜZGÜN ÇOKGEN VE DÖRTGENLER ÇOKGENLER TEMEL KAVRAMLAR 81

82 KARE EŞKENAR DÖRTGEN DİKDÖRTGEN ÖZEL DÖRTGENLER DELTOİD PARALEL KENAR YAMUK 82

83 Bir kirişin orta dikmesi merkezden geçer. ÇEMBERDE UZUNLUK ÇEMBER VE DAİRE Paralel olmayan iki kirişin orta dikmelerinin kesim noktası çemberin merkezinden geçer.bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları birbirine eşittir. DAİRE ÇEMBERDE AÇI 83

84 SİMETRİ GENEL FORMÜLLER DOĞRUNUN ANALİTİĞİ DOĞRU DENKLEMİ NOKTANIN ANALİTİĞİ kesişir doğrular 84

85 TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ GENEL FORMÜLLER ÇEMBERİN ANALİTİĞİ ÇEMBER DENKLEMİ ÇEMBERE GÖRE KUVVET mez. 85

86 İÇ ÇARPIM İZDÜŞÜM VEKTÖRÜ VEKTÖRLER PARALEL DİK BİRİM VEKTÖR TOPLAMA ÇIKARMA VE SAKALERLE ÇARPIM vektörün normu(boyu,uzunluğu) 86