Mursel Tasgin and Haluk O. Bingol

Transkript

1 Karmaşık Ağlarda Dedikodu Mursel Tasgin and Haluk O. Bingol Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bogazici Üniversitesi Bu çalışmada dedikonunun ağırlıklı ağlarda yayılımı incelenmiştir. Yeni bir metrik tanımlanmıştır. Bu metrik sayesinde değişik dinamiklerden dolayı oluşan ağların farklı sınıflandırıldığı görülmüştür. Bunun ötesinde insan etkileşimleri nedeniyle oluşan ağların bu metriğe göre önemli farklar gösterdiği bulunmuştur. I. GIRIŞ Dedikodu belkide insanlar arasındaki en eski bilgi paylaşım yollarından biridir. Bir çok kavramda olduğu gibi Yunan mitolojisinde Feme adıyla çok dili olan bir karakter yer alır. Bu karakter dedikoduyu başlatır yada dağıtımını sağlar. Dedikodu bir çok disiplin tarafından incelenmiştir. Bunlar arasında davranış bilmi, antropoloji, psikoloji, sosyoloji, ve karmaşık ağlar [ 8]. Araştırmalar toplumda dedukodunun işlevini anlamaya çalışmaktadır. Dekidokunun bir çok tanımı vardır []. Söylentiden [9] farklı olarak, dedikodu daha kişiseldir []. Dedukoduda dedikodu yapanlar dedikodu yapılanı kişisel olarak tanırlar []. Olumlu ve olumsuz dedikodu çeşitlerinden söz edebiliriz. [2 4]. Bunların bireyler ve topluluk üzerinde pozitif ve negatif etkileri vardır [2, 2]. Resmi olmamae gizli olmak dedikodunun yayılmasındaki önemli unsurlardandır [9]. Dedikodu, hakkında dedikodu yapılan kurban kişi tarafından genellikle negatif olarak algılanır [, 2]. Kurban dedikoduyu önlemek için çalışır [6 9]. Aslında sadece kurban değil, kurbanın yakın çavresi de dedikoduyu önlemeye çalışır [5, 2, 3]. Diğer taraftan dedikodu sosyal normlara uyulmasını sağlamak açısından da yararlıdır []. Dedikodu zayıf olan ilişkilerin daha da zayıflamasını sağlar [2]. Kurban başkalarının kendisinin özeli ile ilgili konuşmasından rahatsız olur [2]. Dedikodu yapan da aslında çok hoş karşılanmaz [,, 5]. Bu nedenle çok yakınındakiler ile ilgili dedikodu yapmak çok tercih edilmez [2, 5, 2 4]. Dedikodu genelde sosyal bilimlerin konusu olarak kabul edilir ama bilgisayar mühendisliği gibi disiplinler de başka açılardan dedikodu ile ilgilenir. Örneğin bilgisayar ağlarında dedikoduyu model olarak kabul eden bir protokol vardır [8]. Son dönemde dedikodu üzerine yeni çalışmalar yapılmıştır. Bunlardan biri de karmaşık ağlar açısından dedikodunun yayılımının incelenmesidir [6, 7]. [6]de kurbanın hemen birinci komşuları arasında dedikodunun yayılımı incelenmiştir. Bu modelde dedikodunun kişisel olduğu, kurbanı bilen kişiler arasında yayıldığı varsayılmıştır. Bu model gerçek hayattan elde edilen karmaşık ağlarda incelendiğinde, dedikodu yayılımının derece ile ilişkisi olduğu gözlenmiştir. Eğer kurbanın arkadaş sayısı, yani derecesi, belli bir k ise dedikodu dağılımı en aza inmektedir. Bu kritik değerin altında veya üstünde dereceli kurbanlarda dedikodu yayılımı artmaktadır [6]. Benzer gözlemler Barabasi-Albert modeli ile oluşturulan karmaşık ağlarda da gözlenmiştir. Bu model ağırlıklı ağlara genişletilmiştir [2]. makale, [2] nin bir özeti olarak hazırlanmıştır. II. DEDIKODU YAYILIMI Tanım. G(V, E) bir ağ olsun. Burada V ve E sırasılya düğüm ve kenar kümeleridir. N = V ve M = E. i düğümünün komşularını, yani i ye doğrudan bağlı düşümlerin kümesini, N (i) ile gösterelim. i düğümünün derecesi k i = N (i) olur. Dedikodunun kurbanını v ile gösterelim. Dedikoduyu başlatanı r ile, dedikoduyu öğrenip, bir başkasına aktaranı s ile gösterelim. Aktarıcı dedikoduyu sadece kurbanı bilen hedeflere aktarabilir. Bu nedenle hedef, hem kurbanı, hem de aktaranı bilen biridir. Hedefi t ile gösterelim. Hedef dedikoduyu öğrendikten sonra bu sefer kendisi dağıtıcı haline gelir ve dedikodunun yayılmasına katkıda bulunur. Gözlemler. Dikkat edilirse kurban-dağıtıcı-hedef üçlüsünün bir üçgen kurduğu görülür. Bu nedenle ağdaki üçgenlerin yapısının ağ üzerindeki dedikodu dağılımına büyük bir etkisi vardır. Önce uc örneklerdenbaşlayalım. Eğer ağdaki her düğüm ikilisi birbirine bağlı ise N (v) kümesindeki bütün düğümler hem birbirlerine, hem de kurbanı bağlıdır. Dolayısıyla herhangi iki düğüm ve kurban dedikodunun yayılacağı bir üçgen oluşturur. Yani her v için, N (v) içindeki bütün düğümler dedikoduyu öğrenir. Bu cins ağlarda dedikodu labilecek en geniş şekilde yayılır. Buna karşın yıldız şeklinde bağlanmış bir ağda merkezdeki düğüm diğer bütün düğümlere bağlıdır ama diğer düğümler sadece merkeze bağlıdır. Bu şekilde baülı bir ağda hiç üçgen yoktur. Yani dedikodu hiş yayılmaz. Bu uc örneklerden sonra daha genel ağlara bakalım. Verilen ağda dedikodu yayılımı kurban ve başlatanın konumlarına göre değişiklik gösterir. Örneğin Şekil daki v düğümü kurban olsun. Eğer f başlatan ise hiçi bir dedikodu yayılımı olmaz. Başlatanın g olması durumunda sadece h dedikoduyu öğrenir. Eğer başlatan {a, b, c, d, e} kümesinden bir düğüm olursa bu kümedeki diğer düğümler de eninde sonunda dedikoduyu öğrenirler. Bu

2 2 FIG. : Dedikodu yayılımı için örnek bir ağ. Ağırlıksız ağlar için σ va = σ vb = σ ve = 5/8, σ vf = /8, σ vg = 2/8 ve σ v = 3/64 olur. Ağırlıklı ağlar için w vb = 2 dışında bütün ağıtlıkları w ij = kabul edersek, β vf = β vb = /8, β va = β vg = 2/8, β vd = β ve = 3/8 ve β v = 6/64 olur. Başlatan b olsun. a, c, d hemen bden öğrenirler. d öğrendikten sonra, e de öğrenir. Özetlersek (i) Dedikodu yayılımı için bir üçgen gerekir. (ii) Birer kenarı ortak üçgenler zinciri ile dedikodu daha ileriye taşınır. σ-ölçütleri. Verilen bir ağda dedikodunun ne kadar yayılacağı ve ne kadar hızla yayılacağı kimin kurban, kimin başlatan olduğuna bağlıdır [6]. r nin v hakkında başlattığı dedikodunun yayılımı bittiğinde dedikoduyu öğrenen kurbanın arkadaşları N r (v) N (v) olsun. τ vr ile gösterilen yayılma zamanı, N r (v) ile r arasındaki en büyük uzaklıktır. Yayılma oranı σ vr ise, v nın dedikoduyu öğrenen arkadaşlarını oranıdır. Yani, σ vr = N r (v) N (v) = n vr. Burada n vr = N r (v) dir. Bunlara bakarak aşağıdaki ortalamalar tanımlanır [6] σ v = σ = N r N (v) σ vr, () σ v. (2) v V Dedikodu dağılımının en aza indiği k ı görebilmek içinaynı dereceli düğümlere bakmak gerekir: σ ki = V ki v V ki σ v. Burada V ki derecesi k i olan düğümler kümesidir. Dikkat edilirse n vr olduğundan, σ vr, σ v, σ [, ] kuralı vardır. III. MODEL Temel model olarak, [6] de verilen ve ağırlıklı ağlarda tanımlı model alınır. Bu modelde bir düğüm dedikoduyu öğrenirse, durdurma hakkı yoktur; yaymak zorundadır. Bu durumda yayılım sadece ağın bağlantı yapısına bağlıdır. Bu modele yayıp yaymama kararının bir olasılığa bağlı hali eklenerek [7]deki model genişletilmesi yapımıştır. Bizim çalışmamızda yayma mecburiyeti yoktur. Yayıp yaymama kararı bazı parametrelere bağlanmıştır. Bu parametreler ile gerçek hayata daha yakın bir model elde edilmeye çalışılmıştır. Yayma veya yaymama kararı, kurbanın dağıtıcıya yakınlığından etkilenir [2, 5, 3]. Eğer kurban, dağıtıcının yakın arkadaşı ise, dağıtıcı dağımamayı tercih eder. Bu şekli ile [6] deki model bir kaç açıdan gliştirilmiş olur. (i) Kurban-dağıtıcı yakınlığı ağdaki kenarlar üzerine verilen ağırlıklar ile modellenir. İki düğüm arasındaki arkadaşlık arttıkça, bunları bağlayan kenarın ağırlığı artar. Böylece model ağırlıklı ağlara genişletilmiş olur. (ii) Bu arkadaşlık bağına bağlı olarak dağıtıcı dağıtıp, dağıtmamaya karar verir. Dağıtıp, dağıtmama kararı için yakın arkadaş kriteri gerekir. Bunu da bütün arkadaşların arkadaşlıklarının ortalamasından daha iyi arkadaş olarak tanımlanır. Dağıtıcı s in arkadaşlıklarının ortalaması w s = k s l N (s) w sl olarak tanımlanır. Böylece eğer w sv > w s ise v, s in iyi arkadaşı olur. Bu durumda s, v hakkındaki dedikoduyu öğrense de dağıtmaz. Dikkat edilirse v hakkındaki dedikodu hem s nin - komşuluğu hem de ikisinin arkadaşlığı w sv ye bağlı olur. β-ölçütleri. Dedikodu yayılımını ağırlıklı ağlarda modellemek için σ-ölçütlerini aşağıdaki şekilde β- ölçütlerine genişletmek gerekir. β vr = m vr, (3) β v = β vr, (4) β = N r N (v) β v. (5) v V Burada m vr, r tarafından başlatılan dedikoduyu v nin arkadaşları içinde kaç tanesinin öğrendiğidir. Bir ağırlıklı ağ verilsin. Buna karşılık gelen ağırlıklız bir ağ vardır. Her ikisinde de iki modeli uygularsak herhangi bir v için bir r tarafından başlatılmış dedikodu ağırlıksız ağda daha geniş bir düğüm tarafından bilinir olacaktır. Bunun nedeni N (v) içindeki bazı düğümlerin yakın arkadaşlık nedeniyl yayılmayı durdurmasıdır. Dolayısıyla, bütün kurban-başlatan ikilisi için m vr n vr genel kuralı vardır. Dolayısıyla β vr, β v, β [, ] olur. Derecesi k i olan düğümlerin kümesi V ki için β ki = V ki v V ki β v

3 3 m 4 i j 3 2 FIG. 2: Dedikodu simetrik değildir. TABLE I: Şekil 2 için dağıtıcı-hedef-kurban üçlüsüne göre dağıtıcı-hedef kenarının davranışı. k s t v w s w sv etkin (s, t) k i j 8 2 k j i 8 j i k 25 2 j k i 25 3 i j k 34 i k j 34 3 olur. Etkin Ağ. Dedikodu yayılımı değişik kurban-yayıcı ikilileri için farklı yollar kullanır. Dikkat edilirse V V üzerinde tanımladığımız yakın arkadaş bağıntısı simetrik değildir. i arkadaşları ile genellikle kuvvetli bağlar yapsın. Buna karşın k, tam tersine, zayıf bağlar yapsın. Yani w i büyük, w k küçük olsun. w ik nin değeri de w k < w ik < w i şeklinde olsun. Bu durumda i, k hakkındaki dedikoduyu yayar. Buna karşın, k, i hakkındaki dedikoduyu yaymaz. Bir kenarın dedikodu yayılımına katkısı oldukça karmaşıktır. Bir ağın bir kısmı Şekil 2 de verilmiştir. Burada i, j ve k düğümlerine ve onların komşularına bakalım. i, j ve k nin ortalama arkadaşlıkları, sırasıyla, w i = 24/6 = 34, w j = 25/5 = 25 ve w k = 32/4 = 8 dir. Bütün dağıtıcı-hedef-kurban üçlüleri Tablo I da listelenmiştir. Dedikodunun dağıtıcıdan hedefe ulaşması dağıtıcı-hedef-kurban üçlüsüne bağlıdır. Örneğin i kurban olsun ve (j, k) kenarına bakalım. Eğer j dağıtıcı olsa, (j, k) kullanılarak k ya iletilir. Ama k dağıtıcı olsaydı, aynı kenar dağıtım için kullanılamayacaktı. Tablo I daki etkin (s, t) sütünu bu durumu gösterir. Bu sütündaki kenarın kullanılabileceğini, kullanılamayacağını gösterir. Bir adım daha ileri gidersek, m düğümü hem j, hem de k ya bağlı olsun. Kurbanın i, ya da m olduğuna göre (j, k) etkin olur veya olmaz. Görüldüğü gibi kimin kurban, kimin dağıtıcı olduğuna göre aşağıdaki ağ farklı şekillerde davranır. Dedikodu yayılımı samki farklı farklı ağlarda yayılıyormuş gibi olur. IV. VERI KÜMELERI Her ne kadar önerilen model yönlü ağırlıklı ağlar için de geçerli olsa, yönsüz ağırlıklı ağlara bakacağız. Dedikosu ana konu olduğuna göre insan ilişkilerinden kaynaklanan gerçek ağlara odaklanmak doğru olacaktır. Bu cins ağlar beraber görünme ve sosyal örüntü olmak üzere iki ana sınıftan oluşurlar. Bu ağları karşılaştırmak için insan etkileşimlerinden oluşmayan ağlar kullanılmıştır. Ayrıca klasik ağ oluşturma modelleri ile oluşturulmuş yapay ağlarda kullanılmıştır. Beraber görünme ağları. Beraber görünme ağları aslında ikili ağlar üzerine kurulur. Bir ikili ağda, G(A B, E), düğümler A ve B olmak üzere iki ayrık kümeye ayrılırlar. Ağdaki bütün kenarlar A daki bir düğümü B deki bir başka düğüme bağlar. Bu ağdan beraber görünme ağı oluşturulur. v i, v j A düğümleri bir birlerine bağlı olması için G de hem v i, hem de v j nin bağlı olduğu bir b B olması gerekir. Reuters-2578 topluluğu Bilgisayar Bilimlerinde iyi bilinen bir metin topluluğudur. Reuters haber ajansının 987 yılında yayınladığı siyaset ve ekonomi alanındaki 2,578 haber metininden oluşur. Bu haberler kümesi kullanılarak, C-REU ile göstereceğimiz, bir beraber görünme ağı oluşturulmuştur [2, 22]. Bu ağda iki kişi birbirine bağlı olması için aynı haberde adlarının geçmesi gerekir. n adın geçtiği bir makaleden dolayı adı geçen her ikili için aradaki kenar puan alır. Bağlanıtın ağırlığı bu şekilde hesaplanır. Bilimsel makalelerden de beraber görünme ağı oluşturulur. Düğümlerde makalelerin yazarları yer alır. Aynı makalede yazar olan iki kişi bir kenar ile bağlanır. Kenarın ayırlığı /(n ) olarak eklenir. Burada n makaledeki yazar sayısıdır. Newman bir dizi makalesinde Yüksek Enerji Fiziği, Yoğun Madde Fiziği, Astrofizie Ağ Bilimleri konularında çalışanların maakalelerini incelmiştir [23, 24]. Bu ağlar sırasıyla C-PHE, C-PCM, C-PA ve C-NS olarak gösterilmiştir. Son beraber görünme ağı bir romandan gelir [25]. Bu sefer düğümler Victor Hugo nun Sefiller romanındaki karakterlerdir. İki karakter birbirine bağlı olması için ikisinin de aynı anda sahnede yer alması gerekir. Kenarın ağırlığı iki karakterin sahnede beraber yer alma sayısıdır. Sosyal örüntü ağlar. Sosyal örüntü projesi ( insanların günlük etkileşimlerini kaydetmek üzere tasarlanmıştır. Burada düğümler insanları gösterir. Sosyal ortamda iki kişi yüz yüze geldiklerinde etkileştikleri, örneğin konuştukları, düşünülerek birbirlerine bir kenar ile bağlanır. Kenarın ağırlığı da karşılıklı durma süreleri ile orantılı olarak belirlenir. Karşılıklı geçirlen her 2 saniye için ağırlığa bir puan eklenir.

4 4 Sosyal örüntü çalışmasında insanların etkileşmeleri okul, bilimsel konferans, müze gibi ortamlarda toplanmıştır. Müzedeki veriler değişik günlerde toplanmıştır. Bu verileri S-M428, S-M53, S-M64, ve S-M77 olarak gösterelim [26]. Benzer şekilde konferans verilerini S-CON [26], okuldaki iki günü S-CH ve S-CH2 olarak gösterelim [27]. Farklı Ağlar. İnsanlardan kaynaklanan ağlar ile başka dinamiklerden kaynaklanan ağları karşılaştırmak gerekir. Bu amaçla dilbilim, sinirbilim ve hava taşımacılığı gibi çok farklı alanlardan ağlar seçilmiştir. Bu ağlar seçilirken ağ büyüklükleri elimizdeki insna kaynaklı ağların büyüklüklerine yakın ağlar seçilmiştir. İlk ağ dilbilimden Edinburgh veri kümesidir [28]. Burada kelimeler düğümler ile gösterilir. Deneklere bir kelime verip aklına ilk gelen kelimeyi söylemeleri istenmiştir. İki kelimenin birbirine bağlı olması için bir deneğin biri verildiğinde diğerini söylemesi beklenir. Kenarın ağırlığı olarak da çok denekli deneyde iki kelimenin bağlanma frekansı kullanılmıştır. Bu veri kümesini M- EAT ile gösterelim. İkinci ağ, M-USAIR, A.B.D.deki 22 yılındaki en yoğun 5 havaalanının birbiri ile uçak bağlantılarını gösterir [29]. Havaalanları düğümler, iki havaalanı aradında dogrudan uçuz varsa bir kenar ile gösterilir. Kenarın ağırlığı da aralarındaki uçuşlardaki koltuk sayılarıdır. Son olarak bir solucan olan C. Elegans ın sinir sistemi alınmıştır [3, 3]. Burada da neronlar düğümler ile gösterilir. Bir neron diğerine bağlı ise iki düğüm arasında kenar konur. Kenar ağırlığı da iki neron arasında kaç tana sinaps olduğudur. Bunu da M-NCE ile gösterelim. Yapay Ağlar. En son olarak da klasik ağ yapma modelleri ile üretilmiş ağlar dikkate alınmıştır. Bu modeller Erdos-Renyi, Barabasi-Albert ve Watts-Strogatz are modelleridir [3 33]. Bu modeller ağırlıksız ağlar üretir. Ağırlık için bir olasılık dağılımından yararlanılmıştır [2]. V. TARTIŞMA Modelimiz ağırlıklı ağlar üzerine kurulmuştur. Modelimiz ile ağırlıksız ağlardaki orjinal model [6] karşılaştırması Tablo II da verilmiştir. Bu tabloda veri kümeleri birlikte görünme, sosyal etkileşim, diğer ve yapay ağlar olarak dört cins ağ için gruplanmıştır. Tablo II da ilk iki sütün ağı gösterir. Üç ve dördüncü sütünlarda, N and M, ağın büyüklüğü vardır. Diğer sütünlarda ağ ile ilgili hesapladığımız parametreler yer alır (a)c-pcm (b)c-reu. β /σ 2 (c)s-con FIG. 3: (Renkli) Derece k nın fonksiyonu olarak dedikodu yayılma oranları σ k and β k. beklenen bir durumdur. Bu durum Şekil 3 da görünür. Orjinal modelin bir beklenmedik bulgusu bazı derecelerde dedikodu yayılımının azaldığıdır [6]. Bu ilginç bulgu Şekil 3 da incelediğimiz ağlarda hem ağırlıksız, hem de ağırlıklı modeller için de bir iki özel durum dışında görülür. A. Dedikodunun en asa indiği derece Ağırlıklı modelde dedikodunun yayılması yakın arkadaşlık nedeniyle bazı duurmlarda durdurulur. Bu nedenle orjinal modele oranla daha az yayılım olması B. İnsan kaynaklı ağların diğerlerinden ayrılması Bazı ağlarda hızlı ve geniş yayılım gözlendiği halde, bazılarında bu kadar büyük yayılım gözlenmez. Bunun ağın cinsi ile bağlantılı olup, olmayacağı da önemli bir

5 5 TABLE II: Ağ Parametreleri (N: düğüm sayısı, M: kenar sayısı, k : kritik derece, k w : ağırlıklı ağlardaki kritik derece, : öbeklenme katsayısı, σ: yayılma oranı, ağırlıksız ağlarda, β: yayılma oranı, ağırlıklı ağlarda.) Cins Veri Kümesi N M k k w k w k σ β σ β β σ β σ Referans Birlikte görünme C-NS,589 2, [24] Birlikte görünme C-PHE 8,36 5, [23] Birlikte görünme C-PA 6,76 2, [23] Birlikte görünme C-PCM 4,42 75, [23] Birlikte görünme C-LM [25] Birlikte görünme C-REU 5,249 7, [2] Sosyal örüntü S-CON 3 2,96 NA 3 NA [26] Sosyal örüntü S-M [26] Sosyal örüntü S-M [26] Sosyal örüntü S-M53 39, [26] Sosyal örüntü S-M , [26] Sosyal örüntü S-CH 236 5, [27] Sosyal örüntü S-CH , [27] Diğer M-EAT 23,29 34, [28] Diğer M-NCE 297 2, [3] Diğer M-USAIR [29] Yapay G-ER,, [32] Yapay G-BA,, [33] Yapay G-WS,, [3] sorudur. Sosyal dinamiklerden kaynaklanan ağlarda dedikodunun yayılımının yüksek olduğu gözlenmiştir. Dedikodunun yayılabilmesi için birbirine bağlı üçgenler olması gerekir. Bunun bir açıklaması insan kaynaklı ağlarda bu oranın yüksek olduğu düşünülmektedir. Tablo II ncelenen ağların big çok parametresini gösterir. Bu parametreler arasında öbeklenme katsayısı birlikte görünme ağlarında aralığında, sosyal örüntü ağlarında ise biraz daha aşağıda aralığındadır. σ/ oranı da dedikodu açısından bir etmen olabilir. Birlikte görünme ağlarında biraz daha küçük değerler görünür. β/ oranı dedikodu yayılımı açısından daha iyi bir ayırıcı faktör olabilir. Birlikte görünme ağlarında in biraz altında, sosyal örüntü ağlarında in biraz üstünde değerler alır. Karşılaştırma olarak incelenen diğer ağlarda bu iki oran çok daha yukarıdadır. C. Derece ile değişim Ağlarının ortalama parametrelerine baktıktan sonra bu parametrelerin derece ile değişimine de bakabiliriz. Şekil 4 de bu değişimin ayrıntıları görülür. β kv /σ kv ve β kv /(σ kv kv ) oranları nin fonksiyonu olaraerilmiştir. Şekil 4 da öbeklenme katsayısı kv derece artıkça azalır. Buna karşın, Şekil 3 da olduğu gibi, β/σ oranı önce azalır. Bir en aza indikten sonra tekrar artmaya başlar. D. Dedikoduyu önleme stratejileri Bazı ağ yapıları dedikoduyu önleme açısındna üstünlükler gösterir. Yıldız bağlantısında olduğu gibi eğer üçgenler tamamlanmazsa dedikodu olmaz. Ağırlıklı ağlar modelinde bir düğümün komşuları tarafından nasıl algılandığı önem kazanır. Gerçek yaşamdan örnekler düşünebiliriz. İki kişinin de çok yakın arkadaşı olduğunuzu düşünün. Bu durumda onlar sizin için dedikodu yapmayacaklardır. Eğer onlar birbirlerine yakınlaşırlarsa aralarındaki bağ sizinle yaptıkları bağdan daha kuvvetli olabilir. Bu yakınlaşma artmaya devam ederse, bir noktadan sonra sizin hakkınızda dedikodu yapmaya başlarlar. Modelimize göre sizin hakkınızda dedikodu yapılmasını önlemek için bazı stratejiler geliştirmek olasıdır: (i) İlk iş üçgen oluşumunu engellemektir. (ii) Birbirleri ile bağlantılı üçgenleri de engellemek işe yarar. Bunu yapmak için arkadaşlarınızı farklı, bir birleri ile ortak noktaları olmayan gruplardan seçmeniz gerekir. Böylece bir grup içinde dedikodu yayılsa bile, o grup içinde kalacak, bir başka gruba sıçramayacaktır. Bu iki strateji aslında ağırlıksız ağlarda da geçerlidir.

6 σ / β β / (σ ) (a)c-pcm (a)g-er σ / β β / (σ ) (b)c-reu (b)g-ba σ / β β / (σ ). β /σ 2 2 (c)s-con (c)g-ws β /σ FIG. 4: (Renkli) Kurbanın derecesi k ya göre β k σ k (içeride) oranları. ve β k σ k k FIG. 5: σ kv and β kv values for generated networks. The values are the averages of 5 realizations. (iii) Ağırlıklı ağlarda ağırlıkların kontrol edilmesi devreye girer. Komşuların sizin ile iyi arkadaş, kendi aralarında o kadar iyi arkadaş olmamalarını sağlamaya çalışmak dedikoduyu azaltır. Unutulmaması gereken dedikodu yayılımı açısından sizin ne düşündüğünüz değil, arkadaşlarınızın ne düşündüğüdür. E. Yapay ağlar Bu noktaya kadar gerçek dünyada gözlemlenilmiş ağları ele aldık. Karmalık ağlar dünyasında artık klasik hale gelmiş yapay ağ modelleri ve bunların ürettiği ağlar da önemlidir. Bu modeller Erdos-Renyi (ER), Barabasi- Albert (BA), ve Watts-Strogatz (WS) dir [3 33]. Bu şekilde üretilen ağlar ağırlıksızdır. Bunları ağırlıklı hal egetirmek için ortalaması, standart sampması olan bir Normal dağılımdan elde edilen ağırlıklar kenarlara konur. Önce düğümlere bu dağılımdan birer ağırlıerilir. i düğümünün ağırlığı w i olsun. Sonra i ve j düğümlerini birbirine bağlayan kenarın ağırlığı ortalama ile, yani w ij =.5(w i + w j ) olarak hesaplanır. Burada hem üretim modeli, hem de ağırlıklandırma bir dizi olasılık sonucudur. Bu nedenle aynı parametreler ile 5 ağ üretilip, bunların sonuçlarının ortalamaları kul-

7 7 lanılmıştır. Bu şekilde bulunan sonuçlar Tablo II ve Şekil 5 de verilmiştir. Watts-Strogatz (WS) ın Küçük Dünyalar modeline göre üretilen ağları G-WS ile gösterelim [3]. Burada kullanılan parametreler N =,, M =,, k = 2, ve tekrar bağlanma olasılığı p =. olaraerilmiştir. Derece dağılımının kuvvetsel olduğu Barabasi-Albert (BA) nın Skaladan Bağımsız olarak da adlandırılan ağlarını da G-BA ile gösterelim [33]. Buradaki parametreler N =, ve başlangıç çekirdek büyüklüğü m = 4 olaraerilir. Son olarak en eski model olan Erdos-Renyi nin rastgele çizgeler modeli ele alınmıştır [32]. Bu ağları da G-ER ile gösterelim. Burada da N =, ve p =.2 parametreleri kullanılmıştır. VI. SONUÇLAR Bu makalede daha önce ağırlıksız ağlarda incelenmiş olan dedikodu dağılımı ağırlıklı ağlara genişletilmiştir. Bu Türkçe makale, daha önce yayınlanmış bir çalışmanın özeti şeklindedir. Gerçek dünyadan elde edilen ağlara bakıldığında insan dinamiklerinden elde edilen ağlar ile, başka dinamiklerden oluşan ağlar arasında önemli farklılıklar gözlenmiştir. Hatta incelenen insan kökenli ağlar arasında da birlikte görünme ile sosyal etkileşmeler nedeniyle oluşanlar arasında da farklar gözlenmiştir. Bu bulgulara dayanarak dedikodu önlenmesi için bazı stratejiler geliştirilmiştir. Bu açıdan arkadaşların sizin için ne düşündükleri önemlidir. Arkadaşların birbirleri ile bağlantısı olmayan gruplardan seçilmesi tavsiy eedilir. Teşekkürler. Bu çalışma, Boğazici Üniversitesi Araştırma Fonu BAP-28-8A5, DPT kaynaklı TAM Projesi, 27K26, ve COST aksiyonu MP8 tarafından kısmen desteklenmiştir. Yazarlar birlikte görünme verilerini paylaştığı için M.E.J. Newman a teşekkür eder. [] D. Gilmore, Ethnology 7, 89 (978). [2] A. K. Shaw, M. Tsvetkova, and R. Daneshvar, Complexity 6, 39 (2). [3] R. Dunbar, New Scientist 2, 28 (992). [4] R. Dunbar, Grooming, gossip and the evolution of language (Faber & Faber, London, 996). [5] J. R. Bergmann, Discreet indiscretions: The social organization of gossip (Aldine de Gruyter, New York, New York, USA, 993). [6] V. J. Derlega and A. L. Chaikin, Journal of Social Issues pp. 2 5 (977). [7] J. B. Haviland, Journal of Communication 27, 86 (977). [8] J. F. Szwed, Ethnology 5, 434 (966). [9] U. Hannerz, Ethnos:Journal of Anthropology 32, 35 (967). [] M. Feinberg, R. Willer, J. Stellar, and D. Keltner, Journal of personality and social psychology (22). [] F. Guala, The Behavioral and brain sciences 35, (22). [2] E. K. Foster, Review of General Psychology 8, 78 (24). [3] S. Yerkovich, Journal of Communication 27, 92 (977). [4] M. Gluckman, Current Anthropology 4, 37 (963). [5] M. M. Turner, M. a. Mazur, N. Wendel, and R. Winslow, Communication Monographs 7, 29 (23). [6] P. Lind, L. Da Silva, J. Andrade, and H. Herrmann, EPL (Europhysics Letters) 78, 685 (27), [7] P. Lind, L. da Silva, J. Andrade, and H. Herrmann, Physical Review E 76, (27), ISSN [8] A. Demers, D. Greene, C. Hauser, W. Irish, J. Larson, S. Shenker, H. Sturgis, D. Swinehart, and D. Terry, in Proceedings of the sixth annual ACM Symposium on Principles of distributed computing (ACM, 987), pp. 2, ISBN X. [9] M. Nekovee, Y. Moreno, G. Bianconi, and M. Marsili, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 374, 457 (27), ISSN [2] M. Tasgin and H. O. Bingol, Advances in Complex Systems 5, 256 (22), ISSN , URL S html. [2] A. Ozgur and H. Bingol, Computer and Information Sciences-ISCIS 24 pp (24). [22] A. Ozgur, B. Cetin, and H. Bingol, International Journal of Modern Physics C 9, 689 (28), ISSN [23] M. E. J. Newman, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 98, 44 (2), ISSN [24] M. Newman, Physical Review E 74, 22 (26), ISSN , [25] D. Knuth, The Stanford GraphBase: A Platform for Combinatorial Computing (ACM Press, 993). [26] L. Isella, J. Stehlé, A. Barrat, C. Cattuto, J.-F. Pinton, and W. Van den Broeck, Journal of theoretical biology 27, 66 (2), ISSN [27] J. Stehlé, N. Voirin, A. Barrat, C. Cattuto, L. Isella, J.- F. Pinton, M. Quaggiotto, W. Van den Broeck, C. Régis, B. Lina, et al., PloS one 6, e2376 (2), ISSN [28] G. Kiss, C. Armstrong, R. Milroy, and J. Piper, in The Computer and Literary Studies, edited by A. Aitken, R. Bailey, and N. Hamilton-Smith (Edinburgh University Press., 973). [29] V. Colizza, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani, Nature Physics 3, 276 (27). [3] J. G. White, E. Southgate, J. N. Thomson, and S. Brenner, Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences 34, (986), ISSN [3] D. J. Watts and S. H. Strogatz, Nature 393, 44 (998), ISSN [32] P. Erdos and A. Renyi, Publ. Math. Debrecen 6, 29 (959). [33] A. L. Barabasi and A. Reka, Science 286, 59 (999).