SOSYAL BİLİMLER İÇİN İSTATİSTİK

Transkript

1 Yaşar BAYKUL - Cem Oktay GÜZELLER SOSYAL BİLİMLER İÇİN İSTATİSTİK SPSS UYGULAMALI 2. Baskı

2 ( )

3 ÖN SÖZ Eldeki kitap sosyal bilimler alanında öğrenim gören yükseköğrenim öğrencileri ve bu alanda araştırma yapanlar düşünülerek hazırlanmıştır. Kitap bir matematiksel istatistik kitabı değildir. Buna rağmen kavramların, metot ve tekniklerin açıklanmasına önem verilmiş matematiksel temelleri aşırılığa kaçılmadan açıklanmıştır. Kavramlara bu denli önem verilmesinin iki nedeni vardır: Bunlardan biri, gerek öğretim sırasında yaptığımız derslerde, gerekse incelediğimiz tezlerde, kavramların yanlış kullanıldığının; varsayımları ve diğer şartları sağlanmayan metot, tekniklere başvurulduğunun gözlenmesi; bu nedenle araştırmalarda ciddî yanlışların yapıldığına rastlanmasıdır. Diğeri, elde edilen analiz yapılmasında ve yorumlanmasında zorluk çekilmesi hatta yorum yapılamamasıdır. Kitapla ilgili belirtilmesi gereken diğer bir husus, SPSS uygulamalarıdır. Günümüzde bilgisayar teknolojisi çok gelişmiş, araştırmalarda ayları bulan analizler birkaç dakikaya indirilebilmiş; hatta çok yakın zamana kadar araştırmayla ilgili analizler için gerek duyulan bilgisayar programcısına olan ihtiyaç ortadan kalkmıştır. Bunu sağlayan paket programlardır. Günümüzde araştırmalarla ilgili analizler, araştırıcının kendisi tarafından bu programlar yardımıyla yapılabilmektedir. Bu durum bilgisayarın özellikle bir paket programın- kullanılmasını araştırıcılar için adeta zorunlu kılmış ve istatistik derslerinin bir parçası haline getirmiştir. Bu düşünce ile kitapta kavram ve yöntemlerin açıklanmasına dair bazı örnekler el ile bazıları hem el hem de günümüzde en çok kullanıldığını düşündüğümüz SPSS paket programı yardımıyla yapılmıştır. Hesaplama işlemlerinin uzun ve zaman alıcı olduğu durumlarda da sadece SPSS programına başvurulmuştur. Burada bir hususun da belirtilmesinde yarar vardır: Kitapta yer verilen kavram, metot ve tekniklerin açıklanması amacıyla yapılan el ile hesaplamalardan kaçınılmamalıdır, okuyucu bunları hiç olmazsa, okuyarak izlemelidir; bu, kavramların ve metotların anlaşılması için gereklidir. Açıklamaların akıcılığını bozmamak amacıyla SPSS uygulamaları bölümlerin sonlarına Bölüm Ekleri adı altında konulmuştur. Bölüm sonlarındaki uygulamalar, programın kullanılmasında izlenecek yolu açıklayacak şekilde adımlar halinde belirtilmiştir; daha önce hiç SPSS kullanmamış bir okuyucu dikkate alınmıştır. Yukarıda açıklanan gerekçe nedeniyle kitabın birinci bölümü eldeki kitap için gerekli olduğu düşünülen temel matematiksel kavramlara ayrılmıştır. Matematikte iyi olduğunu veya bu kavramların geçtiği ilerideki bölümlerde dönüp bakmayı düşünen okuyucular bu bölümü okumadan geçebilirler. Kitabın ikinci bölümü SPSS paket programının kullanılmasına ayrılmıştır. Bu bölümde, anılan programın eldeki kitabın gerektirdiği kadarı tanıtılmış ve örneklere yer verilmiştir.

4 Üçüncü bölüm istatistikle ilgili bazı temel kavramlara, dördüncü bölüm veri kümesinin düzenlenmesi, beşinci ve altıncı bölümler merkeze yığılma ve değişme ölçülerine ayrılmıştır. Yedinci bölümde, istatistiğin motoru denilebilecek olasılık konusunun temel kavramları ayrıntıya gidilmeden açıklanmıştır. Sekizinci, dokuzuncu, on ve on birinci bölümlerde tesadüfî değişken, olasılık dağılımı, beklenen değer, binom ve normal olasılık dağılımları ile bunlarla yapılan aralık kestiricilere, on ikinci bölüm t dağılımı ve küçük örneklemlerden kestirmelere, on üçüncü bölüm hipotez testlerine, on dördüncü ve on beşinci bölümler, chi kare ve F dağılımlarıyla (varyans analizi dışında) bunların uygulamalarına, on altıncı bölüm kovaryans, korelasyon ile çeşitli korelasyon tekniklerine, on yedinci bölüm de regresyona ayrılmıştır. Ayrıca kitabın sonuna, gerekli tablolar eklenmiştir. Bölümlerde Alıştırmalar adı altında problemlere yer verilmiş, bunların çözümleri Pegem Yayınevinin sitesinde yayınlanmıştır. Okuyuculara, problemleri önce kendilerinin çözmelerini daha sonra bu çözümlerle karşılaştırmalarını öneririz. Çözümlerin farklı yollarla yapılabileceği hususu gözden uzak tutulmamalıdır. Kitabın hazırlanmasında, Hacettepe, Başkent ve Yeditepe Üniversiteleri ile Akdeniz Üniversitesi nde görevli olduğumuz yıllarda öğrencilerimiz sordukları sorularla ve bizim sorularımıza verdikleri cevaplarla bu kitabın hazırlanmasına önemli katkılarda bulundular. Kendilerine teşekkür ediyoruz. Ayrıca, kitabın kapağını hazırlaya Gürsel Avcı, titiz bir çalışmayla mizanpajını, kontrollerini yapan Ayşegül Eroğlu, Elif Uslu, Cemal İnceoğlu ve baskıya hazırlanmasında emeği geçen tüm Pegem Akademi Yayınevi ile baskısını gerçekleştiren Ayrıntı Matbaası çalışanlarına teşekkür ve sevgilerimizi sunuyoruz. Bu arada, elbette, kitabın bazı bölümlerinde kullandığımız gerçek veri kümelerinin kullanılmasına izin veren ve kitabın baskısının baştan sona titiz takibiyle gerçekleşmesini sağlayan Servet Sarıkaya ya şükranlarımızı sunuyoruz. Kitabın öğrenci ve araştırıcılara faydalı olacağını umuyor, çalışmalarında başarılar diliyoruz. Prof. Dr. Yaşar BAYKUL Doç. Dr. Cem Oktay Güzeller Ankara \ Nisan, 2014

5 İÇİNDEKİLER Ön Söz... iii 1.1 Kümeler Küme ve Eleman Venn Şeması Boş Küme Sonlu ve Sonsuz Kümeler Evrensel Küme ve Tümleyen Küme Kümeler Arasındaki İlişkiler Kümelerle İşlemler Kümelerin Eleman Sayılarının Frekans Tablosu İle İlişkisi İki Kümenin Karteziyen Çarpımı ve Karteziyen Çarpımın Eleman Sayısı...11 Alıştırmalar Sayılar Doğal Sayılar ve Sayma Saymanın Temelleri Binom Açılımı Sabit ve Değışken Nicel ve Nitel Değişkenler Sürekli ve Kesikli (Süreksiz) Değişkenler Bağımsız ve Bağımlı Değişkenler Fonksiyon Sürekli, Kesikli ve Sabit Fonksiyon Doğrusal Fonksiyon ve Grafiği...29 Alıştırmalar Σ Sembolü Σ Sembolüyle İlgili Bazı Özellikler...33 Alıştırmalar Ölçme ve Ölçekler Sayıların Kullanıldığı Bazı Anlamlar Ölçme Ölçekler...39 Alıştırmalar...45

6 vi 2.1 Bazı Temel Kavramlar ve Terimler Spss Programının Kurulması Spss Programının Başlatılması Spss Data Editor (Veri Girişi Sayfası) Spss Data Editor (Veri Düzenleyici) Menü Bar (Menü Çubuğu) Standart Araç Çubuğu Variable (Değişken) ve Data (Veri) Arayüzleri Data View (Veri Görünümü Arayüzü) Variable View (Değişken Görünümü) Arayüzü Verinin Girilmesi Verinin Data Editor den (Veri Düzenleyiciden) Girilmesi Başka Bir Bilgisayar Programıyla Hazırlanmış Veri Kümesinin Girilmesi Çıktının Alınması Ekrandaki Dosyanın Çıktısının Alınması Alıştırmalar Temel Kavramlar Sayısal Bilgi, Ölçüm ve Veri Evren ve Örneklem İstatistik, Parametre Betimsel ve Vardamsal İstatistik, İstatistiğin Amacı Alıştırmalar

7 vii 4.1 Ham Veri Veri Kümesinin Düzenlenmesi Sıraya Koyma Tablo Yapma Gruplama Grafikler Çubuk Grafiği (Bar Grafik) Histogram Frekans Çokgeni (Poligonu) Çizgi Grafiği Yığmalı Frekans Grafiği Daire Grafiği Alıştırmalar Bölüm Eki 4.1 : Tablo 4.1 deki 31 Öğrencinin Matematik Sınavı Puanlarının Spss Yardımıyla Sıraya Konulması Bölüm Eki 4.2: Tablo 4.3 teki Beş Büyük İlimizin Nüfusları Tablosunun Spss Yardımıyla Yapılması Bölüm Eki 4.3: Tablo 4.1 deki Matematik Sınavı Puanlarına Ait Frekans Tablosunun Spss Yardımıyla Yapılması Bölüm Eki 4.4: Tablo 4.3 teki Beş Büyük İlimizin Nüfus Grafiğinin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 4.5: Tablo 4.11 deki, Bireylerin Öğrenim Düzeylerine Göre Dağılımına Ait Bağıl Rekanslar Grafiğinin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 4.6: Şekil 4.12 deki Ortalamalarla İlgili Grafiğin Spss Yardımıyla Çizimesi Bölüm Eki 4.7: Tablo 4.12 deki Bir Derse Ait Başarılı Olan ve Olmayan Öğrencilerin Dağılımına Ait Grafiğinin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 4.8: Tablo 4.13 teki Diploma Alan Öğrencilerin Şubelere Göre Dağılımına Ait Grafiğin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 4.9: Tablo 4.14 teki 31 Öğrencinin Matematik Sınavı Puanlarının Gerçek Grup Aralıklarına Göre Frekans Dağılımına Ait Grafiğin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 4.10: Tablo 4.14 teki 31 Öğrencinin Matematik Puanlarının Grup Orta Noktalarına Göre Çizgi Grafiğinin Spss Yardımıyla Çizilmesi

8 viii Bölüm Eki 4.11: Tablo 4.15 teki Ankara nın Yıllara Göre Nüfus Grafiğinin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 4.12: Tablo 4.16 daki Türkiye nin Yılları Arasındaki İhracat ve İthalatına Ait Grafiğin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 4.13: Tablo 4.14 teki 31 Öğrencinin Matematik Sınavı Puanlarına Ait Sürekli Hale Getirilmiş Frekans Grafiğinin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 4.14: Tablo 4.14 teki, 31 Öğrencinin Matematik Sınavı Puanlarına Ait Yığmalı Frekans Grafiği Bölüm Eki 4.15: Tablo 4.17 de Verilen, Türkiye nin Dönemine Ait İhracatının Mevsimlere Göre Şekil Grafiği Tepedeğer (Mod) Ortanca (Medyan) Ortancanın Hesaplanması Ortancanın Geometrik Olarak Gösterilmesi Aritmetik Ortalama Tekrarlı Ölçümlerde Ortalamanın Hesaplanması Ortalama İle İlgili Bazı Özellikler Toplam ve Farkların Ortalaması Tepedeğer, Ortanca ve Ortalamanın Karşılaştırılması Ağırlıklı Ortalama Alıştırmalar Yüzdelik Puan ve Yüzdelik Sıra Yüzdelik Puan ve Yüzdelik Sıra Yüzdelik Puan ve Yüzdelik Sıranın Bulunması Çeyrekler Alıştırmalar Bölüm Eki 5.1: Tablo 5.1 deki İki Tepedeğerli Frekans Dağılımına Ait Grafiğin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 5.2: Tablo 5.1 deki Dağılımın Ortancasının Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 5.3: Tablo 5.3 e Ait Frekans Poligonunun (Alan Grafiğinin) Spss Yardımıyla Çizilmesi

9 ix Bölüm Eki 5.4: Tablo 5.3 teki 31 Öğrencinin Matematik Sınavı Puanlarının Ortalamasının Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 5.5: Spss Yardımıyla 31Öğrenciye Ait Matematik Sınavı Puanlarının Ortalama, Ortanca ve Tepedeğerinin Birlikte Hesaplanması Bölüm Eki 5.6: Yığmalı Bağıl Frekans Grafiğinin Çizilmesi Ranj (Veri Kümesinin Genişliği) Mutlak Kayma Ortalamadan Mutlak Kayma Ortancadan Mutlak Kayma Çeyrek Kayma Varyans ve Standart Kayma Varyans Tekrarlı Ölçümlerde Varyansın Hesaplanması Varyansı Hesaplama Formülleri Standart Kayma Standart Kayma İle İlgili Özellikler Bağıl Değişim Katsayısı Standartlaştırma (Z ve T Puanları) Z Puanı T Puanı Çarpıklık ve Basıklık Katsayıları Çarpıklık Katsayısı Basıklık Katsayısı Alıştırmalar Bölüm Eki 6.1: 31 Öğrencinin Matematik Sınavı Puanlarına Ait Varyans ve Standart Kaymanın Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 6.2: 31 Öğrenciye Ait Matematik Sınavı Ham Puanların Spss Yardımıyla Standartlaştırılması Bölüm Eki 6.3: Tablo 4.1 deki 31 Öğrencinin Matematik Sınavı Puanlarına Ait T Puanlarının Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 4: Tablo 4.1 deki 31 Öğrencinin Matematik Sınavı Puanlarının Dağılımının Çarpıklık ve Basıklık Katsayılarının Spss Yardımıyla Hesaplanması

10 x 7.1 Bazı Temel Kavramlar Deney Çıktı Evren Örneklem Olay Muhtemel Olay Örnek Uzay Olasılık Olasılık Kanunları Bir Olayın Olasılığı Hesaplama Kuralları İki Kümenin Elemanlarından Yapılabilecek İkililerin Sayısı Permütasyon Kombinasyon Bir Olayın Olasılığının Hesaplanmasında İzlenecek Yol Birleşik Olaylar Birleşik Olayların Olasılığı Olaylar Arasındaki Bağıntılar Tümleme Şartlı Olaylar ve Şartlı Olasılık Birlikte Olan İki Olayın Olasılığı Bağımsız Olaylar Alıştırmalar Tesadüfî (Random) Değişken Tesadüfî Değişkenlerin Sınıflandırılması Olasılık Dağılımı Kesikli Değişkenlerin Olasılık Dağılımları Sürekli Değişkenlerin Olasılık Dağılımları Beklenen Değer Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri (Evren Ortalaması) Beklenen Varyans Alıştırmalar

11 xi 9.1 Bernoulli Olasılık Dağılımı Bernoulli Dağılımının Ortalaması Bernoulli Dağılımının Varyansı Binom Olasılık Dağılımı Binom Olasılık Dağılımının Ortalaması Binom Olasılık Dağılımının Varyansı Binom Olasılık Dağılımı Tablosu Alıştırmalar Normal Olasılık Dağılımı Fonksiyonu Standart Normal Dağılım Merkezî Limit Teoremi Binom Olasılık Dağılımının Normal Dağılıma Yaklaşması Alıştırmalar Bölüm Eki 10.1: Tablo 10.1(a) deki Tavla Zarını 300 Defa Atma Deneyinde Beş Elemanlı Örneklemlerin Ortalamalarının Hesaplanması Bölüm Eki 10.2: Tablo 10.1(a) deki Tavla Zarını 300 Defa Atma Deneyinde Beş Elemanlı Örneklemlerin Ortalamalarının Hesaplanması Bölüm Eki 10.3: Tablo 10.2 deki Parayı 5 Defa Atma Deneyi İçin Olasılık Grafiğinin Çizilmesi Örnekleme Teknikleri Basit Tesadüfî Örnekleme Sistematik Örnekleme Tabakalı Tesadüfî (Stratified Random) Örnekleme

12 xii 11.2 Kestirme Tutarlılık Yansızlık Etkililik Yeterlilik Nokta Kestirme Evren Ortalamasının Nokta Kestiricisi Varyansın Nokta Kestiricisi Aralık Kestirici Nokta Kestirici İle Aralık Kestiricinin Karşılaştırılması Büyük Örneklemlerden Kestirme Evren Ortalamasının Aralık Kestiricisi (Güven Aralığı) İki Evren Ortalaması Farkının Aralık Kestiricisi (Güven Aralığı) Binom Parametresinin Aralık Kestiricisi (Güven Aralığı) İki Binom Parametresi Farkının Kestirilmesi (İki Oran Farkı İçin Güven Aralığı) Alıştırmalar t Dağılımı t Dağılımının Özellikleri Serbestlik Derecesi t Dağılımı Tablosu Küçük Örneklemlerden Kestirmeler Ortalamanın Kestirilmesi Küçük Örneklemlerde İki Ortalama Farkının Kestirilmesi Alıştırmalar

13 xiii 13.1 Bazı Temel Kavramlar Hipotez Testinin Elemanları Hipotez Test Etmede Adımlar Evren Dağılımının Belirlenmesi Hipotezlerin Kurulması Manidarlık Düzeyinin Seçilmesi Karar Kuralının Belirlenmesi ve Kararın Verilmesi Büyük Örneklemlerde Hipotez Testi Ortalamanın Test Edilmesi İki Ortalama Farkının Test Edilmesi Binom Parametresinin (p Oranının) Test Edilmesi İki Binom Parametresi (İki Oran) Arasındaki Farkın Test Edilmesi İstatistiksel Hata Alıştırmalar Küçük Örneklemlerde Hipotez Testi Ortalamanın Test Edilmesi İki Ortalama Farkının Test Edilmesi Varsayımların Sağlanıp Sağlanmadığının Kontrol Edilmesi Normallik Şartının Sağlanıp Sağlanmadığının Kontrolü Varyansların Eşit Olup Olmadığının Kontrol Edilmesi t Testi İle Yapılan Karşılaştırmalarda Spss Uygulamaları Ortalamanın Test Edilmesi Bağımsız Gruplara Ait İki Ortalamanın Karşılaştırılmasının Spss Yardımıyla Yapılması Bağımlı Gruplara Ait Ortalamaların Spss Yardımıyla Karşılaştırılması Özet Tablo 13.7 Evren Ortalaması ve P Oranının Kestirilmesiyle İlgili Tekniklere Ait Özet Tablo Alıştırmalar

14 xiv Bölüm Eki 13.1: Tablo 13.4 teki A ve B Okullarına Ait Kompozisyon Yarışması Puanlarına Ait Histogramları Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 13.2: Tablo 13.4 teki A ve B Okullarına Ait Kompozisyon Yarışması Puanlarının Standart ve Teorik Standart Değerlerine Ait Olasılıkların Hesaplanması ve Grafiklerinin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 13.3: Tablo 13.3 teki A ve B Okullarına Ait Kompozisyon Yarışması Puanlarının Normal Dağılım Gösterip Göstermediklerinin Örneklem İstatistikleri Yardımıyla Kontrol Edilmesi Bölüm Eki 13.4: Tablo 13.3 teki A Okuluna Ait Kompozisyon Yarışması Puanlarının 17 Puana Eşit Olup Olmadığının Spss Yardımıyla Test Edilmesi Bölüm Eki 13.5: Tablo 13.3 teki A ve B Okullarına Ait Kompozisyon Yarışması Puanları Ortalamalarının Ham Puanlardan Spss Yardımıyla Karşılaştırılması Bölüm Eki 13.6: Bağımlı Gruplara Ait Ortalamaların Spss Yardımıyla Karşılaştırılması Χ 2 Dağılımı Χ 2 Dağılımının Yapısı Χ 2 Dağılımı Tablosu Uyum Testi Bağımsızlığın Test Edilmesi Varyansın Kestirilmesi Varyans İçin Güven Aralığı Varyansın Test Edilmesi Alıştırmalar Bölüm Eki 14.1: Tablo 14.1(a) daki Belli Noktadan Haftanın Günlerinde Geçen Araç Sayılarına Ait X 2 Testinin Spss Yardımıyla Yapılması Bölüm Eki 14.2: Tablo 14.2(a) daki Belediye Seçiminde Kamuoyu Yoklaması Sonuçlarının Seçim Sonuçlarıyla Karşılaştırılmasına Ait X 2 Testinin Spss Yardımıyla Yapılması Bölüm Eki 3: Tablo 14.4(a) daki 200 Annenin Eğitim Düzeyleri İle Çocuk Sayıları Arasındaki İlişkiye Ait X 2 Testinin Spss Yardımıyla Yapılması

15 xv 15.1 F Dağılımı ve Yapısı F Dağılımı Tablosu İki Varyansın Oranının Karşılaştırılması İki Varyans Oranının Güven Aralığı İki Varyansın Oranının Test Edilmesi Alıştırmalar Kovaryans (Birlikte Değişkenlik) Korelasyon Pearson Momentler Çarpımı Korelasyon Katsayısı Korelasyon Katsayısının İrdelenmesi Pearson Momentler Çarpımı Korelasyon Katsayısını Hesaplama Formülleri Aynı Objelere Ait Ölçme Sonuçlarının Toplam ve Farklarının Varyansları Diğer Korelasyon Teknikleri Çift Serili (Biserial) Korelasyon Katsayısı Nokta-Çift Serili Korelasyon Katsayısı Çift Serili ve Nokta Çift Serili Korelasyon Katsayıları Arasındaki İlişki Dörtlü (Phi) Korelasyon Katsayısı Tetrakorik Korelasyon Katsayısı Sıra Farkları Korelasyon Katsayısı Kısmî (Partıal) Korelasyon Katsayısı Kısmî Korelasyonun Hesaplanması Korelasyon Katsayısının Anlamı Evrene Ait Korelasyon Katsayısının Kestirilmesi Korelasyon Katsayısının Güven Aralığı Korelasyon Katsayısının Test Edilmesi İki Korelasyon Katsayısı Farkının Test Edilmesi

16 xvi Alıştırmalar Bölüm Eki 16.1: Tablo 16.1(a) daki Türkçe ve Matematik Puanları Arasındaki Kovaryansın Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 16.2: Tablo 16.2 deki Çalışılan Süre İle Kazanılan Para Arasındaki İlişkinin Grafiğinin Çizilmesi Bölüm Eki 16.3: Tablo 16.1(a) daki Türkçe ve Matematik Puanlarına Ait Grafiğin Çizilmesi ve Korelasyonun Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 16.4: Tablo 16.4(a) ya Ait Grafiğin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 16.5: Tablo 16.4(b) ye Ait Grafiğin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 16.6: Tablo 16.4(c) ye Ait Grafiğin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 16.7: Tablo 16.3(d) ye Ait Grafiğin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 16.8: Tablo teki Türkçe ve Matematik Puanları Arasındaki Korelasyonun Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 16.9: Tablo 16.9 daki 200 Kadının Makyaj Yapıp Yapmama İle Öğrenim Durumu Arasındaki Korelasyonun Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 16.10: Tablo deki İki Hakemin 10 Sporcuyu Sıralamalarına Ait Sıra Farkları Korelasyon Katsayısının Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 16.11: Tablo teki Matematik İle Fen ve Teknoloji Derslerindeki Başarıları Arasındaki Kısmî Korelasyonunun Spss Yardımıyla Hesaplanması Bölüm Eki 16.12: Tablo daki 80 Bay ve Bayana Ait Kpss Deneme Sınavı Genel Yetenek - Genel Kültür ve Eğitim Bilimleri Puanları Arasındaki Korelasyonların Spss Yardımıyla Hesaplanması Regresyon Kavramı Basit Doğrusal Regresyon Regresyon Doğrusu Denklemi En Küçük Kareler Metodu Bağımsız Değişkenin (X in) Bağımlı Değişken (Y) Üzerine Regresyonu Regresyonun Korelasyonla İlişkisi Regresyon Denklemiyle Yapılan Kestirmelerin Hatası Regresyon Katsayısı ( ) İçin Hipotez Testi ve Güven Aralığı

17 xvii Alıştırmalar Bölüm Eki 17.1: Tablo 17.2 deki 45 Öğrencinin Lise Matematik ve Üniversite Genel Matematik Puanlarına İlişkin Dağılımın Grafiğinin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 17.2: Tablo 17.3 teki 15 Öğrencinin Lise Matematik ve Üniversite Genel Matematik Puanlarına İlişkin Regresyon Grafiğinin Spss Yardımıyla Çizilmesi Bölüm Eki 17.3: Tablo 17.3 teki 15 Öğrencinin Üniversite Genel Matematik Puanlarının Lise Matematik Puanları Üzerine Regresyonu Denkleminin Yazılması ve Regresyon Katsayısının Spss Yardımıyla Test Edilmesi Bölüm Eki 17.4: Tablo 17.3 teki 15 Öğrencinin Lise Matematik Puanlarının Üniversite Genel Matematik Puanları Üzerine Regresyonu Denkleminin Yazılması ve Regresyon Katsayısının Spss Yardımıyla Test Edilmesi Ek 1: Binom Olasılık Dağılımları Tabloları Ek 2: Yığmalı Binom Olasılık Dağılımları Tablosu Ek 3: Standart Normal Dağılım Tablosu Ek 4: t Olasılık Dağılımı Tablosu Ek 5: Χ 2 Olasılık Dağılımı Tablosu Ek 6: F Tablosu ( = 0,10) Ek 7: Trigonometri Cetveli Kaynakça İndeks

18

19 1. Bu Bölümde Kazanılması Beklenen Bilgi ve Beceriler: 1. Küme, ilgili temel kavramlar, Venn diyagramı ve verinin tablolanması 2. Sayı, sayma, oran ve yüzde 3. Kümelerle işlemler 4. Değişken ve türleri 5. Fonksiyon kavramı, fonksiyon çeşitleri ve doğrusal fonksiyon 6. Sayılar, saymanın temel ilkeleri, oran, yüzde ve orantı 7. Binom açılımı 8. Σ sembolü ve ilgili özellikleri 9. Oran ve yüzde 10. Ölçme, ölçek ve ölçek türleri Diğer bilim dallarında olduğu gibi istatistikte de matematikten yararlanılır. Bu bakımdan istatistiksel kavramların açıklanmasında ve olasılık teorisinin oluşturulmasında, kullanılacak bazı temel matematik kavramlarının hatırlanması gereklidir. Bu düşünceyle aşağıda küme, kümelerle işlemler, değişken ve türleri, saymanın temelleri, fonksiyon kavramı, doğrusal fonksiyon, oran, yüzde, ölçme, ölçek ve ölçek türleri açıklanmaktadır. Bu kavramlar hakkında yeteri kadar bilgi sahibi olduğunu düşünen okuyucular bu bölümü okumadan geçebilirler veya ihtiyaç duyduklarında dönüp bakabilirler. 1.1 KÜMELER Küme ve kümelerle işlemlerden özellikle olasılık teorisindeki bazı kavramların açıklanmasında ve ispatların yapılmasında çok yararlanılır. Aşağıda kümeler, kümeler arasındaki ilişkiler, kümelerle yapılan bazı işlemler açıklanmaktadır.

20 Küme ve Eleman Küme birbirinden farklı ve iyi tanımlanmış (ayırt edilebilen) varlıkların oluşturduğu bir topluluktur. Kümedeki varlıkların her birine eleman denir. Somut elemanlardan oluşturulabilceği gibi soyut elemanlardan da bir küme oluşturulabilir. Türk alfabesindeki harfler; Ahmet, Elif, Serap ve Timuçin in oluşturduğu grup, bir tavla zarı atıldığında gelen sayılar birer küme oluştururlar. Türk alfabesindeki her bir harf, Türk alfabesindeki harfler kümesinin bir elemanıdır. q harfi Türk alfabesinde olmadığından, bu kümenin bir elemanı değildir. 7, bir sayıdır fakat tavla zarı atıldığında gelen sayılar içinde olmadığından Tavla zarı atıldığında üste gelen sayılar kümesi nin bir elemanı değildir. Kümeler alfabenin büyük harfleriyle, elemanlar küçük harfleriyle adlandırılır. Bir varlığın, bir kümenin elemanı olduğu ve olmadığı da sembolüyle gösterilir. Bir kümedeki varlıkların sayısına, kümenin eleman sayısı denir. Bir A kümesinin eleman sayısı n(a) ile gösterilir. Örnekler: 1. Aşağıda bazı kümeler adlandırılmakta ve farklı biçimlerde yazılmaktadır. A: Türk alfabesindeki harfler kümesi A = {Türk alfabesindeki harfler} veya A = {a, b, c,..., z } B: Ahmet, Elif, Serap, Timuçin den oluşan küme B = {Ahmet, Elif, Serap, Timuçin} C: Tavla zarı atıldığında üste gelen sayıların kümesi C = {Tavla zarı atıldığında üste gelen sayılar} veya C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Bu kümelerin eleman sayıları n(a) = 29, n(b) = 4 ve n(c) = 6 dır. 2. Yukarıdaki örnekte tanımlanan kümelere göre; c harfi A kümesinin bir elemanı olduğundan c A, fakat q harfi A kümesinin bir elemanı olmadığından q A şeklinde yazılır. Benzer şekilde, Ahmet B kümesinin bir elemanı olduğundan Ahmet B, fakat Can bu kümenin elemanı olmadığından Can B dir. Benzer şekilde 2 C ve 7 C dir.

21 Venn Şeması Venn şeması kümelerin gösterilmesinde kullanılan bir araçtır. Özellikle kümeler arasındaki ilişkilerin görülmesinde ve işlemlerin açıklanmasında kolaylık sağlar, Şekil 1.1 ve 1.2. C B. Ahmet. Elif Serap. Timuçin Şekil 1.1 Şekil Boş Küme Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme genel olarak sembolüyle gösterilir. Tavla zarı atıldığında 6 dan büyük gelen sayılar kümesi bir boş kümedir. Boş kümenin eleman sayısı 0 dır. n( )=0, Şekil 1.3. Şekil Sonlu ve Sonsuz Kümeler Bir kümede sonlu sayıda eleman bulunabilir veya kümenin eleman sayısı sınırsız olabilir. Eğer bir kümedeki elemanların sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebiliyorsa bu kümeye sonlu küme denir. Bir küme sonlu değilse sonsuzdur. Örnekler: M, 10 ve 10 dan küçük doğal sayılar kümesi; N de, doğal sayılar kümesi olduğuna göre M kümesi sonlu ve N kümesi sonsuzdur. Bu kümeler aşağıdaki gibi yazılabilir. M 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, N 0, 1, 2, 3,..., Evrensel Küme ve Tümleyen Küme E Bir duruma ait düşünülebilecek bütün elemanların kümesine evrensel küme denir. Evrensel küme genel olarak E sembolü ile gösterilir, Şekil 1.4. Örnekler: 1. Doğal sayılarla ilgili bir çalışmada evrensel küme tüm doğal sayıları içine alan kümedir. E 0, 1, 2, 3,..., n,... Şekil 1.4

22 4 2. Bir zar atma deneyinde üste gelebilecek muhtemel bütün sayıların kümesi evrensel kümedir. Bu küme E 1, 2, 3, 4, 5, 6 biçiminde yazılır ve Şekil 1.5 teki gibi gösterilebilir. Tümleyen Küme: Bir kümeyi evrensel kümeye tamamlayan kümeye, bu kümenin tümleyeni denir. Bir A kümesinin tümleyeni A' veya A biçiminde gösterilir. Örnek: Bir zar atıldığında 3 ten büyük gelen sayıların A.1.3 A'.4 kümesi A ile gösterilirse, A 4, 5, 6 kümesinin tümleyeni A 1, 2, 3 kümesidir, Şekil 1.5. Şekil Kümeler Arasındaki İlişkiler Kümeler arasında eşitlik, denklik, alt küme olma ve kapsama ilişkileri vardır Eşitlik Bir A kümesinin elemanları aynı zamanda bir B kümesinin de elemanları ve B kümesinin elemanları aynı zamanda A kümesinin de elemanları ise, A ve B kümelerine eşit kümeler denir. İki kümenin eşit olduğu = ve eşit olmadığı sembolü ile gösterilir. Örnek: Başka evlilik yapmamış birbirleriyle evli bir kadın ve erkekten, kadının ve erkeğin çocuklarının kümeleri birbirine eşittir. Kadının çocuklarının kümesini C ve erkeğin çocuklarının kümesini D ile gösterilirse C = D dir Denklik Bir kümenin elemanlarının başka bir kümenin elemanlarına karşı getirilmesine eşleme denir. Eşleme bir elemana bir eleman karşı gelecek şekilde yapılırsa buna bire-bir eşleme adı verilir. Bir kümenin elemanlarıyla başka bir kümenin elemanları bire-bir olarak eşlenebiliyor ve kümelerden herhangi birinde artan eleman olmuyorsa (eşleme birebir ve örten) bunlara denk kümeler denir. İki kümenin denk olduğu ve denk olmadığı sembolü ile gösterilir. Denk kümelerin çoklukları (eleman sayıları) aynıdır. Eşit kümeler aynı zamanda denktirler, fakat denk kümeler her zaman eşit değildir.

23 5 Örnek: A={a, b, c} ve B={1, 2, 3} kümeleri denktir. Gerçekten, Şekil 1.6 da da görüldüğü gibi, bu iki küme birebir eşlendiğinde kümelerden herhangi birinde açıkta kalan eleman olmamaktadır. Bu kümeler, elemanları farklı olduğundan eşit değildirler. Ayrıca bire-bir eşlendiklerinde artan eleman olmadığından çoklukları aynıdır. Başka bir deyişle eleman sayıları eşittir. a..1 b..2 c..3 Şekil Alt Küme ve Kapsayan Küme Bir D kümesinin bütün elemanları bir F kümesinin elemanlarının içinde varsa D kümesi F kümesinin bir alt kümesi, F de D yi kapsayan kümedir. Alt küme olma işareti ve kapsama işareti de dir. D kümesinin F nin alt kümesi olduğu D F ve F nin D yi kapsadığı da F D biçiminde gösterilir. Örnekler: 1. A ile adlandırılan Türk alfabesindeki harfler kümesinde, sesli harflerin oluşturduğu küme A nın bir alt kümesidir. Sesli harfler kümesi S ile gösterilirse, S = {a, e, ı, i, u, ü, o, ö} ve S A yazılabilir. Ayrıca, A S dir. 2. B = {Ahmet, Elif, Serap, Timuçin} kümesindeki kızların kümesi K ile gösterildiğinde, K = {Elif, Serap}olup K B ve B K dir, Şekil 1.7(a) ve (b). B Ahmet. Timuçin. K Elif. Serap. B Ahmet. Timuçin. K Elif. Serap. (a) Şekil 1.7 (b) Kümelerle İşlemler Sayılarla olduğu gibi kümelerle de işlemler yapılabilir. Aşağıda bunlardan birleşim, arakesit ve fark işlemleri açıklanmaktadır.