Depo Operasyonlarının Planlanması İçin Genetik Algoritma Esaslı Modeller *

Transkript

1 Uluslararası Alanya İşletme Fakültesi Dergisi International Journal of Alanya Faculty of Business Yıl:203, C:5, S:3, s Year:203, Vol:5, No:3, s Depo Operasyonlarının Planlanması İçin Genetik Algoritma Esaslı Modeller * Genetic Algorithm Based Approaches for Planning Warehouse Operations Yusuf ŞAHİN Endüstri Yük. Müh., Süleyman Demirel Üniversitesi, İ.İ.B.F., İşletme Bölümü, Doktora Öğrencisi, (yusufytu@gmail.com) Osman KULAK Prof. Dr.,Pamukkale Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü, (okulak@pau.edu.tr) Anahtar Kelimeler: Sipariş Toplama, Sipariş Gruplama, Genetik Algoritma Keywords: Order Picking, Order Batching, Genetic Algorithm ÖZ Günümüzde depo operasyonlarının etkin olarak yönetilmesi firmalarının en önemli hedeflerinden irisidir. Operasyonların yönetilmesi sırasında yoğun olarak iki tip prolemle karşılaşılmaktadır. Bunlardan irincisi sipariş hazırlıklarına yönelik siparişlerin gruplandırılması, ikincisi ise gruplanan siparişlere ait toplama aracı rotasının elirlenmesidir. Firmalarının etkin ve ekonomik sipariş toplama planlarını oluşturailmeleri için u prolemlerin eş zamanlı olarak çözmeleri gerekmektedir. Bu çalışmada, özellikle çapraz geçitli depo sistemleri için sipariş gruplarını ve ilgili gruplara ait araç rotalarını irlikte çözen kümeleme esaslı Genetik Algoritma-En Yakın Komşu ve Genetik Algoritma - Kazanç isimli genetik algoritma esaslı yeni yöntemler önerilmektedir. Yöntemlerin etkinliğini elirlemek için farklı sipariş sayısı, ağırlık ve toplama koordinatlarını içeren deney prolemleri rastsal olarak oluşturulmuş ve test edilmiştir. ABSTRACT Nowadays one of the most important aims of the companies is to manage warehouse operations effectively. During the management of warehouse operations two types of prolems are experienced densely. First one is to define order atches and second one is to determine a suitale vehicle route for atched orders. In order to prepare effective and economic distriution plans, these prolems should e solved y companies simultaneously. In this study, novel cluster-ased genetic algorithm approaches namely Genetic Algorithm- Nearest Neighor (GANN) and Genetic Algorithm-Saving (GAS) are proposed to solve order atching and vehicle routing of relevant atch for cross aisle warehouse systems especially. To evaluate the performances of the proposed methods, various prolem instances including the numer of order, weight and picking coordinates are generated randomly and tested.. GİRİŞ Ürünlerin nihai tüketiciye ulaştırılailmesi için hammadde, yarı mamul ve itmiş ürünlerin fiziksel olarak elirli ir yerden diğer ir yere taşınmaları gerekir. Arz ve talep noktası arasında yapılan u taşıma işlemleri sırasında talep gelinceye kadar ürünler elli noktalarda ekletilirler. Müşteriden istek gelinceye kadar ekledikleri u noktalar depolardır. Günümüzde depolar, sadece ürünlerin saklandığı ve depolandığı alanlar olmanın yanında, kaul ve raflara yerleştirme proseslerinden oluşan giriş işlemleri ile sipariş toplama, kontrol, paketleme ve sevkiyat proseslerinden oluşan çıkış işlemlerinin de gerçekleştirildiği işletme irimleridir. Başarılı ir depo yönetimi, müşteri ihtiyaçlarının, depo alanı kullanımının, stok düzeyinin, depo ve dağıtım maliyetlerinin, yeni ilgi teknolojilerinin sağlıklı ir şekilde yönetilmesiyle ile mümkün olailmektedir. Etkin ir depo yönetimi için hammadde, yarı mamul veya ürünün en uygun şekilde depolanması ve istek olması durumunda gerekli zamanda hazırlanailmesi oldukça önemlidir. Bu nedenle, siparişlerde yer alan parçaların depodan hızlı ir şekilde çekilmesi gereken durumlarda toplama işleminin verimli ir şekilde yapılması depo yönetiminin etkinliği üzerinde önemli ir rol oynamaktadır. Siparişte yer alan parçaların depodaki özel stok alanlarından alınarak, sevkiyat noktasına getirildiği sipariş toplama faaliyeti, tedarik zincirinin esnekliğine üyük oranda etki ettiği için gerçekleştirilen faaliyetler içerisinde en kritik olanıdır. Sipariş toplama, insanlar tarafından gerçekleştirildiği depolarda yüksek işçilik maliyeti, otomatik olarak * Bu çalışma Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği A.B.D da hazırlanan Depo Operasyonlarının Planlanması İçin Genetik Algoritma Esaslı Bir Model isimli yüksek lisans tezinden güncel literatür eklenerek derlenmiştir. Çalışma 2009 yılında Yöneylem Araştırması ve Endüstri Mühendisliği XXIX. Ulusal Kongresinde ildiri olarak sunulmuştur.

2 ŞAHİN-KULAK yapıldığı depolarda ise yüksek ilk yatırım maliyeti gerektiren ir faaliyettir (Goetschalckx ve Ashayeri, 989; 99). İlk yatırım maliyetinin düşük olması nedeniyle sipariş toplamanın insanlar tarafından gerçekleştirildiği depolar (picker-to-part) daha yaygın kullanıma sahiptir. 2. LİTERATÜR TARAMASI Sipariş toplama ir depodaki toplam işçilik maliyetinin yaklaşık %40-%60 lık kısmını karşılık gelir (Miller, 2004; 2). Bir depo için, sipariş toplama maliyeti toplam depo maliyetinin %55 lik kısmını oluşturmaktadır (Roodergen ve De Koster, 200a; 32). Bazı çalışmalarda u oranın %60-65 düzeyinde olduğu elirtilmektedir (Hen ve diğerleri, 200, s. 82; Drury, 988; Coyle ve diğeleri, 996). Dolayısıyla, maliyetleri düşürmek isteyen depo yöneticileri ve depo konusunda çalışmalar yapan akademisyenler açısından sipariş toplama faaliyeti dikkat çekici ir maliyet kalemi olarak karşımıza çıkmaktadır. Sipariş gruplama, ir turda irlikte toplanması gereken siparişlerin elirlendiği prolem olup, dolaşım mesafesini ve depo maliyetlerini azalttığı için depo operasyonları yönetiminde önemli ir etkinliğe sahiptir. Literatür incelendiğinde sipariş gruplama proleminin çözümüne yönelik irçok sezgisel yöntemin önerildiği görülmektedir. Van den Berg (999) gruplama prolemi için geliştirilen sezgisellere yönelik ir araştırma gerçekleştirmiştir. Bu araştırmada incelenen irçok yöntemde, aşlangıçta ir çekirdek sipariş seçilmekte ve diğer siparişler u siparişe olan yakınlıklarına göre araç kapasitesini aşmayacak şekilde grua atamaktadır. Sipariş sayısının fazla olmadığı durumlar için sipariş gruplama proleminin çözümüne yönelik olarak literatürde çeşitli matematiksel modeller yer almaktadır. Roodergen ve Koster (200a), paralel geçitli depo sisteminde ortalama sipariş toplama zamanının optimizasyonu için dinamik programlama esaslı ir algoritma önermiştir. Roodergen ve de Koster (200), çapraz geçitli depo sistemlerinde iki veya daha çok paralel geçit ulunması durumunu ele almış ve en kısa sipariş toplama rotasının elirlenmesi için dal ve sınır algoritmasını kullanmışlardır. Gademann ve diğerleri (200), herhangi ir sipariş gruunun maksimum hazırlık zamanını minimum yapmak için ir dal-sınır algoritması önermişlerdir. Dal-sınır algoritması için aşlangıç üst sınır 2-opt sezgiseli ile elirlenmiştir. Bozer ve Kile (2008), yürü ve topla (walk-and-pick) esaslı sipariş gruplama proleminin azı özel durumları için karma tam sayılı ir matematiksel çözüm yöntemi önermiştir. Önerilen yöntem Ruen ve Jacos (999) ve Koster ve diğerleri (999) tarafından önerilen iki farklı sezgisel yöntemle karşılaştırılmıştır. Nieuwenhuyse ve Koster (2009), depo yöneticilerinin sipariş toplama ile ilgili kararlarının ortalama müşteri siparişi çıktısına etkisini araştırmak için zaman kısıtlı sipariş gruplama ve toplama prolemine yönelik matematiksel ir model geliştirmişlerdir. Bukchin ve diğerleri (202), dinamik, sınırlı ve dar ir çevrede sipariş gecikmeleri ile sipariş toplayıcıların fazla mesai maliyetlerini minimize etmek için Markoz Zinciri esaslı ir yaklaşım önermişlerdir. Pan ve diğerleri (202), senkronize edilmiş ir alanda, toplayıcının parçaya gittiği (picker-to-part) sipariş toplama sistemi için sipariş gruplama ve toplama alanı ölgelendirmenin (picking area zoning) ortalama çıktı zamanına etkisini analiz etmek üzere olasılık ve kuyruk ağı teorisini kullanmışlardır. Depo içi operasyonların etkinliği için analitik yöntemlerin yanı sıra simülasyon esaslı çalışmalar da yapılmıştır. Chew ve Tang (997), sipariş gruplama ve depo yeri tahsis etme stratejilerini analiz eden ir yöntem önermiştir. Bu yöntemde, siparişler müşteri esaslı gruplanmakta ve toplanması için ir simülasyon modeli kullanılmaktadır. Lin ve Lu (999), sipariş toplama stratejilerini elirlemek için simülasyon esaslı ir yöntem geliştirmiştir. Siparişler analitik ir yöntemle gruplara ayrıldıktan sonra her ir sipariş gruuna uygun toplama stratejisi simülasyon ile gerçekleştirilmektedir. Petersen ve Aase (2004), sipariş toplama mesafesini etkileyen farklı toplama, depolama ve rotalama stratejilerini karşılaştırmak için simülasyon esaslı ir model geliştirmiştir. Bu çalışmada özellikle grup esaslı toplama stratejisinin daha iyi sonuçlar sağladığı tespit edilmiştir. Hsieh ve Tsai (2006), sipariş toplamaya etki eden atama, toplama rotası ve sipariş irleştirme ile ilgili farklı politikaları değerlendiren simülasyon esaslı ir yöntem önermiştir. Ayrıca Roodergen ve Vis (2006), farklı iki rotalama politikası için ortalama rota uzunluğunu hesaplayan analitik ir yöntem önermiştir. Analitik yöntemin sonuçları ile simülasyon çalışmasının sonuçları karşılaştırılmıştır. Yu ve de Koster (2008), topla ve geç (pick-and-pass) tipi sipariş toplama sistemini Whitt in kuyruk ağı analizcisini kullanarak G/G/m kuyruk tipi şeklinde modelleyerek analiz etmişlerdir. Son yıllarda sipariş gruplama ve siparişlere ait rotaların oluşturulması için farklı metaheuristikler geliştirilmiştir. Won ve Olafsson (2005), sipariş gruplama ve araç rotalama prolemlerini hiyerarşik olarak çözen iki sezgisel yöntem önermişlerdir. Yazarlar sadece araç kullanım etkinliği ve sipariş toplama zamanı ile elirlenen depo verimliliğini artırmaya değil, aynı zamanda müşteri cevap süresinin optimizasyonunu da sağlamaya çalışmışlardır. Hsu ve diğerleri (2005), klasik depo sistemleri için sipariş gruplarını oluşturan ve dolaşım mesafesi ölçütünü kullanan genetik algoritma (GA) esaslı ir çözüm yöntemi (GABM) önermiştir. Bu çalışmada gruplara ait rotalama S-şekilli rotalama yöntemi ile sağlandığı için etkin olmayan rotalar oluşturulmaktadır. Tsai ve diğerleri (2007), depo içi operasyonlarının optimizasyonu ile ilgili GA esaslı ir yöntem önertmiştir. Sipariş grupları ve u gruplara ait depo içi rotaların elirlenmesi için iriri ile ilişkili iki farklı GA ile geliştirilmiştir. Rotaların elirlenmesi için de GA uygulanması nedeniyle zaman performansı düşük çözümler elde edilmiş, unu tolare etmek için çok üyük prolem kümeleri için dahi popülasyon hacmini 20 kromozom olarak elirlemiştir. Henn ve diğerleri (200), sipariş gruplama toplama prolemlerine yönelik olarak İteratif Lokal Arama (Iterated Local Search) ve Karınca Kolonisi Optimizasyonu (Ant Colony Optimization) esaslı iki sezgisel yöntem geliştirmişlerdir. Hsieh ve Huang (20), sipariş toplama ve gruplama prolemleri için K-means Batching (KMB) ve Self-organisation Map Batching (SMB) isimli iki sezgisel önermişlerdir. Bottani ve diğerleri (202), sipariş toplayıcının seyahat süresini düşürerek sipariş toplama verimliliğini artırmak için depo içerisine parça atamalarını yapmak için GA esaslı ir yöntem önermişlerdir. Henn ve 42

3 ULUSLARARASI ALANYA İŞLETME FAKÜLTESİ DERGİSİ 5/3 (203) Wäscher (202), manuel sipariş toplama sistemi için tau arama ve özellik esaslı tırmanış araması (hill climing) algoritmalarının kullanıldığı iki yöntem sunmuş ve yöntemlerin performanslarını literatürdeki mevcut yöntemlerle karşılaştırmışlardır. Literatürdeki çalışmalar incelendiğinde, mevcut çalışmaların klasik depo yerleşimine yönelik olduğu görülmektedir. Çapraz geçitlerin sipariş toplamaya etkisini analiz etmeye yönelik çalışmalar olsa da, yapılan u çalışma ile literatürde ilk defa sipariş gruplama ve araç rotalama prolemlerini çapraz geçitli depo sistemleri için etkin olarak eş zamanlı çözen yeni yöntemler geliştirilmiştir. Çalışma kapsamında kullanılan klasik ve çapraz geçitli depo yerleşimleri Şekil ve Şekil 2 de gösterilmektedir m Giriş-Çıkış Noktası m m m m Şekil Klasik Depo Yerleşimi Geçit Giriş Çıkış Noktası m m m m Şekil 2 Çapraz Geçitli Depo Yerleşimi 3. SİPARİŞ GRUPLAMA VE TOPLAMA PROBLEMLERİ Sipariş gruplama, ir turda irlikte toplanması gereken siparişlerin elirlenerek dolaşım mesafesini ve depo maliyetlerini azalttığı için depo operasyonları yönetiminde önemli ir etkinliğe sahiptir. Grup, tek ir turda toplanacak olan siparişlerin kümesini ifade eder. Grup içerisinde yer alan siparişlere ait parçaların ağırlıkları toplamı, toplama aracının kapasitesini aşmaması gerekir. Ayrıca, iririne yakın olan toplama noktalarında yer alan siparişlerden üyük gruplar elde ederek aynı zamanda sistemin çıktısı da maksimize edilmiş olur. Ancak, grua atanacak siparişin seçiminde sadece parçaların iririne yakınlığının dikkate alınması, depo içerisinde yer alan geçitlerin uzak noktalarında ulunan siparişlerin hazırlanışının gereğinden fazla gecikmesine yol açailir. 43

4 ŞAHİN-KULAK Geleneksel ir depo ortamında sipariş toplama prolemi, ir tur veya grua ait olan siparişlerin içerisinde ulunan parçaların depolandığı noktalardan alınırken izlenecek olan ziyaret sırasını elirleme prolemidir ve u özelliği nedeniyle Gezgin Satıcı Prolemi (GSP) olarak ele alınır. Bu GSP prolemi, sipariş toplayıcı veya toplama aracının, tur veya grupta yer alan siparişlere ait ürünleri ilgili alanlardan toplaması şeklinde ifade edileilir. Giriş-çıkış veya yükleme-oşlatma noktasında aşlamak üzere, toplayıcı özel ir sıraya göre listede yer alan siparişleri toplayıp grupladıktan sonra tekrar girişçıkış noktasına geri döner. Depo yöneticileri, depo sisteminin çıktı miktarını artırailmek için ir tur veya grupta ulunan siparişlerin toplanması için gerekli olan süreyi minimize etme adına en uygun sırayı elirlemeye çalışmaktadırlar Depo içi operasyonların yönetimi ile ilgili sipariş gruplama proleminin formülasyonu; Karar Değişkenleri ve Parametreler: X k =, eğer k siparişi gruuna atanırsa, 0, aksi takdirde, Y pl =, eğer gruunda p noktası l noktasından hemen sonra ziyaret ediliyorsa, 0, aksi takdirde, C: Araç kapasitesi w k : k siparişinin ağırlığı d pl : p ve l noktaları arasındaki mesafe, n: Sipariş sayısı S k : k siparişinin hazırlık süresi MS : gruu için maksimum hazırlık süresi B m m min = d pl y () ş.k.a. m y pl p= p l = p= l= Z pl = l, (2) m y pl l= l p = p, (3) n wk X k C k= n Sk X k MS k= m m n y pl = p= l= k= p l l p n X k = k= pl X k 44 w k X k k,, y = 0 veya (8) (2) ve (3) numaralı kısıtlar her ir tur veya gruun tam olarak iki itiş noktası olduğunu göstermektedir. (4) numaralı kısıt ir grupta yer alan siparişlerin ağırlıkları toplamının toplama aracının kapasitesini geçemeyeceğini ifade etmektedir. (5) numaralı kısıt hazırlık süresi ile ilgilidir. Bir grupta yer alan siparişlerin hazırlık süreleri toplamı grup için önceden elirlenmiş maksimum hazırlık süresini geçemez. (6) numaralı kısıt ziyaret edilecek nokta sayısı ile toplanacak parça sayısının eşit olması gerektiğini göstermektedir. Son olarak (7) numaralı kısıt ise her ir siparişin sadece ir grup içerisinde ulunacağını garanti etmektedir. (4) (5) (6) (7)

5 4. YÖNTEM ULUSLARARASI ALANYA İŞLETME FAKÜLTESİ DERGİSİ 5/3 (203) Genetik algoritmalar prolemlerin çözümü için evrimsel süreci ilgisayar ortamında taklit ederler. Genetik algoritmalar diğer klasik arama tekniklerinden farklı olarak, topluluk olarak adlandırılan aşlangıç rastsal çözümler kümesi ile çözüme aşlarlar (Gen ve Cheng, 2000; ). Prolem için olası pek çok çözümü temsil eden u küme genetik algoritma terminolojisinde nüfus adını alır. Nüfuslar vektör, kromozom veya irey adı verilen sayı dizilerinden oluşur. Birey içindeki her ir elemana gen adı verilir. Mevcut prolem için ir çözümü temsil eden topluluktaki her ir irey kromozom olarak adlandırılır. Kromozomlar ir dizi kısımlardan oluşur ve her ir kısım gen olarak ifade edilmektedir. Kromozomlar aşarılı iterasyonlar vasıtası ile evrim geçirirler ve yeni nesilleri oluştururlar. Her ir nesil ya da iterasyon için, topluluktaki her ir kromozom uygunluk fonksiyonu (fitness function) ile değerlendirilir. Çocuk (offspring) olarak adlandırılan yeni kromozomlar hem çaprazlama (crossover) operatörü kullanılarak mevcut nesildeki iki kromozomun eşleştirilmesi, hem de mutasyon (mutation) kullanılarak ir kromozomun modifikasyonu ile ortaya çıkarılırlar. Aile (parent) kromozomlarının ve oluşturulan çocukların ir kısmı uygunluk değerlerine göre seçilir. Geri kalanlar topluluk hacminin sait tutulması için elenir. Bu uygulama sonucunda yeni ir nesil oluşturulur. Belli ir iterasyon sonucunda ilgili proleme en iyi çözüm üreten kromozomun ortaya çıkması sağlanır. 4.. Çözümün kodlanması Kodlama GA nın en önemli kısmını oluşturmaktadır. Proleme GA uygulanmadan önce, verinin uygun şekilde kodlanması gerekir. Kurulan genetik modelin hızlı ve güvenilir çalışması için u kodlamanın doğru yapılması çok önelidir. Daha önce elirtilen prolemleri irlikte çözmek için, grup numarası esasına dayanan ir kromozom yapısı oluşturulmuştur. Her genin pozisyonu ir siparişe karşılık gelirken, genin içerisinde yer alan sayı grup numarasını ifade etmektedir. Burada grup numarası, ilgili grua karşılık gelen siparişleri ir araya getirmek için kullanılmıştır. Bu çalışma ile önerilen grup numarası azlı kromozom gösterimi Şekil 3 te gösterilmektedir. Bu örnekte kromozom 3 grup ve 0 siparişten oluşmaktadır. {2,4,7,9} numaralı siparişler numaralı grua, {3,6,8} numaralı siparişler 2 numaralı, {,5,0} numaralı siparişler 3. grua atanmıştır. Sipariş No Grup No Şekil 3 Grup numarası gösterimine dayalı kromozom yapısı 4.2. İlk Nüfusun Oluşturulması Genetik algoritma kullanılarak yapılan çalışmalarda, aşlangıç topluluğu olarak ilinen ve rastsal olarak elirlenmiş üyük ir kromozom kümesi ile çözüme aşlar. Başlangıç çözümü, genetik algoritmanın çözüme ulaşmasında çok önemli ir etkendir. Bu nedenle proleme uygun ir "aşlangıç nüfusu oluşturma yöntemi" seçilmelidir. Çok iyi uygunluk değerine sahip ir kromozomun aşlangıç çözümünde üretilmesi rastsallıktan dolayı oldukça zordur. Bu yüzden, aşlangıç nüfusunun ¼ lük kısmı geliştirilen Rota Benzerlik Metodu (Route Similarity Method) ile oluşturulurken geri kalan kısmı rastgele olarak oluşturulmuştur. Önerilen çözüm yönteminde, daha iyi uygunluk değerine sahip olan aşlangıç nüfusunun yarısı GA popülâsyonu olarak seçilir. Rota Benzerlik Metodu, rota enzerlik durumuna göre azı pozisyonları küme merkezi olarak seçer ve kalan siparişleri u kümelere pişmanlık değerlerine (regret value) göre atar. Önerilen kümeleme metodunun adımları şu şekildedir; Adım : Her ir sipariş (O i ) için En Yakın Komşu Algoritmasını kullanarak alt siparişlerin rotasını (R i ) elirle. Adım 2: Her ir sipariş (O i ) için rota mesafesini (D i ) hesapla. Adım 3: Her ir sipariş (O i ) için yoğunluk indeksi (DI i ) yi elirle. NS i =i siparişi içindeki alt siparişlerin sayısı Di DI i = Nsi Adım 4: Azalan değere göre yoğunluk indeksi değerlerini (DI i ) sırala. Adım 5: İlk olarak her ir siparişi çekirdek sipariş (S i ) olarak elirle ve diğer siparişleri her ir çekirdeğe atadıktan sonra aşağıdaki eşitliğe göre rota enzerlik faktörünü hesapla. Di = D S ij : S i çekirdek siparişine j siparişi eklendiğinde oluşan yeni enzerlik faktörü. S ij yeni 45

6 ŞAHİN-KULAK D i : Çekirdek sipariş (S i ) içerisindeki alt siparişlerin rota mesafesi, D yeni : j siparişi i çekirdek siparişine atandıktan sonra oluşan yeni rota mesafesi, Adım 6: S ij değerlerini azalan sıraya göre sırala ve daha iyi enzerlik değerleri için yeni O i -O j çiftleri oluştur. Adım 7: O i -O j çiftleri için yoğunluk indeksini tekrar hesapla. Küçük yoğunluk indeksine sahip siparişler daha yüksek seçim şansı ulacak şekilde seçim olasılığı değerlerini (p i ) elirle. Adım 8: O i -O j çiftlerini grup sayısı kadar rastgele seç. Adım 9: Bütün siparişleri, araç kapasitesi ve pişmanlık değerlerine göre en yakın küme merkezlerine ata. O i ye ait pişmanlık değeri, 8. adımda tanımlanan küme merkezlerinden kendisine en enzer olan sipariş merkezi ile ikinci en enzer küme merkezi arasındaki farkı ifade etmektedir. Adım 0: Adım 8 ve 9 u aşlangıç nüfusunun ¼ lük kısmı oluşturuluncaya kadar tekrar et Uygunluk Fonksiyonu Geliştirilen GA da uygunluk fonksiyonu oluşturulan gruplara ait rotaların toplam mesafesi olarak elirlenmiştir. Tüm kromozomlar içerisinde rotaların toplam mesafesini en az yapan kromozom en iyi çözüm olarak değerlendirilir. Her ir sipariş gruuna ait rota kısa sürede çözüm veren Kazanç ve En Yakın Komşu yöntemleri ile elirlenmiştir. Ayrıca grua atanan siparişlerin hazırlık süreleri toplamı aracın hazırlanması için önceden tanımlanmış süreden fazla ise ceza uygulaması yapılmaktadır. Buna göre geliştirilen çözüm yöntemi için uygunluk fonksiyonu; k Fi = D j + P j= şeklinde ifade edilmiştir. k: Oluşturulan sipariş gruu sayısı (i=,2,3,,k ) D j : j. sipariş gruu için depo içi dolaşım mesafesi (j=,2,3,,k) P: Ceza (Penaltı) Değeri F i : Uygunluk Fonksiyonu Kazanç Sezgiseli Clarke ve Wright (964) tarafından geliştirilen kazanç algoritması, en fazla kazancın sağlanacağı rotanın tespiti için kullanılan, karşılaştırmalı ir yöntemdir. Alınan ir aşlangıç noktasından itiaren (u çalışmada giriş çıkış noktası), itişin tekrar aşlangıç noktası olduğu en kazançlı çevrimin hesaplanması için kullanılır. Şekil 4. Kazanç algoritması x oi =referans noktası ile i düğümü arasındaki mesafe, x oj =referans noktası ile j düğümü arasındaki mesafe, x ij =i düğümü ile j düğümü arasındaki mesafe, Bu verilere göre, i-j rotasındaki kazancımız şu şekilde ulunailir; Sij = x 0i + x 0j x ij (i,j), i j 46

7 En Yakın Komşu Algoritması ULUSLARARASI ALANYA İŞLETME FAKÜLTESİ DERGİSİ 5/3 (203) Araç rotalarının elirlenmesi için sıkça kullanılan diğer ir yöntem ise En Yakın Komşu (Nearest Neighor) sezgiselidir. En yakın komşu sezgiseli, özellikle araç rotalama prolemlerinde çözüm kurucu olarak görev yapan asit ir sezgisel yöntemdir. Bu yöntemin adımlarını şu şekilde sıralayailiriz; Adım: Başlangıç noktasından en kısa mesafeli dağıtım noktasını elirle. Adım2: İlk dağıtım noktasından diğer dağıtım noktalarına olan mesafeyi elirle; Adım3: Mevcut mesafeler arasında en kısa olanı seç ve ikinci dağıtım noktasını elirle, Adım4: Tüm dağıtım noktaları tamamlanana kadar Adım 2 ve 3 ü tekrar et. Adım5: Dağıtım noktalarının elirlenme sırasına göre dağıtım noktalarını irleştir ve rotayı göster Kromozomların eşleştirme havuzuna alınması ve gelecek neslin oluşturulması Eşleştirme süreci ile seçilmiş aile kromozomlarından ir ya da daha fazla çocuk üretilmesi amaçlanmaktadır. Her nesil için eşleştirme havuzu oluşturulmadan elirtilen süreç gerçekleştirilemez. Topluluk içinden eşleştirme havuzuna seçilecek kromozomların elirlenmesi de GA nın iyi performans vermesi açısından oldukça önemlidir. Bu çalışmada, eşleştirme havuzuna seçilecek kromozomların elirlenmesi için σ-truncation (Golderg, 989) olarak adlandırılan uygunluk derecelendirme tekniği (fitness scaling technique) kullanılmıştır. Yine çaprazlama operatörü uygulaması için eşleştirme havuzundan aile kromozom çiftlerinin elirlenmesi gerekir. Bu noktada kullanılan yöntemler, rulet tekeri, sıra esaslı ağırlıklandırma ve turnuva metotlarıdır Genetik Operatörler Genetik operatörler kullanılarak, uygunluk değeri daha iyi yeni çocuk kromozomların oluşturulması amaçlanmaktadır. Bu amaç doğrultusunda çeşitli çaprazlama ve mutasyon operatörleri kullanılmaktadır. Çaprazlama operatörü, iki aile kromozomun özelliklerini irleştirerek daha iyi uygunluk değerine sahip çocukların ulunması için kullanılmaktadır. Literatürde irçok çaprazlama yöntemi ulunmaktadır. Önerilen genetik algoritma esaslı sipariş gruplama çözümünde, uniform ve geliştirilmiş enjeksiyon çaprazlama yöntemleri uygulanmıştır. Mutasyon operatörü olarak, ikili yer değiştirme, yer değiştirme, sağ ve sola rotasyon yöntemleri çalışmada kullanılmıştır. İkili yer değiştirme (swap) operatörünün örnek gösterimi Şekil 5 te verilmektedir. Sipariş No Grup No Sipariş No Grup No Şekil 5 İkili yer değiştirme operatörü Bazı durumlarda, yeni oluşturulan kromozomlarda grupların dağıtım aracı kısıdını aştığı görülmektedir. Her kromozomun oluşturulmasından sonra u kısıtları sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir. Şekil 6 tamir stratejisi ile ilgili ir örneği göstermektedir. 2 ve 7 numaralı siparişlerin ve 2 numaralı gruplara atanması durumunda araç kapasitesi aşılmakta ve çözüm uygunsuz olmaktadır. Özellikle mutasyon operatörünü kullandıktan sonra u şekilde çeşitli kısıtları karşılayamayan kromozomlar oluşmaktadır. Bu şekildeki kromozomların uygunsuzluğunu ortadan kaldırmak için tamir stratejisi uygulanır. 47

8 ŞAHİN-KULAK Sipariş No Uygun Olmayan Kromozom Grup No Rasgele 2 veya 3 Rasgele veya 3 Tamir Edilmiş Kromozom Sipariş No Grup No Şekil 6 Uygun Olmayan Sipariş-Grup Atamasının Tamir Edilmesi 4.6. Sonlandırma Koşulu GA iterasyonlarını sonlandırmak için uygunluk fonksiyonu değeri ve üst zaman sınırı olmak üzere eş zamanlı iki sonlandırma koşulu kullanılmıştır. Eğer mevcut topluluktaki ortalama ve en iyi uygunluk fonksiyonu değerleri ir sonraki topluluktaki ilgili değerlere elirli ir iterasyon sayısı süresince eşit kalıyorsa GA arama süreci sonlandırılır. Ayrıca her ir deneyin gerçekleşme süresini kontrol altında tutmak için üst zaman sınırı da elirlenmektedir. 5. UYGULAMA Deneysel çalışma için hazırlanan sipariş listesinde, sipariş sayısı, ağırlık ve toplama koordinatları rastgele olarak oluşturulmuştur. Daha önceki ölümde sunulan GA yaklaşımları, Visual Studio.NET programlama dili ile kodlanmış ve hazırlanan program için ir ara yüz tasarlanmıştır. Ara yüz yardımıyla, depo özellikleri ve genetik algoritmaya ait parametreler programa yüklenerek 2 GB RAM elleği olan ve 2.0 Ghz işlemcili standart ir ilgisayarda deneyler gerçekleştirilmiştir. Yapılan ANOVA testleri neticesinde elirlenen en iyi parametre seti Talo de gösterilmektedir. Talo 2 de hazırlanan sipariş listelerinde yer alan siparişlere ait ilgiler yer almaktadır. Taloda, siparişlerde ulunan toplam parça sayısı, siparişlerin toplam ağırlığı, toplama aracının kapasitesi, oluşturulailecek minimum grup sayısı ile ilgili ilgiler yer almaktadır. Talo Kullanılan parametre seti Popülasyon Hacmi Sipariş x0 Çaprazlama Metodu Uniform Çaprazlama Oranı 90% Mut. Yöntemi Yer Değiştirme Mut. Azalma Stratejisi Üssel azalma Mutasyon Oranı 0% Mut. Azalma Oranı 50% Elitizm Oranı 0% Aile Seçim Metodu Rulet Tekeri Talo 2 kullanılan deney setleri Sip. Top. Parça Top. Ağır. (kg) Araç Kap. (kg) Min. Grup DS DS DS DS DS DS DS DS İlk etapta, önerilen GA esaslı yöntemlerin (GAS, GANN) etkinlikleri, Chen ve arkadaşları (2005) tarafından geliştirilen GABM (Genetic Algorithm-S-Shape) yöntemi ile karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırma için klasik depo yerleşimi ile irlikte DS-DS4 arasında ulunan sipariş listeleri kullanılmıştır. İkinci etapta, DS5-DS8 arasında yer alan sipariş listeleri kullanılarak, çapraz geçitli depo yerleşiminde hem iki hem de üç oyutlu durumlar için deneyler gerçekleştirilmiştir. Klasik depo yerleşiminde, iririne paralel geçitler ve u geçitler arası geçişi sağlayan ön ve arka çapraz geçitler ulunmaktadır (akınız Şekil ). Çapraz geçitli depo yerleşiminde ise, klasik yerleşimde ulunan geçitlerin yanı sıra paralel geçitler arasında alternatif geçişlere olanak sağlayan çapraz geçit daha ulunmaktadır (akınız Şekil 2). Rafların ölçüleri her iki depo gösterimi içinde aynı alınmış olmasına rağmen, istenildiği takdirde hazırlanan programda depo ile ilgili ölüme farklı ilgilerin girilmesi suretiyle değişik depo yerleşimleri elde edileilmektedir. Deneylerde kullanılan depo yerleşimlerine ilişkin ilgiler Talo 3 de gösterilmiştir. Sipariş toplayıcılar, aşlangıç noktasından itiaren Kazanç ve En 48

9 ULUSLARARASI ALANYA İŞLETME FAKÜLTESİ DERGİSİ 5/3 (203) Yakın Komşu rotalama yöntemlerinin yardımıyla turlarını tamamladıktan sonra tekrar aşlangıç noktasına dönerler. Yapılan deneylerde aşağıdaki kauller yapılmıştır;. Bir siparişe ait parçaların irden fazla grua ölünmesi kesinlikle yasaktır. 2. Giriş noktası, klasik depo yerleşimi için sol alt köşede, çapraz geçitli depo yerleşimi için sol tarafta orta ölümde yer almaktadır (akınız Şekil ve Şekil 2). 3. Sipariş toplayıcı geçit içerindeki ir noktaya geldiğinde hem sağ hem de sol taraftan önemli ir yer değişimi gerçekleştirmeden siparişleri toplayailmektedir. 4. Sipariş toplayıcılar geçit içerisinde her iki yönde de hareket edeilmektedirler. Talo 3 Deneysel çalışmada kullanılan depolara ilişkin ilgiler Geçit Geçitteki Raf Toplam Yer Geçit uzunluğu İki geçit Arası mesafe Raf yüksekliği (m) DS DS DS DS DS DS DS DS Her ir prolem için GA esaslı yöntemler kullanılarak deneyler 0 defa tekrarlanmıştır. Her ir deney seti için elde edilen minimum ve maksimum ([min, max]) değerler Talo 4 te gösterilmektedir. Taloda ulunan süre ile kastedilen en iyi çözüme ait süredir. Elde edilen sonuçlara göre, GA ve En Yakın Komşu sezgisellerinin irleşiminden oluşan GANN yöntemi ütün deneyler için en iyi sonuçları vermektedir. GABM yöntemi proleme hızlı ir şekilde çözüm sağlamasına rağmen GANN ve GAS yöntemlerine göre daha uzun grup mesafeleri ortaya koymaktadır. GABM yöntemi, GANN yöntemi ile elde edilen en iyi sonuçlardan %7.06 ile %5.28 arasında kötü sonuçlar üretmektedir (akınız Talo 7). Talo 7 den de görüleceği üzere, GANN yöntemi uygunluk değeri akımında GABM yöntemine göre daha iyi sonuçlar verirken azı deneylerde hesaplama süresi olarak daha iyi performansa sahiptir. Talo 4 Klasik depo gösterimi için deney sonuçları Metot: GAS Grup Toplam Ortalama Süre (saniye) DS 5 [ ] [ ] 53 DS2 24 [ ] [ ] 670 DS3 25 [ ] [ ] 2456 DS4 22 [ ] [ ] 282 Metot: GANN Grup Toplam Mesafe (m Ortalama Süre (saniye) DS 5 [ ] [ ] 56 DS2 24 [ ] [ ] 22 DS3 25 [ ] [ ] 932 DS4 22 [ ] [ ] 896 Metot: GABM Grup Toplam Ortalama Süre (saniye) DS 5 [ ] [ ] 68 DS2 24 [ ] [ ] 60 DS3 25 [ ] [ ] 842 DS4 22 [ ] [ ] 873 * [min, maks.] değerleri 0 deneme sonucunda elde edilen en düşük ve en yüksek değerleri ifade etmektedir. 49

10 ŞAHİN-KULAK Geliştirilen yöntemlerin etkinliğini ölçmek için en iyi GA çözümünden sapma değerinin dikkate alınmasının yanı sıra, ulunan u farkın gerçekten anlamlı olup olmadığını test etmek için en üyük farkın oluştuğu ilk veri seti ile yapılmış deneylerin sonuçları ANOVA analizine tai tutulmuştur. F Testi sonucu Talo 5 te gösterilmektedir. Anlamlılık değeri 0 çıktığı için, çözüm yöntemlerinin vermiş oldukları sonuçlar arasında çok önemli düzeyde fark vardır. Bu farkın nereden kaynaklandığını ulmak için yapılan Tukey HSD çoklu karşılaştırma testinin sonuçları Talo 6 da sunulmuştur. Bu testin sonucuna göre, ve 2 numaralı veri gruplarını oluşturan En Yakın Komşu ve Kazanç sezgiselleri kullanan GA, GABM den farklı ir grupta yer almaktadır. GAS ve GANN, GABM ye göre anlamlı düzeyde iyi sonuçlar üretmiştir. Talo 5. Sonuç karşılaştırma için F testi Kareler Toplamı df Kareler Ortalaması F Anl. Gruplar Arası Grup İçi Toplam Talo 6 Çoklu karşılaştırma testi sonuçları Tukey HSD(a) alpha =.05 rotalama_yon N Sig.,00,00 Talo 7 Klasik depo yerleşimi için yöntemlerinin karşılaştırılması DS DS2 DS3 DS4 Uygunluk Değerleri ve En İyi GA Çözümünden Sapma Değeri (%) Hesaplama Süresi (Saniye) GAS GANN GABM GAS GANN GABM (2502) 2.55 (2438) (2878) (4440) (4244) (4748) (636) (5554) (6307) (6048) (586) (6258) İkinci karşılaştırma ise GANN ve GAS yöntemleri arasında çapraz geçitli depo gösterimi kullanılarak gerçekleştirilmiştir. DS-DS4 arasındaki veriler tek katlı raflardan oluşan depo sistemi için kullanılırken, DS5-DS8 arasındaki veriler üç katlı raflardan oluşan depo yerleşimi için kullanılmıştır. Literatürde ilk defa çapraz geçitli depo yerleşimi için GA esaslı çözüm yöntemleri geliştirilmiş olup, elde edilen sonuçlar Talo 8 de elirtilmektedir. Talo 8 den de görüleceği üzere GANN yöntemi, ütün sipariş listeleri için daha iyi uygunluk değeri ve hesaplama süresi sunmaktadır. 50

11 ULUSLARARASI ALANYA İŞLETME FAKÜLTESİ DERGİSİ 5/3 (203) Talo 8 Çapraz geçitli depo için elde edilen sonuçlar GAS GANN Veri Seti Grup Toplam Ort. Süre (sn) Veri Seti Grup Toplam Ort. Süre (sn) DS 5 [ ] [46,5-67,3] 25 DS 5 [ ] [44,2-53,4] 40 DS2 24 [ ] [74,-20,7] 2778 DS2 24 [ ] [75,3-83,7] 30 DS3 25 [ ] [96,-203,6] 249 DS3 25 [ ] [86,5-206,8] 82 DS4 22 [ ] [23,5-246,8] 4288 DS4 22 [ ] [28,-227,5] 368 DS5 5 [ ] [66,8-68,6] 87 DS5 5 [ ] [60,5-65,0] 54 DS6 24 [ ] [77,7-89,9] 252 DS6 24 [ ] [69,5-78,3] 420 DS7 25 [ ] [83,5-86,4] 3075 DS7 25 [ ] [75,9-95,3] 4 DS8 22 [ ] [03,4-7,] 3542 DS8 22 [ ] [8,0-03,6] 683 Elde edilen sonuçlara göre, çapraz geçitli depo gösterimi için GANN yöntemi, GAS yöntemine göre %4.20 ile %0.6 arasında daha iyi sonuç vermektedir. Karşılaştırma sonuçları Talo 9 da verilmiştir. Talo 9 Çapraz depo için GANN ve GAS yöntemlerinin karşılaştırılması Veri Seti DS DS2 DS3 DS4 DS5 DS6 DS7 DS8 Uygunluk Değeri ve En iyi GA Çözümünden Sapma (%) İşlem Süresi (Sn) GAS GANN GAS GANN (2398) 9.75 (4280) 6.35 (4904) 4.89 (4800) 4.20 (002) 9.38 (866) 0.6 (2088) 9.09 (2304) 7.8 (264) (4008) (4664) (4598) (908) (668) (898) (224) SONUÇ Bu çalışmada, sipariş toplama mesafesinin minimizasyonu için genetik algoritma esaslı yöntemler geliştirilmiştir. Çalışmanın ortaya çıkışında, günümüzün eğilimlerinde olan iriri ile ilişkili olan prolemlerin eş zamanlı çözümü fikrinden yola çıkılmış ve depolarda yoğun olarak gerçekleştirilen sipariş gruplama ve toplayıcı rotalama prolemleri ele alınmıştır. Prolemlerin hiyerarşik çözümü yerine GA ile Kazanç ve En Yakın Komşu sezgiselleri irleştirilmek suretiyle GANN ve GAS isimli iki çözüm yöntemi sunulmuştur. Geliştirilen yöntemler, aşlangıç çözümünün oluşturulmasında Rota Benzerlik Metodu nun kullanımı, prolemlere eş zamanlı olarak çözüm sunması ve çapraz geçitli depo yerleşimine uygulanması açısından literatürde ilktir. Daha önce önerilen çalışmalarda, u iki prolemden irisi devre dışı ırakılarak diğeri üzerine yoğunlaşılırken u çalışmada elirtilen iki proleme eş zamanlı çözüm sunulmaya çalışılmıştır. Çalışmada, uygunsuz sipariş-grup atamasının önüne geçileilmesi için tamir stratejileri kullanılmıştır. Önerilen yöntemlerde kullanılacak parametre setinin elirlenmesi için Tekyönlü Varyans Analizi gerçekleştirilmiştir. En iyi parametre setinin elirlenmesinin ardından yöntemlerin etkinliği klasik depo yerleşiminde, Hsu ve diğerleri (2005) in geliştirdiği GABM yöntemi ile karşılaştırılmıştır. Önerilen yöntemler %2.45 ile %5.28 arasında değişen oranlarda daha iyi sonuçlar üretmiştir. GAS yöntemi kullanılarak elde edilen çözümlerin süresinin diğer yöntemler ile karşılaştırıldığında daha uzun olduğu görülmektedir. Ancak u yöntem çözüm değeri olarak GABM yöntemine nazaran daha iyi sonuçlar üretmiştir. GANN yöntemi, uygunluk değeri açısından en iyi çözümleri sunarken, zaman açısından da GABM yönteminden ya daha iyi ya da yakın çözümler ortaya koymuştur. 5

12 ŞAHİN-KULAK Deneylerde kullanılan sipariş listelerinin üyüklükleri düşünüldüğünde, geliştirilen yöntemlerin gerçek sistemlere de uygulanaileceği görülmektedir. Gelecekte yapılacak çalışmalar için depo içi sipariş gruplama ve rotalama prolemlerinin, tedarik zincirinin performansını arttırmak adına, depo dışı sipariş dağıtım prolemi ile entegre ir şekilde çözümünün gerçekleştirileileceği düşünülmektedir. KAYNAKÇA AKSU, A.A, KÖKSAL, C.D. (2005). Perceptions and Attitudes of Tourism Students in Turkey, International Journal of Contemporary Hospitality Management, 7 (4/5): BOZER, Y. A., KILE, J. W. (2008). Order Batching in walk-and-pick order picking systems, International Journal of Production Research, 46 (7): BOTTANI, E., CECCONI, M., VIGNALI, GIUSEPPE, V., MONTANARI, R. (202). Optimization of storage allocation in order picking operations through a genetic algorithm, International Journal of Logistics Research and Applications: A Leading Journal of Supply Chain Management, 5 (2): BUKCHIN, Y., KHMELNITSKY, E., YKUEL, P. (202). Optimizing a dynamic order picking process, European Journal of Operational Research, 29: CHEW E.P., TANG L.C. (997). Travel time analysis for general item location assignment in a rectangular warehouse, European Journal of Operational Research, 2: COYLE, JHON J., EDWARD, J. B., LANGLEY, J. (996). The management of usiness logistics. 6th edition, West Pulishing Company: St. Paul. DE KOSTER, M., VAN DER POORT, E., WOLTERS, M. (999). Efficient Order atching Methods in Warehouses, International Journal of Production Research 37 (7): DRURY, J. (998). Towards more efficient order picking. The Institute of Materials Management, Cranfield. GADEMANN, A. J. R. M., VAN DEN BERG, J. P., VAN DER HOFF, H. H. (200). An order atching algorithm for wave picking in a parallel-aisle warehouse, IIE Transactions, 33: GEN, M. & CHENG, R. (2000). Genetic Algorithms and Engineering Design. Willey, New York. GOLDBERG, D. E. (989). Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley, Boston. GOETSCHALCKX, M. AND ASHAYERI J. (989). Classification and design of order picking systems, Logistics World, June : HENN, S., KOCH, S., DOERNER, K. F., STRAUSS, C., WASCHER, G. (200). Metaheuristics fort the Order Batching Prolem in Manuel Order Picking Systems, Business Research, Official Open Access Journal of VHB, 3 (): HENN, S., WÄSCHER, G. (202). Tau search heuristics for the order atching prolem in manual order picking systems, European Journal of Operational Research, 222 : HSIEH L., TSAI L. (2006). The optimum design of a warehouse system on order picking efficiency, International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 28 (5-6): HSIEH, L. F., HUANG, Y. C. (20). New atch construction heuristics to optimise the performance of order picking systems, Int. J. Production Economics, 3: HSU, C.M., CHEN, K.Y., CHEN, M.C. (2005). Batching Orders in warehouse y minimizing travel distance with genetic algorithms, Computers in Industry, 56: LIN C.H., LU I.Y. (999). The procedure of determining the order picking strategies in distriution center, International Journal of Production Economics, 60-6 (): MILLER, A. (2004). Order Picking for the 2st Century: Voice vs. Scan Technology. ( ). NIEUWENHUYSE, I. V., DE KOSTER, R. B. M. (2009). Evaluating order throughput time in 2-lock warehouses with time window atching, Int. J. Production Economics, 2 (2): PAN, J. C. H., SHIH, P.S., WUNG, M, H. (202). Storage assignment prolem with travel distance and locking considerations for a picker-to-part order picking system, Computers & Industrial Engineering, 62 (2): PAN, L., HUANG, J. Z., CHU, S. C. K. (20). Order Batching and Picking in a Synchronized Zone Order Picking System, IEEE International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management, 7-0 Decemer 20, Macau, Singapore. PETERSEN, C. G., AASE, G. (2004). A Comparison of picking, storage, and routing policies in manual order picking, International Journal of Production Economics, 92 (): -9. ROODBERGEN, K. J., VIS I. F. A. (2006). A model for warehouse layout. IIE Transactions, 38 (0): ROODBERGEN, K.J., DE KOSTER R. (200a). Routing order pickers in a warehouse with a middle aisle, International Journal of Production Research, 33 ():

13 ULUSLARARASI ALANYA İŞLETME FAKÜLTESİ DERGİSİ 5/3 (203) ROODBERGEN, K.J., DE KOSTER R. (200). Routing methods for warehouses with multiple cross aisles, International Journal of Production Research, 39 (9): RUBEN, R. A., JACOBS F. R. (999). Batch Construction Heuristic and Storage Assignment Strategies for Walk/Ride and Pick Systems, Management Science, 45 (4): TSAI, C.-Y., LIOU, J.J.H., HUANG, T.-M. (2007). Using a multiple-ga method to solve the atch picking prolem: considering travel distance and order due time, International Journal of Production Research, (): -23. VAN DEN BERG, J.P. (999). A literature survey on planning and control of warehousing systems, IIE Transactions, 3 (8): YU, M., DE KOSTER, R. (2008). Performance approximation and design of pick-and-pass order picking systems, IIE Transactions, 40 (): WON J., OLAFSSON S. (2005). Joint order atching and order picking in warehouse operations, International Journal Of Production Research, 43 (7):