Margarita Ginovska, Hristina Spasevska Nevenka Andonovska F İ Z İ K ortaöğretim mesleki eğitimin birinci yılı için 2014 yılı

Transkript

1 Margarita Ginovska, Hristina Spasevska Nevenka Andonovska F İ Z İ K ortaöğretim mesleki eğitimin birinci yılı için 014 yılı

2 Editör Türkçeye tercüme eden Saki Yusufoski Elektrik Mühendisi Ressam İgor Pançevski Nevenka Andonovska Türkçeye tercüme eden Saki Yusufoski, Elektrik Mühendisi Türkçe lektör Erdal Kukul Redaksiyon Dr. Garip KARTAL / CIP -., 53(075.3), : /,,. - :, :. ; 30 ISBN , [ ]., [ ] COBISS.MK-ID

3 Önsöz Bu okuma kitabı ortaöğretim mesleki eğitiminin birinci yılının Fizik dersinin tedrisat plan ve programına göre yazılmıştır ve bu plan ve program şu meslekleri kapsamaktadır: Sağlık, tarım-veteriner, kişisel hizmetler, kimya-teknoloji, orman-odun işleme, inşaat ve bina ölçme, grafik, elektro-teknik, makinecilik, ulaşım ve tekstil-deri işleme. Bu kitap ortaeğitim tüm mesleki eğitimin birinci yıl fizik tedrisat programlarını enteğre ettiği için, ortaeğitim mesleki eğitimin birinci sınıflarındaki Fiziğin tüm konularını sunmaktadır. Bu kitap sunulan konuların aracılığıyla belirli bir mesleğe ait olan içerikleri seçmeyi sağlar ve öğrencilerin öğreneceği bilgiler meseğin kullanımı için yaramaktadır. Bunun için bu kitapta fiziğin birçok disiplini işlenmiştir ve bunlar 14 grupta toplanmıştır: 1) Fiziğe giriş, ) Kinematik, 3) Dinamik, 4) İş ve enerji, 5) Katı cismin dönme haraketi, 5) Statik, 7) Akışkanlar Mekaniği, 8) Moleküler Fizik, 9) Termodinamik, 10) Mekanik Titreşimler ve Dalgalar, 11) Elektrik ve Manyetizma, 1) Optik, 13) Atom Fiziği, 14) Nükleer Fizik. Bu kitabın iki temel hedefi vardır: Öğrenciye Fiziteki temel prensiplerin basit ve mantıklı gösterimini ve reel hayattan alınan enteresan örnekler ile öğrencinin bu prensipleri daha iyi anlamasını sağlamaktır Bu iki hedefe ulaşmak için, tematik üniteler belirli sayıda örnek içermektedir, bunlarla hem malzeme açıklanıyor hem de ünitenin sonunda öğrencinin kendi başına çalışmak için sorular ve ödevler verilmiştir. Ödevlerin çözümü verilmiştir ve öğrencinin verilen problemlerin çözme prensibini ögrenmesi için örnekler çözülmüştür. Seçilen ödev ve örnek seviyesinin öngörülen mesleklere ait ögrencilerin yaşına göre uyması için çaba harcanmıştır. Bu bir yandan ögrencilerin malzemeyi zor çekmeden ögrenmesini sağlıyor, öteki yandan fiziğin öteki bilimsel disiplinlerdeki, mühendislikte, kimyada ve tıbtaki rölünü vurgulamaktadır. Ayrıca, herbir ünitede fiziksel büyüklükler ve kanunlar el yazısıyla yazılmıştır, en önemli sonuçlarda ise aklında tut sözü duruyor. Malzemeyi daha kolay ögrenmek için herbir konunun sonunda fizikteki en önemli kanunların özeti verilmiştir. Daha çok ögrenelim konusuyla İnternette bir sayfa verilmiştir ve öğrenci burada ilginç örnekler ve fiziksel kanunlarının bilgisayar simülasyonunu bulabilir. Bu kitap üç ögretim üyesi ile yapılan işbirliği sayesinde yazılmıştır, D-r Hristina Spasevska Fiziğe Giriş, Dinamik, İş ve Enerji, Akışkanların Mekaniği ve Moleküler Fizik kısımlarının müelifidir; Dr-Margarita Gınovska Kinemtaik, Katı cismin dönme haraketi, Statik ve Termodinamik kısımları müelifidir; D-r Nevenka Andonovska Mekanik Titreşimler ve Dalgalar, Elektrostatik ve Doğru Elektrik Akımı, Optik ve Atomik ve Nükleer Fizik birimlerinin müelifidir. Kitap yazılırken en çağdaş Makedonca ve yabancı kaynaklar ve çok sayıda İnternet sayıları kullanılmıştır kullanılmıştır. Ayrıca birinci yılda okuyan öğrencilerin bilgi seviyesine ayarlanmış matematiksel 3

4 aparatı kullanılarak malzeme en çağdaş ve en kolay şekilde sunulmuştur. Bu uğraşın nekadar değerli olduğunu ancak bu kitabın kullanımı gösterecektir. Üsküp, 010 yılı Müelifler 4

5 1. FİZİĞE GİRİŞ 5

6 1.1. Bir doğa bilimi olarak fizik Fiziksel büyüklükler ve birimler Ölçme ve ölçmede yapılan hatalar...10 Özet...1 6

7 1.1. BİR DOĞA BİLİMİ OLARAK FİZİK Fizik bir doğa bilimidir. Fiziğin adı Yunan sözü fizis ten gelmektedir ki bu söz doğa demektir. XVI. Yüzyılın ortalarına kadar fizik bilimi birçok ilim içeriyormuş. Kendi başına bir ilim olarak İtalyan fizikçisi Galileo Galilei ( ) zamanında gelişmeye başlıyor. Bu bilim adamı ilk defa fizik araştırmalarında bilimsel yöntemi kullanmaya başlamıştır ve Isac Newton ( ) ile Klasik Mekaniğin kurucularıdırlar. Klasik Elektromekaniğin gelişmesi James Maxwell ( ) ile bağlantıdadır ve bu durum XIX. Yüzyılın sonuna kadar sürecektir. XIX. yüzyılın ikinci yarısı ve XX. başlangıcı fiziğin yoğun gelişmesi zaman dilimleridir ve bunun sonucu olrak tüm öteki bilimler de gelişiyor, bu da tekniğin gelişmesini beraberinde getiriyor. XX. yüzyılın başlarında Modern Fizik, daha doğrusu Mikro parçacıklar (Atomlar, moleküller, iyonlar) Fiziği veya Kuantum Mekaniği gelişmeye başlıyor. Bu çok hızlı gelişme ve Fiziğin öteki bilim dalları ile bağlantısı sonucu, XX. yüzyılda yeni bilimsel disiplinler ortaya çıkıyor: Biyofizik, Fiziksel Kimya, Jeofizşk, Astrofizik ve başka. XX. yüzyılın ikinci yarısında yarıiletkenler Fiziğinin gelişimi elektroniğin çok hızlı gelişimini beraberinde getirdi. Bu da Bilişim ve Sibernetiğin gelişmesine yol açtı. Buna benzer fisyonun da keşfi unutulmamalıdır ki bu temel enerji kaynaklarından biridir ve Dünyadaki enerji krizini azaltmaktadır Tarih açısından bakıldığında Fiziğin ayrı ayrı disiplinlere bölünmesi yeni buluşlarla paralel olarak oluyor. Daha XIX. yüzyılda ayrı ayrı disiplinler olarak, Katı, Sıvı ve Gaz Cisimleri Fiziği, Sesbilimi, Termodinamik, Elektrik, Manyetizma ve Optik. XX. yüzyılda yeni buluşlar yeni disiplinlerin oluşmasına yol açıyor ve bunlar: Kuantum, Atomik ve Nükleer Fizik ve Katı Cismin Fiziği. Fizikteki her bir buluş tekniğin gelişmesine yol açıyor. Her bir yeni teknik buluş Fizikte kullanılıyor ve yeni fizik buluşlarına yol açıyor. Buna benzer, Fizik ve Matematik arasında kopmayan bağlantı var ve bu Fiziğin gelişmesini sağlıyor. Ölçme, problem çözme, olay ve süreçlerin grafiksel gösterimi Matematik kullanmadan yapılamazlar. Bunun için Matematik Fiziğin dilidir. Aklında tut! Fiziğin hedefi doğadaki olayları araştırmak ve bu olayların nerde, ne zaman ve nasıl meydana geldiklerinin cevabını vermektir Fizik bize doğanın maddesel olduğunu, maddeden yapılı olduğunu ve herbir olayın temelinde hareket olduğunu öğretiyor. Madde objektif bir gerçektir ve kendisini duyularıyla algılayan ve inceleyen insandan bağımsızdır. Madde çeşitli şekillerde vardır, 7

8 elementer parçacıklar veka makro cisimler. Doğada rastladığımız herbir cisme fiziksel cisim denir. Madde fiziksel cisimleri veya bunların parçacıklarını (molekül ve atomlarını) oluşturuyor. Herbir cisim bir maddeden yapılmıştır: su, demir, karbon, bakır, kalsiyum vb. Ancak, madde enerji şeklinde de vardır ve buna fiziksel alan denir ve bu alan genel çekim, nükleer, ışık vb. alan olabilir. Alanda ise bazı süreçler oluşuyor ve kuvvet etkisi olarak ortaya çıkıyorlar. Diyebiliriz ki doğadaki cisimlerin karşılıklı etkisi fiziksel alan aracılığıyla oluşuyor. Örneğin, Dünya ve Ay arasındaki karşılıklı etki genel çekim alanı aracılığıyla oluşuyor; atom çekirdeği ve elektronlar arasındaki karşılıklı etkileşim elektrostatik alanı aracılığıyla meydana geliyor, vb. Ancak, unutmamalıyız ki madde ve hareketi birbirlerinden ayırmamalıyız. Madde sürekli hareket ediyor, daha doğrusu, maddesiz hareket yok ve hareketsiz madde yok. Hareket sonucu olan maddesel doğadaki değişimlere doğasal olaylar diyoruz. Maddenin birçok çeşit hareketi sonucu bu olaylar da birçok çeşittirler. Hareket çeşidine göre Fizik Mekanik, Isı, Optik, Elektrik ve Manyetizma, Atomik ve Nükleer dallarına bölünüyor ve bunun için bugünlerde fizik bilimi kavramı değil ancak fizik bilimleri kavramı kullanılmaktadır. Fizikteki buluşlarla pratik anlamı olan alanlar gelişiyor. Fizikte ulaşılan temel başarılar tekniğin gelişmesine yol açıyor. Ancak teknik çağdaş makinelerini ve cihazlarını fiziğe sununca, fizik mikro dünyanın ve uzayın sırlarını açıyor. Bunun için, çeşitli profil uzmanlar fiziği incelemeli ve bunu o derecede yapmalılar ki fiziğin başarılarını imalatta, sanayide, yeni teknolojilerde ve doğayı korumada kullanabilecekler. Sorular ve ödevler 1. Fiziğin görevi nedir?. Madde nedir, fiziksel alan nedir? 3. Doğadaki olaylar neden oluşuyor? 4. Fizik neden araştırılmalı? 1.. FİZİKSEL BÜYÜKLÜKLER VE BİRİMLER Önceden söyledik ki Fizik doğasal olayları inceliyor ve açıklıyor. Bunu yaparken gözlem yapılıyor, ortaya hipotezler konuluyor, deney ve ölçme yapılıyor ve böylece sonuçlara varılıp ortaya fiziksel kanunlar koyuluyor. Doğadaki bulunan her olay fiziksel bir büyüklükle temsil edilebilir. 8

9 Aklında tut! Fiziksel büyüklükler fiziksel olayları veya maddenin belirli özelliklerini temsil ediyorlar. Bir fiziksel olayı karakterize eden fiziksel büyüklüklerin aralarındaki bağlantı bu olayın fiziksel kanununu veriyor. Fiziksel kanun matematiksel yoldan da ifade edilebiliyor ve böylece, bu kanunun hem denklemi hem de fiziksel büyüklüklerin nicel bağlantısı elde ediliyor. Her fiziksel büyüklük ölçülebilir. Bir fiziksel büyüklüğü ölçmek önceden bir birim olarak alınmış aynı cinsten büyüklük ile karşılaştırmak demektir. Ölçülen X fiziksel büyüklüğü n sayısal değeri ve x biriminin çarpımıyla işaret edilir. Daha doğrusu, eğer bunu bir denklem ile ifade edersek: X n x (1.1) temel (tablo 1) ve iki ek ölçü birimi tanımlanmıştır. Tüm öteki ölçü birimleri temel ve ek ölçü birimlerinden türetilmiştir. Bunlara türetilmiş birimler denirdir. Tablo 1 Milletlerarası ölçü sisteminde Temel birimler (SI) Fiziksel Büyüklük Ölçü birimi İşareti Uzunluk metre m Kütle kilogram kg Zaman saniye s Elektrik akımı amper A Termodinamik sıcaklık kelvin K Işık şiddeti kandela cd Madde miktarı mol mol Bu da demek ki herhangi bir fiziksel büyüklüğün tanımlanması için sayı ile ifade edilen değerden başka birim değerin de durması gerekiyor. Örneğin: uzunluk 0,4 m, zaman 10, s, kütle 355 kg, elektrik akımı A vb. Dünyadaki ölçü birimlerini senkronize etmek için Paris te, 1960 yılında tutulan XI. Ölçü ve Tartma Genel Konferansında Milletlerarası (ölçü) sistemi (Système İnternational d Unitès) ve kısa bir şekilde SIsistem olarak geçiyordur. Bu sistemde yedi Ek birimler radyan (işareti rad), düzlem açısı için kullanılıyor ve steradyan (işareti sr), alan açısı için kullanılmaktadır. Problem çözdüğümüzde tüm ölçü birimleri SI sistemine ait olmalıdır. Birçok defa, problem çözerken hesaplamayı basitleştirmek için fiziksel büyüklüğün değeri daha büyük veya daha küçük birim ile ifade edilmeli. Daha büyük veya daha küçük birimlerin kısaltılmış yazılması için tablo de verilen önekler kullanılıyor. 9

10 Tablo Ölçü birimlerinin önekleri Çözüm. Tablo de G önekinin değeri 10 9 dur, böylece platformun kütlesi 1, 10 9 olacaktır. Önek İşareti Değeri Eksa E Peta P Tera T 10 1 Giga G 10 9 Mega M 10 6 Kilo K 10 3 Hekto h 10 Deka da 10 1 Detsi d 10-1 Santi c 10 - Mili m 10-3 Mikro μ 10-6 Nano n 10-9 Piko p 10-1 Femto f Ato a Örnek1. Bir metal platformun kütlesi 1, Gkg dır. Platformun kütlesi kg ile ifade edilirse kaç kg olacaktır? Örnek. Bir otomobilin hızı 7 km/h dır. Eğer bu hızı m/s ile ifade edersek ne kadar olacaktır? Çözüm. Otomobilin hızını fiziksel büyüklüklerin yok ve zaman temel birimleriyle ifade etmek için, kilometreleri metre ile saat ise saniye ile ifade edilmelidir. Bunu da şu denklem ile yazabiliriz: 3 km 10 m v m/s. h 3600 s Sorular ve ödevler 1. Fiziksel büyüklükler neyi karakterize ediyor?. Dünyada hangi birim sistemi en genel olarak kabul edilmiştir? 3. SI sisteminde kaç temel fiziksel büyüklük var ve bunlar hangileridir? 4. Bir toz parçacığının yarıçapı mm dir. Bu parçacığın yarıçapı metre ile ifade edildiğinde ne kadardır? Cevap: [ m.] 1.3 ÖLÇME VE ÖLÇMEDE YAPILAN HATALAR Fiziksel kanunların gösterilmesinde veya ispatlamasında fiziksel büyüklüklerin ölçülmesi yapılıyor. Önceden söylemiştik ki bir fiziksel büyüklüğün ölçülmesi 10

11 önceden birim ölçü olarak alınan ve aynı cinsten olan fiziksel birim ile karşılaştırmak demektir. Bir ölçmedeki hata fiziksel büyüklüğün ölçülen ve gerçek değeri arasındaki farktır. Hata ne kadar daha küçük ise ölçme de o kadar daha doğrudur. Hiçbir ölçme mutlak doğru yapılamıyordur. Bir ölçmede yapılan hatalar sistematik ve tesadüf hatalardır. Sistematik hataları doğası objektif olan hatalardır ve deney yapan kişi bunları ortadan kaldıramaz. Bu hatalar ölçü cihazlarının ve ölçme metotlarının mükemmel olmadığından kaynaklanıyorlar. Fiziksel büyüklüğün gerçek değerini sadece tek yönde değiştiriyorlar, daha doğrusu, ya arttırıyorlar ya da azaltıyorlar. Bunun için sistematik hataları fiziksel büyüklüğün değerini ifade ettiğimizde göz ardı ediyoruz. Tesadüf hatalar sübjektiftir ve deney yapan kişinin duyularının mükemmel olmayışından ve kendisinin yeterince tecrübesi olmadığından kaynaklanıyorlar. Buna benzer, tesadüf hatalar dış faktörlerin etkisinden de (harici sıcaklığın veya basıncın ölçü haletlerine etkilerinin değişmesi). Herhangi bir fiziksel büyüklüğün ölçülmesinde meydana gelen sapmalar pozitif veya negatif olabilirler, daha doğrusu, ölçülen değerler gerçek değerden daha büyük veya daha küçük olabilirler. Ölçülen büyüklüğün farklı değerleri belirli bir aralığın içine giriyorlar ve gerçek değerin etrafına toplanıyorlar. Bu hatalar minimuma indirgenebilir, ancak sonuna kadar ortadan kaldırılamazlar. Bunun için ortaya, ölçülen değerin en olası değeri hangisidir ve yapılan hata ne kadardır sorusu koyuluyor. Tesadüf hatalar hesaplanabilir çünkü bunlar matematik istatistik ve olasılığına itaat ediyorlar, daha doğrusu, bir ölçmede gerçek değerden daha büyük veya daha küçük değer elde etme olasılığı aynıdır. Bunun için ölçülen X büyüklüğünün en olası değeri X ort ortalama aritmetik değerdir. X1 X X 3... X n X sr. (1.) n X ort ortalama aritmetik değer ve herbir ölçülen fakat pozitif işaret ile alınan X n değer arasındaki farka mutlak hata denir ve ΔX n ile işaret ediliyor. Her ölçme için şöyle ifade ediliyor:. (1.3) X n X sr X n Her ölçmenin ΔX mutlak hatasının toplamı n ölçme sayısıyla bölünürse mutlak hatanın ortalama değerini verecektir, daha doğrusu: X X X X X n sr (1.4) n Ölçülen büyüklüğün gerçek X gerçek değeri X ort ortalama değeri ve mutlak hatanın ortalama değeri ΔX ort ile ifade ediliyor: X X sr X sr. (1.5) Ortalama mutlak hata ΔX ort ve ölçülen büyüklüğün ortalama değeri X ort arasındaki orana ε izafi hata denir ve yüzde ile ifade edilir: X sr 100%. (1.6) X sr 11

12 Soru ve ödevler 1. Ölçme yaparken neden hata beliriyor?. Hatalar hangi çeşitten olabilirler? 3. Mutlak ve izafi hata nasıl tanımlanıyorlar? 4. Bie ölçülen fiziksel büyüklüğün değeri nasıl ifade ediliyor? ÖZET Fiziğin ödevi doğadaki olayları inceleyip bunların ne zaman, nerede ve nasıl meydana geldikleri sorularına cevap vermektir. Fizik bize doğanın maddeden yapılı ve her bir olayın arkasında hareketin olduğunu öğretmektedir. Madde objektif bir gerçektir ve kendisini duyularıyla algılayan ve inceleyen insandan bağımsızdır. Fiziksel cisimler, daha doğrusu bunların parçacıkları (moleküller ve atomlar) maddeden yapılıdır. Ancak maddenin enerjik şekli de vardır ve bu şekle fiziksel alan denir. Maddenin hareketi sonucu maddeden yapılı doğada bir takım değişmeler meydana gelir ve bunlara doğasal olaylar denir. Fiziksel olayları veya maddenin belirli özelliklerini fiziksel olaylar karakterize ediyor. Ölçülen X fiziksel değer sayısal n değeri ve kendisinin ölçü birimi x arasındaki çarpım ile ifade ediliyor. X n x. SI sisteminde yedi temel ve iki ek ölçü birimi vardır. Tüm öteki ölçü birimleri temel ve ek birimlerden türetilmiştir. Bir ölçmedeki beliren hata fiziksel büyüklüğün ölçülen ve gerçek değeri arasındaki farktır. Ölçme esnasında yapılan hatalar sistematik ve tesadüf olabilirler. Ölçülen büyüklüğün en olası X değeri ölçmede elde edilen değerlerin aritmetik ortalama X ort değerine eşittir. X sr X1 X X 3... X n. n Ölçülen fiziksel değerin gerçek X değeri kendisinin ortalama X ort değeri ve mutlak ΔX ort hatanın aritmetik ortalama değeri ile ifade ediliyor: X X sr X sr Ortalama mutlak hata ΔX ort ve ölçülen büyüklüğün ortalama değeri X ort arasındaki orana ε izafi hata denir ve yüzde ile ifade edilir: X sr 100%. X sr Daha çok öğrenelim: 1

13 . KİNEMATİK

14 .1. Vektörel büyüklükler ve vektörlerle yapılan temel işlemler Mekanik hareket Düzgün doğrusal hareket Sabit ivmeli hareket Atışlar Eğrisel hareket...36 Özet

15 .1. VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER VE VEKTÖRLERLE YAPILAN TEMEL İŞLEMLER Mekanikteki birçok büyüklük matematiksel yoldan vektör ve skaler olarak ifade edilebilirler. Skaler öyle bir büyüklüktür ki sadece sayısal değeri ile ifade ediliyor. Skaler pozitif veya negatif sayı olabilir. Vektör ise öyle bir büyüklüktür ki sayısal değeri, doğrultusu ve yönü ile belirlenir. Hepimiz matematik işlemleri olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi çok iyi biliyoruz. Bu işlemler iki veya birçok skaler büyüklüğün, örnek: kütle, zaman veya hacmin kombinasyonunda kullanıyoruz. Ancak vektörel büyüklüklerin toplamında ayrı bir metot kullanıyoruz, çünkü bunların toplamında hem doğrultularını hem de yönlerini göz önünde bulundurmalıyız. Mekanikte kullanılan vektörel büyükleler şunlardır: yer değiştirme, kuvvet, hız, ivme, kuvvet momentumu, dönme momentumu, açısal hız vektörü ve açı momentumu. Vektörlerle yapılan temel işlemler Vektörleri toplama. Vektörleri toplama yöntemi bir gölde hareket eden bir gemi örneğiyle göstereceğiz. Varsayalım ki gemi A noktasından yola çıkıyor ve bu durum resim.1. de gösterilmiştir. Gemi kuzeye doğru hareket ederek B noktasına ulaşır ve 6 km yol alır. B noktasında doğrultusunu değiştirerek doğuya doğru hareket etmeye başlıyor ve 4 km yol aldıktan sonra C noktasına ulaşıyor. Olsun ki gemi toplam 6+4=10 km yol almıştır ilk ve son konumları arasındaki mesafe bu aritmetik toplam ile elde edilmiyor. Geminin başlangıç konumuna göre gerçek yer değiştirmesini bulmak için resim.1 de gösterilen diyagramı çizmemiz ve bunu belirli bir ölçü ile yapmamız gerekiyor. Batı Kuzey Güney Doğu Res..1. Vektörleri toplama diyagramı Geminin başlangıç konumuna göre gerçek yer değiştirmesini bulmak için yukarıdaki resimde gösterilen diyagramı çizmemiz lazım ve bunu belirli bir ölçü kullanarak yapabiliriz. Kalem ve çizelge (santimetre 15

16 ölçülü) ile 6 cm uzunluğunda olan AB çizgisi çiziliyor ve bu kuzeye doğru yapılan yer değiştirmeyi gösteriyor. Bundan sonra, B noktasından başlayarak sağ tarafa doğru 4 cm uzunluğunda BC çizgisi çiziliyor ve bu çizgi doğuya doğru yapılan 4 km uzunluğundaki yol değiştirmeyi gösteriyor. A ve C noktalarını bağlayarak dikey açılı üçgen elde ediliyor. Bundan sonra, bu üçgenin R hipotenüsü daha doğrusu A noktasından C noktasına olan mesafe ölçülüyor ve bu mesafe 7, km dir ki bu da bileşke olan yer değiştirmedir. Bunu matematiksel yoldan şöyle ifade edebiliriz: R a b. (.1) Açıölçer ile A köşesindeki açı ölçülür ve bu açı 33,7º. Demek ki bileşen R vektörünün yönü a vektörüne göre 33,7º dir. Genelde vektör diyagramlarında tüm vektörler birer ok ile gösteriliyor öyle ki her bir ok belirli bir yöne doğru belirli bir ölçüde çiziliyor. Çizmede biraz alışkanlıktan sonra görülecek ki diyagramın çiziminde hangi ölçü kullanılırsa kullanılsın bileşen vektörün yönü ve doğrultusu ayni kalacaktır. Res..1 deki R vektörünün büyüklüğünü hesaplamak için geometriden Pisagor teoremi kullanılıyor ve bu teoreme göre her dik açılı üçgende hipotenüsün karesi öteki iki kenarın karelerinin toplamına eşittir: R = a + b. (.) a ve b değerlerini yerlerine koyarak şunu elde ediyoruz: R = = 5 (.3) Bileşen vektörün büyüklüğü R=7,1 km. Paralelkenar metoduna göre vektörlerin toplanması. Vektörlerin toplanması için iki metot vardır: üçgen metodu ki bunu yukarıda anlattık ve Res..1. de gösterdik ve aşağıda anlatacağımız paralelkenar metodu. Bu metodu açıklamak için büyüklükleri a =10 km ve b = 5 km ve aralarındaki açı 45º olan iki vektöre göz atacağız. a) b) c) v) Res... Paralelkenar metoduna göre vektörlerin toplanılması Resim.a gösterildiği gibi öncelikle aynı A noktasından başlayarak vektörleri çiziyoruz. Bundan sonra D noktasından başlayarak vektörüne paralel kesikli çizgi çiziyoruz b, B 16

17 noktasından ise başlayarak a vektörüne paralel kesikli çizgi çiziyoruz, res.b de gösterildiği gibi. Bu iki kesikli çizgi C noktasında birleşiyor ve A noktasından C noktasına kadar AC köşegeni çiziliyor ve R bileşke vektörü gibi işaret edilir (res.c). Bu büyüklük şu durumda 14 km dir. Her iki metot da, üçgen metodu ve paralelkenar metodu, ölçüye bağımsız kalarak aynı sayısal çözümü veriyorlar. Vektörleri çıkarma. a ve b olan iki vektör arasındaki fark şöyle gösterilebilir: R a b a ( b). (.4) Bu vektörel toplama Res..3. te gösterilmiştir. Demek ki vektörlerin çıkarılması özel bir durumdur öyle ki vektör toplama kuralları vektörleri çıkarmada da kullanabiliriz. Grafiksel olarak vektörlerin çıkarılması ( b ) vektörünün başlangıcı a vektörünün başlangıcına koyuluyor ve paralelkenar metodun kullanarak vektörler toplanıyor (Res..b) Başka metod ( b) vektörünün başlangıcı a vektörünün sonuna koyuluyor ve bundan sonra basitçe üçgen kuralına göre toplama yapılıyor (Res...c) Bileşke vektörün doğrultusu daha büyük vektörün doğrultusunda olacaktır. Bir vektörü bir skaler ile çarpmak. b vektörü ve x skaleri arasındaki çarpım büyüklüğü xb olan vektördür. Bu vektörün doğrultusu b vektörünün doğrultusudur, eğer x skaleri pozitif ise. Eğer x skaleri negatif ise xb vektörünün doğrultusu b vektörünün doğrultusuna terstir. Bir vektörün bir skaler ile olan çarpımının grafiksel gösterişi Res..4. te gösterilmiştir. a) b) Res..4. Bir vektörün bir skaler ile çarpımı c) Res..3. Vektörlerin çıkarılması Bir vektörü bileşenlerine ayırmak. Her bir vektör belirli bir doğrultuya göre bileşenlerine ayrılabilir ki bunun metodu vardır. Bu metodu belirli bir durumda kullanmak için 17

18 vektörün verilen doğrultu ile kapadığı açıyı bilmek gerekir. Örnek için belirli bir F kuvveti vektörüne göz atacağız ki bu vektör x ekseniyle θ açısını kapamaktadır (res.5) kuvvetin bileşenleri elde ediliyor ve şu denklemlerle ifade ediliyorlar: F x F cos, (.8) F y F sin. (.9) Örnek N luk bir kuvvet ağırlığı 89 kg olan bir biçme makinesine etki yapıyor (res.6). Şunları hesapla: (a) eğer kol yatay düzlem ile 40º açı kapıyorsa bu kuvvetin yatay ve dikey bileşenlerini hesapla; (b) Toprağa etki yapan toplam kuvveti hesapla. Res..5. Bir vektörün bileşenlere ayrılması A noktasından x ve y eksenlerine göre normal olan çizgiler çiziliyor ve böylece kuvvettin F ve F bileşenleri elde ediliyor çünkü bunların vektörel toplamıyla bileşke olarak F vektörü x y elde ediliyor. OAB ve OAC üçgenlerinin kenarları F x ve F y birbirine diktir ve bu üçgenler birbirine eşdeğerdir, daha doğrusu F y =AB ve F x =AC. Trigonometriden şu denklemler çıkıyor: Res..6. Biçme makinesinin kolundaki kuvveti bileşenlere ayırma F x cos F, (.5) F y sin, (.6) F F F y x tg. (.7) Genelde F kuvvetinin büyüklüğü ve Ѳ açısı bilinirdir ve böylece ilk iki denklemden Ödevin grafiksel yoldan çözümü aynı res.6. da gösterilmiştir. Her iki F x ve F y bileşenlerin büyüklükleri (.8) ve (.9) denklemleri ile hesaplanıyorlar. F x 50 N cos 40 F 50 N sin 40. y Hesaplamadan şunu elde ediyoruz: F x 50 N 0, ,5 N F 50N 0, ,7N. y 18

19 F x = 191 N kuvveti yatay bileşendir ki makineyi hareket ettiriyordur. F y = 106, 7 N dikey bileşen aşağıya doğrudur ve makinenin ağırlığına ilave edilir ki makinenin toprağa etki yaptığı kuvvet elde edilir. Bu kuvvet: F 809,81160,7 945 N. yelken köprü yel * Örnek. Yelken Yel yardımıyla hareket etmek bir problemdir ve birçok insan için bilmecedir, genelde teknelerle daha az veya daha çok ilgisi olanların. Bu olaya yelken denir ve burada da bir kuvvetin birbirlerine dik bileşenlere ayrılması söz konusudur. Res..7. de gösterildiği gibi yel doğudan batıya doğru esiyor tekne ise kuzeydoğu doğrultusundadır. Yelken doğru konumda ise kumaşa esen yel dışarıya doğru tepkiliyor ve böylece F kuvveti beliriyor ki bu kuvvet kumaşın yüzeyine dik etki yapıyor. Bu kuvveti iki birbirine dik bileşene ayırırsak, bunlardan biri tekneye paralel biri ise normal tekneyi hareket ettiren B kuvvetini bulabiliriz. Res..7. Yele karşı hareket eden tekne. F kuvvetinin P ve B bileşenlere ayrılma örneği. Öteki P bileşeni teknenin hareket doğrultusuna diktir ve hareket için elverişli değildir çünkü tekneyi yatırmaya ve dengesinden çıkarmaya eğilimindedir. Yel ile en hızlı hareket yel ve köprü arasındaki açı 45º iken ve yelken öyle bir konumdadır ki dümen köprüye göre paraleldir. Sorular ve ödevler 1. Skaler ve vektörel büyüklükler nasıl tanımlanıyor?. Vektörleri toplamak için hangi metotlar kullanılıyor? 3. Bir vektör bileşenlerine nasıl ayrılabilir?.. MEKANİK HAREKET Mekanik hareketi tanımlamak için hareketlerini incelediğimiz maddesel cisim sistemine göz atmalıyız. Hareket eden cisimlerin sistemine mekanik sistem diyoruz. Eğer bu mekanik sistemdeki cisimler birbirine etki yapar ancak dışarıdan herhangi bir etki mevcut değilse mekanik sistemin izole olduğunu diyoruz. Çok defa mekanik sistem sadece hareket eden tek bir cisimden oluşuyor. 19

20 Bir cismin hareketi hareket etmeyen bir cisme göre gözlemlenir ve bu cisme referans cisim denir. Anlaşma ile referans cisim mutlak katı ve hareketsiz cisim alınır. Referans cisme koordinat sistemi bağlanıyor ve buna referans sistemi denir ki bu sistem ile cisimlerin hareketi tasvir edilir. Referans sistem gelişigüzel seçilir: Güneş merkezli sistem (Güneşe bağlıdır), Yer merkezli sistem (Dünyaya bağlıdır) ve laboratuvar sistemi (laboratuvara bağlıdır). Herhangi bir referans sisteminin seçimi öyle olmalıdır ki cisimlerin bu sisteme göre yaptıkları hareket en basit şekilde açıklanmalıdır. Bir mekanik sistemin durumu, konumu ve hızı ile belirlenir. Demek ki klasik mekaniğin temel ödevi şudur: Eğer mekanik sistemin başlangıç anındaki durumunu ve bu sistemin hareketini tasvir eden kanunları biliyorsak, zamanın her anında sistemin durumu ne olacaktır. İki çeşit mekanik hareket vardır: -karşılıklı-cismin her noktası birbirine paralel kalarak yer değiştiriyor öyle ki her noktası aynı şekilde hareket ediyor. -dönmeli (dairesel)-cismin bütün noktaları paralel düzlemlerde yatan çemberler oluşturuyorlar. Bu çemberlerin merkezleri aynı doğruya aittirler ki bu doğruya dönme ekseni denir. Maddesel nokta. Öyle bir cisimdir ki boyutları ve şekli içinde hareket ettiği alanın boyutlarına göre ihmal edilebilirler. Maddesel nokta denen bir şey aslında doğada yoktur, demek ki bir hayal ürünüdür ve mekanikteki birçok fiziksel problemi daha kolay çözmeye yarıyordur. Alandaki M maddesel noktanın konumu seçilen referans noktasına göre konum vektörü ile belirlenebilir ve buna yarıçap vektörü denir r. Yarıçap vektörü r yönlü bir doğru parçasıdır ve referans başlangıcı O ve zamanın her bir anındaki maddesel noktanın konumunu bağlamaktadır (Res..8) Bir maddesel noktanın konumu bir dik koordinat sistemine göre koordinatları ile de belirlenebilir ve bunlar: x-apsis; y-ordinat ve z-aplikat, daha doğrusu M (x, y, z). Koordinat başlangıcın seçimi ödevin şartlarına göre yapılır. Res..8. M parçacığının konumunu belirlemek Eğer zamanın verilen adında maddesel noktanın yarıçap vektörü veya koordinatları verilmişse bu durumda maddesel noktanın konumu tamamen belirlidir. Bir cismin mekanik hareketini tasvir etmek için bu hareketin temel özelliklerini tamamlamalıyız. Bunu için ortaya yörünge, yol ve yer değiştirme kavramları koyulmuştur. 0

21 Yörünge maddesel noktanın alanın içinde hareket ederken çizdiği hayali çizgidir. Yörüngenin şekline göre hareket doğrusal ve eğrisel olabilir. Bir maddesel noktanın belirli bir yörünge üzerindeki M 1 konumundan M konumuna yaptığı hareketi gözlemleyelim (Res..9) Res..9. Yer değiştirme Δr ve bir skaler büyüklük olan s yolu Yörünge üzerinde M 1 ve M noktaları arasında ölçülen mesafe maddesel noktanın aldığı s yoludur Aklında tut: Yörüngeye ait olan iki nokta arasındaki yörüngenin kısmına alınan yol denir. Yol skaler bir büyüklüktür. Maddesel noktanın hareketini tamamen tasvir etmek için hem hareket yörüngesini hem de yolun fonksiyonu, daha doğrusu yolun zamana olan s = s(t) bağımlılığını bilmeliyiz. Maddesel noktanın M 1 ve M noktalarındaki konumu r ve r yarıçap vektörleri ile 1 belirlidir. Maddesel noktanın M 1 noktasından M noktasına kadar yaptığı konum değişimi bu yarıçap vektörlerin farkı ile verilecektir ve bu yer değiştirme vektörüdür: r r 1 r. Demek ki, yer değiştirme vektörel bir büyüklüktür ve maddesel noktanın her zaman anındaki konumunu belirleyen yarıçap vektörleri arasındaki fark olarak tanımlanır. Maddesel noktanın alanın içinde en genel hareket yaptığında bunun yarıçap vektörü r hem büyüklüğü hem yönü açısından sürekli değişiyor öyle ki hareket yörüngesi karmaşık bir eğridir. Eğer yarıçap vektörü sadece büyüklüğü açısından değişirse yörünge düz bir çizgidir, eğer sadece yönü değişirse, yörünge ya çemberin veya çemberin bir kısmı ki bu bir düzlem üzerinde yapılan harekettir. Sorular ve ödevler 1. Referans sistemi nasıl seçilir? Birkaç referans sistemi örneği ver.. Maddesel nokta ne demektir? Maddesel noktanın alandaki konumu nasıl belirlenir? 3. Yer değiştirme ve yol arasındaki fark nedir? 4. Yol ne zaman yer değiştirmeye eşittir ve ne zaman bundan daha büyüktür? 1

22 .3. DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET En basit mekanik hareket düzgün doğrusal harekettir. Bu hareket adından anladığımız gibi maddesel noktanın sabit bir hızla bir doğrunun üzerinde yaptığı doğrusal harekettir. Düzgün doğrusal hareketteki hız cismin verilen zaman aralığındaki konumunun yer değiştirmesidir. Bunu da bir denklem ile ifade edebiliriz: dönme açısı açısal hız= geçen zaman Daha doğrusu r v. (.10) t Düzgün doğrusal hareketin temel özelliği yer değiştirmenin alınan yola eşit olmasıdır, Δr =Δ x. Bunun için hızın tanımlanmasında hız vektörü olan v hızın büyüklüğü v ile değişebilir. Resim.10. da bir otomobilin sabit bir hızla bir doğru üzerinde hareket yaparken konumunun değişmesi gösterilmiştir. Res..10. Sabit bir hızla hareket eden bir cismin şematik olarak gösterilişi Yol boyunca belirli bir mesafede A ve B işaretleri konulmuştur. Otomobil A işaretinin yanından zamanın t 1 anında geçiyor, B işaretinin yanından ise zaman t anında geçiyor. A ve B noktalarının konumları O koordinat başlangıcından ölçülürse bunların mesafeleri x 1 ve x olacaktır. Otomobilin konumunun değişimi Δx, x -x 1 olacaktır, geçen zaman ise t -t 1 olacaktır. Bu durumda hız için şu denklemi yazabiliriz: x v, (.11) t Burada v hız, Δx konumun değişimi, Δt ise belirli bir yolun geçilmesi için gereken zamandır. Bu denklemdeki ölçülen veya hesaplanan değerler aslında küçük artmalar gibi daha doğrusu bunların büyüklüklerinin küçük değişimleri gibi ifade ediliyorlar. Örnek 3. Bir insan otomobil ile,0 h zamanında 180 km uzakta olan bir şehre ulaşıyor. Otomobilin ortalama hızı ne kadardır? Çözüm: Cevabı bulmak için (.11) hız denklemini kullanıyoruz ve bu denklemde x - x 1 = 180 km ve t -t 1 = h değerlerini yerlerine koyuyoruz: x x1 180 km km v 90. (.1) t t h h 1

23 Cevap 90 km/h dir. Burada sayısal değer kadar ölçü birimleri de önemlidir ve bunun için cevapta her zaman olmalıdırlar. Eğer bu cevapta yolu metre daha doğrusu 1 km yi 1000 m olarak gösterirsek, 1h ise 3600 saniye olarak, cevabı şöyle de yazabiliriz: km 1000 m m v 90 90,5. h 3600s s Her iki cevap ta tamamen doğru ancak farklı ölçü birimleriyle ifade edilmişlerdir. Bir cisim aynı zaman aralıklarında aynı yollar alıyorsa sabit bir hızla hareket ettiğini diyoruz. Bu kavramı anlamak için resim.11 deki deneye göz atacağız. Res..11. Bir otomobilin hızını ölçmek zaman saniye birimlidir ve AB yolunu geçmek için gereken zamandır. Bu işlem çok defa tekrarlanır, öyle ki A ve B işaretleri gitgide birbirlerine daha uzak ve daha uzak konuluyorlar. Ölçülen değerler tablo 1. e giriliyorlar. Tablo 1 Otomobil ile yapılan deneydeki ölçülen değerler Ölçme Mesafe x(m) Zaman t(s) Sonuç v(m/s) ,398 5,3 0,751 0,864 11,5 0, ,089 14,5 0, ,40 18,9 0, ,743 3, 0,751 Alınan yol x ve zaman t arasındaki bağımlılığı belirlemek için bu iki büyüklük arasındaki bağımlılığı gösterecek bir grafik çizmeliyiz. Bir oyuncak otomobil uzun bir tel ile bir makaraya bağlıdır. Otomobil düz bir yüzey üzerinde hareket edebilir, zaman ise bir kronometre ile ölçülür. Makara bir senkron elektrik motorun yardımıyla dönmektedir ki bu motorun silindiri,5 cm dir ve gücü oyuncak otomobili hareket ettirmeye yeterlidir. Yolun bir kısmında aralarındaki mesafe az olan A ve B işaretleri konulmuştur. Otomobil hareket etmeye başlıyor ve A işaretinin yanından geçtiğinde kronometre çalışmaya başlıyor, B işaretinin yanından geçtiğinde ise kronometre duruyor. Kronometrenin ölçtüğü Res..1. Zaman-yol arasındaki bağımlılık grafiği 3

24 Eğer x yolu dik eksende ve zaman t yi yatay eksende göstermiş olursak, Res..1. gibi, tablo 1. deki ölçülen yol ve zaman değerlerini eksenlere geçirebiliriz. Demek ki grafikteki deney noktaları arasında bir doğruyu çizmekle, yol ve zaman arasındaki doğrusal bağımlılığı kanıtlamış olacağız. x=0 ve t=0 koordinat başlangıcından geçen bu doğru yolun zamanla düz orantılı olduğunu gösteriyor. Bu sabit hızın büyüklüğü v demek (tablodaki son sütun) ve yolun x değerlerini zamanın t değerleri ile bölünerek elde edilir: x v. (.13) t Sabit hızla yapılan hareket böyle gösterilmiş olur. Aklında tut: Düzgün doğrusal harekette yol ve zaman arasındaki oran sabittir. Olsun ki yaptığımız deney mekaniğin temel prensiplerini gösteriyor ve çok basittir, amacı bir bilimsel metodun, bu durumda farkı fiziksel büyüklükler arasındaki bağımlılığı belirlemek için yapılan bir deneyin ne biçim bir şey olduğunu göstermektedir. Eğer cismin hareket hızını biliyorsak denklem (.13) kullanarak zamanın her bir aralığındaki geçilen yolu bulabiliriz ve böylece: x v t. (.14) Bu denklemden cismin x yolunu geçmek için gereken zamanı ifade edebiliriz: x t. (.15) v Örnek 4. 4,5m/s bir hızla hareket eden bir cisim dakikada ne kadar yol alacaktır? Çözüm: Geçilen yolu bulmak için (.14) denklemini kullanıyoruz ve burada hız ve zaman değerlerini yerlerine koyuyoruz. Bu sırada ölçü birimlerine dikkat etmeliyiz ve bunları karşılıklı ölçü birimlerine dönüştürmeliyiz: v = 4,5 m/s; t = dak = 10s m x v t 4,5 10 s, s x 540 m. Not: Fiziksel büyüklükleri her zaman aynı türden olan ölçü birimleriyle ifade etmeliyiz. Bu kural her problemin çözümünde kullanılıyor. Örnek 5. Bir uçak 450 km/h sabit bir hızla uçuyor, 400 km yolu ne kadar zamanda alacaktır? Çözüm: (.15) Denkleminde verilen fiziksel büyüklükleri, daha doğrusu hızı ve yolu yerlerine koyarsak uçağın verilen mesafeyi ne kadar zamanda geçeceğini bulacağız: x 400 km t, v 450 km/h t 5,33 h. Mekanikte genelde bir cismin boyutları ve şekli ihmal ediliyorlar ve onun hareketi çok küçük bir cisim ya da maddesel nokta gibi düşünülüyor. Örneğin, bir uçağın iki şehir arasında yaptığı hareket gözlemlenirken uçağın hareketini tasvir etmek için detaylı tasvirine gerek yoktur. Bunun için çok küçük bir cismin veya bir 4

25 maddesel noktanın hareketine indirgeniyor. Cisimlerin mekanikteki hareketini gözlemlerken aslında maddesel noktanın hareketi gibi gözlemlemeliyiz. Aklında tut: Sabit bir hızla hareket etmek cismin her zaman aynı yönde ve bir doğru üzerinde aynı zaman aralıklarında eşit yer değiştirmeler yaptığı demektir. Birinci saniyede alınan yol hareketin herhangi bir saniyesinde alınan yola eşit olacaktır. Sorular ve ödevler 1. Hızı nasıl tanımlıyoruz? Bir cismin sabit bir hızla hareket etmesi ne demektir?. Eğer bir otomobil 70 km/h bir hızla hareket ederse Üsküp ten Ohru ya ne kadar zamanda varacaktır? Üsküp ve Ohru arasındaki mesafe 185 km? [Çözüm:, 5 h.] 3. New York Üsküp arasında uçan bir yolcu uçağı 4000 km mesafeyi 5 h ve 0 dakikada geçiyor. Uçağın ortalama hızını a) km/h, b) m/s ile ifade et. [Çözüm: a) 750 km/h; b) 08 m/s.].4. SABİT İVMELİ HAREKET İvmeli hareket kinematiğin bir konusudur ki burada hareket esnasında hızın zaman içindeki değişimi incelenir. İvmeli hareketin özünü anlamak çok önemlidir, çünkü bu tip hareket fiziğin birçok alanında meydana geliyor, örneğin atomun yapısından gezegenlerin ve uzak yıldızların hareketine kadar. Cisimlerin ivmeli hareketi çok defa uzun zaman periyotlarında süregelen temel hareket olarak beliriyor, başka durumlarda ise sadece belirli zaman aralıklarında meydana geliyor. Ani hız. Ani hızı tanımlamak için Res..11. gösterilen deneye bir daha göz atacağız ve otomobilin değişken hızla hareketini diyagramda göstereceğiz (Res..13) Res..13. Değişken hızla hareket eden otomobilin yol-zaman diyagramı. 5

26 X ekseni üzerindeki noktalar otomobilin zaman t içinde her bir geçen saniyenin sonundaki O konumundan başlayarak mesafesini ifade ediyorlar. Hareket hızı değişken olduğu için büyüklüğü zaman içinde değişiyor, yol-zaman diyagramın gösterdiği gibi. Otomobilin ortalama hızını bulmak için belirli AB mesafesindeki hareketini gözlemleyelim. Bir dik açılı üçgen AEB nin kenarları olarak Δx yer değiştirmesi A B doğru parçası ile zaman ise Δt ile ifade edilebilir. Buradan da ortalama hız şöyle ifade edilebilir: x v, (.16) t bu da grafikte tgθ. tgθ büyüklüğü AB doğrusunun yatay eksene göre eğilimini ifade ediyor. Eğer A noktasını B noktasına doğru kaydırırsak öyle ki yol ve zamanın artmaları, Δx ve Δt gitgide daha küçük ve daha küçük oluyorlar, ortalama hız şöyle değişecektir: Nasıl ki Δt sıfıra yaklaşıyor böylece Δx/Δt oranı hızın A noktasındaki gerçek değerine yönelecektir. Bu hıza ani hız diyoruz. Ani hız maddesel noktanın verilen zaman anındaki veya yörüngenin verilen noktasındaki hızıdır. Bu hız çok kısa Δt zaman aralığındaki ortalama hıza eşittir. İvme, hızın değişmesi ve zaman aralığı arasındaki oran olarak tanımlanıyor. Hızını arttıran otomobilin ivmesi pozitiftir, otomobil fren yapıyorken ise ivmesi negatiftir. Eğer otomobil yerinde duruyor veya sabit hızla hareket ederse ivme yoktur. Buradan yola çıkarak ivmeyi şu denklem ile ifade edebiliriz: açısal hız = dönme açısı geçen zaman v a. (.17) t Res..14 teki otomobilin ivmeli hareketine göz atalım. Motorun kuvveti etkisi tekerleklere geçiyor ve otomobil bir AB doğrusu üzerinde hareket ederek sürekli hızlanıyor. A noktasının yanından geçtiğinde v hızı izafi küçüktür ve B noktasının yanından geçtiğinde daha hızlı hareket 1 ediyor ve buradaki hızı v. v hızına başlangıç hızı denir v hızı ise son hızdır. Eğer 1 Δv hızın büyüklüğün değişimi ise şunu yazabiliriz v v v 1. (.18) Res..14. Otomobil Δt zaman aralığında hızlanıyor. Geçen Δt zamanı nihayet ve başlangıç zamanlarının farkı olarak yazılabilir: t t t 1. (.19) 6

27 Böylece ivmenin büyüklüğünü şu denklem ile ifade edebiliriz: v a t v t 1 1, veya ili v a. (.0) t Örnek 6. Res..14. te gösterilen otomobil ile olan örneğe göz atalım. A noktasında hızı ölçülmüştür ve değeri 6 m/s. 4 saniye içinde otomobil B noktasına ulaşmış ve bu noktadaki hızı 30 m/s. Otomobilin ivmesi ne kadardır? Çözüm: hızların v 1 = 6 m/s, v = 30 m/s ve zaman aralığının t -t 1 = 4 s değerlerini yerlerine koyarsak şunu elde edeceğiz: v v1 30 m/s 6 m/s a, t t1 4 s 0 s 4 m/s a 6 m/s. 4 s Demek ki ivme bir saniye için altı metre saniyededir m v 38 km/h 38 ; 3600 s t t1 4min 460 s ; v v m a 1 ; t t1 460 s s a 0,556 m/s Düzenli negatif ivmeli harekete sabit yavaşlayan hareket diyoruz. Sabit ivmeli hareketteki hız ve yol. Bir noktadan başka bir noktaya değişsen hızla hareket eden bir cismin ivmesini veya yavaşlamasını tanımlamak için öncelikle hız-zaman grafiğini meydana koymalıyız. Eğer grafikte üç otomobilin düz ancak dik bir yolda hareketlerini gösterirsek ki bunların başlangıç hızları 5 m/s, bunların hareketleri üç çizgi ile belirlenecek: (a), (b), (c), res.15.. Örnek 7. Negatif ivme örneği. Otomobil yüksek bir noktaya ilerlerken hızı 86 km/h iken 38 km/h azalıyor. Otomobilin ivmesini (yavaşlamasını) hesapla! Çözüm: Cevabı bulmak için verilen değerleri (.0) denkleminde yerlerine koymalıyız: v = 86 km/h; v = 38 km/h ve t -t 1 = 4 dakika. Ancak tüm ölçü birimleri SI sistemindeki gibi olmalıdırlar: 1000 m v 1 86 km/h 86 ; 3600 s а b düzgün hızlanma c Res..15. Değişen hızla fakat aynı ortalama ivmelerle hareket eden otomobillerin hız-zaman bağımlılık grafikleri. 7

28 t 1 = 1 s anından başlayarak (a) otomobili başlangıçta çok çabuk hızlanıyor, bundan sonra ise çok yavaşlıyor ve t = 6 s zaman anındaki hızı 0 m/s. İkinci (b) otomobil düzgün bir şekilde hızlanıyor ve t zaman anında aynı nihayi hıza ulaşıyor. Üçüncü (c) otomobil ise baştan çok yavaş bir şekilde hızlanıyor, bundan sonra ise çok hızlı bir şekilde hızlanıp t zamanında aynı hıza ulaşıyor. (a) ve (c) otomobillerinin hareketi ivmeleri sabit olmayan hareketlerdir çünkü farklı zaman aralıklarında hızları farklı miktarda artıyor, daha doğrusu, bunların ivmeleri zaman içinde değişiyor. (b) otomobilin hareketi özeldir ve bu harekete düzgün değişen veya sabit ivmeli hareket diyoruz. Bu harekette hız yörünge boyunca her saniyede 3 m/s artıyor. Bu da demektir ki hızın herhangi bir Δv değişimi Δt zaman aralığıyla bölündüğünde a ivmesi için aynı değeri verecektir. Aklında tut: Sabit ivme aynı zaman aralıklarında eşit hız değişimi demektir. (.0) ivme denkleminden yola çıkarak v v1 a, t t v son hızı ifade edebiliriz: v v a( t ) 1, (.1) 1 t Eğer hareket koordinat başlangıcından başlarsa bu durumda t 1 = 0 s t = t : 1 1 t t t t.. (.1) yerine koyarsak sabit ivmeli hareketin hızı için temel denklemi elde edeceğiz: v v 1 a t. (.3) Bu denklem başka bir şekil alabilir eğer başlangıç v 1 hızını, v 0 ile ve v son hızı v ile değiştirirsek. Aklında tut: Sabit ivmeli hareketin hız temel denklemi şu ifade ile verilmiştir: v v 0 a t (.4) Aynı işlemi kullanarak sabit ivmeli hareketteki yol denklemini da belirleyebiliriz. Bunun için cismin sabit ivmeli hareket yaparken ortalama hızını tanımlıyoruz ve bu hız cismin başlangıç ve son hızının aritmetik ortalamasıdır: v 0 v v. (.5) Eğer hareket koordinat başlangıcından başlarsa bu durumda x 1 = 0, x = x, daha doğrusu: 1 x x x x. (.6) Düzgün doğrusal hareketteki yol x = vt ve bunu (.5) denkleminde yerine koyarsak şunu elde edeceğiz: v v x 0 t. (.7) Bu denklemde ise hız denklemini (denklem.4) yerine koyarsak çok elverişli bir bağlantı ortaya çıkacak ki bunu pratik problemleri çözmek için kullanıyoruz: 8

29 v x v0 at t 0, v at x 0 t t. Aklında tut: Sabit ivmeli hareketteki yolun denklemi şudur: 1 x v0t at. (.8) Eğer zamanı (.4) ve (.7) denklemlerinden ortadan kaldırırsak başka bir yararlı bağlantı elde edeceğiz: v v0 x t i t. (.9) a v v Bu denklemlerin sağ taraflarını eşitleyerek elde edilen denklemi v bilinmeyenine göre çözersek, sabit ivmeli hareketin hızları ve ivmesi arasındaki denklemi elde edeceğiz: 0 v v ax. (.30) Cisim başlangıç konumundan harekete başlarsa ve sabit bir ivme ile devam ederse başlangıç hızı v 0 = 0. Bu durumda bir cisim sabit ivmeli hareket yaparken zamanın her t anındaki hız ve yol denklemleri şu şekilleri alacaklar: v a t, (.31) 1 x vt, (.3) 0 1 at x, (.33) v ax. (.34) Bu denklemlere sabit ivmeli hareketin özel denklemleri denir. Sabit ivmeli hareketin temel ve türetilen denklemleri çok önemlidirler ve bunları kinematikteki problemleri çözmek için çok kullanılıyorlar. Bunun için bu denklemleri aklımızda Tutmalıyız. Ancak özel denklemleri aklımızda tutmamıza gerek yok çünkü bunlar temel denklemlerden v 1 = 0 yerine koyarak türetiliyorlar. Sorular ve ödevler: 1. Ani hız kavramı ne demek ve nasıl bulunur?. Bir uçak pistin üzerinde hareketsiz ilk konumundan harekete geçiyor. Pistin sonunda 40 saniye sonra 180 m/s hıza ulaşıyor. Uçağın ivmesi ne kadardır. [Cevap: 4, 5 m/ s ] 3. 0 m/s bir hızla hareket eden bir otomobil düzgün bir yavaşlama yapar ve 10 saniye sonra durur. Yavaşlamadan durana kadar ne kadar yol alacaktır. [Cevap : 100 m] 4. Bir şoför bir kamyonu 5 m/s sabit bir hızla sürüyor. Bir an sonra kamyonu frenlemeye başlıyor ve 5 saniye sonra duruyor. Şunları hesapla: Kamyonun ivmesini (yavaşlamasını); 3 saniye sonra hızını; c) 3 saniye sonra alınan yolu! [Cevap: a) 5 m/s ; b) 10 m/s; c) 5,5 m.] 9

30 .5. ATIŞLAR Serbest düşme. Yerçekimi kuvveti etkisi altıda cisimlerin serbest düşmeleri kinematik açıdan ilk hızı olmayan sabit ivmeli hareket olarak gözlemlenebilir. Bu da demektir ki sabit ivmeli hareketteki hız ve yol (.4) ve (.33) denklemleri v v 0 at ve i 1 x at Cisimler serbest düşerken de bunların hareketini tasvir edeceklerdir. Serbest düşmede genelde x yolunu h ile işaretliyoruz çünkü cisim her zaman belirli bir yükseklikten serbest bırakılır. Serbest düşme bağlantılarını türetmek için a ivmesini serbest düşmedeki ivme g ile değiştirmemiz gerekir. Buna benzer, serbest düşmenin ilk hızı olmayan, daha doğrusu, v 0 = 0 bir sabit ivmeli hareket olduğunu göz önünde bulundurmalıyız. Bu durumda (.4) ve (.33) denklemlerinde şunu elde ediyoruz: v gt (.35) 1 h gt. (.36) (.34) denkleminden serbest düşen cismin hızı ve düştüğü yükseklik arasındaki bağlantıyı türetebiliriz. v gh, (.37) buradan da cismin serbest bırakıldığı yükseklik ne kadar büyükse yere çarpma hızı da o kadar büyük olduğu sonuca varıyoruz. Ancak cisim herhangi bir başlangıç v 0 hızı ile serbest bırakılırsa bu durumda (.35) ve (.36) denklemleri şu şekli alacaklardır: v v 0 gt (.38) 1 h v 0 t gt. (.39) Örnek 9. Bir çocuk bir pınarın başında durup içine birkaç taş koyuveriyor. Taşların suya vurma zamanlarını ölçerek ortalama zamanın,5 s oluğunu buluyor. a) pınarın su yüzeyine kadar olan derinliği ne kadardır? b) Taşlar hangi hızla suya vuruyorlar? Çözüm: zaman ve serbest düşmedeki ivmenin değerlerini biliyoruz t =, 5 s ve g = 9, 81 m/s. Bilinmeyen değer h derinliğidir. Bu değeri bulmak için (.36) denklemini kullanıyoruz. Bilinen değerleri yerlerine koyarsak şunu elde edeceğiz: 1 h 9,81 m/s (,5 s), h 4,91 m/s 6,5 s, h 30,69 m. 30

31 Taşın suya çarpma hızını bulmak için t =, 5 s ve g = 9, 81 m/s değerlerini (.35) denkleminde yerlerine koyuyoruz ve şunu elde ediyoruz: v 9,81 m/s,5 s 4,5 m/s. Dikey atış. Bir cisim dik yönde yukarıya doğru fırlatılırsa hızı çok çabuk azalıyor ve cisim bir noktaya gelince duruyor ve yere doğru düşmeye başlıyor ve fırlatıldığı aynı hızla yere çarpıyor. Cisimlerin yerin etkisi altında dik yönde yukarıya doğru hareketine dikey atış diyoruz. Deneyler gösteriyor ki cismin yörüngesindeki en üst noktaya ulaşma zamanı o ayni noktadan düşerek yere çarpma zamanına eşittir. Bu da demektir ki yukarıya doğru yapılan hareket tamamen ters yönde aşağıya doğru yapılan hareket özdeştir ve yörüngenin her bir noktasındaki zaman ve hız serbest düşme (.38) ve (.39) denklemleriyle verilmişlerdir: v v 0 gt, h 1 gt v 0 t. Resim.16. da yukarıya doğru 49 m/s bir hızla fırlatılan bir top gösterilmiştir. Resimden görüldüğü gibi cisim yukarıya doğru hareket ederken hızı her saniyede aşağıya doğru hareket edermiş gibidir. Dikey atışın matematiksel tasviri için genelde (.38) ve (.39) denklemleri kullanılıyor ki fırlatılma noktası olarak koordinat başlangıcı alınıyor. Yukarıya doğru yapılan harekette serbest düşme ivmesi negatiftir. Res..16. Bir cismin yukarıya doğru dik yönde hareketi aşağıya doğru, daha doğrusu, ters yöndeki hareketine aynıdır. Yukarıya doğru fırlatılan bir cisim Yere fırlatılan ayni hız ile çarpıyor. Cisim ister yukarıya doğru ister aşağıya doğru hareket etsin serbest düşmedeki ivme g her zaman aşağıya doğru yöneliktir. İşaretler için bu kuralları kullanarak son denklemlerde yer alan g negatif bir işaretle işaretlenmelidir: v v 0 gt, (.40) 1 h v 0 t gt. (.41) Örnek 9. Bir top 39, m/s bir hızla yukarıya doğru fırlatılıyor. Topun en yüksek noktasına ulaşma zamanını hesapla: Çözüm: Şu değerleri biliyoruz: v 0 = 39, m/s ve g = 9, 81 m/s. Topun durduğu en üst noktada hızı v = 0. Zaman t bilinmiyor ve bunun için (.40) denklemini kullanıyoruz: v v 0 gt. 31

32 Bu denklemi t için çözersek şunu elde edeceğiz: v v t 0, g Bilinen değerleri yerlerine koyarak şunu elde ediyoruz: 39, m/s 0 t 4 s. 9,81 m/s Demek ki top 4 s içinde en yüksek konumuna ulaşacaktır. Bundan sonraki 4 saniye içinde yere düşecektir. Bu Res..16 da gösterilmiştir. Yatay atış. Belirli bir yükseklikten yatay yöne doğru fırlatılan cismin hareketine yatay atış denir. Bir cisim hareketsiz bir konumdan serbest düşmeye başlarsa ve aynı zamanda başka bir cisim aynı yükseklikten yatay atış hareketi yapıyorsa iki cisim de aynı zamanda yere düşecekler. Bunun kanıtı Res..17. deki deney ile doğrulanabilir: İki aynı büyüklükteki top, M ve N bir boru içinde bulunuyorlar. Bu borunun içinde sıkıştırılmış bir S yayı da bulunuyor ki bu yay serbest bırakıldıktan sonar metal R çubuğunu sağa doğru bastırıyor öyle ki M topu serbest bırakılıyor, N topu ise aynı zamanda yatay yönde de aynı zamanda yere çarpıyorlar. Bu deneyi birkaç defa tekrarlayabiliriz, örneğin daha büyük yükseklikten ve N küreciği daha büyük hız ile fırlatmakla, ancak her bir durumda aynı sonucu elde edeceğiz: her iki top de aynı zamanda yere düşeceklerdir. Bu deneyden çıkaracağımız ilk sonuç bir cismin yatay atış hareketi yaparken hareket zamanı aynı yükseklikten yere çarpma zamanına eşittir. Hareketi yatay yer değiştirmesinden bağımsızdır. Aklında tut: Yatay yöne fırlatılan bir cisim aynı zamanda birbirine bağımsız iki hareket yapıyor: 1) yatay yöne v olan sabit bir hızla (düzgün doğrusal hareket) ve ) g ivmesi ile dik ve aşağıya doğru (serbest düşme) Topun yatay yönde aldığı x yolu düzgün doğrusal hareketteki yol denkleminden hesaplanabilir: x vt. (.4) Res..17. Bir cisim hareketsiz bir konumdan serbest brakılıyor öteki cisim ise yatay atış hareketi yapıyor. İki cisim de aynı zamanda yere çarpıyor. Top aynı zamanda g ivmesi ile serbest düştüğü için dik yönde alınan yol serbest düşmedeki yol denkleminden hesaplanabilir: 1 h gt. (.43) Bu iki denklemin deneysel kanıtı sayısal değerlerle Res..17. de doğrulanmıştır. 4 m/s bir ilk hız ile N küreciği dik yönde ¼ s içinde 0, 306 m yol alıyor, ve aynı zaman içinde 1 m uzunluğunda yatay yol geçiyor. ½ s içinde dik 3

33 yönde 1,5 m yol alıyor, ki bu öncekinden 4 kere fazladır, yatay yönde ise m yol alıyor. Örnek 10. Bir ok yatay yönde 0 m/s bir hız ile yüksekliği 60 m bir kalenin tepesinden fırlatılıyor. Ne kadar zaman sonra yere düşecektir? Çözüm: Okun yere düşme zamanı serbest düşme hareketi yaparken yere düşecek zaman ile aynıdır ve (.43) denklemi ile hesaplanabilir: 1 h gt. Bu denklemi zaman t ye göre çözersek ve h = 60 m, v = 0 m/s ve g = 9, 91 m/s değerlerini yerlerine koyarsak şunu elde edeceğiz: h 60 m t, g 9,81 m/s t 1,4 s 3,499 s. Eğik atış hareketi. Birçok fırlatıcı yeryüzüne göre belirli bir açı yapacak şekilde belirli bir hızla havaya atıldıklarında parabol denen bir eğri yörünge ile hareket ediyor. Cismin böyle bir hareketine eğik atış hareketi denir. Ancak, parabol yörünge düşük fırlatma hızlarında meydana geliyor öyle ki hava ile olan sürtünme kuvveti azdır. Eğer cisimler büyük bir hız ile fırlatılmışsa onların gerçek yörüngesi parabolden biraz sapıyor çünkü hava bu cisimleri yavaşlatıyor (Res..18). Hız ne kadar büyük ise hava ile olan sürtünme kuvveti de o kadar büyüktür böylece parabolden olan sapma da büyüktür. Genel durumlarda hava ile olan sürtünme ihmal edilir ve fırlatılan cismin teoriktik yörüngesi hesaplanır ki bundan sonra eğer gerek varsa hava ile sürtünme düzeltmesi yapılıyor yükseklik parabol Res..18. Eğik atış hareketi yapan cisimler parabolik yörüngede yol alıyorlar. Hava ile sürtünmeden dolayı daha erken yere düşerler. Eğik yatay atış yapan verilen bir fırlatılan cismin bilinen parametreleri ilk hızı v 0 ve θ açısıdır (fırlatma doğrultusu ve yatay düzlem arasındaki açı) ve bu açıya elevasyon açısı denir. Eğik atış hareketini karakterize etmek için bazı faktörleri hesaplamalıyız ki bunlar: a) Cismin uçma zamanı, b) ulaştığı maksimum yükseklik ve c) menzili. Eğik atış yapan cismin uçma zamanı T, atıldığı yüzeye düşene kadar geçen zaman olarak tanımlanır. Maksimum yükseklik H ulaşılan en yüksek noktadır ki bu yükseklik cismin fırlatılan yüzeyden ölçülür (Res..19) Menzil D atış düzleminde fırlatma noktasından yere düştüğü noktaya kadar olan mesafedir. Bir cismin maksimum yüksekliğini ve menzilini hesaplamak için ilk hız iki bileşene ayrılıyor bunlardan biri dikey ötekisi ise yataydır. Bu da Res..19. da gösterilmiştir. 33