Asterosismoloji. Ders 5 Uygulama: DIAMONDS

Transkript

1 Asterosismoloji Ders 5 Uygulama: DIAMONDS

2 Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi Güneş-benzeri salınımların alamet-i farikası güç spektrumunda birbirinden düzenli aralıklarla ayrılan piklerin (ing.peak) varlığıdır. Bu pikler basınç (p) modu (akustik) salınımların sonucudur. Evrimleşmiş yıldızlara gidildikçe çekim (g) modları da giderek baskın hale gelir ve her iki modun karakteristiklerini gösteren karışık modlar (mixed modes) da gözlenir. Güç spektrumda bu modlara ilişkin pikler yarı-düzenlidir. Asterosismolojide bir yıldızı tam olarak karakterize edebilmek için her bir modun frekans, genlik ve evresi için hassas tahminlere ihtiyaç duyulur. Bu ancak belirli bir Sinyal / Gürültü nün üzerindeki veri setleri için mümkündür. Üzerinde uygulama yapacağımız Diamonds kodu, Güneş-benzeri salınımlar gözlenen anakol ve dev yıldızların global sismik parametrelerinin güç spektrumlarından elde edilmesi için geliştirlmiştir (Campante 2012, doktora tezi). 1.Salınımların gerçekleştiği frekans aralığı belirlenir, 2.Granülasyon kaynaklı arkaalanı domine eden sinyal parametrize edilir, 3.Ortalama büyük ayrıklık hesap edilir (Δν), 4.En büyük genliğin gerçekleştiği salınımın frekansı elde edilir (ν max ), 5.En büyük genliğin gerçekleştiği salınımdaki genlik elde edilir (A max ),

3 Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi Bu şemada ilerlerken öncelikle güç spektrumu w aralığa sahip frekans pencerelerine bölünür. Söz konusu pencerenin genişliği merkezi frkeansına (ν c ) bağlıdır. Bir p-modunun genişliği ν max ile ölçeklendiği için w = (ν c / ν max,güneş ) w Güneş Daha sonra bu şekilde genişliği belirlenen her bir pencerede güç spektrumunun güç spektrumu (PS Ø PS) hesaplanır. Daha sonra Δν / 2, Δν / 4 ve Δν / 6 (yani sırasıyla 1., 2. ve 3. harmoniklerde) belirgin yapıların (piklerin) olup olmadığına bakılır. Bu üç harmonikte gözlenen yapıların gürültü kaynaklı olma ihtimali %1 in altında ise bu pencerede bir salınımın olduğu sonucuna varılır. Salınıma rastlanan tüm pencerelerin bulunduğu frekans aralığı salınımların frekans aralığı olarak belirlenmiş olur. Örnek olarak sağda Güneş-benzeri bir yıldızın frekans spektrumu verilmiştir. Dikey sürekli ve süreksiz doğrular iki ayrı moddan beklediğimiz ve Δν kadar birbirinden ayrılan salınım frekanslarını göstermektedir. ν max civarında elde edilen PS Ø PS Δν / 2 de S/G üzerinde bir pik

4 Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi Arkaalan gürültüsü granülasyon kaynaklıdır ve Harvey-benzeri bir profil gösterir (Kallinger vd. 2014). Genellikle bunun üzerine foton gürültüsü (Poisson profili) eklenir. Yandaki grafiklerde üstte 16 Cygni A yıldızının güç spekktrumunu (siyah) ve onun düzleştirilmiş (ing. smoothed) versiyonu (koyu kırmızı) görülüyor. Arkaalan gürültüsüne (background noise) yapılan fit (kırmızı sürekli eğri) ve onun iki bileşeni (granülasyon ve foton gürültüsü) kırmızı süreksiz eğrii ile gösterilmiştir. Biribirinden düzenli aralıklarla ayrılan salınımların bulunduğu bölgeden ellde edilen güç spektrumunun güç spektrumu (PS Ø PS) ise altta görülmektedir. Δν / 2 nin merkezi ortalama büyük ayrıklık değerini verir. Δν / 6 ~ 17 μhz Δν / 4 ~ 26 μhz Δν / 2 ~ 52 μhz

5 Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi Maksimum genliğin gerçekleştiği frekansı (ν max ) için arkaalanı çıkardıktan sonra p-modlarındaki gücün 2Δν lük aralıklar dahilinde ortalaması alınır ve radyal mod başına güce (ing. power per radial mode) dönüştürmek üzere Δν / c ile çarpılır. (c: her bir pencere başına düşen mod sayısıdır, Kjeldsen vd. 2008) Bu profilin merkezi (centroid) maksimum genliğin gerçekleştiği frekans (ν max ) olarak belirlenir. Sönümlenen bir salınıcı (ing. damped oscillator) aşağıdaki denklemle tanımlanır. Burada y(t), salınımın genliği, η sönümlenme hızı (ing. damping rate), ω 0 sönümlenmemiş salınıcının frekansı ve f(t) sönümleyici fonksiyon (ing. random forcing function) olarak tanımlanır. Bu denklemin Fourier tanım kümesindeki karşılığı Bu ifade güç spektrumunda Lorentz profilleri yapısındaki piklerin toplamından oluşan bir spektruma karşılık gelir.

6 Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi y(t) sınırlı bir zaman aralığında gözlendiğinde güç spektrumu aşağıdaki şekilde oluşur. y(t) nin uzun süre gözlendiğini, sönümlenme hızının da salınımın frekansına göre oldukça küçük olduğu varsayıldığında bu güç spektrumu için limit durum aşağıdaki şekilde elde edilir. Bu ifade daha önce de gördüğümüz, ω 0 merkezi frekansı ile frekansı, η sönümleme hızı ile de genişliği karakterize edilen bir Lorentz profilidir.

7 Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi Sonuç olarak güç spektrumu Harvey-benzeri bir profile sahip bir arkaalan (background) (B(ν)) ve onun üzerine oturan Lorentz profilleri yapısındaki piklerin (O(ν)) toplamından oluşur. Burada λ model parametreleri setini göstermektedir.aşağıda HD ün 180 günlük CoRoT ışık eğrisi görülmektedir.

8 Piklerin Bulunması (ing. Peak Bagging) j frekans bininde gözlenen güç spektrumunun belirli bir P j değerini alma olasılığı f(p j, λ) onun limit spektrumuna aşağıdaki ifadeyle bağlıdır. {P j } örnekleminin gerçekleşme olasılıklarının dağılım fonksiyonu (frekans binlerinin birbirinden bağımısız olduğu varsayılırsa) aşağıdaki ifadeyle verilir. Bu ifadeye olabilirlik fonksiyonu (ing. likelihood function) adı verilir. Diamonds kodu bu fonksiyonu (piklerin bulunduğu frekannsları) Bayesian İstatistik paradigması çerçevesinde hesaplar ve pik pozisyonlarını verir.

9 Diamonds Kodu İçin Kepler Verisinin Hazırlanması 1. Kepler Uzay Teleskobu verisi yüksek fotometrik hassasisyeti ve (veri aktarımı, güvenli modda çalıştırma zorunluluğunun oluştuğu durumlar gibi aksamalar dışında) kesintisiz veri sağlaması nedeniyle asterosismoloji çalışmaları için ideal bir gözlem aracıdır. 2. Teleskopta kullanılan dedektörde poz süresi kavramı olmamakla birlikte iki ayrı integrasyon zamanında (29.9 dk ve 59.8 saniye) görüntü alınmaktadır. Uzun integrasyon zamanlı görüntüler (long cadence) daha çok gezegen keşfi için kulanılırken, sınırlı sayıda (her bir çeyrekte 256) cisim için elde edilen kısa integrasyon zamanlı görüntüler (short cadence) asterosismoloji amaçlıdır. Bu uygulamada kısa integrasyon zamanlı görüntülerden elde edilen ışık eğrileri kullanılacaktır. 3. Kepler Uzay Teleskobu nun ham ve Kepler veri indirgeme paketlerince düzeltilmiş ışık eğrisi verilerine adresinden erişilebilir. 4. Kepler Asteroseismology Science Consortium (KASOC, çeşitli çalışma grupları altında (1. Güneş Benzeri Salınımlar, 2. Açık Yıldız Kümelerindeki Yıldızlar,..., 8. Kırmızı Dev Yıldızlar gibi) asterosismik veriyi incelemektedir. Bu gruplar kendi ihtiyaçları dahilinde veriyi düzeltmekte ve bu ihtiyaçlara yönelik olarak da düzeltilmiş veriyi sağlamaktadırlar. Veriyi temin edebilmek için öncelikle konsorsiyuma web sayfası aracılığı ile üye olunmalıdır. 5. Güneş benzeri salınımların gözlendiği tipik bir kırmızı dev yıldız olan KIC için KASOC 8. çalışma grubu (WG8) tarafından sağlanan veri aşağıdaki formata sahip bir ASCII dosyasındadır. # Kepler Asteroseismic Data # Working Group 8 Corrected data # KIC number: # Season: Q0 # TRF: 0 # Version: 1.1 # Time is in modified heliocentric julian date # Time (days), Raw Flux, Raw Flux error, Corrected Flux, Corrected Flux error, WG8 Corrected Flux, WG 8 Corrected error #

10 Bu verinin ilk iki sütunu (BJD-TDB ye karşılık ham akı değerleri) grafiğe geçirildiğinde zaman zaman veride boşluklar, özelllikle bu boşluklar sonrası dramatik düzey değişimleri, hızlı parlaklık değişimleri ve genel trendden ayrılmış noktalar (outlier) görülmektedir. Bu problemleri gidermek amacıyla veri 4 segmente ayrılmış ve her bir segmentten 5σ kriterinin dışında kalan aykırı noktalar temizlenmiş ve bir sonraki segmentle arasında düzey farkı olmayacak şeklilde birleştirlmiştir. Veri karakteristiğinin değiştiği boşluklar KIC yıldızınnın Q2 verisi

11 Verinin 3. sütunu her bir ham akı değerinin hatasını, 4 ve 5. sütunları ise ham verinin Kepler veri indirgeme paketlerince düzeltilmiş akı değeri ve hatasını içermektedir. Ancak bu düzeltme işlemi daha çok gezegen keşfi amaçlı bir düzeltmedir. KASOC çalışma grupları kendi ihtiyaçları doğrultusunda bu veriyi ayrıca düzeltmektedir. Örneğin kırmızı dev yıldızların asterosismik analizil üzerine çalışan WG8 kendi düzelttiği veriyi bu ASCII dosyalarının 6. sütununda, hatalarını ise 7. sütununda sağlamaktadır. KIC yıldızınnın WG8 tarafından düzeltimiş Q2 verisi

12 Bu işlem bütün çeyrek verileri için uygulandıktan sonra her bir çeyrek için 6 ve 7. sütunlarda verilen WG8 grubu tarafından Garcia vd. (2011) de anlatıldığı şekliyle düzeltilen akı değerleri ve hataları birleştirilmiş ve aşağıdaki 13 çeyreklik ışık eğrisi elde edilmiştir. KIC yıldızınnın WG8 tarafından düzeltimiş Q0-Q13 ışık eğrisi

13 Bu ışık eğrisinde de hala aykırı noktaların olduğu ve her şeyden önemlisi uzun dönemli ve dedektör karakteristiği değişiminden kaynaklanan lineer bir düşüş trendinin olduğu görülmektedir. Bu trend düzeltilmiş ve aykırı noktalar atılmııştır. Sonuçta elde edilen ışık eğrisi aşağıdaki gibidir. KIC yıldızınnın Q0-Q13 ışık eğrisi

14 KIC yıldızınnın Q0-Q13 ışık eğrisi ile oluşturulan güç spektrumu

15 Diamonds Kodunun Çalıştırılması Öncellikle programın verisinin bir güç spektrumu olduğunu vurgulamak gerekir. Bu güç spektrumunun μhz cinsinden frekansa karşılık ppm 2 / μhz girmek gerekir. (Garcia vd. 2011) Bu veri Kepler numarası ile birlkte KICxxxxxxxx şeklinde programa aşağıdaki şekilde sağlanır. Örneğimizdeki veri KIC yıldızına aittir bu nedenle program aşağıdaki şekilde background klasörünün bir alt klasörü olan build klasöründen çalıştırılır..../background/build$./multirun Yıldızın KIC numarası Kodun çalıştırılma sayısı Bağımsız çalışan kod sayısı multirun dosyasının yapısına bakacak olursak aslında background binary kodunu çağıran bir script ten ibaret olduğunu görürüz. Kod çalıştıktan sonra arkaalan uyumlamasının (ing. background fitting) başarımını gösteren oran parametresi (ing. ratio parameter) 0.01 değerinin altında düşünceye kadar çalışmaya devam eder. Bu koşul gerçekleştiğinde programın çalışması sona erer ve sonuçlar results dizini altında analiz ettiğiniz yıldızınızın adının verildiği bir klasörde oluşur.

16 Sonuçlar Örneğimiz için results/kic klasöründeki dosyaları inceleyelim. Bu dosyalardan birincisi NyquistFrequency.txt dosyasıdır ve içeriğinde tek satır bulunmaktadır: Bu değerin karşılık geldiği dönemi hesaplayacak olursak: 1 / (μhz) * 1e6 (Hz / μhz) = saniye bulunur. Bu dakikaya karşılık gelir ki bu da Kepler in uzun pozlama süresinde (ing. long cadence) 2 nokta aldığı süredir. (Yani veri alınma frekansının 2 katıdır). Şimdi NSMC_configurationParameters.txt dosyasınını içeriğine bakalım. Bu dosyanın içeriğinde Nested Sampling Monte Carlo algoritmasına ilişkin parametrelerin değerleri bulunur

17 Sonuçlar XMeans_configurationParameters.txt birinci satırında kaç parametrenin aynı anda uyumlanacağını (örneğimizde 1) ikinci satırında toplam kaç parametrenin olduğunu belilrler (örneğimizde 10). background_hyperparameters.txt bu 10 parametrenin her bir için alt ve üst limitleri belirlemektedir. # Hyper parameters used for setting up uniform priors. # Each line corresponds to a different free parameter (coordinate). # Column #1: Minima (lower boundaries) # Column #2: Maxima (upper boundaries) 8 22 # Gürültü seviyesi (W) # Harvey-1 genliği (a # Harvey-1 frekansı (b 1 ) # Harvey-2 genliği (a # Harvey-2 frekansı (b 2 ) # Harvey-3 genliği (a # Harvey*3 frekansı (b 3 ) # Salınım şiddeti (yüksekliği, H osc # En yüksek genliğin gerçekleştiği frekans ( ν max ) # Varyans (σ)

18 Sonuçlar Şimdi KICxxxxxxx/00 dizini altındaki dosyalara bakalım. Bu dizinde kodun bu yıldız için 0. çalışması sonucu üretilmiş sonuç dosyalarıı bulunmaktadır. Bu dosyaların büyük çoğunluğu Bayesian istatistik paradigmasının parametrelerini (likelihood function, Bayesian evidence, prior distribution, posterior distribution, marginal distribution gibi) vermektedir. Uyumlama sonrası elde edilen değerler ise background_parametersummary.txt için ortalama (mean), ortanca (median), mod (mode) ve varyans (variance) değerleri ile birlikte +/- 3σ aralığı için değerleri de vermektedir. # Summary of Parameter Estimation from nested sampling # Credible intervals are the shortest credible intervals # according to the usual definition # Credible level: % # Column #1: I Moment (Mean) # Column #2: Median # Column #3: Mode # Column #4: II Moment (Variance if Normal distribution) # Column #5: Lower Credible Limit # Column #6: Upper Credible Limit # Column #7: Skewness (Asymmetry of the distribution, -1 to the left, +1 to the right, 0 if symmetric) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-01

19 Sonuçlar Model ve veri plot_background.py Python kodu kullanılarak üstüste çizdirilebilir.

20 Sonuçlar 10 serbest parametrenin her biri için sonuç dağılımları (posterior probability distributions) aşağıdaki gibi elde edilmiştir.

21 Kaynaklar Appourchaux, T., et al. 2012, A&A, 543, A54 Campante, T. L. 2012, PhD thesis, Universidade do Porto Campante, T. L., et al. 2016, ApJ, 819, 85 Corsaro, E. & De Ridder, J. 2014, A&A, 571, A71 Davies, G. R., et al. 2016, MNRAS, 456, 2183 Handberg, R. & Campante, T. L. 2011, A&A, 527, A56