SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

Transkript

1 SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

2 SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1. Sürekli modeller: Davranışları zamanla birlikte devamlı değişim gösteren sistemlerdir. Örneğin; dünya nüfusundaki hareketliliğin araştırılması. 2. Kesikli modeller: Zaman içerisinde kesikli veya sayılabilir noktalarda temel değişkenlerinin değerleri değişime uğrayan sistemlerdir. Örneğin; bekleme hatlarında ortalama kuyrukta bekleme süresinin hesaplanması.

3 KESİKLİ SİMÜLASYONUN TEMELLERİ Cinslerine göre olaylar: Tüm kesikli simülasyonlar, doğrudan ya da dolaylı olarak, müşterilerin geldiği durumlarda gerektiğinde oluşabilecek kuyruklar (ya da bekleme hatları) ve ardından da sistemi terk etmeden önce hizmet görme olarak tanımlanırlar. Bir kesikli olay modeli kuyrukların oluşturduğu bir şebeke modelidir. Herhangi bir kesikli simülasyon modelinde geliş ve gidiş olmak üzere iki temel olay söz konusudur. Bu olaylar sistemi incelemek için gereksinim duyulan iki andır. Diğer tüm zamanlarda sistemin istatistiklerini etkileyen bir şey olmaz.

4 KESİKLİ SİMÜLASYONUN TEMELLERİ Cinslerine göre olaylar: Sistemde değişiklik meydana geldiği anda modeldeki olaylar tanımlanmış olur (örneğin, müşterilerin gelmesi ve gitmesi). Bu olaylar kesikli noktalarda meydana geldikleri için kesikli olay simülasyonu ortaya çıkmıştır. Gerek kesikli ve gerekse sürekli simülasyon uygulamada önemli araçlar olmakla birlikte, kesikli simülasyon, yöneylem araştırması konularıyla yakınlığı açısından daha çok kullanılmaktadır. Kesikli simülasyon özellikle kuyruk modelleriyle yakındır.

5 KESİKLİ SİMÜLASYONUN TEMELLERİ Olasılık dağılımlarından gelen olaylar: Simülasyonda rastgelelik, bir t aralığındaki ardarda iki olayın olasılıklı olduğu durumlarda ortaya çıkar. Bir f(t) olasılık dağılımından ardarda t=t1,t2, rastgele örneklemelerini üretme yöntemleri şunlardır: 1. Ters dönüşüm yöntemi 2. Konvülasyon yöntemi 3. Kabul-red yöntemi Bu yöntemlerle bir simülasyon modeline girdi olabilecek örneklemelerin üretilmesinde istatistiksel dağılımlardan faydalanılmaktadır.

6 Dağılımlardan örnekleme oluşturulması Tahmin edilemeyen, belirsiz faaliyetlerin modellenmesinde istatistiksel dağılımlar kullanılır. Gerçek dünya problemlerindeki gelişler arası süre, servis süresi, talep miktarı gibi değişkenler genellikle tahmin edilemez faaliyetlerdir. Bu tür değişkenler belirli bir istatistiksel dağılıma sahip rastsal değişkenler olarak modellenebilir. Rastsal örnekleme üretme tekniklerinin hepsi [0,1] aralığında uniform dağılmış rastsal sayıların mevcut olduğu varsayımına dayanır.

7 TERS DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ Bir f(x) yoğunluk fonksiyonundan bir rastgele değişken elde edileceğini varsayalım. Ters dönüşüm yöntemi, önce y nin tanımlanmış tüm değerleri için 0 F(x) 1 olmak üzere F(x)=P{y x} kümülatif yoğunluk fonksiyonunun kapalı bir formunu belirlemektedir.

8 TERS DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ Bu şekilde yöntem hem sürekli hem de kesikli değişkenler için gösterilmektedir. Verilen bir u yada R1 değerine karşılık gelen x değeri belirlenir. 1.adım: R(0,1) rastgele sayısını üret. 2.adım: İstenen x=f(r1) değerini hesapla.

9 Üstel dağılım Üstel dağılım fonksiyonu, gelişler arası süresi t, ortalaması 1/λ olan bir fonksiyondur. f(t)=λ.e -λt, t>0 f(t) den bir t rastgele örneklemesi belirleyelim. Kümülatif yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi belirlenir. Burada R=F(t) yazarak t çözüldüğünde bulunur.

10 KONVOLÜSYON YÖNTEMİ Bu yöntemin temel düşüncesi, istenen örneğin kolay örneklenen diğer rastgele değişkenlerin toplamı olarak ifade edilmesidir. Bu dağılımların en tipik örnekleri Erlang ve Poisson dağılımları olup üstel dağılım örneklerinden elde edilirler.

11 Erlang dağilimi n sayıda olayın tümüyle ortaya çıkmasına kadar geçen zamanın olasılık dağılımını inceler. m tane Erlang rastgele değişkeni, m tane bağımsız ve özdeş dağılmış rastgele değişkenlerin istatistiksel toplamı olarak ifade edilir. Y, m Erlang rastgele değişkenini göstersin. Bu durumda, y y1 y2... ym Bu değişkenlerin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle tanımlanır: f ( y ) i e y i

12 Erlang dağilimi i. üstel dağılım: yi 1 In( Ri) Dolayısıyla, m tane Erlang örneği: yi 1 { In( R 1 ) In( R 2 )... In( R m )} 1 In( R 1. R 2... R m )

13 Poisson dağilimi Eğer ardarda meydana gelen olaylar arası dağılım üstel ise, bu durumda birim zaman başına düşen olay sayısının dağılımı da Poisson dağılımına uyacaktır. 0, 1 0, n R e n R R R e R R R t t n n

14 Normal dağilim Merkezi limit teoremine göre, n yeterince büyük olmak üzere, n adet bağımsız ve özdeş rastgele değişken normal dağılma eğilimindedirler. Bu sonuç ortalaması μ ve standart sapması σ olan bir normal dağılımdan örneklem üretmek için kullanılmaktadır. x R1 R2... Rn y rastgele örneklemi, ortalaması ve standart sapması olan bir N() normal dağılımından, x için aşağıdaki formül yardımı ile hesaplanır: n y x 2 n 12

15 Normal dağilim Uygulamada kolaylık olması açısından n=12 alınarak bu formül haline indirgenir. y ( x 6) Bu yöntemin dezavantajı her bir normal örneklem için 12 tane (0,1) rastgele sayı üretmek gerekliliğidir. Bu da verimsiz bir durum olmaktadır. Daha verimli bir yöntem olarak Box-Muller Yöntemi önerilmektedir. x 2In( R1) cos(2 R2) Box-Muller yöntemi halen en etkili yöntemdir. Box ve Muller verilen formülde cos( 2 R2) yerine sin( 2 R2) yazıldığında başka bir örneklem elde edilebileceğini göstermişlerdir. Bu da, R1 ve R2 gibi iki rastgele sayı kullanarak aynı anda iki örneklemin üretebilmesi demektir.