Canım Kızım İnci Defne ye...

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE YENİ BİR YAKLAŞIM (ORAN YAKLAŞIMI) Nilüfer PEKİN ALAKOÇ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012 Her hakkı saklıdır

2 Canım Kızım İnci Defne ye...

3 ÖZET Doktora Tezi BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE YENİ BİR YAKLAŞIM (ORAN YAKLAŞIMI) Nilüfer PEKİN ALAKOÇ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Ayşen APAYDIN Kalite kontrol grafikleri bir sürecin değişkenliğini izlemek için kullanılan en önemli istatistiksel süreç kontrol araçlarıdır. Bu grafikler bulanık teori ile geliştirildiğinde gerçeği daha iyi yansıtan sonuçlar elde edilir. Bunun nedeni bulanık sayılarla sürecin daha esnek tanımlanabilmesidir. Bu çalışmada, oran yaklaşımı olarak adlandırılan, bulanık kalite kontrol grafikleri çizmek için geliştirilmiş yeni bir yaklaşım önerilmiştir. Bulanık c kalite kontrol grafiği çizmek için düzenlenen yaklaşım detaylarıyla anlatılmıştır. Yaklaşımın avantajları açıklanmış ve yaklaşım literatürdeki çalışmalar ile karşılaştırılmıştır. Oran yaklaşımı ile oluşturulmuş kontrol grafiklerinin performansları ortalama koşum uzunlukları hesaplanarak incelenmiştir. Çalışmanın son bölümünde, bulanık kontrol grafiklerinin kontrol dışı durumlarını tanımlayan kurallar tartışılmıştır. Temmuz 2012, 131 sayfa Anahtar Kelimeler: Kalite kontrol grafikleri, ortalama koşum uzunluğu (ARL), uyarı sınırları, bulanık mantık, bulanık sayılar. i

4 ABSTRACT Ph.D. Thesis A NEW APPROACH IN FUZZY QUALITY CONTROL CHARTS (RATIO APPROACH) Nilüfer PEKİN ALAKOÇ Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Statistics Supervisor: Prof. Dr. Ayşen APAYDIN Quality control charts which are used to monitor variation of a process are the most important statistical process control tools. More realistic results are obtained when these charts are developed with fuzzy theory. This is due to the fact that the process can be defined more flexible with fuzzy numbers. In this study, a new approach named as ratio approach developed for fuzzy quality control charts is proposed. The approach designed for charting fuzzy c quality control chart is explained in details. The advantages of the approach are explained and the approach is compared with the studies in literature. Performances of quality control charts formed by ratio approach are investigated by calculating average run lengths. At the last section of the study, rules that define out of control situations of the fuzzy control charts are discussed. July 2012, 131 pages Key Words: Quality control charts, average run lenght (ARL), warning limits, fuzzy logic, fuzzy numbers. ii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... v KISALTMALAR DİZİNİ... vi ŞEKİLLER DİZİNİ... vii ÇİZELGELER DİZİNİ... ix 1. GİRİŞ GİRİŞ Önceki Çalışmalar Kalitenin tarihsel gelişimi Bulanık mantığın tarihsel gelişimi Bulanık kalite kontrol grafiklerinde önceki çalışmalar KALİTE VE KALİTE KONTROL GRAFİKLERİ Kalite Kontrol Grafikleri Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri x ve R kalite kontrol grafikleri x ve s kalite kontrol grafikleri MR kalite kontrol grafikleri CUSUM ve EWMA kalite kontrol grafikleri Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri p kalite kontrol grafikleri np kalite kontrol grafikleri c kalite kontrol grafikleri u kalite kontrol grafikleri Kalite Kontrol Grafiklerinde Kontrol Dışı Durumlar Kalite Kontrol Grafiklerinde Uyarı Sınırları Kalite Kontrol Grafiklerinde Performans Ölçüleri BULANIK MANTIK VE BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİ Bulanık Mantık ve Genel Tanımlar Üyelik Fonksiyonları iii

6 3.3 Bulanık Sayılar ve Aritmetik İşlemler Tip - n Bulanık Mantık KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE ORAN YAKLAŞIMI Oran Yaklaşımının Temelleri Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Bulanık Sınırlar Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde oran yaklaşımı Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde oran yaklaşımı Oran yaklaşımında bulanık sayıların üyelik fonksiyonunun belirlenmesi Oran Yaklaşımının c Kalite Kontrol Grafiğine Uygulanması Oran Yaklaşımının Avantajları Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Uyarı Sınırları Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Performans Ölçüleri BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE KONTROL DIŞI DURUMLAR Bulanık Kalite Kontrol Grafiklerinde Bulanık Kurallar Bulanık Kuralların Etkileri SONUÇLAR VE ÖNERİLER KAYNAKLAR EKLER EK 1 Şekil 6.4 ün Elde Edilmesinde Kullanılan Üyelik Derecelerinin Bir Kısmı EK 2 Easyfit Veri Analizi Sonuçları EK 3 Easyfit Veri Analizi Parametre Tahminleri EK 4 Poisson(9,5) Ve k = 1,5 İle Üretilen Bulanık Sayıların Üyelik Dereceleri ÖZGEÇMİŞ iv

7 TEŞEKKÜR Tez çalışmasının hazırlanmasında bilgi ve tecrübeleriyle bana yol gösteren, desteğini esirgemeyen, güleryüzü, hoşgörüsü, sakin ve yapıcı kişiliği ile örnek aldığım danışman hocam Sayın Prof. Dr. Ayşen APAYDIN a (Ankara Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalı ) en içten teşekkürlerimi sunarım. Çalışma süresince, zaman ayırıp tez izleme toplantılarına katılan farklı bakış açıları ve fikirleriyle beni yönlendiren değerli jüri üyeleri Sayın Prof. Dr. Murat Caner TESTİK e (Hacettepe Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ) ve Sayın Doç. Dr. Halil AYDOĞDU ya (Ankara Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalı ), tezimi okuyarak değerli katkılarını sunan jüri üyeleri Sayın Prof. Dr. F. Zehra MULUK a (Başkent Üniversitesi Sigortacılık ve Risk Yönetimi Anabilim Dalı ) ve Fatih TANK a (Ankara Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalı) çok teşekkür ederim. Ayrıca, tüm hayatım boyunca daima desteklerini ve sevgilerini hissettiğim, bugünlere gelmemi sağlayan canım annem Aynur PEKİN e, babam İbrahim PEKİN e ve ablam Yasemin PEKİN DOĞAN a minnettarım. Çalışmalarım sırasında sabır, sevgi ve anlayışla beni dinleyen ve destekleyen sevgili eşim Uğur ALAKOÇ a ve biricik kızım İnci Defne ALAKOÇ a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Nilüfer PEKİN ALAKOÇ Ankara, Temmuz 2012 v

8 KISALTMALAR DİZİNİ MÇ AKL ÜKL MR CUSUM EWMA ARL ATS Merkez Çizgi Alt Kontrol Limiti Üst Kontrol Limiti Hareketli Genişlik (Moving Range) Kümülatif Toplam (Cumulative Sum) Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalama (Exponenetially weighted moving average) Ortalama Koşum Uzunluğu (Average Run Length) İlk Sinyale Kadar Geçen Ortalama Zaman (Average Time to Signal) vi

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil Birimlik bir veri setine ait örnek kalite kontrol grafiği Şekil 2.2 Kalite kontrol grafiklerinde A, B ve C bölgeleri Şekil kesme kümesi Şekil 3.2 Üyelik fonksiyonu Şekil 3.3 Üçgensel üyelik fonksiyonu Şekil 3.4 Doğrusal olmayan üçgensel üyelik fonksiyonu Şekil 3.5 Yamuksal üyelik fonksiyonu Şekil 3.6 Gaussian üyelik fonksiyonu Şekil 3.7 Çan eğrisi üyelik fonksiyonu Şekil 3.8 Sigmodial üyelik fonksiyonu Şekil 3.9 Üçgensel bir bulanık sayı Şekil 3.10 Yamuksal bir bulanık sayı Şekil 4.1 Üçgensel bulanık sayılar ve bulanık kontrol sınırları için bir örnek Şekil 4.2 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışmayan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal bulanık sayıların olası durumları Şekil 4.3 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal bulanık sayıların olası durumları Şekil 4.4 Üyelik dereceleri histogramı Şekil 4.5 Beta dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonu Şekil 4.6 Bulanık kontrol sınırları Şekil 4.7 Birinci örneklem ile tahmin edilen Beta dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonu Şekil 4.8 Oran yaklaşımı ile oluşturulmuş bulanık c grafiği Şekil 4.9 Kesim 4.4'de tahmin edilen Beta dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonunda uyarı sınırı Şekil 5.1 Kural 2: Üçgensel bulanık sayı ve bulanık sınırlar Şekil 5.2 Kural 5: Bulanık merkez çizginin tek bir tarafında olan üçgensel bulanık sayılar Şekil 5.3 Kural 6: Düzenli olarak küçülen üçgensel bulanık sayılar Şekil 5.4 Kural 8: Düzenli olarak artan ve azalan üçgensel bulanık sayılar vii

10 Şekil 5.5 Kural 10: Bulanık merkez çizginin düzenli olarak altında ve üzerinde olan üçgensel bulanık sayılar Şekil 5.6 Kural 12: Yayılımı düzenli olarak azalan üçgensel bulanık sayılar viii

11 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3.1 Üçgensel bulanık sayılarla aritmetik işlemler Çizelge 3.2 Yamuksal bulanık sayılarla aritmetik işlemler Çizelge 4.1 Üretilen yapay bulanık sayılar için belirlenen fonksiyonlar Çizelge 4.2 Birinci örneklem: - kesme üçgensel bulanık sayılar Çizelge 4.3 Bulanık kontrol sınırları ve - kesme bulanık kontrol sınırları Çizelge 4.4 Birinci örneklem ile hesaplanan üyelik dereceleri Çizelge 4.5 İkinci örneklem : - kesme üçgensel bulanık sayılar Çizelge 4.6 İkinci örneklem ile hesaplanan üyelik dereceleri Çizelge 4.7 Bulanık kontrol sınırları ve merkez çizgi Çizelge 4.8 Farklı parametre ve açıklık katsayısı değerleri ile hesaplanmış ortalama koşum uzunlukları Çizelge 4.9 ARL değerlerinin İşaret Testi ile karşılaştırılması Çizelge 4.10 Farklı parametre ve açıklık katsayısı değerleri ile hesaplanmış koşum uzunlukları sayıları Çizelge 4.11 Farklı parametre ve açıklık katsayısı değerleri ile hesaplanmış bulanık sayıların üyelik derecelerinin ortalamaları Çizelge 5.1 Farklı parametre değerleri ile hesaplanmış ortalama koşum uzunlukları Çizelge 5.2 Oran yaklaşımında kural 2'nin ARL değerlerinde etkisinin ortanca için İşaret Testi ile incelenmesi Çizelge 5.3 Kural 2'ye uyan bulanık sayı yüzdeleri Çizelge 5.4 Kural 2'ye uyan bulanık sayıların üyelik derecelerini ortalamaları ix

12 1. GİRİŞ 1.1 GİRİŞ Günümüzdeki rekabetçi ortamda işletmeler daha karlı üretim yapabilmek için kaliteli ürünler üretmeyi amaçlamaktadır. Üretimin her aşamasında yüksek kalite beklentisinin tüm üretim veya hizmet sürecinde hakim olması istenmektedir. Kalite bir ürünün ya da hizmetin istenilen özelliklere sahip olmasıdır ve müşterilerin bir numaralı tercih sebebidir. Çağımızda müşteri nihai ürünü kullanan müşteriden çok daha geniş bir anlam ifade etmektedir. Maliyeti olabildiğince düşük kusursuz ürünleri zamanında üretmek işletmelerin temel hedefidir. Bu nedenle firmalar sürekli olarak kendilerini yenilemenin ve ürün kalitesini arttırmanın yollarını aramaktadırlar. İstatistiksel yöntemler bu amaçla kullanılan araçlardır. Endüstride geniş ölçüde kabul edilmiş ve en yaygın olarak kullanılan istatistiksel yöntemler kalite kontrol grafikleridir. Kalite kontrol grafikleri ile sürecin zaman içerisindeki değişimini izlemek, varsa olası kontrol dışı durumları ya da kusurları yakalamak mümkündür. Bu izleme ile sürece zamanında müdahale etmeye veya önlem almaya imkan sağlanır. Günümüz endüstrisinde firmaların kusursuz ürün üretebilme hedefi, kullanılan yöntemlerin hızla değişmesine ve gelişmesine neden olmaktadır. Araştırmacılar ve bilim insanları kalitenin arttırılması ya da mevcut kalite seviyesinin korunması amacıyla çalışmalar yapmaktadır. Bir sürecin ortalamasındaki küçük dalgalanmaları, kaymaları yakalamak, süreci daha erken kontrol altına almak maliyet açısından önemlidir. Üretim sistemlerinin iyileştirme çalışmalarında klasik yöntemler her zaman yeterli olmamaktadır, çünkü günümüzün karmaşık sistemleri belirsizlikler içerir. Bu nedenle bulanık kalite kontrol grafikleri geliştirilmiştir. Kesin olmayış ve belirsizlik, insan doğasının kararlarının temelinde vardır. İnsanın var olduğu, karar ve düşüncelerine gerek duyulduğu tüm alanlarda olduğu gibi üretim alanı da belirsizlikler içermektedir. Kesin olmayış ve belirsiz bilginin modellenmesi kalite kontrolde bulanık mantık ile sağlanır. Bulanık mantık ile geliştirilen kalite kontrol araçları ile firmalar kendilerini 1

13 yenilemenin ve ürün kalitesini arttırmanın yollarını aramaktadırlar. Bulanık kalite kontrol grafiklerinin geliştirilmesi süreci daha doğru sonuçlarla açıklayabilmesi açısından önemlidir. Bulanık kontrol grafiklerinin avantajları şu şekilde özetlenebilir: Kalite kontrol grafikleri süreç kontrol içinde veya süreç kontrol dışında sonuçlarına varır. Fakat bulanık yaklaşım ile çizilen grafikler birçok ara kararı da içerebilir. Bulanık kontrol grafikleri sadece sürecin durumunu sözel olarak tanımlamakla kalmaz sürecin kontrol içinde ya da kontrol dışında olmasının derecesini de belirtebilirler. Bu da gerçeğe daha yakın ve daha esnek sonuçlara ulaşılmasına neden olur. Kalite kontrol grafiklerinde verilerin gerçek ve kesin sayılar olması gerekliliğine karşılık bulanık kontrol grafiklerinde kullanılan sayılar belirsiz verilerdir. Kalite kontrol grafiklerinde alt ve üst kontrol sınırlarının değerleri örneklemdeki alt grupların eleman sayısına bağlıdır. Bulanık grafiklerde bu olmak zorunda değildir (Gülbay ve Kahraman 2007). Bir ürünün kusurlu ya da kusurlu değil veya uygun ya da uygun değil olarak sınıflandırmak bazı süreçlerde yetersiz kalır. Böyle durumlarda bulanık kalite kontrol grafiklerinde ara seviyeler de tanımlanabilir. Bir bulanık kalite kontrol grafiğinde birden çok kalite karakteristiği incelenebilir (Gülbay ve Kahraman 2007). Literatürde, 1990 lardan sonra bulanık kalite kontrol grafikleri oluşturmak için çeşitli yaklaşımlar geliştirilmiştir. Bu çalışmaların bazı önemli dezavantajları şu şekilde özetlenebilir: 2

14 Özellikle ilk çalışmalarda veriler bulanık sayı ya da sözel ifadeler olarak ele alınmış ve bulanık kontrol grafiğin çiziminin bir aşamasında bir dönüşüm yöntemi ile bulanık sayılar gerçek sayılara çevrilmiştir. Bu yaklaşımlarda hesaplamalar kolay olsa da grafiklerin dönüşüm yöntemi kullanılarak elde edilmesi veri kaybının olmasına sebep olur. Veri kaybı sonucun esnekliğini ve yanlış alarm oranını etkiler. Ayrıca, grafiğin oluşturulmasında kullanılan dönüşüm yöntemi süreç hakkındaki sonucu ve grafiğin örüntüsünü tamamen değiştirebilir. Literatürde önerilen bulanık kontrol grafiklerinde, üst ve alt kontrol sınırları ve merkez çizgi genellikle gerçek değerlerle ifade edilmiştir. Bu sayede Shewhart ın kalite kontrol grafiği oluşturma teknikleri bulanık grafiklere kolayca uyarlanabilmiştir. Her ne kadar Shewhart kalite kontrol grafiklerine benzer grafikler elde etmek, grafiklerin performanslarını karşılaştırmak için kullanılan, ortalama koşum uzunluğu istatistiğinin hesaplanmasının kolay olmasını sağlasa da, sınırları gerçek sayılarla ifade etmek kontrol grafiğini bulanık mantığın çerçevesinden uzaklaştırmıştır. Geliştirilen yaklaşımlar genellikle teorik çalışmalardır ve yaklaşımlarda süreçler sadece değerlere göre tanımlanır. Çizilen bir grafiğin olmaması değerlerin zamana göre değişiminin incelenmesini imkansız hale getirir. Literatürde önerilen bulanık kalite kontrol grafiklerinin bir diğer dezavantajı varsayımlarının gerçekçi olmaması ya da varsayımlarının yaklaşımın uygulanabilirliğini etkilemesidir. Bulanık kalite kontrol grafiğinin uygulanamıyor olması grafiğin önemli bir eksikliğidir. Önerilen hemen hemen tüm bulanık kontrol grafikleri bazı varsayımlar altında geliştirilmiştir. Örneğin, veri olarak ele alınan bulanık sayılar doğrusal üyelik fonksiyonu olan yamuksal sayılardır (Gülbay ve Kahraman 2007). Bulanık sayılar doğrusal üyelik fonksiyonu olan üçgensel sayılardır ve - seviye bulanık açıklık ortası yöntemi bu sayılara uygun bir dönüşüm yöntemidir (Şentürk ve Erginel 2008). Ürünlerin uygunluğun (ya da uygunsuzluğun) derecesini belirten veriler Normal dağılıma uymaktadır (Amirzadeh vd. 2009). Sözel olarak ifade edilen kalite karakteristiğinin terimleri gaussian üyelik fonksiyonuna sahiptir (Faraz ve Moghadam 2007). Bu ve bunlar gibi varsayımlar bulanık kalite kontrol grafikleri konu olduğunda kaçınılmazdır ve önerilen grafikler için sağlanması gereken önemli şartlardır fakat bu 3

15 varsayımlar bulanık kalite kontrol grafiklerinin her türlü gerçek hayat durumlarına uyarlanmasını engeller ya da büyük ölçüde kısıtlar. Var olan çalışmalara başka bir açıdan bakıldığında, genel olarak varsayımları az olan yaklaşımların çok olan yaklaşımlara göre hesaplamaları oldukça zor olduğu söylenebilir. Bu durum bulanık kalite kontrol grafikleri yaklaşımlarının uygulanmalarını kısıtlayan başka bir önemli dezavantajdır. Bu çalışmada bulanık kalite kontrol grafikleri çizebilmek için oran yaklaşımı olarak adlandıran yeni bir yaklaşımın geliştirilmesi ve Shewhart kalite kontrol grafiklerinin bulanık alternatiflerinin çizilmesi amaçlanmıştır. Varsayımlar açısından mümkün olduğunca esnek bir yaklaşım geliştirilmeye çalışılmıştır. Yaklaşımın uygulanabilirliğinin ve hesaplamalarının kolay olması göz önüne alınarak, sürece ve uzman kararlarına göre değişimlere açık olması hedeflenmiştir. Küçük değişikliklerle farklı kontrol grafikleri için düzenlenebilmesi göz önüne alınarak her türlü sürecin bulanık kontrol grafiğinin çizilebilmesi amaçlanmıştır. İstenen sadece farklı kontrol grafiklerine uyarlanabilmesi ya da oran yaklaşımı ile çeşitli bulanık kontrol grafiklerinin çizilebilmesi değil yaklaşımın üretim süreçlerinde kullanılabilmesidir. Bu çerçevede oran yaklaşımı olarak adlandırılan bulanık kalite kontrol grafiği oluşturma yaklaşımı geliştirilmiştir. Bu çalışmanın İkinci Bölüm ünde, kalitenin farklı tanımları özetlenerek kalitenin tanımı ve istatistiksel süreç kontrol üzerinde durulacaktır. Kalite kontrol grafiklerinin çeşitleri, varsayımları ve literatürdeki doğal olmayan grafik örüntülerini tanımlayan kurallar özetlenecektir. Kalite kontrol grafiklerinde uyarı sınırları ve performans ölçülerinin anlamlarına ve hesaplamalarına değinilecektir. Üçüncü Bölüm de, bulanıklık ve bulanık mantık temel özellikleri ile anlatılacaktır. Bulanık kümeler, üyelik fonksiyonu kavramlarının tanımlarına değinilecek ve tip - n bulanık mantık üzerinde durulacaktır. 4

16 Tezin özgün yanını içeren Dördüncü Bölüm de, geliştirilen oran yaklaşımı detaylarıyla anlatılacaktır. Oran yaklaşımının Shewhart ın kalite kontrol grafiklerine alternatif olacak şekilde düzenlenmesi incelenecek ve bulanık c grafiği çizmek için düzenlenen yaklaşım bir örnek ile ayrıntılarıyla anlatılacaktır. Oran yaklaşımı ile oluşturulmuş kalite kontrol grafiklerinin literatürdeki bulanık kontrol grafiklerine göre kullanım avantajları üzerinde durulacak ve önerilen bulanık kontrol grafiklerinde uyarı sınırlarının hesaplamaları anlatılacaktır. Bulanık kontrol grafiklerinin performans ölçüleri aynı bölümde incelenecek ve farklı senaryolar göz önüne alınarak, bulanık c kontrol grafiği için ortalama koşum uzunlukları hesaplanarak sonuçlar tartışılacaktır. Çalışmanın Beşinci Bölüm ünde oran yaklaşımı ile çizilmiş bulanık kalite kontrol grafiklerinde sürecin kontrol altında olmadığını gösteren rasgele olmayan grafik örüntüleri bir dizi kurallar ile tanımlanacak ve önerilen bulanık kalite kontrol grafikleri, tanımlanan kurallardan biri ile ortalama koşum uzunluğu istatistiği kullanılarak incelenecektir. Çalışmanın sonuçları ve oran yaklaşımı son bölüm olan Altıncı Bölüm de özetlenecek ve çeşitli uygulamalarla elde edilen bilgiler değerlendirilecektir. 1.2 Önceki Çalışmalar Kalitenin tarihsel gelişimi Kalite, bir ürünün ya da hizmetin belirli beklentileri karşılayabilme derecesini ortaya koyan karakteristiklerinin tümüdür. Kusursuz hizmet ya da ürün üretmeye sistemli bir yaklaşımdır, şartlara uygunluktur, verimliliktir ve müşterinin memnuniyetidir. Kalite hemen hemen her zaman ürünlerin ve hizmetlerin ayrılmaz bir parçası olmuştur. Fakat kalitenin öneminin anlaşılması ve kalite kontrolde yeni yöntemlerin geliştirilmesi son yüzyıllarda olmuştur. 20. yüzyılda ise kalite kontrol alanı önemli gelişmelere sahne olmuştur. Üretim sistemlerinde kalite kontrolün önemi artmış ve firmalar daha karlı üretim yapabilmek amacıyla istatistiksel süreç kontrolüne ağırlık vermişlerdir. 5

17 1980 lerden sonra ise kalite ve kalite kontrol teknolojileri, anlayışı ve gelişmelerinde çok hızlı yollar kat edilmiştir. Üreticiler ve firmalar arasında rekabet sonucu bir ürünün ya da hizmetin kalitesinin arttırılma çalışması bir gereklilik halini almıştır. Frederick W. Taylor (1911) yılında bilimsel yönetimin ilkelerini tanıtmış ve bu ilkelerle işleri ve üretimi üstesinden gelinebilecek bileşenlere bölmüştür. Çalışanların üretimdeki tüm işlerden sorumlu olması yerine belirli işlerde özelleştirilmesi, bu çalışanların kalitesinin ve üretebilirliğinin görülmesine neden olmuştur. 20. yüzyılda kalite ve kalite geliştirme konularında yapılan çalışmalarda Avrupa, ABD ve Japonya ön plana çıkmaktadır. Kalite kontrolde istatistiksel yöntemlerin kullanılması ilk olarak Walter A. Shewhart tarafından 1924 yılında gerçekleşmiştir. Üretim işlemini ekonomik açıdan ele almıştır. Bu amaçla, yaptığı çalışmalarda üretim sürecinin kalitesinin, ürünlerin değişkenliği ile ilgili olduğunu göstermiş ve değişkenliğin zaman içerisinde gösterilmesinde kalite kontrol grafiği kavramını tanıtmıştır. Kalite kontroldeki bu önemli gelişmeler istatistiksel kalite kontrolün başlangıç noktası olarak kabul edilmiştir (Montgomery 1996). Shewhart ın çalışmalarının yayınlanmasından kısa bir süre sonra Dodge ve Roming aynı laboratuarda ürünlerin müşteriye ulaşabilecek uygunlukta olup olmadığını test etmek amacıyla ürünlerin kısım kısım denetlenmesi üzerine bir sistem geliştirmişlerdir. Bu sistem, kısımların kalitesini öngörebilmek için örneklemlerin kullanıldığı olasılık yaklaşımı temeline dayanmaktadır (Feigenbaum 1983). İşletmelerde hurda, üretimin kaçınılmaz bir parçasıdır. Hurda ve hurdadan kaynaklanan problemleri önlemek amacıyla yapılan çalışmalarda W. E. Deming in 1950 yılındaki istatistik tabanlı yaklaşımları dikkat çeker. Kalitenin ve üretkenliğin geliştirildiği bu çalışmalar ABD den önce Japonya da kabul görmüştür. 6

18 İkinci Dünya Savaşının başlamasıyla Dünya da kalite kontrol çalışmaları daha da genişlemiştir. Yüksek kaliteli ürünlerin üretilmesi, müşteri memnuniyeti ve daha kısa zamanda daha karlı üretim gibi kavramlar ön plana çıkmıştır yıllarına gelindiğinde Shewhart kalite kontrol grafikleri, Deming in kalite geliştirme felsefesi, Taguchi yöntemleri, deney tasarımı teknikleri, kalite güvence kavramı tüm dünyaya yayılmıştır. Günümüzde küresel markette rekabetçi güçlerin etkisi ile gelişmeler hızla artmış ve üretimin birçok boyutu kalite ile beraber takip edilir olmuştur (Deming 1948, Efil 1998, Oktay 1998, Kobu 1999) Bulanık mantığın tarihsel gelişimi Gerçek hayat problemlerinde belirsizliklerin ve bulanıklıkların modellenmesine ihtiyaç duyulur. Fakat bu problemler her zaman deterministik değildir. Tarihte belirsizliğin modellenmesinde olasılık teorisi kavramı ve teknikleri kullanılmıştır. Pratikteki bu problemlerden yola çıkılarak 1960 dan sonra olasılık teorisi üzerinde çalışılmış ve bulanık mantık kavramı tanımlanmıştır. İlk olarak 1962 yılında Lotfi A. Zadeh tarafından ortaya atılmıştır. Zadeh bu çalışmasında kesin olmayan sınırlara dayalı olan bulanık küme teorisini açıklamıştır. Bulanık mantık ilk yıllarda şüpheyle karşılanmış ve eleştirilmiştir. Batı dünyasından önce doğuda özellikle Japonya da kabul görmüştür. Daha sonraki yıllarda çeşitli alanlara yayılmış ve uygulamaları yapılmıştır (Klir ve Yuan 1995). İlk olarak çimento sanayi ve su arıtma sistemlerinin uygulamalarında kullanılan bulanık mantık 1980 lerden sonra asansör, metro işletimi, trafik lambaları ve beyaz eşyalarda kullanılmaya başlanmıştır yılında Londra'da Mamdani bulanık mantık kullanarak uzman sistemle bir buhar türbininin hızının ve performansının denetlenebileceğini göstermiştir. Bulanık mantık kuramının ilk endüstriyel uygulaması ise Danimarka'daki bir çimento fabrikasında gerçekleştirilmiştir. Sıcaklık ve oksijen ayarı bulanık mantık 7

19 ile yapılmıştır. Bulanık mantığın ilk önerildiği günden beri önemi gittikçe artmaktadır. Son 30 yılda bulanık mantık birçok alana yayılmış ve çok çeşitli yönleri geliştirilmiştir. Ortaya atıldığı yıllarda teorik bir araştırma konusu olarak incelenen bulanık mantığın, günümüze kadar geçen zaman içerisinde çok farklı alanlarda uygulamaları yapılmıştır. Bulanık mantığın kullanıldığı alanların belli başlı olanları: Biyoloji ve tıp bilimleri, yönetim ve karar destek sistemleri, ekonomi ve finans, çevre, mühendislik ve bilgisayar bilimleri, psikoloji, yöneylem araştırması, uzman sistemler, güvenilirlik ve kalite kontrolü, otomatik kontrol sistemleri, istatistik, bilgi sistemleri ve görüntü tanımlamadır. Günümüzde bulanık mantık elektrikli ev aletlerinde, beyaz eşyalarda, akıllı sistemlerin tasarımında, fren sistemlerinde kullanılmaktadır (Klir ve Yuan 1995) Bulanık kalite kontrol grafiklerinde önceki çalışmalar Literatürde kalite kontrol grafikleri ve bulanık mantık çok çalışılmış olsa da bulanık kalite kontrol grafikleri 1990 lardan sonra incelenmeye başlanmıştır. Bulanık kalite kontrol grafikleri çalışmaları ilk olarak 1990 da Raz ve Wang ın yaptıkları iki çalışma ile başlar. Raz ve Wang (1990) ve Wang ve Raz (1990) makalelerinde özellikler ile çalışılmış ve genel bulanık kalite kontrol grafiği yaklaşımı önerilmiştir. Kalite karakteristiği uygun / uygun değil olarak değil mükemmel, iyi, orta, zayıf ve kötü gibi sözel ifadelerle ara seviyeleri de belirterek incelenmiştir. Olasılıksal ve üyelik olarak tanımlanan iki yaklaşım geliştirilmiştir. Olasılıksal yaklaşımda, kalite karakteristiğinin sözel ifadelerinin bu ifadelerin üyelik fonksiyonlarının mod, ortanca, - seviye bulanık açıklık ortası dönüşüm teknikleri veya bulanık ortalama dönüşüm değerleri ile temsil edilen gerçek değerleri hesaplanmıştır. Daha sonra bu gerçek değerler Shewhart kalite kontrol grafikleri yöntemi ile kontrol grafiklerinin çiziminde kullanılmıştır. Üyelik yaklaşımında, süreç seviyesi sözel ifadelerin ortalaması ile tahmin edilmiş ve önerilen kalite kontrol grafiğinde orta çizgi sözel ifadelerin ortalaması olarak belirlenmiştir. Kontrol sınırları ise orta çizginin süreç seviyesinin bulanıklık miktarı ile çarpılması sonucunda elde edilmiştir. Wang ve Raz ın (1990) da yaptıkları ikinci çalışmada sözel kalite karakteristiği verilerine dayanan yaklaşımların sonucunda sözel 8

20 terimlerin sayısının, kontrol grafiklerinin duyarlılığını etkilediği ve geliştirilen yaklaşımların Shewhart kontrol grafiklerinden daha iyi sonuçlar verdiği ifade edilmiştir. Bu konuda yapılmış daha sonraki ilk çalışma Kanagawa vd. (1993) ne aittir. Wang ve Raz ın çalışmaları temel alınmıştır. Sözel değişkenler için kontrol grafikleri geliştirmişlerdir. Bu terimler bulanık sayı olarak ele alınmıştır. Sözel ifadelere karşılık gelen gerçek değerlerin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının belirlenmesi yerine, sözel ifadeleri bulanık veri olarak dikkate almış ve Zadeh in olasılık fonksiyonunu kullanarak her bir sözel ifadenin ortaya çıkma olasılığı bulunmuştur. Grafiğin sınırları, süreç kontrol altında iken noktaların sınırların dışına çıkma olasılıklarına göre belirlenmiştir. Sürecin durumunu açıklamak için sözel terimler kullanılmıştır. Raz ve Wang (1990) ın ve Kanagawa vd. (1993) nin çalışmalarının varsayımlarının gerçekçi olmadığı kullanılan üyelik fonksiyonlarının problemli olduğu Kanagawa vd. (1993) tarafından ve daha sonraki çalışmalarda vurgulanmıştır. Bu nedenle süreci daha iyi yansıtabilmek için yapılan ilk çalışma Taleb ve Limam (2002) a aittir. Bu makalede sözel veri için bulanık ve olasılık teorilerine dayanan farklı kontrol grafikleri üretme prosedürleri karşılaştırılmıştır. Farklı bulanıklık derecelerinde üç küme üyelik fonksiyonları bulanık yaklaşımlar için önerilmiştir. Literatürdeki Raz ve Wang tarafından geliştirilen iki yöntem ve Marcucci yöntemi bir örnek üzerinde tarşılmıştır. Bulanık yaklaşımlarda gerçek veri kullanılmış ve örnekler kontrol altındaki süreçler ve ortalama koşum uzunluğu ile kıyaslanmıştır. Bu çalışma ile iki sonuca varılmıştır: Sözel sayıların üyelik fonksiyonlarının bulanıklığı kontrol grafiklerini kurmada önemli bir değişkendir ve multinominal süreçlerde bulanık kontrol grafikleri olasılık grafiklerinden daha iyi ve daha hassas sonuçlar vermektedir. Gülbay vd. (2004) yılına ait çalışmalarında bulanık kontrol grafiklerine farklı bir bakış açısı ile yaklaşmışlardır. Bu çalışma Shewhart ın kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri temel alınarak geliştirilmiştir. Süreçteki hatalı ya da uygun olmayan ürün sayısı ile ilgilenilmiş ve verinin sözel olduğu varsayılmıştır. Geliştirilen - kesme kontrol grafiği gözlemin sıkılığını kontrol etmektedir. nın aldığı değer arttıkça 9

21 sonucun sıkılığı da artacağı gösterilmiştir. Yapılan uygulamalarla geliştirilen kontrol grafiği önceki bulanık kontrol grafikleri ile karşılaştırılmıştır. Cheng (2005), kontrol grafiklerinde kullanılan verinin önemine değinmiş ve güvenilir olması gerektiğini savunmuştur. Bunun için hem ölçümlere hem de uzmanların görüşlerine dayanan bir kontrol grafiğinin gerçeğe daha yakın sonuçlar vereceğini göstermiştir. Önerilen metodolojinin iki aşaması vardır: Bunlar çevrimdışı ve çevrimiçi aşamalarıdır. Çevrimdışı aşamasında ilk olarak bir grup uzman ürünlere puan vermiş ve bu puanlar toplanarak bulanık sayılar yazılmıştır. İkinci, çevrimiçi, aşamada ürünlerin kalite karakteristikleri ölçülmüştür. Oluşturulan bu bulanık sayılar ve ölçümler arasında sinir ağlarıyla uygulanan bulanık regresyon analizi yapılmıştır. Ölçülen değerlere karşılık gelen bulanık kalite oranları bulanık grafikler üzerinde gösterilmiş ve bu sayede verilerin belirsizliği kontrol grafiklerinde de korunmuştur. Olabilirlik teorisi ile kontrol dışı durumların şartları belirlenmiştir. Sadece süreç kontrol içindedir veya süreç kontrol dışındadır olarak değil bulanıklığın ölçüsü de sonuç olarak verilmiştir. Bulanık sayıları gerçek sayılara çevirmek için bazı dönüşüm yöntemleri kullanılır. Bu yöntemlerin veri kaybına sebep olması bulanık sayıları veri olarak kullanan farklı yaklaşımların üretilmesine sebep olmuştur. Bu amaçla yapılan ilk çalışmada, Gülbay ve Kahraman (2007) kullanılan verinin kontrol grafiği üzerindeki etkisine değinmiştir. Gülbay ve Kahraman (2007), bulanık dönüşüm tekniklerine doğrudan bulanık yaklaşım (DBY) olarak adlandırılan farklı bir yaklaşım geliştirmiştir. Yaklaşım bulanık c kalite kontrol grafikleri çizmek için üretilmiştir. Verilerin doğrusal üyelik fonksiyonu olan yamuksal bulanık sayılardan oluştuğu varsayılmıştır. Shewhart ın kontrol sınırlarının hesaplanması yöntemi bulanık sayılara uygulanmış, üst ve alt kontrol sınırları yamuksal bulanık sayılar ile tanımlanmıştır. Aynı şekil üzerinde bulanık sınırlar, örneklem ve - kesmeleri çizilmiş ve sonuca örneklemin alt sınır ve üst sınır arasında kalan alanına dayanılarak varılmıştır. Önceden belirlenen kabul edilebilirlik yüzdesi ile sürecin hangi kategoride olacağı belirtilmiştir. 10

22 Gülbay ve Kahraman (2007) ın geliştirdikleri dönüşüm tekniklerine doğrudan bulanık yaklaşım, doğal olmayan örüntülerin incelendiği yeni bir çalışma ile tekrar ele alınmıştır. Alt ve üst kontrol sınırlarının dışında bir nokta olmaması sürecin kontrol dışında olmadığını göstermez. Bunu incelemek için literatürde bazı kontrol dışı durumların kuralları tanımlanmıştır. Gülbay ve Kahraman (2006) makalelerinde önemli kurallar bulanıklaştırılarak bulanık grafiklerin kontrol dışı durumları tanımlanmıştır. Literatürde bulanık kontrol grafikleri çalışılırken genellikle kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri tercih edilmiştir. Bunun çeşitli sebepleri vardır. En önemlisi sözel ya da özelliklerin bulanık sayılarla daha kolay ifade edilebilmesidir. Sürekli rasgele değişkenler için geliştirilmiş kontrol grafiklerinden ilki Faraz ve Moghadam nın (2007) çalışmasıdır. Bu çalışmada x kontrol grafiğine bir alternatif geliştirilmiştir. Kalite karakteristiği sözel olarak tanımlandığı için sapma ve genel kalite seviyesi de bir bulanık terimler kümesi ile açıklanmıştır. Sürekli verinin süreç ortalaması grafiği yerine çizilen bu grafiğin en önemli özelliği üst sınırın yanında bir uyarı çizgisi olmasıdır. Bu uyarı çizgisine göre geliştirilen kurallar ile süreç hakkında daha detaylı bilgi verilmiştir. Ayrıca kuralların sonucunda yanlış karar verme olasılıklarını veren yanlış alarm oranı da hesaplanmıştır. Verinin alt gruplarının yayılımının kontrol grafiğinde Pearson uyum iyiliği istatistiği kullanılmıştır. Yeni yaklaşımın x grafiğine göre daha iyi bir görsel grafik olduğu ve ortalamadaki kaymaları daha belirgin olarak gösterdiği belirtilmiştir. Bulanık x, R ve s grafiklerinin geliştirildiği diğer bir çalışmada Şentürk ve Erginel (2008) tarafından yapılmıştır. x, R ve s kontrol grafikleri - seviye bulanık açıklık ortası dönüşüm tekniği kullanılarak bulanık kalite kontrol grafiklerine dönüştürülmüştür. Bulanık x, R ve s grafiklerinin bulanık alt sınırı, üst sınırı ve merkez çizgisi bulanık dört işlem ile Shewhart ın kalite kontrol grafikleri oluşturma yöntemi ile hesaplanmıştır. - seviye bulanık açıklık ortası dönüşüm tekniği ile bulanık sayılar ve sınırlar gerçek sayıya dönüştürülmüş ve bulanık grafikler oluşturulmuştur. Ayrıca bulanık x ve s kontrol grafiklerinin hesaplanması bir uygulama ile gösterilmiştir. 11

23 Erginel (2008) önceki çalışmasının bir benzerini tek ve hareketli ortalama grafiklerinin bulanık halini üretmek amacıyla yapmıştır (Erginel 2008). Bulanık sayılar ile bulanık kontrol sınırları hesaplanmıştır. Bu bulanık sayılar - kesme bulanık ortanca dönüşüm yöntemi ile gerçek sayılara çevrilmiş ve süreç tanımlanmıştır. Amirzadeh vd. (2009) çalışmalarında ortalama uygunsuzluk derecesine dayanan bir bulanık p grafiği geliştirmişlerdir. Bu grafik daha önce literatürde görülen grafiklerden tamamen farklı bir yaklaşım ile oluşturulmuştur. Bu fark p grafiğine alternatif olarak geliştirilen grafiğin x ve s grafiklerine benzemesidir. Veri uygun ya da uygun değil olarak sınıflandırılmamış, yamuksal üyelik fonksiyonlarıyla uygunsuzluğun ya da uygunluğun dereceleri belirlenmiştir. Normal dağıldığı varsayılan verinin üyelik fonksiyonun beklenen değer ve varyansına dayanan bulanık kontrol grafiğinin alt sınır, üst sınır ve merkez çizgisi bulunmuştur. Geliştirilen bulanık grafik ve p kontrol grafiği çalışma karakteristiği eğrisi (operating characteristing curve) ve ortalama koşum uzunluğu (average run length) açılarında karşılaştırılmıştır. İncelenen örnekte bulanık grafik x ve s grafiklerine benzer şekiller vererek kontrol dışı durumları vermesine rağmen p grafiği sürecin kontrol altında olduğunu vermiştir. Geliştirilen grafiğin ortalamanın ve varyansın değişimlerine daha iyi yanıt verdiği ifade edilmiştir. Hryniewicz (2007) yaptığı çalışmada, bulanık küme teorisi ile çözülen istatistiksel kalite kontrol tekniklerinin kısa bir özetini vermiştir. İstatistiksel süreç kontrolde bulanık küme uygulamalarına değinmiş ve son yapılan çalışmaları anlatmıştır. 12

24 2. KALİTE VE KALİTE KONTROL GRAFİKLERİ Müşteri memnuniyeti anlamına gelen kalite anlayışı oldukça eski zamanlardan beri hayatımızda olsa da, günümüz anlayışında tanımlanan kalite oldukça yenidir. Son yüzyıllardaki teknolojik ve ekonomik gelişmeler kalite kavramının farklı durumlarda ve kişilerce farklı tanımlanmasına sebep olmuştur. Bunun nedeni kalitenin farklı boyutlarının olmasıdır. Dünyaca ünlü uzmanlar ve bilim insanlarına göre kalitenin birçok farklı tanımı yapılmışıtır. Kalite kontrol belirlenmiş kalite hedefini yakalamak amacıyla uygulanan teknikler ve yapılan tüm faaliyetlerdir. Bu faaliyetler üretim alanında, verilerin tutulması, analizi, varsa hatanın belirlenmesi, nedenlerinin araştırılması ve düzeltici işlemlerin yapılmasını içerir. Müşteri tatmini sağlayacak ürünlerin en ekonomik biçimde üretilmesi amacıyla yapılan bu çalışmalarda, istatistik önemli bir yere sahiptir (Juran ve Godfrey 1999). Bir girdiyle başlayan ve bu girdiye katılanlar ile çıktıya dönüştürülen her türlü aktivite veya operasyon süreç olarak tanımlandırılır. Bir süreç için çıktı, bir sonraki süreç için girdi olarak sisteme katılır. Başka bir değişle, arka arkaya gelen süreçlerde, her bir süreç bir önceki için müşteri konumundadır. Bir üretim süreci ise, kuruluş içinde gerçekleşen, planlı, istenilen ürünün üretimini yapmak amacıyla bir araya getirilmiş, birbiriyle bağlantılı etkinlikler dizisidir. İşlemler için gerekli olan girdilerle, bir talep, ihtiyaç ya da görev gereği başlar ve müşteri istek ve beklentilerini karşılayacak çıktılar üretilerek tamamlanır. Örneğin bir makarna fabrikasında, makarna üretimi müşteriden gelen talep doğrultusunda başlar. Girdiler makarna hamurunda kullanılan un, su, tuz gibi hammaddeler ve yapımda kullanılacak tüm makineler (hamur kazanı, şekillendirme makinesi, fırın...v.b.) dır. Üretimin başlamasından müşteri kullanımına hazır olunan son noktaya kadar olan bütün aktiviteler üretim sürecinin içerisinde tamamlanır. Üretim süreçlerinin alt süreçlerini de tanımlamak mümkündür. Örneğin makarna hamurunun hazırlanması, şekillendirilip kesilmesi, fırınlanması, paketlenmesi ayrı süreçlerdir. 13

25 Ürünler ya da hizmetler arasındaki değişkenlik istatistik ile tanımlandığından, kalite kontrolde istatistiksel yöntemlerin önemi büyüktür. İstatistiksel süreç kontrol, verinin toplandığı, organize edildiği, analizinin ve yorumunun yapıldığı, bu sayede sürecin var olan kalite seviyesinin korunduğu veya geliştirildiği yöntemlerdir. İstatistiksel süreç kontrolde amaç belirlenebilir nedenlerden kaynaklanan değişkenliğin azaltılmasıdır. İstatistiksel yöntemler kullanılarak bu sebeplerin belirlenmesi ve değişkenliği azaltıcı önlemlerin alınması amaçlanmıştır. Bu sayede üretim maliyeti azalır, ürünler / hizmetler arasındaki tutarlılık, çalışanların kaliteye katkısı ve ürün kalitesinin öngörülebilirliği artar (Allen 2006). Süreçleri geliştirmeye sevk eden istatistiksel süreç kontrol araçları ve teknikleri, istatistiksel süreç kontrolün önemli bir parçasıdır. İstatistiksel süreç kontrol ile daha az kusurlu ürün üretilir, sürecin çıktısı tek olur, yeniden işleme, hurda, ortalama maliyet, üretimin durdurulması, harcanan işçi zamanı azalır, daha az hata yapılır, kar ve çıktı, ürünlerin kalite seviyesi ve rekabet düzeyi artar (Eugene ve Richard 1972). 2.1 Kalite Kontrol Grafikleri Müşteri isteklerini karşılayan bir ürün / hizmet üretildiğinde ürünün / hizmetin bu sürecinin durağan ve tekrarlanabilir olması beklenir. Sürecin, yeterince küçük değişkenliklerle üretim yapılabilecek ürün kalitesine sahip olması istenir. Ürün kalitesinde ve üretkenlikte sürekli gelişme için istatistiksel süreç kontrol uzun dönem politikası olarak görülmelidir. İstatistiksel süreç kontrol ile işletmelerde kalite ve üretkenlikte sürekli gelişmenin arandığı bir ortam yaratılmış olunur. Bir işletmede istatistiksel süreç kontrolün etkili olabilmesi için, tüm seviyelerdeki çalışanların eğitilmesi, yöneticilerin liderliğinde, bir tim ile yapılması, değişkenlikteki azalmanın öneminin tüm çalışanlarca anlaşılması, kalite geliştirmelerinin ekonomik anlamının hesaplanması, olumlu sonuçların konuşulabiliyor olması gerekir. İstatistiksel süreç kontrolün temel yedi aracının rutin olarak kullanılması tüm organizasyonun kalite iyileştirme çalışmalarına katılmasını gerektirir. Bu araçlar ve teknikler kısıtlı kullanıldığında, gelişmeler ve kontrol üzerinde elde edilen sonuçlar da kısıtlı olacaktır. 14

26 İstatistiksel süreç kontrol problemin nerede olduğunu ve nedenleri için bazı ipuçları gösterir. Duyarlı önlemler ve tedbirler tespit edilerek süreç geliştirilir. İstatistiksel süreç kontrol mühendislik, üretim, işletme, denetim, hizmet, muhasebe gibi birçok farklı alana uygulanabilir. Bu nedenle, istatistiksel süreç kontrol, işletmelerde toplam kontrol programlarının önemli bir parçasıdır (Duncan 1986, Devor vd. 1992). Kalite kontrol grafikleri kalite kontrolünde kullanılan en önemli istatistiksel süreç kontrolü araçlarından biridir. Zaman içinde çeşitli uygulamaları geliştirilmiş ve yapılmıştır. Günümüzde endüstride en yaygın şekilde kullanılan istatistiksel kalite araçlarıdır. Kalite kontrol grafikleri bir sürecin önceden belirlenen kalite standartlarına uygun olup olmadığını denetlemek için kullanılan istatistiksel araçlardır. Sürecin zamana göre değişimini özetlemek için geliştirilmişlerdir. Sürecin ne zaman istenilen standartlarda ne zaman düzeltici hareketlerin gerekeceği kalitede ürün üretildiğini gösterirler. Bir ürünün performans ölçütlerinin veya spesifikasyon sınırlarının müşteri tatminini sağlamak zorunda olan özellikleri kalite karakteristiği olarak adlandırılır. Kalite karakteristikleri ölçülebilir özellikler olmak zorunda değildir. Örneğin makarna üretiminde, üretilen makarnaların bir paketinin ağırlığı kalite karakteristiğidir. Ayrıca, makarna paketinin sağlam olması, paketin boyutları, makarnanın tadı, rengi, kokusu, görüntüsü, şekilleri diğer önemli kalite karakteristikleridir. Kalite kontrol grafikleri üzerindeki değerler sürecin zaman içinde aldığı değerleri veya istatistikleridir. Bu değerler kalite karakteristiğinin düzenli olarak küçük örnekler halinde ölçülmesi veya belirlenmesi ile elde edilir. Kalite kontrol grafikleri temel olarak örneklem kullanılarak oluşturulmuş alt sınır (AKL - alt kontrol limiti), üst sınır (ÜKL - üst kontrol limiti) ve merkez çizgiden (MÇ - çizgi) oluşurlar. Belirli bir zaman aralığında toplanmış verilerin ortalaması merkez çizgi ile gösterilir. AKL ve ÜKL alınan örneğe dayanarak hesaplanır ve süreç kontrol altında 15

27 olduğu zaman grafikteki hemen hemen tüm rasgele değişkenlerin aralarında olacağı değerlerdir. Bu üç istatistik kalite karakteristiğinin zaman içerisindeki değişiminin anlaşılmasını sağlar. Kontrol grafiklerinde, yatay eksende sırasıyla alt grup ya da veri numaraları, dikey eksende ise ölçülen kalite karakteristiğinin gözlemlenen değerleri yer alır. Söz konusu grafiklerde sürecin zaman içerisindeki değişimleri gösterilir (Montgomery 1996). Şekil 2.1 de 30 birimlik bir veri setine ait örnek bir kontrol grafiği verilmiştir. Şekil Birimlik bir veri setine ait örnek kalite kontrol grafiği Bir kalite kontrol grafiği süreci süreç kontrol altındadır ya da süreç kontrol dışındadır olarak tanımlar. Sürecin kontrol altında olması üretim sürecinin durağan ve istenilen standartlarda üretim yapıldığı anlamına gelir. Sürecin kontrol altında olmaması ise sürecin müşteri beklentilerini karşılayabilmesi için geliştirilmeye ihtiyaç duyulduğunun göstergesidir. Sürecin kontrol dışında olması sonucu, özel bir nedenden ya da süreçteki bir müdahaleden kaynaklanabilir (Montgomery 1996). Süreç kontrol altında ise tüm örneklem değerleri kontrol sınırlarının arasında olur. Herhangi bir düzeltmeye gerek duyulmaz. Bir örneklem değerinin kontrol sınırları dışında olması sürecin kontrol altında olmadığının kanıtı olarak görülür. Ayrıca, kalite 16

28 kontrol grafiğinde gösterilen noktalar rasgele olmayan ya da sistemik bir örüntü gösteriyorsa süreç kontrol altında değildir. Süreci tekrar kontrol altına alabilmek için düzeltici araştırmalar yapılmalıdır. Bu duruma neden olan belirlenebilir sebepler bulunur, elenir ve süreç tekrar kontrol altına alınmış olur. Kontrol grafikleri süreçteki değişimleri göstermelerine rağmen bu değişkenliğin nedenini belirtmezler (Kolarik 1995, Montgomery 1996). Kalite kontrol grafikleri istatistik ve olasılık temellerine dayanır. Eğer ölçülen kalite karakteristiği değişkenini gösterirse bu kalite karakteristiği için çizilen merkez çizgi (MÇ), üst ve alt kontrol sınırları (ÜKL, AKL) MÇ =µ (2.1) ÜKL =µ + Lσ (2.2) AKL =µ + Lσ (2.3) biçiminde verilen eşitlikler ile hesaplanır. Burada, µ ve σ sırasıyla kalite karakteristiğinin ortalaması ve standart sapmasıdır. L kontrol sınırlarının merkez çizgiden olan uzaklıklarını gösterir. Bu değer sıklıkla 3 olarak seçilir. Bu nedenle üst ve alt kontrol sınırları 3 σ (3 sigma) kontrol sınırları olarak adlandırılır (Kolarik 1995, Montgomery 1996). Kontrol grafiklerinin teorisi ve ilk uygulamaları 1924 yılında Walter A. Shewhart tarafından geliştirilmiştir. 3 σ (3 sigma) kontrol sınırlarına dayanılarak çizilen kontrol grafikleri Shewhart kontrol grafikleri olarak adlandırılır. Kalite kontrol grafikleri ile karar verme sürecinde hipotez testlerinden yararlanılır. Bir kontrol grafiğinde H o hipotezi sürecin kontrol altında olması biçiminde tanımlanır. Sürecin test edilmesi ya da kontrol grafiğinin çizilmesi süreçten rasgele örneklemlerin 17

29 seçilmesi ile olur. Örneklemlerden hesaplanan ortalama, standart sapma veya genişlik gibi istatistikler ile üretim süreciyle tanımlanan kitlenin parametreleri tahmin edilir ve süreç hakkında karar verilir. Daha açık bir ifade ile kalite kontrol grafikleri örneklemlerden elde edilen istatistikler ile çizilir ve süreçlerin kontrol altında olup olmadıkları bu istatistikler ile test edilir. Kalite kontrol grafiklerinde süreç tanımlanırken hipotez testlerinden yararlanılması, kontrol grafiklerinde hatalı karar verme durumlarının olabileceğini gösterir. Yanlış alarm verilmesi süreç kontrol altında iken sürecin kontrol dışında olarak sonuçlandırılmasıdır. Diğer bir yandan süreç kontrol dışında iken kontrol altında olarak da belirlenebilir. Bu durumlar istatistikte sırasıyla tip - I hata ve tip - II hata anlamına gelir. Kontrol grafiklerinde sınırlar hesaplanırken L değerinin küçük dolayısıyla kontrol sınırlarının birbirine yakın olması tip - I hata olasılığını arttırır. L değerinin büyük olması ise tip - II hata olasılığını arttıracaktır (Montgomery 1996, Woodall 2000). Kontrol grafiklerinin kullanılmasında kontrol grafiğinin tasarımı önemli bir faktördür. Kalite kontrol grafiğinin tasarımı, örneklem büyüklüğünün, kontrol sınırlarının ve ne sıklıkla örnek seçileceğinin belirlenmesi demektir. Örneğin örneklem sayısının artması, hata olasılıklarının düşmesi, grafiğin kontrol dışı durumları daha kolay yakalaması, fakat maliyetin artması demektir. Literatürde verinin özelliklerine göre farklı kontrol grafikleri üretilmiştir. Niceliksel veriler / sürekli rasgele değişkenler için kontrol grafikleri ve kesikli rasgele değişkenler için kontrol grafikleri olmak üzere iki ana gruba ayrılır. Sürekli rasgele değişkenler için kontrol grafiklerinde veriler sürekli rasgele değişkenlerdir ve bağımsız ve aynı dağılıma sahip rasgele değişkenler olduğu varsayılır. Örneğin ağırlık, en, boy, hacim değerleri ölçülebilir değerlerdir. Bu değişkenler kalite karakteristiği olarak incelendiğinde çizilen kalite kontrol grafikleri niceliksel veriler / sürekli rasgele değişkenler için kontrol grafikleri olarak tanımlanır. Nicel veriler için kullanılan kontrol grafikleri x ve R, x ve s, MR (Moving range), CUSUM (Cumulative sum) ve EWMA (Exponenetially weighted moving average) dır. En çok kullanılan kalite kontrol grafikleri x, R ve s grafikleridir (Kolarik 1995, Montgomery 1996). Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde ise kalite karakteristikleri ölçülemeyen değerlerdir. Veriler kesikli 18

30 ya da niteliksel verilerdir ve kesikli rasgele değişkenlerdir. Ayrıca, grafikteki kalite karakteristiğinin sayısına göre tek değişkenli ve çok değişkenli kontrol grafikleri olarak da sınıflandırılırlar (Montgomery 1996). Çok sayıda kalite karakteristikleri ölçülemez ya da sayılarla ifade edilemez. Ürünler uygun olup olmamalarına göre sınıflandırılır. Böyle durumlarda ürünler, belirli şartlara uygun veya uygun değil olarak nitelendirildiği gibi kusurlu ya da kusursuz olarak da ifade edilebilir. Ürünün kalite karakteristiğinin istenilen ölçüleri karşılamaması uygunsuzluktur. Bir ürünün uygunsuz olarak tanımlanması o ürünü kullanmaya engel olmayabilir. Örneğin konsantre meyve suyu üretiminde, üretilen bir şişedeki içeceğin konsantrasyonunun düşük olması bu ürünün tüketilmesine engel değildir. Başka bir kalite karakteristiği ise ürün içindeki içecek miktarının istenilen miktarlar arasında olup olmadığı olabilir. Bir konsantre meyve suyu şişesinin içinde istenilenden az miktarda içecek olması bu ürünü kullanılamaz yapmaz. Fakat, bir ürünün ambalajının doğru yapılmaması, delik, ezik, kırık... v.b. olması bu ürünü kullanmaya manidir. Kalite karakteristikleri bu şekilde tanımlanan kontrol grafikleri kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri olarak adlandırılır. Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri p, np, c ve u kontrol grafikleridir (Grant ve Leavenworth 1996). Shewhart kontrol grafikleri ( x ve R, x ve s, MR, p, np, c ve u), kalite karakteristiği değerlerinin Normal dağılımdan geldiği ve bağımsız oldukları varsayımlarına dayanır. Ne yazık ki birçok uygulamada genellikle grafiklerin oluşturulmasında bu varsayımlar göz önüne alınmamaktadır (Montgomery 1996). Kontrol grafikleri dünyada çok yaygın kullanılmaktadır. Bunun başlıca sebepleri kalite kontrol grafiklerinin, kusurlu üretimini azaltıcı etkisi olması, gereksiz süreç düzeltmelerini önlemesi, görsel bilgi içermesi, sürecin yeterliliği hakkında bilgi vermesi, uygulamalarının ve anlaşılmalarının kolay olması, işletmedeki tüm çalışanlar tarafından uygulanabilir olmalarıdır (Montgomery 1996). 19

31 İstatistiksel süreç kontrolün en önemli aracı olan kalite kontrol grafiklerinin düzenli ve etkili bir şekilde kullanılması sürecin detaylı incelenmesine, kontrol dışı durumların nedenlerinin belirlenmesine ve dolayısıyla sürecin geliştirilmesine sebep olur (Kolarik 1995, Montgomery 1996, Smith 2000, Besterfield 2001) Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri Bir kalite kontrol grafiğinde kalite karakteristiği ölçülebiliyorsa ve sayılarla ifade edilebiliyorsa, sürekli rasgele değişkenler için kontrol grafiği olarak adlandırılır. Uzunluk, genişlik, çap, sertlik, ağırlık gibi değişkenler için çizilen kalite kontrol grafikleri bu gruba girer. Uygulamalarda çok çeşitli kalite karakteristikleri ölçülebilirdir bu nedenle sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri oldukça yaygın olarak kullanılır (Nelson 1985). Bu kesimde, sürekli rasgele değişkenler için olan x ve R, x ve s, MR, CUSUM ve EWMA kalite kontrol grafiklerinin çizimi verilecektir x ve R kalite kontrol grafikleri Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde değişkenlerin hem ortalamalarının hem de yayılımlarının grafiklerinin çizilmesine ihtiyaç duyulur. Kalite karakteristiği bir merkezi eğilim ölçüsü ve bir yayılım ölçüsü ile incelenir. Merkezi eğilim istatistiği olarak genellikle örneklem ortalaması, yayılım istatistiği olarak genişlik, R ( ) = x max x min, ya da standart sapma kullanılır. Yayılım ölçüsü olarak genişlik kullanıldığında kontrol grafikleri x ve R, standart sapma kullanıldığında kontrol grafiği x ve s grafikleri olarak adlandırılır. x, R ve s kontrol grafikleri en önemli ve etkili istatistiksel süreç kontrol araçlarıdır. Bir kalite karakteristiği ortalaması µ ve standart sapması σ olan bir dağılıma sahipse, n büyüklüğündeki bir örneklemin ortalamasının dağılımı da µ ve σ n parametreleri ile normaldir. Pratikte µ ve σ değerleri genellikle bilinmediğinden bu parametreler x ve s ya da R istatistikleri ile tahmin edilir (Akdeniz 2000). 20

32 x, R ve s kalite kontrol grafiklerinde sürecin ortalaması m sayıdaki farklı, n ölçüm içeren alt grup gözlemlerinin ortalaması, x, ile tahmin edilir. Bu ortalama x 1 + x x m x = (2.4) m biçiminde hesaplanır. x i değeri i. (i=1, 2, 3,... m) alt grup örnekleminin ortalamasını gösterir. x, R ve s grafiklerinde ortalama için çizilmiş kontrol grafiğinde merkez çizgi değeri, x, grafiğin üzerindeki değerler ise alt grupların ortalamalarını, x i, verir. x, R ve s grafiklerinin en önemli farkı yayılım grafiklerinden kaynaklanır. Alt grupların büyüklüklerine göre hangi değişkenlik istatistiğinin daha etkili olacağı temel alınarak grafik seçilir. Alt grupların büyüklüğü, n, 10 dan (ya da 12 den) büyükse veya alt grupların büyüklükleri değişken ise x ve R kontrol grafikleri yerine x ve s grafiklerinin kullanılması tercih edilir (Kolarik 1995, Montgomery 1996). Herhangi bir alt grubun ortalamasında bir kayma ortaya çıkarsa x grafiği bu kaymayı yansıtacaktır. Benzer şekilde alt grupların değişkenliklerindeki farklar da R ya da s grafiğinde görülecektir. x, R ve s grafiklerinde tüm değerlerin iki kontrol grafiğinde de kontrol sınırları içerisinde olması ve rasgele bir örüntü göstermesi sürecin kontrol altında olması demektir. Aksi durumda süreç kontrol dışındadır. x ve R grafiklerinde, x grafiği sürecin ortalama değere ya da merkez çizgiye göre nasıl dağıldığını gösterir. Fakat sadece ortalamayı bilmek yeterli değildir. Alınan alt grupların yayılımının da ölçülmesi gerekir. R grafiği alt grupların yayılımını merkez çizgiye göre gösteren grafiktir. Her alt grup için genişlik, R, hesaplanır. Bu değerlerin ortalaması, R, yayılım ölçüsü olarak kullanılır ve 21

33 R = R1 + R Rm m (2.5) şeklinde hesaplanır. x ve R kontrol grafiklerinde x grafiği merkez çizgisi ve kontrol sınırları MÇ = x (2.6) ÜKL = + A R (2.7) x 2 AKL = A R (2.8) x 2 biçiminde bulunur. Burada A 2 alt grup sayısına bağlı 3 A2 = (2.9) d n 2 formülü ile bulunan bir değerdir. d 2 ise n alt grup büyüklüğüne bağlı katsayıdır. Her alt grubun yayılım ölçüsü genişlik grafiği ile kontrol edilir ve formülleri MÇ = R (2.10) ÜKL = D 4 R (2.11) AKL = D 3 R (2.12) biçimindedir. Burada D 3 ve D 4, 22

34 D d 3 3= 1 3 (2.13) d 2 D + d 3 4= 1 3 (2.14) d 2 formülleri ile hesaplanır. d 2 gibi d3 de n örneklem büyüklüğüne bağlı bir katsayıdır (Smith 2000, Besterfield 2001, Burr 2005) x ve s kalite kontrol grafikleri x ve s grafiklerinde üretim süreçlerinin kalite karakteristiğinin merkezi eğilim ölçüsünü kontrol etmek için, x ve R grafiğinde olduğu gibi, aritmetik ortalama grafiği kullanılır. s grafiği ise süreç değişkenliğinin izlenmesinde kullanılır. x ve R grafiklerine benzer şekilde her alt grubun kalite karakteristiği ölçümlerinin standart sapması hesaplanır ve bu standart sapmaların s1 + s sm s = (2.15) m biçiminde hesaplanan ortalaması x ve s grafiklerinde kullanılır. Sürekli rasgele değişkenler için kullanılan x ve s kontrol grafiklerinde x grafiğinin merkez çizgisi ve kontrol sınırları MÇ = x (2.16) ÜKL = + A s (2.17) x 3 23

35 AKL = A s (2.18) x 3 formülleri ile bulunur. Burada A 3, x ve R grafiklerinde olduğu gibi alt grup büyüklüğüne bağlı bir değerdir ve 3 A3 = (2.19) c n 4 biçiminde hesaplanır. Burada c 4 örneklem büyüklüğüne dayanan bir sabittir. x ve s grafiklerinin s grafiğinin merkez çizgisi ve kontrol sınırları MÇ = s (2.20) ÜKL = B 4 s (2.21) AKL = B 3 s (2.22) formülleri ile hesaplanır. Burada B 4 ve B 3, 3 2 B 4= 1+ 1 c4 (2.23) c B 3= 1 1 c4 (2.24) c 4 biçiminde hesaplanır (Smith 2000, Besterfield 2001,). 24

36 MR kalite kontrol grafikleri Hareketli genişlik, MR (moving range), grafiği alt gruptaki örneklem büyüklüğü, n = 1 olduğunda kullanılır. Üretim süreci yavaş olduğunda, süreç birden çok örnek almaya müsait olmadığında ya da bir ürünün birden çok kalite karakteristiği incelendiğinde alt grup örneklem büyüklüğü bir olarak alınır. Bu durumda x, R ve s kontrol grafikleri yerine sürekli rasgele değişkenler için çizilen MR grafiği kullanılır. Arka arkaya gelen iki gözlemin genişliği alınarak yeni bir veri kümesi oluşturulur ve bu yeni kümenin grafiği çizilerek süreç tanımlanır. Hareketli genişlik değerleri MR i = i i 1 (2.25) biçiminde hesaplanır (Smith 2000, Besterfield 2001). MR grafiklerinde diğer Shewhart kontrol grafiklerinde, x, R ve s, olduğu gibi ortalama ve yayılım grafikleri ayrı ayrı çizilir ve kontrol sınırları merkez çizgiden 3 σ (3 sigma) uzaklıkta olacak şekilde düzenlenerek hesaplanır. Hareketli genişlik kullanıldığında tek gözlemlerin merkez çizgisi ve kontrol sınırları MÇ = x (2.26) MR ÜKL = x + 3 (2.27) d 2 MR AKL = x 3 (2.28) d 2 25

37 formülleri ile bulunur. Burada MR değeri hesaplanan tüm gözlemlerin hareketli genişliklerinin ortalamasıdır. Başka bir değişle, m sayıdaki gözlemlerin m-1 sayıda hareketli genişlik değeri vardır. Bu değerlerin ortalaması MR ile gösterilir. Hareketli genişlik grafiğinde merkez çizgi ve kontrol sınırları MÇ = MR (2.29) ÜKL = D 4 MR (2.30) AKL = D 3 MR (2.31) biçiminde bulunur. D 3 ve D 4 değerleri, x ve R grafiklerinde kullanılan değerlerdir (Smith 2000, Besterfield 2001) CUSUM ve EWMA kalite kontrol grafikleri Kümülatif toplam, CUSUM (cumulative sum), kalite kontrol grafiği ilk olarak Page tarafından 1954 yılında önerilmiştir. Bu grafik örneklemdeki belirli zamana kadar elde edilen bütün değerlerin kümülatif toplamının sapmasını hesaplar ve zamana bağlı olarak yansıtır. Bu nedenle CUSUM kontrol grafiği küçük süreç değişimlerine Shewhart grafiklerinden çok daha hassastır. Üstel ağırlıklı hareketli ortalama, EWMA (exponenetially weighted moving average), kalite kontrol grafiği CUSUM grafiği gibi süreçteki küçük kaymalarla ilgilenildiğinden Shewhart grafiklerine alternatif olarak geliştirilmişlerdir. EWMA kontrol grafiğinin performansı CUSUM grafiğinin performansına çok benzerdir. Bu grafiğin önemli avantajı oluşturulmasının ve uygulanmasının CUSUM grafiğine göre kolay olmasıdır. Ayrıca EWMA kontrol grafiği bazı durumlarda bir sonraki gözlemin tahmin edilmesinde de kullanılabilir (Kolarik 1995, Montgomery 1996). 26

38 2.1.2 Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri Uygulamalarda her zaman ürünlerin belli sınırlar arasında üretilip üretilmediğine bakılmaz. Ürünlerin hatalı olup olmadıkları ya da kusur sayıları kalite karakteristiği olarak tanımlanabilir. İyi, kötü, sağlam, bozuk gibi sayılabilir veriler için geliştirilmiş kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri p, np, c ve u grafikleridir p kalite kontrol grafikleri Kusurlu oranı, p kontrol grafiği, kalitenin alt gruptaki kusurlu oranı ile ölçüldüğü kontrol grafiğidir. Temeli Binom dağılımına dayanır. Örneklemdeki her alt grubun kusur oranı p i ile gösterilir. m tane alt grubun her birinde n tane ürün olduğunda kusurların ortalaması p olur ve p kontrol grafiklerinde ortalama kusur oranı p = m i= 1 D mn i = m i= 1 m pˆ i (2.32) olarak hesaplanır. Burada D i i. alt gruptaki kusurların toplamıdır. Alt gruplardaki ürün sayıları sabit olduğunda p grafiğinin merkez çizgi, üst ve alt kontrol sınırları, MÇ = p (2.33) ( 1 p) p ÜKL = p + 3 (2.34) n ( 1 p) p AKL = p 3 (2.35) n biçiminde bulunur. 27

39 Alt gruplardaki ürün sayısı eşit olmadığında başka bir değişle n sayısı sabit değilse her alt grubun örneklem büyüklüğü n i ile gösterilir ve alt grupların ortalama kusurlu oranı ( p ) ve ortalama örneklem büyüklüğü ( n ) p m i= 1 = m i= 1 D n i i (2.36) n m ni = i= m (2.37) biçiminde bulunur. Bu durumda p kontrol grafiklerinde merkez çizgi ve kontrol sınırları Eşitlik 2.33, 2.34 ve 2.35 e benzer biçimde bulunur. Ancak Eşitlik 2.34 ve 2.35 deki n yerine n ortalama örneklem büyüklüğü kullanılır (Smith 2000, Besterfield 2001, Burr 2005) np kalite kontrol grafikleri np kontrol grafiği örneklem büyüklükleri sabit olan alt gruplardaki kusurlu sayılarının grafiğidir. Bu grafiğin temeli p grafiğinde olduğu gibi Binom dağılımına dayanır. Bu grafik teorik olarak p kusurlu oranı grafiğinin aynısıdır. p grafiğinden farkı alt grup büyüklüklerinin sabit olmasıdır. Eğer süreçteki kusurlu oranı yerine kusurlu sayısı ile ilgileniliyorsa bu durumda p grafiğinin değerlerinin n ile çarpılması ile elde edilen değerlerden kurulu np grafiğini kullanır. np kontrol grafiklerinin merkez çizgisi ve kontrol sınırları MÇ = np (2.38) ( p) ÜKL = np + 3 np 1 (2.39) 28

40 ( p) AKL = np 3 np 1 (2.40) biçiminde bulunur (Smith 2000, Besterfield 2001) c kalite kontrol grafikleri Bazı üretim süreçlerinde ürünün uygun olmaması ya da kusuru ürünü kullanmaya mani olmaz. Hatta bir üründe birden fazla uygun olmayan kalite karakteristiği ya da kusur görülebilir. Böyle durumlarda c veya u grafikleri kullanılır. Kusur sayısı, c grafiği, ürün üzerinde rastlanan bir veya birden çok kusurun sayısını kontrol etmek için kullanılır. Poisson dağılımının prensiplerinden faydalanılarak geliştirilmiştir. c değeri bir alt gruptaki ürünlerin kusur sayısıdır. Bu değer ve bir ürünün kusur sayısı bir ya da daha fazla olabilir. Alt gruptaki ürün sayısı sabit olduğunda birikimdeki hata sayısı c grafiği ile gösterilir. c kontrol grafiğinde merkez çizgi, üst ve alt kontrol sınırları MÇ = c (2.41) ÜKL = c + 3 c (2.42) AKL = c 3 c (2.43) formülleri ile hesaplanır (Smith 2000, Besterfield 2001, Burr 2005) u kalite kontrol grafikleri Kusur oranı grafiğinde u birim başına düşen kusur sayısını ifade eder. Temel olarak c grafiğine benzer. Aralarındaki önemli fark u grafiğinde alt grup büyüklüğünün p grafiğinde olduğu gibi sabit olması gerekmemektedir. Başka bir değişle, u kontrol 29

41 grafiğinde alt grup büyüklükleri sabit olmayabilir. Her alt gruptaki ürün sayısı, n, sabit olduğunda kusur sayısı grafiğinin kontrol sınırları u m ui i= = 1 (2.44) m olacak şekilde, MÇ = u (2.45) u ÜKL = u + 3 (2.46) n u AKL = u 3 (2.47) n biçiminde hesaplanır. n sayısı sabit olmadığında alt grup örneklem büyüklüklerinin ortalaması n m ni i= = 1 (2.48) m şeklinde bulunur ve kontrol sınırlarında n değeri n ile değiştirilir (Smith 2000, Besterfield 2001, Burr 2005). 30

42 2.2 Kalite Kontrol Grafiklerinde Kontrol Dışı Durumlar Kalite kontrol grafiklerinde noktaların örüntüsü süreç hakkında görsel bilgi de verir. Bu bilgi noktaların değişkenliğini azaltmak ve süreçte modifikasyonlar yapmak için kullanılır. Kontrol grafiğinde alt ve üst sınırların dışında nokta olması sürecin kontrol dışında olduğunu gösterir. Fakat grafikte alt ve üst sınırların dışında nokta olmaması sürecin kontrol altında olduğunu söylemez. Değerlerin kontrol sınırları içinde olmasına rağmen kontrol grafiğinde düzenli değişen bir örüntü görülebilir. Bu düzenli değişen şekil dairesel örüntü, karışım, süreç seviyesinde kayma, eğilim ve tabakalanma gibi bir şekil olabilir ya da tanımlanmış kontrol dışı kuralları sağlayan bir örüntü olabilir. Kısacası kalite kontrol grafiklerinde herhangi bir rasgele olmayan örüntü olması sürecin kontrol altında olmadığını ifade eder. Süreçteki bir sorunun mümkün olduğunca erken görülmesi önemlidir. Eğer kontrol dışı bir durum görülürse nedenleri araştırılmalı ve süreci kontrol altına almak için gerekli tedbirlerin ve önlemlerin alınarak sürecin tekrar istenilen kaliteye döndürülmesi gerekir. Uygulamalarda en çok karşılaşılan, sürecin kontrol altında olmadığını gösteren grafik örüntüleri dairesel örüntü, karışım, süreç seviyesinde kayma, eğilim ve tabakalanmadır. Dairesel örüntü noktaların düzenli olarak azalması ve artmasıdır. Bu yapıdaki örüntüler çoğunlukla çevresel değişimlerden kaynaklanır. Örneğin, işçilerin düzenli olarak değişimi, sıcaklık, voltajdaki değişimler gibidir. Karışım örüntüsünde noktaların çok büyük bir kısmı üst ve alt kontrol sınırlarının yakınlarında, az sayıda nokta merkez çizginin yakınında olur. Bu durumda süreçteki ölçümlerin değişkenliğinin yüksek olması beklenir. Bu gibi durumlar zaman zaman sürece çok sık müdahale etmekten ya da üretimin paralel makinelerde yapılmasından kaynaklanabilir. 31

43 Sürecin ortalamasında kayma olması noktaların dağılımının ortalamasının merkez çizgi etrafında olmaması demektir. Ortalamadaki bu kaymanın sebebi, süreçteki ham maddenin, makinelerin, işçilerin ya da yöntemlerin değişiminden kaynaklanabilir. Tüm süreci etkileyecek bir değişiklik sürecin ortalamasını da değiştirir. Eğilim, grafikteki noktaların düzenli ve devamlı olarak artması ya da azalması anlamına gelir. Süreçteki aniden olan değişimlerden değil, aletlerin veya makinelerin bozulması, insan hataları, mevsimsellik gibi zaman içinde artan bozulmalardan kaynaklanır. Tabakalanma örüntü, karışım örüntüsünün tam tersidir. Grafikteki noktalar merkez çizgi etrafında dağılmıştır. Değerlerde doğal değişkenliğin azalması sonucu bu örüntü gözlemlenir. Bazı durumlarda değerlerde değil kontrol sınırlarının hesaplanmasında hata olduğu görülür. Kontrol grafiklerindeki değerlerin süreç kontrol altında ise üst ve alt sınırların içerisinde ve rasgele dağılmış olması beklenir. Ölçümler sınırlar arasında olsa da noktaların dizilişleri, süreçte yolunda gitmeyen bir şeyler olduğu konusunda bizi uyarabilir. Rasgele olmayan süreçleri tanımlayan kurallar ilk olarak 1956 yılında Western Elektrik el kitabında yayımlanmıştır. Daha sonra Nelson (1984) bu konuda önemli katkılarda bulunmuşlardır. Kalite kontrol grafikleri daha detaylı incelenebilmek için grafikler bölgelere ayrılmıştır. Şekil 2.2 kontrol grafiklerindeki bu bölgeleri göstermektedir. 3 σ 2 σ 1 σ 1 σ 2 σ 3 σ A bölgesi B bölgesi C bölgesi C bölgesi B bölgesi A bölgesi ÜKL MÇ AKL Şekil 2.2 Kalite kontrol grafiklerinde A, B ve C bölgeleri 32

44 Şekil 2.2 incelendiğinde merkez çizginin 1 standart sapma altındaki ve üzerindeki kısım C bölgesi olarak adlandırılır. B bölgesi, C bölgesi ile 2 standart sapma arasında kalan alandır. Üçüncü bölge olan A bölgesi ise kontrol grafiğinin en dışta kalan, 2 standart sapma ile 3 standart sapma arasındaki kısmıdır. Kalite kontrol grafiklerindeki doğal olmayan örüntüleri tanımlamak için Western Elektrik el kitabında (1956) önerilen ve süreçlerin kontrol dışında olarak tanımlanması anlamına gelen kurallar 1. 3 standart sapma kontrol sınırları dışında nokta olması, 2. Arka arkaya gelen üç noktanın ikisinin 2 standart sapma kontrol sınırlarının dışında ve aynı tarafta olması, 3. Arka arkaya gelen beş noktanın dördünün 1 standart sapma kontrol sınırlarının dışında ve aynı tarafta olması, 4. Arka arkaya gelen sekiz noktanın ikisinin 2 standart sapma kontrol sınırlarının dışında olması, biçiminde belirlenmiştir. Nelson kuralları olarak bilinen bir dizi kural 1984 yılında yayımlanmıştır. Bu kurallar Western Elektrik el kitabında önerilen kurallara benzer şekilde tanımlanmıştır. Nelson kurallarına göre: 1. 3 standart sapma kontrol sınırları dışında nokta olması, 2. Arka arkaya gelen dokuz noktanın merkez çizginin tek bir tarafında olması, 3. Arka arkaya altı noktanın düzenli olarak artıyor ya da azalıyor olması, 4. Arka arkaya gelen ondört noktanın düzenli olarak bir artıyor ve bir azalıyor olması, 5. Arka arkaya gelen üç noktanın ikisinin A bölgesinde ya da dışında aynı tarafta olması, 33

45 6. Arka arkaya gelen beş noktanın dördünün B bölgesinde ya da dışında aynı tarafta olması, 7. Arka arkaya gelen onbeş noktanın C bölgesinde merkez çizginin altında ya da üstünde olması, 8. Arka arkaya gelen sekiz noktanın C bölgesinde olmaması, sürecin kontrol altında olmadığını gösterir. Literatürde kabul görmüş ve uygulamalarda en çok kullanılan kurallara göre: 1. Kontrol sınırları dışında nokta olması, 2. Arka arkaya gelen üç noktanın ikisinin A bölgesinde olması, 3. Arka arkaya gelen beş noktanın dördünün B bölgesinde ya da dışında olması, 4. Arka arkaya gelen sekiz noktanın merkez çizginin bir tarafında olması, 5. Arka arkaya gelen altı noktanın sürekli artması ya da azalması, 6. Arka arkaya gelen onbeş noktanın C bölgesinde olması, 7. Arka arkaya gelen ondört noktanın düzenli olarak artması ve azalması, 8. Arka arkaya gelen sekiz noktanın C bölgesinin dışında olması, 9. Grafikteki herhangi bir rasgele olmayan örüntü, 10. Herhangi bir noktanın uyarı çizgilerine ya da kontrol sınırlarına yakın olması, kontrol dışı durumlar olarak tanımlanmıştır. Bu kuralları sağlayan durumlar sürecin kontrol altında olmadığını gösterir. Fakat bu kurallar kontrol grafiğini hassaslaştırarak yanlış alarm oranını da arttırır. Bu nedenle kuralların uygulamalarda kullanılması karar vericinin tercihine bağlıdır (Western Electric 1956, Nelson 1984, Montgomery 1996). 34

46 2.3 Kalite Kontrol Grafiklerinde Uyarı Sınırları Bazı araştırmacılar kontrol grafiklerinde iki set kontrol sınırlarının kullanılmasını önerirler. Dıştaki kontrol sınırları 3 σ (3 sigma) ya da hareket sınırları olarak adlandırılır. İçteki sınırlar ise uyarı sınırları olarak adlandırılır. Uyarı sınırları 2 σ (2 sigma) kontrol sınırlarıdır. Eğer 3 σ (3 sigma) ve 2 σ (2 sigma) sınırları arasında bir nokta bulunursa bu durum sürecin kontrol dışına çıkabileceğinin bir işareti olarak görülür. Kalite kontrol grafiklerinde üst ve alt uyarı sınırları ÜUL = µ + 2 (2.49) σ AUL = µ + 2 (2.50) σ şeklinde hesaplanır (Smith 2000, Besterfield 2001). Uyarı sınırları dışında bir veya birden fazla nokta görülürse sürecin uygun bir şekilde işlemediği yönünde şüphelenilmesine sebep olur. Bu durumda yapılabilecekler örneklem sıklığını ya da örneklem büyüklüğünü arttırmaktır. Böylece süreç hakkında kısa sürede daha çok bilgi edinilir. Bir kontrol grafiğinde uyarı sınırlarının kullanılması grafiği daha hassas bir hale getirir. Bu sayede ortalamadaki kaymalar daha kolay görülebilir. Eğer süreçte kontrol dışı bir durum varsa, bu durum üreticiye maliyete sebep olur. Bu açıdan bakıldığında kontrol dışı durumların mümkün olan en kısa zamanda görülmesi önemli bir avantaj sağlar. Uyarı sınırları kalite kontrol grafiklerinde sıklıkla kullanılmalarına rağmen dezavantajları yanlış alarm riskini arttırmalarıdır (Montgomery 1996, Smith 2000, Besterfield 2001). 35

47 2.4 Kalite Kontrol Grafiklerinde Performans Ölçüleri Bir kalite kontrol grafiği oluşturulduğunda, grafiğin ne kadar etkili olduğu incelenmelidir. Çalışmanın bu kesiminde kalite kontrol grafiklerinin etkinliğinin nasıl ölçüldüğü ve kalite kontrol grafiklerinin performans ölçüleri anlatılacaktır. Kontrol grafiklerinin performanslarını karşılaştırmanın en çok kullanılan metodu ortalama koşum uzunluğunu (average run lenght, ARL) hesaplamaktır. Koşum uzunluğu sürecin belirli bir kalite seviyesinde kontrol grafiğinde ilk kontrol dışı durum görülene kadar gözlenen nokta sayısıdır. Başka bir değişle, bir kalite kontrol grafiğindeki arka arkaya gelen noktalar koşum olarak adlandırılır ve grafikte ilk kontrol dışı sinyal gözlenene kadar elde edilen örneklerin sayısı koşum uzunluğudur. ARL, ortalama koşum uzunluğu, ise verilen kalite seviyesinde kontrol dışı sinyale kadar elde edilen ortalama örneklem sayısıdır. Koşum uzunluğu bir rasgele değişkendir ve dağılımı Geometrik dağılımdır. Eğer süreç gözlemleri birbirleri ile ilişkisiz ise ortalama koşum uzunluğu 1 1 ARL = = (2.51) p P( Bir nok tan ın kontrol dıışında olması) formülü ile bulunur (Montgomery 1996). Burada p bir noktanın kontrol sınırları dışında olma olasılığıdır. Ortalama koşum uzunluğu iki kalite seviyesi için hesaplanır. Sürecin kontrol altında olduğu durumda ARL 0, sürecin kontrol altında olmadığı durumda ise ARL 1 olarak gösterilir. İki kalite seviyesinde, kabul edilebilir ve reddedilebilir, ideal olan, süreç kontrol altında iken ARL 0 ın yüksek olması, süreçteki ortalamanın kaymasında ise ARL 1 in düşük olmasıdır. 36

48 ARL, süreç kontrol altında ise 1 ARL = 0 (2.52) süreç kontrol altında değil ise 1 ARL 1 = (2.53) 1 β biçiminde tanımlanır (Montgomery 1996). Burada ve β sırasıyla tip - I ve tip - II hata olasılıklarıdır. Bu olasılıklar süreç kontrol altında iken, kontrol dışı sinyalinin gözlenmesi ve süreç kontrol dışında iken sürecin kontrol altında tanımlanması olasılıklarıdır. ARL nin hesaplanması için x grafiği örnek olarak verilebilir. Bir x grafiğinde kontrol sınırları 3 σ (3 sigma) sınırlarıdır. Ortalamadan 3 σ (3 sigma) çıkarılıp ve toplanarak elde edilir. Süreç kontrol altında olduğu zaman Normal dağılım varsayımı altında bir noktanın bu sınırların dışında olma olasılığı 0,0027 dir. Bu durumda ortalama koşum uzunluğu 1 1 ARL = = = 370 (2.54) p 0,0027 olarak bulunur. Bir x kalite kontrol grafiğinde süreç kontrol altında olsa da süreç kontrol dışındadır sinyali ortalama olarak 370 örnekte bir gözlenecektir. 37

49 Bir kalite kontrol grafiğinin performansını ifade etmenin bir diğer yolu ise ilk sinyale kadar ortalama zamanı (average time to signal, ATS) bulmaktır. Ortalama sinyal zamanı ATS = ARLh (2.55) biçiminde bulunur. Burada h örneklemlerin alındığı zaman aralığıdır. Eğer gözlemler belirli sabit aralıklar ile alınıyorsa ARL kullanılarak ortalama olarak ne kadar zaman sonra alınacak örneğin kontrol dışı olarak tanımlanacağı bulunabilir. Örneğin bir x grafiğinde her 3 saatte bir örneklem alınıyorsa ortalama olarak ATS = 370 x3 = 1110 saat sonra ilk kontrol dışı sinyal alınacaktır. Bir kontrol dışı sinyal alma ortalama zamanını azaltmanın iki yolu vardır: Örneklem sayısını arttırmak ya da örneklemlerin alındığı zaman dilimlerini azaltmaktır. ARL ve ATS performans ölçülerinin hesaplanmasının bir diğer yolu belirlenen varsayımlar altında yeterli sayıda koşum uzunluğu bulunarak ortalamalarının hesaplanmasıdır. Örneğin ARL 0, süreç kontrol altında iken ilk kontrol dışı sinyale kadar gözlenen değerlerin 10,000 tanesinin ortalaması ile tahmin edilir. ARL ve ATS nin dezavantajı sürecin kontrol dışında olduğunu sadece değerlerin kontrol dışına çıkması ile tanımlar. Grafikteki rasgele olmayan örüntüler bu performans ölçülerinde incelenmez (Besterfield 2001, Montgomery 1996 ve Smith 2000). 38

50 3. BULANIK MANTIK VE BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİ Çağımızda karışık gerçek hayat sistemlerini basitleştirmek ve modellemek bilimde ve mühendislikte bir gereksinim haline gelmiştir. Geliştirilen modeller ile sistemlerin gelecekte alacakları değerler ve gösterecekleri davranışlar tahmin edilmeye çalışılır. Ancak gerçek hayat durumları her zaman modellenemez. Bunun sebebi sistemlerin her zaman kesin bir durumu ifade etmemesidir. Bulanık mantık, tanımlanamayan, zor ya da karmaşık sistemleri, sözel ifadeleri kullanarak modellemek amacıyla doğmuştur. Mantık doğru düşünme biçimini konu alan bilimdir. Akıl yürütme kuralları ile ilgilenir. Düşünce biçimlerinin çözümlemesidir: İleri sürülen bir düşünceden başka düşüncelerin çıkarılmasının kurallarını inceler. İleri sürülen bu düşüncelerin doğru olup olmaması mantığın kapsamında değildir. Doğru düşünme ifadesinde doğru kelimesi mantığın doğrusu anlamındadır, bilginin doğrusu değildir. Bu nedenle, mantık tüm bilimlerin temelinde yer alır (Baykal ve Beyan 2004). Klasik mantığın uygulamaları tarih boyunca eleştirilmiştir. Gelişen bilim ve teknolojinin etkisi mantık biliminde de görülmüş ve klasik mantığa alternatif olarak geleneksel olmayan mantıklar geliştirilmiştir. Gerçek hayatta birçok durum iki değerli mantık ile açıklanamaz. Adil bir para atıldığında, paranın üst yüzeyi ya yazı ya da turadır. Bir meyve tabağından, bir meyve seçildiğinde, bu seçilen meyvenin ne olduğu kesin olarak ortadadır. Fakat, gerçek hayatta her şey bu kadar kesin olmayabilir. Örneğin, renkleri tanımlarken kesin olarak konuşmak mümkün değildir. Siyah ve beyaz renkleri arasında grinin yüzlerce tonu bulunur. Bu tonların bazıları beyaza oldukça yakın bazıları ise siyaha yakındır. Klasik mantık bir yargının, doğru ya da doğru olmaması, evet ya da evet olmaması, durumlarını tanımlamakta yetersiz kalır. Gerçek dünyada bir şey hem A hem de A olmayan olabilir. Bu düşünce ile ikiden fazla değerli mantıklar geliştirilmiştir. Doğru, doğru olmayan değerlerinin yanına belki değeri de katılmıştır. Fakat zaman içerisinde üç halin de yetersiz olduğu görülmüş ve bulanık mantık geliştirilmiştir. Klasik mantıkta bir yargının doğru ya da yanlış olmasına karşılık bulanık mantıkta yargının derecesi vardır. Klasik mantık ve bulanık mantığın temel farkı çelişmezlik ve üçüncü halin olanaksızlığı ilkelerinden kaynaklanır. Bulanık mantıkta bir yargı hem A hem de 39

51 A olmayan olamaz denilemez. Bir insan hem canlıdır, vücudundaki ölü hücrelerden dolayı hem de cansız olabilir. Klasik mantıkta bir yargının doğru olması ya da olmamasına karşılık bulanık mantıkta yargının derecesi vardır (Baykal ve Beyan 2004). Bir olayın, bir kavramın ya da bir sistemin belirsiz ya da kesin olmaması durumuna bulanıklık denir. Bu belirsizlik durumu bulanık mantık ile ifade edilir. Bulanık mantık sadece bir olayın olup olmaması ile değil hangi dereceye kadar olduğuyla da ilgilenir (Baykal ve Beyan 2004). Bir kusurlu ürünler kümesi tanımlanırsa, klasik mantığa göre bir ürün ya kusurludur ya da kusurlu değildir, ürün ya bu kümenin elamanıdır ya da değildir. İki durum arasındaki fark oldukça nettir. Fakat bulanık mantığa göre bu iki durum arası süreklidir. Eğer bir ürünün az sayıda kalite karakteristiği uygun değil ya da ürünün uygunsuzluğu ürünü etkili bir şekilde kullanmaya mani değilse ürün kusurlu olmayan ürünlere yakındır. Başka bir açıdan bakıldığında, ürün onu kullanmaya engel olacak uygunsuzluklar içeriyorsa bu ürün kusurlu ürünler kümesine daha yakındır. Bulanık mantıkta ürünler kümelere ait olma dereceleri ile temsil edilir. Örneğin, ilk ürünün, kusurlu ürünler kümesine ait olma derecesi ikinci ürünün bu kümeye ait olma derecesinden küçüktür. Diğer açıdan, ilk ürünün kusurlu olmayan ürünler kümesine ait olma derecesi, ikinci ürünün derecesinden büyüktür. Kısacası bulanık mantıkta kümeler arasında ara değerler de vardır ve geçiş süreklidir. Bulanık mantığın önemli avantajları şu şekilde özetlenebilir (Klir ve Yuan 1995): Belirsizliklerin tanımlanmasında, anlatılmasında ve çalışılmasında temel olmuştur. Klasik mantıktaki olası iki duruma karşılık bulanık mantık ara durumları da gündeme getirmiş ve derecelendirerek bu çeşitli durumların bilimsel olarak ifade edilmesini mümkün kılmıştır. Uzun, şişman, güzel, küçük, hafif gibi günlük hayatta kullanılan ve sayısal olmayan birçok değer tanımlanır: Bu sözsel ifadeler görecelidir ve kişiden kişiye göre değişebilir. 40

52 Bulanık mantık sözsel ifadeleri tanımlayarak insan düşünce yapısına daha yakın olmayı sağlar. Uygulama alanları çok geniştir. Belirsizliğin matematiksel olarak modellenmesine olanak sağlar. 3.1 Bulanık Mantık ve Genel Tanımlar Klasik mantıkta olduğu gibi bulanık mantık da, küme kavramına dayanır. Bulanık mantıkta kullanılan kümeler bulanık kümeler olarak adlandırılır. Bu kesimde, bulanık kümeler ile ilgili önemli tanımlara değinilmiştir. Tanım 3.1:, elemanları x ile gösterilen bir evrensel küme olsun. Elemanların A alt kümesine aitliği üyelik fonksiyonu ile belirlenir. Üyelik fonksiyonu ( x) µ ile gösterilir. A alt kümesi üyelik fonksiyonu sadece 0 ve 1 değerlerini alabilir. Eğer x elemanı A kümesinin elemanı ise üyelik derecesi 1, elemanı değil ise üyelik derecesi 0 olur. A A kümesi bulanık bir alt küme olduğunda A ~ ile gösterilir. Bu durumda üyelik fonksiyonu, µ ( x), [0,1] aralığında değerler alır. A ~ bulanık kümesi ( x) fonksiyonu A µ üyelik A ( x) : [ 0,1] µ (3.1) A ile karakterize edilmiş olur (Lai ve Hwang 1992). Üyelik derecesi 1 ise eleman bulanık kümeye tamamen aittir. Eğer üyelik derecesi 0 ise eleman kümeye ait değildir. Üyelik derecesi 0 ve 1 arasında ise eleman bulanık kümeye kısmen aittir. Üyelik derecesi 1 e nekadar yakınsa x elemanı A ~ bulanık kümesine o kadar yakındır ve elemanın A ~ kümesine aitlik derecesi de o kadar yüksektir. Eleman, A ~ bulanık kümesinin kısmen elemanıdır. 41

53 Bir elmanın bulanık kümeye ait olma üyelik derecesi bu elemanın bulanık kümeye ait olma olasılığı değildir. Klasik mantık olasılık teorisi temellerine dayanır. Diğer taraftan bulanık mantıkta olabilirlik dağılımları önplana çıkmaktadır. Klasik küme kavramında olduğu gibi, bulanık kümelerde sınır kesin değildir. Bulanık kümenin sınırı belirsiz ya da bulanıktır. A ~ bulanık kümesi ~ A = µ A (3.2) {( x, ( x) ) x } biçiminde verilen ikililerin kümesi ile tanımlanır. evrensel kümesi sonlu sayıda elemana sahip olduğunda A ~ bulanık kümesi { A i x } ~ A µ / (3.3) { ( x )/ x + µ ( x )/ x µ ( x )/ x } = ( x ) = A 1 1 A 2 2 A n n µ i biçiminde olur. Burada / küme elemanını ve bu elemanın üyelik derecesini göstermek için kullanılır. Benzer şekilde + işareti toplama değil birleşme anlamındadır. A ~ bulanık kümesinin sonsuz sayıda eleman içerdiği gösterim { A ( xi ) x } ~ A µ / (3.4) = i şeklinde olur. Eşitlik 3.3 de verilen tanıma benzer olarak bu gösterimde işareti birleşme anlamındadır (Lai ve Hwang 1992, Zimmermann 1994). 42

54 Tanım 3.2: Bir bulanık kümenin, üyelik dereceleri 0 dan farklı olan tüm elemanlarının kümesi destek kümesi olarak adlandırılır. Destek kümesi bir bulanık küme değildir ve Destek( A ~ ) = { x A ( x) > 0 and x } µ (3.5) biçiminde tanımlanır (Lai ve Hwang 1992). Tanım 3.3: Bulanık kümenin - kesmesi üyelik dereceleri dan büyük olan tüm elemanların kümesidir. A bulanık kümesinin - kesmesi A ya da A olarak gösterilir. Bu bulanık küme { x µ ( x) and x } A = A (3.6) olarak ifade edilir. Burada, [0,1] aralığında değerler alır. değeri 0 olduğunda bulanık kümenin destek kümesi, - kesmesine eşit olur. değerinin 1 olması durumunda ise - kesme bulanık kümenin yüksekliğine eşittir. Bir bulanık kümenin üyelik derecelerinin en yüksek noktası kümenin yüksekliğidir. Şekil 3.1 de sonsuz sayıda elemana sahip bir bulanık kümenin üyelik fonksiyonu ve - kesmesi verilmiştir (Buckley 2004). 43

55 µ A ( x) 1 0 A x Şekil kesme kümesi Tanım 3.4: Her ne kadar üyelik fonksiyonun değer kümesi [0,1] aralığı olarak tanımlansa da üyelik fonksiyonu değerleri sınırlı değildir. Bir bulanık küme normal ise bulanık kümenin yüksekliği 1 dir. Karakteristik fonksiyonun standardize edilerek [0,1] aralığında tanımlı olması her zaman tercih edilir. Bir bulanık küme en az bir eleman için { ( x) } = 1 Sup x µ A (3.7) koşulunu sağlıyorsa bu bulanık küme normaldir. Eğer bir bulanık küme normal değil ise üyelik dereceleri Sup { ( x) } Hwang 1992). x µ A değerine bölünerek küme standardize edilir (Lai ve Tanım 3.5: Tüm elemanların üyelik dereceleri 0 olan bulanık küme boş kümedir. Tanım 3.6: Bir bulanık kümenin herhangi iki elemanı olan x 1 ve x 2 için ( δx ( 1 δ ) x ) min( µ ( x ) ( x )) µ + (3.8) A 1 2 A 1, µ A 2 44

56 koşulu sağlanıyorsa bulanık küme dışbükeydir. Burada [ 0,1] δ dır (Klir ve Yuan 1995). Bir bulanık kümenin sahip olması beklenen iki özelliği normal ve dışbükey olmasıdır. Aksi belirtilmedikçe bulanık kümenin veya üyelik fonksiyonun bu özellikleri taşıdığı düşünülür. 3.2 Üyelik Fonksiyonları Olayların veya sistemlerin ait olma dereceleri bulanık mantıkta üyelik fonksiyonları ile tanımlanır. Küme değerlerinin üyeliklerini gösteren eğriye üyelik fonksiyonu adı verilir. Üyelik fonksiyonlarının birçok farklı çeşidi geliştirilmiş ve uygulanmıştır. Bu fonksiyonun değeri herhangi bir üyenin bulanık küme ile tanımlanan sisteme uygunluk derecesini gösterir. Bulanık mantık kullanılarak bir sistem modellenmek istendiğinde bir uzmanın bilgi ve tecrübelerinden yararlanılır. Uzmanın deneyimlerden elde edilen sözel bilgi ile sistemi ifade edecek uygun üyelik fonksiyonu belirlenir. Çok sayıda üyelik fonksiyonu tipi bulunmaktadır. Literatürde en çok kullanılan fonksiyonlar üçgensel, yamuksal ve çan eğrisi üyelik fonksiyonlarıdır. Uygulanmaları ve anlaşılmaları kolay olmaları nedeniyle endüstride çoğunlukla bu üyelik fonksiyonlarıyla sistemler tanımlanır (Lai ve Hwang 1992). Üyelik fonksiyonu grafiğinde ekseni bulanık kümenin elemanlarını gösterirken Y ekseni ise bu elamanların üyelik derecelerini gösterir. Şekil 3.2 de örnek bir üyelik fonksiyonu verilmiştir. 45

57 µ A ( x) 0 x Şekil 3.2 Üyelik fonksiyonu Şekil 3.2 de A ~ bulanık kümesi sonsuz sayıda elemanı olan bir kümedir. Bulanık kümenin alt kümesi olduğu evrensel kümede sonlu sayıda eleman olduğunda üyelik fonksiyonu Eşitlik 3.3 de olduğu gibi ifade edilir. evrensel kümesinde sonsuz sayıda eleman olduğunda üyelik dereceleri fonksiyon olarak belirtilir. Çok çeşitli üyelik fonksiyonları tanımlanmış olmasına rağmen uygulamalarda basit fonksiyonlar tercih edilir. En çok tercih edilen üyelik fonksiyonları üçgensel, yamuksal, Gaussian, çan eğrisi ve sigmodial fonksiyonlardır. Bu üyelik fonksiyonlarının tanımlı olduğu bulanık kümelerin hepsi dışbükey özelliğini sağlar. Diğer önemli üyelik fonksiyonu tipleri S,, Z ve iki sigmodial fonksiyonun farkı şeklindeki üyelik fonksiyonlarıdır (Lai ve Hwang 1992). Tanım 3.7 Üçgensel üyelik fonksiyonları: Üçgensel üyelik fonksiyonlarının önemli üç değeri vardır. Bunlar a, destek kümesinin alt sınırı, b, bulanık kümenin yüksekliği ve c, destek kümesinin üst sınırıdır. Şekil 3.3 de bir üçgensel üyelik fonksiyonu verilmiştir. 46

58 µ A ( x) 1 0 a b c x Şekil 3.3 Üçgensel üyelik fonksiyonu Şekil 3.3 de verilen grafiğin üyelik derecesi fonksiyonu ( x a) ( b a) ( c x) ( c b),, a x b µ A ( x) = b < x c (3.9) 0, x < a veya x > c biçimindedir. Şekil 3.3 de verilen üçgensel üyelik fonksiyonu doğrusaldır, fakat üçgensel üyelik fonksiyonları simetrik ya da doğrusal olmak zorunda değildir. Şekil 3.4 de doğrusal olmayan bir üçgensel üyelik fonksiyonuna örnek gösterilmiştir (Dubois ve Prade 1980, Lai ve Hwang 1992, Klir ve Yuan 1995, Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006). 47

59 µ A ( x) 1 0 x Şekil 3.4 Doğrusal olmayan üçgensel üyelik fonksiyonu Tanım 3.8 Yamuksal üyelik fonksiyonları: Üçgensel üyelik fonksiyonları yamuksal üyelik fonksiyonlarının özel bir halidir. Üyelik fonksiyonun tanımlı olduğu bulanık kümenin özü birden fazla eleman içerir. Bu nedenle fonksiyonun sınırları dört değer ile belirlenir. Şekil 3.5 yamuksal üyelik fonksiyonun grafiğini göstermektedir. µ A ( x) 1 0 a b c d x Şekil 3.5 Yamuksal üyelik fonksiyonu Şekil 3.5 deki gibi bir grafiğin fonksiyonu 48

60 ( x a) ( b a), a x b 1, b < x c µ A ( x) = (3.10) ( d x) ( d c), c < x d 0, x < a veya x > d biçimindedir. Üçgensel üyelik fonksiyonlarına benzer şekilde yamuksal üyelik fonksiyonlarının da doğrusal olması ya da olmaması hakkında bir kısıtlama yoktur (Dubois ve Prade 1980, Lai ve Hwang 1992, Klir ve Yuan 1995, Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006). Tanım 3.9 Gaussian üyelik fonksiyonları: Gaussian dağılımının iki parametresi ortalama ve standart sapmadır. Gaussian üyelik fonksiyonunda m, grafiğin orta noktası olan ortalamayı, σ da grafiğin yayılım ölçüsünü yani standart sapmasını verir. Şekil 3.6 da örnek bir gaussian üyelik fonksiyonu grafiği verilmiştir. µ A ( x) 1 0 m x Şekil 3.6 Gaussian üyelik fonksiyonu Gaussian üyelik fonksiyonu 49

61 2 1 x m µ A ( x) = exp (3.11) 2 σ biçiminde tanımlanır (Dubois ve Prade 1980, Lai ve Hwang 1992, Klir ve Yuan 1995, Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006). Tanım 3.10 Çan eğrisi üyelik fonksiyonları: Çan eğrisi üyelik fonksiyonun a, b ve c olmak üzere üç parametresi vardır. a parametresi grafiğin destek kümesinin alt sınırıdır, b parametresi eğrinin orta noktasını yani üyelik değerinin 0,5 olduğu noktasıdır, c ise yükseklik kümesinin orta noktasıdır. Şekil 3.7 de örnek bir çan eğrisi üyelik fonksiyonu verilmiştir. µ A ( x) 1 0,5 0 a b c x Şekil 3.7 Çan eğrisi üyelik fonksiyonu Çan eğrisi üyelik fonksiyonu c değerine göre simetriktir ve fonksiyon 1 µ A ( x) = exp (3.12) b x c 1 + a 50

62 biçiminde tanımlıdır (Dubois ve Prade 1980, Lai ve Hwang 1992, Klir ve Yuan 1995, Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006). Tanım 3.11 Sigmodial üyelik fonksiyonları: Sigmodial üyelik fonksiyonun iki parametresi vardır: a, sigmodial eğrinin ekseni ile kesiştiği noktadır, b ise eğrinin orta noktasını yani ( b) = 0, 5 µ olduğu değerdir. Bu üyelik fonksiyonu A 1 µ ( ) ( ) A x = exp (3.13) a x b 1 + e biçimindedir ve grafiği şekil 3.8 de verilmiştir (Dubois ve Prade 1980, Lai ve Hwang 1992, Klir ve Yuan 1995, Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006). µ A ( x) 1 0,5 0 a b x Şekil 3.8 Sigmodial üyelik fonksiyonu 3.3 Bulanık Sayılar ve Aritmetik İşlemler Normallik ve dışbükeylik özelliklerini taşıyan bir bulanık küme bulanık sayıdır. Bulanık kümeler üyelik fonksiyonları ile belirlenir. Bu nedenle üyelik fonksiyonu tipi olduğu kadar bulanık sayı çeşidi vardır. Üyelik fonksiyonları aynı zamanda bulanık sayı olarak 51

63 da bilinir. Bulanık sayılar dışbükey bulanık kümelerin özel bir halidir (Kandel 1986, Nguyen, 2006). Bir üçgensel sayının farklı gösterimleri vardır. { x,, β} üyelik derecesinin en büyük olduğu ( ( x) = 1 A = gösteriminde, x değeri µ ) noktasıdır. ve β değerleri ise sırasıyla sayının yükseklikten olan sol ve sağ uzaklıklarını verir. Üçgensel sayıların bir diğer gösterimi ise { a, b, c} = dır. Bu gösterimde b = x, a = x ve c = x + β değerlerini ifade eder. Şekil 3.9 de doğrusal üyelik fonksiyonu olan bir üçgensel bulanık sayı verilmiştir (Lai ve Hwang 1992). µ A ( x) 1 0 a=x- b=x c=x+β x Şekil 3.9 Üçgensel bir bulanık sayı Benzer şekilde yamuksal bulanık sayılar, Y = { y 1, y2,,β} ve Y = { a, b, c, d} gösterimleriyle ifade edilir. Bir yamuksal bulanık sayının özü [ y 1, y2 ] aralığıdır. Başka bir değişle, [ y 1, y2 ] veya [b,c] aralığındaki elemanların üyelik dereceleri birdir. ve β değerleri üçgensel sayılarda olduğu gibi bu aralıktan sol ve sağ uzaklıklardır. Dolayısıyla, a = y 1, b = y1, c = y2 ve d = y 2 + β dır. Şekil 3.10 de yamuksal bir bulanık sayı gösterilmiştir (Lai ve Hwang 1992). 52

64 µ A ( x) 1 0 a=y 1 - b=y 1 c=y 2 d=y 2+ β x Şekil 3.10 Yamuksal bir bulanık sayı / Y üçgensel / yamuksal bulanık sayılar ise bu sayıların toplamı, farkı, çarpımı ya da bölümü de üçgensel / yamuksal bulanık sayılardır. Çizelge sırasıyla üçgensel ve yamuksal bulanık sayılarla aritmetik işlemleri göstermektedir. 53

65 Çizelge 3.1 Üçgensel bulanık sayılarla aritmetik işlemler (Lai ve Hwang 1992). { a, b c } =, ve { a, b c } Y =, iki üçgensel bulanık sayı olduğunda: Y Y Y in görüntüsü : = { c, b, a } in tersi: 1 = { 1/ c,1/ b,1 / a } Toplama: + Y = { a + a, b + b, c + c } Çıkarma: Y = { a c, b b, c a } Y Y Y Y Y Y Sabit bir sayı ile çarpım: { ka, kb kc } { kc, kb ka } k > 0, k R k =, k < 0, k R k =, Çarpım: { a a, b b c c } > 0, Y > 0, Y =, Y { c a, b b a c } < 0, Y > 0, Y =, Y { c c, b b a a } < 0, Y < 0, Y =, Y Y Y Y Y Y Y Bölme: { a / c, b / b, c a } > 0, Y > 0, / Y = / Y { c / c, b / b, a a } < 0, Y > 0, / Y = / Y { c / a, b / b, a c } < 0, Y < 0, Y = / Y Y Y Y Y Y Y 54

66 Çizelge 3.2 Yamuksal bulanık sayılarla aritmetik işlemler (Lai ve Hwang 1992). { a, b, c d } =, ve { a, b, c d } Y Y Y Y Y =, iki yamuksal bulanık sayı olduğunda: in görüntüsü : = { d, c, b, a } in tersi: 1 = { 1/ d,1/ c,1/ b,1 / a } Toplama: + Y = { a + a, b + b, c + c, d + d } Y Çıkarma: Y = { a d, b c, c b, d a } Y Y Y Y Y Y Y Sabit bir sayı ile çarpım: { ka, kb, kc kd } { kd, kc, kb ka } k > 0, k R k =, k < 0, k R k =, Çarpım: { a a, b b, c c d d } > 0, Y > 0, Y =, Y Y { d a, c b, b c a d } < 0, Y > 0, Y =, Y Y { d d, c c, b b a a } < 0, Y < 0, Y =, Y Y Y Y Y Y Y Y Bölme: { a / d, b / c, c / b, d a } > 0, Y > 0, / Y = / Y Y { d / d, c / c, b / b, a a } < 0, Y > 0, / Y = / Y { d / a, c / b, b / c, a d } < 0, Y < 0, Y = / Y Y Y Y Y Y Y Y Y 55

67 3.4 Tip - n Bulanık Mantık Bir durum bulanık mantık ile tanımlanırken bulanık küme, elemanları ve üyelik dereceleri tanımlanır. Her bir bulanık sayının [0,1] aralığında tanımlı bir üyelik derecesi bulunduğunda üyelik değerleri kesin sayılardır. Bulanık mantıkta bu durum tip - 1 üyelik fonksiyonu olarak adlandırılır. Üyelik fonksiyonunun değerinin bulanıklaştırıldığı durum tip - 2 bulanık mantık teorisi ile açıklanır. Bir elemana ait üyelik fonksiyonu da bir bulanık küme ile tanımlanırsa buna tip - 2 bulanık küme denir. Bu durumda tip - 1 de olduğu gibi her bir sayının üyeliği [0,1] aralığında tek bir değer almaz. Tip - 2 bulanık mantığında kullanılan üyelik fonksiyonları da bulanıktır. Tip - 2 bulanık mantıkta bulanık kümedeki her bir elemana ait üyelik değeri [0,1] aralığında bir bulanık küme ile ifade edilir. Tip - 2 bulanık mantık geleneksel bulanık mantık olarak bilenen tip - 1 bulanık mantığın genişletilmiş bir halidir. Bu tanımlar bulanık mantığın temel ilkeleri değişmeden tip - n bulanık mantık olarak genişletilebilir. Bulanık mantığın tip sayısı bulanıklığın derecesinin yüksekliğini ifade eder (Klir ve Yuan 1995, Ross 1995, Çelikyılmaz ve Türkşen 2009). Tip - 1 bulanık mantık belirsizlikleri açıklamakta her zaman istenilen performansı gösteremeyebilir. Böyle durumlarda tip - 2 bulanık mantığın kullanılması önerilir. Tip - 2 bulanık mantık tip - 1 e göre belirsizliği modellemede daha etkilidir. Bunun nedeni tip - 2 bulanık mantık sistemlerine ait bulanık kümelerin daha fazla parametreye sahip olmasıdır. Dolayısıyla tip - 2 bulanık sistemleri tip - 1 bulanık mantık sistemlerine göre daha güçlü ve etkili bir yapıya sahiptir. Her ne kadar uygulama alanları çok geniş olsa da tip - 2 bulanık mantık sistemleri ile yapılan çalışmalar çok eskiye dayanmamaktadır. İlk olarak A. Lutfi Zadeh tarafından 1975 yılında ortaya atılmış ve daha sonra birçok araştırmacı tarafından incelenip geliştirilmiştir. Literatürde yapılan uygulamalarda tip - 2 bulanık mantık sistemlerinin tip - 1 bulanık mantık sistemleri temel alınarak yapılan çalışmalara göre daha iyi performans gösterdiği sonucuna varılmıştır (Karnik vd. 1999, Mendel 2001, Çelikyılmaz ve Türkşen 2009). 56

68 4. KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE ORAN YAKLAŞIMI Kalite kontrol grafikleri bulanık mantık ile geliştirildiğinde süreci tanımlayan durumların, Shewhart kontrol grafiklerinde kullanılan kurallardan farklı olması beklenir. Başka bir değişle kontrol grafiklerinde süreci tanımlayan, kontrol dışı olup olmadığını belirten yaklaşımlar bulanık kontrol grafiklerinde olduğu gibi uygulanamaz. Bunun nedeni bulanık sayıların kontrol grafiklerine getirdiği çeşitliliktir. Kontrol grafiğinde kullanılan sayıların bulanık olması sürecin kontrol dışında ya da kontrol altında olmasını belirten durumların sayısını arttırır. Bu durumların tanımlanarak sınıflandırılması süreç hakkında bilgi verebilmek için gereklidir. Bulanık sayılardan oluşan bir süreci tanımlarken bulanık sayıların ve sınırların çakıştığı durumları doğru sınıflandırabilmek çok önemlidir. Bulanık sayılar ile ifade edilen bir sürecin incelenmesinde kontrol sınırlarının ya da verilerin Shewhart grafiklerinde olduğu gibi gerçek değer ile tanımlanması beklenemez. Bulanık kontrol grafiklerinde alt, üst kontrol sınırlarının ve merkez çizginin bulanık sayılarla gösterilmesi süreç hakkındaki sonucun esnekliğini arttırır. Kalite kontrol grafiklerinde sayı alt kontrol sınırından küçük ya da üst kontrol sınırından büyük ise süreç kontrol dışındadır. Bu durum bulanık kalite kontrol grafiklerine uyarlandığında, bulanık sayılar bulanık kontrol sınırlarının dışında ise süreç kontrol altında değildir. Başka bir değişle, bir bulanık sayının üst veya alt kontrol sınırlarının dışında olması, sürecin kontrol altında olmasının üyeliğinin sıfır olması anlamına gelir. Diğer taraftan, sayılar bulanık sınırların arasında ve rasgele dağılmış ise sürecin kontrol içinde olmasının üyeliği birdir. Bulanık kontrol grafiklerinde bulanık sınırlar da bulanık sayılarla ifade edildiğinde bulanık sayıların ve bulanık sınırların çakıştığı durumların tanımlanmasına ihtiyaç duyulur. Bulanık sayı olarak hesaplanan bulanık sınırlar süreçlerin net bir şekilde kontrol altındadır ya da kontrol dışındadır olarak tanımlanmasını imkansız bir hale getirir. Bu durum, bulanık grafiklerin Shewhart kontrol grafiklerinden en önemli 57

69 farkıdır. Farklı bulanık yaklaşımlarla bulanık sayıların ve sınırların çakışmaları değerlendirildiğinde süreçlerin farklı tanımlanmasına sebep olur. Dolayısıyla, süreçlerin uygun bir bulanık yaklaşım ile incelenmesi doğru ve gerçeğe en yakın sonuçların elde edilmesi açısından önemlidir. Bu bölümde, çalışmanın özgün yanını oluşturan oran yaklaşımı tanımlanacaktır. Oran yaklaşımı olarak adlandırılan yaklaşım ile bulanık kalite kontrol grafiklerinin çizilmesi amaçlanmıştır. Bir bulanık sayının bulanık kontrol sınırları ve diğer sayılarla karşılaştırılabilmesi için bulanık sayıların ve sınırların üst üste geldikleri durumların belirlenmesi gerekmektedir. Önerilen oran yaklaşımı ile bulanık kalite kontrol grafiklerinin bu durumları sınıflandırılarak süreçler tanımlanacaktır. Oran yaklaşımında öncelikle süreç kontrol altında iken bulanık kontrol sınırları hesaplanır. Yaklaşım ile hesaplanan bulanık kontrol sınırları bulanık sayılar ile gösterilir. İkinci olarak, örneklemdeki her bir bulanık sayının bulanık kontrol sınırlarına göre konumu belirlenir ve kontrol içinde olma üyelik dereceleri hesaplanır. Bu hesaplama oran yaklaşımının önemli bir basamağını oluşturur. Bulanık sayıların üyelik dereceleri [0, 1] aralığında değerler alır. Bir sayının üyelik derecesi 0 ise bulanık sayı bulanık kontrol sınırların dışındadır. Sayı bulanık sınırların arasında ise üyelik derecesi 1 değerini alır. Üyelik derecelerinin diğer tüm değerlerinde bulanık sayıların bulanık sınırlarla çakıştığı anlamına gelir. Bulanık grafiğin çiziminde daha sonra - kesme bulanık sınırlar ve - kesme bulanık sayılar çizilir. Son olarak elde edilen üyelik dereceleri oran yaklaşımı karar fonksiyonundaki sınıflar ile karşılaştırılır ve süreç tanımlanır. Çalışmada süreçlerin gerçeğe en yakın şekilde tanımlanmasını sağlayacak bir yaklaşım geliştirilmeye çalışılmıştır. Bu nedenle en uygun üyelik fonksiyonun ve karar fonksiyonun belirlenmesi aşamasında çok sayıda uygulamalar yapılmıştır. İncelenen uygulamaların bir kısmı Kesim 4.3, Kesim 4.4, Kesim 4.7, ve Bölüm 5 de anlatılacaktır. Yapılan bu uygulamalarda yaklaşım ile her türlü sürecin bulanık grafiğinin çizilebilmesi, oran yaklaşımının farklı kontrol grafikleri çizmek için uyarlanabilmesi, hesaplanmasının 58

70 ve anlaşılmasının kolay olması kriterleri temel olarak göz önüne alınmıştır. Süreçleri en doğru şekilde yansıtan fonksiyonlar oran yaklaşımı üyelik ve karar fonksiyonları olarak atanmıştır. Bu fonksiyonlar ve oran yaklaşımının temel ilkeleri Kesim 4.1 de verilecektir. 4.1 Oran Yaklaşımının Temelleri Oran yaklaşımı ile çizilmiş bulanık kalite kontrol grafiklerinin oluşturulmasında uzmanların deneyimlerinden elde edilen bulanık sayılar kullanılacaktır. Bulanık sayılar ya da üyelik fonksiyonları hakkında herhangi bir kısıtlayıcı varsayım yoktur. Bulanık kontrol grafiklerinde bulanık kontrol sınırlarının bulanık dört işlem ile Shewhart kontrol grafikleri temel alınarak hesaplandığı varsayılmıştır. Örneğin doğrusal üyelik fonksiyonu olan yamuksal bulanık sayılarla, bulanık sınırlar çizelge 3.2 de verilen aritmetik işlemler kullanılarak hesaplanır. Önerilen oran yaklaşımı - kesme bulanık sayıların - kesme bulanık sınırlara göre konuma dayanır. Yaklaşımda süreç bulanık sayıların kontrol içinde olma üyelik derecelerinin sınıflandırılması ile tanımlanır. Bir bulanık sayının kontrol içinde olmasının üyelik derecesi ise sayının konumuna göre değer alır. A i. bulanık sayının - kesmesinin genişliği olsun. Başka bir değişle, i A i. bulanık i sayının - kesmesinin üst sınırı ile alt sınır arasındaki fark olarak tanımlansın. Bu durumda A = A + A + A i = 1,2,3,..., n. (4.1) i i İÇ i ÜZ i DIŞ olacak şekilde; n örneklem büyüklüğü, 59

71 A i İÇ, i. bulanık sayının - kesmesinin, - kesme alt ve üst kontrol sınırlarının arasında kalan genişliği, A i ÜZ, i. bulanık sayının - kesmesinin, - kesme alt ve üst kontrol sınırlarının üzerinde kalan genişliği ve A i DIŞ, i. bulanık sayının - kesmesinin, - kesme bulanık kontrol sınırlarının dışında kalan genişliği olarak tanımlanır. Eşitlik 4.1 de verilen genişlikler bir bulanık kalite kontrol grafiğinde örneklendirilmiştir. Üçgensel bulanık sayılar ile tanımlanan bir süreçde, bulanık aritmetik ile bulanık sınırlar ve merkez çizgi hesaplanmıştır. Bulanık sınırlar ve merkez çizgi de üçgensel bulanık sayılardır. Hesaplamalar Bölüm 3 de, çizelge 3.1 de verilen bulanık aritmetik işlemler kullanılarak yapılmıştır. Oran yaklaşımında bulanık sınırların hesaplanmasına Kesim 4.2 de değinilecektir. Şekil 4.1 de doğrusal üyelik fonksiyonu olan iki üçgensel bulanık sayı ve bulanık kontrol sınırları gösterilmiştir. A KL ~ Ü KL ~ Sayı I Sayı II A 1 A 1 ÜZ A 1İÇ A 2ÜZ A 2 DIŞ Şekil 4.1 Üçgensel bulanık sayılar ve bulanık kontrol sınırları için bir örnek Şekil 4.1 de A K ~ L ve Ü K ~ L bulanık sayılarla hesaplanmış bulanık sınırları göstermektedir. A KL ~ bulanık alt kontrol sınırını, Ü K ~ L ise bulanık üst kontrol sınırını ifade etmektedir. Şekil 4.1 de doğrusal üyelik fonksiyonları olan iki üçgensel bulanık sayı kesikli çizgilerle gösterilmiştir. Birinci bulanık sayı, bulanık alt kontrol sınırı ile çakışmakta ve sayının bir kısmı bulanık sınırların arasındadır. Dolayısıyla birinci sayının A 1 değeri DIŞ sıfır ve A 1, ÜZ A 1 değerleri sıfırdan büyüktür. İkinci bulanık sayı ise üst kontrol sınırı ile İÇ 60

72 çakışmakta ve sayının bir kısmı kontrol sınırlarının dışındadır ve A 0, A 0 ve A2 = 0 dır. İÇ 2 > DIŞ 2 > ÜZ Oran yaklaşımında bir bulanık sayı bulanık sınırların dışında ise kontrol altında olmasının üyeliği sıfırdır. Bulanık sayının - kesme genişlikleri göz önüne alındığında A DIŞ =, A = 0 ve A = 0 olur. Benzer şekilde sayı bulanık sınırların arasında ise j A j j ÜZ j İÇ A = 0, A = 0 ve A İÇ = sağlanır ve sayının kontrol altında olmasının üyelik i DIŞ i ÜZ i A i derecesi birdir. Bulanık sayılar ve sınırlar çakıştığında, A > 0, oran yaklaşımı ile i ÜZ sürecin kontrol altında olmasının üyelik derecesi A, A ve A genişlikleri i İÇ i ÜZ i DIŞ kullanılarak belirlenir. Önerilen oran yaklaşımı üyelik derecesi fonksiyonu, A i A i / ve İÇ A i A i / (4.2) ÜZ oranlarının ağırlıklı toplamıdır. Eğer bir bulanık sayı bulanık kontrol sınırlarıyla çakışıyorsa, bulanık sayının kontrol içinde olmasının üyeliği µ i γa γm i i + ( 1 γ ) Ai İÇ ( 1 2γ ) Z ÜZ = 1,2,3,..., n. + i i = (4.3) olarak tanımlandı. Burada, { sup( ÜKL ) inf ( AKL ) } M = min, (4.4) i A i ve { inf ( ÜKL )- sup( AKL ) } Z = min, dır. (4.5) i A i 61

73 M, i. bulanık sayı için A den küçük ya da eşit, en büyük olası bulanık kontrol i sınırlarının - kesme genişliğini, Z ise i i A den küçük ya da eşit, i. bulanık sayının - i kesme bulanık kontrol sınırlarının arasında olabileceği en büyük genişliği ifade eder. Örneklemdeki bütün bulanık sayıların kontrol içinde olma üyelik derecelerini aynı skalada tanımlayabilmek amacıyla fonksiyon standardize edilmiştir. M ve Z değerleri kullanılarak i i Üyelik fonksiyonunda, Eşitlik 4.3 de verilen oranların ağırlıklar sırasıyla γ ve (1 - γ ) olarak tanımlanmıştır. γ karar verici tarafından geçmiş verilere dayanarak elde edilmiş bir değerdir. γ değeri bulanık sayının - kesmesinin, - kesme bulanık kontrol sınırlarının üzerinde kalan genişliğinin ağırlığıdır. (1 - γ ) ise bulanık sayının - kesmesinin - kesme bulanık kontrol sınırlarının arasında kalan genişliğinin ağırlığı olarak ifade edilir. γ değeri γ 0 < < 1 ( 1 γ ) (4.6) eşitsizliğini sağlamalıdır. Herhangi bir sayının bulanık kontrol sınırlarının arasında olmasının öneminin, bu sınırların üzerinde olmasının öneminden yüksek olması beklenir. Başka bir değişle γ değeri [0, 0,5] arasında olmalıdır. Üyelik fonksiyonunda önemli etkisi olan γ değeri geçmiş bilgilere ve tecrübelere dayanarak belirlenir. Bulanık sayının kontrol sınırlarının arasında ve üzerinde olmalarının ağırlıkları olarak tanımlanan bu değer farklı süreçlerde farklı değer alabilir. Süreçteki geçmiş ölçümler ve kararlar bu hakkında bilgi verir. Karar verici geçmiş veriye ya da tecrübelerine dayanarak bu değeri belirler. Bu çalışmada, γ değerinin geçmiş gerçek verilerin dağılımlarına dayanılarak karar vericiler tarafından belirlendiği varsayılmıştır. 62

74 γ / (1 - γ ) değişkeninin dağılımı, parametre değerleri süreçlere göre değişen bir dağılıma sahiptir. Bu rasgele değişken, (1 - γ ) nın γ dan büyük olması beklenildiği için 0 ve 1 arasında değer alır. Gerçek sayılardan oluşan geçmiş bilgiler ile tanımlanır ve süreç kontrol altında iken bu değişkenin dağılımı belirlenmiş ve parametreleri tahmin edildiği varsayılmıştır. Bulanık sayıların yayılımına bağlı olarak bulanık sınırların değerleri ve konumları değişir. Hatta bulanık sınırlar çakışabilir ya da her hangi bir bulanık sayı bulanık alt ve üst kontrol sınırlarının ikisi ile de çakışabilir. Eşitlik 4.3 de verilen üyelik fonksiyonu, γ değerlerine, bulanık sayılara ve bu sayıların birbirlerine göre konumlarına bağlıdır. Eşitlik 4.3 de tanımlanan üyelik fonksiyonu ve γ değerlerinin ve bulanık sınırların ve sayıların tüm olası durumları göz önüne alınarak belirlenmiştir. Önerilen fonksiyonun her türlü üyelik fonksiyonuna sahip bulanık sayılara uygulanabileceği varsayılarak yaklaşım geliştirilmiştir. Ayrıca, bulanık sayıların kendi yayılımları ve birbirleri arasındaki yayılım da oran yaklaşımında göz önüne alınmıştır. Sayıların yayılımlarının büyük olması bulanık üst kontrol sınırı ile alt kontrol sınırının çakışmasına neden olabilmekte, bu durumda bulanık kontrol sınırları arasında kalan aralığı değiştirmektedir. Şekil 4.2 de çakışmayan bulanık kontrol sınırları ile bir bulanık sayının oran yaklaşımı göz önüne alındığında farklı tüm olası durumları doğrusal üyelik fonksiyonu olan yamuksal bulanık sayılara dayanılarak gösterilmiştir. 63

75 1 A KL ~ Ü K ~ L 2 A KL ~ Ü K ~ L 3 A KL ~ Ü K ~ L 4 A KL ~ Ü K ~ L 5 A KL ~ Ü K ~ L 6 A KL ~ Ü K ~ L Şekil 4.2 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışmayan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal bulanık sayıların olası durumları 64

76 7 A KL ~ Ü K ~ L 8 A KL ~ Ü K ~ L 9 A KL ~ Ü K ~ L 10 A KL ~ Ü K ~ L 11 A KL ~ Ü K ~ L 12 A KL ~ Ü K ~ L Şekil 4.2 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışmayan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal bulanık sayıların olası durumları (devam) 65

77 13 A KL ~ Ü K ~ L 14 A KL ~ Ü K ~ L 15 A KL ~ Ü K ~ L Şekil 4.2 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışmayan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal bulanık sayıların olası durumları (devam) Şekil 4.2 de yamuksal bulanık sayılarla çizilen bir kontrol grafiğinin tek bir bulanık sayıyı gösteren parçaları verilmiştir. Her bir parça bulanık alt ve üst kontrol sınırlarını ve bir bulanık sayının durumu göstermektedir. Şekil 4.2 incelendiğinde, oran yaklaşımına göre yamuksal bir bulanık sayının bulanık sınırlara göre alabileceği 15 farklı durum olduğu görülür. Bu durumlar bulanık sayılara ve bulanık sınırların birbirlerine göre konumlarına bağlıdır. Şekil 4.2 de - kesme bulanık sınırlar çakışmamaktadır. Bulanık üst ve alt kontrol sınırlarının - kesmelerinin çakışması halinde, yamuksal bulanık sayıların olası durumları şekil 4.3 de verilmiştir. 66

78 16 A KL ~ Ü K ~ L 17 A KL ~ Ü KL ~ 18 A KL ~ Ü K ~ L 19 A KL ~ Ü K ~ L 20 A KL ~ Ü K ~ L 21 A KL ~ Ü K ~ L Şekil 4.3 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal bulanık sayıların olası durumları 67

79 22 A KL ~ Ü K ~ L 23 A KL ~ Ü K ~ L 24 A KL ~ Ü K ~ L 25 A KL ~ Ü K ~ L 26 A KL ~ Ü K ~ L 27 A KL ~ Ü K ~ L Şekil 4.3 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal bulanık sayıların olası durumları (devam) 68

80 28 A KL ~ Ü K ~ L 29 A KL ~ Ü K ~ L 30 A KL ~ Ü K ~ L Şekil 4.3 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal bulanık sayıların olası durumları (devam) Şekil 4.2 dekine benzer şekilde, şekil 4.3 de oran yaklaşımına göre bulanık sınırların ve yamuksal bulanık sayıların 15 olası durumu bulunmaktadır. Oran yaklaşımı geliştirilirken bulanık sayı tipleri ve bu bulanık sayı tiplerinin ve sınırlarının tüm olası durumları incelenmiş ve üyelik fonksiyonu tanımlanmıştır. Shewhart kalite kontrol grafiklerinde süreç iki durum ile tanımlanır: süreç kontrol altındadır ve süreç kontrol dışındadır. Önerilen bulanık kontrol grafiklerinde de Shewhart kontrol grafiklerine benzer olarak sürecin iki farklı tanımı vardır. Oran yaklaşımı ile çizilen bulanık kontrol grafiklerinde bu tanımlar bulanık sayıların üyelik derecelerinin sınıflandırılması ile yapılır. Her bir sayının kontrol içinde olmasının üyelik derecesi hesaplandıktan sonra bu üyelik dereceleri karar fonksiyonunda kategorize edilir. Oran yaklaşımında karar fonksiyonu 69

81 kontrol altı nda, λ µ i 1 Süreç = (4.7) kontrol dı şı nda, 0 µ i λ biçiminde tanımlanmıştır. Burada, λ değeri 0 λ 1 olacak şekilde belirlenmiş bir parametredir. Karar fonksiyonu olarak adlandırılan Eşitlik 4.7 deki parametre, λ, süreç kontrol altında iken geçmiş veriye dayanılarak tahmin edilmiştir. Bu parametrenin değerinin belirlenmesi önerilen yaklaşımın önemli bir basamağıdır. λ parametresine, olması gerektiğinden daha büyük bir değer atanırsa, tip - I hata olasılığı artar. Bu durum kalite kontrol grafiklerinde kontrol sınırlarının birbirlerine yaklaştırılması ile aynı etkiye sahiptir. Diğer taraftan, parametreye küçük bir değer verildiğinde kontrol sınırlarının birbirlerinden uzaklaştırılması ile benzer sonuç elde edilir. Tip - I hata olasılığı azalır ve tip - II hata olasılığı artar. Oran yaklaşımında λ parametresinin tahmin edilmesi tip - I hata olasılığına dayanır. 3 σ (3 sigma) kontrol sınırları kullanıldığında Normal dağılım varsayımı altında tip - I hata olasılığı 0,0027 dır. Başka bir değişle, 3 σ (3 sigma) kontrol sınırları ile ürünün 27 tanesinin süreç kontrol dışındadır sonucuna yanlış karar ile varılması beklenir. Eşitlik 4.7 de verilen karar fonksiyonu 3 σ (3 sigma) kontrol sınırları temel alınarak oluşturulmuştur ve 3 σ (3 sigma) olasılık sınırı λ parametresini belirlemek için kullanılmıştır. 4.2 Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Bulanık Sınırlar Oran yaklaşımı farklı grafikler için de düzenlenmiş ve C programlama dili kullanılarak birçok örnekle incelenmiştir. Bu kesimde, kalite kontrol grafiklerinin oran yaklaşımı ile çizimi için önerilen bulanık kontrol sınırları verilecektir. Gösterimlerde süreçlerin yamuksal bulanık sayılarla ifade edildiği varsayılmıştır. Üçgensel bulanık sayılardan oluşan sürecin tanımlanması benzer şekilde bulunabilir. 70

82 4.2.1 Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde oran yaklaşımı Oran yaklaşımının bulanık grafiklerin çeşidiyle ilgili her hangi bir kısıtlayıcı varsayımı yoktur. Bu nedenle oran yaklaşımı x, R ve s grafiklerine uyarlanabilir. Alt grupların yayılım ölçüsünü belirten bulanık s ya da R grafiklerinin çizimi için alt gruplardaki bulanık sayıların varyanslarının ya da genişliklerinin hesaplanması gerekir. Alt gruplardaki gözlem sayıları yeterince küçük olduğunda Shewhart grafiklerinde olduğu gibi varyans yerine genişlik ölçüsü kullanılarak yayılım grafiği elde edilebilir. Oran yaklaşımı ile sürekli rasgele değişkenler için bulanık kalite kontrol grafiklerinin çiziminde öncelikle bulanık kontrol sınırları hesaplanır. Bu çalışmada, x, R ve s grafiklerine uygulanmasında diğer grafiklerde olduğu gibi Shewhart kontrol grafiklerinin sınırları temel alınmıştır. Bulanık x ve R kontrol grafiklerinin çizilmesinde bulanık sınırların bulunabilmesi için alt grupların genişlik değerleri bulunmalıdır. Oran yaklaşımında her bir alt grubun genişlik ölçüsü alt gruptaki bulanık sayıların en büyük genişliği kullanılarak hesaplanır. i. alt grup için genişlik j k ([ ~ x, x ]) R = sup ~ (4.8) i ij ik biçiminde bulunur. Burada, x~ ij ve x~ ik i. alt gruptaki farklı bulanık sayılardır. Yamuksal bulanık sayılar (a, b, c, d) gösterimi ile ifade edildiğinde x ve R grafiklerinde, x grafiğinin bulanık sınırları Kesim de verilen eşitlikler temel alınarak hesaplanır. Oran yaklaşımı kullanılarak bulunan bulanık x grafiği merkez çizgisi ve bulanık kontrol sınırları (, b, c, ) ( MÇ ~, MÇ ~, MÇ ~, M ) M Ç ~ = a d = (4.9) a b c Ç ~ d 71

83 = ( + A R, b + A R, c + A R d A R ) ( ÜK ~ L, ÜK ~ L, ÜK ~ L, ÜK ~ L ) Ü K ~ L + AK ~ L a 2 a 2 b 2 c, 2 d = (4.10) = ( A R, b A R, c A R d A R ) ( AK ~ L, AK ~ L, AK ~ L, AK ~ L ) a 2 d 2 c 2 b, 2 a a a b b = (4.11) c c d d formülleri ile bulunur. Burada A 2, Kesim Eşitlik 2.9 da tanımlanmıştır. Bulanık sürekli rasgele değişkenler için kontrol grafiklerinde bulanık sayıların yayılımlarının da süreci tanımlarken dikkate alınması gerekir. Bulanık R grafiğinin bulanık merkez çizgisi ve bulanık kontrol sınırları ise ( R, R, R, R ) M Ç ~ = (4.12) a b c d Ü K ~ L = ( D,D R, D R, R ) ( ÜK ~ L, ÜK ~ L, ÜK ~ L, ÜK ~ L ) 4Ra 4 b 4 c D 4 d = (4.13) A K ~ L = ( D, D R, D R, R ) ( AK ~ L, AK ~ L, AK ~ L, AK ~ L ) 3Ra 3 b 3 c D3 d a a b b c c = (4.14) d d biçiminde bulunur. Burada, D 3 ve D 4 katsayıları Eşitlik 2.13 ve 2.14 de tanımlanmıştır. Bulanık x ve R grafiklerinin, bulanık merkez çizgisi ve sınırları çizelge 3.2 de verilen yamuksal bulanık sayılarla aritmetik işlemler kullanılarak yazılmıştır. Bulanık x ve s grafiklerinin oran yaklaşımı ile önerilen sınırları bulanık x ve R grafiğine benzer şekilde bulunur Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde oran yaklaşımı Geliştirilen oran yaklaşımı kontrol grafiklerinin farkları ile ilgili herhangi bir varsayım taşımadığından yaklaşım farklı kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerine uyarlanabilir. Uygulamalardaki bulanık grafiklerin en önemli farkı kontrol 72

84 grafiklerinin bulanık kontrol sınırları hesaplamalarından kaynaklanır. Bulanık kontrol sınırları bulunduktan sonra oran yaklaşımı bulanık veriye uygulanır ve sonuç bulanık grafiğin anlamına göre yorumlanarak süreç tanımlanır. Bu kesimde, oran yaklaşımı bulanık c kalite kontrol grafiğine uyarlandığında bulanık sınırların bulunması verilmiştir. Diğer kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde bulanık kontrol sınırları Shewhart kontrol sınırları kullanılarak benzer şekilde bulunabilir. Her bir alt grubun kusur sayısı yamuksal bulanık sayılar (a, b, c, d) ile gösterildiğinde bulanık kontrol sınırları bulanık dört işlem kullanılarak (, b, c, ) ( MÇ ~, MÇ ~, MÇ ~, M ) M Ç ~ = a d = (4.15) a b c Ç ~ d ( a + 3 a, b + 3 b, c + 3 c, d 3 d ) = ( ÜK ~ L, ÜK ~ L, ÜK ~ L, ÜK ~ L ) Ü K ~ L + AK ~ L ( a 3 d, b 3 c, c 3 b, d 3 a ) = (4.16) = ( AK ~ L, AK ~ L, AK ~ L, AK ~ L ) a a b b = (4.17) c c d d biçiminde hesaplanır. Eşitlik 4.15, 4.16 ve 4.17 deki merkez çizgi ve bulanık kontrol sınırları - kesme uygulanarak yeniden düzenlendiğinde - kesme bulanık merkez çizgi ve kontrol sınırları = ( a, b, c, d ) = ( a + ( b a ), b, c, d ( d c ) ( MÇ ~, MÇ ~, MÇ ~, M ) M Ç ~ = (4.18) a b c Ç ~ d ( a + 3 a + ( b + 3 b ) ( a + 3 a ), b + 3 b, c + 3 c, d + 3 d ( d + 3 d )- ( c 3 c ) K ~ Ü L = + = ÜK ~ L, ÜK ~ L, ÜK ~ L, ÜK ~ L (4.19) ( ) a b c d ( a 3 d + ( b 3 c ) ( a 3 d ), b 3 c, c 3 b, d 3 a ( d 3 a )- ( c 3 b ) K ~ A L = = AK ~ L, AK ~ L, AK ~ L, AK ~ L (4.20) ( ) a b c d 73

85 Şeklinde tanımlanır. Burada, değeri 1 alınırsa - kesme bulanık kontrol sınırları c kalite kontrol grafiğinin sınırlarına eşit olur. 4.3 Oran yaklaşımında bulanık sayıların üyelik fonksiyonunun belirlenmesi Shewhart kontrol grafiklerinin bulanık alternatiflerinin çizilebilmesi için düzenlenen oran yaklaşımı ile çeşitli uygulamalar yapılmış ve parametrelerin ve yapay verilerin dağılımlarının etkileri üyelik fonksiyonları ile incelenmiştir. Çalışmada, farklı veri setleri ile denemeler yapılmış ve çok çeşitli bulanık sayılarla çeşitli bulanık grafikler çizebilmek için oran yaklaşımı uygulanmıştır. Farklı dağılımlar ile üretilmiş bulanık sayıların üyelik derecelerinin genel özellikleri araştırılmıştır. Poisson, Binom ve Normal dağılımlarının çeşitli parametre değerleri ile toplam en az yapay sayı üretilmiş, bulanıklaştırılmış ve bulanık kontrol grafikleri çizilmiştir. Bu kesimde, oran yaklaşımı ile bulunan üyelik derecelerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının tahmin edilmeleri üzerinde durulacaktır. Yapılan uygulamalar bir veri seti ile örneklendirilerek hesaplanan üyelik derecelerinin fonksiyonları incelenmiştir. Öncelikle, oran yaklaşımı, farklı bulanık kalite kontrol grafiklerinin çizilmesi için düzenlenmiş ve oran yaklaşımının uyarlamaları C programlama dilinde kodlanmıştır. Minitab 13 paket programında bulanık c ve u kontrol grafikleri için Poisson dağılımına, p ve np kontrol grafikleri için Binom dağılımına ve x, R ve s kontrol grafikleri için Normal dağılıma uyan yapay veriler üretilmiştir. Bu veriler çeşitli parametre değerleri göz önüne alınarak rasgele olarak üretilmiştir. Uygulamalarda kontrol grafiklerinin gösterdiği süreçlerin kontrol altında olduğu varsayılmıştır. Ayrıca, γ ve nın farklı değerleri ile denemeler de yapılmıştır. İlgili bulanık kontrol grafiklerine bağlı olarak üyelik dereceleri hesaplanmış ve bulanık kontrol grafikleri çizilmiştir. Yapılan uygulamalarda hesaplanan üyelik dereceleri ile üyelik fonksiyonu belirlenmiştir. Easyfit paket programında sürekli değişkenler için 61 adet farklı sürekli veri dağılımı 74

86 incelenmiştir. Bu dağılımlar EK 2 de verilmiştir. İki sonuca varılmıştır: Üretilen yapay sayıların dağılımı ne olursa olsun üyelik derecelerinin dağılımları aynı özellikleri gösterir ve üyelik derecelerinin olasılık yoğunluk fonksiyonunun tahmin edilmesinde istatistiksel olarak en iyi sonuçlar hemen hemen her zaman aynı dağılım ile elde edilmiştir. Üyelik fonksiyonun Beta dağılımı olduğu istatistiksel olarak kanıtlanmıştır. Beta dağılımının iki şekil parametresi vardır. Çeşitli uygulamalarla üyelik fonksiyonlarının parametreleri tahmin edilmiş ve bu tahmin edilen değerlerin Beta dağılımının sola çarpık ve zaman zaman tek tepeli olmasını sağlayacak değerler aldığı görülmüştür. Beklenildiği gibi, bulanık sayıların üyelik fonksiyonları simetrik bir dağılıma sahip değildir. Bunun nedeni kontrol grafiklerinde sayıların merkez çizgi etrafında dağılma olasılıkları sınırlara yakın dağılma olasılıklarından her zaman yüksek olması ve oran yaklaşımında bulanık sayıların üyelik derecelerinin merkez çizgiye yakınlıkları göz önüne alınarak değerlendirilmesidir. Çizilen en az bulanık kalite kontrol grafiği uygulamasının bir örneği olarak Binom, Poisson ve Normal dağılımların çeşitli parametre değerleri ile rasgele olarak 1000 yapay sayı üretilmiştir. Öncelikle üretilen 1000 gerçek sayı bulanıklaştırılmıştır. Üçgensel bulanık sayılar, (a, b, c), elde etmek için gerçek sayıların standart sapması hesaplanmış ve bir standart sapma çıkartılıp ve toplanarak bulanık sayıların sırasıyla a ve c değerleri elde edilmiştir. Bulanıklaştırma işleminden sonra bulanık sayıların üyelik fonksiyonları belirlenmiştir. Bu hesaplamalarda γ = 0,33 ve = 0,60 olduğu varsayılmıştır. Son olarak, üyelik derecelerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu tahmin edilmiştir. Şekil 4.4 de birimlik bu örneklemin üyelik dereceleri ile çizilmiş histogram verilmiştir. 75

87 Şekil 4.4 Üyelik dereceleri histogramı Şekil 4.4, bulanıklaştırılmış birimlik örneklem ile süreç kontrol altında iken hesaplanmış üyelik derecelerinin grafiğini göstermektedir. Bu grafik Minitab 13 programı ile çizilmiştir. Grafiğin elde edilmesinde kullanılan üyelik derecelerinin bir kısmı Ek 1 de verilmiştir. Yapılan uygulamalarda birçok veri seti üzerinde farklı γ ve değerleri ve dağılım parametreleri ile çalışılmış bu değerlerin süreç hakkındaki kararı nasıl etkilediği incelenmiştir. Histogramdan görüldüğü gibi üyelik değerleri arttıkça sıklık da artmaktadır. Kontrol grafiğinde kullanılan ve süreci anlatan ilk verinin dağılımı ne olursa olsun sayıların merkez çizgi etrafında olma olasılıklarının sınırlar dışında olma olasılıklarından daha yüksek olması beklenir. Bu nedenle sıklık ve üyelik değerleri ilişkilidir. Uygulamalarda elde edilen üyelik dereceleri Easyfit 5.5 paket programında incelenmiş ve verilere en uygun fonksiyonlar belirlenmiştir. 61 sürekli veri dağılımından en iyi sonuç hemen hemen her zaman Beta dağılımı ile elde edilmiştir. Şekil 4.4 de verilen grafiğin çiziminde kullanılan verilerin dağılımının belirlenmesi için yapılan analizin sonuçlarının bir kısmı çizelge 4.1 de gösterilmiştir. 76