2012-TÜBİTAK ULUSAL FİZİK OLİMPİYATLARI 2.AŞAMA ÇÖZÜMLERİ

Transkript

1 -TÜBİTAK ULUSAL FİZİK OLİMİYATLAI.AŞAMA ÇÖZÜMLEİ ) a) Motorun açısal hızı sabit olduğundan (x,y,z) döne sisteinde denge vardır. Bu duruda cisin ağırlığın, erkezkaç kuvvetinin ve sarkacın üst kısındaki enteşenin torkları toplaı sıfır olur. Böylece topla oentin x bileşeni sıfır olacaktır: K. L.cos G. L.sin. Burada K w L.sin şeklinde erkezkaç kuvvet, G=g şeklinde ağırlıktır. Bu ifade daha açık şekilde Lsin.( Lw cos g) olarak yazılabilir. Bu denklein çözüleri sinθ= ve cosθ=(g/lw ) dir. cosθ duruunda w (g/l) için en azından basit sarkacın rezonans frekansı büyüklüğünde açısal frekansı oluşturan düşey konudan ayrılır. Bu duruda g nin değeri ikinci denkleden; g w Lcos olarak bulunur. b) Sarkacın dönesi xy düzleindedir. Ta şekilde verildiği duruda döneden kaynaklanan etkin potansiyel V et w y w L sin dır. Topla potansiyel, kütle çeki ve döneden oluşur: V gl ( cos ) w L sin. Burada sistein denge durularını potansiyel enerji fonksiyonu V(θ) dv nın türevini alarak inceleyebiliriz. İkinci türev gl sin w L sin.cos dır. Bu denklede sinθ= d θ= ve θ=π, cosθ=g/lw θ=arccos(g/lw ) değerleri yerine konduğunda denkle sıfırı verir. Bu nedenle d V kararlılık için glcos w L (cos sin ) ikinci türev ifadesinin θ değerlerine karşılık gelen d işarete bakılır. θ= için d V d gl negatiftir ve denge kararsızdır. w L θ=π için ikinci türev daia negatiftir. θ=arccos(g/lw ) için dir. Bu ifade w <g/l ise pozitiftir ve denge kararlıdır. Eğer w >g/l ise ifade d V d g w bu ifade pozitif ve çözü kararlıdır. Tü bu nedenlerle konik sarkaç edilebilir. dv( ) gl w L g w L dir. Burada eğer w g/l ise g w c açısal hızı ile karakterize L c) Yukarıda verilen ifadelerden ( cos ) sin ifadesinin grafiği <θ<π aralığında aşağıdaki gibi olur.

2 V(θ)/gL Grafikte sürekli çizgi w =g/l için, Kesikli çizgi w =g/l içindir. (kesikli çizginin ikinci iniuu θ=arccos(g/lw ) ) π θ ) a) Dünya çevresinde ta ekvator üzerinde sabit hızla hareket eden bir uyduyu, ekvatordaki gözlecinin hep aynı noktada görebilesi için uydunun periyodunun yerin periyoduna eşit olası gerekir. Bu duruda uyduya etki eden kuvvetler; GM. ( h) 4 ( h). T dir. Burada h ekvatordan uyduya olan uzaklık, M dünyanın kütlesi, G GMT evrensel çeki sabiti, T ise uydunun periyodudur. Bu denkleden h çekilerek, yükseklik h 4 olarak bulunur. Bu ifadede G=6,67. - N /kg, M=6. 4 kg, T=4.6=864 s, =6,4. 6 ve π = değerleri yerine konarak gerekli işle yapıldığında; h 6. 6 =6 k bulunur. b) Kablo üzerinde alınan küçük d kütlesinin uzunluğu dx, dünya yüzeyine uzaklığı x ve kesit alanı A olsun. Bu duruda tü kablo dünya ile birlikte ve radyal doğrultuda döndüğünden her noktada açısal hız aynıdır; w. Bu duruda d kütlesine etkiyen kuvvetlerin dengesi; d. dt dw. ( ) dir. (Coriolis kuvvetlerinin etkisi yok sayıldı). Bu ifade GM dt x ( x) GM dt dt A.. w ( x). dx A.. dx ( x) / şeklinde yazılabilir. Burada ρ, kablonun hacisel yoğunluğudur. Gerekli en küçük kablo uzunluğu için, d kütlesinin her iki tarafındaki gerile kuvvetini aynı alarak, sonucunda L L GM w ( x). dx. dx integre edebiliriz. İntegral ( x) L GM w ( ) elde ederiz. Bu denklede gerekli sadeleştire yapılırsa, ( L) GM GM L L elde edilir. Bu denklein pozitif kökü L w 4 olur. w Bu ifadede G=6,67. - N /kg, M=6. 4 kg, w=7,7 rad/s, =6,4. 6 değerleri yerine konulduğunda L=74. 6 =74 k bulunur. /

3 GM dt A..[ w ( x) ] nin her iki tarafının integralini alarak ( x) c) Kablonun gerile fonksiyonunu dx belirleyebiliriz. Burada integral sınırları T (,T) ve x (,L) kadardır. Bu duruda kablodaki gerile (aksiu) L GM T. L. w olur. Burada λ=/l kablonun çizgisel yoğunluğudur. ( L) ) d(. v) Yağur dalasının oentuunun zaana göre değişii onun ağırlığına eşittir; g. Burada he dt dv d kütle he de hız zaana göre değişir. Bu ifadede türev alındığında. v. g olur. Buradaki kütle dt dt d dr değişiini k. A. şeklinde belirleyebiliriz. Burada k orantı sabiti, =(4/)πr ρ dalanın kütlesi, A dt dt dalanın kesit alanı, dr/dt=v yağur dalasının yarıçapının değişi hızı, yani dalanın t anındaki hızıdır. Buradaki k=k.λ su dalacıklarının ortalaa yoğunluğu ile orantılıdır. Bu ifadeler üstteki hareket (kuvvet) denkleinde yerine dv K v konularak, gerekli sadeleştire yapıldığında ive, a g olarak bulunur. dt 4 r 4) a) Serbest bırakılan Q yükü he sabit olan +Q yükü tarafından çekilecek, he de hız kazandığından dolayı +y ekseni tarafına doğru anyetik kuvvetin saptırasına aruz kalacaktır. Yük dairesel hareket yapaya zorlanacaktır. Bu duruda çizeceği yaklaşık dairenin diliinin erkezini +Q yüküne birleştiren doğru üzerinde iken +Q yüküne iniu uzaklıkta =/ olacaktır. Başlangıçtaki topla enerji, iniu uzaklıkta iken ki topla enerjiye eşittir: v. (Manyetik kuvvet sürekli parçacığın hareket yörüngesine dik olacağından iş yapaz). Miniu uzaklıkta iken

4 kuvvetler dengesinden; buluruz. QvB v b 9 4 yazabiliriz. Enerji bağıntısından yükün hızını v olarak -Q / b +Q 5 Şeklin geoetrisinde, çeberin kuvvetinden b, buradan da b bulunur. b değeri ve bulduğuuz hız değeri kuvvetler denkleinde yerine konulup gerekli işleler yapıldığında, anyetik alan 9 k. ifadesi B olarak bulunur. b) Manyetik alan βb yapılıp her iki yük aynı anda serbest bırakıldığında, +y ekseni sietri ekseni olak üzere bunun sağında ve solunda eşit dairesel yaylar çizeceklerdir. Yörüngelerin y eksenine en yakın olduğu yer aralarındaki uzaklığın iniu olduğu yerdir. Dolayısıyla iniu uzaklıkta yörünge (çeber) erkezleri arası uzaklık yaklaşık dir. Bu duruda iniu uzaklık =- b olur. Yine enerji korunuundan; ifadesi k B v. v, kuvvetler dengesinden;. v Qv B yazılabilir. İlk denkleden hız bulunup, kuvvet ifadesinde yerine konup gerekli işleler yapıldığında denklei elde edilir. Bu denklein ye göre çözülesiyle yükler arasındaki iniu uzaklık bulunur. Bu değer (/) koşuluna uyar. β nın değeri arttıkça nin değeri artar. (Bu denklein ye göre iki kez türevi alınarak k B yaklaşık çözüü bulunabilir). 5) Yarıçapı olan sabit ve yalıtkan bir halkaya kütlesi ve yükü q olan bir boncuk geçiriliş, halka yatay olarak düzgün bir B anyetik alana konuluş. Manyetik alan çizgileri halka düzleine dik olup, t= anından itibaren B(t)=B +αt şeklinde değişiyor. Halkadaki anyetik akı değişii sonucu q yüklü boncuk harekete geçer; db E. dl. Her hangi bir t anında yüke etkiyen kuvvetler; ağırlık, anyetik kuvvet, erkezkaç dt kuvveti ve halkanın tepki kuvvetidir.

5 a) Boncuğun halkaya uyguladığı kuvvet; N F b F G F =v /, G=g, F b =qvb ve N kuvvetlerinin dengesinden bulunur. B zaanla arttığından yatayda halkaya daha büyük etki yaptığını varsayabiliriz (erkezkaç bundan F b den doğar). Bu duruda; v N ( g) qv( B t) yazabiliriz. Burada hızı enerjinin korunuu ve Faraday ilkesini d( B t) q kullanarak; ve q v den v şeklinde buluruz. Bunu tepki dt kuvveti denkleinde yerine koyup biraz sadeleştire yaptığıızda, tepki kuvvetini q N ( g) ( B t) q şeklinde elde ederiz. b) α> için B zaanla artar ve yukarıdaki bağıntı elde edilir. dn/dt= ve d N/dt > veya d N/dt < aksiuiniu ve artan-azalan duruları bulunur. Örneğin dn/dt= dan t B q bulunur. Bu t değeri N ifadesinde yerine konursa N=g sonucu elde edilir. Bu N nin iniu değeridir. α< için B zaanla azalır, bu duruda hareket ters yönlü olur. Yine bunun da aksiu-iniu noktaları yukarıdaki yönteden bulunur. c) Karekök içindeki büyük parantezli teriin birii Newton dur. Bu teriin ilk kısı aslında qvb den oluşaktadır. kg. / s kg Bu duruda B=F/qv olur. Bunun birileri yazılırsa; B olur. C. / s C. s 6)

6 9-θ N θ N θ h γ β h α α 9-θ θ N H yüksekliğinde gelen ışının yansıa ve kırılaları şekildeki gibidir. Buradaki N, N, N yüzeylerin noralleridir. Bu duruda açılarla ilgili geoetrik ve trigonoetrik bağıntılar, kırılaların olduğu yerde de Snell yasası kullanılabilir. a) Bu duruda; α+β=9+θ, soldaki ışınların oluşturduğu yaukta α+8-θ=8 den α=θ, N noraliyle oluşan üçgende α+β=9-θ dan β=9-θ bulunur. Sağdaki kırıla için Snell yasasından n.sinβ=sinγ, buradan n.sin(9- sin sin θ)=sinθ ve kırıcılık indisi n olarak bulunur. cos 4.cos b) Işın yüksekliği değişe oranı h /h yi ikinci bölgedeki yansıyan ışınların oluşturduğu üçgene sinüs teoreini uygulayarak bulabiliriz. Bu duruda N norali ile N norali arasındaki yansıyan ışının uzunluğu h /sinθ, N ve N noralleri arasındaki ışının uzunluğu h /sinθ olur. Sinüs teoreinden h h sin 4.sin sin bulunur. Buradan biraz uzun trigonoetrik ve cebirsel işle sonucu bu oran kırıcılık indisine bağlı olarak; h h n n n n şeklinde bulunur. c) θ=45 iken n olduğundan geçerli değildir. Bu duruda h /h = olur, ki bu ışığın kırıladığı anlaına gelir. Kırılanın oladığı duruda (9 hariç) kırıcılık indisleri eşit olacaktır. Kırıcılık indisi he havanınkine eşit he de negatif, ki bu da çelişkidir. (Son dönelerde negatif kırıcılık indisli kristaller keşfediliş, bunlarla ilgili akadeik çalışalar deva etektedir). 7)

7 Gaza ısı verildiğinde yavaş yavaş cıvayı yükselterek silindir kaptan dökülesini sağlıyor. Bu duruda gaz üzerinde yapılan iş he gazın ısıtılası he de iç enerjisinin değişii sonucudur. Bu süreci bir politropik süreç olarak ele alabiliriz. Bu duruda gaz için -V grafiği şekildeki gibi olur. T =T =K T T /V /4V V V İlk duruda n= ol ve T =K olan ideal gaz dengede olduğundan;.v=n..t ideal gaz yasasından. V.. V =5 olur. Süreci politropik aldığıızdan, ilk ve son durular arasında V V V ( V ) politropik süreç için politropik duru denkleinden; ln( / ) ln( / ) ve buradan α sabiti,, 7 olarak bulunur. Yine T T T,7,7 ve buradan son sıcaklık T =5 K olarak bulunur. Bu süreçte enerjinin korunuu bağıntısını ΔQ=ΔU+W olarak yazabiliriz. Bu duruda; U ( T T ),5. ve W ( T T ) 8,6. şeklinde olur. Buradan sistee verilen iniu ısı ΔQ=(-,5+8,6)=68,. olarak bulunur. Şidi gazın haci /4V olduğunda gazın olar ısı sığasını bulalı. olitropik süreçte basınç V V 4 =(8/9) β şeklinde bulunur. Bu duruda T =.(8/9) β- olur. Buradan β α alınırsa; T = 76K bulunur. Bu duruda yine enerjinin korunundan (terodinaiğin I.yasasından) Q C. T T ( T T ) ( T T ) yazılabilir ve buradan da C olarak bulunur. Alfanın değerini yerine yazdığıızda olar ısı sığasını C=,9. olarak buluruz.(bu değer ΔQ/ΔT=C den de bulunabilir). 8)

8 8 T T T 4 T V V 4V 8V V - ve -4 aralığındaki süreçler izobarik, - ve 4- aralığındaki süreçler politropiktir. Tü bu süreçlerde sistein veriini bulaız için; her aralıkta ısıyı, iç enerji değişiini ve yapılan işi bulalıyız. - aralığında; ideal gaz denkleinden V /V =T /T den /=T /T, buradan da T =T bulunur. Buradaki T = V /n=8 V /n olarak yazılabilir. Terodinaiğin I.yasasından (enerjinin korunuu), ΔQ=ΔU+W dan ΔQ =C p.(t -T )=C p T =(/)n(t -T )+ 8 (V -V )= (5/)nT olur. Burada ısı iş yapıştır (pozitif). - aralığında;.v α = V α eşitliğinden 8 (V ) α = (V ) α, buradan da α=/ bulunur. olitropik duru T T denkleinden; T 8 T =T bulunur. Yine terodinaiğin birinci yasasından; T ΔQ = ΔU +W terilerini bulalıyız. ΔQ =C.(T -T )=C.T, ΔU =(/)n(t T )=(/)nt, W n. T T nt bulunur. Bu ifadeler enerji korunuunda yerine konulduğunda; 7 Q C. T nt elde edilir. Burada gaz soğuuştur (negatif). -4 aralığında V /V 4 =T /T 4 den 8V /4V =T /T 4 ve buradan da T 4 =T / bulunur. Yine burada ΔQ 4 =C p.(t 4 - T )=C p (T /)=(/)n(t /)+4 V =(5/4)nT olur. Burada da gaz soğuuştur (negatif). 4- aralığında süreç politropik olduğundan, politropik duru denkleini kullanabiliriz; değerler yerine konursa 8 T T T T 4 burada den bulunur. Yine bu - sürecine benzer olarak; ΔQ 4 =C.T / T 5, ΔU 4 =(/4)nT ve W 4 =(/)nt elde edilir. Bu duruda enerjinin korunuundan Q4 C' nt 4 ifadesi elde edilir. Bu duruda sıcaklık artıştır (pozitif). Q Q verilen alılın Veri;, bulunur. Q verilen Çözüler: Mehet Taşkan Kaynak: