ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

Transkript

1 ANADOU ÜNİVESİESİ İİM VE EKNOOJİ DEGİSİ ANADOU UNIVESIY JOUNA OF SCIENCE AND ECHNOOGY Cil/Vol.:-Sayı/No: : AAŞIMA MAKAESİ /ESEACH AICE EİSİZİK İÇEEN VE DOĞUSA OMAYAN OO KOAININ GÜÜZ DENEİMİ Güyaz AAY, Ahme UÇA ÖZ elirsizlik içere ve doğrusal olmaya robo kollarıı deeimi içi bir doğrusal olmaya gürbüz deeleç öerilmişir. Kapalı çevrimli sisemi kararlılığı yapuov yöemiyle sağlamış ve kapalı çevrim performasıı iyileşirilmesi içi deeim paramerelerii ayarı yapılmışır. Yapısal olarak deeleç doğrusal ve doğrusal olmaya iki kısımda oluşmakadır. Doğrusal deeim kazaçları lieraürde Q olarak bilie doğrusal kuadraik regülaör yöemi kullaılarak gerçekleşirilmişir. Deeleci doğrusal olmaya kısmı ise sisemdeki doğrusal olmaya elemalar ve belirsizlikleri karşılamak içi iki koumlu bir doğrusal olmaya elema içermekedir. Aahar Kelimeler : Doğrusal olmaya sisemler, Doğrusal olmaya deeim, elirsizlik içere sisemler, obo kolları. OUS CONO OF UNCEAIN AND NONINEA OOIC MANIPUAOS ASAC A robus oliear corol is proposed for corol of he oliear ad ucerai roboic maipulaors. he closed loop sabiliy is achieved by employig yapuov sabiliy heory. he corol parameers are adjused i order o achieve he desired closed loop performace. he coroller has liear ad oliear pars. he gais of liear par are based o liear quadraic regulaor, ad he oliear par of he coroller has bag-bag characerisic o cope wih olieariies ad uceraiies. Keywords: Noliear sysems, Noliear corol, Ucerai sysems, oboic maipulaors., he Ohio Sae Uiversiy, Nuclear Egieerig Program, Columbus, OH, USA., Fıra Üiversiesi, Elekrik-Elekroik Mühedisliği ölümü, 9 Elazığ, ürkiye. E-posa: aucar@fira.edu.r, Faks: Geliş: 8 Kasım 5; Düzelme: emmuz 6; Düzelme: Mar 7; Kabul: 9 Ocak 8

2 68. GİİŞ Fiziksel sisemler yapıları gereği veya robolarda olduğu gibi aşıdıkları yüklerdeki belirsizlike dolayı doğrusal olmaya elemalar ve belirsizlik içerirler. Ayrıca belirsizlikler sisemi bilimeye paramereleride, aımlaması zor ola doğrusal olmaya iceliklerde ve modelleemeye diamiklerde de meydaa gelebilir Sloie ve i, 99, roga, 99. u ip sisemleri deeimi içi birçok deeleç gelişirilmişir Sloie ve i, 99, reil ve eima, 987, eima, 98, Corless, 99. reil ve eima arafıda reil ve eima, 987 de öerile deeleç bularda biri olup belirsizlik içere doğrusal birçok sisem içi asarlamış ve uygulamada ekiliği kaılamışır. Öerile deeleç doğrusal ve doğrusal olmaya iki kısımda oluşmakadır. Doğrusal deeleç omial sisemi kararlılığıı ve hedeflee geçici rejim performasıı sağlayacak biçimde asarlaır. Doğrusal olmaya deeleç ise belirsizlikleri ekisii karşılamak ve kapalı çevrimli sisemi kararlılığıı sağlayacak şekilde asarlaır. So yıllarda robo kolları gibi karmaşık ve diamik modellere sahip ola sisemleri para- Aadolu Üiversiesi ilim ve ekoloji Dergisi, mere ve model belirsizliklerie gürbüz deeleyici asarımı giderek yaygılaşmakadır Corless, 99. u çalışmada reil ve eima, 987 de öerile deeleç, doğrusal olmaya ve sisem girişide belirsizlik içere iki eklemli bir robo kolua uygulaarak, robo kolları uygulamaları içi bu deeleci ekiliği göserilecekir. u girişe sora yayıı ikici bölümüde sisem aımı ve formülasyou verilecekir. Deeim asarımı üçücü bölümde verilmişir. Dördücü bölümde Sloie ve i, 99 de verile iki eklemli doğrusal olmaya bir robo kolu modeli içi deeleç asarlamışır. Uygulama yapılırke, roboik maipülaörleri içerdikleri belirsizlikler dikkae alımışır. Elde edile souçlar beşici bölümde verilmiş ve arışılmışır.. SİSEM ANIMI VE FOMÜASYON elirsizlik ve doğrusal olmaya elemalar içere fiziksel bir sisemi durum uzay diyagramı, durum vekörü, u r l deeim vekörü ve v giriş vekörü olmak üzere; [ α ] [ ] A A u Hv, olarak aımlaabilir reil ve eima, 987. urada A sisem marisi, r l giriş marisi ve H girişe uygulaa bozucu marisidir. α parameresie bağlı A α sisem marisideki belirsizlik ve parameresie bağlı giriş marisideki belirsizlikir. Hv erimi girişeki belirsizlikleri ve sisemi doğrusal olmaya kısmıı belirir. Sisemi durum değişkelerii ölçülmeside oluşa haalar w ile aımlaırsa, sisem çıkışı da; y C w m olur. urada y çıkış vekörü, m C çıkış marisi ve w ölçme devreside oluşa haadır. Eşilik ve deki sisemi omial kısmı, A u, y C dir. Eşilik ve de verile sisem içi reil ve eima, 987 deki kabuller gereği; p. α ve s olmak üzere, A ve p s sırasıyla ve de sürekli foksiyolardır. p. Uygu uzayları üm alkümeleri A, s l, V ve m W olmak üzere, α : A, :, v: V ve w: W belirsiz paramereleri ebesgue ölçülebilirler urk, 998. Yai belirsiz paramereler, zamaa bağlı olarak belirli bir aralıka sıırlı, durum değişkelerie bağlı olarak bölgesel sıırlı ve sürekli foksiyolardır.. Eşilik deki sisemi doğrusal olmaya kısmıı ve sisemdeki belirsizlikleri deeim siyali u i içie alıabilir olduğu varsayılmışır reil ve eima, 987. u sıırlı şarı sağlaya birçok sisem vardır armish vd. 98, eima ve Wa, 979, Hamamci

3 Aadolu Uiversiy Joural of Sciece ad echology, 69 ve Uçar,. öylece, G, p de sürekli s ve E, de sürekli uygu boyua maris foksiyoları ile uygu boyua F sabi marisi içi, A α G α α A 5a E 5b H F 5c dir.. Eşilik e verile sisemi üm durum değişkeleri ölçülebilirdir ve sisemi omial kısmı A, üm durum deeleebilirdir. urada amaç, Eşilik de verile ve yukarıdaki şarları sağlaya, belirsizlik içere ve doğrusal olmaya roboik sisemi yörügelerii seçile durum değişkelerii başlagıç şarları içi sıfıra veya sıfıra yakı bir bölgeye asimpoik olarak ulaşmasıı ve sürekli durumda orada kalmasıı sağlayacak uygu bir durum geribeslemeli deeleç asarlamakır.. DENEİM ASAIMI Deeim siyali, aşağıdaki bölümlerde deaylı olarak aımladığı ve Eşilik 6 da belirildiği gibi, doğrusal u l ve doğrusal olmaya u deeleçlerii oplamıda oluşmuşur. u u u 6 l. Doğrusal Deeleç Doğrusal deeim asarımı Eşilik i sadece Eşilik ile verile omial kısmı esas alıarak yapılır. Doğrusal deeleci amacı, omial sisemi kararlılığıı sağlamak ve hedeflee geçici rejim yaııı oluşurmakır. urada opimal doğrusal kuadraik regülaör Q yöemi Frakli vd. kullaılarak asarım yapılacakır. Kuadraik performas ideksi Q poziif simerik durum ağırlık ve poziif simerik deeim ağırlık marisleri olmak üzere; J Q ul ul d 7 dir. Dekle 7 ile verile performas ideksii miimize ede opimal kazaç marisi K, idirgemiş iccai maris deklemide elde edilebilir Frakli vd.. Zamala değişmeye, doğrusal sisemi opimal deeimi içi, Eşilik 8 ile verile idirgemiş iccai maris deklemii çözümüde, A P P A P P Q 8 poziif aımlı ve simerik P marisi elde edilir. öylece deeleci doğrusal kısmı, durum geribeslemeli deeim olduğuda ul ul olarak aımlaırsa; u l P K 9 dir. Uygu Q ve ağırlık marisleri seçilerek opimal durum geribeslemeli deeleç ile omial sisemi hedeflee geçici rejim davraışıı gösermesi sağlaır roga, 99. Eşilik 7 de verile performas ideksii miimize edecek şekilde; Q marisi hedeflee kapalı çevrimli sisemi geçici rejim performasıı belirleyecek şekilde, marisi praike korol işareii saurasyoa doyuma sokmayacak şekilde seçilir.. Doğrusal Olmaya Deeleç Doğrusal olmaya deeim Eşilik de verile sisemi ümü esas alıarak asarlaır. Doğrusal olmaya deeimi amacı, belirsiz paramereleri ve sisemi doğrusal olmaya kısmıı ekisii karşılamak ve kapalı çevrimli sisemi kararlılığıı garai emekir. Eşilik eki omial sisem ve Eşilik 9 da verile deeleçe oluşa kapalı çevrimli sisemi kararlı sisem marisi, A A K ve Q poziif aımlı ve simerik maris olmak üzere; P aşağıdaki yapuov deklemii çözümüdür: P A A P Q urada P poziif aımlı ve simerik marisir. Deeleci doğrusal olmaya kısmı u durum değişkeleri i foksiyou olduğuda u u olarak aımlaırsa ve ε > deeim asarımcısı arafıda belirlee yeerli derecede küçük değerli bir sabie bağımlı olmak üzere;

4 7 P ρ, P u P ρ, ε P > ε içi P ε içi dir. Eşilik de verile ρ foksiyou, ilerideki aımda da görüleceği gibi, durum değişkelerii değişim aralığıa ve belirsiz paramereleri maksimum değerie bağlıdır. Eşilik 6 da verile deeleç u K u ve Eşilik 5 e aımlaa kabuller Eşilik de yerie yazılırsa; Aadolu Üiversiesi ilim ve ekoloji Dergisi, [ A A α ] [ ] u Hv [ AK] u [ G α E K E u Fv] olur. üm belirsizlikler ve doğrusal olmaya elemaı maksimum değişim aralığı e, de bir araya oplaırsa; e, G α E K E u Fv olur. öylece kapalı çevrimli sisem, [ u e, ] A formuda olur. Eşilik de aımlaa e, i ormu; e, G α E K E u ma G α α A ma E K Fv ma E u ma Fv v V ρ dir. urada ma E u ma E ρ olarak yazabiliriz. öylece e, işarei; e, ma G α ma E K ma E ρ ma Fv ρ α A v V 5 olur. urada ρ eşiliği, ρ ma G α α A ma E K ma E ρ ma Fv v V ρ ma E ma G α α A ma E K ma Fv v V olarak elde edilir. Öerile doğrusal olmaya deeleci aımlaabilmesi içi, ma E > ρ ma E 6 ma G α ma E K ma Fv α A v V şarı sağlamalıdır reil ve eima, 987. Eşilik 6 ile verile şar, sisemi giriş mariside belirsizlik varsa sağlamalıdır. öylece ρ yalız bırakılarak; 7 olarak buluur. öylece Eşilik de aımlaa deeleci doğrusal olmaya kısmıı kasayısı ρ aımlamış ve belirlemiş olur. Eşilik 6 sağlamak şarıyla, ρ : olarak aımlaırsa, ρ ma E a b G E K Fv ma α ma ma α A v V 8 olarak buluur. urada,

5 Aadolu Uiversiy Joural of Sciece ad echology, 7 a ma E ma Fv, v V - - b ma E ma G α ma E K α A dir. Eşilik 7 ve 8 deki aımlarda görüldüğü gibi, ρ ρ 9 eorem : Eşilik de aımlaa ve - şarlarıı sağlaya sisemi Eşilik 9 ve de aımlaa deeleçler ile oluşurduğu kapalı çevrim diamiği kararlıdır ve Eşilik eki omial sisem içi Eşilik 7 deki hedeflee performas ideksii sağlar. İspa: Eşilik e verile kapalı çevrimli sisem içi yapuov foksiyou, V P >, olarak alıırsa, V i ürevi; V P P [ A u e] P P [ A u e] A P u P e P P A P u P e dir. urada V skaler bir foksiyo olduğuda birbirii devriği ola u P P u ve e P P e eşilikleri Kolma ve Hill, ile V [ A P P A] P [ u e] A P P A P u P e olarak yazılabilir. urada, Eşilik da verile, P A A P Q yapuov deklemi ile [ u e] V Q P olur. V <, i egaif aımlı olması içi Eşilik i sağıdaki ikici erim, [ u e, ] M P skaler iceliğide M olması yeer koşuldur. ölüm. gereğice A A K marisi kararlı olduğuda poziif aımlı ve simerik Q marisi içi P marisi poziif aımlı ve simerik bir marisir. İşlem kolaylığı içi δ P alıırsa M δ u e olur. Eşilik e e, ρ ve Eşilik deki doğrusal olmaya deeleci ilk durumu δ > ε içi, δ u δ δ e δ ρ e δ ρ δ e δ δ δ ρ δ e, δ δ δ δ δ ρ δ ρ olur. Eşilik deki doğrusal olmaya deeleci ikici durumu δ ε içi, δ u δ δ δ ρ δ e e ρ δ e ε ε δ ρ δ e, δ δ δ ε ρ δ δ ρ ε 5 olur. Eşilik 5 i δ ya göre sağ arafıı maksimize edersek 5, ε δ ε ρ ε ε δ u e ρ ρ ε buluur. Eşilik 6

6 7 olur. öylece δ u e i e büyük değeri ε δ u e ρ olarak buluur Payadeh, 995. u ifade V de yerie koursa, ε V Q ρ 7 olarak elde edilir. üm ve üm değerleri içi, ε Q ρ > 8 şarı sağlaırsa, yapuov foksiyouu ürevi, V, <, 9 olur. Kapalı çevrimli sisemi kararlı olduğu başlagıç şarlarıı değişim aralığıı aımlaması: Eşilik daki poziif aımlı Q marisii e küçük özdeğeri λ mi Q > ve e büyük özdeğeri λma Q > olmak üzere Sloie ve i, 99 de verile, Aadolu Üiversiesi ilim ve ekoloji Dergisi, λ mi Q Q λma Q eşisizliği kullaılırsa, Eşilik 8, λ ε Q ρ mi > olarak yazılabilir. Eşilik 9 da dolayı Eşilik 8 de verile ρ a b ifadesi Eşilik de kullaılırsa, ε ε λ mi Q b a > olur. Eşiliği her arafıı λ Q ile çar- ε palım ve eşiliğe 6 b karalım. [ ] mi erimii ekleyip - çı- ε ε λmi Q λmi Q b λmi Q a > ε ε ε λmi Q b > λmi Q a b 6 urada η deirse ve λ mi Q > olduğuda; ε ε ε ε ε mi Q a b mi Q b mi Q a b λ λ η λ 6 > > 6 olarak yazılabilir. urada, olabilecek e büyük yarıçap değerii elde edebilmek içi, Eşilik ü sağ arafıdaki erimi poziif değeri alıırsa, ε ε ε b λmi Q a b 6 η > 5 λ Q olur. Souça, mi ε ε ε η λ mi Q λ mi Q λ mi Q 6 b b a olarak buluur. merkezli ve η yarıçaplı, η küresi aımlası. üm η ve üm içi Eşilik 9 da verile V, < şarı sağlamış olur. Eğer η ise, sisem yie kararlıdır; faka sisem orijie göre asimpoik kararlı değildir. Kapalı çevrimli sisem, oriji erafıda seçile ε değeri ile belirlee bölge içi asimpoik kararlıdır. Eğer ε yeerice küçük sıfıra çok yakı seçilirse sisemi orijie göre asimpoik kararlılığı yaklaşık olarak sağlaabilir. Acak ε sabiesi sıfıra yaklaşıkça korol siyalide, uygulamada soru ola, çaırdama deile yüksek frekaslı osilasyolar görülebilir. η ile belirlee küre e köü olasılıklara göre aımladığıda, praike bu bölge oldukça küçük olabilir. Dolayısıyla sisem yörügesii bu bölge içeriside olma şası oldukça düşük bir olasılıkır. ozucuları ve

7 Aadolu Uiversiy Joural of Sciece ad echology, 7 ölçüm haalarıı olmadığı durumda, ε içi ı asimpoik kararlılığı da sağlaır. Nomial sisem içi hedeflee performası sağladığı bölüm. de verilmişir.. Deeim Paramerelerii Ayarlaması Eşilik 9 ve de verile deeleçleri birlike asarımıda, Eşilik 8 ile verile idirgemiş iccai deklemideki Q ve ağırlık marislerii seçimide ve Eşilik ile verile yapuov deklemideki Q ağırlık marisii seçimide serbeslikler vardır reil ve eima, 987. Deeleci doğrusal kısmıı asarımı Eşilik ile verile omial sisem emel alıarak yapıldı. Hedeflee geçici rejim davraışı Eşilik 8 ile verile idirgemiş iccai deklemide Q ve ağırlık marisleri uygu seçilerek sağladı. marisii elemalarıı geliği arıkça kapalı çevrimli sisemi korol siyalii geliği azalır ve marisii elemalarıı geliği sıfıra yaklaşıkça korol siyalii geliği arar. Eğer deeim ağırlık marisi,, birim maris, I K, olarak seçilirse kapalı çevrimli sisemi hedeflee performası yalızca Q marisii elemaları ayarlaarak elde edilebilir. öylece Eşilik 9 aşağıdaki gibi olur. u l P 7 Doğrusal olmaya deeleçeki poziif ρ foksiyou belirsiz paramereleri ve doğrusal olmaya elemaı maksimum değerie ve durum değişkelerii değişim aralığıa bağlıdır. P birim vekörü geribeslemei işareii P belirler. u ifade sisemi geribeslemei işareii belirleye sigum işare foksiyoudur. Sigum foksiyouu aımı aşağıdaki gibidir., > sg,, < 8 Eşilik deki deeleci ε durumudaki aaharlama düzlemi içi bir aaharlama bölgesi aımlaya aşağıdaki maifold düşüülürse, { P } N ˆ 9 Eşilik ile verile deeleç, N düzlemii yörüge doğrulusuu ve yöüü çekici yapar. Yai her durumda sisem yörügesi aaharlama bölgesie girdike sora orijie doğru ilerler ve N düzlemii ε yakı civarıda kalır. Deeleci doğrusal olmaya kısmıdaki ρ foksiyouu değeri arırılarak N i çekiciliği daha da arırılabilir. Şimdi de aşağıdaki maifoldu düşüelim, { P } N ˆ Sisem yörügesi N düzlemi boyuca ilerlediğide, Eşilik de verile e, haası, N içi, E u F v e, G α olur. öylece Eşilik 7 ile verile doğrusal olmaya deeleci kasayısı ρ, ρ ma E ma G α ma Fv α A v V olur. Eğer Eşilik ile yi ve Eşilik ile 7 yi karşılaşırırsak ma E K erimii yok olduğu görülür. ma E K erimi, N düzlemii yakı civarıdaki sisem yörügesi içi küçük değerler alır. aşka bir deyişle sisem yörügei N düzlemii yakı civarıda kalması içi doğrusal olmaya deeim büyüklüğü ρ ve e, haası azalılmalıdır. u iki erimi değeri sisem marisideki belirsizliği vere G α ve sisemi doğrusal olmaya elemaıı ve girişeki belirsizlikleri içere Fv erimi arafıda belirleir. Eğer aşağıdaki şar sağlaırsa, N N o zama e, haasıı küçük olduğu ve doğrusal olmaya deeim büyüklüğüde

8 7 daha küçük olduğu bir bölgeye sisem yörügesii girmesi ve orada kalması sağlaabilir. Eşilik ile verile şar, P P seçilerek sağlaabilmelidir reil ve eima, 987. öylece iccai deklemii çözümüde elde edile P, yapuov deklemii çözümüde P i yerie koulabilir. Daha öce belirildiği gibi P ve P poziif aımlı marislerdir. uula beraber P ve P i poziif aımlılığı Eşilik da verile Q i poziif aımlılığıı her zama sağlamayabilir. u yüzde Q marisii poziif aımlı olup olmadığıı belirlemesi içi Eşilik ile verile yapuov deklemide mulaka deeim edilmesi gerekir. Doğrusal deeleci e, haası üzeride ekisi olduğu gibi, doğrusal olmaya deeleç üzerie de ekisi vardır. uula beraber e, ve bua bağlı ola ρ değerlerii daha fazla azalılması sisemi doğrusal olmaya elemaıı ve girişeki belirsizlikleri içere Fv i sıırlaması gibi sadece büyük sıırlamalarla mümküdür. Aadolu Üiversiesi ilim ve ekoloji Dergisi,. UYGUAMA u bölümde belirsizlik içere ve doğrusal olmaya iki eklemli robo kolu modelii deeimi yapılacakır. Düzlemsel m eklemli bir maipülaör diamiğii geel deklemi, q ve q sırası ile eklemlerdeki açısal yer değişirme ve açısal hız τ maipülaör eklemlerie uygulaa mome olmak üzere; H q q C q, q q g q τ 5 dir. urada H q simerik maris formuda maipülaörü aale momei, C q, q merkezcil ve Coriolis mome marisi ve gq yerçekimi mome vekörüdür. Şekil de verile iki eklemli, m, maipülaörü diamik deklemi açık formda, H H H H q hq h q q q τ q hq q τ 6 olarak yazılabilir Sloie ve i, 99. urada maris elemaları ve sabieler; H a a cosq a si q H H a a cosq a si q H a h a si q a cosq a I a a a I e m l m l l e ce m l l e ce c m l e ce I cosδ siδ e e e m l e ce m l e dir. Sabieleri m, l, m e, δ e, I., l 5 c., I e. 5, l ce.6, değerleri, [ ] [ q q q q ] durum değişkeleri ve [ u u ] [ ] τ τ deeim siyalleri olmak üzere, Eşilik 7 deki iki eklemli maipülaörü durum uzay formu simülasyoda kullaılmışır.

9 Aadolu Uiversiy Joural of Sciece ad echology, 75 q q δ e l c l l ce m e I m I e y ilimeye Yük Şekil. İki eklemli bir robo kolu u u 7 Deklem 7 deki sisemi omial kısmıı marisleri; , A dir. Sisemdeki belirsizlikleri ümü sisemi giriş marisi de olduğuda dolayı;,,, i i belirsizliklerii içere giriş marisi ve doğrusal olmaya elemaları içere H marisi; , H olur. obo koludaki ögörülmemiş sürüme, burulma ve eğilme gibi diamik yüklerde kayaklaa paramere belirsizlikleri vardır. urada sisemi omial giriş marisi i elemalarıı %5 si oraıda bir belirsizlik olduğu varsayılırsa ve marisi simerik olduğuda belirsizlikleri değişim aralığı., 85. ve 5. olur. öylece Eşilik 5 e dolayı E ve F marisleri;

10 76 E H F olarak buluur. Kapalı çevrimli sisem, A u e, 8 olur. üm belirsizlikler ve doğrusal olmaya elemaları maksimum değişim aralığıı içere e, foksiyou; e, E u E K Fv olduğuda, e, i ormu alıırsa aşağıdaki orm eşisizliğii sağlar. e, ma E K ma E ρ ma Fv ˆ ρ Souç olarak, ρ foksiyou, v V v V ρ ma E ma E K ma Fv 9 olarak elde edilir. urada ρ ρ ρ dir. [ ] Doğrusal Deeleç asarımı: Eşilik 9 da verile doğrusal deeleci kazaç marisi, Eşilik 7 de hedeflee performas ideksidekii sağlamak üzere kapalı çevrim performas ağırlık marisi Q diag[,,, ] deeim siyalii sıırladıra ağırlık marisi [ ] diag, ve omial sisem içi Eşilik 8 de verile iccai deklemii çözümüde elde edile, P marisi içi, K P de doğrusal deeleç; Aadolu Üiversiesi ilim ve ekoloji Dergisi, E 5.6 F u l [.5]..55. K olur. u durumda omial sisemi karakerisik poliomal deklemii kökleri λ,.985 ± j.79, λ. 8 ve λ.988 dir. Doğrusal Olmaya Deeleç asarımı: Eşilik deki doğrusal olmaya deeleç bölüm. e verile sigum foksiyou ile ekrar yazılırsa; ρ sg P, u ρ P, ε P > ε içi P ε içi 5 olur. urada Q diag,,, içi Eşilik da verile yapuov deklemii çözümüde; P P yi [ ] olarak elde edildi. öylece Eşilik 5 deki P marisi, P olur. yapuov deklemide P yerie P kullaılırsa elde edile Q i yie poziif aımlı olduğu görülür. Simülasyo Souçları: Yukarıda asarlaa doğrusal deeleç, u l ve ε. poziif sabiesi içi doğrusal olamaya

11 Aadolu Uiversiy Joural of Sciece ad echology, 77 deeleç u Şekil deki sisemi maemaiksel deklemi 7 de, u [ u u ] yerie yazılarak sisem Malab/SIMUINK oramıda modelledi. Durum değişkelerii başlagıç şarları,,, ] [,,,] [ P içi sisemi zama yaıı Eşilik 5 deki ve Eşilik 5 eki P içi, belirsizlikleri maksimum, miimum değerleri ve omial sisem kullaılarak elde edildi. Şekil, sisemi durum değişkeii zamaa göre değişimii belirsizliği üç maksimum, miimum ve sıfır durumua içi gösermekedir. Şekil de görüldüğü gibi sisemi hedeflee geçici hal performası, belir- sizliği maksimum ve miimum değerleride omial sisem performasıa göre az bir değişiklik gösermekedir. Şekil de verile performası sadece doğrusal deeleç Q asarımı ile sağlamayacağı açıkır. Şekil ve e sırası ile sisemi deeim işareleri u ve u değişimii vermekedir. u ve u deeim işare geliklerii belirsizliği üç durumu içi az bir değişiklik göserdiği ve sıırlı bir alada değişerek sürekli durumda sıfıra yakı bir değişim göserdiği Şekil ve e görülmekedir. Ayrıca Şekil ve eki deeim siyalleri doğrusal olmaya diğer deeleçler ayır ve Uçar, ile karşılaşırıldığıda, paramere değişimie karşılık geliklerii az değişmesi ve çaırdamasız oluşları praik uygulamalar içi öemli bir özellikir... mi ma omial Şekil. Eşilik 5 deki P ve Eşilik 5 eki P ve durum değişkeleri başlagıç şarları [,,, ] [,,,], belirsizlikleri miimum, sıfır ve maksimum değerleri içi; durum değişkeii zamaa göre değişimi. s

12 78 Aadolu Üiversiesi ilim ve ekoloji Dergisi, u.5 mi ma omial Şekil. Eşilik 5 deki P ve Eşilik 5 eki P ve durum değişkeleri başlagıç şarları [,,, ] [,,,], belirsizlikleri miimum, sıfır ve maksimum değerleri içi; u deeim siyali. s.7 u.6.5 mi ma omial Şekil. Eşilik 5 deki P ve Eşilik 5 eki P ve durum değişkeleri başlagıç şarları [,,, ] [,,,] belirsizlikleri miimum, sıfır ve maksimum değerleri içi; u deeim siyali. s

13 Aadolu Uiversiy Joural of Sciece ad echology, 79 ölüm. e arışıla deeim paramerelerii ayarlaması kısmıda belirildiği gibi P P alıırsa, yai yapuov deklemide elde edile Eşilik 5 eki P marisi yerie iccai deklemide elde edile Eşilik 5 deki P marisi kullaıldığıda Şekil, ve eki simülasyoda kullaıla sisem değerleri içi, simülasyo souçları Şekil 5, 6 ve 7 de verilmişir. Şekil 5, 6 ve 7 de sırası ile sisemi durum değişkeii zamaa göre değişimi, u deeim siyalii zamaa göre değişimi ve u deeim siyalii zamaa göre değişimi verilmişir. Şekil - eki ve Şekil 5-7 ile verile si- mülasyo souçları karşılaşırıldığıda ölüm. e de belirildiği gibi kapalı çevrimli sisemi performası daha da iyileşmişir. İki şekilde de deeim siyalii e büyük değerlerii heme heme ayı maksimum gelike oldukları görülmekedir. Yie deeim paramerelerii ayarlamasıyla deeim siyallerideki < < 5 zama aralığıdaki değişimlerii daha iyi olduğu ve sürekliliği arığı görülmekedir. Ayrıca sisemi sürekli durum haası ilk duruma göre iyileşmişir. öylece deeim paramerelerii ayarlamasıyla kapalı çevrimli sisemi performasıı daha da arığı ve sisemi belirsizliklere karşı daha da gürbüz hale geldiği Şekil 5-7 de açıkça görülmekedir... mi ma omial Şekil 5. Eşilik 5 deki P P ve durum değişkeleri başlagıç şarları [,,, ] [,,,], belirsizlikleri miimum, sıfır ve maksimum değerleri içi; durum değişkeii zamaa göre değişimi. s

14 8 Aadolu Üiversiesi ilim ve ekoloji Dergisi, u.5 mi ma omial Şekil 6. Eşilik 5 deki P P ve durum değişkeleri başlagıç şarları [,,, ] [,,,], belirsizlikleri miimum, sıfır ve maksimum değerleri içi; u deeim siyali. s.6 u.5 mi ma omial Şekil 7. Eşilik 5 deki P P ve durum değişkeleri başlagıç şarları [,,, ] [,,,], belirsizlikleri miimum, sıfır ve maksimum değerleri içi; u deeim siyali. s

15 Aadolu Uiversiy Joural of Sciece ad echology, 8 Eşilik 5 deki doğrusal olmaya deeleçe, ε içi deeleci yalızca ilk durumu vardır. u durum içide Şekil deki sisemi simülasyo souçları elde edilmişir. Sisemi kararlılığı ve hedeflee performası sağladığı görülmüşür; acak bekleildiği gibi deeim siyalide praik uygulamalarda soru ola ve isemeye çaırdama görülmüşür. 5. SONUÇA u çalışmada reil ve eima, 987 de verile doğrusal sisemler içi gelişirile deeleci doğrusal olmaya sisemlere uygulaması göserildi ve doğrusal olmaya ve belirsizlik içere esek eklemli robo kollarıı deeimi gerçekleşirildi. Deeleci doğrusal kısım omial sisemi kapalı çevrim performasıı sağlarke, deeleci doğrusal olmaya kısım sisemdeki belirsizlikleri ekilerii karşılamak ve kapalı çevrimli sisemi kararlılığıı sağladı. u çalışmada kapalı çevrimli sisemi kararlılığı, öerile bir eoremle ispaı verilerek sisemaik olarak göserildi. Uygulama olarak doğrusal olmaya elema ve paramere belirsizliği içere iki eklemli bir maipülaörü maemaiksel modeli Sloie ve i, 99 alıdı. elirsizlikleri değişim aralığıı miimum.,.85 ve.5, sıfır ve maksimum.,.85 ve.5 değerleri içi kapalı çevrimli sisemi performası iceledi. asarlaa deeleci maipülaör modelideki paramere belirsizliklerii değişimie göre bekleile performası göserdiği görüldü. Özellikle deeim paramerelerii ayarlamasıda verile P P alıdığıda deeim siyallerideki değişimleri daha da iyileşiği görüldü. u deeleci praike maipülaörlerde uygulaabilmesi içi durum değişkelerii iyi ölçülmesi gerekir. Acak maipülaörlerde praike görüle açısal hızdaki gürülülerde dolayı bir gözleyiciye gereksiim olabilir Uçar, 5. urada arışıla deeleçle beraber asarlaabilecek üm durum gözleyici veya idirgemiş merebeli gözleyicide elde edile açısal hızlara ilişki durum değişkeleri kullaılarak yapıla deeimde elde edilecek souçlar başka bir çalışma olarak arışılacakır. KAYNAKA armish,.., Corless, M. ve eima, G. 98. A ew class of sabilizig corollers for ucerai dyamical sysems. SIAM Joural of Corol ad Opimizasyo, epried i obus Corol, P. Dorao, ed., IEEE Pres, New York, 987. ayır, İ. ve Uçar, A.. elirsizlik içere sisemleri Guma-Hagader meoduyla korolü. Elekrik-Elekroik- ilgisayar Mühedisliği Sempozyumu ss reil, W. ve eima, G Sae feedback for ucerai dyamical sysems. Applied Mahemaics ad Compuaio, roga, W Moder Corol heory. Preice-Hall Ieraioal, hird Ediio. urk, F ebesgue Measure ad Iegraio A Iroducio. Joh Wiley&Sos, Caada. Corless, M. 99. Corol of ucerai oliear sysems. Joural of Dyamic Sysems, Measureme ad Corol 5, 6 7. Frakli, G.F., Powell, J.D. ve Emami-Naeii, A.. Feedback Corol of Dyamic Sysems. Addiso-Wesley, Fourh Ediio. Hamamci, S. ve Uçar, A.. A robus model based corol for ucerai sysems. ras. Is. of Measureme ad Corol, -5. Kolma,. ve Hill, D... Elemeary iear Algebra. Preice-Hall Ieraioal, Seveh Ediio. eima, G. 98. O he efficacy of oliear corol i ucerai liear sysems. ASME J. Dyamic Sysems, Measureme ad Corol, 95-. eima, G. ve Wa, H.Y Performace Improveme of Ucerai Macroecoomic Sysems, i Dyamic Opimizaio ad Mahemaical Ecoomics. Pleum Press, New York.

16 8 Payadeh, S O he effec of compliace i roboic coac asks problem. America Corol Coferece, Aadolu Üiversiesi ilim ve ekoloji Dergisi, Sloie, J.J.E. ve i, W. 99. Applied Noliear Corol. Preice-Hall Ieraioal, Eglewood Cliffs, New Jersey. Uçar, A. 5. elirsizlik içere sisemleri durum değişkelerii elde edilmesi içi bir gözleyici. Oomaik Korol Ulusal oplası, OK 5, İÜ, İsabul, 9-. Güyaz AAY, Öğreimie Ohio Sae Uiversiy, Nuclear Egieerig bölümüde dokora öğrecisi olarak devam emekedir. Yazar, lisas ve yüksek lisas derecelerii Fıra Üiversiesi Elekrik-Elekroik Mühedisliği ölümüde aldı. Yazar, America Nuclear Sociey ANS ve ÜİAK ı öğreci üyesidir. Doğrusal olmaya korol, ükleer eerji ekolojileri, ükleer reakörleri korolü ve kaoik sisemler ve uygulamaları yazarı çalışma ve ilgi alalarıdır. Ahme UÇA, isas ve yüksek lisas derecelerii Fıra Üiversiesi Elekrik- Elekroik Mühedisliği ölümüde sırası ile 987 ve 989 da aldı. Dokora derecesii Covery Üiversiesi, İgilere, 998 de aldı. Fıra Üiversiesi, Elekrik- Elekroik Mühedisliği ölümüde yılıda beri Doçe olarak görev yapmakadır. İlgi alaları: Korol eorisi ve uygulamaları, Doğrusal olmaya sisemlerdir.