ARMAX Modelleri ve Porsuk Barajı Su Seviyesinin Öngörüsü. ARMAX Models and Forcasting Water Level of Porsuk Dam

Transkript

1 ARMAX Modelleri ve Porsuk Barajı Su Seviyesii Ögörüsü Hülya Şe a ve Özer Özaydı a a Eskişehir Osmagazi Üiversiesi, Fe-Edebiya Fakülesi, İsaisik Böl., 26480, Eskişehir e-posa: hse@ogu.edu.r, oozaydi@ogu.edu.r Geliş arihi: ; Kabul arihi: Öze Bu çalışmada, isaisike ögörüde kullaıla dışsal değişke kayaklı ooregresif harekeli oralamalar (auoregressive movig average wih exogeous ipu, ARMAX) modelleri icelemiş ve söz kousu modeller Porsuk Barajı su seviyesii ögörülmeside kullaılmışır. Çalışmada öcelikle ögörü modellemesi ola ARMAX modelleri açıklamışır. Çalışmaı soraki bölümüde ise Porsuk Barajı su seviyesii ARMAX modelleri ile ögörüleri elde edilmişir. Çalışmada elde edile Porsuk barajıı su seviyesii ögörüsü, ileride su sıkıısı yaşaıp yaşaamayacağıı veya su aşkılarıı olup olmayacağıı bir gösergesi olabilecekir. Yapıla ögörüler, Porsuk barajı su seviyesii bir öceki gerçekleşe değerlerie göre düşüşleri olduğuu gösermişir. Aahar Kelimeler: ARMAX, Ögörü, Porsuk Barajı, Su Seviyesi ARMAX Models ad Forcasig Waer Level of Porsuk Dam Absrac I his sudy, ARMAX (auoregressive movig average wih exogeous ipu) models which are used for forecasig i saisics have bee ivesigaed ad his models have bee applied o forecas he waer level of Porsuk dam. Firs of all, ARMAX models amog he forecasig models have bee explaied i his sudy. Afer ha, forecass of waer level of Porsuk dam have bee obaied wih ARMAX models. he resuls of forecasig of waer level i Porsuk dam obaied i his sudy could give sigifica iformaio wheher here would be ay waer shorage or waer flood i he ear fuure. he forecass of he applicaio demosraed ha geerally here was a decrease i waer levels of Porsuk dam i coras o heir previous values. Key Words: ARMAX, Forecasig, Porsuk Dam, Waer Level. Giriş Zamaa bağlı bir değişkei geleceke hagi değeri alacağı çeşili isaisiksel yöemlerle belirleebilmekedir. Bularda bir aesi Box ve Jekis arafıda gelişirile ögörü modellemesi ola ooregresif birleşirilmiş harekeli oralamalar (auoregressive iegraed movig average, ARIMA) modelleridir. ARIMA modelleri ile doğru modelleme yapılırsa söz kousu seri içi oldukça iyi ögörüde buluulabilmekedir. Acak ARIMA modellerii kurulumuda dikkae alımaya ve modelde yer alması daha iyi ögörülere sebep olacak seriyi ekileye değişkeler söz kousu olabilir. Böyle değişkeleri modelde yer alması modeli karmaşıklaşırmasıa rağme eğer uygu modelleme yapılırsa ARIMA modellerie göre daha iyi ögörüler yapılabilmekedir. Eğer zamaa bağlı bir değişkei ekileye bir veya birde fazla böyle değişke varsa bu defa dışsal değişke kayaklı ooregresif harekeli

2 oralamalar (auoregressive movig average wih exogeous ipu, ARMAX) söz kousu olmakadır. Lieraürde karmaşık ekikleri, basi ögörü ekiklerie kıyasla, karmaşık ekiklere başvurmayı gerekirecek kadar bir doğruluk kazacı sağlayamadıklarıı ve haa basi ekikleri karmaşık ekiklerde daha uygu ögörüde buluduğuu Makridakis ve Hibo (997) ileri sürmüşür. Böyle bir souca acak karmaşık ekikleri yeerice deememesi ve uygu bir meodoloji akip edilmemesi soucu ulaşılabilir. Ayrıca Makridakis ve Hibo (997) AR() ve ARMA(,) modellerii ARIMA modelleri kadar ve haa daha doğru ögörüde buluduklarıı, bu sebepe dolayı e uygu ARMA modelii belirlemede oo korelasyo, kısmi ookorelasyo grafiklerii icelemeye ve bilmeye gerek olmadığıı ileri sürmekedir. Çükü Box-Jekis meodolojisie göre ahmi edile herhagi bir modeli haa erimleri rassal bir dağılıma sahipse o model uygu model olarak kabul edilmekedir. Diğer arafa Mahmoud (984), Box-Jekis ekiğii regresyoa üsü geldiğii işare emişir (Akal, 2003). Ayrıca Akal (2002) çalışmasıda ARMAX ekiğii diğerlerie üsü geldiğii belirlemişir. Ögörü modelleri özellikle ekoomi ve mühedislik alaları olmak üzere birçok alada kullaılmakadır. ek değişkeli zama serileri ile ögörü yapılabileceği gibi çok değişkeli zama serileri ile de ögörü yapılabilmekedir. Çok değişkeli zama serisii ögörüsüde ise ek bağımlı değişkeli zama serisii ögörüsü yapılabildiği gibi birde fazla bağımlı değişkeli zama serisii de ögörüsü yapılabilmekedir. ek değişkeli ögörü modellemeside e yaygı kullaım alaıa sahip ARIMA modelleridir. Bu modellere Box-Jekis modelleri de demekedir. 2. Sisem aımlama ve ARMAX modelleri Özellikle mühedislik alalarıda ögörü modelleri sisem aımlama başlığı alıda icelemekedir. Sisem aımlama çeşili alalarda birçok farklı modelle göserilmekedir (Ljug, 999). Sisem aımlama, veride elde edile farklı yapılarla modelleri aımlaması ve model performasıı karşılaşırılmasıı yapıldığı ieraif bir süreçir (Ljug, 2008a,b). Bir sisemi aımlamasıda geellikle mühedislik alaıda bahsedildiği içi, isaisiksel olarak bağımlı ve bağımsız olarak bilie değişkeler birçok kayaka girdi ve çıkı olarak isimledirilmekedir. Basi model yapılarıı paramerelerii ahmilemesi ile sürece başlaır. Model performası düşük olursa, model yapısıı karmaşıklığı yavaş yavaş arırılır. Eide souda sisem diamiklerii e iyi aımlaya basi model seçilir. Basi model yapısıyla başlamasıı edei, yüksek derecede modeller her zama am doğru değildir. Model karmaşıklığıı yükselilmesi model paramerelerideki belirsizliği arırır ve geellikle daha fazla veri gerekirir (Ljug, 2008a,b). Modellemede kullaıla seriler zama emelli olabileceği gibi frekas emelli de olabilmekedir. Frekas emelli modellerde Fourier döüşümü kullaılmakadır. Zama emelli modelleme ise sürekli ve kesikli olarak ikiye ayrılmakadır. Ayrıca modeller, probleme bağlı olarak, ek bağımlı değişkee (ek çıkılı) veya çok bağımlı değişkee (çok çıkılı) göre oluşurulabilmekedir (Ljug, 2008a,b). Bazı durumlarda sisemi davraışı fiziksel yasalar ile ideal bileşeler dikkae alıarak maemaiksel model ile aımlaabilmekedir. Bu aımlama beyaz kuu modelleme adıı almakadır. Bu ip modelde süreci büü bilgisi ele alımakadır. Acak bu her zama mümkü olmamakadır. Beyaz kuu modeller ile sisem 2

3 aımlama çok faydalı bir yaklaşım olmasıa rağme, sisem çok karmaşık aımlaabilmeke ya da yeerice öcü bilgiye ihiyaç duyulmakadır. Bu yüzde girdi ve çıkı değişkeleride faydalaılarak aımlamakadır. Bu ür modeller de kara-kuu modelleri olarak adladırılmakadır. Kara-kuu modelleri paramere sayısıa bağlı olarak paramerik ve paramerik olmaya modeller olmak üzere ikiye ayrılmakadır. Eğer modeldeki paramere sayısı solu ise paramerik modeller ercih edilmekedir.çükü böyle modellerle çalışmak çok daha kolay olmakadır (Erdoğa v.d., 2005). Zama emelli paramerik modeller yazılmak iseirse, aşağıdaki eşilik gibi geel bir doğrusal model yapısı oluşurulur. Bq ( ) Cq ( ) Aq ( ) y ( ) xi( ki) e ( ) () Fq ( ) Dq ( ) i Burada, A, B, C, D ve F sırasıyla a, b, c, d ve f boyularıyla modeli poliomlarıı; k i, i. bağımsız değişkei gecikmesii; q, zamada geriye öeleme operaörüü ( q y() y( ) ) (Z döüşüm formuyla amame ayıdır.); zama ideksii; y, bağımlı değişkei (çıkı); x i, bağımsız değişkeleri, e ise oralaması 0 varyası σ 2 ola haa erimii ifade emekedir. Aşağıda 2, 3, 4 ve 5 eşilikleri ile ifade edile paramerik modeller eşiliğide aımlaa geel modeli bazı özel durumlarıdır. Model yapıları arasıdaki emel fark, bozucu ekileri modelleme şeklide kayaklamakadır (Erdoğa ve ark., 2005; Ljug, 2008a,b). Eşilik de C, D ve F poliomlarıı e eşi olduğu durumlarda dışsal kayaklı ooregresif model (ARX(a, b, k), Auoregressive wih Exogeous Ipu) söz kousudur. Bir bağımlı ve bir bağımsız değişkeli ARX modeli aşağıdaki eşilik 2 deki gibi ifade edilmekedir. A( qy ) ( ) Bqx ( ) ( k) e ( ) (2) Bozucu ekiler ooregresif ile filrelemiş haa erimi olarak modellemekedir. a ve b modeli derecelerii (a, y ile ifade edile bağımlı değişkei paramere sayısı, b ise x ile ifade edile bağımsız değişkei paramere sayısıdır), k ise gecikmeyi ifade emekedir. Yie eşilik de A, C ve D poliomlarıı e eşi olduğu durumda çıkı haalı model (OE, Oupu Error) elde edilir (Eşilik 3). Bq ( ) y() x( k) e() (3) Fq ( ) Ayı eşilike A poliomuu e eşi olduğu durumda Box-Jekis (ARIMA) modeli söz kousu olmakadır (Eşilik 4). Bq ( ) Cq ( ) y() x( k) e() Fq ( ) Dq ( ) (4) Ayı geel model yapısıda F ve D poliomlarıı olduğu durumda aşağıdaki eşilike göserile ARMAX model elde edilir. Aq ( ) y ( ) Bqx ( ) ( k) Cqe ( ) ( ) (5) Bu ip modellere rasfer foksiyou modelleri de deilmekedir. rasfer foksiyou, bir diamik regresyo modeli formu olarak açıklayıcı zama serisi filresi alamıa gelmekedir. Eşilik 5 e eşiliği her iki arafı da A(q) ya bölüdüğüde aıdaki bağımlı değişkei değeri elde edilmekedir. Bağımsız değişkei B( q) poliomu ola ya bağımsız değişkei Aq ( ) bağımlı değişke üzerideki ekiside dolayı rasfer foksiyou veya doğrusal filre adıı almakadır. rasfer foksiyou olarak isimledirilmesii sebebi ise bağımsız değişke üzerideki değişkeliği bağımlı değişke 3

4 üzerideki değişkeliğe rasfer edilmesidir (Belra,993). Eşilik 5 eki A, B ve C poliomları aşağıda verilmişir: 2 a Aq ( ) aq aq 2... aaq (6) 2 b B( q) b0 bq b2q... bbq (7) 2 c Cq ( ) cq cq 2... acq (8) Eşilik 7 deki b 0 model sabiidir ve geelde model göserimleride kullaılmaz. Yukarıdaki eşiliklerde yararlaılarak eşilik 5 eki ARMAX model açık şekilde yazılacak olursa, eşilik 9 elde edilir. y( ) ay ( )... a y ( a) bx ( )... b x ( b) e ( ) ce ( )... c e ( c) (9) a b c Yukarıdaki eşilik maris şeklide yazılacak olursa sırasıyla aşağıdaki paramere vekörü ve veri vekörü elde edilir (Eşilik 0, ). a... aa b... bb c... cc (0) y( )... y( a) x( )... x( b) e( )... e( c ) () Böylece y ˆ( ) değişkeii veri ve paramere vekörüe bağlaya eşilik 2 elde edilir. ˆ( ) () ˆ y e() (2) Burada () ile arasıda doğrusal bir ilişki olduğuda bu eşilik paramereler bakımıda doğrusal bir eşilikir ve paramere hesaplama algorimalarıı başlagıç okasıdır (Ljug, 999). 2.. ARMAX model paramerelerii elde edilmesi Model paramerelerii belirlemesi içi farklı ekikler mevcuur. Bular; yielemeli e küçük kareler ekiği, filrelemiş yielemeli e küçük kareler ekiği, yielemeli gelişirilmiş e küçük kareler ekiğidir Yielemeli e küçük kareler ekiği Sisem aımlama içi kullaıla e uygu ekiklerde biridir. Kedide ayarlamalı korol yöemleride, hesaplaa sisem model paramereleri her örekleme zamaıda gele yei veriler kullaılarak ekrar hesaplamakadır. Yielemeli e küçük kareler algoriması aşağıda verilmişir. + aıda; a) Yei bağımlı ve bağımsız değişke verileri kullaılarak (+) vekörü oluşurulur. b) ε(+) ahmi haası hesaplaır. ( ) y( ) ( ) ˆ ( ) (3) c) Kovaryas marisi (+) hesaplaır. () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) Paramere vekörü gücelleşirilir. (4) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 4

5 Bir soraki zamaa kadar bekleir ve ilk adıma geri döülür (Akay, 2004) Filrelemiş yielemeli e küçük kareler ekiği Bu yöemde bağımlı ve bağımsız değişkelerde oluşa veri vekörü ( ) uygu bir poliom ile filreleir. y f ve x f sırasıyla filrelemiş bağımlı ve bağımsız değişkeleri göserirse eşilik 6 elde edilir. Ay () Bx ( ) e() (6) f f Bu durumda veri ve paramere vekörü sırasıyla aşağıdaki 7 ve 8 eşilikleri gibi; yf( )... yf( ) x f( )... xf( m) (7) a... a b... b (8) 0 yazılabilir (Akay,2004) Yielemeli gelişirilmiş e küçük kareler ekiği m Yielemeli Gelişirilmiş E Küçük Kareler algorimasıda haa erimii paramereleri de hesaplamakadır. ARMAX modelide yer ala C poliomuu kasayılarıı ahmii içi e(-), e(-2),, e(-c) değerlerii bilimesi gerekmekedir. Praike e() değerleri ölçülemediğide ahmi haası (), eşilik 9 da hesaplaarak e() değerlerii yerie kullaılır. () y() () ˆ ( ) (9) Yielemeli Gelişirilmiş E Küçük Kareler Yöemi içi algorima aşağıda verilmişir. + aıda; a) Yei bağımlı ve bağımsız değişkeleri verileri kullaılarak (+) vekörü oluşurulur. b) Eşilik 20 de ahmi haası hesaplaır. ( ) y( ) ( ) ˆ ( ) (20) c) Eşilik 2 de kovaryas marisi yeileir. () ( ) ( ) () ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) d) 22 eşiliği ile paramere vekörü yeileir. ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) (22) Bir soraki zamaa kadar bekleir ve ilk adıma geri döülür (Akay, 2004, Köksal ve Özürk, 2004) ARMAX ahmi Algoriması ARMAX paramere ahmii gerçekleşirilirke değiilmesi gereke bir dizi ek okalar vardır. Bular, izleye paragraflarda ele alımışır Örekleme oraı veya veri sayısı Model paramerelerii kesirimide e küçük kareler ekiğii kullaıldığı durumda bağımlı ve bağımsız değişkeleri veri vekörlerideki örekleri sayısı öemlidir. Miimum veri sayısı modeli büyüklüğüe göre belirleir (Moore e al., 2007). Öreklem oraı ARMAX modelii kesirimide ve daha sorada oraya çıka al paramereleri hesaplamasıda da kriik bir öeme sahipir. Ljug 999, ahmi edile modeldeki yalılık ve varyas güve aralıklarıı öreklemdeki ekisii arışmış ve çok yüksek öreklem oralarıı kesikli zama modelleride 5

6 sayısal problemler çıkaracağıı belirmişir. Diğer yada da çok düşük öreklem oraı sisem diamiklerii emsil edilmesi açısıda çok düşük yoğuluklu souçlar oraya çıkarmakadır. Souç olarak öreklem oraıı e uygu seçimi sisem zamaı kısıları çerçeveside belirlemelidir Model paramerelerii sayısıı ve gecikmei belirlemesi (a, b, c, k) Fassois 200, model paramerelerii sayısıı ve gecikmeyi belirlemede bir yaklaşımda bulumuşur. a = a mi...,a max krieride harekele e iyi modeli belirlemek içi c=a yapmışır. Daha sora da c deki değişimi ekiliğii es emişir (Moore e al., 2007). Model paramerelerii belirlemek içi birkaç adım kullaılmakadır. Birici adımda k yı belirlemek içi a, b ve c ye ayı değerleri vererek k ı hagi değeride model seçim yaklaşımlarıda biri (Öreği AIC, BIC, FPE, HKO vb.) e düşük değeri veriyorsa gecikme değeri olarak o değer alıır. Geellikle söz kousu değer 2 yi geçmemekedir. İkici adımda ise yie model seçimi yaklaşımlarıda biri ile olabilecek üm kombiasyolar deeerek uygu a, b, c ve k belirlemeye çalışılır (Koulocheris ad Derimais, 2008). Aleraif olarak ise isaisiksel model derecesi belirleme krierleri kullaılarak uygu model dereceleri belirleebilir Model seçimi Lieraürde ögörüde kullaılacak modeli seçimi ile ilgili birçok yaklaşım vardır. Akaike krieri (AIC) ve Schwarz Bayesye krieri (SBC veya BIC) kullaımı kolay ve eki olduğu içi lieraürde e çok kullaıla krierlerdir (Eşilik 23, 25). l(hko) + 2d (AIC- Akaike Bilgi Krieri) (23) Burada HKO haa karaler oralamasıı (Eşilik 24), öreklemdeki birim sayısıı, d ise modeldeki ahmi edile paramere sayısıı gösermekedir. HKO y y 2 ( ˆ ) (24) Eşilik 24 e öreklemdeki veri sayısıı, y ˆ ise ilk adımda elde edile ögörüyü gösermekedir. l(hko) + k l() (SBC veya BIC, Schwarz bayesya bilgi krieri) (25) BIC yei gelişirile meoları büyüklüğüü ve elemalar arasıdaki korelasyou iceler. Ayrıca büyük modeller içi cezaladırmalar da içerir (Moore e al., 2007; hp:// 9.hm, 2008). AIC ve BIC krierleri dışıda model seçimide aşağıdaki krierler kullaılmakadır (hp:// 9.hm, 2008). Haa Kareler oplamı (HK, SSE) 2 ( ˆ ) (26) HK y y Haa Kareler Oralaması (HKO, MSE) Eşilik 24 Haa Kareler Oralamasıı Karekökü HKOK= HKO (27) 6

7 Oralama Mulak Yüzde Haa (OMYH, MAPE) 00 OMYH= ( y ˆ y)/ y (28) Oralama Mulak Haa (OMH,MAE) OMH= ( y ˆ y) (29) Akaike i So Ögörü Haası (ASÖH,FPE) d / ASÖH = FPE= V d / (30) Eşilik 30 da V kayıp foksiyou (Eşilik 3), d ahmi edile paramere sayısıı, ise üm eşiliklerde öreklemdeki birim sayısıı gösermekedir. V= de (, )( (, )) (3) Burada ahmi edile paramereleri gösermekedir. Çeşili model dereceleri ile (a ve c) çok sayıdaki modeli ahmii, yapıı davraışlarıı doğru olarak beimleye modeli aımlama şasıı arırmaka olup bu kouda bir uzlaşma sağlamışır (Moore e al., 2007). Model seçim krierleride sadece birie bağlı kalarak model belirlememelidir. Çükü krierler arasıda uarsızlıklar gözleebilir. Öreği AIC ve BIC ye bakıldığıda bir uarsızlıkla karşılaşılabilir, bu durumda buları yaıda üçücü veya daha fazla seçim krierie bakarak model seçilmelidir. Öreği Oralama Mulak Yüzde Haa (OMYH, MAPE) e iyi ölçüm aracı olarak öerilmekedir (Akal, 2003). 3. Porsuk barajı su seviyesii ARMAX modelleri ile ögörüsü Su kayakları sisemleri lieer olmaya ve pek çok paramereye sahip karmaşık ilişkilerde oluşur. Söz kousu ilişkileri modellemek ve bu modeller aracılığı ile ileriye yöelik ögörüler yapmak oldukça zordur. Bilgisayar ekolojisii gelişmesiyle birlike karmaşık problemlere daha kısa zama içeriside çözüm buluabilmekedir. Söz kousu karmaşık ilişkilere uygu modelleme ARMAX modelleri ile yapılarak ögörülerde buluulabilmekedir. Ülkemiz, doğal su kayakları bakımıda oldukça zegi olmasıa rağme pek çok bölgede düzesiz yağış rejimi ve coğrafik koşulları ekisiyle su problemleri yaşamakadır. Su problemii çözümüde barajlar oldukça öemli bir yere sahipir. Baraj gölleri geellikle eerji üreimi, sulama, içme suyu ve aşkıda koruma gibi amaçlarla kurulmakadır. ürkiye deki büyük şehirlerde biri ola Eskişehir de yer ala ve baraj kapasiesii büyüklüğü edeiyle öemli bir yere sahip ola Porsuk barajı da üm bu amaçlara hizme emek üzere Sakarya ehrii bir kolu ola Porsuk çayı üzeride kurulmuşur (Alı v.d., 2008). 3.. Porsuk Barajı Bu çalışmada Porsuk barajıı icelemesii sebebi, ürkiye i büyük şehirleride biri ola Eskişehir e su sağlaya dör barajı kapasiesi içeriside %85 lik bir oraa sahip olmasıdır. Diğer barajlarla birlike bu durum Çizelge de özelemekedir (Alı v.d., 2008). Porsuk Barajı Eskişehir i 40km güeybaısıda Porsuk çayı üzeride kuruludur. Porsuk barajıı buluduğu bölge Şekil de göserilmekedir (Alı v.d., 2008). 973 yılıda barajı gövde hacmii yükselilmesi içi yapıla işaaa kadar birçok kez aşmış ve Eskişehir de zarara yol açmışır. Şu 7

8 ada Porsuk Barajı ı maksimum depolayabileceği su mikarı m 3 olmasıa rağme, geelde baraj kapakları açılarak su seviyesii bu mikara ulaşmasıa izi verilmemeke baraj seviyesi geellikle m m 3 civarıda uulmakadır. Buu edei ise daha sora asızı gelebilecek ola su içi yer ayrılması ve böylelikle aşkılara ve korolsüz su salımasıa egel olumaya çalışılmasıdır. aşkı olmasa bile korolsüz su salıması durumuda arımsal alalar ve bua bağlı olarak ürüler büyük zarara uğramakadır. Çizelge. Eskişehir e su sağlaya barajları kapasieleri ve oplam içideki oraları Baraj Adı Kapasie (000 m 3 ) oplam İçideki Ora (%) Porsuk ,50 Dodurga 920 3,3 Kuduzlar ,7 Çaöre ,66 OPLAM Çizelge 2. Porsuk barajıı faaliye amaçları AMAÇ esise Beklee Fayda (%) Sulama 36 İçme suyu 28 aşkı 2 Eerji 5 Porsuk Barajı da sulama, içme suyu ve diğer (aşkı ve eerji) amacıyla kullaılması beklee su mikarları, daha öceki yıllardaki deeyimler göz öüde buludurularak, Devle Su İşleri yekilileri arafıda ahmi edilmekedir. Bu mikarlar ise Çizelge 3 e belirilmişir (Alı v.d., 2008). Çizelge 3. Porsuk barajıda kullaım amacıa uygu karşılaması beklee yıllık su mikarı Kullaım Amacı Mikar (000 m 3 /yıl) Sulama İçme Suyu Diğer E öemlisi Eskişehir i şehir merkezide geçe su kaallarıdaki suyu aide arması durumuda, Eskişehir halkı da su baskıları gibi büyük sorularla karşı karşıya kalmakadır (Alı v.d., 2008). Baraja gire suyu m 3 ü sulama kapaklarıı alıda olduğu içi kullaılamamaka ve ölü hacim olarak adladırılmakadır. Bu kullaılamaya su mikarı dışıda kala ve akif hacim olarak adladırıla su mikarı ise m 3 ür. Porsuk barajıda çeşili amaçlarla yararlaılmaka ve Devle Su İşleri yekilileri arafıda verile bilgilere göre bu amaçlara yöelik olarak kullaım oraları Çizelge 2 de yer almakadır (Alı v.d., 2008). 8

9 Şekil. Porsuk barajı koum hariası Kullaılabilir su kayaklarıı giderek azalması ve mevsimsel değişmeler edeiyle var ola su kayaklarıı yukarıda belirile amaçlar doğrulusuda plalı bir şekilde kullaılması gerekir. Bu amaç doğrulusuda geleceke baraj su seviyesii e olacağı öemli bir koudur. Bu sebeple ileriye yöelik ögörü yapabilmek içi ARMAX modelleri ve yapay siir ağları kullaılmışır. İsaisiksel ekikler içide ARMAX modellerii seçilmesii sebebi, baraj su seviyesii ögörüsüde baraja gele su mikarı ile sarfiya mikarı arasıdaki fark değişkeii ve m 2 ye düşe yağmur mikarı değişkeii dışsal değişke olarak modelde yer almasıı gerekliliğii söz kousu olmasıdır. Belirile amaçlar doğrulusuda, Ocak Kasım 2009 döemi arasıda Porsuk Barajı ı su seviyesi (m), baraj gölüe gele su mikarı (hm 3 ) ve baraj gölüdeki su sarfiyaı (aşkı, sulama, buharlaşma ve diğer sarfiyaları oplamı) (hm 3 ) DSİ 3. Bölge Müdürlüğü de ve m 2 ye düşe yağış mikarı (mm) Eskişehir Meeoroloji Bölge Müdürlüğü de aylık oralama veriler halide alımışır. Söz kousu değişkelerde Porsuk Barajı ı su seviyesi bağımlı değişke olarak kabul edilmiş, buu yaıda baraj gölüe gele su mikarı ile sarfiya arasıdaki fark ile m2 ye düşe yağış mikarı bağımsız değişke olarak ele alımışır. Çalışmada, Porsuk barajıda su uulmasıda iibare güümüze kadar gele süreç içeriside ve geleceke söz kousu değişkeler içi elde edile değerleri amamı evrei oluşurmakadır. Buu yaıda ele alıa Ocak Kasım 2009 döemi içide söz kousu değişkeler iibariyle elde edile değerler öreklemi oluşurmakadır. Belirlee değişkelerle çeşili pake programlarda (SAS, SPSS, Saisica ve MALAB) aalizler yapılarak Porsuk Barajı ı yüzey su seviyesi e uygu şekilde ögörülmeye çalışılmışır Porsuk barajı su seviyesii ARMAX ve ARIMA modelleri ile ögörüsü Ocak 973-Kasım 2009 döemleri arasıdaki Porsuk Barajı ı yüzey suyu seviyesii değerlerii grafiği Şekil 2 de verilmişir. Şekil 2 de de görüleceği gibi Porsuk barajı su seviyesi serisii mevsimsellik içerdiği ve 9

10 durağa olmadığı söyleebilir. Durağalık, zama içide varyası ve oralamaı sabi olması ve gecikmeli iki zama aralığıda değişkeleri kovaryasıı değişkeler arasıdaki gecikmeye bağlı olup zamaa bağlı olmamasıdır (Gujarai, 999). Durağalığı olmaması zama serisii red içermesi demekir. Bu da zama serisii ekileye fakörlerde bir aesidir ve arıdırılması gerekir. Durağalığı belirlemek içi ookorelasyo foksiyouda yararlaılacağı gibi birim kök esleri de yapılabilir (Dikey-Fuler esi, ADF esi, Philips-Perro esi v.b.). Bu çalışmada ookorelasyo foksiyoua bakıldığıda durağalığı olup olmadığıı belirleebileceği düşüülmüşür. Ookorelasyo foksiyou Şekil 3 e göserilmişir. Göl Kodu (m) Zama (Aylar) Şekil 2. Porsuk barajı aylık yüzey su seviyesi (Ocak 973-Kasım 2009) Şekil 3. Porsuk barajı su seviyesi serisii ookorelasyo foksiyou 0

11 Şekil 3 icelediğide ilk gecikmelerde foksiyo değerleri yüksek başlayıp yüksek gecikmelere doğru azaldığıda dolayı redi olduğuu ve durağalığı olmadığı söyleebilir. Buu içi seride geellikle derece fark alıması yeerlidir. Bir zama seriside her yılı (üçer ayı, ayı, güü, saai vb.) belirli döemleride ayı salıım söz kousu oluyorsa mevsimsellike söz edilebilir. Niekim Şekil 2. ye bakıldığıda mevsimselliği söz kousu olduğu görülebilir. derece de mevsimsel fark alıması mevsimsel durağa olmama durumuu düzelecekir. Bağımsız değişkeler ola baraja gele su mikarı ile barajdaki su sarfiyaı arasıdaki fark değişkei ve m 2 ye düşe yağmur mikarı değişkeii zamaa bağlı aldıkları değerleri gösere grafikleri çizildiğide (Şekil 4, 5) bu seriler hakkıda da bir ö bilgiye sahip oluabilmekedir. Bu ö bilgiler daha sora modeli oluşurulmasıda ö bilgi olarak kullaılmakadır. 50 Gelesu- Gidesu Farkı (hm3) Zama (Aylar) Şekil 4. Porsuk barajı aylık gele su ile sarfiya arasıdaki fark (hm 3 ) (Ocak 973-Kasım 2009) Yağış Zama (Aylar) Şekil 5. Porsuk barajı aylık m 2 ye düşe yağış mikarı (mm) (Ocak 973- Kasım 2009)

12 Şekil 4 ve 5 icelediğide bağımsız değişkeler ola gele su ile sarfiya arasıdaki fark ile m 2 ye düşe yağış mikarı değişkelerii zamaa bağlı serilerii durağa olmadığı ve mevsimsellik içerdiği görülebilir. Burada da her iki serii de modelde durağalığı sağlamak içi bir derece farkı ayı zamada mevsimsel olarak bir derece farkı alıacağı söyleebilir. Daha sora belirile ö bilgiler göz öüe alıarak ögörüleri elde edebileceğimiz ARMAX modelii model dereceleri belirlemeye çalışılmışır. Souç olarak birkaç model arasıda ARMAX( 0 [ 0 0]) (0 [ ]) 2 model, uygu model olarak bulumuşur. Sözü edile modelde ilk paraez içide göserile ( 0) değerleri, isaisiksel olarak bilie bağımlı değişke Porsuk barajı göl su seviyesi içi sırasıyla p, d, q değerlerii, soraki köşeli paraez içide verile [ 0 0] değerleri ise iki bağımsız değişke ola baraj gölüe gele su ile sarfiya arasıdaki fark ve m 2 ye düşe yağış mikarı değişkelerii sırasıyla p, d, q değerlerii gösermekedir. Burada d fark alma operaörü olarak kullaılmakadır. Buu yaıda ikici paraez içide verile (0 ) değerleri bağımlı değişkei mevsimsel paramereleri P, d, Q değerlerii gösermekedir. İkici köşeli paraez içide verile [ ] değerleri sırasıyla iki bağımsız değişkei mevsimsel paramerelerii gösermekedir. Belirile modeli uygu model olduğua karar verirke birkaç model seçim krierie bakılmışır. Ayrıca karşılaşırmak amacıyla ARIMA modelleri de göl kodu değişkei içi göz öüe alımışır. E uygu ARIMA modeli de ayı belirleme aşamaları kullaılarak ARIMA ( 0)(0 ) 2 modeli uygu model olarak seçilmişir. Söz kousu model seçim krierlerii, karar verile ARMAX ve ARIMA modelleri içi değerleri Çizelge 4 e verilmişir. Çizelge 4. Seçile ARMAX ve ARIMA modellerii model seçim krierleri değerleri ARMAX ARIMA Durağa R 2 0, R 2 0, HKOK 0, OMYH 0, MMYH, OMH 0, MMH 8, BIC -0, Çizelge 4 e HKOK, haa kareler oralamasıı kareköküü, OMYH, oralama mulak yüzde haayı, MMYH, maksimum mulak yüzde haayı, OMH, oralama mulak haayı, MMH, maksimum mulak haayı, BIC ise Bayesya bilgi krierii gösermekedir. Modeli uyguluğu belirledike sora ayı modeli paramere ahmileri yapılabilir. Çizelge 5 ve Çizelge 6'da sırasıyla seçile ARIMA ve ARMAX modellerii paramere ahmi değerleri bulumakadır. 2

13 Çizelge 5. Seçile ARIMA modelii paramere ahmi değerleri Gol_Kodu- Model_ Gol_ Kodu Döüşürme yok Sadar ahmi Haa p AR Lag Differece Seasoal Differece MA, Seasoal Lag Çizelge 6. Seçile ARMAX modelii paramere ahmi değerleri Gol_ Kodu-Model_ Gol_ Kodu Gel_Gid Yagis Döüsürme yok Döüsürme yok Döüsürme yok AR Differece Seasoal Differece MA, Seasoal Numeraor Differece Seasoal Differece Numeraor Differece Seasoal Differece Lag Lag Lag 0 Lag 0 Sadar ahmi Haa p,595,039 5,397,000,804,039 20,685,000 -,09,002-9,933,000 -,005,00-4,784,000 ARMAX ve ARIMA modellerii kasayıları belirledike sora ileriye döük ögörüler yapılabilir. ARMAX ve ARIMA modelide elde edile ögörü değerleri Çizelge 7 de verilmişir. Çizelge 7. Seçile ARMAX modelide elde edile ögörü değerleri Aylar(200) ARMAX Ögörü Değerleri ARIMA Ögörü Değerleri Aralık 883, Ocak 884, Şuba 885, Mar 886, Nisa 887, Mayıs 886, Hazira 886, emmuz 885, Ağusos 883, Eylül 883, Ekim 883, Kasım 883, Souç ve öeriler İsa, gelecekle ilgili kaygılarıı göz öüde buludurarak yaşamıı sürdürmeye çalışmakadır. Bu kaygılarıı giderebilmek içi, gülük yaşamıda birçok kez ileriye döük ögörüler yapmakadır. İleriye döük ögörüleri daha uarlı dayaaklarıı olması içi isaisik kullaılmakadır. İsaisiksel aalizler yardımıyla öceki verilerde harekele ögörü yapılarak geleceğe ışık uulmaya çalışılmakadır. Ögörüleri ieliğii arması yaşamı da kolaylaşırmakadır. Çalışmaı başıda öcelikle diğer ek değişkeli ögörü modelleri (ARIMA modelleri, üssel düzelme yöemi) ve regresyo yöemi ile ögörüler yapılmışır. Acak daha sora yapıla ARMAX modelleri ile ögörü performasıı arığı görülmüşür. Çalışmaı uygulama kısmıda ARIMA ve ARMAX modelleride uygu olalarıı souçları elde edilmişir. Daha öce yapıla çalışmalarda ve bu çalışmada görülmüşür ki ARMAX modeli diğer ögörü modellerie göre daha iyi souçlar vermişir. üm isaisiksel ekiklerde olduğu gibi ARMAX modelleride de veri sayısıı yeerliliği 3

14 öemlidir. Veri sayısı e kadar çok olursa modeli doğruluğu o kadar iyi olduğu görülmekedir. Çalışmada elde edile Porsuk barajıı su seviyesii ögörüsü, ileride su sıkıısı yaşaıp yaşaamayacağıı veya su aşkılarıı olup olmayacağıı bir gösergesi olabilecekir. Yapıla ögörüler, Porsuk barajı su seviyesii bir öceki gerçekleşe değerlerie göre düşüşleri olduğuu gösermişir. Bir yıllık ögörü ile su sıkıılarıı yaşaacağı söyleemeyebilir acak bir ö bilgi olabilecekir. Buu yaıda eğer yeerli derecede veriye sahip oluursa, her yılı ayı ayı bir zama serisi olarak ayrı ayrı iceleebilir. Bu da, ileriye döük birkaç yılı ayı aylar içi ögörüsüü elde edilmesii sağlayacakır. Söz kousu ögörülerle su sıkıısıı yaşaıp yaşamayacağıı veya su aşmalarıı gerçekleşip gerçekleşmeyeceğii cevabı verilebilir. Böylelikle kouu ilgilileri öcede uyarılabilecekir. Porsuk barajıı su seviyesii ögörülerii elde edilmeside kullaıla yöemlerde hagisii daha iyi olduğuu belirlemek içi model seçim krieri olarak Oralama Mulak Yüzde Haa (OMYH) kullaılmışır. Buu yaıda birçok seçim krieri mevcuur. Diğer seçim krierleri de model seçimide eki bir şekilde kullaılabilir. No: Bu çalışma Özer Özaydı'ı "Porsuk Barajı Su Seviyesii Ögörülerii Elde Edilmeside Yapay Siir Ağları ve ARMAX Modellerii Karşılaşırmalı İcelemesi" başlıklı dokora ezide üreilmişir. Kayaklar Akal, M., 2002, Accuracy Compariso of Forecasig echiques wih Variables o Exchage Rae Series: urkish Liras Versus Uied Saes Dolar, Sakarya Uiversiy Press House, Adapazarı. Akal, M., 2003, Ögörü ekiklerii Doğruluk Kıyaslaması: Basi Ekoomerik, ARMA ve ARMAX ekikleri, Uludağ Üiversiesi İkisadi ve İdari Bilimler Fakülesi Dergisi, Cil XXII, Sayı, Akay, B., 2004, Sisem aımlama Yöemlerii Karışırmalı Kesikli Reaköre Uygulaması, F.Ü. Fe ve Mühedislik Bilimleri Dergisi, 6 (2), Alı, A., Çemrek, F. ve Özaydı, Ö., 2008, Saisical Modellig of Waer Quaiy i he Porsuk Dam, Ekoloji, 7, 67, Belra, N. D. R., 993, Predicio of Waer Use i Puero Rico, Phaze I: Mayagüez, Projec No: G-2043, Uiversiy of Puero Rico. Erdoğa, H., Gülal, E., Aa, E. ve Akpıar, B., 2005, Diamik Sisemleri aımlaması, Haria ve Kadasro Mühedisleri Odası, 0. ürkiye Haria Bilimsel ve ekik Kurulayı, -9. Gujarai, D.N., 999, emel Ekoomeri, (Çev. Ü. Şeese, G.G. Şeese), Lieraür Yayıcılık, İsabul, 850 s. Koulocheris, D. ad Derimais, V., 2008, Evoluioary Parameric Ideificaio of Dyamic Sysems, I Iba H. (ed.), Froiers i Evoluioary Roboics, I-ech Educaio ad Publishig, Viea, Ausria. Köksal, E. ve Özürk, F., 2004, ARMAX Modelleride Paramere ahmii ve Korol, 2003 İsaisik Araşırma Sempozyumu, Özel Sayı, Ljug, L., 999, Sysem Ideificaio heory for he User Secod Ediio, Preice Hall PR, New Jersey, USA, 672 p. Ljug, L., 2008a, Sysem Ideificaio oolbox M 7 Geig Sared Guide, he MahWorks Ic., 3 Apple Hill Drive Naick, MA, 22 p. Ljug, L., 2008b, Sysem Ideificaio oolbox M 7 User s Guide, he MahWorks Ic., 3 Apple Hill Drive Naick, MA, 53 p. Makridakis, S. ad Hibo, M., 997, ARMA models ad he Box-Jekis Mehodolgy, Joural of Forecasig, Volume 6, Issue 3, Moore, S. M., Lai, J. C. S. ad Shakar, K., 2007, ARMAX Modal Parameer Ideificaio i he Presece of Umeasured Exciaio I: heoreical Backgroud, Mechaical Sysems ad Sigal Processig, Volume 2, Issue 4, SAS web siesi, 2008, hp:// ec9.hm. 4