Titreşim Sistemlerinin Modellenmesi : Matematik Model

Transkript

1 Tireşim Sisemlerii Moellemesi : Maemaik Moel Müheislik sisemleri ile ilgili ireşim aalizlerii gerçekleşirme içi öcelikle sisem serbeslik erecelerii yapılacak ireşim aalizi ile uyumlu olarak emsil eecek bir maemaik moele ihiyaç varır. Maemaik moel ile ilgili aha öce verile öreklere ek örekler aşağıa verilmişir. Aşağıaki övme makiesi içi farklı serbeslik ereceli maemaik moeller oluşurulabilir. Koç Kalıp Elasik aba Zemi bloğu Dövme kalıbı moeli. Toprak Koç Koç Elasik aba iregeliği Kalıp Elasik aba söümü Kalıp ve zemi bloğu Zemi bloğu Toprak iregeliği Toprak söümü Toprak iregeliği Toprak söümü Tek serbeslik ereceli moel İki serbeslik ereceli moel Aşağıaki bir moorsikle-sürücü sisemie ai maemaik moel verilmişir. Kayaklar: Theory of Vibraios-W.T.Thomso, Elemes of Vibraio Aalysis-L. Meirovich, Vibraios of Coiuous Sysems- S. Rao, Fuameals of Mechaical Vibraios-S.G. Kelly, Vibraio Problems i Egieeri-W.Weaver, S.P. Timosheko, D.H. Youg, Egieerig Vibraios-D.J. Ima, Müheislik Sisemlerii Moellemesi ve Diamiği-Yücel Erca 3/4

2 Moorsikle-sürücü moeli. m sürücü 4 k sele c sele m moor + m sürücü C m moor, I moor G θ 3 A 3 B k süsp_arka c süsp_arka k süsp_ö c süsp_ö k süsp_arka c süsp_arka k süsp_ö c süsp_ö m ja m ja m ja m ja k lasik k lasik k lasik k lasik Üç serbeslik ereceli moel Beş serbeslik ereceli moel 3/4

3 TİTREŞİM ANALİZİ: Tek Serbeslik Dereceli Sisemler: Tek Serbeslik Dereceli Söümsüz Bir Sisemi Serbes Tireşimleri: Tek serbeslik ereceli söümsüz bir sisemi hareke eklemi aşağıa verilmişir. m () m && + k k s Hareke eklemii çözümü içi () a e kabulü yapılır ve a ve s sabileri belirleir. Kabul eile çözüm ve ürevleri hareke eklemie yerie koarak, & () s a e s s [ ms k] a e + ir. Başlagıça kabul eile çözümü geçerli ve işe yarar bir çözüm olabilmesi içi ae s i sıfıra farklı olması gerekliir. Bu uruma ae s erimii çarpaı, karakerisik eklem, sıfıra eşi olmalıır ve bu eklemi sıfır yapa s eğerleri sisemi özeğerleri olarak alaırılır ve her iki s eğeri e karakerisik eklemi sağlar. ms k k + k s, ± ± i ± i Tek serbeslik ereceli sisemi serbes m m ireşimlerii frekası k (ra / s) ir. m Doğal frekas saik çökme eğeri kullaılarak a ifae eilebilir. mg δsaik k mg k δ saik mg δsaik g g (ra/s) f m δ π δ (Hz) saik saik Her iki kök e karakerisik eklemi sağlaığı içi hareke eklemii geel çözümü aşağıaki şekile ifae eilebilir. 3/4

4 i e () a veya () a e i Yay-küle sisemie ai iferasiyel eklem lieer oluğu içi yukarıaki iki çözümü oplamı a hareke eklemii çözümüü verir. () a i e + a e i Buraa a ve a kompleks sabilerir. Trigoomerik foksiyolar içi Euler ilişkileri aşağıaki gibi ifae eilir. si e i i ( e i i e ), cos ( e + e ) mi i cos m isi () çözümü aşağıaki gibi ifae eilebilir. () () a [ cos + isi ] + a [ cos isi ] ( a + a ) cos + i ( a a ) si Yukarıa verile () çözümü aşağıaki şekillere e ifae eilebilir. ( + φ) () Asi veya () A cos + A si Buraa A, φ, A ve A gerçek sabilerir. Yukarıa verile çözümlereki kasayılar arasıaki ilişkiler aşağıa verilmişir. A a + a ve φ a a a A +, ( a a )i a a A a A A i, a A + A i Yukarıa verile iki çözüm içerisie bulua gerçek eğerli kasayılar, A, φ, A ve A başlagıç şarları kullaılarak () ve & ( ) &. Eğer yay-küle sisemie küleye eki ee bir ış kuvve yok ise sisem urağa hale kalacakır. Küle a kaar yer eğişirilir ise yay kuvvei k sisem serbes bırakılığıa harekei sağlayacakır. Buula birlike, a küleye bir başlagıç hızı v & verilir ise momeum eğişimie olayı sisem hareke eecekir. Başlagıç yer 33/4

5 eğişirmesi ve hızı Başlagıç Şarları (Iiial Coiios) olarak alaırılır ve bu uruma çözüm aşağıaki şekile ele eilecekir. () Asi( + φ) Asi φ ve v () A cos( + φ) & Bu iki ekleme A ve φ aşağıaki gibi ele eilir. A + &, φ a & φ A A & & + () & + si + a & veya () & + cos a &.5 () ( + φ) Asi ra/s.5 mm, v mm/s..5 mm, v mm/s..5 Gelik (mm) mm, v mm/s. -.5 mm, v - mm/s Zama (s) Tek serbeslik ereceli sisemi farklı başlagıç şarları içi yer eğişirme cevabı. 34/4

6 Diğer formaki çözüm kullaılır ise, a () ve a & () () () A cos + A si A A cos + A si & () A si + A cos & A si + A cos () & cos + si A &.5 () A cos + A si.5 mm, v mm/s..5 mm, v mm/s. ra/s.5 Gelik (mm) mm, v mm/s. -.5 mm, v - mm/s Zama (s) Tek serbeslik ereceli sisemi farklı başlagıç şarları içi yer eğişirme cevabı. + Bu okaaki eğim & Cevap () π T A + & φ Zama (s) - A 35/4

7 Tek Serbeslik Dereceli Söümlü Bir Sisemi Serbes Tireşimleri: Tek serbeslik ereceli söümlü bir sisemi moeli ve hareke eklemi aşağıa verilmişir. m () && + & k c m c + k s Hareke eklemii çözümü içi () a e kabulü yapılır ve a ve s sabileri belirleir. s Kabul eile çözüm ve ürevleri hareke eklemie yerie koarak, & () sa e, & () s a e s s [ ms cs + k] a e + ır. Başlagıça kabul eile çözümü geçerli ve işe yarar bir çözüm olabilmesi içi ae s i sıfıra farklı olması gerekliir. Bu uruma ae s erimii çarpaı, karakerisik eklem, sıfıra eşi olmalıır ve bu eklemi sıfır yapa s eğerleri sisemi özeğerleri olarak alaırılır ve her iki s eğeri e karakerisik eklemi sağlar. ms + cs + k c s, ± c 4km m m Kökler iceleiğie kökleri gerçek veya kompleks olabileceği görülür. Buraa belirleyici ola c 4km ir. M, c ve k ı poziif sayılar olması göz öüe buluurulur ise c 4km > içi kökler birbirie farklı gerçek sayılar olacakır. Eğer c 4km < ise kökler egaif reel kısımlı kompleks bir çif şeklieir. Eğer c 4km ise kökler ayı ve egaif gerçek sayılarır. Bu üç farklı urum iceleiğie c 4km içi kriik söüm eğerii aımlamak uygu olacakır. ckriik m km ir. Kriik söüm eğeri yukarıa bahseile üç farklı çözüm içi belirleyici bir eğerir. 36/4

8 Siseme mevcu bulua söüm elemaı kasayısıı, kriik söüm kasayısıa oraı söüm oraı olarak alaırılır. c ζ c kriik c m c km Bu aımlamalar ile karakerisik eklemi kökleri yeie ifae eilir ise, s, ζ ± ζ Bu aımlamaya göre söüm oraıı sisem öz eğerlerii reel veya kompleks olacağıı belirleiği açıkça görülmekeir. Söüm oraıa bağlı olarak üç farklı urum söz kousuur.. Kriik Alı Söümlü Cevap (Uerampe Respose): Bu uruma söüm oraı e üşükür (<ζ<) ve karekök içerisieki ifae egaif ve kökler kompleks çif olarak ele eilir. s ζ ζ ζ + i, s ζ i ( )( ) ζ i ζ ζ Söümsüz urum içi izlee yol akip eilerek söümlü urum içi cevap aşağıaki şekile ifae eilebilir. () () e e ζ ζ a i ζ e + a e i ζ [( a + a ) cos + i( a a ) si ] Buraa a ve a kompleks kasayılar olup olarak alaırılır. ζ sisemi söümlü oğal frekası A a +a ve A (a -a )i olarak seçilerek çözüm aşağıaki şekile ifae eilebilir. () e ζ ( A si + A cos ) olarak ifae eilebilir. Buraa A ve A gerçek sayılarır. İfaeyi basileşirmek içi yei aımlamalar yapılır ise A A + A ve faz açısı olarak A φ a, A A cosφ, A Asi φ A si a cos b + cos a si b si(a + b) [ ] () A e ζ ( + φ) si olarak ifae eilir. 37/4

9 Yie başlagıç şarlarıa göre çözüm araır ise a () ve a & () & ise, () ifaesie eğeri koularak ve başlagıç yer eğişirme şarı kullaılarak ( + φ) A φ Ae si si () cevabıı zamaa göre ürevi alıır ve a & ilk hız şarı ve kour ise & () ζ Ae ζ si ζ ( + φ) + Ae cos( + φ) A ifaesi yerie si φ & ζ si φ + cosφ & ζ + co φ si φ si φ Buraa φ faz açısı çözülür ise a φ & + ζ ele eilir ve φ a & + ζ ( & + ζ ) + ( ) φ si φ ( & + ζ ) + ( ) & + ζ Buraa A ( & + ζ ) + ( ) ( & + ζ ) + ( ) olarak ele eilir. Buraa kriik alı söümlü ek serbeslik ereceli bir sisem içi cevap () ( & + ζ ) + ( ) e ζ si + a & + ζ ir. 38/4

10 .5.4 ra/s,.5 mm, & mm / s.3 ζ.8 Gelik (mm) ζ. ζ Zama (s) Tek serbeslik ereceli sisem içi kriik alı söümlü cevap..8 ra/s, mm, & mm / s Gelik (mm) ζ.8 ζ ζ Zama (s) Tek serbeslik ereceli sisem içi kriik alı söümlü cevap. 39/4

11 . Kriik Üsü Söümlü Cevap (Overampe Respose) : Söüm oraıı e büyük oluğu urum içi reel ve farklı iki kök mevcuur. s ζ + ζ ve s ζ ζ Bu uruma cevap aşağıaki gibi ele eilir. () e ζ ae ζ + a e ζ Buraa a ve a kasayıları başlagıç şarlarıa aşağıaki gibi ele eilebilir. a & + ζ + ζ ζ ve a & + ζ + ζ ζ.4.3. ra/s, ζ..3 mm, & mm/s Gelik (mm). -. mm, & mm/s mm, & mm/s Zama (s) Tek serbeslik ereceli sisemi kriik üsü söümlü cevabı Kriik üsü söümlü sisemler ege koumu erafıa salıım gösermeksizi başlagıç koumlarıa öerler. 4/4

12 3. Kriik Söümlü Cevap (Criically Dampe Respose) : Söüm oraıı e eşi olması urumu salıımlı cevap ile salıımsız cevap arasıa bir sıır eşkil eer. Bu uurm içi kökler kalı kök halieir. s s Bu uruma çözüm formu aşağıaki gibiir. () ( a + a ) e aki başlagıç şarları yerie kour ise a ve a kasayıları ele eilebilir. a ve a + &. Bu uruma başlagıç şarları alıaki serbes cevap [ + ( + ) ] e () & şeklieir..6.5 ra/s, ζ Gelik (mm) mm, & mm/s..3 mm, & mm/s..3 mm, & mm/s Zama (s) Tek serbeslik ereceli sisemi kriik söümlü cevabı & () (, & ) Uerampe Criically ampe () Overampe 4/4