DERS 2. Fonksiyonlar

Transkript

1 DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin, bir maliet analizcisi, üretim sürecinde çeşitli sevielerdeki ürünlerin malietini tahmin etmek ister; bir tıp araştırmacısı, kalp rahatsızlıkları ile şişmanlık arasındaki ilişkii ; bir ziraatçı, anı topraktan değişik tür buğda tohumlarının ne kadar verim verdiğini tahmin etmek ister. Fonksion denince aklımıza bir tür eşleme gelmelidir. Günlük haatımızda pek çok eşleme örneğile karşılaşırız. Bunlardan bazılarını ifade edelim: Her öğrencinin bir numarası vardır. Başka bir deimle, her öğrenci bir saı ile eşlenir. Burcu Işık Ali Demir Her insanın ıllık geliri de o insan ile eşlenen bir saı olarak düşünülebilir. Bill Gates $ Rahmi Koç $ Bir marketteki her malın bir fiatı vardır. Makarna 76 YKr. Sabun 89 YKr. Her saının iki katı vardır Her saının bir kare si vardır Yukarıda zikredilen tüm örneklerde ortak olan şudur: Her bir örnekte belli bir kümenin elemanları ile ikinci bir kümenin elemanlarını eşleen bir kural vardır. Son örneğimiz, saılar kümesinin her elemanını ine saılar kümesinde o elemanın karesi ile eşlemektedir. Bütün bunlar bizi fonksion kavramının tanımına götürür: Tanım. İki küme verilmiş olsun : A ve B. A kümesinin her elemanına B kümesinin bir ve alnız bir elemanını karşılık getiren bir kurala A dan B e bir fonksion denir. A kümesine bu fonksionun tanım kümesi, B kümesine de görüntü kümesi denir.

2 A kümesinden B kümesine bir f fonksionu ile gösterilir. f : A B f nin a A ile eşlediği eleman b B ise, b = f(a) azılır ve b = f(a) a a nın f altındaki görüntüsü vea f nin a daki değeri denir. f nin tüm değerlerinin kümesine, ani {f(a) : a A} kümesine f nin değer kümesi denir. Değer kümesi, görüntü kümesinin altkümesidir. Fonksionlar çizelgelerle de gösterilebilir: a A b=f(a) B =f() f : A B Tanıma göre A dan B e f fonksionunun A nın her a elemanına B den bir ve alnız bir, ani tek türlü belirli bir eleman karşılık getirmesi gerektiğini unutmamak gerekir. Bu bağlamda, A 1 a b 3 c B çizelgesi A = {1,, 3} kümesinden B={a, b, c } kümesine bir fonksion tanımlar. Ancak, aşağıdaki çizelge A = {1,, 3} kümesinden B={a, b, c } kümesine bir fonksion tanımlamaz. A 1 a B b 3 c

3 .. Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi Reel Saı Kümeleri Olan Fonksionlar. Bu derste ele alacağımız fonksionların tanım kümeleri ve görüntü kümeleri saı kümeleri olacaktır. Böle bir fonksionun tanım kümesindeki her saısı için görüntü kümesinde bir ve alnız bir = f() saısı bulunacak ve dolaısıla (,) sıralı ikilisi, a da noktası, ortaa çıkacaktır. Bu şekilde ortaa çıkan noktaların Kartezen düzlemde oluşturduğu nokta kümesine f fonksionunun grafiği denir. =f() (,f()) = f() Örnek. Her reel saıa o saının iki katını karşılık getiren fonksionun grafiği (-1,-) (-,-4) (,4) (1,) = Örnek. Her reel saıa o saının karesini karşılık getiren fonksionun grafiği (-,4) (,4) (-1,1) (1,1) =

4 Yukarıdaki örneklerden ilkinde tanım kümesi R deki her saısına karşılık görüntü kümesi R de = saısı; ikinci örnekte de tanım kümesi R deki her saısına karşılık görüntü kümesi R de = saısı verilmektedir. Bu derste ele alacağımız fonksionlardan pek çoğu, bu örneklerde olduğu gibi, denklemler ardımıla tanımlanacaktır. Başka bir anlatımla, tanım kümesindeki her saısı için görüntü kümesinde karşılık gelen saısı, e bağlı bir ifade ile verilecektir: Çıktı (output) Bağımlı Değişken (dependent variable) = f() Girdi (input) Bağımsız Değişken (Independent variable) Örnek. = (-1) denklemi tüm reel saılar kümesi R den R e bir fonksion tanımlar. = 1 olunca = 0 = 5 olunca = 0 =1/ olunca =-1/4-1 Burada, birden büük saıları için,, kenar uzunlukları ve (-1) birim olan bir dik dörtgenin alanı olarak orumlanabilir.. Bazen kapalı denklemler de fonksion tanımlaabilir. Örneğin, bağımsız ve bağımlı değişkenler olmak üzere, 4+3=1 denklemi bir fonksion tanımlar. Çünkü, bu denklem her reel saısına karşılık = (-4/3) + (1/3) saısını verir. Bununla beraber, fonksion tanımlamaan kapalı denklemler de vardır. Örnek olarak, bağımsız ve bağımlı değişkenler olmak üzere = 9 denklemi bir fonksion tanımlamaz. Çünkü, örneğin = 0 değeri için hem = 3 hem de = -3 saıları bu denklemi sağlarlar. O halde bu denklem = 0 saısına birden çok saı karşılık getirmektedir ve bu nedenle bir fonksion tanımlamaz. Bir denklemin fonksion tanımlaıp tanımlamadığını anlamanın pratik bir olu, o denklemin grafiğinin düşe doğrularla kesişimlerini düşünmektir. Eğer her düşe doğru grafiği en çok bir noktada kesiorsa, o denklem bir fonksion tanımlar ve denklemin grafiği fonksionun grafiğidir. Eğer grafiği birden çok noktada kesen düşe doğrular varsa, o denklem bir fonksion tanımlamaz = 1 Fonksion tanımlar = 9 Fonksion tanımlamaz

5 Çoğu zaman, denklemle tanımlanmış bir fonksionun tanım kümesi açıkça belirtilmez. Bu gibi durumlarda, tanım kümesi, bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni tek türlü belirli bir reel saı olarak tanımlaabildiği değerlerin tümü olarak; görüntü kümesi(ve anı zamanda değer kümesi) de bağımlı değişken için bölece tanımlanan tüm değerler olarak alınır. Örnek. = 4 denklemi ile tanımlanan fonksionun tanım kümesi (,4], görüntü kümesi [ 0, ) dur. Çünkü, 4 in tanımlı olması için olmalıdır. Arıca, negatif olmaan her reel saı, ugun bir 4 için 4 biçiminde ifade edilebilir. Örnek. 1 = denklemi ile tanımlanan fonksionun tanım kümesi + (, ) (, ), görüntü kümesi (, 1) (1, ) dur. = f() gibi bir denklemle belirlenmiş bir fonksion verildiğinde, tanım kümesindeki her a saısı için f(a), verilen denklemden hesaplanır. Örnek. = f() = denklemi ile tanımlanan fonksionun tanım kümesi R dir ve f(0) = 0, f(1) = 0, f() =, f(3) = 6, f(-1) =, f(-) =6, f(-3) = 1 dir. Her hangi bir a reel saısı için f(a) = a a, dir. f(a+1) = (a+1) (a+1) = a + a, f(a+) = (a+) (a+) = a +3 a + (1/,-1/4) =

6 .3. Değişim Oranları. Her hangi bir f fonksionu ve f nin tanım kümesindeki a < b f ( b) f ( a) saıları için oranına f nin [a,b] aralığındaki ortalama değişim oranı denir. b a Örnek. f() = için f nin [1,3] aralığındaki ortalama değişim oranı f (3) f (1) = 3 1 tür. ( 3 3) (1 1) 6 0 = = Her hangi bir f fonksionu ve mutlak değerce küçük bir h saısı için nına f nin civarındaki değişim oranı denir. f ( + h) f ( ) h ora- Örnek. f() = için f ( + h) h dir. f ( ) = ( + h) ( + h) ) h + h = h ( ) h h = + h 1.4. Ekonomide Fonksionlar, Kâr Zarar Analizi Gider Fonksionu (Cost Function) : C C = (sabit gider) + (değişken gider). Örneğin, bir firmanın alık sabit gideri a YTL ve ürün başına gideri b YTL ise, bu firmanın ada ürün üretmesi durumunda alık toplam gideri YTL olur. C = a + b sabitler ürün saısı (bağımsız değişken)

7 .4.. Gelir Fonksionu (Revenue Function) : R R = (satılan ürün saısı). (birim ürün fiatı). Örneğin, bir firma bir ada her biri p YTL den tane ürün satmışsa, bu firmanın alık toplam geliri YTL olur. R = p.4.3. Fiat Fonksionu (Price Function) : p Üretilip satılan ürün saısı ile ürün birim fiatı arasında bir bağıntı verir. Örneğin, p = m n Kâr Fonksionu (Profit Function) : P Gelir ile gider arasındaki farkı verir. P()= R() C() Örneğin, C = a + b ve p = m n ise, R = p = (m-n) = m -n ve bölece YTL olur. sabitler p YTL den satılan ürün saısı P() = R() C() =( m - n ) (a + b) = -n +(m-b) -a.5. Elemanter Fonksionlar (Elementar Functions). Bu derste ve benzeri matematik derslerinde en çok karşılaşacağınız fonksionlar, elemanter fonksionlar olarak bilinen fonksionlardır. Aşağıda, elemanter fonksionları, grafiklerile birlikte listelioruz:.5.1. Birim Fonksion: Her reel saıa kendisini karşılık getiren fonksion. f ( ) = Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : R =

8 .5.. Mutlak Değer Fonksionu: Her reel saıa o saının mutlak değerini karşılık getiren fonksion., f ( ) = =, Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : [0, ) 0 < 0 =.5.3. Kare Fonksionu: Her reel saıa o saının karesini karşılık getiren fonksion. f ( ) = Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : [0, ) =.5.4. Küp Fonksionu: Her reel saıa o saının küpünü karşılık getiren fonksion. 3 f ( ) = Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : R = Karekök Fonksionu: Her reel saıa o saının karekökünü karşılık getiren fonksion. f ( ) = Tanım Kümesi : [0, ) Görüntü Kümesi : [0, ) =.5.6. Küpkök Fonksionu: Her reel saıa o saının küpkökünü karşılık getiren fonksion. 3 f ( ) = Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : R = 3

9 .6. Elemanter Dönüşümler. Aşağıdaki denklemlerle tanımlanan g, h ve k fonksionlarını ele alalım: g() = (-), h() = - 1, k() = - 5 Bu fonksionlar f() = fonksionu cinsinden ifade edilebilir: g() = f(-), h() = f() 1, k() = - 5 f(). Aşağıda göreceğimiz üzere, g, h ve k fonksionlarının grafikleri de f() = fonksionunun grafiği cinsinden elde edilebilir. g, h ve k fonksionlarının f fonksionu cinsinden tanımı en genel biçimile şöle verilebilir: a, b ve c reel saılar olmak üzere g() = f(+a), h() = f() + b, k() = c f(). Yata kama Düşe kama c = -1 : Yansıma c >1 : Germe 0 < c <1 : Büzme Elemanter dönüşümleri tek tek ele alıp incelemeden önce şu hususu belirtmekte arar görüoruz. Elemanter dönüşümlerle bir f fonksionundan elde edilen bir f fonksionunun grafiği f nin grafiğinden elde edilirken, düzlemde (, f ()) noktası ile (, f()) noktasının konumları karşılaştırılır. Örneğin, f den ata kama g() = f(+a) ile elde edilen g fonksionu için (, f ()) noktası ile (, g ()) = (, f (+a)) noktası, f den düşe kama h() = f ()+b ile elde edilen h fonksionu için (, f ()) noktası ile (, h ()) ani (, f()+b) noktası; f den ansıma(germe vea büzme) ile elde edilen k fonksionu için (, f ()) noktası ile (, k ()) = (,c f ()) noktasının konumları karşılaştırılmalıdır Yata Kama. g() = f(+a). Önce a>0 durumunu ele alalım. = f() i sağlar g()=f(+a) (,g()) (+a,g()) = g() i sağlar +a

10 Yukarıdaki şekilden de görüldüğü üzere, a > 0 ise, bir noktanın = f(+a)=g() in grafiği üzerinde olması için gerek ve eter koşul, o nuktanın ata doğrultuda a birim sola kadırılmasıla elde edilen noktanın = f() in grafiği üzerinde bulunmasıdır. Başka bir deimle, = f(+a) nın grafiği = f() in grafiğinin a birim sola kadırılmasıla elde edilir. Şimdi, a < 0 durumunu ele alalım. = f() i sağlar g()=f(+a) (+a,g()) (,g()) = g() i sağlar +a Yukarıdaki şekilden de görüldüğü üzere, a < 0 ise, bir noktanın = f(+a)=g() in grafiği üzerinde olması için gerek ve eter koşul, o nuktanın ata doğrultuda -a birim sağa kadırılmasıla elde edilen noktanın = f() in grafiği üzerinde bulunmasıdır. Başka bir deimle, = f(+a) nın grafiği = f() in grafiğinin -a birim sağa kadırılmasıla elde edilir. Örnek. = f() = nin ata kamaları. = =(+) =(-)

11 Örnek. = f() = in ata kamaları. = = + = Düşe Kama. h() = f() + b. Önce b > 0 durumunu ele alalım. =h() i sağlar h()=f() + b (,h()) f() (,f()) = f() i sağlar Yukarıdaki şekilden de görüldüğü üzere, b> 0 ise, bir noktanın = f() + b=h() in grafiği üzerinde olması için gerek ve eter koşul, o nuktanın düşe doğrultuda b birim ukarı kadırılmasıla elde edilen noktanın = f() in grafiği üzerinde bulunmasıdır. Başka bir deimle, = f() + b nin grafiği = f() in grafiğinin b birim ukarı kadırılmasıla elde edilir.

12 Şimdi, b<0 durumunu ele alalım. = f() i sağlar f() (,f()) h()=f() + b (,h()) =h() i sağlar Yukarıdaki şekilden de görüldüğü üzere, b< 0 ise, bir noktanın = f() + b=h() in grafiği üzerinde olması için gerek ve eter koşul, o nuktanın düşe doğrultuda -b birim aşağı kadırılmasıla elde edilen noktanın = f() in grafiği üzerinde bulunmasıdır. Başka bir deimle, = f() + b nin grafiği = f() in grafiğinin -b birim aşağı kadırılmasıla elde edilir. Örnek. = f() = nin düşe kamaları. = = + = -

13 Örnek. = f() = in düşe kamaları. = = - = Yansıma. k() = - f() f() (,f()) = f() i sağlar - f() (,- f()) = -f() i sağlar = - f() in grafiği, = f() in grafiğinin ekseni etrafında ansıtılmasıla elde edilir.

14 Örnek. = f() = nin ansıması = = - Örnek. = f() = in ansıması. = = Germe ve Büzme. k() = c f(), c > 0. Önce, durumunu ele alalım. = c f() i sağlar c f() f() (,c f()) (,f()) = f() i sağlar

15 Eğer c > 1 ise, = c f() in grafiği, = f() in grafiğinin düşe doğrultuda gerilmiş bir biçimi olur. Şimdi, 0<c<1 durumunu ele alalım. = f() i sağlar f() (,f()) = c f() i sağlar c f() (,c f()) Eğer 0 < c < 1 ise, = c f() in grafiği, = f() in grafiğinin düşe doğrultuda büzülmüş bir biçimi olur. Örnek. = f() = nin gerilme ve büzülmeleri. gerilme = = büzülme (1, ) = (1/) (1,1) (1,1/)

16 Örnek. = f() = in büzülme ve gerilmeleri. gerilme = = büzülme = (1/) (1, ) (1,1) (1,1/).6.5. Kama, Yansıma, Gerilme ve Büzülmelerin Art Arda Ugulanması. Pratikte karşılaştığımız fonksionlardan pek çoğu, elemanter fonksionlara daha önce gördüğümüz transformasonların art arda ugulanmasıla elde edilir. Örnek. = nin grafiği, = in grafiğinden elde edilebilir. = = - 1 = 3-1 = -(3-1 ) = -(3-1 ) + = 3-1 = = - 1 (1,3) = =-3-1

17 Örnek. = in grafiği, = nin grafiğinden elde edilebilir. = = (-1) = +1 = (-1) 1 = = (-1) = (1,0) (1,-1) = Problemler 1. Aşağıdaki fonksionların tanım kümelerini bulunuz a) 3 f ( ) = + 3 b) f ( ) = + 4 c) f ( ) = 7 d) f ( ) = e) f ( ) = + 3 f) f ( ) = g) f ( ) = h) f ( ) = 5 3 i) f ( ) = Aşağıdaki denklemlerin hangisi bir fonksion tanımlar? a) 3 7 = 15 b) = 1 c) + = 10 d) + = 5 e) + = 9 f) = 16

18 3. Kenar uzunlukları ve olan bir dikdörtgenin alanı A ve çevre uzunluğu P ile gösterilsin. a) Dikdörtgenin alanı 5 metrekare ise, çevre uzunluğu P i in fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. b) Dikdörtgenin alanı 81 metrekare ise, çevre uzunluğu P i nin fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. c) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 100 metre ise, alan A ı in fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. d) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 160 metre ise, alan A ı nin fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. f ( a + h) f ( a) 4. Aşağıda verilen f() için h a) f ( ) = 3 4 b) f ( ) = ifadesini hesaplaınız. 3 c) f ( ) = d) f ( ) = 1 e) f ( ) = f = 3 3 f) ( ) g) f ( ) = h) 1 f ( ) = Aşağıdaki fonksionların grafiklerini elemanter fonksionların grafikleri üzerinde dönüşümler aparak çiziniz. a) g( ) = + 3 b) h( ) = ( 4) c) k( ) = d) m( ) = + 5 e) v( ) = 0. 5 f) u( ) = 5 6. Aşağıdaki fonksionların grafiklerini elemanter fonksionların grafikleri üzerinde dönüşümler aparak çiziniz. a) f ( ) = + 3 b) h( ) = ( 4) 3 c) k( ) = + 3 d) m( ) = ( + 3) + 4 e) g( ) = 4( ) 6 f ) h( ) = Bir tür fotoğraf makinesi üretip satan bir firmanın malie bölümü, aptığı araştırmalar sonucunda, aşağıdaki fiat-talep fonksionunu belirlior: p ( ) = ( 10), Burada, p () ifadesi, bin tane fotoğraf makinesi üretilip satılması durumunda bir makinenin satış fiatını göstermektedir.(para birimi olarak ugun gördüğünüz bir birimi seçebilirsiniz) a) 50 bin fotoğraf makinesi üretilip satılması durumunda satış fiatı ne olacaktır? b) Fiat talep fonksionu p () in grafiğini çiziniz. c) Gelir fonksionu R () i ifade ediniz ve 30 bin makine üretilip satılması durumunda ne kadar gelir elde edileceğini bulunuz.