UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Transkript

1 UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

2 GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden türevlerini içeren bir denklemi sağlaan fonksionun bulunması problemine dönüşür. Bu mantıkla oluşturulmuş denklemlere Diferansiel Denklemler denir. Diferansiel denklemler, ugulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup, bir çok pratik problemin çözümünde önemli bir araçtır. Bu problemlere örnek olarak salınım problemleri, roket, u ve gezegenlerin hareketleri, kimasal reaksionlar, radoaktif maddelerin parçalanması problemleri, elektrik devreleri vb. gösterilebilir. Bu dersin amacı diferansiel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin çözümünü öğrenmektir.

3 Deneler sonucunda herhangi bir radoaktif maddenin, herhangi bir andaki kütlesinin değişim hızının (başka deişle cismin parçalanma hızının) o andaki kütlesi ile orantılı olğu görülmüştür. Eğer anındaki kütle () ise, kütlenin değişim hızı '() türevidir. Deneler sonucuna göre, '() = k. () azılabilir. Burada k verilmiş cisme bağlı bilinen sabit negatif bir saıdır. Bu saının negatif olmasının sebebi, () kütlesinin zaman geçtikçe azalmasının sonucu olarak '() türevinin negatif olmasıdır. Dolaısıla radoaktif kütlenin diferansiel denklemi ' - k = 0 dır. Yeterli derecede ısınmış bir metal cisim 30 lik bir ortamda (örneğin, havada vea suda) soğutulmaktadır. Deneler gösterior ki bu rumda cismin soğuma hızı, cismin o andaki sıcaklığı ve ortamın sıcaklığı arasındaki fark ile orantılıdır. Eğer anındaki sıcaklık () ise '() = k (() 30) azılabilir. Burada k cisme bağlı negatif bir sabittir. Bölece soğumanın diferansiel denklemi ' = k( 30) olur.

4

5 Diferansiel Denklem Kavramı bağımsız değişkeni, bilinmeen =f() fonksionu ve bu fonksionun türevleri (', '', ''',, (n) ) arasındaki bağıntıa diferansiel denklem denir. Bu eşitlikte türevlerle beraber =f() fonksionunun kendisi in bilinen fonksionları ve sabitler de bulunabilir. Böle bir denklem sembolik olarak, vea ) şeklinde gösterilir.

6 Diferansiel denklemlerde Sınıflandırma: Değişken saısına göre; 1) Adi dif denklemler (Tek değişkenli) ) Kısmi Türevli dif denklemler (Birden fazla değişkenli) Mertebee göre; 1) I. Mertebeden dif denklemler ) Yüksek Mertebeden dif denklemler Lineerliğe göre; 1) Lineer dif denklemler ) Non-lineer dif denklemler Katsaılara göre; 1) Sabit Katsaılı dif denklemler ) Değişken Katsaılı dif denklemler

7 =f() fonksionu tek değişkenli bir fonksion ise denkleme adi diferansiel denklem denir. Bilinmeen =f() fonksionu birden fazla değişkene bağlı ise ise kısmi diferansiel denklem denir. adi diferansiel denklem kısmi diferansiel denklem adi diferansiel denklem kısmi diferansiel denklem

8 Diferansiel Denklemin Mertebesi Denklemdeki en üksek mertebeli türevin değerine diferansiel denklemin mertebesi denir. Cos (I. Mertebeden dif.denklem) 5 (III. Mertebeden dif.denklem) (II. Mertebeden dif.denklem) 4) n) (I. Mertebeden dif.denklem) f (,,,,,... ) 0 (n. Mertebeden dif.denklem) Not: Yukarıdaki denklemlerde, ', '' fonksionları değişkeninin fonksionlarıdır. Genellikle, denklem azılımında, ', '',... altındaki değişkeni azılmıor. Örneğin, '() - () = 0 erine kısaca ' - = 0 azılır.

9 Diferansiel Denklemin Derecesi Bir diferansiel denklemdeki en üksek mertebedeki türevin kuvvetine diferansiel denklemin derecesi denir. ' = / (') = / 1. Dereceden dif. denk.. Dereceden dif. denk. '' + 3(') = 0 1. Dereceden dif. denk.

10 Aşağıdaki diferansiel denklemleri sınıflandırınız. 3. mertebeden, 1. derece dif. denk.. mertebeden,. derece dif. denk.. mertebeden,. derece dif. denk.. mertebeden, derecesi tanımlı değil

11 Lineer ve Lineer Olmaan Diferansiel Denklemler: Lineer dif. denk. Lineer olmaan dif. denk.

12 Genel, Özel ve Tekil Çözümler Bir diferansiel denklemin çözümü; genel çözüm, özel çözüm ve tekil çözüm olmak üzere üçe arılır. Diferansiel denklemin c sabitine bağlı çözümüne genel çözüm; c e değerler verilerek elde edilen çözümlere özel çözüm denir. Arıca bu genel çözümdeki integral sabitine özel değerler verilerek elde edilemeen fakat denklemi sağlaan çözümlere de tekil çözüm denir. sin c) genel çözüm ' 1 c c c 0 1 sin sin sin 1) ) özel çözüm tekil çözüm

13 İçerisinde kefi sabitler içeren çözümlere genel çözüm denir. Genel çözümden, kefi sabite (vea sabitlere) değerler verilmesile elde edilen çözümlere denklemin özel çözümü denir. GENEL ÇÖZÜM ÖZEL ÇÖZÜM 1 1

14 1. MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

15 Değişkenlerine Arılabilir Denklemler

16 Örnek ise () in genel çözümünü bulunuz.

17 Örnek e e e c eniden bir kefi sabit olğundan e c erine ine C azarsak genel çözümü: =C e

18 Örnek ' 1 denkleminin genel çözümünü bulunuz. d d 1 d 1 d d 1 d arcsin c sin c)

19 Örnek

20 Örnek 100 C e kadar ısıtılmış bir metal cisim 30 lik bir ortamda soğutulmaktadır. 4 dakika sonra cismin sıcaklığı 70 C olmuşsa, 10 dakika sonra cismin sıcaklığı kaç olur? Bir önceki soruda soğumanın diferansiel denkleminin genel çözümü = 30 + Ce k olarak bulunmuştu. Başlangıçta cismin sıcaklığı 100 C olğundan (0) = 100 olur. Bu koşuldan ararlanarak C sabitini bulalım:

21 Örnek dr r tand 0 denkleminin genel çözümünü bulunuz. dr r tand 0 dr r tan d 0 ln r ln Cos ) C ln r C Cos r ACos

22 ) 0 ' denkleminin genel çözümünü bulunuz. ) ) d d ) ) d d d d C ln 1 ln 1 C 1 1 ln e C e. e A Örnek

23 Örnek denkleminin genel ve özel çözümünü bulunuz. genel çözüm özel çözüm

24 ÖDEV

25 Değişkenlerine Arılabilir Hale Dönüştürülebilen Diferansiel Denklemler ' a b) formundaki bir diferansiel denklemde: u a b dönüşümü apılırsa: d d d d a d u) elde edilir ve diferansiel denklem değişkenlerine arılabilir hale dönüştürülür.

26 ' sin 3) Örnek formundaki bir diferansiel denklemin genel çözümünü bulunuz. u ' 3 d d dönüşümü apılırsa: d sin u d sin u. d sin u. cos u C cos u C elde edilir. Bulunan çözümde u erine +3 azılırsa: cos 3) C istenen genel çözüm elde edilmiş olur.

27 3) Örnek ' cos formundaki bir diferansiel denklemin genel çözümünü bulunuz. u 3 dönüşümü apılırsa: ' d d 1 d cos u cos u d cos u d tan u C Bulunan çözümde u erine λ+3 azılırsa: tan 3) C

28 ' 3 3 8) Örnek formundaki bir diferansiel denklemin genel çözümünü bulunuz. u dönüşümü apılırsa: d 3 3' 31 u ) d 1 u 3d u 3 C arctan u tan 3 C) Bulunan çözümde u erine azılırsa: tan 3 C) 3 3 8

29 Örnek ' cos ) e 0 u u' ' formundaki diferansiel denklemin genel çözümünü elde ediniz dönüşümü apılırsa: ' u' ilk denklemde erine azılırsa: u e ' cos u 0 u' e cos u cos u e d tan u e C u arctan e C) Bulunan çözümde u erine + azılırsa: C e ) arctan

30 Homojen Denklemler Eğer f(,) bir fonksion ve t bir gerçel saı ise f(t,t)=t n f(,) özelliğine sahipse f e n. dereceden homojen fonksion denir. Örnek f, ) 3 5 fonksionu homojenmidir? f t, t) t) 3 t) t) 5 t) f t, t) t 3t 5t f t, t) t 3 5 ) t, t) t f ) f, fonksion. dereceden homojendir.

31 Örnek f 3, ) fonksionu homojenmidir? f t, t) t) t) t) 3 f 3 t, t) t t 3 3 f t, t) t t ) t, t) t f ) f, fonksion homojen değildir.

32 Homojen Diferansiel Denklemler Eğer f(,) fonksionu 0. dereceden homojen ise: d d f (, ) homojen diferansiel denklemdir. Homojen diferansiel denklemler, ' f ( ) şekline getirilebilirler. Bu denklemlerde u=/ dönüşümü ugulanılarak denklem çözülebilir. Genel çözüm için hesaplanan integralde u=/ komak eterlidir.

33 Örnek ' formundaki diferansiel denklemin genel çözümünü elde ediniz. u ' u' u u' u) u u u' 1u 1 u d arcsin u ln C u sin ln C) sin ln C)

34 ' Örnek formundaki diferansiel denklemin genel çözümünü elde ediniz. u ' u' u u' u u u u' u u d 1 u ln C ln C