Doğrusal ve karesel optimizasyon problemleri için dinamik çözümleyiciler

Transkript

1 tüdegs/d mühedslk Clt:4, Syı:1, Şubt 2005 Doğusl ve kesel optmzsyo poblemle ç dmk çözümleycle Yüksel ÇAKIR, Cüeyt GÜZELİŞ İÜ Elektk-Elektok Fkültes, Elektok ve Hbeleşme Mühedslğ Bölümü, 34469, Ayzğ, İstbul Özet Bu çlışmd, eyleme (optmzto) kumıdk geleeksel gdy zdüşüme (pojeksyo) yötem temel lık doğusl kısıtlı (lely costed), doğusl (le) ve dödü (quc) eyleme poblemle ç gdy zdüşümel ğ (gdet pojectg etwok) olk dldııl ye b çözümleyc tıtılmktdı. Bu dmk system, gdy zdüşüme yötem (gdet pojecto method) süekl hl geçeklemesd. Gdy zdüşüme şlemde dolyı öele çözümleyc sğ tfı, gdy y d gdy-gb (qus-gde sstemlede fklı olk, süeksz ypıddı. Bu ğme öele ğ, gdy ve gdy-gb sstemle ykısm özellklee shpt. ıtıl sstem ykısy olduğu, y, he b çözümü dege oktsıd soldığı L Slle' değşmez küme teoem, sğ tfı süeksz sstemle ç geşletlmes le göstelmşt. Aht Kelmele: Kısıtlı eyleme, gdy zdüşüme, dmk çözümleyc Dymc solves fo le d quc optmzto Abstct I ths study, dymc solve fo lely costed le d quc optmzto poblems, clled gdet pojecto etwok, s toduced. he system s gdet bsed. Gdet dymcl systems e descbed by set of dffeetl equtos stte equto fom whose vecto feld s poduced by the gdet of scl fucto, clled eegy. hese systems do ot hve complex dymcs lke oscllto so tht y bouded soluto of them coveges to oe of the equlbum pots whch e deed exteme of the ssocted eegy fucto. As cosequece of the dymcl popetes, gdet systems hve bee wdely used s tul models fo solvg ucosted mmzto poblems by cosdeg the cost fucto s the eegy. Costed mmzto poblems c lso be solved the sme wy, by ddg to the cost some pelty fucto tems epesetg costt voltos. I the poposed dymcs, fesblty of solutos s stsfed by utlzg the cocept of pojecto to fesble ego. Becuse of pojecto opeto the poposed dymcs s dscotuous, so t s ot gdet but hs the popetes sml to tht of gdet systems. o show ths, L Slle's Ivce heoem hs bee exteded to system wth dscotuous ght-hd sde, d bsed o ths exteso t s show tht the toduced dymcl solve s covege.e., y tjectoy of t eds t oe of the equlb. Keywods: Costed optmzto, gdet pojecto, dymc solve Yzışmlı ypılcğı yz: Yüksel ÇAKIR. yuksel@ehb.tu.edu.t; el: (212) Bu mkle, bc yz tfıd İÜ Elektk-Elektok Fkültes'de tmmlmış "Dymc solves fo le d quc optmzto" dlı dokto tezde hzılmıştı. Mkle met thde degye ulşmış, thde bsım kı lımıştı. Mkle le lgl ttışml the kd degye gödelmeld.

2 Y. Çkı, C. Güzelş Gş So yılld, Hopfeld le bşlmk üzee, eyleme poblemle ç bçok dmk çözümleyc öelmşt (Zk vd., 1995; Bozedoum ve Pttso 1993; Pekeg vd., 1999; Smth, 1999). Eyleme poblemle çözümü ç bu tü b yol zlemes ede bu ypıdk çözümleycle deve olk geçekleeblmes, dolyısıyl çözümü geçek zmd elde edleblmesd. Adışıl ypıd çlış geleeksel çözümleyclele kıysldığıd dmk çözümleycle plel ypıd geçekleeblmelede dolyı dh kıs süede çözüm üetmektele. B dğe fklı d, geleeksel tekklele hesplmld elde edle değele yıkke dmk çözümleyclele elde edle çözümle süekl ypıd olmsıdı. Geel olk dmk çözümleyclede eejs zl dmk ypı kullılmktdı. Bu ypıld sstem dmğ, eej foksyou olk kbul edle eyleme poblemdek mç ölçütüü (cost fucto) zml zltck bçmde tslı, öyle k, değe foksyou ez (mmum) değee ulşıp sstem degeye otuduğud dege oktsı optmzsyo poblem çözümüe kşılık gels. Dege duumud eej foksyouu gdyı sıfı olmkt k bu d yı zmd bu duumu optmzsyo poblem ekstemum oktsı olmsı ç geek şttı. Gdy sstem olk dldııl bu tüdek sstemle tsımıd, Rus mtemtkç ve müheds A. M. Lpuov u dmk sstemle klılık lz ç öedğ ve ked dıyl ıl yötemdek fk temel lımktdı (Hsch ve Smle 1974). Yötem, dmk sstem eejs temsl ede poztf değel, sıılı, zml zl ve soud mmum değede sbt kl b Lpuov foksyouu oluştuulblmese dymktdı. Böyle b foksyou vlığı duumud sstem klı olduğu, y çözümü klı b dege oktsıd soldığı blmekted. Gdy sstemle otk özellğ, çözümle sıılı olmsı duumud bu çözümle he zm b dege oktsıd solıyo olmsıdı, y sstem ykısy ypıddı. Gdy sstemle b dğe özellğ lmt çevm vey kotk ypılı çözümle olmmsıdı. Gdy sstemlede, vele b lk koşul göe eej foksyouu e z yp e ykı dege oktsı buluu. Bu ypılıd dolyı bu tüdek sstemle eyleme poblemle ç üettğ çözümle yeeld (lokl). Bçok eyleme poblemde, özellkle kombtoyl ypıdklede, globl e y çözümü elde etmek ç geeke süe poblem boyutuyl üstel bçmde t (Vvss 1991, Cchock ve Ubehube 1993). Bu tüdek poblemle ç yklşık çözümle de lmlıdı. Gdy temell yötemlele bu tüdek optmzsyo poblemle ç ttm edc yklşık çözümle elde edleblmekted (Pekeg vd., 1999). Kısıtlı optmzsyo poblemle de, uygu eej foksyou oluştuulk gdy temell dmk ypıll çözüleblle. Eej fosyouu oluştuulmsıd zlee yold b, değe foksyou ek olk, kısıt ştlıd oluş bleşele de eej foksyou ht tem olk eklemesd, öyle k, kısıt ştlı sğlmdığı süece bu ht temle poztf değel bleşele olk eej foksyoud ye lmktl, kısıt ştlı sğldığıd se değele sıfı olmktdı. Bu yötem peltı yötem olk dldıılmkt ve çözüme kısıtlı sğlmdığı geçesz (ufesble) bölgede yklşıldığıd dış yötemlede syılmktdı. Bu yötem le geçesz çözümle elde edleblmekted. Buu sebeb, ptkte peltı pmetele uygu değelede seçlememesd. Kısıtlı optmzsyo poblemle kısıtsız hle getlmesde zlee dğe b yol egell foksyo yötemd. Bu yötemde eej foksyou, geçel bölge sıılıd sosuz değelee ulş temle ekle. Bu yötem, çözüme he zm geçel bölgede yklşıldığıd, ç yötemlede syılmktdı. Sııdk oktl ulşılmdığıd bu yklşım, çözümle kısıt bölges sıılıd ol poblemle ç uygu değld. Kısıtlı poblemle çözümüdek b dğe yklşım d gdy zdüşümel yötem kullılmsıdı. Bu yötemde kısıt ştlı sğldığı süece değe foksyou gdyıı tes

3 Doğusl ve kesel optmzsyo poblemle doğultusud gdleek e z ı. Hehg b kısıt hll duumud, bşk b deyşle geçel bölge sıııdyke egtf gdy bleşe geçesz bölgede elde edlyos, egtf gdy, kısıt ştıı belledğ yüzeye zdüşüüleek e z değe msı zdüşüülmüş bu gdy bleşe doğultusud südüülü (Luebege, 1973). Eyleme poblem ez değee, zdüşüülmüş gdy değe sıfı olduğud ulşılı. Bu duumd y gdy değe sıfıdı (k bu d eyleme poblemde ez ç bc deece ştlı sğlmsı lmıı tşı) y d egtf gdy kısıt yüzeye dk ve geçesz bölge doğultusuddı demekt. İkc duum heket edleblecek b yö olmmsı lmıı tşı, dolyısıyl ulşıl okt eyleme poblem ezıdı. Bu çlışmd öele dmk çözümleyc, gdy zdüşüme yötem temel lık tslmıştı. Öele sstem gdy y d gdy-gb (qus-gde olmmsı ğme gdy dmk sstemle ykısm özellklee shpt. Öele dmk çözümleyc ykısy ypıd olduğu L Slle değşmez küme teoem (L Slle, 1960) sğ tfı süeksz sstemle ç geşletlmesyle sptlmıştı. Gdy dmk system Gdy sstemle x = V ( ; x R (1) bçmde tımlı dmk sstemled. Bu sstemle ykısy ypıd olduğuu sptı L Slle değşmez küme teoem le göstel. 1 eoem 1 (L Slle, 1960) x = f ( ; f ( ) C fdes le tımlı sstem gözöüe lısı. V ( ) : R R de tımlı, tüetlebl ve şğıdk özellkle sğly b Lpuov foksyouu olduğu vsyılsı: ) Ω = { x R V ( } kümes > 0 değele ç sıılı b küme olsu, ) V () foksyou Ω kümesdek değele ç ltt sıılı olsu, ) V 0 x Ω olsu. Bu duumd = 0) Ω değede bşly he x ( çözümü, S: = { x Ω V() = 0} Ω de bulu b e geş değşmez kümede (lgest vt se solı. Değşmez kümede dege oktlıı yısı lmt çevmle de bulubl. Aşğıd vele teoem sğlmsı hlde e geş değşmez küme dege oktlıd meyd geldğ göülü (Chu ve Wg, 1978). eoem 2 (Chu ve Wg, 1978): 1 x = f ( ; f ( ) C le tımlı otoom sstem çözümle sıılı se ve ssteme lşk, tüm çözüm eğle boyuc V 0 x R ol ve ck dege oktsı ç V = 0 ol b V () Lpuov foksyou vs sstem ykısydı, bşk b deyşle çözümle ulştığı e geş değşmez küme dege oktlıd meyd gelmekted. Gdy sstemle öeml b özellğ de smptotk klı dege oktlıı eej foksyouu kes (stc yeel ezlı kşılık gelmesd. Bu özellk gdy dmk sstemle eyleme poblemlee çözümleyc olk kullılbl kılmktdı. Gdy zdüşümlü dmk sstem Bu çlışmd (2) bçmde tıml doğusl kısıtlı, dödü optmzsyo poblemle ç gdy temell b dmk çözümleyc öelmekted. mφ( = x Qx c x ; g( = Ax - b Bu fdede; m A R, b R ve g ( = ( Ax b) M : {1,2,..., m}. = 0. (2)

4 Y. Çkı, C. Güzelş Öele çözümleyc dmk ypısı (3) deklemyle velmekted. x = P (. E( (3) Bu deklemde göüle E (, eyleme poblemdek Φ ( mç ölçütüe kşılık gelmekted PI se I y bğlı zdüşüme mts olup deklem (4) de veldğ gb elde edlmekted. P 1 [ I G ( G G ) G ] =. (4) Bu fdede göüe I ds kümes olup I = { M g g ( = 0 ve (. Φ( 0} (5) bçmde tımlmktdı. Bu kümede, ktf ol, bşk b deyşle, eştlk duumu gele ve y zmd d gdylı geçesz bölgey şet ede kısıtlı umlı tutulmktdı. Doğusl kısıt duumud: g ı ( ( Ax b) = ( A) = (6) bu göe de I y lşk fde I = { M ( Ax b) = 0 ve ( A). Φ( 0} (7) bçm lmktdı. GI mts, dsle I d tutul ktf kısıtld oluşmuş kısıt mtsd. Bu mts boyutu I olup he b ( ( GI ) j( ) = ( A) bçmde oluştuulmktdı, j ) {1,2,..., I } stıı. dse bğlı olk bşk b fdeyle GI mts ktf olup yı zmd gdyı geçesz bölgey şet ede kısıtld oluşmktdı. Dmk fdes (3) de vele çözümleyc, P I mts x e göe değşm göstedğde, sğ tfı süeksz b ypıddı. Buul blkte hehg b 0) K : = { x Ax b} bşlgıç koşulu ç çözüm ye de vdı, tekt ve süekld fkt tüetlebl değld. Ayı zmd bu çözüm K polhedl bölgesde klmktdı. Çözümü vlığı ve teklğ şu şeklde göstelebl. He b 0) K bşlgıç koşulu ç l { 0,1,..., m} te kısıtı ktf olduğu ve gdylıı geçesz bölgey göstedğ vsyılsı. Bu kısıtlı belledğ hpeyüzeyde (2) sstem lee duum deklemleyle fde edle sstem ypısıddı. Bu edele, bu bölgede bşly ve bölge çde kl çözüm eğle tek süekld ve tüetleblle. Bölge dışı çık çözüm eğle ye b ktf kısıt kümes oluştuduğu hpeyüzeydek bşlgıç koşuluu oluştumktdıl, bu edele bu ye bölgede de çözüm vdı tekt ve süekld. oplm çözüm eğs bu tüdek bölgesel çözümle bleşmde oluşu, tek süekld fkt hpeyüzey sıılıd tüetlebl değld. Buul blkte hehg b bşlgıç duumu ç çözüm v ve tek olduğud çözüm eğs sğ tft tüetlebl ypıddı. Öele dmk çözümleyc ykısy ypıd olduğuu sptı ç eej foksyouu gdy sstemledek gb zml zl y V ( = [ V ( ] f ( 0 olduğuu göstelmes geek. Öele gdy temell çözümleyc sğ tfı süekl olmdığıd, bu sp gdy sstemlede olduğu gb ypılmz. Bu edele, bu ypıdk sstemle lzde L Slle ı yptığı beze olk (L Slle, 1968), çözümü sğd tüetlebl olm özellğ kullılk sstem ykısy olduğu sptlcktı. Bu mçl öcelkle tüev tımı tek velecekt. ım 1: ): R R foksyouu sğd d t ) tüev = lm bçmde 0 tımlmktdı. Bud 0 sıfı poztf syıld yklşıldığıı beltmekted. Şegö ve dğele, (1999) dk spt beze olk bud d:

5 Doğusl ve kesel optmzsyo poblemle E o ( ) = [ E( ] olduğu göstelebl. Bu fde ışığıd eej foksyouu zml zldığı göstelecekt. Vsyım 1: Dmk ypısı (3) le vele ssteme lşk eej foksyou E( = x Qx c x bçmde olsu. Bu duumd, he x K: = { x Ax b} E o ( ç 0 ve ck dege oktsı E o ( ol x değele ç = 0 dı. İspt: Kesel eej foksyou E( süekl ve x e göe tüetlebl ypıddı. Cözüm eğs x () de süekl ve zm göe sğd tüetlebl ypıddı. Bu göe: de ( ) E o ) = = ) [ E( ] = [ E( ] PI ( E( olu. İzdüşüme mts smetk ve dempotet özellkted, y P = I P ve I P I. P I = P I. Bu özellk kullılk yukıdk fde E o ) 2 = [ E( ] PI ( hl lı. Bu souç eej foksyouu, çözüm eğle boyuc zml tmy ypıd olduğuu, ve ck ve ck PI ( E( = 0 ke E o ) = 0 olduğuu göstemekted. Dh öcede Şegö ve dğele, (1999) d bm hpeküp kısıt bölges ç (3) le vele çözümleyc ykısy ypıd olduğu göstelmşt. Bud, beze yoll hehg b K : = { x Ax b} polhedl kısıt bölges ç de çözümleyc ykısy ypıd olduğu sptlmktdı. eoem 3: (3) fdesyle vele otoom sstem ve bu lşk E( = x Qx c x skle foksyou göz öüe lısı. Bu sstem K : = { x Ax b} bölgesde bşly he çözümü b dege oktsıd solı. İspt: He = 0) K bşlgıç duumu ç elde edle x ( çözümü zdüşüme şlem geeğ sıılıdı ve K polhedl bölgede klmktdı. E( foksyou süekl b foksyodu ve o d K polyhedl bölgede sıılı klmktdı. Vsyım 1 geeğ de( ) 0 x K, bu d E ( x ) 0 çözüm eğle boyuc tmy ypıd olduğuu göstemekted. E ( foksyouu ltt sıılı olduğu d göz öüe lıdığıd, E ( ) zml E gb b lmt değee ykısdığıı, y lmt E( ) = E olduğuu göstemekted. Süekl olmsıd dolyı, E( ) zml E lmt değee ykıske x ( de { x E( x ) = E } kümese ykısmktdı. Bu küme x ( çözüm eğse lşk L poztf lmt kümed. üm çözüm eğle ç E ( ) E lmt kümese ykısdığıd, x L ç E ( = E d. L poztf lmt küme değşmez küme olmsı edeyle (Vdysg, 1978) he x L ç x ( x L, bu d L lmt kümesdek he bşlgıç koşulu ç elde edle çözüm eğs boyuc E ( foksyo değe sbt kldığıı göstemekted. Bşk de( b deyşle = 0 x L. Vsyım 1 geeğ çözüm eğle pöztf lmt kümes L dege oktlıd oluşmktdı. Çözümle teklğde dolyı, he b bşlgıç koşulu ç çözüm b dege oktsıd solmktdı. Elde edle bu souç, (3) le tımlı dmk çözümleyc de gdy sstemle gb ykısy özellkte olduğuu göstemekted.

6 Y. Çkı, C. Güzelş Souç ve ttışm Bu çlışmd doğusl kısıtlı kesel mç ölçütlü eyleme poblemle ç gdy temell b çözümleyc öeld. L Slle değşmez küme teoem, sğ tfı süeksz sstemle ç geşletleek öele çözümleyc de gdy sstemle gb ykısy olduğu gösteld. Öele çözümleyc doğusl kısıtlı tüetlebl hehg b mç ölçütlü eyleme poblem ç de çözümleyc olduğu göstelebl. Öele çözümleyc doım olk geçekleeblmes hlde çözümle geçek zmd elde edleblecekt. Kykl Bouzedoum, A. ve Pttso,.R., (1993). Neul etwok fo quc optmzto wth boud costts, IEEE sctos o Neul Netwoks, 4, 2, , July. Chu, L.O. ve Wg, N.N., (1978). Complete stblty of utoomus ecpocl ole etwoks, It. Joul of Ccut heoy d Applctos, 6, Cchock, A, ve Ubehube, R., (1993). Neul etwoks fo optmzto d sgl pocessg, Joh Wley d Sos d B.G.eube, Stuttgt. Hsch, M.W. ve Smle, S., (1974). Dffeetl equtos, dymcl systems, d le lgeb, Akdemc Pess. L Slle J.P., (1960). Some extesos of Lpuov's secod method, IRE s. Ccut heoy, C- 7, 4, L Slle J.P., (1968). Stblty theoy fo ody dffetl equtos, Joul of Dffeetl Equtos, 4, Luebege, D.G., (1973). Itoducto to le d ole pogmmg, Addso-Wesley Publshg Com. Pekeg, F., Mogül, Ö. ve Güzelş, C. (1999). A stuted le dymcl etwok fo ppoxmtg mxmum clque, IEEE sctos o CAS Pt-I, 46, 6, , Jue Smth, K.A., (1999). Neul etwoks fo combtol optmzto: A evew of moe th decde of esech, INFORMS Joul o Computg, 11, 1, 15-34, Wte. Şegö, N.S., Çkı, Y., Güzelş, C., Pekeg, F ve Mogül, (1999). A lyss of mxmum clque fomultos d stuted le dymcl etwok, ARI, 51, , Spge-Velg. Vvss, S.A., (1991). Nole optmzto, Oxfod Uvesty Pess, New Yok. Vdysg, M., (1978). ole systems lyss, Petce Hll. Zk, S.H., Uptsg, V. d Hu, S., (1995). Solvg le pogmmg poblems wth eul etwoks: A comptve study, IEEE sctos o Neul Netwoks, 6, 1, , Juy.