Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Bir Dizinin Limiti...

Transkript

1 LİMİT VE SÜREKLİLİK Limit ve Süeklilik...8 Bi Foksiou Limiti... 9 Özel Tımlı Foksiolı Limiti... Pçlı Foksiolı Limiti... Mutlk Değe Foksiouu Limiti... 7 Limit Özelliklei... Geişletilmiş Geçel Sıl Kümeside Limit... Belisizlikle... 8 Belisizliği... 8 Belisizliği Belisizliği... 6 Belisizliği Belisizliği... 7 Bi Dizii Limiti... 9 Seile... Süeklilik... Foksiold Süeklilik... Süekli Foksiolı Özelliklei... Sıılı Foksiol... 9 EBAS, EKÜS... 9 Kplı Alıkt Süekli Bi Foksiou Özelliklei... π π π kök π π π f()

2 ÜNİTE. BÖLÜM KAVRAMSAL ADIM Limit, bi içide öemli ole ship kvmld biidi. Tüev ve itegl kvmlıı öğeebilmek içi it kvmıı eksiksiz öğemek geeki. Limit kvmıı lmk içi şu öeği vee. Aşimet, bi çembei çevesii ve sııldığı bölgei lıı hesplm çlışıke köşelei çembe üzeide ol düzgü çokgele çizmişti. Bu çokgelei ke sısı ttıkç çevesideki ve lıdki tışlı gözlemlemişti. Bu çokgelei ke sısı bğlı olk lıı ve çevesii vee foksiolı zlım. O Çokgei çevesi: π P..si Çokgei lı: A.. si. cos olup π/ π/ P C B M A Sold ve Sğd Yklşm R sısı veilsi. Bi değişkei eel sısı d küçük değelele klşıos bu klşm sold klşm dı veili ve ile gösteili. değişkei eel sısı, d büük değelele klşıos bu klşm sğd klşm dı veili ve + ile gösteili.,,9 Sold klflm,99, S d klflm Limit kvmı geçmede öce şğıdki öeği iceleiiz.,,, P A..cos di. maom ^ % h olup etei kd büütüldüğüde sıfı klşı. Bu duumd OM cos k değei 'e klşı. OA etei kd büütüldüğüde P, Ç π e ve A, A c m..( ) e klşı. Bu ise diei lıdı. ÖRNEK f: R R, f() + foksiou veilio. i e klşmsı duumud i hgi sı klştığıı bullım. ÇÖZÜM,9,9,99,99,999,999...,,...., Tblo icelediğide de küçük değelele e klşıldığıd sısıı e klştığı göülü.,, 8

3 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f ( ) foksiouu civıdki dvışıı icelee. f foksiou dışıd tımlıdı.! içi ( )( + ) f ( ) + di. f i gfiği + doğusuu gfiğide (, ) oktsı silieek elde edili. f() tımlı değildi. e klşıke f() e klşmktdı. O hlde f( ) ve $ $ ETKİNLİK di. f() foksiouu oktsıdki itii buluuz. de büük değelele e klşıldığıd sısıı e klştığı göülü. Yi ile sıdki fkı mutlk değei çok küçükke ile sıdki fkı mutlk değei de çok küçüktü. +,,,,999,99,9 Gfik icelediğide içi f() sısı klşmktdı. sısı f foksiouu oktsıdki sold iti dei ve " f( ) şeklide gösteili. Beze şekilde + içi f() sısı klşmktdı. sısı f foksiouu oktsıdki sğd iti dei ve " f( ) şeklide gösteili. BİR FONKSİYONUN LİMİTİ,9,99,999 A R, f: A R ve f: A {} R bi foksio olsu. değişkei sısı sold klştığıd f() de bi L eel sısı klşıos, L sısı f foksiouu oktsıdki sold iti dei ve f( ) L " şeklide gösteili. değişkei sısı sğd klştığıd f() de bi L eel sısı klşıos, L sısı f foksiouu oktsıdki sğd iti dei ve,,, ÜNİTE f( ) L " + şeklide gösteili. f foksiouu oktsıd itii v olmsı içi geek ve ete koşul bu oktdki sğd ve sold itleii mevcut ve bibiie eşit olmsıdı. O hlde L L L ise f( ) L şeklide gösteili. " 9

4 ÜNİTE. f: R {} R, f() foksiouu gfiği veilio. Bu göe, ike f() olduğud f( ) " " + ike f() + değeii (vs) bullım. f() tü. olduğud f( ) tü. " + + f ( ) f ( ) olduğud " " + f foksiouu oktsıd iti vdı. f( ) buluu. ". Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. Bu göe, f( ) " değeii (vs) buluuz. ike f() + olduğud f( ) di. " + ike f() olduğud f( ) di. " + f() + + UYGULAMA ADIMI + f( ). Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. ) b) c) f( ) " f( ) " f( ) " değeleii (vs) buluuz. ) ike f() + olduğud f( ) di. " + ike f() olduğud f( ) di. " b) ike f() + olduğud f( ) " di. + ike f() f( ) " + O hlde f( ) " di. f ( )! f ( ) " " + oktu. olduğud c) ike f() + olduğud f( ) " dı. + ike f() olduğud / + / olduğud f() f() f ( )! f ( ) " " + olduğud f foksiouu oktsıd iti oktu. f ( ) f ( ) f ( ) " " + " dı.

5 . Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. Bu göe, f( ) değeii " (vs) buluuz. ike f() olduğud f( ) di. " + ike f() + olduğud f( ) tü. " + f ( )! f ( ) " " + olduğud f( ) oktu. ". Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. f( ) " buluuz. değeii (vs) ike f() + olduğud f( ) di. " + ike f() olduğud f( ) di. olduğud " + f ( )! f ( ) " " + f( ) " oktu. f() + + f() + UYGULAMA ADIMI + 6. Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. f( ) " buluuz. değeii (vs) ike f() olduğud f( ) di. " + ike f() + olduğud f( ) di. " + O hlde 7. f: [, ] [, ] f() foksiouu gfiği veilmişti. ) b) f( ) ifdeleii " belileiiz. f foksiouu tım kümesi, [, ] olduğud, f i solud, i sğıd tımlı değildi. Ack ve oktlıdki iti iceleike + oktsıdki it içi sdece sğd ite bkılı, oktsıdki it içi sdece sold ite bkılı. Yi, ukıdki gfiğe göe ) f( ) " f( ) di. " f ( ) f ( ) " " + b) f ( ) f ( ) di. " " - f() + f() + + ÜNİTE

6 ÜNİTE 8. f: (, ) (, ) f() foksiouu gfiği veilmişti. ) f( ) " b) f( ) değeleii " buluuz. ) " + ike f() " + ve f: (, ) (, ) olduğud f() f ( ) di. " " + b) " ike f() " ve f: (, ) (, ) olduğud f ( ) f ( ) di. " " 9. f() foksiouu gfiği veilmişti. değeii (vs) bulu- f( ) " uz. + + UYGULAMA ADIMI. f() foksiouu gfiği veilmişti. f( ) " buluuz. değeii (vs) ike f() + olduğud f( ) + " + ike f() + olduğud f( ) + " + du. f ( ) f ( ) + " " + olduğud f( ) + zılı. " Ack it bi geçel sı olmlıdı. Bu edele oktsıd f foksiouu iti oktu.. f() foksiouu gfiği veilmişti. f( ) " buluuz. değeii (vs) + f() f() f() ike f() + olduğud f( ) + olu. " + ike f() olduğud + ike f() olduğud f( ) du. " + ike f() f( ) du. " + f ( ) f ( ) ti. " " + O hlde f( ) oktu. " olduğud f( ) " + du. O hlde f ( ) f ( ) olduğud f( ) zılı. " " + " Ack bi eel sı olmdığıd f( ) oktu. "

7 UYARI. Bi f: D IR $ R foksiouu D oktsıd itii olmsı içi geek ve ete koşul sold ve sğd itleii eşit olmsıdı. Yi. f ( ) f ( ), + f ( ), di. " " + " f ( )! f ( ) ise f ( ) oktu. " " + ". f: D IR IR foksiouu D oktsıdki iti l ise bu değe ı göütüsüe eşit olmk zoud değildi. Aşğıdki gfiği iceleiiz. Yukıdki gfikte f foksiouu oktsıdki sold ve sğd iti l Fkt f() k olup k l e eşit olduğud di. Aı gfikte b oktsıdki sold ve sğd itle m e eşit olduğud b de f(b) m di. b m f ( ) f ( ), di. " " + f( ) m di. " b k l f UYGULAMA ADIMI. Şekilde f(). foksiouu gfiği veilio. f( ) " değeii (vs) buluuz. f ( ) f ( ) " " + olduğud f foksiou oktsıd tımsız olduğu hlde bu oktd iti vdı. SONUÇ f( ) " f() di. f() Bi f() foksiouu tımlı olduğu oktsı kitik okt değilse, f foksiouu oktsıdki iti bu oktdki göütüsüe eşitti. Yi; f ( ) f ( ) " dı. ÜNİTE Şekilde f() foksiouu gfiği veilio. SONUÇ f( ) " değeii (vs) buluuz. Bi f() foksiouu oktsıd itii olmsı içi bu oktd tımlı olmsı geekmez. Bu oktı civıd (komşuluğud) tımlı olmsı geeklidi. f ( ) f ( ) f( ) " " + di.

8 ÜNİTE. Yukıd f foksiouu gfiği veilmişti. Aşğıdkilei buluuz. A) f( ) B) " C) f( ) D) " E) f( ) F) " + G) f( ) H) " I) f().f().f() A) f( ) " B) C) f ( ) ve f ( ) olduğud " " + D) E) f( ) " + f( ) " tü. f( ) di. " (D ve E de f( ) olduğuu göüüz.) " F) f ( ) ve f ( ) olduğud " " + f( ) di. " + f( ) " + f( ) " f( ) " f( ) " UYGULAMA ADIMI. + f ( ) + 6 foksiouu oktsıdki itii buluuz. f foksiou oktsıd tımlı olduğud bu okt kitik okt değildi. + f( ) f( ) ( ) " ( + cos) değeii buluuz. " buluu. değei f() + cos foksiou içi bi kitik okt değildi. Bu edele f ( ) f( ) ( ) + cos " + buluu. f( ) " dı. G) f( ) " H) f ( ) ve f ( ) olduğud " " + f( ) di. " I) f(), f(), f() olduğud f().f().f()..() 6 dı. 7. f() + foksiouu oktsıdki itii buluuz. f() + foksiou oktsıd tımlıdı. Bu edele f( ) f( ). + " buluu.

9 8. itii hesplıız. " içi olduğud kitik oktdı. O hlde bu oktd sold ve sğd itleie bkılı. " h " ( h) h> ( ) h " h olu. h > " + h " ( + h) h > h " h h > olup iti oktu. Çükü ] " " di. UYARI f ( ) f ( ) olmsı d iti vlığı " " + lmı gelmez. Çükü it geçel sıdı. ( d ) bi geçel sı değildi. 9. itii hesplıız. " ( ) içi olduğud kitik oktdı. ( ) Bu edele bu oktd sold ve sğd ite bkılı. ( ) " h " [ ( h)] h > h h " h> ( ) " + h " [ ( + h)] h > h h " h > olup du. Ack it geçel sı olmk ( ) " zoud olduğud de it oktu. UYGULAMA ADIMI, ( ) * + " oktu, "! ( ). ) b) c) " " " + itleii hesplıız. ) " + " + + ve! " " olduğud " oktu. b) c) " " + dı. Gfiği iceleiiz.. Aşğıdki itlei hesplıız. ) b) c) " " " f() i gfiği dki gibidi. ) " + " + +! " " olduğud " oktu. b) c) " " dı. çift sı tek s, (! Z+ ) ÜNİTE

10 ÜNİTE UYARI R ve olsu.,, " " +,. < ise + " " + ", ". " > ise + " + " ", ". ", + " "! +,,, ifdelei tımsızdı. +, +,.,,,,, ifdelei belisizlikti. UYGULAMA ADIMI ) b) c) ( ) + " + ( ) + " ve olduğud dı.. itii " ( ) hesplıız. foksiouu gfiği dki gibidi. foksiouu bi kitik oktsı- değei f() ( ) dı. olduğud + " + " + " ( ) " ( ) " f ( ) ( ) ( ) ( ) " + ( ) ( ) " ( ) " du. du.. Aşğıdki itlei hesplıız. ) b) c) " " " f() foksiouu gfiği dki gibidi., f ( ) foksiouu bi kitik oktsıdı.. Aşğıdki öek çözümlei iceleiiz. ) b) c) d) " + " + + " " ( )

11 e) ( + ) + + " UYGULAMA ADIMI 6. ( ) itii değei edi? " ÜNİTE. f) g) k) l) m) itii değei kçtı? ( ) " ( ) ( ) + " + " + " " UYARI > ise < e si si. e e. + " e, +, " " ( ) "... + ( ) ise, " " > ise oktu, " " ( ) ( ) " " A du. (A bi eel sı) 7. ( ) itii değei edi? " ( ) ( ) " " du. 8. ( ) itii değei edi? " " < olduğud ( ) dı. " 9. ( ) itii değei edi? " > olduğud ( ) " oktu. ( ) " " > olduğud, de dh çbuk sosuz klşı. Y d şöle söleebili. heüz sosuz klşmd, sosuz klşı. Yi, sı ike sosuz klşı. Bu duumd A olu.( A ) " SIKIŞTIRMA TEOREMİ f() h() g() olmk üzee f ( ) g ( ), ise " " h( ), di. " 7

12 ÜNİTE. cos " itii değei edi? cos cos olduğud ve ( ) cos ( ) " " " cos " olduğud cos buluu. ". si itii değei edi? " si si olduğud ve si ( k ) " " " si " olduğud si " dı. UYGULAMA ADIMI.! içi 6 u() 6 + olduğu göe, ( 6 ) 6 " ( 6+ ) 6 " olup sıkıştım teoemie göe u( ) 6 " dı.. f( ) ise " f( ) " f() f() f() ve u( ) değeii buluuz. " olduğuu gösteiiz. f ( ) ve ( f ( ) ) " " olduğud sıkıştım teoemie göe f( ) " buluu.. [, ] ve f( ). cos " itii değei edi? cos olduğud cos ( ) cos & " " " cos " olup cos " dı. olmk üzee, f( ) " değeii buluuz. " " olup sıkıştım teoemie göe f( ) " buluu. 8

13 . Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. ) b) c) f( ) " f( ) " f( ) " değeleii (vs) buluuz. PEKİŞTİRME ADIMI. Şekilde f() f() foksiouu gfiği veilmişti. ) f( ) " b) f( ) " değeleii vs buluuz. f() ÜNİTE. Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. ) b) c) f( ) " f( ) " f( ) " ) b) c) ) b) f() c). Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. f( ) " f( ) " f( ) " ) oktu. b) f() değeleii buluuz. değeleii (vs) buluuz. ) b) c) ) b) c) 9

14 ÜNİTE. ( + ) değeii buluuz. " PEKİŞTİRME ADIMI 8. f() log foksiouu 6 oktsıdki iti kçtı? 6. ( + + ) 7 olduğu göe, kçtı? " 8 9. f ( ) foksiouu oktsıdki itii (vs) buluuz. Yoktu f ( ) + foksiouu oktsıdki iti kçtı?. f() foksiouu oktsıdki itii (vs) buluuz. 6

15 . Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. f ( ) ifdesii değeii " f ( ) + buluuz.. Şekildeki gfik f() foksiou itti. f ( ) + ff ( ( )) " ( ) " ( ) + toplmıı değei kçtı? PEKİŞTİRME ADIMI f() f().. Şekilde gfiği veile f() foksiou içi şğıdkilede hgisi lıştı? A) B) f( ) " C) de it dı. D) f( ) " E) f( ) " + f( ) " 6 + Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. g() (fof)() ise, g ( ) + g() toplmıı buluuz. " " + 6 f() E ÜNİTE

16 ÜNİTE. 6. Gfiği veile f() foksiou içi şğıdkilede hgisi lıştı? A) f( ) B) f( ) C) f( ) " " + " D) f( ) E) f( ) " " g() f() PEKİŞTİRME ADIMI E Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. Aşğıdki ifdelede hgisi lıştı? A) f( ) B) f( ) C) f( ) " " + " + D) f( ) E) f( ) " " + 7 f E g() foksiouu gfiği veilio. Bu göe, itleii buluuz. ) g( ) b) g( ) c) g( ) " " " Gfiği veile f foksiou içi ) f( ) b) f( ) " " 7 içi e söleebili? ) it ok b) c) ) Limit ok, f() b) Limit ok, f()

17 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f : R R Z + ] < ise f ( ) [ ] \ k > foksiouu içi iti vs k değei kçtı? f ( ) ( + ) " " f ( ) ( k ) " + " f( ) " koşul O hlde k f ( ) f ( ) " " + itii olmsı içi geek ve ete olmsıdı. k & k 9 olk buluu. ETKİNLİK f ( ) *, ise, ise foksiou içi, " + f ( ), f( ) b " olduğu göe, b fkı kçtı? ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ. Pçlı Foksiolı Limiti Pçlı foksiolı kitik oktlıd ve foksiou sosuz ( ) olduğu (i kesili foksiou pdsıı sıfı p) oktld sold ve sğd it lıı. Yi f() foksiou Zf ( ), < ] f ( ) [ m, ] f( ), > \ biçimide pçlı olk veilmişse oktsıdki sold it: sğd it: f( ) f ( ) f ( ) " " f( ) f ( ) f ( ) " + " ile buluu. Eğe f() foksiou pçlı olk veilmemişse kitik oktsıdki sol ve sğ itlei dh öce veilee dek olmk üzee f ( ) f ( h) " h " h> f ( ) f ( + h) " + h " h > kullı ile de bulubili. ETKİNLİK f : R R m < ise f ( ) * m foksiou veilio. f( ) " itii olmsı içi m kç olmlıdı? ÜNİTE

18 ÜNİTE., f ( ) ) +, < foksiou içi A) f( ) B) f( ) C) f( ) " " " itleii buluuz. A) kitik okt değildi ve i [, ) lığı düşüo. f ( ) ( ) " " B) kitik oktdı. Bu edele sold ve sğd itlee bkılı. f ( ) ( + ). + 7 " " f ( ) ( ) " + " f ( )! f ( ) ( 7! ) " " + f( ) " oktu. buluu. olduğud C) kitik okt değildi ve < i (, ) lığı düşüo. O hlde f ( ) ( + ). + buluu. " " UYGULAMA ADIMI.. + +, f ( ) *, < foksiouu oktsıdki itii (vs) buluuz. oktsı f foksiouu kitik oktsıdı. < içi f() X olduğud f ( ) ( ). tü. " " içi f() + + olduğud f ( ) ( + + ) ( + + ) " + " + ve f ( ) f ( ) " " + f( ) tü. " f ( ) * +, <,, > olduğud foksiouu oktsıdki itii (vs) buluuz. oktsı f foksiouu kitik oktsıdı. < içi f() + olduğud, f ( ) ( + ) + + " " > içi f() l olduğud f( ),, + du. " + " + f ( )! f ( ) " " +. +, f ( ) ) Ac t, > foksiouu oktsıdki itii buluuz. olduğud f foksiouu oktsıd iti oktu. > içi f() Act olup kitik okt olmdığıd f ( ) f( ) Act buluu. " + l

19 , f ( ) *, > foksiouu oktsıd itii olmsı içi kç olmlıdı? içi f() + + olduğud f ( ) ( + + ) " " > içi f() X olduğud f ( ) ( ) 8 di. " + " + f foksiouu oktsıd itii olmsı içi, f ( ) f ( ) olmlıdı. " " + Yi, & buluu. Z ] t, < f ( ) [ ] cos( ), \ foksiouu oktsıdki itii (vs) buluuz. oktsı f foksiouu kitik oktsıdı. < içi f() t olduğud f ( ) t + " " & UYGULAMA ADIMI içi f() cos( ) si f ( ) ( si ) di. + + " " π siʼi gfiği f ( ) f ( ) " " + olduğud, f( ) oktu. " olduğud 7. f : R R Z + k., < ] f ( ) [, ] \, > foksiouu oktsıd iti vs, k kçtı? π π f ( ) ( + k. ) + k. " " 8k + π ÜNİTE π π f ( ) ( ) 6 " + " f ( ) f ( ) olcğıd " " + tʼi gfiği 8k + 6 8k 8 & k buluu.

20 ÜNİTE... +, ise f ( ) * +, < ise foksiouu oktsıd itii olmsı içi kç olmlıdı?, f ( ) < ise *,, > ise foksiouu oktsıdki itii buluuz., < f ( ) * + b, > foksiou veilio. f( ) " ise, + b i değei kçtı? PEKİŞTİRME ADIMI oktu m+, ise f ( ) * + m+ 6, < ise foksiou veilio. f( ) " olduğu göe, m kçtı?,, < e ise f ( ) * p,, e ise foksiouu e oktsıdki itii olmsı içi, p kç olmlıdı? Z ] + cos, < f ( ) [ ] si, \ foksiouu oktsıdki itii buluuz. 9 6

21 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f : R R Z ] + k +, < f ( ) [, ] +, > \ foksiouu oktsıd iti olduğu göe, k ı değei kçtı? f i deki sold itii sğd itie eşit olmsı geeki. f ( ) + k+ " " k + f ( ) + " + " + ( + ) " olup k + & k olmlıdı. ETKİNLİK ( + ) ". Mutlk Değe Foksiouu Limiti f() g() foksiou veilsi. f() i kitik oktlıdki (g() deklemii kökleide) iti sıfıdı. f() f() kitik oktdı. ve f ( ) " " dı. l kitik oktldı. f ( ) " " f ( ) " " f() l f() + X kitik oktdı. ve f ( ), " " kitik oktldı. + dı. f ( ) + " " f ( ) + " " dı. ÜNİTE b l " değei kçtı? " +.( ) + " + ( ) + ", ( ), (. ), " " 7

22 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK...,! g ( ) *, foksiou içi cos cos dı. " f ( ) f ( ) " " g( ) değeii belileiiz. " + 6 ( + 6) " ". + 6 Z, < ] f ( ) [, ], > \ foksiou içi f( ) değeii belileiiz. " buluu. + 6 ( + 6) " " ( ) ( ) " " + ( + ) " ( 6) " ( + ) " Z ( ) + +, < 6 ] di., + f ( ) [ ] b, > \ foksiou veilio. + b ise di. f( ) " olmlıdı? itii olmsı içi ve b e 6 + ". + + " " olu. 8

23 . f: IR IR, + f ( ) foksiou içi. fir : & " IR, f ( ) + + foksiou içi, f( ) " kçtı? f( ) " kçtı? foksiouu kitik oktsı olmdığıd oktsı foksiou kitik oktsı olmdığıd it + +.( ) içi f() di. f( ) f( ) " + + " ( ) + ti.. foksiouu oktsıdki itii ". f: IR {} IR, f() foksiou içi f( ) edi? buluuz. " IR {} içi, oktsı foksiou kitik oktsı değildi., < ise f ( ) f ( ) ) " ", > ise biçimide zılı. buluu. f ( ) ( ) " " f ( ) () " + " + di. f ( )! f ( ) " " + olduğud f( ) " UYGULAMA ADIMI 6. f() foksiouu oktsıdki itii oktu. (vs) buluuz. oktsı f foksiouu bi kitik oktsıdı. Sold ve sğd itie bklım. f ( ) " " ÜNİTE. f: IR IR, f() foksiou içi kçtı? oktsı foksiou kitik oktsı değildi. (Kitik okt di.) Bi edele foksiod zılk it buluu. f ( ) ( ) " ". du. f( ) " ve ike < olduğud ( ) di. " " f ( ) " " + + ve + ike > olduğud di. " + " + f ( ) f ( ) " " + olduğud f foksiouu oktsıd iti oktu. 9

24 ÜNİTE f() foksiouu oktsıdki 6 sold itii buluuz. oktsı f foksiouu pdsıı sıfı ptığıd bi kitik oktdı. Tblo plım ike < olduğud 6+ 8 ( 6+ 8) f ( ) " " 6 " 6 ( )( ) " ( )( + ) ( ) ( ) " + + buluu f() foksiouu oktsıdki itii (vs) buluuz. oktsı f foksiouu kitik oktsıdı. Sold ve sğd itie bklım. 8 < ve < olduğud f ( ) " " " 8 " " ( 8) ( ) ( )( + + ) ( )( + ) içi 8 > ve > olduğud UYGULAMA ADIMI f ( ) " " olduğud buluu. 9. g() ( ) koşuluu sğl g foksiou tımlıo. değeii buluuz. g() ( ) ise ( ) g() ( ) olup ( ) + g() ( ) + di. f() ( ) + ve h() ( ) + deilise f ( ) ve h ( ) " " olup sıkıştım teoemie göe g( ) buluu. " 8. f() foksiouu oktsıdki sold itii buluuz " + " + " + f ( ) f ( ) " " + g( ) " ( )( + + ) ( )( + ) f( ) " ( 8 9)( + 9) f ( ) tü (+ ).( + 9) " buluu.

25 . 9 + " itii değei kçtı? PEKİŞTİRME ADIMI. " itii değei kçtı? ÜNİTE. " itii değei kçtı?. " + itii (vs) değei kçtı?. + + " itii değei kçtı? f ( ) foksiouu oktsıdki sold itii buluuz.

26 ÜNİTE " itii değei kçtı? PEKİŞTİRME ADIMI. " ( )( ) itii değei kçtı? 8. + " + itii değei kçtı?. " si ( ) itii değei kçtı? 9. 6 " + itii değei kçtı?. + + " itii değei kçtı? 6

27 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK SAYI TUT OYUNU Aklıızd bi sı tutuuz. Akdşıızı bu sıı thmi etmesii isteiiz. Akdşıızı thmi ettiği sı, tuttuğuuz sıd küçükse "ukı" die ölediiiz. Thmii sıd büükse "şğı" die ölediiiz. Bu işleme devm edildiğide lık gittikçe dlck, sğd ve sold tutul sı klşılck ve souçt tutul sı bulucktı. Limit kvmıd d foksio sold ve sğd belili bi değele klşmk olul foksiou iti buluu. ETKİNLİK, ) f ( ) * 7, foksiouu oktsıdki itii ştııız. LİMİT ÖZELLİKLERİ,,,! IR ve f( ),, g( ) olsu., " "... k bi geçel sı olmk üzee. m IN + içi. f sıılı bi foksio ve 6. 6 f ( ) g ( ) f ( ) g ( " " " ^ f ( ). g ( ) h f ( ). g ( ),., " _ " i _ " i 6 kf.()@ k. f () k. " ", f( ). g( ) " ^ h, dı. olmk üzee 7. k bi geçel sı olmk üzee k k k " f ( ) f ( ), " 8. tek doğl sı ise m m f ( ) f ( ) m ^ h, " _ " i çift doğl sı ve f() ise g( ) ise " f ( ) f ( ) ", " g ( ) g ( ), " di. f ( ) f ( ), " " f ( ) f ( ), di. " " di. ÜNİTE 9. f ( ) f ( ) di. " ", b) ( + ) " itii hesplıız.. t bi geçel sı olmk üzee, ( ) f ( ) f ", t t t di. ". f, g, h foksiolı bi A kümeside tımlı ve A içi f() h() g() ve f ( ) g ( ), ise " " h( ), di. " (Bu sıkıştım özelliği dei.)

28 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE IR olmk üzee;. si si ".. ÖRNEK si " ÇÖZÜM Tigoometik Foksiolı Limiti cos cos " t t ( cos ) ". cot cot ( si ) dı. " Tigoometik itlei hesplmsıd şğıdki itlei bilimesi kollık sğlcktı... ( ) ( ) si U U " U ( ) " si U ( ) ( ) ( ) t U U " U ( ) " t U ( ) Özel olk, U() lııs si si " " t t " " di. olduğuu gösteiiz. A C OAB üçgeii lı AB. OB.si.cos AOD die diii lı COD üçgeii lı OD. DC..t.t olu. All sıdki sılmı göz öüde buluduusk,. si. cos < < t si & si. cos < < cos & cos < < si cos & Eğe zız. cos < < si cos & " + " + " + < < & si si " + " + < < " si " si lısk beze işlemlele, olu. O hlde, olu. cos < < si cos si cos > > cos eşitsizliği olu. B D eşitsizliğii geektidiğide, si buluu. " Şekildeki biim çembede < < AB si, DC t, AD di. SONUÇ ( ) ( ) si f f f ( )" f ( ) f ( )" si f ( ) OB cos, OD di.

29 . f() ( ).( ) foksiou içi f( ) " itii hesplıız. f ( ) 6 ( ).( " " (7).8. 7 buluu.. f + k + itii değei ise, k sısı " + + k p kçtı? ( ). ( ) " " ( ( ) ).( ( ) ) k + + k " f + p + " + + k + " k " + k. & k. k & + + k k & + k k + k & k + k & k & k di. UYGULAMA ADIMI Bölece si. si " \. dı. (Bud [, ] di.) si k. ^ h itii hesplıız. " si si k k ^ h ^ h ". + itii hesplıız. " f c m p h + + " h " h > b l 8 ^ h b l h " h h > dı. tü. ÜNİTE.. si " itii hesplıız. " iç i si " si olu. si olduğud si di. 6. " itii hesplıız. h + " + h " h > h h " h > b l O hlde si sıılıdı. + b l dı.

30 ÜNİTE + cos 7. itii hesplıız. " + si UYGULAMA ADIMI + si. t itii hesplıız. " + cos + cos + " + si + si + di. t+. cos 8. itii hesplıız. " + cos t+. cos t+. cos " + cos + cos 9. si p itii hesplıız. " içi p ve si p si p p. p " " p. si p " p p. p di si p p " dı. olduğud + si si t t + " " " t + cos " + di.. t itii hesplıız " t t " " t b l " t b l ". tü.. itii hesplıız. " t p içi p ve " p t p p. " " t p p p. " t p p. p buluu. p t p olduğud. si p " t q itii hesplıız. si p si p t. q " " t q si p q ; c p. p m. c t q. q me " si p q c p. p m. c. t q q m " " si p q pc p m. b t q l. q " " p p. q q du. 6

31 . si itii hesplıız. " si si. d " " dı. si. itii hesplıız. " si 6. cot itii hesplıız. " c si m. c " " si. c 6 " m ". si si. si d " " si olduğud si c md " " si cot t k si. d " " si. di. cot t k " " t k " k m UYGULAMA ADIMI cos 7. itii hesplıız. ". Yol: cos si k si olduğud cos si " ". Yol: si. ". si. " J si N K. O " K O L P. si f" p. di. cos ( cos )( + cos ) " " ( + cos ) cos " ( + cos ) si " ( + cos ) si d. c " " + cos m ÜNİTE f t k p " buluu. si c m. c " " + cos m. di. + 7

32 ÜNİTE si( si ) 8. itii hesplıız. " si( si ) si( si ) c. si " ". si m + cos 9. itii hesplıız. " k + cos + ( si ) olduğud + cos si " k " k ve cos si( si ). si c si m " si( si ) c m. si.. si c m di " " si k. di. ^ sih " k. cos " f p olduğud. cos si k. f p > H " " k UYGULAMA ADIMI cos. itii hesplıız. ". si cos c si m si olduğud cos si. si " ". si buluu. si( ). itii hesplıız. " si si si si si. si. si ". si. cos t ". + cos olduğud. si( ) si cos ". + si cos si. " + cos cos " + cos cos sec buluu.. csi " itii hesplıız. csi & si & dı. O hlde csi si " " di.. si ^ 9h " itii hesplıız. si ^ 9h si ^ 9h.( + ) G " " ( )( + ) si ^ 9h.( ) + G " 9 si ^ 9h. ( ) + " 9 " ( + ) 6 dı. 8

33 . + " itii değei kçtı? PEKİŞTİRME ADIMI. + + " itii değei kçtı? ÜNİTE. + + b l " itii değei kçtı? 8. + " + itii değei kçtı?. + + " 6. si " cos itii değei kçtı? itii değei kçtı? 9

34 ÜNİTE 7. b + " l PEKİŞTİRME ADIMI. si " itii değei kçtı? itii değei kçtı? 8. ^ + h " + itii değei kçtı? 6 8. ( ) si " itii değei kçtı? 9.. k si ( ) + " 6 " eşitliğide k ı değei kçtı?. si " si itii değei kçtı? 9

35 . " PEKİŞTİRME ADIMI t 6. " si 6 ÜNİTE itii değei kçtı? itii değei kçtı?.. si " si itii değei kçtı? ^. 8h 7. ( ) si " ( ) itii değei kçtı?. ( ) si " 8. + si " + t itii değei kçtı? itii değei kçtı?

36 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK! ike Solu Limitle Sosuzluk içi kullıl ( ) sembolü bi eel sı belitmez. sembolüü bi foksiou tım kümesideki ve değe kümesideki değele he solu sıııı ştığıdki dvışıı tımlmk içi kullılı. Öeği foksiou he içi! tımlıdı. pozitif olk gideek büüke, gideek küçülü. egtif ike büüklüğü gideek tke, ie küçülü. Bu gözlemlei $! ike f ( ) i iti dı. Ve f ( ) i sosuzd ve (+) egtif sosuzd iti sıfıdı şeklide özetleebiliiz. ETKİNLİK GENİŞLETİLMİŞ GERÇEL SAYILAR KÜMESİNDE LİMİT TANIM R geçel sıl kümesie ve + u ktılmsıl elde edile kümee geişletilmiş eel sıl kümesi dei. ve Yi R R, {, + } du. ile gösteili. Şimdie kd R olmk üzee içi itle lıdı. Bud so, + içi de itlei hesplcğız. UYARI : bi poliom olmk üzee (... ) ^ h "! "! Yi poliomu!! içi itidi. R di. içi iti, o poliomu e üksek deeceli teimii UYARI : Z ], < m ise ], m ise b b... b b b m m m [ " + m ] m ]?, > m ise \ olu.? eie i işeti zılı. bm + k. cos "! k itii hesplıız. ETKİNLİK cos. si + " c m k itii hesplıız.

37 . ( + ) itii hesplıız. " + + poliomuu e üksek deeceli teimi olduğud ^ + h + du. " + " +. ( ) itii hesplıız. " + ( ) poliomud e üksek deeceli teim ( ) olduğud ( ) ( ) " + " + du.. ( + ) itii hesplıız. " ( + ) poliomud e üksek deeceli teim ( ) olduğud ( ) " + " ^ h ^ h + olu. UYGULAMA ADIMI. itii hesplıız. " + d + Kesili ifdei p ve pdsıd bulu poliomlı deecelei eşit olduğud it d di. " itii hesplıız. " d + Pı deecesi () pdı deeceside () küçük olduğud + " + dı. 7. itii hesplıız. " + d Pı deecesi () pdı deeceside () büük olduğud it " + " + " + ^h du. ÜNİTE ( + ) 8. itii değei ise kçtı? " + ( ) +. " + itii hesplıız. ^ + + h ^ h " + " + ^+h du. P ve pdı deecelei eşit olduğud it e büük deeceli teimlei ktsılı oıdı. Yi ( + ) + ( ) " + +

38 ÜNİTE & & & buluu. 9. itii hesplıız. " + ", " + içi itlede geellikle p ve pd e üksek deeceli teimlei ptezie lıı. " + " +. itii hesplıız. " + b l " + ^6! IR iç i h " + c m b l c m " + " c+ m.. + di. UYGULAMA ADIMI dı. si. + itii hesplıız. " k si ve olduğud sıkıştım teoemi geeğice buluu.. cos itii hesplıız. " + di. + cos. itii hesplıız. " k "! si + k + "! cos cos " " + + k " cos k " + k " cos + + cos olu. " k cos + " k. ( < içi ) " + + " /. cos M die. " M [, ] di. O hlde cos + k + M " " + buluu.

39 . ^ + + h " + itii değei edi? PEKİŞTİRME ADIMI +. " d ( + ) itii değei edi? ÜNİTE. ^ h " itii değei edi? +. + " + itii değei edi? d " + + itii değei edi? " + + itii değei edi?

40 ÜNİTE " + + itii değei edi? PEKİŞTİRME ADIMI. " + e + itii değei edi? 8. + " + + itii değei edi? log d " itii değei edi? e 9. ( + ) " ( + ). " itii değei edi? itii değei edi? 6

41 " + + itii değei edi? PEKİŞTİRME ADIMI 6. c b + m " olduğu göe, ve b i buluuz. ÜNİTE. + " + + itii değei edi? " itii değei edi? b. ( m+ ) + ( + ) + ( m ) ( ) " + + olduğu göe, m kçtı? 8. ( + ) + " ( + ) + itii değei edi? 7

42 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK " + ifdesii soucu kçtı? + olduğud, " " " " ^ + + h " + + buluu. + ETKİNLİK + " eie zsk itii değei edi? belisizliği elde edili. P ve pd ( ) ile sdeleştiilecekti. + ( )( ) " " ( )( + ) + + " buluu. BELİRSİZLİKLER f( ) iti ştıılıke eie zıldığıd f() değei ",,.,,,, duumlıd bii olbili. Buld he biie belisizlik dei. Bud sdece,,. ve belisizlikleie değieceğiz. Bu döt belisizliği ve diğeleii tüev kousud tek iceleeceğiz.. BELİRSİZLİĞİ f ( ) f ( ) itii hesplmk içi eie zılı. oluos " g ( ) g ( ) bu duumd f() ve g() foksiolı ( ) çpımı ship demekti. Yi f() ( ).f () g() ( ).g () biçimidedi. Bud f ( ) ( ) ( ) f " g ( ) " ( ). g ( ) f( ) f( ) " g ( ) g ( ) buluu. f( ) f ( ) Eğe bi belisizlik ise içi ukıd pıl işlemle g( ) g ( ) içi pılı. ETKİNLİK " itii hesplıız. f( ) g( ) eie zsk belisizliği elde edili. P ve pd teimleii eşleiği ile çpk ile bölümei sğllım. ^ h^ + h^+ h " " ^ h^+ h^ + h ^ h^+ " ^ h^ + h h. + " " + ^ h. " ^ h " ^ h^ + + h " ^ + + h + + " buluu. 8

43 . itii hesplıız. " 8 " belisizliği vdı. ( )( + ) " 8 " ( )( + + ) itii hesplıız. " 7+ 6 olu. O hlde buluu " ! !! 6 6 6! 6 belisizliği vdı. 7+6! ! 6 + 6! ( )( + + 6) " 7+ 6 " ( )( + 6) ! UYGULAMA ADIMI di.. itii hesplıız. " 8 belisizliği vdı. 8 döüşümü pılı. " & " tü. 7 ^ )(9+ h " " (9. + ) 9 buluu.. si k 6 itii hesplıız. " cos 6 belisizliği vdı. 6 O hlde döüşümü vdı. + olu ve " içi " 6 6 si k 6 " cos " 6 dı. si cos + k 6 si " ;. cos. si E " " si cos + si si ( cos ) + si si " : b si ld + si si. cos " si + si cos cos " si + cos buluu. ÜNİTE 9

44 ÜNİTE 9. itii hesplıız. " 9 " belisizliği vdı. 9 ^ 9 h^+ 9 h " " ^ h^+ 9 h ( 9 ) " ( )( + 9 ) 8 " ( )( + 9 ) ( ) " ( )( + 9 ) " buluu. 6. itii hesplıız. " " belisizliği vdı. ( )( + + ) " " ^ + + h " itii hesplıız. " ". buluu. belisizliği vdı. 8+ ( )( ) " " ( + )( ) ( ).( ) " UYGULAMA ADIMI buluu. 8. itii değei edi? " eie zsk elde edili. P ve pd ile bölümelidi. Öce pdı eşleiği ile çpk pdı so- el plım. ^ h. ^ + h " " ^ h^ + h ^ h^+ h^ + h ". " ^ + h ^ + h ^+ h. ^ + h ^h. ^ h + cos 9. itii buluuz. " si buluu. eie zsk belisizliği elde edili. Belisizliği kldımk içi şekilleide biie ulşmmız geekio. sih h Ve cos ile sdeleştime pmlıız. + cos cos si " " si cos ^+ si h cos ^+ si h si si " ^ h^ + h " si cos. ^+ si h " cos + si + " ^ h ^ h buluu. 6

45 . " PEKİŞTİRME ADIMI. " ÜNİTE itii hesplıız. itii hesplıız.. " + itii hesplıız.. " itii hesplıız.. " itii hesplıız. 6. " itii hesplıız. 6

46 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Aşğıdki itlei hesplıız ) " b) " + c) " d) " +. BELİRSİZLİĞİ f ( )! IR olsu. " içi ifdeside g ( ) + + +, +,, f ( ) itide " g ( ) ÖRNEK 6+ + " + ÇÖZÜM 6+ c + m " " + ÖRNEK duumlıd bii vs belisizliği vdı dei. değei kçtı? c6+ + m 7 " + k buluu. + + " + 6 i değei edi? ÇÖZÜM e) " " + 6 olup, c+ + m 6 " c + 6 m 6 buluu. 6

47 . itii hesplıız. " + " + belisizliği vdı. di. 9+. itii hesplıız. " " + " + belisizliği vdı. b l. " + b l. " + b l 9 9 c + m + " + " c + m 9. + " " ( ). + 9 c + + m + " c m UYGULAMA ADIMI buluu. +. itii hesplıız. " " + + " buluu.. itii hesplıız. " + + ( + ) + ( + ). + " " + c + m " c m + + ( ) " + + " + ( + ) " + ( + ) ( + ) buluu. ÜNİTE 6

48 ÜNİTE. + " + itii hesplıız. PEKİŞTİRME ADIMI +. " itii hesplıız.. + " itii hesplıız. +. " + + itii hesplıız.. " " + + itii hesplıız. itii hesplıız. 6

49 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ^ 6. cot h " itii değei kçtı? ^ 6. cot h 6.. cot. " cos cos " si " si 6.. cos ETKİNLİK. si " k. si k. " O hlde J si N K O " K O L P " ise " Bu göe buluu. dı. itii değei kçtı? duumu geli. olu. si ".. BELİRSİZLİĞİ f( ). g( ) itii hesplke. biçimide belisizliklele kşılşılbili. Bu " belisizliği gidemek içi çpld biii çpm göe tesi pd zılk veile ifde d f ( ) 6 f ( ). g ( )@ " " g ( ) g ( ) 6 f ( ). g ( )@ " " f ( ) biçimide zılk it hesplı. ETKİNLİK tüüde bi belisizliğe döüştüeek it hesplı. Yi d ) ( ). t k itii değeii buluuz. " b). si itii değeii buluuz. " ÜNİTE Yi f( ) " olu. 6

50 ÜNİTE.. si itii hesplıız. " +. si. si " + belisizliği vdı.. + t. t. cos itii hesplıız. " k dı.. t t itii hesplıız. " k eşitliği kullılıs.. si si. " + " + J si N K O " + _ K " + i O L P. ^+ h + buluu. + t. t. cos. " k cos + si. t +. buluu. " k t t. " k dı. t t t + k t t t t k t k " " t t " + t + buluu. UYGULAMA ADIMI si. cos. + itii hesplıız. " f p si cos. +. " f p belisizliği vdı. si + si + cos. f p " " cos deilise " içi olcğıd " si + k + cos + " " cos + k si di...( ) itii hesplıız. " belisizliği vdı. ^ cos+ h " " si + ve ( ) + " "..( ) " " ( ) " olduğud ( ) buluu. " 66

51 . ( ). t " itii hesplıız. PEKİŞTİRME ADIMI. t. t " 9 kc itii hesplıız. ÜNİTE. 7. si " itii hesplıız. π 7.. cot " itii hesplıız.. 6 ( ). " itii hesplıız ;. b l + E " itii hesplıız. 8 67

52 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK ^ + h $ itii değeii buluuz. ^ + h $ ifdei eşleiği ile çpıp böleek getie. buluu. du. ^ + h^ + + h $ ^ + + h + $ f c+ m + p $ c + + m $ ETKİNLİK k " itii değeii buluuz. duumu. BELİRSİZLİĞİ f ( ) ve g ( ) " " 6 f( ) g( " ise şeklideki belisizlikledi. Bu duumd ifde, eşleiği ile çpılıp bölüeek, 6f ( )@ 6g ( )@ f ( ) g ( ) f ( ) + g ( ) 6g ( )@ 6f ( )@ şeklide zılı. + f ( ). 6g ( )@ 6f ( )@. g ( ) ÖRNEK ÇÖZÜM belisizliği ^ + b c + b h " şeklie döüştüülmüş olu. ^ + b c + b h " itii değeii buluuz. du. ^ + b c + bh^ + b + c + bh " + b + c + b + b c b " b b c+ m + cc+ m ( c) " b b c + + c + m ( c) c + c 6 ^ h@ " " ^ + b c + b h " du. 68

53 . ^ + + b c + d h itii hesplıız. " ^ + + b + + c + d + + b + + c + d " ^ + + b + + c + dh. ^ itii hesplıız. " + + h belisizliği vdı. h^ + + b c d " + + b + + c + d b d b c+ l " b c d c m " b d c+ b c d c c + olu. ^ + h + + " + ^ " + + h ^ + h. ^ + + h " ^ + h ^ h " " " + c + m c + m + c m c + m " + ; + + E olu. UYGULAMA ADIMI h. ^ + h itii hesplıız. " + belisizliği vdı. ^ + h " + ise eşleiği ile çpıp böle. ^ + h^ + + h + " " " " + b+ l + olu.. ^ + h itii hesplıız. " + ^ + h + " + belisizliği vdı. ^ + h " + ^ + h^ + + h " " " + " + " +. " + b " + c+ m + c+ m l " + c+ m + G olu. ÜNİTE 69

54 ÜNİTE. ^ h itii hesplıız. " + ^ h " + belisizliği vdı. ^ h " + ^ h^+ h > H " + + ^ h " " + + c m c+ m " + + c+ m " + c+ m buluu itii hesplıız. " " " buluu. + " ; + E " + ; + + E olup + UYGULAMA ADIMI 7. itii hesplıız. " G " G " G belisizliği vdı. buluu. belisizliği vdı. + " " ^ h^ + h " ^ h^ + h " ( ) ^ + h itii hesplıız. " " + " + di " " ^ ^ h^ + h h^ + h olduğud 7

55 . ^ " + + h PEKİŞTİRME ADIMI. ^ " h ÜNİTE itii hesplıız. itii hesplıız.. c + m " + itii hesplıız.. ^ + h " + itii hesplıız.. ^ h " itii hesplıız d + + " + itii hesplıız. 7

56 ÜNİTE 7. d " + + PEKİŞTİRME ADIMI. c " 8 m itii hesplıız. itii hesplıız. 8. ^ 9 + h " + itii hesplıız. 9. ^ + h " itii hesplıız. 9. ^ h ". ^ + + h " itii hesplıız. itii hesplıız. + 7

57 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK $ f ( ), g ( ). BELİRSİZLİĞİ 6 g ( ) + f( ifdeside, belisizliği vdı. " f( ) " g( ) ise, " itii hespllım. f( ). g( ), olmk üzee, " llım. g ( ) + f( ) e, f ( ) " $ $ g ( ) $ $ $ di. Ack g ( ) belisizliği he zm 6 + f( şeklideki it poblemle- " ide ot çıkmz. Bu edele geel olk, belisizliği v. g ( ) g ( ) f ( ) 6 f( g ( ) f ( ) ^ ^ h ; + f ( )hf ( ) E " $ $ g( ). ^f( ) h $ e.( $ ) e e buluu. ETKİNLİK Aşğıdki itlei hesplıız. ) + 9 " k ifdeside ise, ÖRNEK ÇÖZÜM f ( ), g ( ) " " g f ( ) ( ) g " + 6f ( ( ) " " + + k " f ( ) g ( ) & ^ h 6+ ^f( ) h@ f ( ) " ^f( ) h. g( ) " e (e,788...) di. itii değeii buluuz.. + ^ + h b " + " l e e buluu. ÜNİTE 9 b) " b l b + l ^+ h e " " b l ^ h e " " k m + ekm " b l 7

58 ÜNİTE. 6 + itii hesplıız. " b l. belisizliği v. 6 6 b + l ; b + " " l E ^ + h " e 6 dı. belisizliği v. 6 ; + " b l E itii hesplıız. ^+ h b ^+ h l " " ; ^ + h E " e e. itii hesplıız. " + k UYGULAMA ADIMI. + itii hesplıız. " c m c+ m > c + " " m H buluu d itii hesplıız. " + " e e belisizliği v d d " + " c " m > c " m H e + e. e 8 buluu. belisizliği v. + k b l " + " + " b + l + + ; b l E " + " e + e olu e " k olduğu göe, sısıı buluuz ( > ) + e e " ^ ise, e e & & ^ h &, > olduğud di. 7

59 . + " b l itii hesplıız. PEKİŞTİRME ADIMI +. " b + l itii hesplıız. ÜNİTE. ^ + h " itii hesplıız. e 6 e. ^ cot + si h " itii hesplıız. e e. + " b + l 6. ^ + t h t " itii hesplıız. itii hesplıız. e e 7

60 ÜNİTE d " + 8 itii hesplıız. PEKİŞTİRME ADIMI. si si b l si " itii hesplıız. 8. si. " b si l itii hesplıız. ( kπ, k Z) itii hesplıız. e 6 e cot ^ cos + si h " e 9. cot ^+ si h ". ^ cos +. si b h " itii hesplıız. itii hesplıız. e e b 76

61 . f foksiouu gfiği veilmişti.. Aşğıdki bilgilede kç tesi doğudu? I. f( ) IV. f( ) " " II. f( ) V. f( ) " + " + III. f( ) VI. f( ) " " A) B) C) D) E) + " + + itii değei kçtı? SINAMA ADIMI f() A) B) C) D) E). cos değei kçtı? " A) B) C) D) E) 9. itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) itii değei kçtı? " 7 7 A) B) C) D) E) itii değei kçtı? " c m ÜNİTE A) B) C) D) E). değei kçtı? " + A) B) C) D) E) + 8. olduğu göe, k kçtı? ( k ) " + + A) 9 B) 8 C) 6 D) E). D. B. C. A. E 6. E 7. D 8. B 77

62 ÜNİTE. si( ) itii değei kçtı? " SINAMA ADIMI itii değei kçtı? " ( + )( ) A) B) C) D) E). si itii değei kçtı? " 6 A) B) C) D) E) 9 ) ) A B C) D) E). si itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) ( ). si + itii değei kçtı? " ( + ) A) B) C) D) E). + itii değei kçtı? " b l A) e B) C) e e D) Ee ) e. si itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) 6. itii değei kçtı? " + + ) ) A B C) D) E) D. B. C. E. A. D. C 6. C

63 SINAMA ADIMI itii değei kçtı?. itii değei kçtı? " 6 " A) B) C) D) E) ( + h). itii değei kçtı? h" h A) B) C) D) E) t. itii değei kçtı? " si A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6 7 t + si 6. itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) t 7. itii değei kçtı? " t A) B) C) D) E) ÜNİTE cos m. itii değei kçtı? " Am ) B) C) m D) m E) t 8. itii değei kçtı? ". si A) B) C) D) E). B. A. E. C. A 6. C 7. C 8. E 79

64 ÜNİTE SINAMA ADIMI ( cos ) 9. itii değei kçtı?. ifdesii değei kçtı? t " + " + A) B) C) D) E). 6. itii değei kçtı? ".( ) A) B) C) D) E) 8 A) B) C) D) E) Z ] + ; > ise f ( ) [ ; ise ] \ ; < ise biçimide tıml foksiod f( ) kçtı? " A) B) C) D) E). 8_ log + i log + + B. ( ) + ( ) " itii değei kçtı? " ( ) + ( ) ifdesii değei hgisidi? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) ( + )( + )( + ). itii değei kçtı? " A) 6 B) C) D) E) 6 6. " + ifdesii değei hgisidi? A) B) C) D) E) 8 9. C. C. C. A. A. A. B 6. E

65 . c + ise, kçtı? " + m.. SINAMA ADIMI A) 8 B) 6 C) D) E) log ( ) " + k ifdesii değei hgisidi? A) B) C) D) E) + Şekilde f() foksiouu (, ] lığıdki gfiği veilmişti. Aşğıdkilede hgisi lıştı? A) f( ) B) f( ) " " C) f( ) D) f( ) " " E) f( ) " c " m ifdesii değei hgisidi? A) B) C) D) E) ^ + + h " ifdesii değei hgisidi? A) B) C) D) E) Şekilde gfiği veile f() foksiouu,,,, psisli oktlı içi v ol itle toplmı kçtı? A) B) C) D) E) ÜNİTE. (. cot ) " ifdesii değei hgisidi? 8. Z + ; < ise ] f ( ) [ 9; ise ] \ + ; > ise foksiou veilio. A) B) C) D) E) f( )! R " k ise, kçtı? A) B) C) D) E). B. E. D. D. E 6. E 7. D 8. E 8

66 ÜNİTE 9... " + SINAMA ADIMI si cos m + 7 ise, m kçtı? + ^ h " " f p 6 A) B) C) 6 D) E) 6 ifdesii değei hgisidi? A) B) C) ^ + h D) ( + ) E) itii değei kçtı? A) B) C) D) E) f() si si " cos ifdesii değei hgisidi? A) B) C) D) E). f() R de R e veile f() foksiou içi şğıdkilede hgisi lıştı? Gfiği veile f() foksiouu i,,,,, ve değelei içi v ol itle toplmı kçtı? A) B) C) 6 D) 7 E) 8 A) f( ) B) f( ) " " Cf ) ( ) D) f ( ) ok " Ef ) ( ) 8 9. D. C. B. A. C. B

67 . SINAMA ADIMI Gfiği veile f() foksiou içi şğıdkilede hgisi lıştı? A) f( ) B) f( ) " " C) f( ) D) f( ) " + " E) f( ) ". c si + işlemii soucu kçtı? " + si m f() A) + π B) + π C) π D) π E) π. R {,, } de tımlmış f() foksiouu gfiği çizilmişti. Aşğıdkilede hgisi doğudu? A) f( ) B) f( ) " + " C) f( ) D) f( ) " + " E) f( ) " +. ( si. cot ) işlemii değei kçtı? " A) B) C) D) E) ÜNİTE. c + + m işlemii soucu kçtı? " + A) B) C) D) E) 6. ;. sib le işlemii soucu kçtı? " A) B) C) D) E). D. A. C. D. D 6. E 8

68 ÜNİTE 7. SINAMA ADIMI R de tıml f() ve g() foksiolıı gfiklei veilmişti. [( fog)( ) + ( gof)( )] " + kçtı? A) B) C) D) 7 E) 8 f() g() Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. i,, ve değelei içi v ol itlei toplmı kçtı? A) B) C) D) E) si( + ). itii değei kçtı? " cos si A) B) C) D) E) Şekilde f() foksiouu gfiği veilmişti. Aşğıdkilede hgisi lıştı? A) f( ) B) f( ) " " + C) f( ) D) f( ) " " E) f( ) " +. si ( ) itii değei kçtı? " 6 A) B) C) D) E) C 8. D 9. E. A. E

69 +. itii değei kçtı? " + SINAMA ADIMI +. b ise,.b kçtı? " +. cos itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) t( ). ifdesii eşiti kçtı? " + t ) ) ) ) A B C D E) A) 6 B) C) D) E) 9 A) B) C) D) E) 8 si t 6. itii değei kçtı? " A) 6 B) C) D) E) 6. ( ) 7. t itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) ÜNİTE si. işlemii değei kçtı? ". cos A) B) C) D) E) 8. ( ) t itii değei kçtı? " A) B) C) D) E). A. B. E. E. B 6. E 7. E 8. A 8

70 ÜNİTE. si si p p itii değei kçtı? " p A) sip B) cosp C) cosp D) tp E) cotp SINAMA ADIMI (. ) 9. si itii değei kçtı?. itii değei kçtı? ". " + cos A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) si. itii değei kçtı? " si A) B) C) D) E). si cos itii değei kçtı? " A) B) C) D) E). cos cos itii değei kçtı? " A) αsiα B) cos C) si D) siα E) αtα. itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) 6. si itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) C. E. C. A. A. E. C 6. B

71 ^. cos h+ itii değei kçtı? " SINAMA ADIMI A) B) C) D) E) si si. cos cos eşiti edi? " A) t B) C) cot D) si E) cos t t. itii değei kçtı? " si si A) sec B) C) cos cos D) cosec E) sec 6 si. itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) itii değei kçtı? " : + D A) B) C) D) E) 7. itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) + ÜNİTE si^th. itii değei kçtı? " sec A) B) C) D) E) ( + ) B itii değei kçtı? " + A) B) C) D) E). C. C. E. C. C 6. B 7. C 8. C 87

72 ÜNİTE SINAMA ADIMI itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) 7 k. cosb l itii değei kçtı? k " A) B) C) D) E) +. ct k itii değei kçtı? k " k A) B) C) D) E) 6 si. itii değei kçtı? " si A) B) C) D) E) + ccos. itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) si( si ). itii değei kçtı? " A) B) C) D) E). cos( t ) itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) si 6. cosb l itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) E. D. D. B. D. D. D 6. C

73 ( ). si itii değei kçtı? " SINAMA ADIMI A) B) C) D) E) +. itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) si + si. itii değei kçtı? " cos cos A) B) C) D) E) 7. t itii değei kçtı? " A) 6 B) C) D) E) ^ h ^ h itii değei kçtı? " ^ h^ h A) B) C) D) E) itii değei kçtı? " 6 A) B) C) 8 D) 6 E) 6 ÜNİTE sic m+ cosc m. itii değei kçtı? " cos si A) B) C) D) E) + 8. f ( ) ve f ( ) kçtı? " A) 8 B) 7 C) 6 D) E). C. D. B. E. D 6. A 7. B 8. B 89

74 ÜNİTE 9. t. itii değei kçtı? " ^ h k ^t h. itii değei kçtı? " cot. c itii değei kçtı? " m SINAMA ADIMI A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) +. itii değei kçtı? " 9 A) B) C) D) E) f ( ) ise, fof ( ) değei kçtı? ^ h + " A) B) C) D) E) 8. itii değei kçtı? " ) ) ) ) A B C D E) c + bm olduğu göe, + b kçtı? " + + A) B) C) D) E) 9 9. E. E. B. E. C. A. B 6. C

75 SINAMA ADIMI. ^ + b h olduğu göe, + b " kçtı? A) B) C). elemlı bi kümei li pemütsolıı kümesi P(, ), li kombisolıı kümesi C(, ) ile gösteildiğie göe, değei kçtı? P (, ). C (, ) " P (, ). C (, ) 9. itii değei kçtı? " D) E) A) B) C) D) E) A) 6 B) C) D) E) 6 8 ^ h. itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) m+ 6. itii v olbilmesi içi m e " olmlıdı? A) 8 B) C) D) E) itii değei kçtı? " c m A) B) C) D) E) 6 ÜNİTE. csi itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) ( ) 8. si itii değei kçtı? " A) B) C) D) E). E. D. A. E. A 6. D 7. C 8. C 9

76 ÜNİTE + 9. itii değei kçtı? " log itii değei kçtı? d " SINAMA ADIMI A) B) C) D) E) A) + log B) log C) log D) + log E) log +. 8 Şekilde f foksiouu gfiği veilmişti. f foksiouu,,,,, 6 oktlıd bzılıd v ol itlei toplmı kçtı? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E). ; itii değei kçtı? " si E 6 A) B) C) D) E) 6,. cot itii değei kçtı? "!. itii değei kçtı? "!( + )! A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) D. D. C. C. C. C

77 SINAMA ADIMI. itii değei kçtı? " ^ h ^ h G A) B) C) D) E) h h. itii değei kçtı? h" h A) B) C) D) E). ^ + h itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) 9 cos. itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) 6. itii değei kçtı? " si A) B) C) D) E) 7. f ( ) foksiou veilio. 6 f( + h) f( h " değei edi? A) B) C) D) E) ÜNİTE 8. f( ) ve ( f. g)( ) ise, " " si cos. itii değei kçtı? " t g( ) " kçtı? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). A. E. C. A. B 6. D 7. A 8. E 9

78 ÜNİTE SINAMA ADIMI 9. + > olmk üzee " + itii değei kçtı? A) B) ) ) ) C D E. itii değei kçtı? " 7 A) B) C) D) E) itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) 9. si si itii değei kçtı? " A) B) C) D) E) t( l ). itii değei kçtı? " l A) B) C) D) E). 8 A olduğu göe, A değei " kçtı? A) B) C) 9 D) 7 E) 8 PV. + R. itii değei kçtı? R " RT.. + A) B) C) D) ) T T. E p 6. f( + ) ; f ( ) + E ve p >, f() > olduğu göe, f ( ) f( ) şğıdkilede hgisie eşitti? " A) p B) p C) p D) p E) p 9 9. B. E. B. C. E. E. C 6. C

79 BİR DİZİNİN LİMİTİ SERİLER. BÖLÜM ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM BİR DİZİNİN LİMİTİ Bi Geçel Sıı Komşuluğu, R ve ε > olmk üzee, K { IR: < ε} kümesie ı ε (epsilo) komşuluğu dei. < ε + ε < < ε + ε < < + ε ( ε, + ε) du. O hlde ı ε komşuluğu ( ε, + ε) çık lığıdı. ÖRNEK ü komşuluğuu bullım. ÇÖZÜM, ε olu. 7 9 ^ ε, + εh b, + l b, l Sı doğusud göstee. ÖRNEK di. 7, 9 ( ) ÖRNEK + ^ h b + l dışıddı? ÇÖZÜM dizisii kç teimi i + < + & + < & + > + > + olup dizii hiç bi teimi komşuluk dışıd değildi. LİMİT çık komşuluğu ( ) bi geçel sı dizisi olsu. He ε > içi ( ) dizisii solu sıd teimi hiç, diğe tüm teimlei (heme heme he teimi) bi IR sısıı ε komşuluğu içide ise, ( ) dizisii iti dı dei. zılı. " ise, ( ) dizisi oktsıı kısıo dei. " ( ) zılı. Ykısk olm dizilee ıksk dizi dei. ÖRNEK < (, ) lığı ı ε komşuluğu ise, ve ε u buluuz. ÇÖZÜM " + ÇÖZÜM olduğuu gösteiiz. ε, ε di. + ε HEMEN HEMEN HER TERİM 6ε > içi < ε olduğuu göstemeliiz. < ε ve ε > seçilise + + Bi dizii solu sıdki teimlei hiç, diğe tüm teimleie dizii heme heme he teimi dei. < & + > 6 & > + tüm teimle dizii olup,,,, dışıdki 9

80 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM b, + l b, l komşuluğuddı. O hlde dizii solu sıd teimi dışıdki tüm teimle b, l komşuluğud olduğud dizi oktsı kıs Yi di. " ÖRNEK ( ) () dizisii itii (vs) buluuz. ÇÖZÜM ( ) (,,,... (),... ) olup dizii teimlei ve de oluşu. Dizii itii kbul ede. i komşuluğu içide dizii sosuz te teimi (heme heme he teimi ( le) vdı. Fkt dizi sosuz sıd teimi ( le) de komşuluğu dışıd klmktdı. O hlde dizii iti ve olmz. Limit oktu. Yi dizi ıksktı. ALT LİMİT ÜST LİMİT Bi ( ) dizisii kısk lt dizileii itlei solu sıd ise bulı e küçüğüe dizii lt iti, e büüğüe dizii üst iti dei. Alt it, üst it ile gösteili. + ( ) ] + ^h dizii iti v ve dizisii iti oktu. ( ) " dı. DİZİLERİN LİMİTLERİNE İLİŞKİN ÖZELLİKLER ( ), (b ) ve (c ) geçel sı dizilei ve k IR olsu.. ( ) & ( ). ( ), (b ) b & ( + b ) + b. ( ), (b ) b & ( b ) b. ( ), (b ) b & (. b ). b. ( ), (b ) b, (b )!, b! & d b " k b 6. ( ), (k. ) k. 7. ( ), (b ) ve 6! IN + içi c b ise (c ) (Sdviç özelliği) 8. ( ) & _ k " i 9. < & ( ). ( ) &. IR +, (b ) b ise ^ ( b) h b. > ise. ( ) pozitif teimli bi dizi ve + ise, " di. ". P tek doğl sı ve ( ). P çift sm sısı ve 6! IN+ içi olsu. 6. _ i " ( ) P P " & " + e " b l 7. ( ), (b ) ve P P & " UYARI Ykısk bi ( ) dizisii tüm lt dizilei de kısktı ve ( ) dizisii kısdığı okt kıs, fkt buu kşıtı doğu değildi. (. b) " c& _( + ) b i" e c ( ) ise, dı. " 9. ise, " si, t di. " " 96

81 KAVRAMSAL ADIM GENİŞLETİLMİŞ REEL (GERÇEL) SAYILAR. A) (+ ).(+ ) + ÜNİTE KÜMESİNDE İŞLEMLER Reel sıl kümesie tı sosuz (+ ) ve eksi sosuz ( ) ekleeek elde edile ei sı kümesie geişletilmiş eel sıl kümesi dei ve IR ile gösteili. IR (, ) ve IR IR, {, } [, ] IR KÜMESİNDE İŞLEMLER. He IR içi A) (+ ) + + B) ( ) +. IR \ {} içi. A),.( + ) * +, B).( ), * +, C) +, * +, D), * +, 6! IR içi A) + B) du. NOT: + ve eel sı değildi. Bu edele ise, dizi ıksktı d ' ıksıo dei. " Beze şekilde " ve dizi ' ıksıo dei. > ise < ise > ise < ise > ise < ise > ise < ise B) ( ).( ) + C) (+ ).( ) 6! IN+ iç i ( + ) +, çift sı ise 6! IN+ içi ( ) * + -, tek sı ise 6! IN+ içi + + 6! IN+ ve tek sı ise A) ( + ) + ( ) _ b B).(! ) b belisiz duuml. ` " b C) " b SINIRLI DİZİLER, ALT VE ÜST SINIR He N + içi M olck şekilde bi M eel sısı vs ( ) dizisi üstte sıılıdı dei. M ve M de büük he sı dizii bi üst sııı dei. He IR + içi T olck şekilde bi T eel sısı vs ( ) dizisi ltt sıılıdı dei. T ve T de küçük he sı dizii bi lt sııı dei. He IN + içi M olck biçimde pozitif bi M eel sısı vs ( ) dizisi sıılıdı dei. M olmk üzee ( ) dizisi sıılı ise, M ve M eel sılı dizii sı ile lt ve üst sıılıdı. E Küçük Üst Sıı: Üstte sıılı bi ( ) dizisii üst sıılıı e küçüğüe ( ) dizisii e küçük üst sııı dei ve EKÜS( ) ile gösteili. EKÜS dizie it değil ise bu dizii e küçük elmı dei. E Büük Alt Sıı: Altt sıılı bi ( ) dizisii lt sıılıı e büüğüe ( ) dizisii e büük lt sııı dei ve EBAS( ) ile gösteili. EBAS dizie it ise bi dizii e küçük elemı dei. ÖRNEK. A) (+ ) + (+ ) + ( ) ( ) dizisi içi EKÜS( ), EBAS( ) edi? B) ( ) + ( ) 97

82 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ( ) (,,, 7,...,,...) diziside he IN + içi di. Yi dizi üstte sıılıdı. EKÜS( ) olup, dizii bi elemı olduğud e büük elemı di. Dizi ltt sıılı olmdığıd EBAS( ) oktu. ÖRNEK ( ) ( + ) dizisi içi EKÜS( ), EBAS( ) edi? ÇÖZÜM ( ) (, 9,, 7,... +,...) dizisie he IN + içi olup dizi ltt sıılıdı. EBAS( ) olup, dizii bi elemı olduğud e küçük elemı ti. Dizi üstte sıılı olmdığıd EKÜS( ) oktu. ÖRNEK + ( ) b l dizisii EBAS ve EKÜS'üü buluuz. ÇÖZÜM ( ) b + l b + l ( ),,,,...,,..., b l diziside he IN + içi < tü. O hlde dizi sıılıdı ve EKÜS( ) 6 ( ) b,,,,,... l gösteilise olup teimle sı doğusud he IN + içi olup EKÜS( ) di. 6! IN+ ve dizii bi elemı olduğud dizii e büük elemı 6 içi olup EBAS( ) di., e küçük elemı di. UYARI. Ykısk he dizi sıılıdı.. Mooto bi dizii kısk olmsı içi geek ve ete koşul sıılı olmsıdı.. Ykısk bi dizii iti tekti. UYARI. b ( ) + b c. + d l biçimide ol dizi içi: d + b A) c < ise ve sılıd c + d c büük ol EKÜS, küçük ol EBAS'tı. d d B) c > ise c e e kı ol iki doğl sı k ve k + ise, k ve k+ teimleii küçüğü EBAS, büüğü EKÜS'tü. UYARI EBAS( ) di., dizii bi elemı olduğud dizii e büük elemıdı. Fkt, dizii bi elemı olmdığıd dizii e küçük elemı oktu. ( ) (. + b. + c) dizisie pbolik dizi dei. Pbolik dizi de > ise EBAS vdı, EKÜS oktu. < ise EKÜS vdı, EBAS oktu. Aıc b A) < ise EBAS d EKÜS 'e eşitti. ÖRNEK ( ) ( ) + b. l dizii EKÜS ve EBAS'ıı buluuz. B) b > ise tepe oktsı e kı sı k olmk üzee k EKÜS d EBAS tı. C) b b, de büük tmsı ve içi değei EBAS d EKÜS'tü. 98

83 . ( ) ( ) dizisii EBAS'ı edi? ( ) (,,, 8,...) > b. olup dizi içi EBAS( ) di. He IN + içi olduğud dizi ltt sıılıdı.. ise, " + ( b) f p + dizisii iti edi? + ise b " " + 9. ise ( ) kçtı? " " + dizisi ( ) i ( k ) ( ^ ( + ) h + ) du. it dizisi olup UYGULAMA ADIMI. ( ) ( + ) dizisii iti edi? ( ) (. + ) > ( ) " " + + UYARI du. k k + k k " b b... b b m m + m m Z", k> m ise ] ] k [, k p ise ] bm ], k< m ise \ Z ] +, ] [ ] ], \. ( ) c ise ( ) edi? m " ( ) b l k > bm k < bm olup ise ise < olduğud ÜNİTE ( ) ile ^ ( + ) h dizileii itlei ıdı. Yi + di. ( ) " " b l di. UYARI P() k k + k k poliomu içi +, k > ise P( ) * di. ", k < ise 6. IR + ( ) ve + ise, kçtı? ( ) ise, + dı. O hlde ise ( + )( ) & ve ti. > koşulu veildiğide ti. 99

84 ÜNİTE 7. si edi? " b l si & si " olduğud si b l b l b l " " ". si " dı. (Sdviç özelliği) 8. ^ h cb + l m dizisii iti edi? + e " b l + " " b l + " b l G e di. si di. özelliğii kullcğız. UYGULAMA ADIMI. +. ( ) c dizisii iti edi?. + m P ve pdı ile çplım. ^h f O hlde olduğud dı.. ^ h ^ + h dizisii iti edi? eie zılıs + belisizliği ile kşılşılı. Bu duumd, bölüü. Yi + b l + c m b l 9 b l, > " ^ h " p + c m du. " ifdesi eşleiği ile çpılı ve ^h d dizisii iti edi? ( ) ; E ( + ) ( ) ; E + " " + + " di. olduğud ^ + h. ^ + + h " " + + " b+ l+ " b + + l + di.

85 . b dizisii ü çık komşuluğu dışıd kç teimi + l vdı? PEKİŞTİRME ADIMI. Aşğıdki dizilede hgisi kısktı?. ( ) ^ h c b + lm dizisii EBAS ve EKÜS toplmı A)( ) cos B) + k C) b l edi? + D) d + E) ^e l h B si f. p ^ h ise kçtı? " ^ h ÜNİTE si. ^ h cb l m dizisii iti edi? + 6. sib l dizisii iti edi? ^ h k

86 ÜNİTE b itii değei kçtı? kçtı? + l C + " ^ h > f ph ise, " ^ h e 8. ( + ) ^ dizisii iti edi?. ( ) pozitif teimli bi dizidi. h fc + _ m p + i dizisii iti ise, ( ) dizisii iti edi? e e 9. ^h dc+ dizisii iti edi? m +. ^h c + ise, ( ) edi?. m

87 KAVRAMSAL ADIM SERİLER < olmk üzee ÜNİTE ( ) (,,,, ) dizisii elemlıı toplmı sei dei. ( ) bi dizi olmk üzee sei şeklide gösteili. Bud e seii geel teimi dei. Geel teimi itmetik dizi ol seie itmetik sei, geel teimi geometik dizi ol seie geometik sei dei. Bu bölümde geometik seilei iceleeceğiz. ( ) bi geometik dizi olsu. ( ) dizisile oluştuul sei dı. ( ) geometik dizisii otk çpı ise sei şeklidedi. Bu kou içeiside çok kullılck ol bğıtısıı htılıız. toplmıd k UYARI / / / k k / k /. k k k / k k k k / içi k olduğud / sosuz toplmıd < di. ise toplm bi eel sıdı. seisii değei göe. /. di. Bu eşitliği doğuluğuu ( ) A eşitliğii he iki tfıı ile çplım. olu. buluu. UYARI /! di. / e! A / A A A A( ) A( ) & A ( ) seisii değei / e! eşitliğide zılk ise toplm sosuz klşı. / e e!!!!! Sei kvmı, bi dizii sosuz çoklukt teimii toplmı içi kullıldığıd bu toplm seii değeidi. Bu edele bu bölümde sosuz toplm içi seii değei kvmıı kullcğız. zılk ( )!!! / e! e buluu. Bud e,788 di.