STATICS. Atalet Momentleri (Moments. of Inertia) VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: Yapı. özellikle de kesit alanının n 2. momenti veya atalet

Transkript

1 CHAPTER 9 Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinand P Beer, E Russell Johnston, Jr & RC HIBBELER in STATICs kitaplarından düzenlenmi zenlenmiştir tir 10 HAFTA Düzenleen zenleen:: Dr N MEYDANLIK Traka Universit EDİİRNE Atalet Momentleri (Moments of Inertia) All rights reserved to bana GİRİ İ Yapı elemanlarının n mukavemeti büük b k oranda onların n kesit büüklb klüklerine klerine ve şekline bağlıdır, özellikle de kesit alanının n momenti vea atalet momentine bağlıdır All rights reserved to bana --

2 UYGULAMALAR Kiriş ve kolon gibi bir çok apı elemanı have cross sectional shapes like I, H, C, etc Diğerleri içi dolu kare ada daire kesitlerden çok tüb şeklindedir Wh do the usuall not have solid rectangular, square, or circular cross sectional areas? Tasarımda bu elemanların hangi özellikleri daha etkendir? How can we calculate this propert? All rights reserved to bana -- Atalet Momenti, Statik hesaplarında kullanılmaz ama hesaplanması ağırlık merkezi hesaplarına benzediği için statik dersi içinde gösterilir Atalet momenti daha çok mukavemet (malzeme mekaniği), dinamik ve akışkanlar mekaniği derslerinde ve hesaplamalarında kullanılır Bir cismin atalet momenti onun dönmee karşı direncinin bir ölçümüdür Günlük tecrübelerimizden de biliriz ki dönen büük bir tekerleği durdurmak vea dönmee başlatmak küçük tekerlekten daha zordur Matematiksel olarak da bu olaın büük tekerleğin daha büük atalet momentine sahip olması nedenile olduğu gösterilebilir Atalet momenti çeşitli mühendislik hesaplamalarında kullanılır; - Hidrostatik basınç kuvvetlerinin bileşkesinin erini bulmak için, - Kirişlerde gerilme ve sehim hesapları için, - Dönen cisimlerin kütle atalet momentleri hesabı All rights reserved to bana --

3 MOMENTS OF INERTIA FOR AREAS Sıvı içine daldırılmış bir plağı göz önüne alalım Yüzeden z kadar aşağıdaki sıvı basıncı pγz ile verilir where γ is the specific weight of the liquid Bu noktada da alanına etki eden kuvvet df p da (γ z) da Bu kuvvet nedenile x-eksenine göre moment z(df) dir The total moment is A z df A γ z da γ A (z da) This integral term is referred to as the moment of inertia of the area of the plate about an axis All rights reserved to bana MOMENTS OF INERTIA FOR AREAS 10cm cm 1cm (A) 10cm 1cm (B) 10cm (C) cm x A F B AB kirişi için farklı kesit şekli ve alanı göz önüne alalım Toplam alanlar eşit ve anı malzemeden apılmış, dolaısıla birim uzunluk için kütleleri anı - Verilen ükleme hali için hangisini tercih edersiniz? Niçin? (daha az gerilme ve çökmei dikkate alın) Yanıt x-eksenine göre atalet momentine bağlıdır x-ekseninden en uzak alanların çoğu (A) da olduğu için en büük atalet momentine sahip olan (A) dır Bu nedenle de en az gerilme ve çökmei (δ) veren de A şıkkıdır Atalet momenti arttıkça (δ) ve gerilme düşer All rights reserved to bana -- 66

4 İntegrasonla bir alanın n atalet momentinin bulunması : Herhangi bir alanın x ve eksenlerine göre ikinci Momenti or atalet momenti, I x da I x da da alanının koordinat eksenlerine parelel ince şerit halinde seçilmesi (I x için ata, I için düşe eleman) integral hesabını basitleştirir All rights reserved to bana di x da di x da Moment of Inertia of an Area b Integration For a rectangular area, h 1 Ix da bd bh 0 Dikdörtgen alan için bulunan ifade eksenlere parelel olarak seçilecek ince şeritlere de ugulanabilir, örneğin bir tek düşe şerit eleman seçilerek her iki eksene göre atalet momentleri di x 1 dx di x da x dx All rights reserved to bana -- 88

5 Polar Moment of Inertia Polar Atalet momenti, dönen silindirik millerin burulmasında önemli bir parametredir J 0 r da Polar atalet momenti ile dik atalet momentleri arasındaki ilişki, J J 0 0 ( x + ) r da da x da+ I + I x da Atalet momentinin birimi uzunluğun kuvvetidir (m ) All rights reserved to bana Bir alanın n atalet arıçap apı Atalet momeni I x olan bir alanı göz önüne alalım Bu alanın erine x-eksenine parelel ve atalet momenti ine I x e eşdeğer bir dikdörtgen şerit düşünürsek, I x kx A kx k x I x A x eksenine göre atalet arıçapı All rights reserved to bana Similarl, I J O O k k O x A A k k + k k k O I A J A Atalet arıçapı özellikle kolonların tasarımında önemlidir O -- 10

6 Sample Problem 91 SOLUTION: A differential strip parallel to the x axis is chosen for da di x da da l d For similar triangles, l b h h l h b h da h b d h Üçgen alanın tabanına göre atalet momentini hesaplaınız 0 dan h a kadar di x in integrasonu, I x b h h h h b da b d h h 0 h 0 h 0 ( h ) bh I x 1 d All rights reserved to bana Sample Problem 9 SOLUTION: An annular differential area element is chosen, dj J O O u da r da π u du djo u ( π u du) π 0 J O r 0 u π r du a) Dairesel bir alanın polar atalet momentini bulunuz b) a şıkkında bulduğunuz sonucu kullanarak, dairesel alanın çapından geçen x-eksenine göre atalet momentini bulunuz From smmetr, I x I, π JO Ix + I Ix r I I x diameter I x π r All rights reserved to bana -- 1

7 Sample Problem 9 Given: The shaded area shown in the figure Find: The MoI of the area about the x- and -axes (x,) cm Solution I x da da ( x) d ( /) d I x 0 ( /) d [ (/) (1/0) 5 ] 0 1 cm cm All rights reserved to bana -- 1 (x,) cm I x da x dx x ( x) dx 0 x 5 dx [ (/5) x 5 ] 0 cm 71 cm In the above example, it will be difficult to determine I using a horizontal strip However, I x in this example can be determined using a vertical strip So, I x (1/) dx (1/) ( x) dx All rights reserved to bana -- 1

8 Sample Problem 9 Given: The shaded area shown Find: I x and I of the area (x,) Solution I x (1/) dx 8 0 (1/) x dx [x / 6 ] in 8 All rights reserved to bana (x,) I Y x da x dx x ( x (1/) ) dx 8 0 x (7/) dx [(/10) x (10/) ] in All rights reserved to bana -- 16

9 1 When determining the MoI of the element in the figure, di equals A) x d B) x dx ATTENTION QUIZ C) (1/) dx D) x 5 dx x (x,) Similarl, di x equals A) (1/) x 15 dx B) da C) (1/1) x d D) (1/) x dx All rights reserved to bana Parelel eksenler Teoremi & Bileşik ik alanların n atalet momentleri Yapı elemanlarının kesit alanları genellikle basit şekillerden ada ilkel basit şekillerin birleşmesinden oluşmuştur Bu basit alanların atalet momentlerini bulmak için integrason öntemi ile karşılaştırıldığında daha basit öntemler var mıdır???? All rights reserved to bana EVET

10 PARALLEL-AXIS THEOREM FOR AN AREA Bu teorem bir alanın ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentinin ine bu eksenlere parelel başka eksenlere göre atalet momentleri ile ilgilidir Bileşik alanların atalet momentlerinin bulunması için pratik bir öntemdir Gözönüne alınan alanın ağırlık merkezi C dir x' and ' axes ağ mer C den geçmektedir x -eksenine parelel ve d kadar mesafede bir x-eksenine göre atalet momenti parelel eksen teoremi ile bulunur All rights reserved to bana Parelel Eksen Teoremi I X A da A (' + d ) da A ' da + d A ' da + d A da + d Ağırlık merkezinin tanımını kullanarak: ' ( A ' da) / ( A da) Now since C is at the origin of the x' ' axes, ' 0, and hence A ' da 0 Thus I X I X ' + A d Similarl, I Y I Y ' + A d X and J O J C + A d All rights reserved to bana -- 0

11 All rights reserved to bana -- 1 All rights reserved to bana --

12 Parallel Axis TeoremiT örnek Use the value of I for a circle from the table on the following page and the parallel-axis theorem to find I T, the moment of inertia about an axis tangent to the circle I T I + Ad 5 π r 1 π r + ( π r ) r All rights reserved to bana Use the value of I AA along the base of a triangle from the table on the following page and the parallel-axis theorem to find I BB, the moment of inertia along a parallel axis through the centroid of the triangle I I + Ad I AA BB I 6 1 BB AA bh Ad 1 1 bh 1 bh ( 1 h) -- En çok bilinen bazı ilkel kesitlerin atalet momentleri All rights reserved to bana --

13 En çok bilinen bazı ilkel kesitlerin atalet momentleri All rights reserved to bana -- 5 All rights reserved to bana -- 6

14 CONCEPT QUIZ 1 For the area A, we know the centroid s (C) location, area, distances between the four parallel axes, and the MoI about axis 1 We can determine the MoI about axis b appling the parallel axis theorem A) directl between the axes 1 and d d d 1 A C Axis 1 B) between axes 1 and and then between the axes and C) between axes 1 and and then axes and D) None of the above All rights reserved to bana -- 7 d d d 1 CONCEPT QUIZ A C Axis 1 smallest MoI For the same case, consider the MoI about each of the four axes About which axis will the MoI be the smallest number? A) Axis 1 B) Axis C) Axis D) Axis E) Can not tell All rights reserved to bana -- 8

15 ATTENTION QUIZ 1 For the given area, the moment of inertia about axis 1 is 00 cm What is the MoI about axis (the centroidal axis)? A) 90 cm B) 110 cm C) 60 cm D) 0 cm d d 1 C C A10 cm d 1 d cm 1 I 1 I + Ad I I 1 - Ad 00-10() 0 cm All rights reserved to bana -- 9 ATTENTION QUIZ The moment of inertia of the rectangle about the x-axis equals A) 8 cm B) 56 cm C) cm D) 6 cm cm cm cm d x x I x I x + Ad I x (bh )/1 + Ad ( ) / cm All rights reserved to bana -- 0

16 EXAMPLE Given: Find: The beam s cross-sectional area The moment of inertia of the area about the -axis and the radius of gration k Solution [1] [] [] 1 The cross-sectional area can be divided into three rectangles ( [1], [], [] ) as shown The centroids of these three rectangles are in their center The distances from these centers to the -axis are 0 mm, 875 mm, and 875 mm, respectivel All rights reserved to bana -- 1 EXAMPLE From the inside back cover of the book, the MoI of a rectangle about its centroidal axis is (1/1) b h I [1] (1/1) (5mm) (00mm) 565 (10 6 ) mm [1] [] [] Using the parallel-axis theorem, I Y[] I Y[] I Y + A (d X ) (1/1) (100) (5) + (5) (100) ( 875 ) 197 (10 6 ) mm All rights reserved to bana --

17 EXAMPLE I I 1 + I + I 98 ( 10 6 ) mm k ( I / A) A 00 (5) + 5 (100) + 5 (100) 1,500 mm k ( 979) (10 6 ) / (1500) 871 mm All rights reserved to bana -- MOMENT OF INERTIA FOR A COMPOSITE AREA A composite area is made b adding or subtracting a series of simple shaped areas like rectangles, triangles, and circles For example, the area on the left can be made from a rectangle minus a triangle and circle The MoI of these simpler shaped areas about their centroidal axes are found in most engineering handbooks as well as the inside back cover of the textbook Using these data and the parallel-axis theorem, the MoI for a composite area can easil be calculated All rights reserved to bana --

18 STEPS FOR ANALYSIS 1 Divide the given area into its simpler shaped parts Locate the centroid of each part and indicate the perpendicular distance from each centroid to the desired reference axis Determine the MoI of each simpler shaped part about the desired reference axis using the parallel-axis theorem ( I X I X + A ( d ) ) The MoI of the entire area about the reference axis is determined b performing an algebraic summation of the individual MoIs obtained in Step (Please note that MoI of a hole is subtracted) All rights reserved to bana -- 5 READING QUIZ 1 The parallel-axis theorem for an area is applied between A) an axis passing through its centroid and an corresponding parallel axis B) an two parallel axis C) two horizontal axes onl D) two vertical axes onl The moment of inertia of a composite area equals the of the MoI of all of its parts A) vector sum B) algebraic sum (addition or subtraction) C) addition D) product All rights reserved to bana -- 6

19 EXAMPLE Given: The shaded area as shown in the figure Find: The moment of inertia for the area about the x-axis and the radius of gration k X (a) (b) (c) Solution 1 The given area can be obtained b subtracting both the circle (b) and triangle (c) from the rectangle (a) Information about the centroids of the simple shapes can be obtained from the inside back cover of the book The perpendicular distances of the centroids from the x-axis are: d a 5 in, d b in, and d c 8in All rights reserved to bana -- 7 EXAMPLE I Xa (1/1) 6 (10) + 6 (10)(5) 000 in I Xb (1/) π () + π() () 16 in (a) (b) (c) I Xc (1 /6) () (6) + (½) () (6) (8) 59 in I X I Xa I Xb I Xc 1190 in k X ( I X / A ) A 10 ( 6 ) π () (½) () (6) 8 in k X (119 / 8) 557 in All rights reserved to bana -- 8