Lisans. Ayrık Matematik Tanıtlama. Kaba Kuvvet Yöntemi. Konular. Temel Kurallar

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Lisans. Ayrık Matematik Tanıtlama. Kaba Kuvvet Yöntemi. Konular. Temel Kurallar"

Bariş Vural
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Lisans Ayrık Matematik Tanıtlama H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı Under the following conditions: Attribution You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). Noncommercial You may not use this work for commercial purposes. Share Alike If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under the same or similar license to this one. Legal code (the full license): 1 / 4 / 4 Konular Kaba Kuvvet Yöntemi Temel Teknikler Giriş Doğrudan Tanıt Çelişkiyle Tanıt Eşdeğerlilik Tanıtları Tümevarım Giriş Güçlü Tümevarım olası bütün durumları teker teker incelemek {, 4, 6,..., 6} kümesinden seçilecek her sayı, en fazla 3 tamkarenin toplamı şeklinde yazılabilir. = = = = 4 1 = = = = = = = 16 6 = = / 4 4 / 4 Temel Kurallar Evrensel Özelleştirme Örneği Evrensel Özelleştirme (Universal Specification - US) x p(x) p(a) Evrensel Genelleştirme (Universal Generalization - UG) rasgele seçilen bir a için p(a) x p(x) Örnek Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. O halde Sokrates ölümlüdür. U: bütün insanlar p(x): x ölümlüdür x p(x): Bütün insanlar ölümlüdür. a: Sokrates, a U: Sokrates bir insandır. o halde, p(a): Sokrates ölümlüdür. 5 / 4 6 / 4

2 Evrensel Özelleştirme Örneği Evrensel Genelleştirme Örneği Örnek Örnek x [j(x) s(x) p(x)] p(m) s(m) 1. x [j(x) s(x) p(x)] A. p(m) A 3. j(m) s(m) p(m) US : 1 4. (j(m) s(m)) MT : 3, 5. j(m) s(m) DM : 4 6. s(m) AndE : 5 x [p(x) q(x)] x [q(x) r(x)] x [p(x) r(x)] 1. x [p(x) q(x)] A. p(c) q(c) US : 1 3. x [q(x) r(x)] A 4. q(c) r(c) US : 3 5. p(c) r(c) HS :, 4 6. x [p(x) r(x)] UG : 5 7 / 4 8 / 4 Boş Tanıt Boş Tanıt Örneği boş tanıt P Q tanıtı için P nin yanlış olduğunu göstermek S [ S] S x [x x S] x [x / ] 9 / 4 10 / 4 Değersiz Tanıt Değersiz Tanıt Örneği değersiz tanıt P Q tanıtı için Q nun doğru olduğunu göstermek x R [x 0 x 0] x R [x 0] 11 / 4 1 / 4

3 Doğrudan Tanıt Doğrudan Tanıt Örneği a Z [3 (a ) 3 (a 1)] doğrudan tanıt P Q tanıtı için P Q olduğunu göstermek 3 (a ) k N [a = 3k] a + 1 = a + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1) a 1 = (a + 1)(a 1) = 3(k + 1)(a 1) 13 / 4 14 / 4 Dolaylı Tanıt Dolaylı Tanıt Örneği dolaylı tanıt P Q tanıtı için Q P olduğunu göstermek x, y N [x y > 5 (x > 5) (y > 5)] Q (0 x 5) (0 y 5) x y 5 5 = 5 15 / 4 16 / 4 Dolaylı Tanıt Örneği Çelişkiyle Tanıt a, b N k N [ab = k] ( i N [a = i]) ( j N [b = j]) Q ( i N [a = i]) ( j N [b = j]) ( x N [a = x + 1]) ( y N [b = y + 1]) ab = (x + 1)(y + 1) ab = 4xy + x + y + 1 ab = (xy + x + y) + 1 ( k N [ab = k]) çelişkiyle tanıt P tanıtı için P Q Q olduğunu göstermek 17 / 4 18 / 4

4 Çelişkiyle Tanıt Örneği Çelişkiyle Tanıt Örneği En büyük asal sayı yoktur. P: En büyük asal sayı vardır. Q: En büyük asal sayı S. asal sayılar:, 3, 5, 7, 11,..., S S + 1 sayısı, [, S] aralığındaki hiçbir asal sayıya kalansız bölünmez 1. ya kendisi asaldır: Q. ya da S den büyük bir asal sayıya bölünür: Q a, b Z + [ = a b ] P: a, b Z + [ = a b ] Q: obeb(a, b) = 1 = a b a = b i Z + [a = i] j Z + [a = j] 4j = b b = j k Z + [b = k] l Z + [b = l] obeb(a, b) : Q 19 / 4 0 / 4 Eşdeğerlilik Tanıtları P Q tanıtı için hem P Q, hem de Q P tanıtlanmalı P 1 P P n tanıtı için bir yöntem: P 1 P P n P 1 a, b, n, q 1, r 1, q, r Z + a = q 1 n + r 1 b = q n + r r 1 = r n (a b) 1 / 4 / 4 r 1 = r n (a b). n (a b) r 1 = r. a b = (q 1 n + r 1 ) (q n + r ) = (q 1 q ) n +(r 1 r ) r 1 = r r 1 r = 0 a b = (q 1 q ) n a b = (q 1 n + r 1 ) (q n + r ) = (q 1 q ) n +(r 1 r ) n (a b) r 1 r = 0 r 1 = r A B A B = B A B = A B A 3 / 4 4 / 4

5 A B A B = B. A B = B A B B B A B A B = B A B = A. A B = A A B A A A B B A B x A B x A x B A B x B A B B A B A y A y A B A B = B y B y A B A A B 5 / 4 6 / 4 A B = A B A. z B z / B z / A B A B = A z / A z A B A B A A B. (A B) w [w A w / B] w [w / A w B] (B A) 7 / 4 8 / 4 Tümevarım Tümevarım Tanım S(n): n Z + üzerinde tanımlanan bir yüklem S(n 0 ) ( k n 0 [S(k) S(k + 1)]) n n 0 S(n) S(n 0 ): taban adımı k n 0 [S(k) S(k + 1)]: tümevarım adımı 9 / 4 30 / 4

6 Tümevarım Örneği Tümevarım Örneği n Z + [ (n 1) = n ] n = 1: 1 = 1 n = k: (k 1) = k kabul edelim (k 1) + (k + 1) = k + k + 1 = (k + 1) n Z +, n 4 [ n < n!] n = 4: 4 = 16 < 4 = 4! n = k: k < k! kabul edelim k+1 = k < k! < (k + 1) k! = (k + 1)! 31 / 4 3 / 4 Tümevarım Örneği Güçlü Tümevarım n Z +, n 14 i, j N [n = 3i + 8j] n = 14: 14 = n = k: k = 3i + 8j kabul edelim k = 3i + 8j, j > 0 k + 1 = k k + 1 = 3(i + 3) + 8(j 1) k = 3i + 8j, j = 0, i 5 k + 1 = k k + 1 = 3(i 5) + 8(j + ) Tanım S(n 0 ) ( k n 0 [( i k S(i)) S(k + 1)]) n n 0 S(n) 33 / 4 34 / 4 Güçlü Tümevarım Örneği Güçlü Tümevarım Örneği n Z +, n n asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. n = : = i k için doğru kabul edelim 1. asalsa: n = n. asal değilse: n = u v u < k v < k u ve v sayılarının her biri asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir n Z +, n 14 i, j N [n = 3i + 8j] n = 14: 14 = n = 15: 15 = n = 16: 16 = n k: k = 3i + 8j kabul edelim k + 1 = (k ) / 4 36 / 4

7 Hatalı Tümevarım Örneği n Z + [ n = n +n+ ] taban adımı geçersiz n = k: k = k +k+ kabul edelim k + (k + 1) = k + k + = k + 3k + 4 n = 1: = + k + 1 = k + k + = (k + 1) + (k + 1) + + k + 37 / 4 38 / 4 tümevarım adımı geçersiz Bütün atlar aynı renktir. A(n): n atlı kümelerdeki bütün atlar aynı renktir. n N + A(n) n = 1: A(1) 1 atlı kümelerdeki bütün atlar aynı renktir. n = k: A(k) doğru kabul edelim k atlı kümelerdeki bütün atlar aynı renktir. A(k + 1) = {a 1, a,..., a k } {a, a 3,..., a k+1 } {a 1, a,..., a k } kümesindeki bütün atlar aynı renktir (a ). {a, a 3,..., a k+1 } kümesindeki bütün atlar aynı renktir (a ). 39 / 4 40 / 4 Kaynaklar Okunacak: Grimaldi Chapter : Fundamentals of Logic.5. Quantifiers, Definitions, and the Proofs of Theorems Chapter 4: Properties of Integers: Mathematical Induction 4.1. The Well-Ordering Principle: Mathematical Induction Yardımcı Kitap: O Donnell, Hall, Page Chapter 4: Induction 41 / 4 4 / 4

Benzer belgeler

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler: Lisans Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c