Mehmet ŞAHİN.

Transkript

1 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre hazırlanmıştır. REDAKSİYON Nurdan YALÇINKAYA İpek ETCİOĞLU PAL ME YA YIN CI LIK Ankara, 0 I

2 PALME YAYINLARI : Sınıf Matematik / Mehmet ŞAHİN Yayına Hazırlama Yayın Editörü Palme Yayıncılık 0 : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi : Cemil AYAN Yayınevi Sertifika No : 44 ISBN : Baskı : Tuna Matbaacılık San. ve Tic. AŞ Baskı Tarihi : Ağustos 0 Sertifika No : 60 Bu kitap 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz, teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, PALME YAYINCILIK a aittir. Kitapta kullanılan sistemin tamamı ya da bir kısmı yayınevinin yazılı izni olmaksızın kullanılamaz. GENEL DAĞITIM YAZIT Yayın-Dağıtım Sağlık Sokak 7/0 Sıhhiye-ANKARA Tel Faks II

3 Denebilir ki, hic bir s eye muhtac deg iliz. Yalniz bir tek s eye ihtiyacimiz var: C alis kan olmak! Tu rkiye nin c ocuklari, Bati nin teknolojisinin harac gu zari olarak deg il, kendi icat ettikleri tekniklerle deg erlerimizi yeryu zu ne c ikarmali du nyaya duyurmalidir Ku c u k hanimlar, ku c u k beyler! Sizler hepiniz geleceg in bir gu lu, yildizi, ikbal nurusunuz. Yurdu asil nura gark edecek sizsiniz. Kendinizin ne kadar mu him ve kiymetli oldug unuzu du s u nerek ona go re c alis iniz. Sizlerden c ok s ey bekliyoruz. Mustafa Kemal Atatu rk III

4 EDİTÖR Editör'den, Son yıllarda ilk ve ortaöğretimde uygulanmaya başlanan öğretim programlarının ana felsefesi, yaşam temelli yaklaşımı esas almasıdır. Bu yaklaşımla, soyut gibi algılanan birçok fen kavramı gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş, somut hale getirilmiştir. Bu yaklaşım okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak yerleştirildiği ve uygulandığı zaman öğrencilerimizin derslere olan ilgi ve motivasyonları ciddi bir biçimde artacaktır. Tüm bu gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği becerilere sahip, objektif ve analitik düşünebilen, yaratıcı bir kafa gücüne sahip kuşaklar yetişecektir. Böyle yetişen genç insanlar, ezberden uzak kalacak, sağlıklı iletişim kurabilme yetileri gelişecek; kendini iyi tanıyan, çevresiyle barışık bireyler olacaktır. Palme yayıncılığın hazırladığı bu kitap serisinin içeriği yukarıda belirtilen bakış açısı çerçevesinde oluşturulmuştur. Ayrıca bu kitaplar değişen yeni sınav sistemine (YGS LYS) uygun bir niteliğe sahiptir. Üniversite sınavlarında sorulacak soruların kapsamı ve ağırlık düzeyine uygun bir konu akışı sağlanmıştır. Bu kitapların hazırlanmasında büyük bir özveriyle bana destek veren Palme Yayıncılık'ın genel müdürü sayın İlhan Budak'a teşekkür ederim. Palme Yayıncılık'tan çıkan bu kitap serisinin tüm öğrencilere yararlı olması ve onların gelişimine bir katkı sağlaması dileğiyle... Cemil AYAN Ağustos 0 Ankara IV

5 ÖNSÖZ Değerli Öğretmenler, Sevgili Öğrenciler, Bu kitap Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nca kabul edilen Orta Öğretim 0.Sınıf Matematik Dersi öğretim programına göre hazırlanmıştır. 00 yılında ilk kez uygulanan LYS deki 50 Matematik sorusunun yaklaşık 8 i 0. sınıf Matematik dersi konularından sorulmuştur. Bu, Matematik sorularının %76 sının 0. sınıf konularından sorulduğu anlamına gelir. Bu kitap. Orta Öğretim başarınızı yükseltmek,. Üniversiteye girişte yüksek başarı elde etmenizi sağlamak amacıyla hazırlanmıştır.. Kitapta her ünite içindeki kavramlar ağırlıklarına göre ayrılmış ve her kavram kavramsal adım, uygulama adımı, pekiştirme adımı ve sınama adımı başlıkları altında incelenmiştir. Her kavramın detaylı bir şekilde ele alındığı bu sisteme Kademeli Modüler Hücre Sistemi diyoruz. Bu sistemin doğası gereği kitapta her kavramla ilgili öğrencinin karşılaşabileceği her tür örnek yer almaktadır. Örnekler, öğrenme-öğretme sürecine uygun olarak en basit olandan daha çok bilgi içeren türlere doğru ele alınmıştır. Konular işlenirken her ünite içerisinde çok sayıda gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş örneklere yer verilmiştir. Ülkemizde ilk kez uygulanan bu sistemle yazılmış olan bu kitabın öğrencilere yararlı olacağına inanıyorum. Sağlık ve başarı dileklerimle Mehmet ŞAHİN sahinm68@hotmail.com 5

6 P( x) = n / i= a i xi İÇİNDEKİLER ÜNİTE 8-79 (x + y) (x y) x + y ÜNİTE ÇARPANLARA AYIRMA 80-6 ax + bx + c = 0 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

7 ÜNİTE PARABOL ÜNİTE TRİGONOMETRİ 7

8 Sayfa No Polinomlar... 9 Sabit Polinom... 9 Sıfır Polinomu... 0 İki Polinomun Eşitliği... 0 Çok Değişkenli Polinomlar... 5 Polinomlarda İşlemler... A) Toplama İşlemi... B) Çıkarma İşlemi... 6 C) Çarpma İşlemi... 6 D) Polinomlarda Bölme... 4 Bir Polinomun x ± a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan... 4 Bir Polinomun ax + b ile Bölümünden Kalan Bir Polinomun (x a) (x b) ile Bölümünden Kalan Bir Polinomun x ± a, x ± a, x 4 ± a ile Bölümünden Kalan... 5

9 . BÖLÜM ÜNİTE - KAVRAMSAL ADIM Polinomlar cebirin önemli konularından biridir. Bir polinomun köklerini bulma işlemi matematik biliminin en eski problemlerinden biridir. M. Ö. 000 yıllarında Babilliler kök kavramını kullanarak ikinci dereceden polinom denklemlerini çözdüler.. yüzyıla kadar polinomların köklerini bulma ile ilgilenen bir çok bilim insanı çok çeşitli sonuçlar elde etmiştir.. yüzyılda İtalyan matematikçi Fibonacci x + x + cx = d biçimindeki bir denklemin köklerini yaklaşık olarak bulmuştur. Ayrıca İtalyan matematikçiler Tartaglia ve Cardano. dereceden denklemlerin köklerini sabitler türünden ifade etmişlerdir. 88'de Norveçli matematikçi Abel 4. ve daha yukarı dereceden polinomların köklerinin katsayılar ve köklü ifadeler cinsinden yazılmayacağını ispatladı. Benzer bir çalışma Fransız matematikçi Galois tarafından yapıldı. Polinom denklemler bilimin çeşitli dallarında, verilerin modellenmesinde, mimari ve mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Temel Kavramlar TANIM a 0, a, a,..., a n R ve n N ve x değişken olmak üzere, P(x) = a n x n + a n- x n a x + a 0 biçimindeki ifadelere gerçek katsayılı bir değişkenli polinom denir. Polinomlar P(x), Q(x), R(x)... biçiminde gösterilir. TANIM P(x) = a n x n + a n- x n a k x k a x + a 0 polinomunda a 0, a x, a x,..., a k x k,..., a n x n ifadelerine, polinomun terimleri, a 0 0 terimine sabit terim, a 0, a, a,..., a k,..., a n sayılarına polinomun katsayıları, a k x k terimindeki k doğal sayısına terimin derecesi, en büyük dereceli terimin katsayısına baş katsayı ve derecesine de polinomun derecesi denir. P(x) polinomunun derecesi der[p(x)] biçiminde gösterilir. Gerçek katsayılı polinomların kümesi R[x], rasyonel katsayılı polinomların kümesi Q[x], tam sayı katsayılı polinomların kümesi de Z[x] ile gösterilir. Z Q R olduğundan Z[x] Q[x] R[x] dir. R[X] i elemanları ile yazalım. R[X]= {P(x): P(x) = a n x n + a n- x n a k x k a x + a 0, a 0, a, a,..., a n R, n N} biçimindedir. Sabit Polinom TANIM P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 polinomunda a n = a n =... = a = a = 0 ve a 0 0 ise P(x) = a 0 polinomuna sabit polinom denir. P(x) =, P(x) =, P(x) = p, P(x) = P(x) = + birer sabit polinomdur. P(x) = a n x n + a n - x n a x+a 0 polinomunda. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR Tanıma göre, P(x) in polinom olabilmesi için, a 0, a, a,..., a n sayılarının verilen kümeden ve n nin doğal sayılar kümesinden olması gerekir. sabit terim P(0) = a 0 dır. 9

10 ÜNİTE - KAVRAMSAL ADIM Sıfır Poliṅomu TANIM P(x) = a n x n + a n x n a x+a 0 polinomunda, a n = a n =... = a = a = a 0 = 0 ise P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.. f : R + R f(x) = x + x - fonksiyonu bir polinom değildir. Çünkü x = x olup doğal sayı değildir.. h : R \ { } R h(x) = - x fonksiyonu bir polinom değildir. ( x) +. P(x) = 0 sıfır polinomudur.. Q(x) = (m )x + (n m)x + p n ifadesinin sıfır polinomu olması için m, n, p nin değerlerini bulalım. Q(x) ifadesinin sıfır polinomu olması için m, n ve p nin alacağı değerler şöyle olacaktır: m = 0 n m = 0 p n = 0 m = n = m p = n n = p = bulunur. İki Polinomun Eşitliği TANIM P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 ve Q(x) = b k x k + b k x k b x + b 0 olsun. P(x) = Q(x) olması için gerek ve yeter koşul, n = k ve 0 i n için a i = b i olmasıdır. Bunu kısaca, P(x) = Q(x) n = k ve a i = b i ; i = 0,,,..., n biçiminde ifade edebiliriz.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR TANIM Her fonksiyon bir polinom olmayabilir. Ancak her polinom bir fonksiyondur. x R ise P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 polinomu R den R ye fonksiyondur. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.. x R olmak üzere, P(x) = x 5x + 6 bir fonksiyondur. Burada, x R için P(x) R dir. Örneğin, x = için P( ) = ( ) 5( ) + 6 = x = için P() = = 0 x = için P( ) = ( ) 5. ( ) + 6 = 0 elde edilir.. P(x) = (m ) x 4x + (n + ) x + p Q(x) = x 4x + 5x polinomlarının eşit olması için m + n + p nin alacağı değeri bulalım. P(x) = Q(x) m = n + = 5 p = m = n = p = 0 m + n + p = = 4 bulunur.. P(x) = (a )x + (b ) x c ve Q(x) = x 9b polinomlarının eşit olması için a, b ve c nin alacağı değerleri bulalım. Bu iki polinomun eşit olabilmesi için, aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşit olması gerekir. Buna göre, P(x) = Q(x) a = b = 0 c = 9b dir. a = b = 0, c + = 9b a = b = c = 9b (b = ) c = 9. = 7 c = 5 bulunur. 0 Soru

11 . P(x) = 5x 4 x 4x + 7 ifadesi bir polinomdur. Bu polinomun baş katsayısı 5, derecesi der [P(x)] = 4, sabit terimi 7 ve terim sayısı 4 tür.. Q(x) = x / 4x + x ifadesi bir polinom değildir. Çünkü x / teriminde x in kuvveti olan sayısı doğal sayı değildir. UYGULAMA ADIMI b) P() = a 0 + a + a a n idi. x = yazılırsa P( ) = a 0 a + a a ( ) n a n bulunur. Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkaralım. P() = a 0 + a + a a n P( ) = a 0 ± a ± a ±... ± ( ) n a n olup P() P( ) = a + a + a a + a + a = olarak bulunur. P() P( ) ÜNİTE - c) Çift kuvvetli terimlerin katsayılar toplamını bulmak için. P(x) = (m )x + (n +) x 5 polinomu sabit polinom b) deki eşitlikleri taraf tarafa toplayalım. olduğuna göre, m + n yi bulalım. P(x) in sabit polinom olması için m = 0 ve n + = 0 olmalıdır. m = 0 m = m = n + = 0 n= ve m + n = + ( ) m + n = bulunur. 4. P(x) = a 0 + a x + a x a n x n polinomu verilsin. a) Katsayılar toplamını b) Tek kuvvetli terimlerin katsayılar toplamını, c) Çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamını bulalım. n P( ) = a0 a + a a ( ) a n + P( ) = a0 + a + a + a an olup P( ) + P( ) = a + a + a +... a 0 + a + a = eşitliği elde edilir. 0 4 P( ) + P( ) 5. P(x) = 4x 6x P( ) + P() + x polinomu için P(0) + P() ifadesinin değerini bulalım. P(x) = 4x 6x + x polinomunda x = için P( ) = 4.( ) 6.( ) + ( ) = 4 6 = x = için P() = = 4 = 8. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR a) P(x) polinomunda x = yazılırsa, her katsayı ile çarpılmış olacağından, katsayılar toplamı elde edilir. Buna göre, katsayılar toplamı a 0 + a + a a n = P() dir. x = 0 için P(0) = = x = için P() = = olup P( ) + P( ) = + 8 = 5 = bulunur. P( 0) + P( ) + ( ) 5

12 ÜNİTE - UYGULAMA ADIMI 6. Q(x) = x 4 ax + bx x+ ve Q() + Q( )= 4 ise, b yi bulalım. 9. P(x) = (x + 4x 5) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamını bulalım. Q(x) = x 4 ax + bx x + polinomunda x = için Q() = 4 a. + b.. + Q() = b - a ve x = için P(x) polinomunda tek dereceli terimlerin katsayılarının toplamı Q( ) = ( ) 4 a( ) + b( ).( ) + Q(-) = a + b + 6 P( ) P( ) dir. Q() + Q( ) = 4 (b a) + (a + b + 6) = 4 P(x) = (x + 4x 5) polinomunda b + 6 = 4 x = için P() = ( ) = = 4 b = b = bulunur. x = için P( ) = (.( ) + 4.( ) 5) = ( 6) = 6 olduğundan tek dereceli terimlerin katsayılarının toplamı P( ) - P( - ) = 4-6 = - =- 6 bulunur. 7. P(x) = ax 4 (a + )x + (a )x + (a + ) x + a polinomunun katsayıları toplamı ise, a yı bulalım. P(x) = ax 4 (a + )x + (a )x + (a + ) x + a polinomunda. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR x = için P() = ise a. 4 (a + ). + (a ). + (a + ). + a = a a + a + a + + a = a = a = a = bulunur. 8. P(x) = ( x + x ) 009. ( + x x ) 00 biçiminde verilen P(x) polinomunun katsayılar toplamını bulalım. 0. n N +, P(x) = (x x ) n polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı 5 olduğuna göre, n yi bulalım. P(x) in çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı P( ) + P( ) = 5 veriliyor. P() = (. ) n = ( 4) n P(x) = ( x + x ) 009. ( + x x ) 00 polinomunda x = yazılırsa polinomun katsayılar toplamı P() = (. +. ) 009. ( +.. ) 00 P() = = bulunur. P( ) = (( ).( ) ) n = 0 P( ) + P( ) = 5 ( ) n = 5 ( 4) n = 04 = 0 = ( 4) 5 n = 5 bulunur. Soru

13 . Aşağıda verilen fonksiyonların polinom olup olmadığını belirleyiniz. a) P(x) = vx + x + b) Q(x) = vx vx + c) R(x) = x 5-6x + 4x PEKİŞTİRME ADIMI 4. P(x) =x 6 - p + 4x + 7x + polinomunun derecesi 8 olduğuna göre, p kaçtır? ÜNİTE - d) T(x) = x + 5x + 6x - e) S(x) = x 4 + x - + x + a) Polinom b) Polinom c) Polinom değil d) Polinom değil 5. Q(x) = x n + - 5x + x + polinomu için Q() = 6 olduğuna göre, polinomun derecesi kaçtır? e) Polinom değil. P(x) = x + x - 5x + polinomunun terim sayısı kaçtır? 4 5. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. Aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz. a) P(x) = x 6 + 4x 5 + x 5x + b) Q(x) = x 8 + 7x + 9x 0 + 5x - 4 c) R(x) = x 6 + 5x 7 + 8x x - 6. P(x) = 6x 4x + mx + m + polinomunda P(-) = ise, m kaçtır? a) 6 b) 0 c) 7 5

14 ÜNİTE - PEKİŞTİRME ADIMI 7. P(x) = (x + 4x + x - ) polinomunun çift dereceli terimlerinin 0. P(x) = ax + x - 5x - 7 polinomu için P(-) = olduğuna katsayıları toplamı kaçtır? göre, P() kaçtır? 08. P(x) = (x 4 + x + ) 0. (x - x + ) 8 polinomunun a) Katsayılar toplamını bulunuz. 8. P(x) = (x + x + ) n polinomunun katsayılar toplamı 6 olduğuna göre, n kaçtır? b) Sabit terimini bulunuz.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR a) b) P(x) = (ax + x - ) 7 polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı (a - ) 7 olduğuna göre, a kaçtır?. P(x) = (x 7 - x + ) 4 polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamını bulunuz. 0 4 Soru

15 KAVRAMSAL ADIM Çok Değişkenli Polinomlar ETKİNLİK ÜNİTE - R[x] kümesine bir değişken yerine x, y, z... gibi değişkenleri de katalım. Elde edilen yeni küme R[x, y, z,...] biçiminde olur. P(x, y, z) = x y z + x y z + x y z P(tx, ty, tz) = t n-. P(x, y, z) olduğuna göre, n sayısını bulunuz. polinomu için, Örnek olarak,. P(x, y) = x 5 y 4x + 5y + iki değişkenli,. P(x, y, z) = x yz 4 + x yz - 4xy + üç değişkenli polinomdur. Şimdi de çok değişkenli polinomlarda derecenin nasıl bulunduğunu görelim. Örneğin,. P(x, y, z) = 5x y z xy z + x 5y + 4 olsun. P(x, y, z) polinomunda x e göre derece, y ye göre, z ye göre dir. Polinomun derecesi ise en yüksek derece olan + + = 6 dır.. Q(x, y) = x y 5 4x y 7 + xy 5 y 4 + x polinomunun derecesini bulalım. Q(x, y) polinomunda x e göre derece, y ye göre 7 dir. Polinomun derecesi ise en yüksek derece olan + 7 = 9 dur. ETKİNLİK P(x, y) = x y + x y + x 4 y + polinomu veriliyor. x 4 y. P(x, y ). P(x, y 4 ). P(x 4, y ) polinomunun, a) derecesini bulunuz. b) katsayılar toplamını bulunuz.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR Bunu der[q(x, y)] = 9 şeklinde gösteririz. Bir P(x) polinomunda x = 0 yazılırsa, elde edilen P(0) değeri polinomun sabit terimidir. İki değişkenli bir polinomda, benzer şekilde x = 0, y = 0 yazılarak sabit terim bulunur. 5

16 ÜNİTE - UYGULAMA ADIMI. P(x, y) = (x x ) 4. (y y ) 9 polinomu veriliyor. P(x, y) nin derecesini ve katsayılar toplamını bulalım. (x x ) 4 ün açılımında en büyük derece x 8 (y y ) 9 un açılımında en büyük derece y 8 olup 4. P(x, y) = x y 4xy 4 + (a + )xy + a polinomunda P(, ) = 6 olduğuna göre, a yı bulalım. P(, ) = ( ). 4.( ). 4 + (a + ) ( ). () + a = 6 = ( ) + 4 a + a = 6 P(x, y) = (x x ) 4. (y y ) 9 çarpımında en büyük derece x 8 y 8 in derecesidir. Bu da = 6 dır. Katsayılar toplamına gelince, bir değişkenli polinomlarda x = yazıp P() i buluyorduk. Burada x =, y = yazarak P(, )'i bulacağız. Katsayılar toplamı P(, ) = ( - - ) 4. ( --) 9 =(-) 4 (-) 9 =. (-) = - bulunur. 5. a = 6 a = P(x, y, z) = (x + y + z) x y + 5z bulunur. polinomunun katsayılar toplamını bulalım. Polinom üç değişkenli olduğundan. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. P(x, y) = x x + xy 4 a polinomunun sabit terimi ise, a yı bulalım. x = y = 0 yazılırsa, P(0, 0) = 4 a = ve 4 a = eşitliğinden a = 6 bulunur.. P(x, y) = (x x + 4) n. (y + 4y ) n polinomunun sabit terimi 6 ise, n doğal sayısını bulalım. Polinomda x = 0, y = 0 yazalım. Sabit terim 6 olduğundan P(0,0) = 4 n. ( ) n = 6 yazarız. 4 n. ( ) n = 6 4 n. [( ) ] n = 6 4 n. 9 n = 6 (4.9) n = 6 6 n = 6 n = bulunur. x =, y =, z = yazılır. P(,, ) = ( +. +.) = 6 = 6 bulunur. 6. P(x, y, z) = x y 4 z + x y 5 z 4 xyz + xy + 5 polinomunun derecesini bulalım. x y 4 z = 8 x y 5 z = x y z + + = 4 x y + = olduğundan P(x, y, z) nin derecesi der[p(x, y, z)] = dir. 6 Soru

17 UYGULAMA ADIMI 7. P(x, y) = x y x 4 + 4xy polinomunda P(m, m) = 4 olduğuna göre, m nin pozitif değerini bulalım. ETKİNLİK P(x, y) = (xy - ) 4 olduğuna göre, P( - x, - y ) polinomun derecesini bulunuz. P(m, m) = -m. m m 4 + 4m.m = 4 m 4 + 4m 4 = 6 m 4 = 6 m = veya m = dir. m nin pozitif değeri istendiğinden m = dir. ÜNİTE - 8. P(x, y) = x y x 4 y + xy polinomu için P(, ) değeri kaçtır? P(, ) = ( ). ( ) 4. +( ) = = 54 bulunur. 9. P(x, y) = x y x y + xy 4 polinomu için P(tx, ty) = t n. P(x, y) koşulunu sağlayan n sayısını bulalım. ETKİNLİK P(x, y) = xy + x y + xy + polinomu veriliyor. x. P(x, y). P(x, y 4 ). P(x, y ) polinomunun, a) derecesini bulunuz. b) katsayılar toplamını bulunuz.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR P(x, y) polinomunda x yerine tx, y yerine ty yazalım. P(tx, ty) = (tx). (ty) (tx). (ty) + (tx) (ty) 4 = t.x.t y t x. t y + tx.t 4 y 4 = t 5. x y t 5. x y + t 5. xy 4 = t 5. (x y x y + xy 4 ) P(tx, ty) = t 5. P(x, y) olup n = 5 bulunur. 7

18 ÜNİTE - PEKİŞTİRME ADIMI. Aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz. a) P(x, y) = x 6 y + x y - 5x 4 y + x 0 - b) Q(x, y) = x 7 + 4x y 4 + 5x y 8 - x 6 y 7 + c) R(x, y, z) = x 6 yz - x yz + 4x y 4 z + x + d) S(x, y, z) = x 4 y z 5 - x 6 y z 5 + 4x + 5x 0 yz 7 - xyz 4. P(x, y) = x y + xy - x y + y 5 polinomu için P(a, a) = olduğuna göre, a nın pozitif değeri kaçtır? 4 a) 0 b) c) 9 d) 8 5. P(x, y, z) = x y n z + x 5 y z n + polinomunun derecesi. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. P(x, y) = x 4 y + xy 4 - x y + y 5 polinomu için P(a, a) = 8 olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, n kaçtır? 5. P(x, y) = x y 4 - xy 6 + x y 5 polinomu için P(mx, my) = m n. P(x, y) koşulunu sağlayan n sayısını bulunuz. 6. P(x, y) = (x + xy + y ) n. (x - xy + y ) n polinomunun derecesi 4 olduğuna göre, n kaçtır? 8 7 Soru 6

19 KAVRAMSAL ADIM P(x) Verildiğinde P(Q(x)) i Bulmak P(Q (x)) Verildiğinde P(x) i Bulmak ÜNİTE - P(x) verildiğinde, P(Q(x)) i bulmak için P(x) polinomunda x yerine Q(x) yazılır. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. (Q o Q )(x) = I(x) = x olduğundan, P(x) i bulmak için, Q(x) in tersini P(Q(x)) polinomunda x yerine yazarız. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.. P(x) = x 7 5x 6 + 4x 4 x 5x ise, P( ) i bulalım. P(x) de x = yazalım. P( ) = ( ) 7 5( ) 6 + 4( ) 4 ( ) 5 ( ) P( ) = P( ) = = bulunur.. P(x ) = x x+ ise, P(x) polinomunu bulalım. Burada Q(x) = x olup Q (x) = x+ dir. P(x - ) = x - x + polinomunda x yerine x + yazalım. P(x ) = P(x + ) = P(x) = (x+) (x+) + P(x) = (x + x+) - x + P(x) = x + 4x + x+ P(x) = x + x + 4 olarak bulunur.. P(x) = x 5x 6 ise, P(x+) i bulalım. P(x) polinomunda x yerine x+ yazmalıyız. P(x+) = (x+) 5 (x+) 6 = x + x + 5x 5 6 = x x 0 bulunur.. P(x + ) = x + 6x + 8 olduğuna göre, P(x - )' i bulalım.. P( y) = y 4y 9 ise, P(y) polinomunu bulalım. Q(y) = y olup Q - - y (y) = olur. P( y) = y y 4y 9 polinomunda y yerine yazalım. y y y P( y) = Pc.( ) m = c m 4. c m 9 P(y) = P(y) = P( y) 4 4y + y 8 4y y + y 4 + y 8 9 y + 8y 0 = 9 olarak bulunur.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR P(x + ) ifadesinde x + in olduğu yerde x - olmalı. Yani x + x - olmalı. x + x - olması için x x - - ETKİNLİK Aşağıdaki şekillerde taralı alanları x değişkenlerine bağlı bir polinom olarak ifade ediniz. yani x yerine x - yazmalıyız. O halde, P(x - + ) = (x - ) + 6 (x - ) + 8 = x - 4x x = x + x bulunur. x + 6x + x x + x + x + 6 x 4x 5x x x x + 4 9

20 ÜNİTE -. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. P(4x ) = + 4x ise, P(5) i bulalım.. Yol: Önce P(x) polinomunu bulup, sonra P(5) i buluruz. Q(x) = 4x ise Q - (x) = x + tür. 4 P(4x ) = + 4x ifadesinde x yerine x + yazalım. 4 P 4. x + ` 4 j = + 4. x + 4 P(x) = + x + P(x) = x + 6 ve P(5) = Yol: P(5) = 'dir. Verilen ifade P(Q(x)) biçiminde ve Q(x) = 4x olduğundan Q(x) = 5 eşitliğini sağlayan x değerini bulup, verilen ifadede yerine yazalım. Yani, Q(x) = 5 4x = 5 4x = 8 x = dir. P(4x ) = + 4x ifadesinde x = yazalım. P(4. ) = + 4. P(5) = olarak bulunur.. P( ax) = a x + ax a+ ve P(0) = ise, a yı bulalım. UYGULAMA ADIMI. P(x + ) = x x + olduğuna göre, P(x) polinomunu bulalım. Q(x) = x + Q (x) = x dir. P(x + ) = x - x + eşitliğinde x yerine x P. x x + =. x ` j ` j ` j + P( x) = x x + x + 4 ^h ( 4) P( x) = x x + 6x P( x) = x 8x + 5 bulunur P(x+) = mx + n ise, P(x ) polinomunu bulalım. Q(x) = x + Q (x) = x dir. O halde, P(x + ) = m(x ) + n P(x) = m(x ) + n dir. P(x ) = m[(x ) ] + n = mx m + n bulunur. yazalım. 5. P(mx+) = m x + 0mx eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulalım. a x = 0 x = ve P(0) = olup, a P a. a a. c m = c m + c m a + a a a P(0) = + a + P(0) = a = tür. Buradan a = 6 a = bulunur. Q(x) = mx + denilirse Q - (x) = x m dir. P(mx+) = m x + 0mx eşitliğinde x yerine P m x m. x + = + 0m. x ` ` m j j ` m j ` m j P( x) m. ( x ) m. ( x = + 0 ) m m P( x) = ( x ) + 0( x ) bulunur. x yazalım. m 0 Soru

21 PEKİŞTİRME ADIMI. P(x + ) = x - x + x - olduğuna göre, P() kaçtır? 4. P(x + ) = x + 7x + olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. 7 x + x 8 ÜNİTE -. P(x) = x - 8x - 9 olduğuna göre, P(x + ) polinomunu bulunuz. 5. P(x - ) = x + 9x - olduğuna göre, P(x + ) polinomunu bulunuz. x + x 5x 6 x + 7x + 5. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. P(x) = x - 6x + 0 olduğuna göre, P(x - ) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz. 6. P(x + ) = 4x + 4x + 9 olduğuna göre, P(x - ) polinomunu bulunuz. 7 9x 6x + 9

22 ÜNİTE -. BÖLÜM DA İŞLEMLER KAVRAMSAL ADIM A) Toplama İşlemİ TANIM c. Birleşme Özelliği: P(x), Q(x), R(x) R[x] olsun. [(P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)] tir. R[x] kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.. BÖLÜM DA İŞLEMLER Gerçek katsayılı P(x) ve Q(x) polinomları için der(p(x)) = m, der(q(x)) = n olsun. P(x) = b m x m + b m x m b x + b 0 ve Q(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 olsun. Bu durumda a) m = n ise, P(x) + Q(x) = (a n + b n ) x n + (a n + b n )x n (a + b )x + a 0 + b 0 dır. O halde der (P(x) + Q(x)) n dir. b) m > n ise, P(x) + Q(x) = b m x m + b m x m (a n + b n ) x n (a + b )x + a 0 + b 0 olup der(p(x) + Q(x)) = m dir. c) m < n ise, P(x) + Q(x) = a n x n + a n x n (a m + b m )x m (a + b )x + a 0 + b 0 olup der(p(x) + Q(x)) = n dir. Farklı derecelerdeki iki polinomun toplamının derecesi, dereceleri arasında en büyük olanına eşittir. Toplama İşleminin Özellikleri a. Kapalılık Özelliği: P(x), Q(x), R[x] olsun. P(x) + Q(x) R[x] dir. Yani, R[x] kümesindeki iki elemanın toplamı yine R[x] kümesinin bir elemanıdır. R[x] kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. b. Değişme Özelliği: P(x), Q(x), R[x] ise P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) tir. R[x] kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır. d. Birim Eleman: R[x] reel katsayılı polinomlar kümesinde sıfır polinomu toplama işlemine göre, birim elemandır. e. Ters Eleman: Her P(x) polinomunun toplama işlemine göre tersi olan polinom P(x) tir. P(x) ve P(x) polinomları toplama işlemine göre birbirinin tersidir. ETKİNLİK P(x) = x + x + ve Q(x) = x x ise, a) P(x) + Q(x) b) P(x) + Q(x) c) P(x) 9Q(x) polinomlarını bulunuz. Soru

23 . P(x) = x 4 4x 5x + 6 Q(x) = x 4 + 6x 7 polinomları veriliyor. P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) olduğunu gösterelim. P(x) + Q(x) = x 4 4x 5x + 6 x 4 + 6x 7 P(x) + Q(x) = x 4 4x + x dir. Q(x) +P(x) = x 4 + 6x 7 + x 4 4x 5x + 6 = x 4 4x + x olup P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) tir. UYGULAMA ADIMI. P(x) = x 5x + 4x ve Q(x) = x 5x + 7 polinomları veriliyor. a) P(x) + Q(x) b) 5P(x) + Q(x) polinomlarını bulalım. a) P(x) + Q(x) = ( x 5x + 4x ) + (x 5x + 7 ) = x 5x x + 4 tür. b) 5P(x) + Q(x) = 5( x 5x + 4x ) + (x 5x + 7) = 0 x 5x + 0x 5 + x 5x + = 7 x 5x + 5x + 6 bulunur. ÜNİTE -. P(x) = + x + x x Q(x) = x + x + x R(x) = + x x + 5x polinomları için toplama işleminin birleşme özelliğinin sağlandığını görelim. [P(x) + Q(x)] + R(x) = [(+x+x x ) + ( x + x + x )] + (+x x + 5x ) = ( + x + x ) + ( + x x + 5x ) = + x + 7x tür. P(x) + [Q(x) + R(x)] = (+ x + x x ) + [( x + x + x ) + ( + x x + 5x )] = ( + x + x x ) + ( + x x + 8x ) = + x + 7x olup [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)] tir. 4. P(x) = x 4 x + (a ) x (b + ) ve Q(x) = (c + ) x 4 + (d )x 5x 6 polinomları veriliyor. P(x) + Q(x) = 4x 4 x x 4 ise, a + b + c + d toplamını bulalım. P(x) + Q(x) = ( + c + )x 4 + (d )x + (a 5)x (b++6) ve P(x) + Q(x) = 4x 4 x x 4 olduğundan (c + )x 4 + (d 6)x + (a 6) x (b + 7) = 4x 4 x x 4 tür. Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olacağından c + = 4 d 6 = a 6 = b + 7 = 4 c = d = 4 a = b = tür. a + b + c + d = +( ) = 5 bulunur.. BÖLÜM DA İŞLEMLER

24 ÜNİTE - UYGULAMA ADIMI 5. P(x) = ax + b polinomu için, P(x) + P( x) = a + 4 eşitliği sağlanıyor. P() = 4 ise, a + b yi bulalım. 8. P(x) = (a +)x b x polinomunun toplama işlemine göre tersi olan polinom Q(x) = x + 9 x + ise, a + b yi bulalım. P(x) + P( x) = (ax + b) + a( x) + b = ax + b + a ax + b = b + a 'dır. P(x) + P( x) = a + 4 olduğundan b + a = a + 4 ve b = 4 b = dir. P() = a + b = 4 olup b = olduğundan P(x) = (a + )x bx polinomunun toplama işlemine göre tersi P(x) = (a + )x + b x + = Q(x) tir. Buna göre, ( a + )x + b x + = x + 9x + dir. İki polinomun eşitliğinden a + = 4 a = a = (a+) = a + = b = 9 b = O halde a + b = + = bulunur. a = ve a + b = + = 0 bulunur. 9. P(x) = ax + bx+c polinomu için P(x) + ( P(x)) toplamını bulalım.. BÖLÜM DA İŞLEMLER 6. P(x) = ax + bx + c ve P(x + ) = 6x + 4x + 9 olduğuna göre, a + b + c toplamını bulalım. P(x) = ax + bx + c polinomunda x = için P() = a + b + c dir. P(x + ) polinomundan P()'i elde etmek için x = 0 yazmalıyız. x = 0 için P(0 + ) = P() = olduğundan, P() = a + b + c = 9 bulunur. 7. P(x) = x 5 x + 4x 5x 6 Q(x) = x 5 + x + 6x 5 polinomları veriliyor. der[p(x) + Q(x)] i bulalım. der [P(x)] = 5 ve der[q(x)] = 5 dir. P(x) + Q(x) = (x 5 x + 4x 5x 6) + ( x 5 + x + 6x 5) = x + 7x + x olup der[p(x) + Q(x)] = tür. P(x) = ax + bx + c polinomu için P(x) + ( P(x)) toplamını bulalım. P(x) =ax + bx+c ise P(x) = ax bx c ve P(x) + ( P(x)) = (ax + bx + c) + ( ax bx c) = (a a)x + (b b) x+ (c c) = 0 dır. 0. n N olmak üzere P(x) = x n + + ve Q(x) = x n+7 + veriliyor. P(x) + Q(x) polinomunun derecesi ise, P( ) kaçtır? n + 7 > n + olduğundan der(p(x) + Q(x)) = n + 7 = n = 4 tür. O halde P(x) = x 7 + ve P( ) =.( ) 7 + = + = bulunur. 4 Soru

25 PEKİŞTİRME ADIMI. P(x) = x x + 4x + Q(x) = x + 6x + 4 polinomları veriliyor. a) P(x) + Q(x) polinomunun derecesi kaçtır? b) P(x) Q(x) polinomunun derecesi kaçtır? c) P(x) + Q(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır? d) P(x) + 5 Q(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? 4. P(x) = ax + bx + c polinomu için P(x) + P( x) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz. 5a b + 5c ÜNİTE - a) b) c) 9 d) 5. P(x) = x + 5x 7 ve Q( x) = x + 6x + 8. P(x) = x 4 + 4x + x + x + olduğuna göre, P( x) + Q(x) polinomunun katsayılar Q(x) = x 4 + x + 6x + 7x toplamını bulunuz. polinomları için P(x) +Q(x) = (m + )x + (n + )x + (4p ) x + k olduğuna göre, m + n + p + k toplamı kaçtır?. P(x) = ax + bx + c P( x) = x + 6x P(x) + P(x ) = x + 8x + 5 olduğuna göre, P() P( ). BÖLÜM DA İŞLEMLER olduğuna göre, a+ b + c toplamını bulunuz. işleminin sonucu kaçtır? 0 0 5

26 ÜNİTE - KAVRAMSAL ADIM B) Çıkarma İşlemi P(x), Q(x) R[x] olsun. P(x) Q(x) polinomunu bulmak için toplama işleminden yararlanılır. P(x) Q(x) = P(x) + ( Q(x)) tir. Çıkarma işleminde aynı dereceli terimlerin katsayıları çıkarılır. R[x] kümesinde çıkarma işleminin kapalılık özelliği vardır. TANIM P(x), Q(x) R[x] olsun.. der[p(x)] = der [Q(x)] = m ise a, b R olmak üzere, ap(x) "bq(x) polinomunun derecesi en çok m olabilir.. der[p(x)] = n, der[q(x)] = m ise a. P( x) " b. Q( x) polinomunun derecesi m ve n den büyük olanıdır. Çarpma İşleminin Özellikleri. Kapalılık Özelliği: P(x), Q(x) R[x] ise P(x). Q(x) R[x] tir. R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.. Değişme Özelliği: P(x). Q(x) = Q(x). P(x) tir. Bu R de çarpma işleminin değişme özelliğinin bir sonucudur.. Birleşme Özelliği: P(x), Q(x) ve R(x) R[x] olsun. [P(x).Q(x)]. R(x) = P(x).[Q(x).R(x)] dir. Bu R de çarpma işleminin birleşme özelliğinin bir sonucudur. 4. Birim Eleman Özelliği: R[x] polinomlar kümesinin çarpma işlemine göre birim elemanı R[x] sabit polinomudur.. BÖLÜM DA İŞLEMLER c) Çarpma İşlemi P(x), Q(x) R[X], der [P(x)] = n, der[q(x)] = m ve P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 Q(x) = b m x m + b m x m b x + b 0 ise P(x).Q(x) = a n x n. Q(x) + a n x n Q(x) a xq(x) + a 0 Q(x) = a n b m x n+m + a n b m x n+m a 0 b m x m a b x + a b 0 x + a 0 b 0 dır. der[p(x).q(x)] = der [(P(x)] + der [Q(x)] = n + m dir. Polinomların kümesinde iki polinomun çarpımı yapılırken çarpma işleminin, toplama işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanılır. 5. Dağılma Özelliği: R[x] de P(x), Q(x) ve R(x) polinomları için P(x). [Q(x) + R(x)] = P(x).Q(x) + P(x). R(x) olup dağılma özelliği vardır. ETKİNLİK P(x) = ( + x + x nx n ). ( + x + x mx m ) polinomunun katsayılar toplamı 6mn olduğuna göre, m. n + m + n ifadesinin değerini bulunuz. TANIM P(x) 0, Q(x) 0 olmak üzere, der [P(Q(x)] = der [Q(P(x))] dir. 6 Soru

27 UYGULAMA ADIMI. P(x) = x + 5x ve Q(x) = x 4x + polinomları için P(x) Q(x) ve.p(x).q(x) polinomlarını bulalım. P(x) Q(x) = P(x) + ( Q(x)) olduğundan Q(x) = x + 4x ve P(x) Q(x) = (x + 5x ) + ( x + 4x ) P(x) Q(x) = x + 9x 4 olarak bulunur. P(x) = (x + 5x ) = x + 5x 9 ve 4. P(x) = x+ ve Q(x) = x 5x 6 polinomları için P(x).Q(x) çarpımını bulalım. P(x). Q(x) = (x + ) (x 5x 6) = x(x 5x 6) + (x 5x 6) = x 5x 8x + x 0x P(x). Q(x) = x x 8x dir. Q(x) = (x 4x + ) = 6x 8 x + olup Q(x) = 6x + 8x P(x) Q(x) = (x + 5x 9) + ( 6x + 8x ) = x + x bulunur. 5. P(x) = x + a ve Q(x) = x x iki polinom ve T(x) = P(x). Q(x) biçiminde tanımlansın. T(x) in katsayılar toplamı ise, a yı bulalım. I. yol : T(x) i bularak sonuca ulaşalım. T(x) = P(x). Q(x). P(x) = x (a + )x x ve Q(x) = (b + )x x (c ) x + d + polinomları için P(x) Q(x) = 5x x ise a, b, c, d sayılarını bulalım. = (x + a). (x x) = x(x x) + a(x x) = x x + ax ax = x + (a )x ax T(x) in katsayılar toplamını bulmak için x = yazalım. Q(x) = (b + )x x T(x) = + (a ) a = (c ) x + d + ise Q(x) = (b + )x + x a = + (c ) x (d +) dir. a = 4 P(x) Q(x) = P(x) + ( Q(x)) a = bulunur. = x (a + )x x + ( (b + )x + x + (c ) x (d + )) = ( b )x + ( a + )x + (c ) x + ( d ) = bx + ( a + )x + (c ) x + ( d ) tür. P(x) Q(x) = 5x x olduğundan bx + ( a + )x + (c ) x + ( d ) = 5x x II. yol: T() = P(). Q() = = ( + a). ( ) = ( + a). ( ) = + a = İki polinomun eşitliğinden, a = bulunur. b = 5, a + =, c = 0, d = 0 b = 5 a = 4 c = d = olarak bulunur.. P(x) = x 7 7x 6 + 6x 5 + x ve Q(x) = x 8 + x 7 + 5x 4 polinomları için der[p(x) Q(x)] i bulalım. 6. m N + olmak üzere P(x) = x 4 x + x m+5 + ve Q(x) = x 4 x + x m+4 + polinomları veriliyor. P(x). Q(x) çarpımının derecesi ise, m yi bulalım. ÜNİTE -. BÖLÜM DA İŞLEMLER P(x) Q(x) = (x 7 7x 6 + 6x 5 + x ) (x 8 + x 7 + 5x 4) = x 7 7x 6 + 6x 5 + x x 8 x 7 5x + 4 P(x) Q(x) = x 8 7x 6 + 6x 5 5x + x + olup der [P(x) Q(x)] = 8 dir. m N +, der[p(x)] = m + 5, der [Q(x)] = m +4 tür. der[p(x). Q(x)] = der [P(x)] + der[q(x)] olduğundan = m m = 4m m = dir. 7

28 ÜNİTE - UYGULAMA ADIMI 7. (x + 5x + 6) (a x + b) = 9x + x + x 6 olduğuna göre, P(x) + Q(x) = x + x + x + 9. olduğuna göre, a ve b yi bulalım. P(x) Q(x) = x + x + 8x P(x) ve Q(x) polinomlarını bulalım. (x + 5x + 6) (ax + b) = x (ax + b) + 5x (ax + b) + 6 (ax + b) = ax + bx + 5ax + 5bx + 6ax + 6b = ax + (b + 5a)x + (5b + 6a) x + 6b dir. + P( x) + Q( x) = x + x + x + P( x) Q( x) = x + x + 8x P( x) = 4x + 0x & P( x) = x + 5x ax + (b + 5a)x + (5b + 6a)x + 6b = 9x + x + x 6 olup iki polinomun eşitliğinden P(x) + Q(x) = x + x + x + eşitliğinde P(x) = x + 5x yazılırsa a = 9 b +5a = 5b + 6a = 6b = 6 x + 5x + Q(x) = x + x + x + ve a = b = Q(x) = x + x + x + x 5x + Q(x) = x x x + bulunur. a =, b = bulunur. ETKİNLİK Aşağıdaki çokgenlerin çevresini bulunuz.. BÖLÜM DA İŞLEMLER 8. P(x) = x x, Q(x) = x +, R(x) = x+ polinomları için, P(x). [Q(x) + R(x)] = P(x). Q(x) + P(x). R(x) olduğunu gösterelim. P(x). [Q(x) + R(x)] = (x x) [(x + ) + (x + )] = (x x) (x + x + ) = x (x + x + ) x (x + x +) = x 5 + x + x x 4 6x 6x = x 5 x 4 + x 4x 6x P(x).Q(x) = ( x x).(x + ) = x (x + ) x(x + ) = x 5 + x x 4 x P(x).Q(x) = x 5 x 4 +x x dir. P(x).R(x) = (x x). (x + ) x + x + x+ x x x + x + x Aşağıdaki çokgenlerin alanını bulunuz. x x + x x + 4x + x x = x (x + ) x(x + ) = x + x 6x x = x 5x x P(x). Q(x) + P(x). R(x) = (x 5 x 4 + x x) + (x 5x x) = x 5 x 4 + x 4x 6x dir. O halde P(x). [Q(x) + R(x)] = P(x). Q(x) + P(x). R(x) bulunur. 8 Soru

29 . P(x) = x 5x + 6 Q(x) = x + 5x polinomları için a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) polinomlarını bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 4. P(x) = x ( + x) ve Q(x) = (x +) polinomları için P(x). Q(x) in derecesini bulunuz. ÜNİTE - 8 a) b) 5x 5x +. P(x) Q(x) = x + x P(x) + Q(x) = x x olduğuna göre, P(x) ve Q(x) polinomlarını bulunuz. 5. P(x) = x + 6x(x + ) ve Q(x) = x (x + ) 5 polinomları için xp(x). Q(x) polinomunun derecesini bulunuz. P( x) 5 = x Q( x) = x x. P(x) = x x ve Q(x) = (x + ) polinomları için P(x). Q(x) polinomunu bulunuz P(x) = x (x + x) 4 ve Q(x) polinomları için der[p(x).q(x )] = 5 olduğuna göre, Q(x) in derecesi kaçtır?. BÖLÜM DA İŞLEMLER x 4 x 6x 7 9

30 ÜNİTE - PEKİŞTİRME ADIMI 7. P(x) = x(x + x + 7) 5 polinomu için x n.p(x ) polinomunun derecesi 57 olduğuna göre, n kaçtır? 0. P(x). Q(x) in derecesi P(x ). Q(x ) in derecesi 7 olduğuna göre, x. P(x ). Q(x + ) polinomunun derecesi kaçtır? P(x) = x 6 + 4x 5 x + x Q(x) = x 6 4x 5 + 7x polinomları için P(x) + Q(x) in derecesi kaçtır?. P(x) ve Q(x) birer polinomdur, P(x ). Q(x 4 ) polinomunun derecesi 4 P(x 4 ). Q(x) polinomunun derecesi olduğuna göre, P(x 7 ). Q(x 5 ) polinomunun derecesi kaçtır?. BÖLÜM DA İŞLEMLER 9. P(x) = x m. (x 4 + x + )m polinomu veriliyor. x. P(x ) polinomunun derecesi 47 olduğuna göre, m kaçtır? 74. P(x) ve Q(x) iki polinom der[p(x ). Q (x)] = 5 der[p(x + ). Q(x )] = 0 olduğuna göre, x 5. [P(x)]. [Q(x 4 )] polinomunun derecesi kaçtır? 0 Soru

31 ALIŞTIRMALAR #. P(x) = x 5 4x, Q(x) = x P(x) x polinomları veriliyor. Aşağıda verilen işlemleri yapınız. 8. der(p(x)) =, der(p(x). Q(x)) = 7 dir. der (T(x). Q(x)) = 9 ise, der (T(x) + P(x)) kaçtır? a) P(x) + Q(x) c) P(x) 4Q(x) b) P(x) Q(x) d) P(x). Q(x) 9. Aşağıdaki çarpımları bulunuz. a) (x x + ) (x + ) b) (x ) (x + ) (x 4 + ). x P(x) 4x = x 7 4x 5 5x ise, P(x) polinomunu bulunuz. c) x 4 x 5x. x 4 c + 5 m c m 5 ÜNİTE - 0. P(x) = x x + 5 ve Q(x) = x 4x polinomları veriliyor.. P(x) = x (x ) + x (x + ) ve Q(x)= (x + ). P(x) polinomları veriliyor. P(). Q() ifadesinin değerini bulunuz. der [(x x). [P(x). Q (x)]] kaçtır?. m N +, P(x) = x m+4 + x + 4x 4. P(x) + Q(x) = 5x + x + x + P(x) Q(x) = x + x + 8x polinomları veriliyor. P(x) ve Q(x) polinomlarını bulunuz. 5. (x 5 + x + x + x + 4). (x 4 + x +x + 4) çarpımında x 5 li terimin katsayısı nedir? Q(x) = x m+ + x 7x + 4 polinomları veriliyor. Buna göre, der (P (x).q (x)) = 9 ise der(q(x)) kaçtır?. P(x ) + P(x + ) = x 4 x + 4 eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulunuz.. BÖLÜM DA İŞLEMLER 6. P(x) = x x polinomu veriliyor. P(x ) P(x ) = ax + b ise, a + b toplamını bulunuz. 4. P( x) =. x n + x n 5 polinomunun derecesini araştırınız. 7. P(x) + P(x ) = (x + 5x + ) eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulunuz. 4. P(x) ve Q(x) polinomları 9. derecedendir. P(x) in başkatsayısı m, Q(x) in başkatsayısı m dir. P(x) + Q(x) in derecesi en çok kaç olabilir? (m R)

32 ÜNİTE - 5. Aşağıdaki ifadelerin polinom olup olmadıklarını araştırınız. a) P(x) = vx vx b) Q(x) = x x vx v c) R(x) = x x x x d) T(x) = x x e) B(x) = x 4 5 x x 6. Aşağıdaki polinomların derecelerini belirleyiniz. a) P(x) = x 7 6x 5 + 4x x b) Q(x) = x + 5x 6x + 7 c) R(x) = v ALIŞTIRMALAR #. P(x) = x x x polinomu veriliyor. P( x) ve P(x) polinomlarını bulunuz.. Aşağıdaki bazı polinomların dereceleri verilmiştir. Hangisi yanlıştır? a) P(x) = x 4 5x x 7 ise, der[p(x)] = 4 b) Q(x) = (x x ) 5 ise, der[q(x)] = 0 c) R(x) = (x ) (x+) 5 ise, der[r(x)] = 6 d) T(x) = ise, der [T(x)] = 0 e) S(x) = (x + x ) 0 ise, der[s(x)] = 0. P(x) ikinci dereceden bir polinom P() =, P(0) =, P( ) = ise, P(x) in başkatsayısı kaçtır?. BÖLÜM DA İŞLEMLER 7. P(x) = (m )x x b Q(x) = nx ax polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) ise, m + n ifadesinin değeri kaçtır? a + b 8. P(x) n. dereceden bir polinom Q(x) m. dereceden bir polinom ise, Q[P(x). Q(x) ] polinomunun derecesi nedir? 9. P(x, y) = x y 4 xy x y polinomunun derecesini bulunuz. 4. P(x) = 4x m m x - polinomunun derecesi en çok kaç olabilir? 5. P(x) = 8x x + 6x polinomu veriliyor. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a) P() d) P( ) b) P(0) e) P() c) P( ) f) P ` j 0. P(x) = ( x ) (x + ) ve Q(x) = ax b x c polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) ise, a b c kaçtır? 6. Aşağıdaki soruları çözünüz. a) P(x) = x 99 x ise, P( ) + P() kaçtır? b) P(x ) = x 4x + 5 ise, P(x ) polinomunu bulunuz. c) P(x) = 5x x + ise, P(x + ) polinomunu bulunuz. d) Q(x+) = x+8 ise, Q( ) kaçtır? Soru

33 7. P(x) = ax bx 4 polinomu için P() = ve P( ) = ise, (a, b) ikilisini bulunuz. 8. P(x) = 5x 4 4x + x Q(x) = ax 4 bx + cx + d polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) ise (a, b, c, d) dörtlüsünü belirleyiniz. ALIŞTIRMALAR #. P(x + ) = x x x + olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? 4. P(x) polinomunun derecesi, Q(x) polinomunun derecesinin fazlasının katıdır. P(x ) Q(x ) polinomunun derecesi ise, P(x) polinomunun derecesi kaçtır? ÜNİTE - 9. Bir P(x) polinomu 4. derecedendir. Buna göre, Q(x) = x. P(x 6 ) biçiminde tanımlı Q(x) polinomunun derecesini bulunuz. 0. P(x) = a x 5ax + 6 polinomunda a > ve P(x) in katsayılar toplamı 0 ise, a yı bulunuz.. Q(x) = + x polinomu için P(Q(x)) = ( + x) ise, P(x) polinomunun katsayılar toplamı nedir? 9 5. P( x) x m m = - - x ifadesini polinom yapan m değerlerinin toplamını bulunuz. 6. P(x) = a x 4 (a b)x + x 5 Q(x) = (a )x 4 + x cx + d polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) ise, a, b, c ve d sayılarını bulunuz. 7. P(x) = x n+ 6x n ifadesinde P() = 6 ise, a) P(x) polinomunun derecesini bulunuz. b) P(x ) + P(x) + P()= Q(x) ise Q(x) in sabit terimi kaçtır? 8. (x x + 4x + ) (x 4 + 5x x x + ) çarpımında, x teriminin katsayısı kaçtır?. BÖLÜM DA İŞLEMLER. Q(x ) = x + ve P(Q(x)) = x x + ise, P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamını bulunuz. 9. P(x) polinomu için, [P(x)] + x P(x) + x = mx mx + eşitliği veriliyor. P( ) = ise, P() kaçtır?

34 ÜNİTE - KAVRAMSAL ADIM d) Polinomlarda bölme Bir Polinomun x ± a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan P(x), Q(x) iki polinom ve Q(x) 0 olsun. P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölündüğünde, bölüm B(x) ve kalan K(x) ise, P(x) = B(x). Q(x) + K(x) eşitliği yazılır. Bu yazılışta, P(x) : bölünen, B(x) : bölüm, Q(x): bölen, K(x): kalandır. Eğer K(x) = 0 ise P(x) = B(x). Q(x) olur ve bu durumda P(x), Q(x) e tam (kalansız) bölünüyor denir. P(x) bir polinom, a R ve der [P(x)] olsun. P(x) polinomunun (x a) ile bölümünden bölüm Q(x) ise P(x) = (x a).q(x) + K yazılır. Diğer yandan x a = 0 ise x = a dır. x = a değeri P(x) polinomunda yerine yazılırsa, P(a) = (a a) Q(a) + K olur. Buradan P(a) = K bulunur. TANIM der [P(x)] olan bir P(x) polinomunun a R olmak üzere, x a ile tam bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(x) de x = a yazıldığında polinomun sıfır olmasıdır.. BÖLÜM DA İŞLEMLER K(x) 0 ise P(x), Q(x) e kalanlı bölünüyor denir. Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzerdir. Bir P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümü, der[q(x)] der [P(x)] olmak üzere, Bölünen Bölen Bölüm Kalan P(x) B(x). Q(x) = K(x) ya da P(x) = B(x). Q(x) + K(x) biçiminde ifade edilir. TANIM P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. (Q(x) 0). P(x) in Q(x) e bölünebilmesi için der [P(x)] der[q(x)] olmalıdır.. P(x) in Q(x) e bölümünde bölüm B(x) ise, der[p(x)] = der[q(x)] + der[b(x)] dir.. P(x) = B(x). Q(x) + K(x) bölme işleminde K(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçüktür. 4. Reel katsayılı polinomlar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. 5. P(x), Q(x) iki polinom (Q(x) 0) der [P(x)] = m der[q(x)] = n ve m > n ise 4 der P (x) Q (x) 9 C = der P (x) der Q (x) = m n'dir TANIM der [P(x)] olan bir P(x) polinomunun a R olmak üzere, x + a ile tam bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(x) de x = a yazıldığında polinomun sıfır olmasıdır. Bir Polinomun (x a) ile bölümünden kalan k, (x b) ile bölümünden kalan k iken bu polinomun (x a) (x b) ile bölümünden kalanı bulma: P(x) in (x a) (x b) ye bölümünden kalan en çok. dereceden olacağından kalan nx + m olsun. P(x) = (x a) (x b). B(x) + nx + m yazalım. P(x) in x a ile bölümünden kalan k x b ile bölümünden kalan k olduğundan P(a) = k ve P(b) = k dir. x = a için P(a) = ( a a).( a b). B( a ) + na + m = k 0 na + m = k... () x = b için P(b) = ( a b).( b b). B( b ) + nb + m = k 0 nb + m = k... () dir. () ve () denklemleri birlikte düşünülürse. na + m = k k k & n( a - b) = k k nb + m = k - n = - a - b k k n. a + m = k ve n = - k - k. a + m = k a - b a - b ak m = k - ak ak m = - bk - ak + ak a - b a - b ak m = - bk dir. a - b O halde kalan K(x) = nx + m K( x) k - k ak bk = x c a - b m + a - dir. - b Soru

35 . P(x) = x x + 5x + 4 UYGULAMA ADIMI. P(x) = x 4 + x x polinomunun Q(x) = x polinomu ÜNİTE - Q(x) = x x + polinomları verilsin. P(x)'i Q(x)'e bölelim. Çözüm : ile bölümünden elde edilen bölüm ax + bx + cx + d ise, a + b + c + d toplamını bulalım. Çözüm : P(x) x - x + 5x + 4 x - x + x + - 4x x x + x + x x + - x + - 5x + K(x) Bu bölme işleminde, Bölünen : x x + 5x + 4 Bölen : x x + Q(x) B(x) - x 4 + x - x - x x x - x + x + x + - x - x - x + - x - x - x - x + - x x x - 0 Bölüm, x + x + x + olup, ax + bx + cx + d ile eşitle- Bölüm : x + nirse, x + x + x + = ax + bx + cx + d ve iki polinomun Kalan : 5x + olur. eşitliğinden a =, b =, c =, d = olup P(x) = B(x). Q(x) + K(x) olduğundan bölme işlemini a + b + c + d = = 6 bulunur. x x + 5x + 4 = (x + ). ( x x + ) + 5x + biçiminde ifade ederiz. Bölme işleminde K(x) = 5x + 0 olduğundan bölme kalanlıdır.. P(x) = x + 8x + x 9 polinomunu Q(x) = x + 5x polinomuna bölelim. Çözüm : 4. (x + x). B(x) x = x 4x 48x eşitliğini sağlayan B(x) polinomunu bulalım. Çözüm : (x + x) B(x) x = x 4x 48x eşitliğinde, B(x) i bulabilmek için, önce eşitliğin solundaki x ü, eşitliğin sağına alalım. Bu durumda eşitlik, (x + x) B(x) = 4x 4x 48x biçiminde olup 4x - 4x - 48x B( x) = tir. x + x. BÖLÜM DA İŞLEMLER x + 8x + x - 9 x + 5x - x + - 5x x x + x + 5x - 9 x + - 5x = K(x) B(x) = x + tür. K(x) = 0 olduğundan bölme kalansızdır. 4x - 4x - 48x 4x - + x - -6x - 48x + - 6x x 0 x + x 4x - 6 olup yapılan bölme işleminden B(x) = 4x 6 bulunur. 5

36 ÜNİTE - 5. P(x) = x x ax 4 polinomunun (x ) ile bölümünden UYGULAMA ADIMI. Yol: elde edilen kalanın 6 olması için a yerine yazılacak sayıyı bulalım. Çözüm : x = 0 x = dir. Bu değer P(x) de yerine yazıldığında P() = 6 olmalıdır. P() =.. a 4 = a 4 = 6 a = 6 a = olarak bulunur. 6. P(x) = x + 5x + mx + n polinomunun (x + ). ( x + 5) çarpımı ile tam bölünebilmesi için m ve n yerine yazılacak sayıları bulalım. (x + ). (x + 5) = x + 7x + 0 olup P(x) polinomu x + 7x + 0 polinomuna bölünürse, x + 5x + mx + n x + 7x + 0 x - + 4x - + 0x x + - x + (m - 0) x + n x x + 0 (m - 7) x + n - 0 = K(x) Kalan P(x) polinomunun (x + ) (x + 5) çarpımı ile tam bölünebilmesi için K(x) = 0 olmalıdır. Bunun için (m 7)x + n 0 = 0 ve polinomların eşitliğinden m 7 = 0 ve n 0 = 0 olmalıdır. Buradan m = 7 ve n = 0 olarak bulunur.. BÖLÜM DA İŞLEMLER Çözüm :. Yol P(x) in (x + ).( x + 5) çarpımı ile bölünebilmesi için (x + ) ve (x + 5) çarpanları ile ayrı ayrı bölünebilmesi gerekir. Buna göre, x + = 0 x = ve P( ) = 0 olmalıdır. P( ) =. ( ) + 5. ( ) + m( ) + n = 0 ise m + n = 0 ve m + n = x + 5 = 0 x = 5 ve P( 5) = 0 olmalıdır. P( 5) = ( 5) + 5. ( 5) + m( 5) + n = 0 ise m + n = 0 ve 5m + n = 5... olup ve ortak çözülürse, - m + n = m + n = -5 m = 8 m = 7 dir. denkleminde m = 7 yazılırsa. 7 + n = 44 ve 54 + n = 44 n = 0 bulunur. 7. P(x) = x + ax + bx 5 polinomunun (x ) ile bölümünden kalan 8, (x + ) ile bölümünden kalan 4 ise, a ve b sayılarını bulalım. Çözüm : x = 0 x = dir. P() = 8 olup + a. + b. 5 = 8 a + b =... x + = 0 x = dir. P( ) = 4 olup ( ) + a + b ( ) 5 = 4 ve a b = 0... ve denklemleri ortak çözülürse, a + b = + a - b = 0 a = ise a = 6 dır. denkleminde a = 6 yazılırsa b = ve b = 4 bulunur. Soru

37 UYGULAMA ADIMI ÜNİTE - 8. P(x) = 6x 4 +kx 5x + 9 polinomu (x ) ile tam bölündüğüne göre, (x + ) ile bölümünden kalan nedir? Çözüm : 0. P(x, y) = x n + y m x n y n y n polinomunun (x y) ile kalansız bölünebilmesi için m ile n arasında hangi bağıntı olmalıdır? Çözüm : x y = 0 y = x yazalım. Kalansız bölünebilmesi için P(x) polinomu (x ) ile tam bölündüğüne göre P() = 0 dır. P() = k = 0 k + 0 = 0 k = 0 olur. Öyleyse P(x) = 6x 4 0x 5x + 9 dur. P(x, x) = 0 olmalıdır. P(x, x) = x n + x m x n. x n x n = 0 x n + x m x n x n = 0 x m x n = 0 x m = x n n m = olmalıdır. P(x) in (x + ) ile bölümünden kalanı bulalım : x + = 0 x = dir. Bu değer P(x) polinomunda yerine yazılırsa, P( ) = 6 ( ) 4 0 ( ) 5.( ) + 9. P(x) = 99x x x polinomunun (x + ) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm : = ( ) P() = = 0 olup P(x) polinomunun (x + ) ile bölümünden kalan 0 dur. 9. P(x ) = x 5 5x 4 + 0x 5x + 5x ise, P(x) polinomunun (x + ) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm : P(x) in (x + ) ile bölümünden kalan P( ) olduğundan x + = 0 x = olup polinomda yerine yazılırsa P( ) = 99 ( ) ( ) ( ) P( ) = = dir. ETKİNLİK Aşağıdaki şekilde dikdörtgenlerin kenar uzunlukları veriliyor. x + (x + ) x + x + x - a) Toplam alanı veren bir polinom modeli yazınız. b) Toplam çevreyi veren bir polinom modeli yazınız.. BÖLÜM DA İŞLEMLER P(x ) = P( ) olmalıdır. x = x = yazılarak P( ) = P( ) = P( ) = bulunur. 7

38 ÜNİTE -. m N +, P(x) = (x + ) m x m x polinomunun UYGULAMA ADIMI. P(x) = x n+ (n + ) x + n polinomunun (x ) ile tam bölünebildiğini gösterelim. Çözüm : x = 0 x = ve x(x + ). (x + ) ile tam bölünebileceğini gösteriniz. Çözüm : P(x) polinomunun x(x + ). (x + ) çarpımı ile kalansız bölünebilmesi için x, (x + ), (x + ) ile ayrı ayrı kalansız bölünebilmesi gerekir. Buna göre, x = 0 için P(0) = (0 + ) m 0 0 = = 0 x + = 0 x = için P( ) = ( + ) m ( ) m. ( ) P() = (n + ) + n = 0 olup P(x) polinomu (x ) ile kalansız bölünür.. BÖLÜM DA İŞLEMLER = 0 + = 0 x + = 0 x = - için m m Pc- m = c- + m - c- m - c- m - m m = c m - c- m + - Pc- m = 0 olduğundan P(x) polinomu x(x + ). (x + ) çarpımı ile kalansız bölünür. ETKİNLİK x UYARI m N + için m çift olduğundan m m ` = j ` j dir. Aşağıdaki cisimlerin hacmini bulunuz. x + x + x x x + x + x x x x + 4. P(x + ) = 4x + x + x 4 polinomu için P(x + ) nin (x + ) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm : P(x + ) nin (x + ) ile bölümünden kalanı bulmak için x yerine yazarız. (x + = 0 x = ) P (x + ) P( + ) = P() olup P(), P(x + ) nin (x + ) ile bölümünden kalandır. P()' i bulmak için P(x + ) de x = 0 yazmalıyız. (x + = x = 0 ve x = 0) P(x + ) = 4x + x + x 4 (x = 0 yazalım) P(. 0 + ) = P() = 4 tür. O halde P(x + ) nin (x + ) ile bölümünden kalan 4 tür. Bu soruyu önce P(x)' i, sonra P(x + )' yi bulup, sonra da x = yazarak çözebilirsiniz. 8 Soru

39 5. P(x) = 4x 4 x 5x + 7x + polinomunun ( x + ) ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı bölme işlemi yapmadan bulalım. UYGULAMA ADIMI a = 4 b = a b = 4 = 7 b = 7 c = 5 b = 5 ( 7) = c = d = 7 c d = 7 = 5 ÜNİTE - Çözüm : der [P(x)] = 4 olduğundan (x + ) ile bölümünden elde edilen bölüm. dereceden olacaktır. Bölüm Q(x) = ax + bx + cx + d biçiminde yazılabilir. x + = 0 x = dir. Bölüm Q(x) ve kalan P( ) olduğundan P(x) = (x + ). Q (x) + P( ) yazabiliriz. P(x) P( ) = ( x + ). Q (x) olup Q(x) = ax + bx + cx + d yerine yazılırsa d = 5 P( ) = d = 5 = 4 a = 4, b = 7, c =, d = 5 değerleri Q(x) = ax + bx + cx + d bölüm polinomunda yerlerine yazılırsa, Q (x) = 4x 7x + x + 5 ve kalan K = P( ) = 4 bulunur. Burada dikkat edilirse polinomun x + ile bölümünden elde edilen kalan polinomda x yerine yazılarak bulunmamıştır. Belirsiz katsayılar yöntemi ile bölüm ve kalan bölme işlemi yapmadan bulunabilir. = (x + ). (ax + bx + cx + d) = ax 4 + (a + b)x + (b + c) x + (c + d) x + d elde edilir. P(x) = 4x 4 x 5x + 7x + olduğundan P(x) P( ) = 4x 4 x 5x + 7x + P( ) yazıp iki polinomu eşitleyelim. ax 4 + (a + b) x + (b + c)x + (c + d) x + d = 4x 4 x 5x + 7x + P( ) dir. Eşit polinomların özelliklerinden a = 4 ve a + b = ve b + c = 5 ve c + d = 7 6. x 4 4x + 6x 6 = (x ax + b) (x + x 4) eşitliğinin sağlanması için a ve b ne olmalıdır? Çözüm : x 4 4x + 6x 6 = (x ax + b ). (x + x 4) eşitliğinde sağ taraftaki iki ifade çarpılırsa, x 4 4x + 6x 6 = x 4 + ( a)x + (b a 4) x + (4a + b) x 4b olup eşit dereceli terimlerin katsayıları da eşit olacağından,. BÖLÜM DA İŞLEMLER ve d = P( ) dir. - a = 0 _ b - a - 4 =-4b `olup a =, b = 4 olarak bulunur. 4a + b = 6 b - 4b =-6 a 9

40 ÜNİTE - 7. P(x) polinomunun (x + ) ile bölümünden kalan UYGULAMA ADIMI 8. P(x) polinomunun (x 4) ile bölümünden kalan, (x + ) 6, (x ) ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, P(x) in (x + ). ( x ) ile bölümünden elde edilen kalanı bulalım. Çözüm : ile bölümünden kalan 8 ise, P(x) in x x 8 ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm : x 4 = 0 x = 4 P(4) = P(x) in (x + ). (x ) çarpımı ile bölümünden kalan en çok. dereceden olacağından kalan K(x) = mx + n ile gösterilirse bölme eşitliğinden x + = 0 x = P( ) = 8 veriliyor. P(x) in x x 8 ile bölümünden kalan en çok. dereceden olacağından kalan K(x) = mx + n olsun. Bölme eşitliğine göre,. BÖLÜM DA İŞLEMLER P(x) = (x + ). (x ). B(x) + mx + n yazılır. x + = 0 x = P( ) = m + n = 6 x = 0 x = P() = m + n = 4 - m + n = 6 &- 4m = & m =- m + n = 4 olup m =- ve m + n = 4 & - + n = 4 & n = n = O halde kalan K(x) = mx + n ETKİNLİK 5 K(x) = - x + bulunur. P(x) in (x + ) ile bölümünden kalan ise x + x. P(x + ) polinomunun (x + ) ile bölümünden kalanı bulunuz. P(x) = (x x 8).B(x) + mx + n = (x 4). (x + ). B(x) + mx + n dir. x = 4 P(4) = 4m + n = x = P( ) = m + n = 8 4m + n = & 6m = m + n = 8 m =- dir. m = ve m + n = 8 ( ). ( ) + n = 8 n = 6 dır. O halde kalan K(x) = mx + n K(x) = x + 6 bulunur. ETKİNLİK Bir polinomun (x a) ile bölünmesinden A kalanı, (x b) ile bölünmesinden B kalanı ve (x c) ile bölünmesinden C kalanı elde ediliyorsa aynı polinomun (x a) (x b) (x c) çarpımı ile bölünmesinden elde edilen kalanın K(x) =. ( x - b )( x - c ) ( x - c)( x - a) ( x - a)( x - b) A + B. + C. ( a - b)( a - c) ( b - c)( b - a) ( c - a)( c - b) olduğunu gösteriniz. 40 Soru