Özet. Geçerli Tartışmalar ve Çıkarım Kuralları İspat Yöntemleri İspat Stratejileri

Transkript

1

2 Özet Geçerli Tartışmalar ve Çıkarım Kuralları İspat Yöntemleri İspat Stratejileri

3 Bölüm 1.6

4 Bölüm Özeti Geçerli Tartışmalar Önermeler Mantığı İçin Çıkarım Kuralları Çıkarım Kurallarını Kullanarak Tartışma Oluşturma Nicelikli İfadeler İçin Çıkarım Kuralları Nicelikli İfadeler İçin Tartışma Oluşturma

5 Socrates Örneği 2 öncülümüz var. Bütün insanlar ölümlüdür. Socrates bir insandır. Ve Sonuç: Socrates ölümlüdür. Öncüllerden bu sonuca nasıl ulaştık?

6 Bir Tartışma Öncülleri bir çizginin üstünde; sonucu da çizginin altında gösteririz.

7 Geçerli Tartışmalar Geçerli tartışma oluşturmayı 2 aşamada göreceğiz: önermeler mantığı ve yüklemler mantığı. Esas olan, çıkarım kurallarını kullanmak. 1. Önermeler Mantığı Çıkarım Kuralları 2. Yüklemler Mantığı Önermeler mantığı için kullanılan çıkarım kuralları ve değişkenler ve yüklemleri ele alabilmek için gerekli olan ek kurallar.

8 Önermeler Mantığındaki Tartışmalar Önermeler mantığındaki bir Tartışma, önermeler dizisidir. Sonuncu önerme hariç hepsine öncül denir. Sonuncuya, sonuç denir. Eğer bütün öncüller sonucu gerektiriyorsa tartışma geçerlidir. Eğer öncülleri p 1,p 2,,p n ise ve sonuç q ise (p 1 p 2 p n ) q bir totolojidir. Çıkarım kuralları, daha karmaşık tartışmalar oluşturmak için kullanılırlar.

9 Önermeler Mantığı İçin Çıkarım Kuralları: Modus Ponens - Doğrulama İlgili Totoloji: (p (p q)) q Örnek: p Kar yağıyor. q Ayrık Matematik çalışacağım. Eğer kar yağıyorsa, Ayrık Matematik çalışacağım. Kar yağıyor. Bundan dolayı, Ayrık Matematik çalışacağım.

10 Modus Tollens - Reddetme İlgili Totoloji: ( p (p q)) q Örnek: p Kar yağıyor. q Ayrık Matematik çalışacağım. Eğer kar yağıyorsa, Ayrık Matematik çalışacağım. Ayrık Matematik çalışmayacağım. Bundan dolayı, kar yağmıyor.

11 Hypothetical Syllogism Kuramsal Kıyas İlgili Totoloji: ((p q) (q r)) (p r) Örnek: p Kar yağıyor. q Ayrık Matematik çalışacağım. r A alacağım. Eğer kar yağıyorsa, Ayrık Matematik çalışacağım. Ayrık Matematik çalışırsam, A alacağım. Bundan dolayı, eğer kar yağarsa, A alacağım.

12 Disjunctive Syllogism Ayırıcı Kıyas İlgili Totoloji: ( p (p q)) q Örnek: p Ayrık Matematik çalışacağım. q İngiliz Edebiyatı çalışacağım. Ayrık Matematik çalışacağım veya İngiliz Edebiyatı çalışacağım. Ayrık Matematik çalışmayacağım. Bundan dolayı, İngiliz Edebiyatı çalışacağım.

13 Addition - Ekleme İlgili Totoloji: p (p q) Örnek: p Ayrık Matematik çalışacağım. q Las Vegas ı ziyaret edeceğim. Ayrık Matematik çalışacağım. Bundan dolayı, Ayrık Matematik çalışacağım veya Las Vegas ı ziyaret edeceğim.

14 Simplification - Basitleştirme İlgili Totoloji: (p q) p Örnek: p Ayrık Matematik çalışacağım. q İngiliz Edebiyatı çalışacağım. Ayrık Matematik ve İngiliz Edebiyatı çalışacağım. Bundan dolayı, İngiliz Edebiyatı çalışacağım.

15 Conjunction - Birleşme İlgili Totoloji: ((p) (q)) (p q) Örnek: p Ayrık Matematik çalışacağım. q İngiliz Edebiyatı çalışacağım. Ayrık Matematik çalışacağım. İngiliz Edebiyatı çalışacağım. Bundan dolayı, Ayrık Matematik ve İngiliz Edebiyatı çalışacağım.

16 Resolution - Kararlılık İlgili Totoloji: (( p r ) (p q)) (q r) Örnek: p Ayrık Matematik çalışacağım. r İngiliz Edebiyatı çalışacağım. q Veritabanı çalışacağım. Ayrık Matematik çalışmayacağım veya İngiliz Edebiyatı çalışacağım. Ayrık Matematik çalışacağım veya Veritabanı çalışacağım. Bundan dolayı, Veritabanı çalışacağım veya İngiliz Edebiyatı çalışacağım.

17 Geçerli Tartışmalar Oluşturmak için Çıkarım Kurallarını Kullanmak Geçerli bir tartışma bir ifadeler dizisidir. Her bir ifade bir öncül ya da kendinden önceki öncüllerden çıkarım kuralları ile çıkarılmış bir ifade olabilir. Son ifade sonuçtur. Geçerli bir Tartışma aşağıdaki biçimdedir: S 1 S 2... S n C

18 Geçerli Tartışmalar Örnek1: Aşağıdaki öncülden q nun sonuç olduğunu gösteriniz. Çözüm:

19 Geçerli Tartışmalar Örnek 2: Bu öğleden sonra hava güneşli değil ve dünden daha soğuk, sadece güneşli olursa yüzmeye gideceğiz, yüzmeye gitmezsek o zaman kano gezintisi yapacağız, kano gezintisi yaparsak o zaman güneş batımına kadar evde olacağız önkoşullarının, güneş batımına kadar evde olacağız sonucuna götürdüğünü önermeler mantığı ve çıkarım kurallarını kullanarak gösteriniz. Çözüm: Bu öğleden sonra hava güneşli önermesi p, Dünden daha soğuk önermesi q, Yüzmeye gideceğiz önermesi r, kano gezintisi yapacağız önermesi s, güneş batımına kadar evde olacağız önermesi t olsun. Önermeler mantığı tercümesi:

20 Geçerli Tartışmalar Türkçe kitapta yanlışlıkla olarak basılmış! Geçerli bir tartışma kur

21 Niceliklendirilmiş İfadelerle Çalışmak Önermeler mantığı için olan çıkarım kuralları geçerli. Ama daha fazlası lazım: Önermeler mantığı için çıkarım kuralları Niceliklendirilmiş ifadeler için çıkarım kuralları

22 Universal Instantiation (UI) Evrensel Örnekleme Örnek: Alanımız bütün köpekler. Fido bir köpek. Bütün köpekler sevimlidir. Bundan dolayı, Fido sevimlidir.

23 Universal Generalization (UG) Evrensel Genelleme Sıklıkla matematiksel ispatlarda kullanılır.

24 Existential Instantiation (EI) Varlık Örnekleme Örnek: Bu dersten A almış en az bir kişi vardır. Bu kişiye x diyelim. x kişisi A almış

25 Existential Generalization (EG) Varlık Genelleme Örnek: Michelle bu dersten A almıştır Bundan dolayı, Bu sınıftaki biri bu dersten A almıştır.

26 Çıkarım Kurallarını Kullanmak Örnek1: Şunu göstermek için geçerli bir tartışma kurun: John Smith in iki bacağı vardır. öncüller: Bütün insanların iki bacağı vardır. John Smith bir insandır. Çözüm: M(x) x bir insandır ve L(x) x in iki bacağı vardır ve John Smith alanın bir üyesi olsun. Geçerli Tartışma:

27 Çıkarım Kurallarını Kullanmak Örnek2: Şunu göstermek için geçerli bir tartışma kurun: Ders kitabını okumadan vizeyi geçmiş bir öğrenci vardır. Öncüller Bu sınıfta ders kitabını okumamış bir öğrenci vardır. Sınıftaki herkes vizeyi geçmiştir. Çözüm: C(x) x bu sınıftadır, B(x) x ders kitabını okumuştur, ve P(x) x vizeyi geçmiştir. olsun İlk olarak öncülleri ve Sonucu önermeler mantığı İle ifade edelim.

28 Çıkarım Kurallarını Kullanmak Geçerli Tartışma:

29 Socrates örneğine dönelim

30 Socrates örneğinin çözümü Geçerli tartışma:

31 Universal Modus Ponens Evrensel Doğrulama Evrensel Doğrulama, Doğrulama ve Evrensel Örnekleme Kurallarını tek kuralda birleştirir. Bu kural, Socrates örneğinde kullanılabilirdi.

32 Bölüm 1.8

33 Bölüm Özeti Matematiksel İspatlar Teoremlerin Biçimleri Doğrudan İspat Dolaylı İspatlar Zıt pozitif ile ispat Çelişki ile ispat

34 Matematiksel İfadelerin İspatı Bir ispat, bir ifadenin geçerliliğini göstermek için kurulan bir tartışmadır. Matematikte, Bilgisayar Biliminde ve diğer disiplinlerde sıklıkla kullanılır. Informal şekilde: Birden fazla çıkarım kuralı tek adımda gösterilebilir. Bazı adımlar atlanabilir. Çıkarım kuralları açıkça belirtilmeyebilir. Anlaması ve anlatması kolaydır. Fakat basit hatalar barındırabilir. İspatların pratik birçok uygulaması vardır: Bilgisayar programlarının doğruluğunun gösterilmesi İşletim sisteminin güvenliğinin gösterilmesi Yapay zeka alanında programlara çıkarım yapma olanağı Sistem gereksinimlerinin karşılandığının gösterilmesi

35 Tanımlar Bir teorem, doğuluğu aşağıdakilerle gösterilebilen bir ifadedir. Temel tanımlar Diğer teoremler Aksiyomlar/Postülatlar (doğru olarak kabul edilen ifadeler) Çıkarım kuralları Bir lemma yardımcı teoremdir. Bir corollary-sonuç, bir teoremi takip eden sonuç. Daha az önemli yardımcı teoremler, önerme olarak isimlendirilir. Bir conjecture doğruluğu denenebilen bir ifadedir. Eğer ispat edilirse teorem olur.

36 Teoremlerin Biçimleri Birçok teorem bir alandaki bütün elemanlar için genelleme yapar. Bunlar tam sayılar, gerçek sayılar olabilir. Ayrık nesneler de olabilir. Çoğu zaman evrensel niceleyici kullanılır ancak ifade edilirken atlanır. Örneğin: yani Eğer x > y, burada x ve y pozitif gerçek sayılardır; ise x 2 > y 2 Bütün x ve y pozitif gerçek sayıları için, eğer x > y ise x 2 > y 2.

37 Teoremlerin İspatı Çoğu teorem şuna benzer: Bunu ispatlamak için alandan keyfi bir değişken (c) seçip, bunun için şunu gösteririz: Yani sonuç olarak şöyle bir şeyi ispatlamaya çalışıyoruz:

38 Koşullu İfadeleri İspatlamak: p q Trivial Proof (Apaçık İspat): Eğer q nun doğru olduğunu biliyorsak p q da doğrudur. Eğer yağmur yağıyorsa, 1=1. Vacuous Proof (Tembel İspat): Eğer p nin yanlış olduğunu biliyorsak p q da doğrudur. Eğer hem zengin hem fakirsem, = 5. [ Örnekler saçma gibi görünse de, apaçık ispat ve tembel ispat, matematiksel tümevarımda sıklıkla kullanılır. ]

39 Çift ve Tek Tam Sayılar Tanım: Tam sayı n çifttir; eğer n = 2k ifadesini sağlayan k gibi bir tamsayı varsa, ve n tektir; eğer n = 2k + 1 ifadesini sağlayan k gibi bir tam sayı varsa. Bir tam sayı ya tektir ya da çifttir. Aynı anda ikisi birden olamaz.

40 Koşullu İfadeleri İspatlamak: p q Direct Proof (Doğrudan İspat): p nin doğru olduğunu kabul et. Çıkarım kurallarını, aksiyomları ve mantıksal eşdeğerlilikleri kullanarak q nun doğru olması gerektiğini ispat et. Örnek: Şu teoremi Eğer n tek tamsayı ise, n 2 tektir. Çözüm: n in tek olduğunu kabul et. Böylece bir k tam sayısı için n = 2k + 1 olur. İki tarafın karesini alalım. n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k +1 = 2(2k 2 + 2k) + 1= 2r + 1, burada r = 2k 2 + 2k, bir tam sayıdır. Böylece n tek tam sayı ise, n 2 nin tek tamsayı olduğunu ispatladık. ( ya da ifadesi ile ispat sonuçlandırılır. Bazen QED (quod erat demonstrandum) kullanılır. )

41 Koşullu İfadeleri İspatlamak: p q Tanım: Reel sayı r rasyoneldir, eğer r = p/q eşitliğini sağlayan p ve q tam sayıları varsa ve q 0 Örnek: İki rasyonel sayının toplamının rasyonel sayı olduğunu ispatlayın. Çözüm: r ve s iki rasyonel sayı olsun. O zaman aşağıdakileri sağlayan p, q ve t, u gibi tam sayılar vardır. Burada v = pu + qt w = qu 0 Sonuçta toplam da rasyoneldir.

42 Koşullu İfadeleri İspatlamak: p q Proof by Contraposition (Zıt pozitif ile İspat): q in doğru olduğunu varsayıp p nin doğru olduğunu göstermektir. Eğer q p için doğrudan ispat bulabilirsek, p q ifadesini ispatlamış oluruz. Örnek: Eğer n bir tam sayı ve 3n + 2 tek ise, n tektir. Çözüm: n in çift olduğunu varsayalım. Böylece, n = 2k yazabiliriz. K burada tam sayıdır. Buradan: 3n + 2 = 3(2k) + 2 =6k +2 = 2(3k + 1) = 2j ; j = 3k +1 için. Böylece 3n + 2 çifttir. q p ifadesini ispatladığımız için, p q da ispatlanmış oldu.

43 Koşullu İfadeleri İspatlamak: p q Örnek: Bir tam sayı n için, eğer n 2 tekse, n tekdir. Çözüm: Zıt pozitif kullanalım. n çift olsun. Böylece, bir k tam sayısı bulabilir ki n = 2k olsun. Buradan, ve n 2 çifttir. n 2 = 4k 2 = 2 (2k 2 ) Eğer n bir çift tamsayı ise, n 2 sayısının çift olması gerektiğini gösterdik. Zıt pozitiften dolayı, bir n tamsayısı için, eğer n 2 tekse, n tekdir.

44 Koşullu İfadeleri İspatlamak: p q Proof by Contradiction (Çelişki ile İspat): (reductio ad absurdum, olmayana ergi, abese irca). p yi ispat etmek için, p in doğru olduğunu kabul edelim ve p p gibi bir çelişkiye ulaşalım. (ispatlamanın dolaylı bir yolu). p F ifadesinin doğru olduğunu göstermiş olacağımız için, zıt pozitiften dolayı T p doğru olmak zorundadır. Örnek: Eğer bir ay içerisinden 22 gün seçerseniz, bunlardan en az 4 tanesinin haftanın aynı gününe denk gelmesi gerektiğini ispat edin. Çözüm: 22 gün seçtiğimizde, 3 ten fazla günün haftanın aynı gününe denk gelmediğini düşünelim. Haftada 7 gün olduğundan dolayı, en fazla 21 gün seçebiliriz. Bu da, 22 gün seçme öncülümüz ile çelişir.

45 Çelişki İle İspat Örnek: 2 sayısının irrasyonel olduğunu ispat etmek için çelişki kullanınız. Çözüm: 2 rasyonel olsun. O zaman a ve b tamsayıları bulmamız lazım ki 2 = a/b, olsun. Burada b 0 ve a veb ortak bölene sahip değiller. Böylece: Böylece a 2 çift olmalı. Eğer a 2 çiftse a çift olmalı (ayrıca ispat ister. Alıştırma olarak yapın.). a çift olduğu için, a = 2c yazabiliriz. Burada c tam sayı. Böylece, Böyleceb 2 çifttir. Bunda dolayı b çift olmalıdır. Fakat 2 sayısı a ve b yi böler. Bu durum da a ve b nin ortak bölene sahip olmama şartımız ile çelişir. Baştaki kabulümüzün yanlış olduğunu göstererek 2 nin irrasyonel olduğunu ispat ettik..

46 İki Koşullu İfadelerin Teoremleri p q şeklindeki bir iki koşullu ifadeyi ispat etmek için p q veq p yi ayrı ayrı ispat etmek gerekir. Örnek: Teoremi ispat edin: n tamsayı ise. Ancak ve ancak n tekse n 2 tekdir. Çözüm: Önceki slaytlarda p q ve q p durumlarını ispatlamıştık. Böylece p q sonucuna ulaşabiliriz.

47 Buradaki yanlış nerede? 1 = 2 olduğunu ispatlayın

48 İleriye Bakış Eğer Doğrudan İspat Çalışmazsa: Zıt pozitif ile ispatı zekice kullanabiliriz. Veya çelişki ile ispatı deneyebiliriz.

49 Bölüm 1.9

50 Bölüm Özeti Durumlarla İspat Varlık İspatları Yapıcı Yapıcı Olmayan Ters örnek ile çürütme Tekillik İspatı İspat Stratejileri Evrensel Niceleyicili İddiaları İspatlamak Açık Problemler

51 Durumlarla İspat Aşağıdaki gibi bir ifadeyi ispatlamak için: Şu totolojiyi kullan: Herbir gerektirmesi bir durumdur.

52 Durumlarla İspat Örnek: b = max{a, b} = a eğer a b, değilse b = max{a, b} = b. Bütün a, b, c reel sayıları için aşağıdakinin geçerli olduğunu c = c) İspat: a, b, ve c keyfi reel sayılar olsun. Oluşabilecek bütün durumlar aşağıda. 1. a b c 2. a c b 3. b a c 4. b c a 5. c a b 6. c b a

53 Durumlarla İspat Durum1: a b c b) = a, c = a, c = b Böylece c = a = c) Böylece ilk durum için eşitlik sağlandı. Bütün bir ispat için 6 durumun tamamının gösterilmesi gereklidir. Diğer durumlar ilk duruma benzediği için atlıyoruz.

54 Genelliği Kaybetmemek Örnek: x ve y tamsayılar olsun. x y ve x+y çiftse, x ve y çifttir. İspat: Zıt pozitif ile ispat edelim. x ve y nin aynı anda çift olmadığını varsayalım. Böylece, biri veya ikisi tektir demiş oluruz. Genelliği Kaybetmeden, x tektir kabul edelim. Böylece x = 2m + 1 yazabiliriz. Burada m bir tamsayı. Durum1: y çift olsun. Böylece y = 2n, n bir tamsayı x + y = (2m + 1) + 2n = 2(m + n) + 1 tektir. Durum2: y tek olsun. Böylece y = 2n + 1, n bir tamsayı x y = (2m + 1) (2n + 1) = 2(2m n +m + n) + 1 tektir. Yalnızca x in tek olduğu durumlara baktık. Aslında y nin tek olduğu durumları da incelememiz gerekirdi. Ancak y nin tek olduğu durumlar x in tek olduğu durumlarla aynı olduğu için «Genelliği Kaybetmeden» diyerek bu adımları atladık.

55 Varlık İspatları biçimindeki teoremlerin ispatıdır. Yapıcı varlık ispatı: P(c) ifadesini doğru yapan açık bir c değeri bul Böylece ispatlanır. Örnek: iki tamsayının küplerinin toplamı olarak iki farklı şekilde (farklı tam sayı çiftleri kullanarak) yazılabilen bir pozitif tamsayı olduğunu gösterin. İspat: 1729 böyle bir sayıdır 1729 = = Godfrey Harold Hardy ( ) Srinivasa Ramanujan ( )

56 Yapıcı Olmayan Varlık İspatları Yapıcı olmayan varlık ispatında, P(c) ifadesini doğru yapan herhangi bir c değeri olmadığını varsayıp bir çelişkiye ulaşmaya çalışırız. Örnek: x y şeklinde yazıldıklarında sonucun rasyonel olduğu x ve y irrasyonel sayıları vardır. İspat: 2 nin irrasyonel olduğunu biliyoruz. 2 2 sayısını ele alalım. Eğer bu sayı rasyonelde, x y ifadesini rasyonel yapan iki tane irrasyonel sayı bulduk. Bunlar x = 2 and y = 2. Eğer 2 2 irrasyonelde, o zaman x = 2 2 ve y = 2 alırız. Bu durumda x y = ( 2 2 ) 2 = 2 ( 2 2) = 2 2 = 2.

57 Ters Örnek İle Çürütme olduğunu hatırlayalım. ifadesinin doğru olduğunu göstermek için, yani ifadesinin yanlışlığını göstermek için P(c) ifadesini doğru yapan, yani P(c) ifadesini yanlış yapan bir keyfi c bulmak yeterli. Bu durumda, c ye ifadesinin ters örneği denir. Örnek: Bütün pozitif tamsayılar, 3 pozitif tamsayının kareleri toplamı şeklinde yazılabilir. 7 sayısı bu durumun ters örneğidir. Yani, varsayım yanlıştır.

58 Tekillik İspatları Bazı teoremler yalnızca bir elemanın bir durumu sağlayabildiğini iddia ederler.!x P(x). Tekillik ispatının iki aşaması vardır. Varlık İspatı: Durumu sağlayan bir x değerinin varlığını göstermek. Tekillik İspatı: Eğer y x kabul ediyorsak, y nin olmadığını göstermek. Örnek: a ve b gerçek sayılar olsun. a 0 ise, ar + b = 0 eşitliğini sağlayan sadece bir tane r değeri vardır. Çözüm: Varlık: r = b/a şeklindeki bir gerçek sayı, ar + b = 0 için bir çözümdür. Çünkü a( b/a) + b = b + b =0 olur. Tekillik: s gerçek sayısının da as + b = 0 eşitliğini sağladığını varsayalım. O zaman ar + b = as + b, Burada r = b/a. İki taraftan b yi çıkarıp a ya bölerseniz r = s elde edilir. Yani, bu eşitliği sağlayan r den başka sayı yok.

59 p q İfadelerini İspat Etmek İçin Stratejiler Bir yöntem seçin. 1. İlk olarak doğrudan ispatı deneyin. 2. Eğer işe yaramazsa dolaylı metotları (zıt pozitif ile ispat gibi) deneyin. Hangi yöntemi seçerseniz seçin bir stratejiniz olsun. 1. İlk olarak ileriye doğru nedenlendirme yapın. Aksiyomlar ve bilinen teoremlerle başlayıp sonuca ulaşmak için gerekli olan adımları oluşturun. p ile başla q yu ispatla, yada q ile başla p yi ispatla gibi. 2. Eğer bu işe yaramazsa geriye doğru nedenlendirme yapın. q yu ispat etmeye çalışırken, p q ifadesini doğrulayacak bir p önermesi bulmaya çalışın.

60 Geriye Doğru Nedenlendirme Örnek: İki oyuncunun, her bir hamlede, 15 taştan oluşan bir kuleden 1,2 ya da 3 taş aldığını düşünelim. Kuledeki son taşı alan oyunu kazanır. Böyle bir oyunda, ilk oyuncunun (oyuna başlayan kişinin), ikinci oyuncu ne yaparsa yapsın oyunu kazanabilecek hamleler yapabileceğini gösterin. İspat: n oyunun son hamlesi olsun. Adım n: Eğer kulede 1,2 ya da 3 taş varsa Oyuncu 1 kazanır. Adım n-1: Eğer Oyuncu 2 4 taşla karşılaşırsa, mecburen 1,2 ya da 3 taş bırakacaktır. Adım n-2: Eğer Oyuncu 1 kendi sırasında 5,6 ya da 7 taşla karşılaşırsa, 4 taş bırakma şansına sahiptir. Adım n-3: Eğer Oyuncu 2 8 taşla karşılaşırsa, mecburen 5,6 ya da 7 taş bırakacaktır. Adım n-4: Eğer Oyuncu 1 kendi sırasında 9,10 ya da 11 taşla karşılaşırsa, 8 taş bırakma şansına sahiptir. Adım n-5: Eğer Oyuncu 2 12 taşla karşılaşırsa, mecburen 9,10 ya da 11 taş bırakacaktır. Adım n-6: Oyuncu 1 3 taş alırsa, 12 taş bırakmış olur. İlk oyuncu ilk hamlesinde 3 taş alırsa ve devamındaki hamleleri takip ederse diğer oyuncunun kazanma şansı yoktur.

61 Evrensel Niceleyicili İddialar şeklinde bir şeyi ispatlamaya çalışıyorsan, alandan keyfi bir c değişkeni seç ve ispatla. Örnek: Ancak ve ancak x çiftse x 2 de çifttir. Çözüm: Niceliklendirilmiş iddia: x [x çifttir x 2 çifttir] x in keyfi olduğunu varsayalım. ile aynı şey demekti. Böylece, ispatlamamız gereken 2 durum ortaya çıktı.

62 Evrensel Niceleyicili İddialar Durum1. Eğer x çiftse x 2 nin de çift olması gerektiğini doğrudan ispatlayabiliriz. Eğer x çiftse x = 2k olur. k bir tamsayı. Böylece x 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) yazabiliriz. 2 ye bölünebildiği için çift olduğunu gösterdik. Bu, 1. durumu ispat eder.

63 Evrensel Niceleyicili İddialar Durum 2. Eğer x 2 çiftse x de çift olmalıdır durumunu gösterelim. Doğrudan ispat biraz zor. Zıt pozitif ile ispatı deneyelim. x in çift olmadığını kabul edelim ve x 2 nin de çift olmaması gerektiğini gösterelim. Eğer x çift değilse, tek olmalıdır. Yani, x = 2k + 1 olur. k bir tamsayı. Böylece x 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 elde ederiz. Sonuç tektir. Bu, 2. durumu ispat eder. x keyfi bir değer olduğu için Ancak ve ancak x çiftse x 2 de çifttir iddiasını ispatlamış olduk.

64 İspat ve Çürütme: Karo Örneği Örnek 1: Standart bir satranç tahtasını domino taşları kullanarak kaplayabilir miyiz? Çözüm: Evet! Yapıcı varlık ispatı ile gösterebiliriz. Domino taşları Standart satranç tahtası Mümkün olan çözümlerden biri

65 Karo Örneği Örnek 2: Yalnızca köşe karelerinden 1 tanesi çıkarılmış standart bir satranç tahtasını domino taşları ile kaplayabilir miyiz? Çözüm: Satranç tahtası 64 1 = 63 kareye sahiptir. Her bir domino taşı 2 kareye sahip olduğu için, kaplamak istediğimiz tahta çift sayıda kareye sahip olmalıdır. Tahtadaki kare sayısı 63, yani tektir. Sonuç: çelişkiye düştük, kaplanamaz.

66 Karo Örneği Örnek 3: Sol üst ve sağ alt köşelerinden birer kare çıkarılmış bir satranç tahtasını domino taşları ile kaplayabilir miyiz? Anlatılan durumdaki satranç tahtası Domino taşları

67 Karo Örneği Çözüm: Bu tahtada 62 kare vardır. Kaplama için 31 domino taşına ihtiyacımız var. Anahtar Nokta: Her bir domino taşı 1 siyah ve 1 beyaz kare kaplayabilir. (Yani bitişik iki kareyi kaplayabilir) Böylece 31 domino taşı ile 31 siyah ve 31 beyaz kare kaplanabilir. Bizim satranç tahtamız 30 siyah ve 32 beyaz ya da 32 siyah ve 30 beyaz kareye sahip. Sonuç: çelişkiye düştük. Kaplanamaz

68 Açık Problemlerin Rolü Çözülmemiş problemler, matematikte daha fazla çalışma için bir motivasyon kaynağıdır. Fermat ın son teoremi 300 yıl kadar önce conjecture olarak ortaya atılmıştı. Ancak yakın zamanda bir çözüm bulunabildi. Fermat ın Son Teoremi: x n + y n = z n denkleminin şu durumlar için bir çözümü yoktur. x, y, and z tam sayılar, xyz 0, n > 2 ve n bir tamsayı.

69 Açık Bir Problem 3x + 1 Conjecture: T kendisine verilen x tamsayısı eğer çiftse x/2 sonucunu veren; eğer tekse 3x+1 sonucunu veren bir işlem olsun. Bütün pozitif tamsayılar için, eğer T işlemini, kendi ürettiği sonucu tekrar alacak şekilde çalıştırırsak her zaman 1 e ulaşırız. Örneğin x = 13 ile başlayalım: T(13) = = 40, T(40) = 40/2 = 20, T(20) = 20/2 = 10, T(10) = 10/2 = 5, T(5) = = 16,T(16) = 16/2 = 8, T(8) = 8/2 = 4, T(4) = 4/2 = 2, T(2) = 2/2 = 1 Conjecture bilgisayarlar kullanılarak değerine kadar doğrulanmıştır.

70 Ek İspat Yöntemleri Matematiksel Tümevarım Yapısal Tümevarım Kombinasyonal İspatlar