İLERİ DİNAMİK. Yücel Ercan

Transkript

1 İERİ DİNAİK Yücel Ecan

2 İERİ DİNAİK Yücel Ecan Bnc Süüm: Aalı 4 SBN: Coght 4: Yücel Ecan Bu tabın telf halaı aaa att. Yaa tabın açı ana olaa ullanımına n vemşt. Kta ana beltme suetle sebestçe çoğaltılabl ve ağıtabl.

3 İERİ DİNAİK YÜCE ERCAN

4 v YAZAR HAKKNDA Yücel Ecan 943 ılına Kona a oğu. 96 ılına ll Eğtm Baanlığı nın üseöğetm busunu aanaa mane mühenslğ eğtm çn ABD e gtt. assachusetts nsttute of Technolog (T) en sıasıla lsans, üse lsans ve otoa eecelen alı. T e aaştıma asstanı ve aaştııcı olaa çalıştı. 97 ılına ua önee Ota Doğu Ten Ünvestes ne öğetm ües olaa çalışmaa başlaı. 976 a oçent olu. Ota Doğu Ten Ünvestes ne etö aımcılığı ve bölüm başan aımcılığı atı ıllaı aasına Aleane von Humbolt Vafı busu aanaa Almana a aaştımalaa bulunu. 98 e ofesö ünvanını alı. Anı ıl en uulan Ga Ünvestes ühensl-malı Faültes ne ean olaa atanı ve 99 e aa eanlı göevn süüü. 5 ılına TOBB Eonom ve Tenoloj Ünvestes ne çalışmaa başlaı. TOBB Eonom ve Tenoloj Ünvestes ne etö vellğ ve etö aımcılığı, eanlı, fen blmle ensttüsü müülüğü, bölüm başanlığı gb a göevlee bulunan aa halen anı ünvestenn mane mühenslğ bölümüne ofesö olaa çalışmataı. Yaa, sstem namğ, otomat ontol, aışan gücü ontolü, nam, moelleme ve smülason onulaına çalışmala amataı. Daha önce ühensl Sstemlenn oellenmes ve Dnamğ ve Aışan Gücü Kontolü Teos sml talaı aınlanmış olan aaın ut çne ve ut ışına aınlanmış vea sunulmuş 5 aa maale, bl ve ten aaştıma aou vaı. İnglce ve Almanca blen aa, evl ve çocu babasıı.

5 v İÇİNDEKİER Önsö v NEWTON KANUNU. Newton Kanunu. Knemat İlşle 4.. Konum 4.. Hı 4..3 İvme 6 EKANİK SİSTEER İÇİN HAİTON PRENSİBİ 7. Knet Enej ve Knet Ko-enej 7. İş ve Potansel Enej 9.. İ-Kuvvet Elemanı 9.. Kounumlu İ-Kuvvet Elemanı.3 Kuvvet Alanı.4 Vaason 4.5 Hamlton Pensb 5.6 Kabul Elebll Şatlaı 9.7 Hamlton Pensbnn Ugulanması.8 Kabul Elebll Şatlaını Ugulama Yöntemle 9 PROBEER 34

6 v 3 AGRANGE DENKEİ 4 3. Genelleştlmş Koonatla 4 3. Genelleştlmş Koonatla ve Hı Genelleştlmş Kuvvet agange Denlem agange Denlemnn Kullanımına Önele 47 PROBEER 5 4 RİJİT GÖVDESİ OAN SİSTEER Rjt B Gövenn Knet Ko-enejs Açısal omentum ve Atalet ats Knet Ko-enejnn atsle Cnsnen Yaılması Rjt Gövenn Asal Esenle Rjt Gövel Sstemlee Hamlton Pensbnn Ugulama Önele Rjt Gövel Sstemlee agange Denlemnn Ugulama Önele Vso Sönümleclee Sah Sstemlee agange Denlemnn Kullanılması Ralegh Yaılım Fonsonu 79 PROBEER 85 5 RİJİT GÖVDEERİN 3-BOYUTU HAREKETİ Eule Açılaı Açısal Hı Vetöünün Eule Açılaı Cnsnen İfaes Net oment Ugulanmaan Rjt B Gövenn Haeet 5.4 Eule Denlemle Gövenn Elsole ve Kaalı Dönme Esenle Gövenn Elsole Kaalı Dönme Esenle Newton Kanununun Rjt Gövel Sstemlee Doğuan Ugulanması 5.6. Hılı Dönen Toaç 5.6. Yavaş Dönen Toaç Yavaş Dönen Toaç Genel Hal 7

7 v Yuvalanan Ds Yuvalanan Kon Yalalı Yuvalanan Tee 36 PROBEER 4 6 JİROSKOP VE UYGUAAAR Josolu Gem Pusulası Bast B Pusula Denemes Hatalaını Düelten Josolu Gem Pusulası Schule Aaı 6 6. Josolu Saaç Hı Josou 67 PROBEER 68 7 JİROSKOPİK ETKİER ATNDAKİ ROTORARN DİNAİĞİ 7 7. Temel Roto Poblem Elast l Denlemle Esne le Otutulmuş Rotolaın Dnamğ Esne le Otutulmuş Rotolaın Dnamğ Falı ontaj Bçmlene Genelleştme 8 7. Esne le Otutulmuş Smet Olmaan Rotolaın Dnamğ 84 PROBEER 9 8 YAY SABİTİ PERİYODİK DEĞİŞEN SİSTEER Ya Sabt Peo Değşen Sstemlen Tteşmle Ya Sabt Negatf Olan B Sstem Ev Saaç PROBEER 5 KAYNAKÇA 6 DİZİN 7

8 v ÖNSÖZ ühensl eğtmne lsans üene outulan temel nam esle çn etel Tüçe ana olmasına aşın, üse lsans üene outulan le üee nam esle çn anısını söleme mümün eğl. Bu ta öellle bu htaca ceva veme üee haılanmıştı. Bu üen le nam onulaını ço asamlı ve aıntılı olaa ele alma ene, tabın çeğ b öneml b le nam esne e alablece onulala sınılı tutulmuştu. Öğencnn eğtmne aımcı olma amacıla oluğunca fala saıa öne velmş, bölümlen sonuna ço saıa oblem elenmşt. Yut ışına lsans üene öğetlen Hamlton ensbnn Tüe e üütülen mühensl lsans ogamlaına e almaması öneml b eslt. Bu eslğ telaf etme çn tabın başlangıcına Hamlton ensbnn anlatılığı b bölüm oulmuş, agange enlemle Hamlton ensbnen tüetlee le nam onulaına geçş aılmıştı. Yaa tabın tüm öğenclee ve eğtmclee ücets olaa eşmn sağlama amacıla, aın halaını hehang b aınevne evetmemş, telf halaını en üene tutmuş ve açı ana olaa eleton otama aılmasına olana sağlamıştı. Bu ta ana gösteme aıla çoğaltılabl ve ağıtılabl. Yücel Ecan Aalı 4, Anaa

9 NEWTON KANUNU Dnam oblemlenn çöümüne neeese ama temel alaşıman b ullanılı. Bunlaan b Newton Kanunun oğuan ugulanmasıı. Dğe alaşım se Hamlton Pensb aı velen olalı b alaşımı. Newton Kanunu ve Hamlton Pensb b ğe ene ullanılablen hotele. Yan bunla anıtlanma, oğululaı vasaılı. Dnamte ullanılan bütün enlemle bu hotelen bnen a a ğenen tüetlebl. Anca, amaşı oblemlee Hamlton Pensbnn ullanılması Newton Kanununa göe aha olaı. Bu bölüme amaşı oblemlee Newton Kanununun ullanımına aşılaşılan güçlüle açılanacatı.. Newton Kanunu Newton Kanunu b ütle açacığının momentumunun eğşme hııla bu açacığa ugulanan uvvet aasına F (.) t gb b lş oluğunu vasaa. Bu vetöel fae Newton Kanunu nun en ö fae bçm. ühenslte ullanılan muhtelf Newton Kanunu faelenn hes uaıa enlemen tüetlmşt. Şel. e XYZ esenle b atalet oonat sstemne at olsun. Atalet oonat sstem bu ssteme göe oonatlaı sabt olan b ütle açacığını ene tutma çn uvvet ugulanmasını geetmeen b oonat sstem. Öneğn ılılaa göe sabt b oonat sstem a a önmeen uaa sabt hıla aan b oonat sstem atalet oonat sstem olaa alınabl. Hehang b esen etafına önen a a vmele aan b oonat sstem se atalet oonat sstem olama. Z m F X Y X Şel.

10 Şele göülen atalet oonat sstem çne ütles m olan b açacı olsun. Bu açacığın oonat sstem çne e b onum vetöüle tanımlanmış olsun. Kütle açacığının hıı se onumun amana göe tüev oluğunan (.) t olaa aılabl. omentum se hı ve ütlenn çaımı oluğunan enlem (.) en aşağıa enlemle tüetlebl: m (.3) F ( m ) t (.4) F m (.5) Şm e n saıa ütle açacığınan oluşan jt (an esnemeen) b göve ele alalım. ıncı açacığa ğe açacıla taafınan ugulanan sstem ç uvvetlen tolamı F, ışaan ugulanan uvvetlen tolamı se F se, bu açacı çn Newton Kanunu aşağıa gb aılı: F F ( m ) (.6) t Yuaıa enlem n saıa açacığın he b çn aılı ve aılan bu enlemle tolanısa, aşağıa enlem bulunu: n F n F n t n ( m ) ( m ) t (.7) Newton un 3. Kanunu geeğ te ete eşt oluğunan ç uvvetlen tolamı sıfıı: n F (.8) Dolaısıla, n açacığa sah sstem çn Newton Kanunu aşağıa hal alı: n F t n ( m ) (.9) Ağılı meenn onumu C aşağıa enlemle tanımlanısa, n ( m v ) C v C n ( m ) (.) n açacığa sah sstem çn Newton Kanunu ağılı meenn onumu ve gövenn tolam ütles cnsnen aşağıa hal alı:

11 3 n F t ( ) C (.) onum vetöüle tanımlanan b notaa ugulanan b F uvvetnn ojne göe moment aşağıa gb tanımlanı: F (.) Te b ütle açacığı olan sstem çn, enlem (.4) ün taafı solan le çaılısa, F ( m ) (.3) t a a, F m (.4) bulunu. Dğe taaftan, t ( m ) m m (.5) ve m oluğunan, enlem (.4) aşağıa hal alı: F ( m ) (.6) t Bu enleme geçen ( m ) temne öüngesel açısal momentum en. Dolaısıla, sö onusu ütle açacığı çn Newton Kanunu, "açısal momentumun eğşme hıı momente eştt" olaa a fae elebl. n saıa ütle açacığınan oluşan jt b gövenn he b açacığı çn enlem (.6) aılısa ve bu enlemle tolanısa, n F n n [ F F )] ( ( m ) t (.7) bulunu. Denlem (.8) ullanılısa, n açacığa sah b göve çn Newton Kanunu altenatf olaa aşağıa gb e aılabl: n n ( F ) ( m ) t (.8) Denlem (.9) a a bunun altenatf olan enlem (.8), jt b gövenn namğn tanımla. Eğe ncelenen ssteme ben fala göve vasa, bu sstemn nam avanışını belleme çn he b göve çn bu enlemlen aılaa çöülmes gee. Anca bu çöüm sıasına gövele aasına aşılılı uvvetlen e çöülmes geetğnen Newton Kanununun ço gövel amaşı sstemlee oğuan ugulanması ou. Dğe b olu a enlemlee hılaın tüevlenn, an vmelen e almasıı.

12 4 Hamlton Pensb ve bunan tüetlen agange enlemle, b ssteme e alan gövele aasına uvvetlen çöülmesn geetmeen ve vmelen oğuan ullanılmaığı altenatf b öntem. Yöntem bu öellle olaısıla öellle ço gövel ve amaşı aılı sstemlen nam enlemlenn çıaılmasına büü olalı sağla.. Knemat İlşle ühenslte aşılaşılan e ço oblemn çöümüne haeet halne olan oonat sstemle ullanılı. Öneğn uçuş halne b uçağın anat tteşmlenn anal aılıen bu tteşmle uça gövesne sabtlenmş oonatlaa göe bellen. Uça gövesne bağlı olan oonatla se coğaf oonatlaa göe haeet halne. Coğaf oonatla se ünanın uaa haeet olaısıla ılılaa göe sabt olan atalet oonatlaına göe haeet ee. Newton Kanunu atalet oonatlaının ullanılmasını geet. Dnam oblemlenn çöümüne haeetl oonatla a şn çne gğne, Newton Kanununun geetğ vmelen haeetl oonatlaa göe tanımlanmış eğşenle cnsnenen bulunması ço o olabl. Şel. e XYZ-oonat sstem atalet oonat sstem. -oonat sstem se buna göe haeet halne olan b oonat sstem. Uaa b S notasının oonat sstemne göe onumu b vetöüle, -oonat sstemnn ojnnn XYZoonat sstemne göe onumu se b R vetöüle tanımlansın. -oonatlaının XYZoonat sstemne göe açısal hıı olsun. Z ρ X R X S Y X Şel... Konum S notasının atalet oonat sstemne göe onumu olan ρ aşağıa gb bulunu:.. Hı ρ R (.9) Hı onumun tüev oluğuna göe S notasının atalet oonat sstemne göe olan hıı ρ enlem (.9) un tüevn alaa ele el:

13 5 v ρ R (.) Bu enleme geçen R tem nn ojnnn atalet oonat sstemne göe hııı. Haeetl oonat sstem çne tanımlanan b vetöü ve he vetö gb bou ve önü le tanımlanı. Bu öellğnen hehang b vea s eğşse b tüeve saht. vetöünün, ve önlene bleşenlenn bolaı sıasıla, ve ; bu önlee bm vetöle e u, u ve u se, u u u (.) a a, u u u u u u (.) aılabl. Denlem (.) nn sağ taafına l üç tem vetöünün -oonat sstemne göe göel eğşm ve ısaca aşağıa şele göstelebl: t u u u (.3) -oonat sstem çne bou ve e sabt b A vetöü olsaı, bu vetöün eğşm saece -oonat sstemnn açısal hıı olaısıla ve ön eğşlğ şelne olabl. A vetöüne bu eğşm aşağıa gb oluu: u, u ve A A (.4) u vetöle e -oonat sstemne gömülü vetöle oluğunan, enlem (.4) le velen öntem bu vetölee ugulanısa, enlem (.) nn son üç tem aşağıa gb aılabl: u u u u u u ( u u u ) (.5) Şme aa ele elen sonuçla enlem (.) e ullanılısa, S notasının hıı aşağıa gb ele el: v R (.6) t Yuaıa sonuçla ate alınığına hehang b B vetöünün XYZ e göe eğşm hıını bulma çn aşağıa faenn ullanılableceğ göülü:

14 6 B t B t B t B (.7) Bu faenn sağ taafına e alan, öşel aante çne tem vetölen XYZ e göe eğşm hıılaını bulma çn b oeatö gb ullanılabl...3 İvme İvme hıın tüev oluğuna göe, S notasının vmes a, enlem (.6) nın tüevn alaa aşağıa gb bulunu: t t R v a ρ (.8) Denlem (.8) e öşel aante çne tem b vetö olu, bunun eğşm hıını bulma çn enlem (.7) le velen genel fae ullanılısa S notasının vmes aşağıa gb bulunu: t t t R a (.9) a a, t t R a ) ( (.3) Denlem (.3) un sağ taafına üçüncü tem meecl vme, öüncü tem se ools (cools) vmes. Newton Kanunu ugulanıen vmelen ullanılması gee. Atalet esen taımına vmelen bulunması se enlem (.3) an göülüğü gb ço amaşı b hal alabl. Bu uum Newton Kanununun amaşı sstemlee ullanılmasının önüne en öneml engel. B sona bölüme aıntılaı anlatılaca olan Hamlton Pensb se vmelee gee uma; saece hılaın ve onumlaın bellenmes etel. Bu üen öellle amaşı sstemlee ullanılması aha olaı.

15 7 EKANİK SİSTEER İÇİN HAİTON PRENSİBİ. Knet Enej ve Knet Ko-enej B ütle açacığı çn Newton Kanunu, F (.) t olaa fae el. Bu fae atalet efeans oonatlaına göe geçel olu, tem ütle açacığının momentumuu. omentumla ütlenn hıı v aasına aşağıa gb tanımlanan b aısal lş vaı (Şel.). ( v) mv v c (.) Buaa c ışı hııı. Eğe ütle açacığının hıı ışı hıının ço altına se aısal lş faes aşağıa gb lnee hale gel: ( v) mv (.3) c v Yaısal İlş T * m T Şel.

16 8 Şel. e gb (t) vetöüle tanımlanan b ol ve bu ol bounca haeet een m ütlesne sah b açacı olsun. F Z (t) m X (t) ( t t) X X Şel. Y Bu açacığa F gb b uvvet ugulanıen açacı ol bounca aa haeet eese aılan ş, F t vt v (.4) t t t t olaa aılabl. Kütle açacığının momentumunun büülüğü sıfı eğenen b eğene aa atıılıen açacığa aılan ş ütle taafınan net enej olaa eolanı ve aşağıa faele vel: T v (.5) Hı, aısal lş faesnen momentumun fonsonu olaa çelee enlem (.3) e ene oulusa, net enej faes aşağıa hal alı: T ( ) v ( ) (.6) Denlem (.6) an göülüğü gb net enej, ütlenn o ana momentumunun büülüğü nn b uum fosonuu. Denlem (.6) a Şel. e -esen bounca ntegal alınığınan, aısal lş eğsle -esen aasına alan alan net eneje eştt. Paçacığın hıı ışı hıınan ço üçü se enlem (.3) geçel olacağınan net enej aşağıa hal alı: T( ) (.7) m Şel. e aısal lş eğsle v-esen aasına alan alana net o-enej en. Knet o-enej v-esen bounca ntegal alaa, T * v ( v) ( v) v (.8)

17 9 faesnen bulunu. Paçacığın hıı ışı hıınan ço üçü se enlem (.3) ü ullanaa net o-enej çn aşağıa fae ele el: * T ( v) mv (.9) Knet o-enej hıın b uum fonsonu olu, net enej le aıştıılmamalıı. şı hıınan üçü hılaa net enej ve net o-enejnn büülüle b bne eşt oluğunan net enej bulma çn T mv faes ullanılagelmşt. Bu enlem net enejnn büülüğünü bulma çn ullanılabl, anca net enej momentumun fonsonu olaa fae etmeğnen avamsal olaa anlıştı. Knet enejnn momentumun b uum fonsonu oluğu, net o-enejnn se hıın b uum fonsonu oluğunun blnmes Hamlton Pensbnn ugulanması açısınan ço öneml.. İş ve Potansel Enej.. İ-Kuvvet Elemanı Saf b -uvvet elemanı ütles olmaan ve ucuna uvvet ugulanan b elemanı. Uçlaa ugulanan uvvetle uç aasına çlen oğu bounca, eşt büülüte ve ıt önlee. Şel.3 e temsl olaa çlen -uvvet elemanına, F uvvet sıfıen elemanın uunluğu le göstelmşt. se F uvvet ugulanığına elemanın uama mtaıı. δ F Eleman F Şel.3 F uvvet ugulanmış haleen elemanın bou δ aa uatılısa eleman taafınan aılan ş aşağıa enlemen bulunu: δw Fδ (.) ühenslte aşılaşılan -uvvet elemanlaına elemana ugulanan uvvet, geomet olamanın b fonsonu olaa eleman taafınan bellen. Kuvvet belleen bu fonsona elemanın aısal lşs en. Öneğn Şel.4 e aa uvvet, aın aısal lşsne göe aın esnemes cnsnen bellen. Eğe a oğusalsa bu lş a sabt K cnsnen aşağıa gb: F s K s (.)

18 F s F s s F s V* Yaısal İlş V s Şel.4 Şel.5 e sönümlece se uvvet, sönümlecnn aısal lşsne göe aın ucu aasına hı faı v cnsnen bellen. Eğe sönümlec oğusalsa bu lş sönüm sabt b cnsnen aşağıa gb: F b (.) F Yaısal İlş F f(v ) F F v.. Kounumlu İ-Kuvvet Elemanı Şel.5 Eğe b -uvvet elemanının uvvet saece elemanın uama mtaının te eğel b fonsonusa, elemanı efeans onumunan hehang b son uuma getme çn aılan ş başlangıç ve son uum aasına lenen olun şelne bağlı eğl. Böle b elemana ounumlu eleman en. Kounumlu elemana aılan ş eleman taafınan otansel enej olaa eolanı ve ge aanılabl. Öneğn, ounumlu b eleman olan Şel.4 e aı ele alalım. Bu eleman s uumunan b s onumuna esnetlen eleman taafınan eolanan otansel enej elemana aılan şe eşt olu, aşağıa faeen ele el: s V ( ) F ( ) (.3) s s s s

19 Yuaıa faeen göülüğü gb, otansel enej saece s e bağlı olan b uum fonsonuu. Denlem (.3) e esen bounca ntegal alınığınan, Şel.4 e aısal lş eğsle s esen aasına alan alan otansel eneje eştt. Potansel o-enej se, V * F s s ( F ) ( F ) F (.4) s s s s F s esen aasına alan alan otansel o- faesle tanımlanı. Yaısal lş eğsle eneje eştt..3 Kuvvet Alanı B uvvet algılaıcısının, algılaıcının onumu, hıı vea ğe öelllene bağlı olaa b uvvet hssettğ ua bölgesne uvvet alanı en (Şel.6a). Kuvvet algılaıcısını taşıan b elemana b başlangıç onumunan b s son onumuna gelen F uvvet ugulanıosa, algılaıcı vasıtasıla elemana uvvet alanı taafınan aılan ş aşağıa faeen bulunu: Alan taafınan elemana aılan ş s F (.5) Eleman taafınan aılan ş se bunun tes şaetls olu, aşağıa gb: Eleman taafınan alana aılan ş s F (.6) Denlem (.5) le tanımlanan ş ntegalnn saece başlangıç ve son uuma bağlı olması, an uç aasına ta elen olan bağımsı olması halne uvvet alanına ounumlu en. B uvvet alanının ounumlu olması çn geel olan şat olaca Z Algılaıcı s F Y Z O A C B Y X X (a) (b) Şel.6

20 bulunabl. Şel.6b e O ve B notalaını bbne bağlaan falı ol A ve C olsun. Bu uuma OAB ve OCB bounca alınaca ntegalle bbne eşt olacağınan, OABCO aalı eğs bounca alınaca ntegal sıfıa eşt olu. Yan aşağıa faele aılabl: a a, F ( F) ns C u F cul F f S u f u f (.7) (.8) Yuaıa fae ounumlu alanın matematsel tanımıı. Kounumlu alan taafınan elemana aılan ş V saece elemanın başlangıç ve son onumuna bağlıı. Bu ş eleman taafınan otansel enej olaa eolanı ve aşağıa enlemle tanımlanı: V çn V s F V F faes geçel. (.9) Öne: Yeçem Alanı Yeçem alanına b ütle açacığı uvvet algılaıcısıı. Elemanın ütles m se, alanın elemana ugulaığı uvvet (Şel.7) aşağıa gb negatf aal öne: Km F u (.) Elemana aılan ş eleman taafınan otansel enej olaa eolanı ve efeans uumuna göe aşağıa gb: Km Km V ( ) ( u ) (.) Bu m ütles e üene aın b notaa ve üeen aa uaıa olsun. Bu uuma, R ( R << ) (.) olu ve V () tem cnsnen aşağıa gb aılabl: Km Km V ( ) V ( R ) (.3) R R R R

21 3 m F R Düna Şel.7 a a, Km V( R ) V( R ) (.4) R Yeçem vmes g, K g (.5) R olaa tanımlanısa, ene R efeans alınığına elemana aılan ş ve eleman taafınan eolanan otansel enej aşağıa hal alı: V ( ) mg (.6) Denlem (.6) aılıen e üüne göe üselğ eğşmeen b efeans seçlmes gee. Eğe bu efeanstan uaı öne ölçülüosa şaetle, aşağı öne ölçülüosa - şaetle alınmalıı. Öneğn, Şel.8 e ülemsel bast saaç çn nn aımıla lgl baı seçenele seçlen efeansa göe V mg mgcos, mg mg( cos ) V mg mg a ( cos ) olaa aılabl. V vea [ ] 3 Refeans g Refeans Refeans 3 m Şel.8 a 3

22 4.4 Vaason B (t) fonsonu ve bunun omşusu olan b ( ) fonsonu olsun (Şel.9). Bu fonsonun bbnn omşusu olması eme, bütün t eğele çn ve temlenn ço üçü olmalaı emet. n vaasonu δ aşağıa gb tanımlanı: δ (.7) V() se (t) nn scala b fonsonu olsun. Agümanı b fonson olan fonsonlaa fonson fonsonu a a ısaca fonsonel en. V() n agümanı en a eğştlğne V nn eğene olan V eğşlğne V nn tolam vaasonu en ve aşağıa faele tanımlanı: V V ) V ( ) V ( δ ) V ( ) (.8) ( t (t), (t) (t) (t) t Şel.9 Eğe V ( δ) tem Talo sesle açılısa, V aşağıa gb aılabl: 3 V V V 3 V V ( ) δ δ δ V ( ) (.9) 3! 3! V 3 δ V δ V δ V (.3)! 3! Yuaıa faee geçen δ V, δ V, δ 3 V,... temlene sıasıla V nn bnc vaasonu (a a ısaca V nn vaasonu), V nn nc vaasonu, V nn üçüncü vaasonu,.. en. Bu temle aşağıa gb tanımlanı: δv V δ (.3) δ V V δ (.3)

23 5 3 δ V V 3 3 δ (.33) 3.. δ V nn tanımı ncelenğne, b fonson fonsonunun vaasonunu alıen ugulanan uallala, b fonsonun feanseln alıen ugulanan uallaın anı oluğu göülü. Öneğn, v b fonson se, δ mv mvδv olu. Eğe uaıa enleme v hı se, (.34) v olacağınan aşağıa faele aılabl: δ mv mvδv mvδ ( ) m δ ( ) (.35).5 Hamlton Pensb Daha önce e beltlğ gb Newton Kanunu oğuluğu vasaılan b hote. Dolaısıla anıtlanması belenme. Dnamğn bütün esaslaı bu hote üene nşa elebl. Newton Kanununun b ğe altenatf se ne oğuluğu vasaılan b hote olan Hamlton Pensb. Dnamğn bütün esaslaı Hamlton Pensb üene e nşa elebl. Hamlton ensb e Newton Kanunu gb saece nam enlemle ve; bu enlemlen çöümlen veme. Hamlton Pensb aşağıa gb fae el. Hamlton Pensb: B nam sstem t amanına sabt b onfgüasonan t amanına başa b sabt b onfgüasona geen atığı tab haeetten olan astgele, abul elebl, üçü vaasonla çn aşağıa Hamlton İntegaln sıfı aa. t t f δ t (.36) Bu ntegaln altına temle, ssteme bütün uvvet elemanlaı, uvvet alanlaı, atalet uvvetle ve ış uvvetle taafınan aılan ş temle. Denlem (.36) a geçen ş temle ssteme bulunan ounumlu -uvvet elemanlaı, ounumlu uvvet alanlaı ve ütlele çn, falı şele e fae elebl. Bunla aşağıa sıala ncelenecet. Kounumlu İ-Kuvvet Elemanı Ssteme ounumlu b -uvvet elemanı (öneğn b a) vasa, eleman taafınan aılan ş enlem (.) an aşağıa gb: δw fδ (.37)

24 6 Denlem (.3) en se aşağıa fae aılabl: δ V fδ (.38) Denlemle (.37) ve (.38) aşılaştıılığına, δw δv (.39) ele el. O hale, ounumlu -uvvet elemanlaı çn Hamlton ntegalne geçen ş temle enlem (.39) uaınca otansel enej vaasonu olaa a fae elebl. Kounumlu Kuvvet Alanı Ssteme ounumlu uvvet alanı (öneğn eçem alanı) vasa, ütle elemanı taafınan alana aılan ş çn enlem (.6) an, δ W f (.4) enlem (.9) an se aşağıa fae aılabl: δ V f (.4) Denlemle (.4) ve (.4) aşılaştıılığına, δw δv (.4) ele el. O hale, ounumlu uvvet alanlaı çn Hamlton ntegalne geçen ş temle enlem (.4) uaınca otansel enej vaasonu olaa a fae elebl. Kütle B ütle açacığının atalet uvvet (D Alambet uvvet) ma büülüğüne ve vme le tes öne. Dolaısıla, atalet uvvet olaısıla elemana aılan ş maδ, eleman taafınan aılan ş δw se aşağıa gb: δv δ W maδ m δ mvδv δv (.43) δt Denlem (.8) en se aşağıa fae aılabl: * δ T δv (.44) Denlemle (.43) ve (.44) aşılaştıılığına,

25 7 * δ W δt (.45) ele el. O hale, ütlele çn Hamlton ntegalne geçen ş temle enlem (.45) uaınca net o-enej vaasonu olaa a fae elebl. B ssteme ütlele, ounumlu -uvvet elemanlaı vea ounumlu uvvet alanlaı vasa, Hamlton ntegalne bunlala lgl ş temlenn (.39), (.4) ve (.45) numaalı enlemlee göe otansel enej ve net o-enej vaasonlaı olaa fae elmes büü olalı sağla ve bu üen tech el. Bu temle, δ j δ T * j δv (.46) şelne b aaa tolanı. Bu enleme tem agange Fonsonel olaa anılı ve aşağıa gb tanımlanı: * T j j V (.47) Kütlele, ounumlu -uvvet elemanlaı ve ounumlu uvvet alanlaı le lgl ş temle agange fonsonel cnsnen fae else, enlem (.36) le fae elen Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t t ( δ f δ t (.48) ) Denlem (.48) e e alan f δ temne saece vasa sönümlecle gb ounumlu olmaan elemanla le ssteme ışaıan ugulanan uvvet olamalaına at ş temle e alı. Hamlton ensbnn ugulanmasına ssteme ışaan ugulanan uvvet gşle e ş atılaınan aı be eleman olaa abul el ve bunlaa at ş temle Hamlton ntegalnn f δ ısmına ahl el. Bu bölüme önelee olalı olsun e öteleme elemanlaı ullanılmıştı. Ssteme önel elemanla vasa, bunla a uaıalee bene şele ele alını. Böle b uuma önel alaın otansel enejle ve önen ütlelen net o-enejle agange fonsonelne ahl el. Dönel sönümleclen ve ssteme ugulanan ış momentlen ş temle se Hamlton ntegalnn f δ ısmına ahl el. Çelge. e öteleme ve önel tüe lnee mean elemanlaa lşn blgle velmşt. Hamlton ntegal saece agange fonsonel vasıtasıla a a oğuan fae elmş ş temlen çeğnen ssteme ş amaan uvvetle, Newton Kanunu ugulamasının asne, oblem fomülasonuna gme. Öneğn, sütünmes atalaa eason uvvetle, uvalanan üelee uvvetle, ütles jt bağlantı elemanlaı (olla, halatla, vb.) taafınan ataılan uvvetle Hamlton ntegalne atıa bulunma. Bu elemanla lee göüleceğ gb geometc abul elebll şatlaına atıa bulunula.

26 8 Çelge. nee ean Elemanla Eleman T Fsel Eleman Dagam Yaısal İlş Hamlton İntegalne Katı Kounumlu İ-uvvet Elemanı Öteleme Yaı F ( ) F F Dönel Ya T t T T ( ) t V ( V ) ( t ) Kütle Sönümlec Öteleme Halne Kütle Dönel Kütle Öteleme Sönümlec F F T mv * T mv h bv,, Dönel Sönümlec T T T b t b m v, v b, v F T * F f δ Fδ b δ f δ Tδ bt δ Kuvvet Alanı Yeçem Alanına Kütle m g - V mg Dış Kuvvet F(t) F F(t) fδ F( t) δ Dış Zolama T(t) Dış oment T(t) T f δ T(t) δ nee vea Açısal Konum vea Hı Zolaması - ( t), v v( t) ( t), ( t) Hamlton ntegalne ş tem olaa e alma. Kabul elebll şatlaı olaa şlem göü. F uvvet T moment momentum h açısal momentum v hı açısal hı onum.açısal onum öteleme aı sabt t açısal a sabt m ütle atalet moment b öteleme sönüm sabt b t açısal sönüm sabt

27 9 Öne Şel. a velen ssteme maaa ütles. Bu sstem çn agange fonsonel ve ş temle aşağıa gb: mv m mg m (.49) 5) fδ T t) δ F( t) ( δ F δ (. f b, b b b T(t) m m F(t) v m, f Şel..6 Kabul Elebll Şatlaı Hamlton ensbnn faesne abul elebl vaasonlaan sö elmete. Kabul elebll şatlaı gu halne ele alınabl. Eleman abul elebll şatlaı olaa alanıılan bnc gu nematc lşleen oluşu. Konumlaın tüevlenn hıa eşt oluğu geçeğne aanı. Öneğn, b ütlenn onumu, hıı v se, v oluğunan bunlaın vaasonlaı aasıa a δ ( ) δv lşs vaı. İnc guba gen abul elebll şatlaı se, sstemn aısı ve geometen analanan şatlaı. Öneğn, Şel.a a sstem çn,, v, δ δ ve δ δv şatlaı aılabl. Şel.b e sstem çn se, e f, v e v f, δ e δ f δ ve δ v e δ v f δ şatlaı aılabl.,, f m e b, v, v (a), v (b) Şel.

28 .7 Hamlton Pensbnn Ugulanması Hamlton ensbnn ugulanması aşağıa aşamalaı çe: a) Sstem elemanlaının tanımlanması. (Dış uvvet ve moment gşle e be eleman olaa abul el.) b) Eleman ve sstem abul elebll şatlaının aılması. c) agange fonsonel ve ş temlenn aılması. ) İş temlene geçen uvvetlen eleman enlemlenen aılması. e) Kabul elebll şatlaının ugulanması. f) Hamlton ensbnn ugulanması. Yuaıa aşamalaan abul elebll şatlaının ugulanması genellle şlemle bounca e gelğne aılabl. Kabul elebll şatlaınan baılaı Hamlton ntegal altına vaason şlem öncesne vea sonasına ugulanableceğ gb, agange çaanlaı öntem e ullanılabl. Kabul elebll şatlaının ugulanış öntemle lee aı b ısıma ncelenecet. Öne : Şel. e velen sstemn nam enlemlen Hamlton ensbn ugulaaa ele eelm. B K F(t) Şel. Sstem elemanlaı: Kütle, ; a, K; sönümlec, B; olama uvvet, F(t). agange fonsonel: vm K (.5) İş temle: f δ F t) ( δ F δ (.5) F b b

29 Sönümlec çn eleman enlem: F b Bv b (.53) Eleman abul elebll şatlaı: v ; v ; v ; v (.54) Sstem abul elebll şatlaı: Hamlton ntegal: b F b b F F (.55) v v v v (.56) b F t δ vm K F( t) δf Fbδ b t (.57) t Sönümlecnn eleman enlem ullanılı ve abul elebll şatlaı ugulanısa, Hamlton ntegal cnsnen aşağıa hal alı: t δ K F( t) δ B δ t (.58) t Vaason şlem ugulanısa, Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t [ δ Kδ F( t) δ B δ]t (.59) t İntegaln altına bnc temn ısm ntegal alınısa aşağıa fae ele el: t t t t ( δ ) t δ t δt (.6) t t Hamlton ensbne göe t ve t amanlaına sstem onfgüasonunun sabt oluğu abul el. Bu üen t ve t e ssteme vaason ugulanama, an δ ( t ) ve δ ( t ) şatı vaı. Bu şat olaısıla enlem (.6) ın sağ taafına l tem sıfıa eştt. Denlem (.6) le ele elen sonuç, enlem (.59) a ullanılısa Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t t [ B K F ( t) ] δt (.6) Hamlton ensbne göe astgele δ vaasonlaı çn bu ntegaln sıfı olması gee:

30 t [ B K F ( t) ] δt t (Rastgele δ çn) (.6) Yuaıa ntegaln astgele δ vaasonlaı çn sıfı olablmes, anca δ n atsaısının an öşel aante çne temn sıfı olmasıla mümün olacağınan, sstemn nam enlem bu tem sıfıa eştleee aşağıa gb ele el: Öne : B K F(t) (.63) Şel.3 e b bast ev saaç göülmete. Saacın haeet ülemsel. Saacın elem notası üşe öne ( t) sn t şelne haeet etmee olanmataı. Bu sstemn nam enlemlen Hamlton ensble ele eelm. m Sütünmes elem g t) sn t ( Şel.3 Sstem elemanlaı: Kütle, m Knet o-enej: Şel.3 e m ütlesnn hı bleşenle göülmete. Bu hı bleşenlenn üşe ve ata öne ojesonlaı alınısa, m ütlesnn bu önlee hı bleşenle v ve v aşağıa gb bulunu: v sn (.64) v cos (.65) Bu bleşenle bbne oluğunan, m ütlesnn hıı aşağıa gb ele el: v m ( sn ) ( cos ) (.66)

31 3 Sstemn net o-enejs se aşağıa gb: [( sn ) ( cos ) ] (.67) * T mvm m T Potansel enej: [ sn ] * m (.68) Şeln altına efeans ülemn esas alaa otansel enej çn aşağıa fae aılabl: agange fonsonel: İş temle: V mg mg( cos) (.69) m mg (.7) [ sn ] ( cos ) Dışaan uvvet olaması olmaığınan ş temle sıfıı: f δ (.7) Hamlton ntegal: [ sn ] mg( cos ) t t δ m (.7) t Yuaıa faee vaason şlem alınıen δ ve δ oluğu unutulmamalıı. Za (t) ışaıan ugulanan b olama oluğunan hem ens hem e tüev bell ve bu temlen vaasonlaı sıfıı. Bu hususu ate alaa vaason şlem ugulanısa, Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t [ m δ m snδ m cosδ mgsnδ]t (.73) t δ çeen temlee ısm ntegal ugulanı, temle üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa, aşağıa fae ele el.: m t t t ( m sn) m cos mgsn δ t (Rastgele δ çn) (.74) Yuaıa ntegaln astgele δ vaasonlaı çn sıfı olablmes, anca δ nın atsaısının sıfı olmasıla mümün olacağınan, bu tem sıfıa eştlense aşağıa enlem ele el:

32 4 m ( m sn ) m cos mg sn (.75) t a a, m mgsn msn (.76) Eğe sstemn haeet sıasına açısı üçü alısa, sn aılabl. Aıca ış olama fonsonu ( t) sn t ene oulusa sstemn nam enlem aşağıa hale gel: g snt (.77) Yuaıa enlem attheu enlem. Bu enlemn çöümü ve olanmış ev saacın avanışı lee aıca ncelenecet. Öne 3: Şel.4 e velen ssteme ütle ata ülem üene sütünmes olaa amataı. Bu ssteme Hamlton ensbn ugulaaa nam enlemlen ele eelm. K B (t) (Dış onum olaması) K Şel.4 Sstem elemanlaı: Kütle, ; a, K ; a, K ; sönümlec, B. Bu ssteme (t) uvvet olaması olmaığınan sstem elemanı olaa alınma. Faat abul elebll şatı olaa obleme ge. agange fonsonel: v m v m K ( t) K (.78) [ ] (abul elebll şatı) oluğunan enlem (.78) aşağıa hal alı: K ( t) K (.79) [ ]

33 5 İş temle: [ ( t ] δ f δ F δ B ) (.8) b Denlem (.8) aılıen, (t) ış olama oluğunan δ ( t) alınmıştı. Hamlton ntegal: δ ( t) oluğunu ate alaa, enlemle (.79) ve (.8) en Hamlton ntegal aşağıa gb aılabl: t δ t t t K [ ( t) ] K B[ ( t) ] δ t [ δ K [ t) ] δ K δ B[ ( t) ] ]t (.8) ( δ İntegaln altına l teme ısm ntegal fomülü ugulanı, temle üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa, t t [ B ( K K ) K ( t) B ( t) ] δt (Rastgele δ çn) (.8) olu ve sstemn nam enlem aşağıa gb bulunu: Öne 4: B K K ) K ( t) B ( ) (.83) ( t Şel.5 e velen üesel saacın nam enlemlen Hamlton ensbn ugulaaa ele eelm. Bu ssteme ütlenn onumu ve ϕ oonatlaıla bellenebl. Bu oonat bbnen bağımsı oluğu çn bunlaa bağımsı olaa vaasonla ugulanabl. u ve u sıasıla ve φ e eğşmlen ütlee aatttığı ϕ haeet önlene bm vetöle. Θ ve φ nn tanımlanma bçmle olaısıla bu bm vetöle otagonal. Küesel ata ϕ u g m u ϕ Şel.5

34 6 Sstem elemanı: Kütle, m. agange fonsonel: T * V mv m mg (.84) oluğunan, Yuaıa enleme, v u sn ϕ u (.85) v ϕ sn ϕ (.86) ele el. -ülem efeans alınısa, çn aşağıa fae aılabl: cos (.87) Denlemle (.86) ve (.87), enlem (.84) e ullanılısa agange fonsonel aşağıa hal alı: İş temle: m ( sn ϕ ) mg cos (.88) Dışaıan ugulanan b uvvet olaması olmaığınan ş temle aşağıa gb: Hamlton ntegal: fδ (.89) Denlemle (.88) ve (.89) an Hamlton ntegal aşağıa gb aılabl: t t δ m( sn t t ϕ ) mg cos t ( m δ m sn ϕδϕ m ϕ sn cosδ mg sn δ )t (.9) İntegaln altına l teme ısm ntegal fomülü ugulanı, temle üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa, t t [ sn cos sn ] m m ϕ mg δ ( m ϕ sn ) δϕ t t (Rastgele δ ve δϕ çn) (.9)

35 7 Rastgele δ ve δϕ çn uaıa ntegaln sıfı olması çn bu temle çaan atsaılaın sıfı olması geetğnen, sstemn namğn tanımlaan feansel enlem taımı aşağıa gb ele el: m mgsn m ϕ sn cos (.9) t ( m ϕ sn ) (.93) Denlem (.93) m ϕ sn temnn sabt oluğunu göstemete. Bu tem sstemn -esen etafına açısal momentumuu. Bu esen etafına ssteme hehang b moment ugulanmaığınan, başlangıçta sstemn sah oluğu açısal momentum sabt alı. Öne 5: Şel.6 a ssteme saaç ülemsel. Hamlton ensbn ugulaaa bu sstemn nam enlemlenn ve cnsnen ele elmes stenmete. Sstem aısınan göüleceğ gb ve bbnen bağımsıı. Sstem elemanlaı: Kütle, ; ütle, m; a, K; sönümlec, B; olama uvvet, F(t). agange fonsonel: v mv m K K mg m (.94) Kütlenn üselğ: m cos (.95) İş temle: f δ F( t) δ F δ (.96) F B B B K Sütünmes elem, F(t) (Dış uvvet olaması) g m Şel.6

36 8 Eleman abul elebll şatlaı: v v ; v ; v ; (.97) Sstem abul elebll şatlaı: v ; B B K K F F (.98) B K F v v v v (.99) B K F Sönümlec çn eleman enlem: m ütlesnn hıı: F b Bv B (.) m ütlesnn hıı Şel.7 e vetö agamınan bulunusa, v çn aşağıa m fae ele el: v m ( sn ) ( cos ) cos (.) sn v cos Şel.7 Hamlton ntegal: Sönümlecnn eleman enlem (.) ullanılısa ve abul elebll şatlaı ugulanısa, Hamlton ntegal ve cnsnen aşağıa hal alı: t δ m( cos ) K mg cos F( t) δ B δ t t (.) Vaason şlem ugulanısa, Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t [ δ m δ m δ m cosδ m cosδ m snδ t Kδ mgsn δ F( t) δ B δ]t (.3) İntegal altına tüevlen vaasonlaını çeen temlen ısm ntegal alınaa temle enen üenlense ve Hamlton ensb ugulanısa aşağıa fae ele el: t ( m) B K F( t) ( m cos ) δ t t m ( m cos ) m sn mgsn δ t (Rastgele δ ve δ vaasonlaı çn) (.4)

37 9 Yuaıa ntegaln astgele δ ve δ vaasonlaı çn sıfı olablmes, anca bu vaasonlaın atsaılaının sıfı olmasıla mümün olacağınan, sstemn nam enlemle bu atsaılaı sıfıa eştleee aşağıa gb ele el: ( m) B K m cos m sn F( t) (.5) m m cos mgsn (.6) Eğe saaç üşeen üçü açılala aılıosa öel hal çn enlemle aşağıa hal alı: ( m) B K m m F( t) sn ve cos olacağınan bu (.7) m m mg (.8).8 Kabul Elebll Şatlaını Ugulama Yöntemle Hamlton ensb b obleme ugulanıen eleman abul elebll şatlaı vaason alma şlem öncesne olalıla ugulanabl. Sstem abul elebll şatlaı se vaason alma şlem öncesne vea sonasına a a olalı olaa agange çaanlaı öntemle ugulanabl. Bu üç alaşım Şel.8 e velen sstem üene göstelecet. K K Gegn aaa Şel.8 agange fonsonel ve ş temle: Bu sstem çn eleman abul elebll şatı fonsonel ve ş temle aşağıa aılabl: v oğuan ugulanısa, agange * T V K K (.9) f δ (.) Sstem abul elebll şatı: (.)

38 3 Yöntem : Kabul Elebll Şatının Vaason İşlem Öncesne Ugulanması Denlem (.), enlem (.9) a ene oulusa, Hamlton ntegal aşağıa gb ele el: t δ K() K t (.) t Vaason şlem ugulanısa, t t [ δ 4K δ K δ] t (.3) olu. İntegal altına bnc temn ısm ntegal alınaa temle enen üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa aşağıa fae ele el: t t [ 4K K ] δt (Rastgele δ çn) (.4) el: Sstemn nam enlem δ n atsaısını sıfıa eştleee aşağıa gb ele 4K K ) (.5) ( Yöntem : Kabul Elebll Şatının Vaason İşlemnen Sona Ugulanması el: Denlemle (.9) ve (.) ullanılısa Hamlton ntegal aşağıa gb ele t δ K K t (.6) t Vaason şlem ugulanısa, t t [ δ K δ K δ] t (.7) olu. İntegal altına bnc temn ısm ntegal alınısa, aşağıa fae ele el: t t [ δ K δ K δ] t (.8) Denlem (.) n taafının vaasonu alınısa, δ ve δ vaasonlaı aasına aşağıa lş bulunu: δ δ (.9)

39 3 Denlemle (.) ve (.9), enlem (.8) e ullanılısa ve Hamlton ensb ugulanısa, aşağıa fae ele el: t t t t [ δ K ()(δ K δ] t ) [ δ 4K δ K δ] t (Rastgele δ çn) (.) Sstemn nam enlem δ n atsaısını sıfıa eştleee aşağıa gb bulunu: 4K K ) (.) ( Yöntem 3: Kabul Elebll Şatının agange Çaanı Yöntemle Ugulanması Kısıtlaıcı şatlaın agange çaanı öntemle ugulanması haına aıntılı blg matemat talaına bulunabl. Buaa saece öntemn ugulanma şel matemat satlaa glmeen velecet. Bu öntem Hamlton ensbne ullanılıen abul elebll şatlaı eştllen b taafı sıfı olaca bçme, ϕ gb aılı. Eğe obleme n saıa ısıtlaıcı şat vasa, bunla ϕ, ϕ,., ϕ şelne aılı. t t ( δ f δ t (.) ) ntegalnn ϕ, ϕ,., ϕ n şatlaına tab olaa, obleme at astgele vaasonla çn sıfı olması le, n t t ( δ( λ ϕ ) f δ t (.3) n n n ) ntegalnn hehang b şat olmaan obleme at astgele vaasonla ve λ n nn astgele vaasonlaı çn sıfı olması anı nam enlemle ve. Buaa λ n (,, n) temle agange çaanlaıı. Şm bu öntem uaıa öne obleme ugulaalım. Bu uuma abul elebll şatı eştlğn b taafı sıfı olaca şele aşağıa gb aılabl: ϕ (.4) Hamlton ntegal ısıtlaıcı şatı çeece bçme aılısa, t δ ( t[ λϕ) ]t (.5) olu. Temle ene oulu ve Hamlton ensb ugulanısa aşağıa sonuçla ele el: t δ t t K K λ( ) t [ δ K δ K δ δλ( ) λδ ] t λδ t

40 3 t t [ ( K λ) δ ( K λ) δ ( ) δλ] t (Rastgele δ, δ ve δλ çn) (.6) Yuaıa faee enlemle bulunu: δ, δ ve δλ nn atsaılaı sıfıa eştlense, aşağıa K λ (.7) K λ (.8) (.9) Dat else uaıa üç enlemen b abul elebll şatı olan enlem (.4) le anıı. Ele elen enlemle aasına abul elebll şatlaının a e alması agange öntemnn b öellğ. Denlemle (.7), (.8) ve (.9) ullanılaa ve λ o else, sstemn nam enlem cnsnen aşağıa gb bulunu: 4K K ) (.3) ( Sınılaıcı Kuvvetlen agange Çaanıla Bulunması Kabul elebll şatını olaan elemana uvvet agange çaanınan bulunabl. Bunu gösteeblme çn Şel.8 e ssteme ve nn bbnen bağımsı hale gelmes çn n üene S gb haal b -uvvet elemanı oluğunu vasaalım (Şel.9). Bu elemanın uvvet sıfıen bou s, b λ uvvet ugulanığına uama mtaı se ϕ aa olsun. λ s S ϕ λ K İ-uvvet elemanı, S. aaa K Şel.9 Şel.9 a ssteme S elemanı taafınan aılan ş λδϕ oluğunan bu elemanın agange ntegalne atısı ş tem çne ve aşağıa gb: f δ λδϕ (.3)

41 33 Bu uuma Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t t ( δ λδϕ) t (.3) Ama, δ ( λϕ) ϕδλ λδϕ oluğunan, λδϕ δ ( λϕ) ϕδλ (.33) aılabl ve Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t δ ( t[ λϕ ) ϕδλ) ]t (.34) Şm S elemanı öle b eleman olsun, λ uvvetn aalaaa ϕ uamasını sıfı asın; an uamaan b öellğn taşısın. Bu uuma Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t δ ( t[ λϕ) ]t (.35) Göülüğü gb, (.5) ve (.35) e ntegal faele bbnn anıı. O hale, agange çaanı λ, te gelme uvvetn ve.

42 34 PROBEER Aşağıa sstemlen haeet enlemlen Hamlton Pensbn ugulaaa bulun. Poblem. Poblem. F(t) K K B F (t) K B F (t) Poblem.3 Poblem.4 l ütles: Kütles ol, l K K g o 6 l g Not: l üşe öne haeet eeblo. ln atalet momentn hmal en. (t) Kütles, atalanmış ble. F (t) K Not: Notasal ütle boutlu olaa haeet eo. Poblem.5 Poblem.6 l K F(t) l K B g l Not: Kol üşeen üçü açılala aılıo. g m

43 35 Poblem.7 Poblem.8 K F(t) B B g Kütles ol: l g T(t) l Notasal ütle: K m Poblem.9 Poblem. (t) K g F(t) B Kütles ol: l B F(t) K g B K Notasal ütle: Poblem. Poblem. K F(t) Vso sütünme: B F(t) B K g Aaba ve ol ütles.

44 36 Poblem.3 Poblem.4 l K K m O Kütles ol ve maaa. Yeçem o. g l m aaala ve olla ütles. İle amıo. l 3 m B F(t) K3 Poblem.5 Poblem.6 Gegn R C Vso ata sütünmes: b K F(t) R ϕ g g 3 Kolla ve maaala ütles. Not: ütles notasalı. Vso sütünme: B Poblem.7 Poblem.8 K B e f Kütles ol K A a a b b B m g Not: Yataan üçü haeetle abul en. g B Not: Kol ütles. Yataan üçü haeetle abul en. c

45 37 Poblem.9 Poblem. K K m m g Kütles ol: l Sütünme uvvet µn (N Nomal uvvet) Poblem. Poblem. l uunluğuna el çne sütünmes aıo. m İ Vso sütünme uvvet bv g v m m ϕ g Dell laa m m3 Not: aaala ütles. Not: m ütles 3-boutlu haeete saht. Poblem.3 Poblem.4 v(t) İ O g m v Not: Sütünme o. ve oonatlaını ullanın ve geomet sınılamalaı agange çaanlaıla obleme ahl en. v g Not: Haeet ülemsel. Hamlton ensbn ve agange çaanlaını ullanaa te gelme uvvetn v(t), l,,, cnsnen bulun. l m

46 38 Poblem.5 Poblem.6 K K g Haeet ülemsel. g Haeet ülemsel. (notasal ütle) Poblem.7 Poblem.8 m g l m g m m Poblem.9 Poblem.3 T (t) Elem g : Öteleme aı. Haeet ülemsel. l m ϕ g l m

47 39 Poblem.3 Poblem.3 F(t) K K Not: Haeet enlemlen ve te gelme çn b fae bulun. C Kütles maaa g K 3 3 Gegn B K a R K B T(t) Kütles tee Poblem.33 Şele ssteme ml ve ol ütles. Yeçem otu. l AA' etafına Ω sabt hııla önüülmete. Kol se ml ve olun oluştuuğu ülem çne O elem etafına öneblmete. He hang b ana olun OB le atığı açı ψ se, olun haeetn ψ cnsnen veen feansel enlem Hamlton ensbn ullanaa bulun. A O A' l ψ B Ω sabt m

48 4 3 AGRANGE DENKEİ 3. Genelleştlmş Koonatla Genelleştlmş oonatla nam b sstemn onumunu b efeans sstemne göe tanımlamaa aa. Kateen oonatla gb alışılmış oonatlaan faı, bu oonatlala hç lgs olmaan faat ugun olaa seçlmş onumlaın ve açılaın a genelleştlmş oonat olaa seçleblmes. Öneğn, Şel.8 e sstem çn ve ; Şel.5 e sstem çn ve φ genelleştlmş oonat olaa seçlebl. Genelleştlmş Koonatlaın Tam Olması Eğe b ssteme genelleştlmş oonatlaın eğele velğne sstemn bütün elemanlaının e belleneblosa, bu genelleştlmş oonatlaa tam en. Genelleştlmş Koonatlaın Bağımsı Olması Eğe b genelleştlmş oonat taımına hehang b oonat ışına bütün oonatla sabtlen ge alan oonata falı eğele veleblo ve sstemn geomet sınılamalala uumlu falı onfgüasonlaı ele eleblosa, bu oonat taımına bağımsı en. Öne: Şel.8 e sstem çn ve genelleştlmş oonatlaı tam, faat bağımsı eğl. Şel.5 e sstem çn ve φ genelleştlmş oonatlaı se tam ve bağımsıı. Vaasonlaın Tam ve Bağımsı Olması Eğe b ssteme ugulanablece abul elebl he vaason, b vaason taımına vaasonlaın lnee b ombneonu olaa fae eleblosa, bu vaason taımına tam en. Eğe b vaason taımına vaasonlaan hehang b ışına ğele ugulanmasa (an sıfı olusa) ve ge alan vaason sebestçe ugulanablosa, bu vaason taımına bağımsı en. Sebestl Deeces B sstem çn tanımlanan tam b vaason taımına bağımsı abul elebl vaasonlaın saısına sstemn sebestl eeces en.

49 4 Holonom Sstem B nam ssteme tam b genelleştlmş oonat taımına bağımsı oonat saısı, sstemn sebestl eecesne eştse, bu ssteme holonom sstem en. As tae sstem non-holonom olu. Holonom sstemlee bağımsı ve tam genelleştlmş oonatlaın vaasonlaı, bastl çn bağımsı ve tam vaason taımı olaa ullanılı. Öne: Holonom Sstem Küesel saaç (Şel 3.): ϕ g Tam ve bağımsı genelleştlmş oonat saısı: ( ve φ) Tam ve bağımsı vaason: (δ ve δφ) m Şel 3. Öne: Non-holonom Sstem Yata üleme olaa amaan uvalanablen s (Şel 3.): Tam ve bağımsı genelleştlmş oonat saısı: 4 (,, ve φ) φ Tam ve bağımsı vaason: (δ ve δφ) Şel 3. Yuaıa ssteme s amaan uvalanablğ çn saece δ ve δφ bağımsıı. δ ve δ se bağımsı vaasonla cnsnen aşağıa gb: δ snδϕ (3.) δ cosδϕ (3.)

50 4 3. Genelleştlmş Koonatla ve Hı Dnam b sstemn tam ve bağımsı oonat taımı aşağıa gb olsun: q,, q, q3,... q n (3.3) Eğe bu sstem holonom se sebestl eeces n olu. Tam ve bağımsı vaason taımı genelleştlmş oonatlaın vaasonlaı olaa aşağıa gb alınabl: δ q,, δ q, δ q3,... δ q n (3.4) Tam ve bağımsı genelleştlmş oonatla sstemn bütün elemanlaının onumlaını tanımlama çn etel oluğunan, sstem çne hehang b notanın onumu genelleştlmş oonatla cnsnen aşağıa gb fae elebl: q, q, q,..., q ) (3.5) ( 3 n Bu notanın hıı se aşağıa gb olu: n v q q (3.6) Dolaısıla, v tem hem genelleştlmş oonatlaın hem e genelleştlmş oonatlaın tüevlenn fonsonuu: v v q, q, q,..., q, q, q, q,..., q ) (3.7) ( 3 n 3 n (3.6) ve (3.7) numaalı faelee geçen q (,,..., n) temlene genelleştlmş hı en. Genelleştlmş hıla saece genelleştlmş oonatlaın tüevle olu, fsel hılaa aşılı gelmeebl. Fsel hıla genellle (3.7) numaalı faeen anlaşılacağı gb, hem genelleştlmş oonatlaın hem e genelleştlmş hılaın fonsonuu. Öne: Şel 3.3 e tee amaan uvalanmataı. K aının bou eğştçe saacın bou a eğşmete. K aının esneme mtaı. en saaç olunun bou aaı. Bu sstem çn mümün olablece tam ve bağımsı b genelleştlmş oonat taımı, ve olabl. Şm m ütlesnn hıını bulalım. m ütlesnn hı bleşenle Şel 3.4 e vetö agamına göülmete. Bu agaman v vetöü aşağıa gb aılabl: v ( ) u u (3.8) u Vetö agamınan üşe ve ata öne bleşenle bulunusa, v vetöünün büülüğünün aes çn aşağıa fae bulunu: v [( ) cos sn ] [( ) sn cos ] (3.9)

51 43 Bu enlemen göülüğü gb hı hem genelleştlmş oonatlaın hem e genelleştlmş hılaın fonsonuu. Sütünmes ata K g Öteleme aı, K m Şel 3.3 ( ) Şel Genelleştlmş Kuvvet Hamlton ensbne agange fonsonel vasıtasıla ntegale ahl elmemş olan bütün elemanlaın ş temle fδ faesne ahl el. Sstemn hehang b vaasonu, sstemn tam ve bağımsı vaasonlaı cnsnen fae elebleceğnen, aşağıa enlem aılabl: f δ f δ ( δ q, δ q, δ q,..., δ q Q δ q (3.) 3 n ) n j j j

52 44 Yuaıa faee Q j ( j,, 3,..., n) temlene genelleştlmş uvvet en. q j nn boutuna bağlı olaa, genelleştlmş uvvet saht. Genelleştlmş uvvetle aşağıa fomülü ullanaa bulunabl: Q j uvvet a a moment boutuna Öne : Q j Ssteme saece δ q j vaasonu ugulanığına ış uvvetle ve momentle taafınan aılan ş. δ q j (3.) Seçlen genelleştlmş oonatlaa bağlı olaa Şel 3.5 e sstem çn genelleştlmş uvvetle aşağıa gb. a) Genelleştlmş oonatla:, Fδ F δ δ Q F F (3.) ( F cos ) δ Q F cos (3.3) δ b) Genelleştlmş oonatla:, Fδ F δ Q F F δ δ δ Q F F (3.4) (3.5) K F g m F Şel 3.5

53 45 Öne : Şel 3.6 a ssteme K ve K alaı öteleme alaıı ve saece üşe öne haeet eeblmete. Kol ataan üçü açılala aılmataı. Seçlen genelleştlmş oonatlaa bağlı olaa bu sstem çn genelleştlmş uvvetle aşağıa gb. a) Genelleştlmş oonatla:, 3 3 F F F F F F Q δ δ δ δ (3.6) ) ( ) ( 3 3 b a F F a b a F F a Q δ δ δ (3.7) b) Genelleştlmş oonatla:, b a b F F b a b F F Q δ δ δ (3.8) 3 3 F b a a F F b a a F Q δ δ δ (3.9) Şel 3.6 K F K a b F F 3

54 agange Denlem Hamlton ensb holonom sstemlee genelleştlmş eğşenle ullanaa ugulanısa, genelleştlmş eğşenle cnsnen bütün holonom sstemlee ullanılablece b enlem ele el. Bu enleme agange enlem en. n sebestl eecesne sah holonom b nam sstem olsun. Bu sstem çn tam ve bağımsı b genelleştlmş oonat taımı, olaa tanımlanmış olsun. q, q, q3,..., q n (3.) Sstem çne hehang b notanın onumu genelleştlmş oonatla cnsnen bellenebleceğne göe, bu sstemn otansel enejs e bu oonatla cnsnen aşağıa gb fae elebl: V V q, q, q,..., q ) (3.) ( 3 n Dğe anan sstemn hehang b notasının hıı se hem genelleştlmş oonatla hem e genelleştlmş hılaa bağlı olableceğnen, hılaın fonsonu olan net o-enej çn aşağıa fae aılabl: T * * T q, q, q,..., q, q, q, q,..., ) (3.) ( 3 n 3 q n Bu uuma agange fonsonel aşağıa hal alı: T * V q, q, q,..., q, q, q, q,..., q ) (3.3) ( 3 n 3 n Denlem (3.) ullanılaa Hamlton ntegal aşağıa gb aılabl: a a, t [ t t t n δ ( q q q q q q q q Q q,, 3,..., n,,, 3,..., n) δ t (3.4) n δ q q n δq q n Qδq t (3.5) Hamlton ensbnn geeğ, t ve t uç notalaına vaasonlaın sıfı olması geetğnen, enlem (3.5) n l temnn ısm ntegalnen aşağıa sonuç ele el: t t t t q t q t q q t q t t q t q t q t t q t t q δ ( δ ) δ δ δ t t (3.6) Denlem (3.6), Hamlton ntegal faes (3.5) e ullanılı ve Hamlton ensb ugulanısa, t n t t q q Q δqt (Rastgele δ q çn) (3.7)

55 47 ele el. Bu ntegaln astgele δ q (,, 3,..., n) çn sıfı olması he b δ q nn atsaısının aı aı sıfı olmasıla mümün oluğunan, agange enlemle enlen n saıa enlem aşağıa gb ele el: t q q Q (,, 3,..., n) (3.8) 3.5 agange Denlemnn Kullanımına Önele Öne : Şel 3.5 e nam sstem holonomt. Bu sstemn nam enlemlen agange enlemnen aalanaa ele eelm. Sstemn sebetl eeces n. Bu sstem çn genelleştlmş oonatlaı ve olaa seçelm. Sstemn tane genelleştlmş oonatı oluğuna göe, tane e agange enlem (b, ğe çn) aılması gee. Bu ssteme net o-enej aşağıa gb: T mv m * (3.9) Şel 3.7 e m ütlesnn hı vetö agamı göülmete. Bleşenlen üşe ve ata öne ojesonlaı alınısa v vetöünün büülüğü aşağıa gb bulunu: v ( cos ) ( sn ) cos (3.3) Denlemle (3.9) ve (3.3) an T * aşağıa gb bulunu: [ cos ] * T m (3.3) v Şel 3.7 Sstemn otansel enejs, V K mg cos (3.3)

56 48 olu, agange fonsonel aşağıa gb: (3.33) m[ cos ] K mgcos Bu sstemn genelleştlmş uvvetle enlemle (3.) ve (3.3) le aha önce aşağıa gb bulunmuştu: Q F F (3.34) Q F cos (3.35) Yuaıa blgle ullanılısa, çn agange enlem aşağıa gb olu: a a, t t [ m( cos )] ( K) F F ( m) mcos K msn F F (3.36) (3.37) çn agange enlem se aşağıa gb ele el: t t [ m m ] ( msn mgsn ) F cos cos (3.38) a a, Öne : m mcos mgsn F cos (3.39) Şel 3.8 e nam ssteme ol ataan üçü açılala aılmataı. Yeçem otu. Holonom olan bu sstem çn genelleştlmş oonatlaı ve abul eee nam enlemle agange enlemnen aalanaa ele eelm. F F F 3 a a K Kütles ol K Şel 3.8

57 49 Sstemn net o-enejs: T * ( a ) (3.4) Sstemn otansel enejs: V K K ( a ) (3.4) agange fonsonel: ( a ) K K( a (3.4) ) Denlemle (3.6) ve (3.7) en genelleştlmş uvvetle: Q F (3.43) F F3 Q af af 3 (3.44) çn agange enlem: t t [ ( a )] [ K K( a )] F F F3 (3.45) a a, ( ak F F F (3.46) ) a ( K K ) çn agange enlem: 3 t t [ a( a ) ] [ ak ( a )] af af3 (3.47) a a, 4 af (3.48) a a 4a K ak af 3

58 5 PROBEER Aşağıa sstemlen nam enlemlen agange enlemn ullanaa bulun. Poblem 3. Poblem 3. K K K c K g l Not: Ya sebest boaen ütlenn eleme ualığı l. Kol ataan a aılmataı. b a F(t) Not: K aı sebest boaen ol üşe ve haeet sıasına üşeen a aılmataı. Poblem 3.3 Poblem 3.4 T(t) O Kütles maaa Kütles olla l l l F(t) A 9 B K g F(t) Not: Büü ol ataan a aılıo. K Not: A ve B elemlene aa atala va. Ssteme sütünme o. ve eğşenlen ullanın. g Poblem 3.5 Poblem 3.6 K K a T(t) b Yataan a aılan ütles ol. g T(t) l/3 K g Yataan a aılan ütles ol. F(t) l/3 l /3 K

59 5 Poblem 3.7 Poblem 3.8 Notasal ütle: 3 Kütles ol: F (t) g K O İ Kütles maaa K F (t) g l K F(t) Poblem 3.9 Poblem 3. F(t) K Elem 45 g l K Kütles çeçeve K: Öteleme aı. Haeet ülemsel. m F(t) K Poblem 3. K a R F (t) l F (t) l K T(t) g Slnle ve olla ütles. Slnle amaan uvalanıo. Sstem olamala sıfıen enge onumuna göstelmşt ve haeet sıasına bu onuman a aılmataı.

60 5 Poblem 3. Poblem 3.3 K K A A K g K g F(t) Not: Bütün olla ütles. K aı sebest boaen nn A a ualığı. Yatala sütünmes. F(t) Not: Bütün olla ütles. K aı sebest boaen nn A elemne ualığı. Yatala sütünmes. Poblem 3.4 Poblem 3.5 K b c l O a Kolla ütles. F(t) l g l m F(t) g Not: Velen ütlele ışına aı ütles. Poblem 3.6 Poblem 3.7 Kütles ol: l F (t) 3 F(t) K g Haeet ülemsel. ve ; ve çn genelleştlmş uvvetle bulun. l F (t)

61 53 Poblem 3.8 Poblem 3.9 Kütles ml. Kütles ol, l K T (t) g F(t) l/ K Düşeen a aılan ütles ol: l g Kütles ol: Toson aı: K t 3 Poblem 3. Poblem 3. K m K l F(t) g Aaba ve ol ütles. Kolun bou l aaı. snt e S K g Ualı ontolü aan sevo sstem Not: e ualığı a sebest boaen. Poblem 3. Poblem 3.3 F(t) K K g Rjt ve ütles ol. K l Not: Yala F(t) en b eşena üçgen meana getmete. Haeet ülemsel. Not: Haeet ülemsel eğl.

62 54 Poblem 3.4 Poblem 3.5 A C K D g B l Şaft ve ol ütles. Sütünme o. ol üene aablo. Yaın sebest bou l. K Not: Haeet ülemsel. Poblem 3.6 Poblem 3.7 A (Küesel elem) g K K g F(t) Not: Kolla ütles. Ya sebest boaen nn eleme ualığı l. Yatala sütünmes. ve ; ve çn genelleştlmş uvvetle bulun. Not: Bütün olla ütles. K aı sebest boaen nn A elemne ualığı l. Poblem 3.8 Poblem 3.9 K K t T (t) K Haeet ülemsel. Elem K a l l g g F(t) Kütles ol: l Kolla ve ml ütles. Ya sebest bounaen ol üşe. Kol üşeen a aılmataı.

63 55 4 RİJİT GÖVDESİ OAN SİSTEER Bölüm 3 e ncelenen sstemlee bütün ütlele notasal oluğunan net oenej faesne atılaı mv şelne. Bu bölüme jt gövelee sah nam sstemlee Hamlton ensbnn ve agange enlemnn ullanılması ncelenecet. Bu en uumun notasal ütlee sah sstemleen te faı, jt gövelen net oenejlenn satanmasıı. Gövelen net o-enejle satanaa agange fonsonuna oulutan sona aha önce ullanılan öntemle anen ullanılabl. 4. Rjt B Gövenn Knet Ko-enejs Şel 4. e atalet oonat sstem XYZ le göstelmşt. se gövee sabtlenmş b oonat sstem. m, göve çne hehang b ütle açacığını göstemete. Bu ütle açacığının atalet oonat sstemne göe onumu ρ, göve oonat sstemne göe onumu se vetöüle göstelmşt. -oonat sstemnn ojnnn atalet oonat sstem çne onumu se R vetöüle bellenmete. gövenn açısal hııı. Z m ρ R X Göve Y X Şel 4.

64 56 m ütle açacığının onumu ve hıı çn Bölüm e aha önce ele elen (.9) ve (.6) numaalı enlemleen aşağıa faele aılabl: ρ R (4.) v ρ R (4.) t Hem -oonat esenlenn hem e m onumlaı sabt oluğunan, enlem (4.) e, ütle açacığının göve çne (4.3) t olu ve jt göve üene b ütle açacığı çn hı aşağıa hal alı: v R (4.4) Gövee N saıa ütle açacığı vasa, gövenn tolam net o-enejs tüm açacılaın net o-enejlenn tolamı olaa aşağıa gb bulunu: N m T * N N mv m [ R R ( ) ( )] N N N mr R m m ( ) ( ) (4.5) ve enlem (.) an N m C aılısa ve enlem (4.5) n son temne vetö ve sala çaımın sıası eğştlse, net o-enej faes aşağıa hal alı: Öel Hal : T * N R ( R C ) m [ ( )] (4.6) Eğe jt gövenn atalet efeans sstemne O gb sabt b notası vasa ve oonat sstemnn ojn bu nota olaa seçlse, R olu. Bu öel hal çn net oenej faes aşağıa gb olu: T * N m [ O ( O) ] (4.7).6): nc ütle açacığının O a göe açısal momentumu h O aşağıa gb (enlem h O m m v m v m ) (4.8) O O O O O ( O

65 57 Bu üen enlem (4.7) nn sağına nc vetö, gövenn O notasına göe tolam açısal momentumu H u. H, aşağıa enlem (4.9) a velmşt: O O H O N m [ ( )] O (4.9) O Dolaısıla, bu öel hal çn net o-enej aşağıa gb aılabl: Öel Hal : T * H O (4.) Eğe -oonat sstemnn ojn gövenn ağılı meene seçlse, bu uuma R v ve olu; enlem (4.6) aşağıa hale önüşü: C C T * [ ( )] N vc m C C (4.) Gövenn ağılı meene göe açısal momentumu H C N [ ( )] H C, m (4.) C C faesle velğnen, bu öel hal çn net o-enej aşağıa gb bulunu: T * v C H C (4.3) 4. Açısal omentum ve Atalet ats Denlemle (4.9) ve (4.) e geçen genel fae o ve c nsle alıılaa aşağıa teaan aılmıştı. N H m (4.4) [ ( )] Bu enlem, a ( b c) ( a c) b ( b a) c (4.5) vetö öeşlğ ullanılaa enen aılısa, aşağıa hale gel: N H m [ ( ) ] (4.6) H, ve vetölen -oonat sstemnn (gövee bağlı oonat sstem) esenle bounca olan bleşenle cnsnen aşağıa gb aalım: H H u H u H u (4.7)

66 58 u u u (4.8) u u u v (4.9) Yuaıa üç enleme u, u ve u sıasıla, ve önlene bm vetöle, bunlaın önüne çaanla se o önlee vetö bleşenlenn büülülen göstemete. H, ve vetöle enlemle (4.7), (4.8) ve (4.9) an alını enlem (4.6) a ene oulusa, aşağıa faele ele el: [ ] N u u u u u u m H ) )( ( ) )( ( (4.) Bu enlemn temle enen üenlense aşağıa hal alı, [ ] N u m H ) ( ) ( ) ( [ ] N u m ) ( ) ( ) ( [ ] N u m ) ( ) ( ) ( (4.) Atalet momentle aşağıa gb tanımlansın: N m ) ( (4.a) a a aılı ütle çn m ) ( (4.b) N m ) ( (4.3a) a a aılı ütle çn m ) ( (4.3b) N m ) ( (4.4a) a a aılı ütle çn m ) ( (4.4b) Atalet çaımlaı se aşağıa gb tanımlansın:

67 59 N ( m ) (4.5a) a a aılı ütle çn m (4.5b) N ( m ) (4.6a) a a aılı ütle çn m (4.6b) N ( m ) (4.7a) a a aılı ütle çn m (4.7b) Atalet momentle ve atalet çaımlaı enlem (4.) e ene oulusa, aşağıa fae ele el: H H u H u H u ( ) u ( ) u ( ) u (4.8) Denlem (4.8) e bleşenle mats fomuna aılısa, H H H (4.9) olu ve ugun şele tanımlanan matsle cnsnen ısaca aşağıa fae ele el: [ ] [ ][ ] H nn bleşenle olan H (4.3) H, H ve H ullanılan -oonat sstemne bağlıı. Buna aşılı, H b vetö oluğunan hehang b oonat sstemnen bağımsı ve saece bou ve önü le tamamen bellen. Denlem (4.3) a [ ] matsne atalet mats en. 4.3 Knet Ko-enejnn atsle Cnsnen Yaılması Atalet efeans sstemne göe sabt b O notası olan b gövee -oonat sstemnn ojn O notasına alınığına (Öel Hal ), enlem (4.) le velen net o-enej faes matsle cnsnen aşağıa gb aılabl: T * H O T T [ ] [ H ] [ ] [ ] [ ] O O (4.3)

68 6 -oonat sstemnn ojn gövenn ağılı meene seçlse, enlem (4.3) le velen net o-enej faes se matsle cnsnen aşağıa gb aılabl: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] C T C C T C C C v H v H v T * (4.3) Öne : Şel 4. e velen üün ütles ve ütle ağılımı muntaamı. -oonat sstemnn ojn ağılı meene. Bu csmn atalet matsn bulalım: Şel 4. Bu csmn çne boutlaına b eleman alınısa, m aşağıa gb olu: m 3 (4.33) Atalet omentle: m 3 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( (4.34) Denlem (4.34) e bene bçme ğe atalet momentle e hesalanısa aşağıa sonuçla bulunu: 6 (4.35) 6 (4.36)

69 6 Atalet Çaımlaı: m 3 (4.37) Denlem (4.36) a bene bçme ğe atalet çaımlaı a hesalanısa aşağıa sonuçla bulunu: (4.38) (4.39) Dolaısıla Şel 4. e ü çn atalet mats aşağıa gb: 6 C (4.4) 6 6 [ ] Knet o-enej se aşağıa gb bulunu: T * v C [ ] a a, T * vc ( ) (4.4) 4.4 Rjt Gövenn Asal Esenle Rjt b göve çn esen taımı astgele tanımlanmışsa, gövee ugulanan b açısal hıının aatacağı açısal momentum vetöü H, vetöüle anı öne eğl. Öneğn, böle b gövee önüne b açısal hı ugulanısa, aşağıa enlemen göülüğü gb ve önlene e açısal momentum vetö bleşenle otaa çıa: [ H ] H H H (4.4)

70 6 Anca he gövee, gb b açısal hı ugulanığına bununla anı öne b H vetöü ele elen, bbne üç ön bulunu. Bu önlee asal önle, ojnen bu önlee çlen esenlee e asal esenle en. Asal önle, velen b esen taımına göe (göve çne sabt esenle) uaıa öellten aalanaa olaca bulunabl. u vetöü asal öne ve bm uunluta b vetö olsun. [ u ] mats e u vetöünün, ve önlene bleşenlen çeen mats olsun. an Eğe, u v (4.43) [ ] [ u] (4.44) se, asal esenlen tanım şel olaısıla, [ H ] H[ u] [ ][ ] (4.45) olu. Denlem (4.44) en [ ] alınaa enlem (4.45) e ene oulusa, aşağıa enlem ele el: Bu enleme, H (4.46) [ ][ u] [ u] H λ (4.47) olaa tanımlanı ve temle üenlense, [ ][ u] [ u] λ (4.48) a a, u u u λu λu λu (4.49) a a, λ λ u u λ u (4.5) bulunu. Yuaıa enlemen göülüğü gb, u vetöünün önünün bulunması, b öeğe oblemnn çöümünü geet. Denlem (4.47) le tanımlanan λ la, [ ] matsnn öeğele, u se övetöle.

71 63 Denlem (4.5) en u nun bleşenle cnsnen üç enlem aılabl. Anca bu enlemle homojen oluğunan, saece atsaılaının etemnantı, an enlem (4.5) e atsaı matsnn etemnantı sıfı oluğuna sıfıan falı b çöüm mümünü. Genel hale, λ, λ ve λ 3 gb üç öeğe ve bunlaa aşılı gelen u, u ve u 3 gb üç övetö bulunu. Bu üç övetö, -oonatlaına göe gövenn asal önlen belle. Eğe λ, λ ve λ 3 bbnen falı eğelee sahse, u, u ve u 3 önle bblene t ve te b çöüm olaa bulunu. Eğe λ λ λ3 se, u ve u nn çöümle te eğl. u 3 önüne olan he ön, asal ön öellğne saht (Şel 4.3). u ve u vetöle, u 3 önüne olan ülem çne çlen ve bbne olan hehang öne alınabl. Eğe λ λ λ3 se he ön asal ön öellğne. Bu uuma u, u ve u vetöle bblene olan hehang üç öne alınabl. 3 u u u 3 u u Şel 4.3 Öne : Şel 4.4 e gövee jt ve ütles ollala bbne bağlı ütle vaı. oonat sstem gövee bağlı olu, ütlelen hes -ülem üene. Bu gövenn asal esenlen bulalım. O m Not: ve m m Şel 4.4

72 64 Atalet momentle: m ( ) m( ) m(4 4 ) m m ( ) m m(4 ) m m ( ) m m(4 ) m (4.5) (4.5) (4.53) Atalet çaımlaı: ( m ) (4.54) ( m ) (4.55) ( m ) m( )( ) m( )( ) m (4.56) Atalet mats: Öeğelen bulunması: (4.57) [ ] m a a, a a, a a, λ et λ λ (4.58) ( λ )( λ)( λ) ( λ)( )( ) (4.59) 3 λ 4λ 4λ λ( λ 4λ 4) λ( λ ) (4.6) λ, λ λ (4.6) 3 λ e aşılı gelen övetö u bulma çn önce enlem (4.5) ullanılısa,

73 65 u u u (4.6) a a, u (4.63) u u (4.64) u u (4.65) bulunu. Göülüğü gb, enlem (4.6) en aılan üç enlemen (4.64) ve (4.65) numaalıla bbnn anıı. u vetöünün çöülmes geeen bleşen saısı se üç oluğunan ( u, u, u ) b enleme aha gee vaı. Üçüncü enlem se u vetöünün bm vetö olma öellğnen ele el: u u u (4.66) Denlemle (4.63), (4.64) ve (4.66) an u n bleşenle aşağıa gb ele el: u, u u (4.67) Bu bleşen eğele ncelenğne, u vetöünün ütle bleşten ol üene ve sağ taafa oğu oluğu göülü. λ λ3 oluğunan u ve u 3 vetöle u e olan üleme bbne olaca şele astgele seçlebl. Asal Esenlee Göe Atalet ats B gövee asal esenlenen hehang bs etafına b açısal hı ugulanısa, meana gelece olan açısal momentum vetöü e anı esen önüne olma ounaı. Yan, gövenn asal esenle Şel 4.5 e gb, ve 3 le göstelse, aşağıa fae geçel olu: H (,, 3) (4.68) u u O u 3 3 Şel 4.5

74 66 Bu şatın sağlanablmes çn, asal esenlee göe aılan atalet matsnn agonal olma ounluluğu vaı. Bu uuma H vetöünün bleşenle le vetöünün bleşenle aasına lş aşağıa gb. H H H (4.69) Öneğn, gövee -önüne b açısal hı ugulanısa, açısal momentum bleşenle aşağıa gb ele el: H H H 3 3 (4.7) Denlem (4.68) ve (4.69) aşılaştıılısa, göe atalet momentlenn, [ ] H λ matsnn öeğelene eşt oluğu göülü: olacağınan, asal esenlee λ (,, 3) (4.7) B gövenn asal esenle blnosa, oblem çöümlene bu esenlen ullanılması şlemlee büü olalı sağla. Za, [ ] matsnn agonal ışına bütün elemanlaı sıfıı. Eğe asal esenle oblemn başına blnmosa, bu esenlen bulunması e ço obleme b öeğe oblemnn çöülmesn geeteceğnen, asal esenle ullanmanın geteceğ bastl le öeğe oblemnn geeteceğ e şlemle aşılaştıılaa en ugun olan ol tech elmel. Anca, baı oblemlee gövenn b vea aha fala smet ülem olabl. Bu uuma asal esenle bu öellten aalanaa, aşağıa ısıma açılanığı gb, öeğe oblemn çömeen e bulunabl. Smeten Yaalanaa Asal Esenlen Bulunması Smet öellğne sah gövelen asal esenle, bu öellten aalanaa hehang b hesalama amaan bulunabl. Öneğn, Şel 4.6 a gövenn S gb b smet ülem olsun. -oonat sstemnn ojn O u bu ülem üene alalım. esen smet ülemne öne alınsın. Bu uuma ve esenle smet ülem üene olu. Gövenn smet öellğ olaısıla, (,, ) oonatına bulunan hehang b ütle açacığı m nn, (-,, ) oonatına b smetğ vaı. Bu smet ütle açacılaının temne atılaı ( m m ) ve temne atılaı se ( m m ) şelne bblen götüeceğnen, Şel 4.6 a gb smet öellğne sah b göve çn atalet mats aşağıa hal alı:

75 67 [ ] (4.7) O m m Smet ülem. Şel 4.6 Bu gövee esen etafına gb b açısal hı ugulanısa, gövenn açısal momentum bleşenle aşağıa gb ele el: H H H (4.73) Denlem (4.73) en göülüğü gb esen önüne ugulanan açısal hı vetöü ne anı öne b açısal momentum vetöü aatmataı. Bu se asal esen öellğ; an esen asal esen. Sonuç olaa, ütlesel smet esenne olan ön, asal ön öellğn taşı ve bu öne çlen esen asal esen. Şel 4.7 e smet öellğnen aalanaa asal esenle çlen baı gövele velmşt. Şel 4.7(a) ve (b) e esenne olan üleme bbne hehang esen ve 3 esen olaa seçlebl. Şel 4.7(c) e ötgenle masına bbne üç smet ülem oluğunan bunlaa, ve 3 esenle asal esenle. Şel 4.7() e üte se atalet mats enlem (4.69) a gb agonal oluğunan otagonal hehang b esen taımı asal esenle olaa seçlebl.

76 a) Sln b) Kon 3 3 c) Dötgenle ması ) Kü Şel Rjt Gövel Sstemlee Hamlton Pensbnn Ugulama Önele Öne : Şel 4.8 e velen l saaç üşe esen etafına önel haeet amataı. İ l saaç, uçuna asılı olan ütlenn üşe esen etafına atalet momentn bulma amacıla ullanılı. Hamlton ensbn ugulaaa bu sstemn nam enlemn ele eelm. φ g, Şel 4.8

77 69 Sstem elemanlaı: Kütle, ; atalet moment,. agange fonsonel: v m g( cosϕ) (4.74) Saaç üşe esen etafına φ açısı aa önüülüğüne ütles ( cosϕ) aa uaı çıacağınan, v m ϕ snϕ olu ve enlem (4.74) aşağıa hal alı: İş temle: Sstem abul elebll şatı: ϕ sn ϕ g( cosϕ) (4.75) fδ (4.76) Hamlton ntegal: ϕ (4.77) Sstem abul elebll şatı ugulanaa Hamlton ntegal aşağıa gb aılabl: t t t t sn δ ϕ sn ϕ g( cosϕ) t (4.78) ϕ ϕδϕ ϕ snϕ cosϕδϕ ϕδϕ gsnϕδϕ t Şm saacın üçü genlle haeet ettğn abul eelm. Yuaıa ntegaln temle ncenğne l temn ğe temlee göe aha üse metebel üçü temle çeğ göülü. Bu üen l tem ğele anına hmal elebl ve Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t t ϕ δϕ gsnϕδϕ t (4.79) δ ϕ çeen temlee ısm ntegal fomülü ugulanı, temle üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa, t t ϕ gsnϕ δϕt (Rastgele δϕ çn) (4.8) olu ve sstemn nam enlem aşağıa gb bulunu:

78 7 ϕ g sn ϕ (4.8) Küçü haeetle çn enlem aşağıa hal alı: sn ϕ ϕ alını ve temle enen üenlense nam g ϕ ϕ (4.8) Öne : Şel 4.9 a velen ssteme tee ata ülem üene amaan uvalanmataı. Bu ssteme Hamlton ensbn ugulaaa nam enlemlen ele eelm. K, B K Şel 4.9 (t) (Dış onum olaması) Sstem elemanlaı: Kütle, ; atalet moment, ; a, K ; a, K ; sönümlec, B. Bu ssteme (t) uvvet olaması olmaığınan sstem elemanı olaa alınma. Faat abul elebll şatı olaa obleme ge. agange fonsonel: v m K ( t) K (4.83) [ ] v m ve (abul elebll şatlaı) oluğunan enlem (4.83) aşağıa hal alı: İş temle: K ( t) K (4.84) [ ] fδ Fbδ B δ (4.85) Denlem (4.85) aılıen, (t) ış olama oluğunan δ ( t) alınmıştı.

79 7 Hamlton ntegal: Denlemle (4.84) ve (4.85) en Hamlton ntegal aşağıa gb aılabl: [ ] t B K t K t t ) ( δ δ [ ] t B K t K t t ) ( δ δ δ δ (4.86) İntegaln altına l teme ısm ntegal fomülü ugulanı, temle üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa, ) ( ) ( t t K K K B t t δ (Rastgele δ çn) (4.87) olu ve sstemn nam enlem aşağıa gb bulunu: ) ( ) ( t K K K B (4.88) 4.6 Rjt Gövel Sstemlee agange Denlemnn Ugulama Önele Öne : Şel 4. a ssteme tee ata ülem üene amaan uvalanmataı. Kolun b ucu A notasına teen otasına atalanmış, ğe ucu se 3 ütlesnn ena üenen aılmaan sütünmes olaa aablmete. Kolun ve teen ütlele muntaam ağılıı. Bütün atalet momentle ağılı meene göe. Yatala sütünmes. Bu sstemn nam avanışını tanımlaan feansel enlem agange enlemn ullanaa bulalım. Şel 4. Kol,, A Tee,, Yeçem, g 3

80 7 Tam ve bağımsı genelleştlmş oonatla: Bu oblem çn falı oonat taımlaı seçlmes mümünü. Buaa genelleştlmş oonatla olaa ve seçlsn. Sstem sebestl eecel ve holonomt. Knet o-enej: T * v A vg 3 (4.89) Buaa, ve v A aşağıa gb: v A (4.9) v A ( cos ) sn (4.9) t Kolun ağılı meenn hıı 4. en aşağıa gb bulunabl: v G se üçgenn öellğnen aalanaa Şel v G cos sn sn (4.9) v G cos v G sn Şel 4. Potansel-enej: Teen meenn üselğ sabtt. Bu üsel efeans alınısa, otansel enej aşağıa gb aılabl: agange Fonsonel: sn g (4.93) V * T V ( sn )

81 73 g 3 sn sn (4.94) Genelleştlmş uvvetle: Q Q (4.95) çn agange enlem: Q t (4.96) a a, ( ) sn sn 3 t (4.97) Sabt sn 3 (4.98) çn agange enlem: Q t (4.99) a a, ( )( ) ( ) cos cos ) cos ( sn sn 4 sn sn g t (4.) Öel Hal: Yuaıa obleme, olsun. Bu uuma nam enlemle aşağıa hal alı: ( ) Sabt sn 3 (4.) cos sn cos sn 4 mg (4.)

82 74 Öne : Şel 4. e sstem üşe etafına sebestçe öneblmete. B notasına teee elemle bağlı olan çubu aal ülem çne sebestçe sallanablmete. Çubu aesel estl ve ütles muntaam olaa ağılmıştı. Çubuğun bou, ütles, ağılı meenen geçen ve çubuğa esen etafına atalet moment J c. Çubu bounca olan smet esen etafına çubu atalet moment hmal elebl.düşe mle OO' etafına T(t) gb b ış moment ugulanmataı. Bu sstemn nam enlemlen agange enlemle bulalım. Tam ve bağımsı genelleştlmş oonatla: Genelleştlmş oonatla olaa ve φ seçlsn. Sstem sebestl eecel ve holonomt. Ds, O', B φ ( snϕ ) G ϕ T(t) Çubu,, c O Şel 4. Knet o-enej: Denlem (4.4) en aalanaa, T * vg cϕ c ( snϕ) (4.3) Şel 4. e ve ϕ hı bleşenlenn sebe olulaı v G vetöü bleşenle göülmete. Bu bleşenle bbne oluğunan v aşağıa gb bulunu: G

83 75 sn ϕ ϕ v G (4.4) Potansel-enej: Refeans olaa sn bulunuğu üsel alınısa, otansel enej aşağıa gb aılabl: ϕ cos g V (4.5) agange Fonsonel: * sn ϕ ϕ V T ϕ ϕ ϕ cos ) sn ( g c c (4.6) Genelleştlmş uvvetle: Q T (t) ϕ Q (4.7) çn agange enlem: Q t (4.8) a a, ) ( sn sn t T t c ϕ ϕ (4.9) φ çn agange enlem: ϕ ϕ ϕ Q t (4.) a a, sn cos cos sn ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ g t c c (4.) a a,

84 76 Öne 3: c ϕ snϕ g snϕ cosϕ c snϕ cosϕ (4.) Şel 4.3 e ssteme tee ata ülem üene amaan uvalanablmete. Saaç sn teen meene b ata vasıtasıla bağlaan çubu ütles. AB ualığı aaı. F(t) ve F(t) ata öne ugulanan ış uvvetle. Bu sstemn nam enlemlen agange enlemle bulalım. Tam ve bağımsı genelleştlmş oonatla: Genelleştlmş oonatla, ve φ olaa seçlsn. Sstem üç sebestl eecel ve holonomt. Tee A, A K F(t) φ Yeçem, g B F (t) Saaç Ds, B Şel 4.3 Knet o-enej: a a, T * v A A A vb Bϕ (4.3)

85 77 * ϕ ϕ B B A B B A A A v v v v T (4.4) Şel 4.4 e hı vetö agamınan bleşenlen üşe ve ata öne ojesonlaı alınısa B v vetöünün büülüğü aşağıa gb bulunu: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ v B cos ) sn ( ) cos ( (4.5) Denlemle (4.4) ve (4.5) en T * aşağıa gb bulunu: ( ) * cos ϕ ϕ ϕ ϕ B A T (4.6) Potansel-enej: Refeans olaa A notasının üselğ alınısa, otansel enej aşağıa gb aılabl: ( ) ) ( cos K g V ϕ (4.7) agange Fonsonel: ( ) ϕ ϕ ϕ V T A cos * ( ) ) ( cos K g B ϕ ϕ (4.8) Genelleştlmş uvvetle: ) ( F t Q ) ( F t Q ) ( cos t F Q ϕ ϕ (4.9) Şel 4.4 ϕ ϕ ϕ v B

86 78 çn agange enlem: a a, t Q (4.) t A cos ϕ ϕ [ K ( ) ] F ( t) (4.) a a, A cosϕ ϕ snϕ ϕ K K F ( ) t (4.) çn agange enlem: t Q (4.3) a a, [ K ( ) ] F ( t) (4.4) a a, K ( ) F ( t) (4.5) φ çn agange enlem: Q t ϕ ϕ ϕ (4.6) a a, t [( ) ϕ ] ϕ( snϕ ) g( snϕ ) B [ ] cosϕ F ( ) ϕ cos t (4.7) a a, ( ) ϕ ϕ snϕ ϕ gsnϕ cosϕ F ( ) B cos t (4.8)

87 Vso Sönümleclee Sah Sstemlee agange Denlemnn Kullanılması Ralegh Yaılım Fonsonu Bölüm 3 e agange enlemle çıaılıen sstemn ounumlu elemanlaına at (ütle/atalet, a, eçem alanı) ş temle net o-enej ve otansel enej faelene, ış uvvetle se genelleştlmş uvvetle çne ate alınmıştı. Ssteme sütünme elemanlaı olmaığı abul elmşt. Eğe ssteme hıla oantılı uvvete sah sütünme elemanlaı vasa (vso sönümlec) genelleştlmş oonatla ve genelleştlmş hıla cnsnen Ralegh Yaılım Fonsonu olaa alanıılan b fonson tanımlanaa agange enlem bu tü sstemle çn enen üenlenebl. Holonom b mean sstemn genelleştlmş oonatlaı q (,..., N) olsun. Bu sstem üene ve notalaı aasına Şel 4.5 e gb b sönüm sabtl vso b sönümlec bulunsun. b F F Şel 4.5 Şel 4.6 Bu sönümlec üenen letlen F uvvet, F b( ) (4.9) aaı. Şm bu elemanı sstemen alıalım ve bunun ene ssteme ve notalaına bu F uvvetnn Şel 4.6 a gb ugulanığını üşünelm. Şel 4.6 a sstem, Şel 4.5 e sstemn eşeğe olu, sstemn nam enlemle bbnn anıı. Şel 4.6 a gb ssteme elenen F uvvetlenn genelleştlmş uvvetlee atılaının ne olacağını bulalım. Eğe ve notalaı δ ve δ aa e eğştse, F uvvetle taafınan aılan ş mtaı δw aşağıa gb: δ ve δw F( δ δ) (4.3) δ eğşmle genelleştlmş oonatlaın eğşmle cnsnen, N δ j δ c j q j (4.3) N δ δ q (4.3) şelne aılableceğnen, ş faes aşağıa hal alı:

88 8 N N δ W F c jδ q j δ q (4.33) j F uvvetlenn nc genelleştlmş uvvete olan atısı hesalanıen nc genelleştlmş oonat ışına oonatla sabt abul elğnen ve bu üen bunlaın vaasonlaı sıfı olacağınan, enlem (4.33) en F uvvetlenn Q genelleştlmş uvvete atısı Q F aşağıa gb bulunu: Q F F c ) b( )( c ) (4.34) ( Dğe anan, sönümlec taafınan ısıa önüştüülen güç P aşağıa gb: P F( (4.35) ) b( ) Bu faenn q ne göe ısm tüev alınaa aşağıa enlemle bulunu: P q P ( ( ) q ) b( )( c ) (4.36) Denlemle (4.34) ve (4.36) aşılaştıılısa, sönümlec uvvet F nn, genelleştlmş uvvete atısı olan Q F çn aşağıa eştlğn aılableceğ göülü: Q Q F P ( P / ) q q (4.37) Eğe ssteme ben fala vso sönümlec vasa ve P hesalanıen bütün sönümleclen ısıa çevğ güç hesaba atılısa, bene üşünce taıla enlem (4.37) nn bu genel hal çn e geçel oluğu göülü. Ralegh aılım fonsonu, R P (4.38) olaa tanımlanı. Q F tem Ralegh fonsonu cnsnen aılı ve agange enlemnn sol taafına taşınısa, vso sönümlece sah sstemle çn agange enlemle aşağıa hal alı: t q q R q Q (,..., N) (4.39) Öne : Şel 4.7 e ssteme ütle ağılımı muntaam olan b sln ata ülem üene amaan uvalanmataı. agange enlemn ullanaa sstem namğn tanımlaan enlemlen bulunması stenmete.

89 8 Sstem sebestl eecel ve holonomt. Sstemn genelleştlmş oonatlaı olaa ve seçlsn. Knet o-enej: * T O (4.4) Potansel Enej: ) ( K K V (4.4) agange Fonsonel: * ) ( K K V T O (4.4) Genelleştlmş uvvetle: ) ( t F Q Q (4.43) Ralegh Fonsonu: B B R (4.44) çn agange enlem: Q R t (4.45) B K K F(t) O, O B Şel 4.7

90 8 a a, t [ ] [ K K )] B F( ) (4.46) ( t a a, B K K ) K F( ) (4.47) ( t çn agange enlem: t R Q (4.48) a a, O ( ) K B (4.49) t a a, O B K K (4.5) Öne : Şel 4.8 e sstemn namğn tanımlaan enlemlen agange enlemn ullanaa bulunması stenmete. B B F(t) K K Sstem sebestl eecel ve holonomt. Sstemn genelleştlmş oonatlaı olaa ve seçlsn. Knet o-enej: Şel 4.8 T * (4.5)

91 83 Potansel Enej: ) ( K K V (4.5) agange Fonsonel: * ) ( K K V T (4.53) Genelleştlmş uvvetle: Q ) ( t F Q (4.54) Ralegh Fonsonu: ) ( B B R (4.55) çn agange enlem: Q R t (4.56) a a, [ ] [ ] ) ( ) ( B B K K t (4.57) a a, ) ( ) ( K B K K B B (4.58) çn agange enlem: Q R t (4.59) a a, [ ] ) ( ) ( ) ( t F B K t (4.6) a a, ) ( t F K B K B (4.6)

92 84 Öne 3: Daha önce Bölüm e Hamlton ensbn ugulaaa çöülen ve aşağıa Şel 4.9 a velen sstemn nam enlemlen bu sefe agange enlemn ullanaa tea ele eelm. K B (t) (Dış onum olaması) Şel 4.9 Sstem b sebestl eecel ve holonomt. Genelleştlmş oonat olaa seçlsn. Bu ssteme (t) uvvet olaması olmaığınan genelleştlmş uvvetlee atısı otu; sınılaıcı şat olaa obleme ge. agange fonsonel: K K ( t) K (4.6) [ ] Genelleştlmş uvvet: Q (4.63) Ralegh Fonsonu: R B[ ( t) ] (4.64) çn agange enlem: t R Q (4.65) a a, t [ ] [ K ( t) ] K B[ ( t) ] (4.66) ( a a, B K K ) B ( t) K ( ) (4.67) ( t

93 85 PROBEER Poblem 4. Aşağıa velen gövenn, velen oonat esenlene göe atalet matsn bulun. Gövenn asal önlen bulun. Velen esenleen hangle asalı? m O 3m m Poblem 4. Şele velen gövee olla ütles. Notasal olan ütleleen b esen üene, ğe se ülem üene. Velen esenlee göe bu gövenn atalet matsn bulun. Asal esenle bulun ve asal esenlee göe atalet matsn aın. a m 45 a m Poblem 4.3 Aşağıa velen gövenn, velen oonat esenlene göe atalet matsn bulun. Velen esenleen hangle asalı? R 3 h O

94 86 Poblem 4.4 B göve üene, ojnle sıasıla O ve O olan, aalel esenl oonat sstemn üşünün. O a teabül een atalet mats [ ] blno. O notasına teabül een [ ] atalet mats steno. Not: O notası O notasına göe O a, b ve c olaca şele O m amıştı. bc cc [ ] [ ] m ( b c ac ) ( cc ac ) ( b c c c ( c a c a ) c c b ) c ( cc ac ) ( c c bc ) a c bc b c m ab ac a ab c bc ac bc a b oluğunu gösten. Buaa c, c, c temle, ağılı meenn -oonat sstemne göe oonatlaıı. O notası ağılı mee olusa sonuç ne olu? Poblem 4.5 Aşağıa gövee slen aıçalaı a, heb sn ütles muntaam ağılmış ve. Dsle ütles olan b asla bbne jt olaa bağlıı.,, 3 le göstelen esenle ağılı mee G en geçen asal esenle.,, 3 atalet momentlen bulun. u u çn H G bulun. 3u3 3. a a a

95 87 Poblem 4.6 B gövenn şele göülen esenlene göe atalet mats aşağıa gb. [ ] 4 4 ''' esenlene göe atalet matsn bulun. ' φ ' φ, '. φ.8.6 Aşağıa sstemlen nam enlemlen agange enlemn ullanaa ele en. Poblem 4.7 Poblem 4.8 F(t) K R A K aaa:, A g K B F(t) B Ds:, B Yeçem o. Kolla:, m, G, ütle ağılımı muntaam. Stat enge onumuna 3 ve genelleştlmş oonatla alın. Kolla ütles. A ve B ağılı meele.

96 88 Poblem 4.9 Poblem 4. T(t) O R aaa: O K K F(t) K İ g T(t) O Sln:, O l/4 l/ K Kol: l,, G, ütle ağılımı muntaam. g Kol: l, 3, G, ütle ağılımı muntaam. Poblem 4. Poblem 4. g G a α Sln amaan uvalanıo. Ağılı mee G e:, G ρ K T(t) O K O F(t), O, O Poblem 4.3 Poblem 4.4 a F(t) b K K K3 untaam ütle ağılımlı latfom:, G Not: Yeçem o. a b l g R O F(t) R Kütle ağılımı muntaam ol:, G Kamaan uvalanan sln:, O

97 89 Poblem 4.5 Poblem 4.6 Kütles ol O T(t) Kütles ml g G K Ya sebest boa en OG ualığı l F(t) Kütlel ol:, G untaam ütle ağılımlı ol:,, o, o O g Poblem 4.7 Poblem 4.8 ' A K O R A F(t A-Sln: A, O g l G Not: Ya sebest boa en A notası ' üene. l O Kütles muntaam ağılmış s:, G (Ağılı mee: G) Kütles muntaam ağılmış çubu:, G (Ağılı mee: G) g O R B İ ucunan eleml ütles ol: Toson aı: Kt B-Sln: B, O Sln ütlele muntaam ağılıı. A-sln amaan uvalanıo. Poblem 4.9 Poblem 4. O K l G A untaam ütle ağılımlı tee: t, A K Platfom:, o, G l / 4 F(t) l / Platfom:, G G l l Not: Platfom ataan a aılıo. Tee amaan uvalanıo. K Not: Yeçem o. ve ullanın. K

98 9 Poblem 4. Poblem 4. Tee:, O g a G T(t) untaam ütle ağılımlı s: R, Kütles ol: Notasal ütle: m K O g F (t) Kol:, G Not: Tee ve olun ütle ağılımlaı muntaamı. Tee amaan uvalanıo. F (t) Poblem 4.3 Poblem 4.4 A' l O Kamaan uvalanan sln: s, O Sln: AA' O F(t) K g A Not: Kol ütles. T(t) untaam ütle ağılımlı s:, o, o untaam ütle ağılımlı ol: l,, G g Poblem 4.5 Poblem 4.6 R İ ucunan eleml ol:, m Sln: K O Sln: O İ g O g K Not: Kol ve slnn ütle ağılımlaı muntaamı. Sln amaan uvalanıo. F(t)

99 9 Poblem 4.7 Poblem 4.8 R g G Kamaan uvalanan, ütle ağılımı muntaam sln:, G Poblem 4.9 Poblem 4.3 Sln: A, A K Çubu:,, G F(t) K Kamaan uvalanan sln:, O O R T(t) K Not: Çubu ve slnn ütle ağılımlaı muntaam. Çubuğun uçlaı sütünmes ve ama uvalala temas halne. g l A Not: Sln ve sn ütlele muntaam ağılıı. Sln amaan uvalanıo. Kol ütles. R B K Kol Ds: B, B A F(t) g Sln:, A G B R Ds:, B Sln, ol ve s ütlele muntaam ağılıı. Sln amaan uvalanıo. K Kol:,, G Poblem 4.3 Poblem 4.3 Kütles aaba F(t) K (t) Ya Yaa bağlı aan ve önen s: m,, φ g b Not: Dsn ütles muntaam ağılıı. Çubu: l, c, G G Ds:, O a O R Ya sebest haleen ve φ. Ya hem esnetl hem buulablo: F ϕ ϕ

100 9 Poblem 4.33 Poblem 4.34 g R Sln:, O O Kütles ol g ϕ Kol:, m, G Ds:,, Not: Kol ve slnn ütlele muntaam ağılıı.sln amaan uvalanıo. Not: Dsn ütles muntaam ağılıı. ve φ ullanın. Poblem 4.35 Poblem 4.36 G g l, G g m l G l, G Not: Kollaın ütlele muntaam ağılıı. Not: Kütlele muntaam ağılıı. Sln amaan uvalanıo. Poblem 4.37 Poblem 4.38 g l, m m g 4 G 4 m 3 Not: Çubuğun ütles muntaam ağılı, uçlaı sütünmes ve uvalala ama temas halne. Kama o. Göülen onum etafına üçü haeetle abul en. Sstemn aalılığını a ncelen.

101 93 Poblem 4.39 Ds:,, K K Ds:,, << << Poblem 4.4 Poblem 4.4 aaa: O F(t) O İ Kamaan uvalanan tee: m, O O l/ K g K l Not: Kol ataan üçü açılala aılıo, ütles ve l uunluğunaı. g m Poblem 4.4 Poblem 4.43 F(t) aaa: m, O l m Kütles ol: l O 3 g Dşl tee:, F(t) T(t) g Sabt Dü Dşl K Kol ataan üçü açılala aılıo.

102 94 Poblem 4.44 Poblem 4.45 K Çubu g F(t) ϕ Olu Not: Ssteme sütünme o. Çubuğun ütle ağılımı muntaam, bou l, ütles m, ağılı meene göe atalet moment G. Çubu, ve ütlele ve ata ülemle ama temas halne. Kütle ağılımı muntaam çubu: m, G, g Poblem 4.46 g R O Sln:, O Not: Slnn ütles muntaam ağılıı. Sln amaan uvalanıo. F(t) Poblem 4.47 F(t) l l l l K Kolun ağılı mee, G K F(t) Kol:, G Not: Yeçem otu.

103 95 Aşağıa sstemlen nam enlemlen Hamlton Pensbn ullanaa ele en. Poblem 4.48 Poblem 4.49 Ds: Ds:, O t t T (t) t T(t) B F(t) K K O B Not: untaam ütle ağılımlı sln amaan uvalanıo. Poblem 4.5 Poblem 4.5 B K T(t) O, O K F(t) K K O B Not: untaam ütle ağılımlı sln amaan uvalanıo. ve eğşenlen ullanın. Sln:, O Not: untaam ütle ağılımlı sln amaan uvalanıo. Poblem 4.5 Poblem 4.53 K K g untaam ütle ağılımlı ol: l,, G F(t) K B O g Tee:, O F(t) Çubu:, G Tee ve çubuğun ütle ağılımlaı muntaamı. ve eğşenlen ullanın.

104 96 Poblem 4.54 Poblem 4.55 T(t) Kütles ol İnce hala: B K Kalıaç olu:, G, O a G O b c K (t) g R Kaan notasal ütle: m Poblem 4.56 Poblem 4.57 F(t) Not: Yeçem o. T(t) A R Sln: A B Sln: B O Sln:, O Sln:, G (Ağılı mee G üşe öne sebestçe haeet eo.) R İ G g Poblem 4.58 Poblem 4.59 O Sln: O F(t) K O, O B g İ K m Not: agange çaanlaını ullanın. Tee ütles muntaam ağılıı. Tee amaan uvalanıo.

105 97 Poblem 4.6 Poblem 4.6 aaa: O O m İ F(t) K K Elem F(t) Yeçem o. Kolla:, m, G, ütle ağılımı muntaam. Stat enge onumuna 3 g l Poblem 4.6 l g m T(t) m Ds:, Not: Kolla ve ml ütles. Uun olla l uunluğuna. Kısa olla l / uunluğuna ve uun ollaın otasına elemle bağlı. Dğe elemle üşe önme esen üene. Ds esen bounca üşe öne aablo. Poblem 4.63 Aşağıa sstemlen nam enlemlen agange enlemle bulun. a) Poblem. e sstem, b) Poblem.7 e sstem, c) Poblem.4 e sstem (tee ütlel abul en).

106 98 5 RİJİT GÖVDEERİN 3-BOYUTU HAREKETİ 5. Eule Açılaı Rjt b gövenn uaa haeet çn enlemn genelleme mümün eğl. Za gb b açısal onum tanımlanması mümün eğl. Bu üen açısal onumun falı b bçme tanımlanması ve açısal hıın bu tanımlamala lşlenlmes geel. Bu amaçla Eule açılaı ullanılı. Eule açılaı jt b gövenn önelmn b atalet oonat sstemne göe tanımlamaa aa. Şel 5. e jt gövenn ağılı mee oonat sstemlenn ota ojnne olsun. XYZ-oonat sstem, atalet oonat sstemn (efeans sstem); 3 -esen taımı se jt göve çne sabt olan, gövenn asal esenle. Asal esenlen atalet oonat sstemne göe önelmn tanımlama çn başlangıçta esennn X esen üene, esennn Y esen üene, 3 esennn se Z esen üene oluğunu abul eelm. 3 -esen taımını bu başlangıç uumunan Şel 5. e göülen uuma taşıma çn 3 -esen taımınına sıasıla aşağıa önme haeetlen ugulaalım:. 3 -esen taımı önce Z esen etafına ϕ açısı aa önüülsün. Bu önme haeet sonuna 3 esen hala Z esen üene alıen, esen esen üene gel.. Daha sona 3 -esen taımı esen etafına açısı aa önüülsün. Bu haeet sonuna esen esen üene alıen, esen esen üene, 3 esen se şele göülen esen üene gel. 3. Son olaa 3 -esen taımı esen etafına ψ açısı aa önüülsün. Bu haeet sonuna 3 -esen taımı şele göülen son onumuna eş. İlee şlenece onulaı anlama açısınan, Şel 5. e esenlen aşağıa öelllen vugulamata aa vaı:. Şel 5. e XYZ-, - ve 3 -esen taımlaı otagonal taımlaı; an en esenle bbne t..,, ve esenle anı ülem üene (bea oval ülem); X, ve Y esenle anı ülem üene (taalı ülem);, 3, Z ve esenle anı ülem üene.

107 99 3. Z esen ensne olan ülem (taalı ülem) üene X, ve Y esenlene t. 4. esen ensne olan ülem üene, 3, Z ve esenlene t. 5., ota esenle enlene olan ülem (bea oval ülem) 3 üene,, ve esenlene t., 3 Z ψ φ ψ Y X Şel 5. Şel 5. e gb tanımlanan, ϕ ve ψ açılaına Eule açılaı en. Bu açılaın eğele blnğne 3 esen taımının önelm, XYZ taımına göe bellenmş olu. Eule açılaı b gövenn önelmn belleen genelleştlmş oonatla olaa seçlebl. 5. Açısal Hı Vetöünün Eule Açılaı Cnsnen İfaes Net anal uvvetle ugulanmaan b gövenn net o-enejsnn aılablmes çn gövenn o ana açısal hı vetöü nın blnmesne gee vaı. vetöünün bleşenle ullanılan oonat sstemne bağlı olaa, Eule açılaının enle ve tüevle cnsnen (, ϕ, ψ,, ϕ, ψ ) aşağıa gb falı bçmlee aılabl. Bunun çn önce çeştl oonat esenle bounca aşağıa bm vetöle tanımlansın:

108 Esenle Bm Vetöle X, Y, Z u X, u Y, u Z,, u, u, u,, 3 u, u, u 3 Şel 5. en göülüğü gb, açısının eğşme hıı, esen önüne b vetöü. Bene bçme, ϕ açısının eğşme hıı ϕ, Z önüne b vetö; ψ açısının eğşme hıı ψ se (a a 3) önüne b vetöü. Bu üç bleşenn tolamı aşağıa enleme velğ gb vetöünü ve. u ϕ u ψ (5.) Z u 3 Yuaıa enleme vetöü falı oonat sstemlene at aışı bm vetöle cnsnen aılmıştı. Halbu vetöünün gövenn asal esenle önlene bleşenle cnsnen fae elmes, net o-enejnn aılmasına büü olalı sağla. Bunu ama çn önce Şel 5. en aşağıa enlemle aılsın: u u u cos u3 sn (5.) Z u snψ u cosψ u (5.3) cosψ u snψ u (5.4) Denlemle (5.)-(5.4) enlem (5.) e ene oulusa, vetöü gövenn asal önlene bleşenle cnsnen aşağıa gb fae elmş olu: ( ϕ snψ sn cosψ ) u u 5.3 Net oment Ugulanmaan Rjt B Gövenn Haeet ( ϕ cosψ sn snψ ) u ( ϕ cos ψ ) u u 3 u3 (5.5) Bu önete ış uvvetle taafınan net b moment ugulanmaan jt b gövenn (öneğn hç ış uvvet ugulanmaan uaa b göve, a a saece e çem ugulanan b göve gb) haeet aıntılı olaa ncelenecet. Bu gövenn ağılı meenen geçen asal esenlene göe atalet momentle, ve 3 olsun. Aıca 3 olsun. (Bu şatın sağlanması çn gövenn esenel smete sah olması etel, anca geel eğl.) Gövenn net o-enejs vetöünün enlem (5.5) e velen asal önlee bleşenlen ullanaa aşağıa gb aılabl: 33 (5.6) * T ( ) * T ( ϕ sn ) 3 ( ϕ cos ψ ) (5.7) 3

109 Daha önce beltlğ gb,, ϕ ve ψ genelleştlmş oonatlaı. Potansel enej tem olmaığı ve gövee net b ış moment ugulanmaığınan genelleştlmş uvvetlen sıfı oluğu ate alınısa,, ϕ ve ψ çn agange enlemle aşağıa gb aılabl. çn agange enlem: t * * T T (5.8) a a, ϕ sn cos 3 ( ϕ cos ψ ) ϕ sn (5.9) ϕ çn agange enlem: a a, t t * * T T ϕ ϕ [ ϕ sn 3 ( cos ) cos ] ϕ ψ (5.) (5.) a a, ϕ sn ( ϕ cos ψ 3 ) cos Sabt (5.) ψ çn agange enlem: t * * T T ψ ψ (5.3) a a, t (5.4) t [ ϕ cos ψ )] [ ] 3 ( 3 3 a a, 3 3 Sabt (5.5) agange enlemlenen ele elen enlemle (5.9), (5.) ve (5.4) ün nın sabt oluğu b çöümü bulunabl. Bu çöüme, Sabt (5.6)

110 olsun. Bu uuma, enlemle (5.) ve (5.4) ün ϕ Sabt ve ψ Sabt3 şelne çöümle veeceğ açıtı. Denlem (5.5) ate alınısa, enlem (5.) en ϕ aşağıa gb bulunu: Denlem (5.9) an, 3 3 ϕ Sabt (5.7) cos ψ ( ) ϕ cos 3 (5.8) 3 a a enlem (5.7) ullanılısa, ψ çn aşağıa enlem ele el: 3 ψ 3 (5.9) Denlemle (5.6), (5.7) ve (5.9) taafınan tanımlanan çöüm, 3 esennn uaa sabt olan Z esenle sabt b açısı atığını ve Z esen etafına sabt b ϕ açısal hıla önüğünü göstemete. ( 3 esen Z etafına b on çe.) Anı ana, ve esenle le bunlaın çne gömülü oluğu jt göve se 3 esen etafına sabt b ψ açısal hııla önmete. (Şel 5.) Z, 3 ψ ϕ Y φ ψ X Şel 5.

111 3 Dğe anan enlem (5.) en, u ϕ u ψ u ϕ u ψ (5.) Z 3 Z u 3 ele el. Yan vetöünün saece Z ve 3 önlene bleşenle vaı. O hale vetöü ama 3 ve Z le anı üleme alı. Şel 5.3 e vetöü ve vetöünün falı bçme aılmış bleşenle göülmete. Bu şelen aşağıa faele aılabl: 3 u3 u (5.) (5.) u u u u u ϕ sn u (5.3) el: Denlem (5.7) uaıa enlemlele blte ullanılısa aşağıa enlem ele (5.4) 3 3 u u 3u3 tan u 3u3 H vetöü se vetöünün asal önlee bleşenlen ullanaa aşağıa gb bulunu: H u u ) u (tan u ) (5.5) ( u3 Z, 3 u 3 3 ϕ u Z ψ ψ u 3 u u u Y φ X Şel 5.3

112 4, 3 3 u 3 Z H 3 u 3 3 u 3 3 tan u Şel 5.4 Denlem (5.5) e bleşenle Şel 5.3 le blte ncelense, H vetöünün Z esen üene oluğu, an gövenn haeet sıasına bounun ve önünün eğşmeğ göülü. Gövee hehang b ış moment ugulanmaığına göe, bu belenen b sonuçtu. Şel 5.4 e ve H vetölenn bleşenle göülmete. 3 ülemne aha açı b bçme vetöü ama 3 ve Z le anı üleme oluğunan, bu ülem Z esen etafına ϕ sabt açısal hıla öneen vetöü e Z esen etafına anı hıla öne ve bu sıaa Z etafına Şel 5.5 e gb b on çe. Uaa sabt olan bu one ua ons en. Dğe taaftan göve 3 esen etafına a ψ açısal hııla önmete. Bu önme olaısıla vetöü göve çne 3 esen etafına b başa on aha çe. Bu on vetöünün göve üene bulunuğu elen eğs ve göve çne sabtt. Bu one göve ons en. Şel 5.5 e vetöünün üene hıla sıfı oluğunan, gövenn haeet sıasına göve ons ua onsnn üene uvalanı. Z, 3 Ua ons 3 u 3 Göve ons ψ u 3 ϕ u Z u Şel 5.5

113 5 göe, Şel 5.5 e ψ u 3 vetöü 3 esennn atı önü oğultusunaı. Denlem (5.9) a 3 ψ 3 > (5.6) oluğunan, > 3 çn bu şel > 3 öellğne b gövee att. (Öneğn, nce b çubu gb.) Eğe > 3 ve < 3 se (öneğn b s) ψ < olu ve bu öellğe sah b göve çn ua ve göve onle Şel 5.6 a gb olu. Bu uuma göve ons hala ua ons üene uvalanı. Anca uvalanma sıasına göve onsnn ç üe ua onsle temas halne. Z, 3 ϕ u Z Ua ons (sabt) Göve ons (uvalanan on) ψ u 3 Şel 5.6 Çubuğu ve s anıan gövele çn H ve vetölenn gövenn smet esenne (, 3) göe onumlaı le göve ve ua onle Şel 5.7 ve Şel 5.8 e teaan öetlenmşt. Gövee ışaıan moment ugulanmaığınan he tü göve çn e H vetöü uaa sabtt. vetöü, çubu çn H le smet esen aasına; s çn se ışınaı. çasal (amet) atalet moment, 3 se smet esen etafına (ola) atalet moment. 3 le aasına açı α, 3 le H aasına açı β olsun. Aşağıa üç açısal hıı nceleelm: - Bell b ana gövenn uaa açısal hıı. Ω - Bell b ana 3- ülemnn uaa H etafına açısal hıı (an ϕ ). n - Bell b ana nın gövee göe göel açısal hıı, nütason hıı (an ψ ).

114 6, 3 H, 3 H Ua ons β β α α α Göve ons O O Şel 5.7, 3 H, 3 H Ua ons β β α α O O Göve ons Şel 5.8 Gövenn uaa açısal hıı ( ); gövenn vetöünün üene bulunuğu esen etafına hıı (-n ) le vetöünün üene bulunuğu esenn uaa göe (an Z esen etafına) açısal hıının ( Ω ) tolamı olacağına göe aşağıa enlem aılabl: n Ω (5.7) a a, Ω n (5.8) Bu üşünce taı, tene üüen b olcunun ee göe olan hıının, olcunun tene göe olan hıı le tenn ola göe olan hıının tolamı olmasına aalel.

115 7 Denlem (5.8) en aalanaa H,, Ω ve n vetölenn bblene göe uumlaı Şel 5.9 a göstelmşt. (Şel çubuğu anıan göve çn çlmşt.) Şel 5.9 a velen vetö agamınan aalanaa n ve Ω vetölenn büülüle aşağıa gb bulunabl: H, 3 β α β Ω α O n Şel 5.9, Ω ve n vetölenn oluştuuğu vetö agamının göve smet esenne ön üene üşümünü alaa, bu öne bleşenle cnsnen aşağıa fae aılabl: a a, sn α Ω sn β (5.9) snα Ω (5.3) sn β Vetö agamının Ω vetöüne olan ön üene üşümünü alaa aşağıa eştlle aılabl: a a, n sn β sn( β α) (5.3) sn β cosα cosβ snα n (5.3) sn β Smet esenne aalel öne lşn temle nsle ((ola ön), bu esene öne (çasal a a amet ön) lşn temle e nsle gösteelm. Bu nsle ullanılaa aşağıa enlemle aılabl: snα (5.33) cos α (5.34)

116 8 H H sn β (5.35) H H cos β (5.36) Yuaıa öt enlemen snüs ve osnüslü temle alınaa enlem (5.3) e ene oulusa, n vetöünün büülüğü aşağıa gb bulunu: n H H (5.37) H n (5.38) Denlemle (5.3), (5.33) ve (5.35) an se Ω vetöünün büülüğü bulunu: H Ω (5.39) Öel Hal: α ve β Açılaı Küçü Bu uuma gövenn önme haeet smet esenne aın b esen etafınaı., Ω ve n vetölenn smet esen (, 3) üene olulaı abul elebl. Bu öel hale uan baı gövele çn enlemle aşağıa hale önüşü. Çubuğu anıan göve: Eğe göve nce b çubu se, Şel 5.9 a vetö agamı Şel 5.a a hal alı ve aşağıa enlemle geçel: >> (5.4) n (5.4) >> Ω Ds anıan göve: (5.4) Eğe göve nce b s se, Şel 5.9 a vetö agamı Şel 5.b a hal alı ve aşağıa enlemle geçel: (5.43) n (5.44) n (5.45) Ω (5.46)

117 9 Küe: Eğe göve üe se, Şel 5.9 a vetö agamı Şel 5.c e hal alı ve aşağıa enlemle geçel: (5.47) n (5.48) Ω (5.49) Ω n Ω n (a) (b) (c) Şel Eule Denlemle Rjt b gövenn haeetn belleen temel enlem aşağıa vetöel olaa fae elen Newton Kanunuu. B vetö saece önü ve boula tanımlanığınan, bu faenn geçelğ ullanılan oonat sstemnen bağımsıı. H (5.5) t Gövenn asal esenle,, ; bu önlee bm vetöle se sıasıla, j ve olsun. Asal esenle gövee gömülü olulaınan gövele blte haeet etmete, bunla üene bu bm vetölen e önle eğşmete. Hehang b ana H vetöünü gövenn asal esen önlene bleşenle cnsnen aalım: H H H j H (5.5) H vetöünün tüev se aşağıa gb olu: H t H t H H t t j H j H t t H t (5.5) Yuaıa enleme geçen, j ve bm vetölenn tüevlen bulma çn Şel 5. en aalanalım. Bu vetölen bolaı sabt oluğunan bunlaın tüevle anca

118 önle eğştğne otaa çıa. Bu se gövenn önmes sonucu oluşabl. Öneğn vetöüne b eğşm anca vea hı bleşenlenen en a bnn va olmasıla mümünü. Şel 5. en göülüğü gb, vetöünün tüev çn aşağıa fae aılabl:. j j (5.53) t j ( t t) (t) t j t Şel 5. j ve bm vetölenn tüevle e bene şele aşağıa gb ele el: j t (5.54) j t (5.55) Bm vetölen tüevle enlemle (5.53)-(5.55) en alınaa enlem (5.5) e ene oulu ve temle üenlense, H vetöünün tüev aşağıa gb ele el: H t H H H H H H H j H H t t t (5.56) Gövee ugulanan tolam ış moment e asal önlee bleşenle cnsnen aşağıa gb fae elebl: j (5.57) Denlemle (5.56) ve (5.57), enlem (5.5) e ene ousa ve bu şele ele elen enlemn sağ ve soluna bulunan anı öne bleşenle eştlense Eule enlemle aşağıa gb bulunu:

119 H t H H (5.58a) H t H t H H (5.58b) H H (5.58c) a a, ( ) t ( ) t ( ) t (5.59a) (5.59b) (5.59c) a a, ( t ) (5.6a) t ( ) (5.6b) ( t ) (5.6c) Yuaıa (5.58), (5.59) ve (5.6) numaala velen üçlü enlemle Eule enlemlenn falı şele aım bçmle. Öel Hal :, Bu öel haln geçel olması çn gövenn esenne göe esenel smete sah olması etel, anca geel eğl. Bu uuma Eule enlemle aşağıa hal alı: (5.6) (5.6) ( ) ( ) (5.63)

120 Öel Hal :,, Bu öele Öel Hal e şatlaa e olaa esen etafına gövee moment ugulanmaığı abul elmşt. Bu uuma Eule enlemle aşağıa hal alı: Eğe, Ω Sabt ( ) (5.64) ( ) Ω (5.65) ( ) Ω (5.66) ( ) α Ω (5.67) olaa tanımlanısa, aşağıa enlemle ele el: α (5.68) α (5.69) Öne : oment Ugulanmaan Sebest Joso Bu uuma ış moment ugulanmaığınan enlemle (5.68) ve (5.69) aşağıa hal alı: α (5.7) α (5.7) Bu enlemleen o else, α (5.7) bulunu. Bu enlem çöülüse, C sn α t C cosα t (5.73) olu. Ugun başlangıç oşullaı seçlse aşağıa gb b çöüm bulunabl: sn α t (5.74) cosα t (5.75)

121 3 Bu çöüm esen etafına α açısal hııla önen b vetöünün üşümünen Şel 5. e gb ele elebl. Öne : Smet Esenne D B Esene oment Ugulanması Şel 5.3 e gb, eçem alanı çne esennn b ucunan üşe olaa (b le vea ucu atalı çubula) asılmış olaa önen b s velmş olsun. Sabt olsun. esen sn smet esen oluğunan ve bu esen etafına hehang b moment ugulanmaığınan (5.68) ve (5.69) geçel. Bu enlemle (ola atalet moment) ve (çasal atalet moment) abul elee aılısa aşağıa hal alıla: α (5.76) α (5.77) Buaa α aşağıa gb tanımlanmıştı: α (5.78) W uvvet çftnn ugulaığı moment Wl büülüğüne ve şel ülemnen çe oğu öne. t anına esennn önüne oluğu abul else, hehang Sabt g W l H α W Şel 5. Şel 5.3 b t anına moment vetöünün ve önüne bleşenle Şel 5.4 e gb olu. Bu bleşenlen büülüle aşağıa gb: sn t (5.79) cos t (5.8)

122 4 g t Şel 5.4 olacağınan, omentle ene oulusa Eule enlemle aşağıa hal alı: α snt (5.8) α cost (5.8) Bu enlemlen öel çöümü aşağıa gb: Asn t (5.83) A cos t (5.84) Buaa A aşağıa gb tanımlanmıştı: A ( α ) (5.85) Eğe s ço üse b hııla önüosa, H (5.86) snt (5.87) H cost (5.88) H

123 5 olu. Bu enlemleen göülüğü gb, uaıa bleşenle sn asılı oluğu üşe ası elemanının üene bulunan H büülüğüne b v hı vetöünün ve önüne üşümle. Yan, ( ) H Wl (5.89) (5.9) H olu, s esen etafına açısal hııla öneen esen e üşe etafına açısal hııla öne (Şel 5.5). Düşe etafına bu haeete eseson haeet, e se eseson açısal hıı en. t g Şel 5.5 Peseson Hıı nn Altenatf Yöntemle Bulunması: Bu önete eseson açısal hıının önü ve büülüğü vetöel olaa fae elmş Newton Kanununu ssteme oğuan ugulaaa a bulunabl. (Kolalı çn ın ço büü oluğu ve enlem (5.86) nın geçel oluğu abul elecet.) Sstemn vetöle bell b ana Şel 5.6a a gb olsun. vetöü ağıın çne oğu ve ağıa öne, H vetöü se ağıt ülem çne ata ve sağa oğuu. vetöünün üşe öne ve uaı oğu oluğunu vasaalım. Aaan t aa aman geçtğne büülüğü olan H vetöü üşe etafına t açısı aa öne ve vetöün ucu ağıın çne oğu H aa ge (Şel 5.6b). Denlem (5.5) vetöel b fae. Hehang b öne bleşenle cnsnen e aılabl. Bu enlem ağıın çne oğu öne bleşenle cnsnen, bu bleşenle nsle göstelee aılısa,

124 6 H t (5.9) Bu önete H ( t) H ( t) ; Wl oluğunan bu eğele enlem (5.9) e ene oulaa çöülüse aşağıa fae ele el: H Wl (5.9) Wl H t H ( t) H (a) (b) Şel Gövenn Elsole ve Kaalı Dönme Esenle 5.5. Gövenn Elsole Uaa sabt b O notası olan Şel 5.7 e gb b jt göve oluğunu üşünün. Bu gövee hehang b ış uvvet ugulanmıosa, gövenn net o-enejs ve açısal momentumu sabt alacağınan aşağıa faele geçel: a a, * Sabt T (5.93) H Sabt T * H H cos Sabt (5.94) (5.95) Denlem (5.95) e * T ve H sabt olulaınan, vetöünün H vetöü üene üşümü olan cos tem e sabtt. vetöünün H vetöü üene üşümü b A notasına olsun. Dolaısıla gövenn nam haeet sıasına vetöünün ucu ama A notasına H vetöüne olan ülem çne alı. H vetöü uaa sabt oluğunan bu ülem e uaa sabtt. Bu ülem aşağıa sabt ülem olaa anılacatı. Bu bölüme sonuçla, oonat mee ağılı mee olaa alınma aıla, ensne uvvet ugulanmaan uaa sebest b göve çn e geçel.

125 7 Şm bu göve çn aşağıa e eğlen nceleelm: *. T Sabt çn vetöünün ucunun göve çne e eğs... v. * T Sabt çn H vetöünün ucunun göve çne e eğs. H Sabt çn vetöünün ucunun göve çne e eğs. H Sabt çn H vetöünün ucunun göve çne e eğs. H A O Sabt ülem Şel 5.7 Aşağıa gösteleceğ gb bu e eğlenn he b gövee gömülü olan b elso. * T Sabt çn vetöünün ucunun göve çne e eğs: Koonat esenle olaa O notasınan geçen asal esenle abul elsn. Asal esenle, ve olaa alanıılsın. Aşağıa enlemle aalım: * T mρ mρ mρ Sabt (5.96) Yuaıa enleme m gövenn ütles; ρ, ρ ve ρ temle se sıasıla, ve esenle etafına jason aıçalaı ı. Denlem (5.96) enen üenlenee aşağıa faele aılabl: T m T m * * ρ ρ ρ Sabt (5.97) ρ ρ ρ Sabt (5.98)

126 8 Denlem (5.98) majo esenle gövenn asal esenle le anı olan b elso. Sem-majo esenlenn uunlulaı sıasıla T *, m ρ T *, m ρ T * olan m ρ bu elsoe Atalet Elso en. Atalet elso gövenn şeln anıı; an en uun esen gövenn en uun olan önüne, en ısa esen se gövenn en ısa oluğu öne. vetöünün ucu hem Şel 5.7 e sabt ülem üene hem e atalet elso üene. Buaa satı velmemele blte, gövenn haeet sıasına atalet elso sabt üleme teğett ve onun üene uvalanı (Şel 5.8). Atalet elso H A O Sabt ülem Şel 5.8 * T Sabt çn H vetöünün ucunun göve çne e eğs: Denlem (5.98) enen üenlense, a a, T m H ρ * H ρ ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ρ H ρ ρ Sabt 3 ρ Sabt (5.99) (5.) ele el. Bu enlem e b elso tanımla. Buna H-elso en. H-elsonn şel gövenn şelnn tesn anıı. Yan gövenn en uun oluğu öne en ısa; gövenn en ısa oluğu öne se en uunu. H Sabt çn vetöünün ucunun göve çne e eğs: H vetöünün büülüğü aılısa, H ( ) ( ) ( ) Sabt4 H H H (5.)

127 9 a a, H m ρ ρ ρ Sabt 5 (5.) bulunu. Denlem (5.) e b elso tanımla. Bu elson şel abatılı b bçme gövenn şeln anıı. H Sabt çn H vetöünün ucunun göve çne e eğs: H vetöünün büülüğü aılısa, H H H H Sabt 6 (5.3) olu. Bu enlem se b üe, an elson öel b haln tanımla Kaalı önme esenle Teo olaa gövenn üç asal esen e süel önme esen. Za bu esenle etafına gövenn b açısal hıı vasa, oluşaca olan açısal momentum vetöü e anı esen önüne. Öneğn, gövenn, [ ] [ ] T gb b açısal hıı vasa, açısal momentumu [ ] [ ] T H gb. Yan ve H vetöle anı öne. Gövee ış uvvetle ugulanmaığınan H vetöü uaa sabtt ve bunun üene olan vetöü e önünü eğştme. Anca bu saece teoe böle. Bütün asal esenle teoe süel önme esen olmalaına ağmen saece masmum ve mnmum atalet momentne sah asal esenle aalı önme esenle. Ota eğee sah olan asal esen se aasıı. Bu husus uaıa enlem (5.) le tanımlanan H-elso ve enlem (5.3) le tanımlanan üe aımıla aşağıa gb sat elebl. Hatılanacağı gb, H-elso gövenn şelnn tesn anıı. Şel 5.9 a b gövenn asal esenlene göe H-elsonn uumu göülmete. H vetöünün ucu hem bu elson üene hem e enlem (5.3) le tanımlanan üe üene, an üele H-elsonn aaestne. Bu aaestlen şeln belleme çn şeln meenen tbaen üçü b üe şşelm ve H-elsole olan aaestlenn nasıl eğşeceğne baalım. Küe önce H-elsonn en ısa esennn oluğu taaftan elso esmee başla ve mnmum atalet moment esen etafına 5.9a a gb aalı aaestle oluştumaa başla. Küe şşmee evam eese, ota atalet momentne sah esenn oluğu ee elsoe teğet olu. Anca bu esen etafına aaestle aalı eğl, Şel 5.9b e göülüğü gb. Küe aha a ço şşse, bu sefe üe elso uun oluğu taaftan ese ve masmum atalet moment esen etafına aalı aaest eğle ele el. H vetöü başlangıçta mnmum vea masmum atalet esenle üene se ve

128 H-Elso Ota atalet moment esen H-Elso Ota atalet moment esen asmum atalet moment esen. asmum atalet moment esen nmum atalet moment esen (a) Şel 5.9 nmum atalet moment esen (b) hehang b neenle bu onumunan aılısa ucu aalı b aaest eğs üene geleceğnen aha uağa gtme. Buna aşılı H vetöü başlangıçta ota atalet moment esen üene se ve bu onuman aılısa, ucu Şel 5.9b e aaestleen bn leee bu esenen ualaşı. Dolaısıla ota atalet moment esen etafına önme haeet aası; mnmum vea masmum atalet moment esenle etafına önme haeetle aalıı. Eğe göve ota atalet moment esen etafına önüülmee teşebbüs else; üens, tala ata göünümlü, amaşı b haeet gölen. Anca bu amaşı haeet sıasına H vetöü uaa hala sabt alı. 5.6 Newton Kanunu nun Rjt Gövelee Doğuan Ugulanması Atalet efeans sstem çne jt b gövenn haeetn belleen temel fae vetöel olaa enlem (5.5) le velen Newton Kanunuu. Bu enlem aşağıa enen velmşt. (B vetö saece önü ve boula tanımlanığınan bu enleme geçen vetöle, ncelenen sstem çn ullanılan oonat taımınan bağımsı olaa uaa hehang b notaa çlebl.) H (5.4) t Rjt gövel e ço sstemn nam haeet, vetöel olaa fae elmş Newton Kanununu oğuan ugulaaa olaca anal elebl. Yöntemn ana aşamalaı aşağıa gb öetlenebl:. Geomet olamala (amama şatlaı, uvalanma, ol, halat ve atalaın sınılamalaı, v.b.) olaısıla ssteme hıla aasına bağıntıla aılı.. Açısal hı vetöünün velen bleşenlenen, asal önlee bleşenle bulunu. 3. Asal önlee açısal hı bleşenle bu önle etafına atalet momentlele çaılaa, açısal momentum vetöünün asal önlee bleşenle ele el. Kısım haç, Bölüm 5.6 a velen önele J. P. Den Hatog un İle Dnam eslene ullanmış oluğu önele.

129 4. Sstemn haeet ate alınaa H vetöünün ugun önlee bleşenle bulunu. 5. H vetöünün bleşenle anı öne moment bleşenlene eştlenee enlem (5.4) bu önlee bleşenle cnsnen aılı. Aşağıa bu alaşımın ugulanmasıla lgl çeştl önele velmşt Hılı Dönen Toaç Yeçem alanına önen b toacın en esen etafına öneen, toaç esennn e üşe etafına önüğü (eseson haeet) bln. Bu önete hılı önen b toacın nam avanışı ncelenecet. Sstem Şel 5. e göülmete. Toaç esenel smete saht. Toacın ucu ata emne sabtt. Toacın en esen etafına açısal hıı Ω ço büütü. Toaç esennn üşe etafına açısal hıı (eseson açısal hıı) Ω W h α G W hsnα Şel 5. le göstelmşt. Toacın esen etafına atalet moment (ola esen). Ağılı mee G olu, toacın ağılığı W. Haeet sıasına ağılı meenn üşe onumu eğşmeğnen üşe öne ugulanan net uvvet sıfıı. Bu üen toacın ucuna e taafınan ugulanan üşe öne uvvet e W büülüğüne. Sabt olan Ω hıı ço büü oluğunan tolam hı vetöü t nn alaşı olaa Ω vetöünün üene oluğu abul elebl (Şel 5.). Bu uuma H vetöü e Ω vetöünün önüne alınabl (Şel 5.). Başlangıçta H vetöünün ağıt ülemne oluğunu vasaalım. t aa aman sona hıı olaısıla H vetöünün ucu ağıt ülemnen çe oğu gecet. H vetöünün başlangıç ve son uumlaı aasına fa H vetöü olu, bu vetö ağıt ülemne ve çe oğuu. Dönme açısı t aa oluğunan Şel 5. e geometen aşağıa eştlle aılabl: a a, H çe ( H sn α )( t) ( Ω sn α ) t (5.5)

130 H t çe Ω snα H snα (5.6) H nn tüevnn çe öne olan bu bleşen, Newton Kanunu geeğ ış momentn anı öne bleşen e eştt. Bu moment bleşen se Şel 5. ve Şel 5. en çe aşağıa gb aılabl: çe Wh sn α (5.7) Denlem (5.6) ve enlem (5.7) nn sağ taaflaı eştlense aşağıa gb bulunu: Wh (5.8) H Wh (5.9) Ω t Ω H cosα α H ( t t) t H snα H H H (t) 5.6. Yavaş Dönen Toaç Şel 5. Şel 5. Bu önete toacın en esen etafına göel hııla önüğü ve bu hıın avaş oluğu abul elecet (Şel 5.3). Bu uuma aha önce önete oluğu gb t vetöünün smet esen üene oluğu vasaımı geçes. Açısal hı vetöle Şel 5.3 e velmş olu, aşağıa fae geçel: (5.) t Şel 5.4a a hı vetöle agamınan hı bleşenle bulunmuş ve bunla Şel 5.4b e göstelmşt. ve esenle önlene açısal

131 3 t Esen G Toaç Esen W α h h snα W Şel 5.3 t Esen cos α Ω Esen α sn α α (a) (b) Şel 5.4 Şel 5.4b e agama esen önüne hı bleşen le, esen önüne hı bleşen se le çaılısa açısal momentumun bu önlee bleşenle Şel 5.5a a gb bulunabl. Sstemn eseson haeet üşe esen etafına olmataı. Bu üen H vetöünün üşe bleşen eğşme. Bu hususu ate alaa H vetöünü Şel 5.5b e gb ata ve üşe bleşenlene (sıasıla H ve H ) aıalım. Şel 5.5b e göülen H vetö agamı eseson haeet sıasına üşe esen etafına açısal hııla öne. Bu sıaa ata bleşenn ucu ağıt ülemnn çne oğu geen, üşe bleşenn bou ve önü eğşme. Düşe bleşenn H 'nn tüevne ( H )

132 4 hehang b atısı olmaığınan hesalanmasına ble gee otu. Yata bleşenn büülüğü se aşağıa gb: H Ω sn α sn α cos α (5.) Aaan t aa b aman geçtğne Şel 5.5b e agam t açısı aa öneceğnen ve H bleşennn ucu, H çe ( t) H ( t)( Ω sn α sn α cos α ) (5.) aa ağıt ülemnn çne geceğnen, bu öne H bleşen aşağıa gb bulunu: H t çe ( Ω snα snα cosα) (5.3) omentn anı öne bleşen se aşağıa gb: çe Wh sn α (5.4) H sn α α (a) Ω (b) t H ( t t) H (t) H Şel 5.5 Newton Kanunu geeğ enlemle (5.3) ve (5.4) ün sağ taaflaı eştlense aşağıa enlem ele el: ( Ω sn α sn α cos α ) Wh sn α (5.5) Denlem (5.5) n temle enen üenlense, Ω cosα Wh cosα (5.6) ele el ve bu enlemen eseson açısal hıı aşağıa gb bulunu: Ω Ω Wh cosα m (5.7) 4 cos α cosα

133 5 Yuaıa enlem aeöün altına tem negatf oluğuna sanal ısma sah b eğe ve. Bu se vasaılan haeetn mümün olmaığını göste. Toacın üşmeen öneblmes çn aeöün altının otf olması a a Ω hıının aşağıa şatı sağlaması gee: 4 Wh cosα Ω > (5.8) Toacın üşme anına Ω eğe, Ω m aşağıa gb: 4 Wh cos α Ω m (5.9) Düşme anına eseson açısal hıı m se enlem (5.9) u enlem (5.7) e ene oaa bulunu: a a, Ω m 4 Wh cos α m cos α (5.) cos α m Wh (5.) cos α Şm m ve Ω m temlen ullanaa enlem (5.7) aşağıa gb boutsu hale getelm: Wh cosα m m 4 4 Wh cosα Wh cosα 4 Ω cosα Ω m Ω cos α Ω m Wh cosα (5.) a a, m Ω Ω m (5.3) Ω m Ω m Bu enlemn tanımlaığı olaa göstelmşt. m ve m Ω Ω aasına lş Şel 5.6 a gaf

134 6 m Hılı eseson Yavaş eseson Şel 5.6 Ω Ω m Şelen göülüğü gb velen b Ω Ω m eğe çn tane m çöümü vaı. Bunlaan üse eğee olana hılı eseson, alça eğee olana se avaş eseson en. Tabatta göülen haeet avaş esesonu. Ω Ω m bulalım. Eğe nun ço büü olması uumu çn avaş ve hılı eseson eğelen m ve m Ω Ω olaa tanımlanısa enlem (5.3), m m (5.4) şelne aılabl. Kaeöün altına tem se olaa açılısa m m üse metebe temle (5.5) Eğe ço büüse üse metebe temle hmal elebl; avaş ve hılı eseson eğele aşağıa gb olu: (Yavaş eseson) (Hılı eseson) (5.6) Ω ço büü se, avaş esesonun hıı aha önce hılı önen toaç çn bulunan eseson hııla anı olu: m Ω m Ω Ω 4 Whcosα Whcosα Ω (5.7) a a, Wh cos α Ω Wh cos α Wh Ω Wh H (5.8)

135 Yavaş Dönen Toaç Genel Hal Bölüm 5.6. e avaş önen toaç çn sunulan çöüme açısının sabt oluğu abul elmşt. Bu bölüme se açısının a eğştğ genel b çöüm ele elecet. (Fsel b uuma hang çöümün otaa çıacağını başlangıç oşullaı belle.) Aşağıa Şel 5.7 e toacın Eule açılaı göülmete., ve 3 esenle toacın asal esenle. Toaç 3 esenne göe smett. Bu üen ve esenlene göe atalet momentle bbne eşt ve olaa; 3 esenne göe olan atalet moment se olaa alınacatı. Toacın tolam ütles, ağılı mee G nn toaç ucunan ualığı h olsun. Şel 5.7 e tanımlanan esenle ve Eule açılaı (, ϕ ve ψ ) aha önce Şel 5. e tanımlananla gb. Bu uuman aalanaa, asal önlee açısal hı bleşenle enlem (5.5) en aşağıa gb aılabl: ϕ snψ sn cosψ (5.9) ϕ cosψ sn snψ (5.3) ϕ cos ψ 3 (5.3), 3 Z G h ψ g φ ψ Y X Şel 5.7

136 8 Toacın net o-enejs açısal hı vetöünün asal önlee bleşenlen ullanaa aşağıa gb aılabl: 3 (5.3) * T ( ) * T ( ϕ sn ) ( ϕ cos ψ ) (5.33) Potansel enej tem se aşağıa gb: V ghcos (5.34) Bunlaan agange fonsonel aşağıa gb bulunu: ( ϕ sn ) ( ϕ cos ψ ) gh cos (5.35) Toacın ee ounma notası sabtt ve bu üen bu notaa vaason ugulanama. Bu notaa gövee ugulanan uvvetn genelleştlmş uvvet temlene atısı olmaacağınan genelleştlmş uvvetle aşağıa gb: Q (5.36) Q ϕ (5.37) Q (5.38) ψ çn agange enlem: ψ t ψ ψ (5.39) a a, t [ ( ψ ϕ cos )] ( ψ ϕ cos ) (5.4) t a a, ( ψ ϕ cos ) H sabt (5.4) 3 3 Yuaıa enleme H 3 tem toacın smet esen önüne açısal momentum bleşen ve haeet sıasına sabt almataı. ϕ çn agange enlem: t ϕ ϕ (5.4) a a,

137 9 a a, t [ sn ( cos )cos ] ϕ ψ ϕ (5.43) ϕ sn ( ψ ϕ cos )cos H ( sabt) (5.44) Z a a, ϕ sn 3 cos H Z ( sabt) (5.45) Yuaıa enlemn sağ taafına HZ sabt sstemn açısal momentumunun Z- esen önüne bleşennn büülüğüü. Bunun oğuluğu açısal momentum vetöü bleşenlen aaa aşağıa gb olaca göstelebl: H u u u ( snψ cosψ u u (5.46) 3 3 ) H snψ cosψ ) sn cos (5.47) Z ( 3 Denlemle (5.9), (5.3) ve (5.3) en, ve 3 alınaa bu faee ene oulusa sonuç enlem (5.44) le velenle anı olu: H Z [( ϕ snψ sn cosψ ) snψ ( ϕ cosψ sn snψ ) cosψ ] ( ϕ cos ψ ) cos çn agange enlem: : ϕ sn ( ψ ϕ cos ) cos 3 3 sn (5.48) a a, t (5.49) t [ ] [ ϕ sn cos ( ψ ϕ cos ) ϕ sn gh sn ] (5.5) a a, ( 3 ϕ cos ) ϕ sn gh sn (5.5) Toacın nam avanışı enlemle (5.4), (5.45) ve (5.5) taafınan tanımlanı. Bu enlemlen çöümü, en eğşen tanımlamalaının aılmasını ve fsel olaa mümün olablece çöümlen aılanmasını geetğnen oluça amaşıtı. Tam çöüm ana lstesne talaa e alığınan buaa velmeece, bunun ene çöümün öellle üene uulacatı. Daha önce Bölüm 5.. e Sabt olan b çöüm ncelenmşt. Anca, açısının sabt olmaığı çöümle e mümünü. Bu çöümlen hesne enlem (5.4) geeğ 3 sabtt. Anca ve ϕ açılaı eo olaa eğş ve -esennn uçu, mee ojne olan b üe üene Şel 5.8 e öüngeleen bn çe. Bu çöümlee açısının eğşmnn sebe oluğu haeete nütason en. Ne tü b çöümün ele eleceğ başlangıç oşullaına bağlıı.

138 3 (a) (b) (c) Yuvalanan Ds Fgue 5.8 Şel 5.9 a göülen nce s sabt b Z esen etafına R aıçalı b ae üene ve üşele α açısı aaa amaan uvalanmataı. Ds nce oluğunan abul elecet. W sn ağılığını, sn en esen etafına açısal hıını, s meenn Z etafına açısal hıını göstemete. Şel 5.9 a v ve h uvvetle e taafınan se ugulanan uvvetn üşe ve ata bleşenle. Haeet sıasına α açısı sabt oluğunan sn ağılı meenn üşe onumu sabt ve üşe öne vmes sıfı oluğunan se bu öne ugulanan uvvetlen tolamı sıfıı. Yan, aşağıa eştl geçel: v W (5.5) Dsn ağılı mee, Z etafına açısal hııla R aıçalı b çembe üene haeet ettğnen ve meee oğu olan vmes gb: Z R oluğunan, h uvvet aşağıa R W h v Şel 5.9 α

139 3 W h R (5.53) g Ds amaan uvalanığı çn ve bbnen bağımsı eğl. Bu lş aşağıa şele bulunabl: olsaı, nn sebe olacağı ama hıı ( R sn α ) olsaı, nn sebe olacağı ama hıı Kama olmaması çn bu ama hılaı bbne eştlense, a a aşağıa lş ele el: ( R sn α ) (5.54) ( R snα) (5.55) Velmş olan hı bleşenlenn çlğ vetö agamı Şel 5.3a a, bu bleşenleen tüetlmş olan ve asal esen önlene hı bleşenlen gösteen vetö agamı se Şel 5.3b e göülmete. Bleşenlen büülüle şel üene göstelmşt. Şel 5.3b e esen önüne hı bleşenn le, esen önüne hı bleşenn se le çaaa açısal momentumun bu önlee bleşenle Şel 5.3a a gb bulunabl. Sstemn eseson haeet üşe esen etafına olmataı. Bu üen H vetöünün üşe bleşen eğşme. Bu hususu ate alaa H vetöü Şel.3b e ata ve üşe bleşenlene (sıasıla H ve H ) aılmıştı. Bu şele göülen H vetö agamı eseson haeet sıasına üşe esen etafına açısal hııla öne ve ata bleşenn ucu ağıt ülemnn ışına oğu çıaen, üşe bleşenn bou ve önü α cos α α ( R sn α ) (a) ( R snα) R snα (b) Şel 5.3

140 3 eğşme. Düşe bleşenn H 'nn tüev H ne b atısı olmaığınan hesalanmasına gee otu. Yata bleşenn büülüğü se aşağıa gb: a a, R R H cosα cosα snα cosα snα (5.56) H vetöü se ışaı öne olu ( H ) H ( t) ışaı H t le çaaa bulunu: (5.57) H t ışaı H (5.58) cos α α H R α R (a) H H (t) t H ( t t) (b) Şel 5.3 Newton Kanunu geeğ açısal momentumun ışaı öne bleşen gövee ugulanan tolam ış momentn anı öne bleşenne eşt olma ounaı. Dse ugulanan ış uvvetle ağılı uvvet W, e taafınan ugulanan uvvetn ata bleşen h le üşe bleşen v. Dsn ağılı mee etafına moment alınısa, ışaı olan ön abul else, moment aşağıa gb ele el: ışaı W sn α h cos α (5.59) a a, ışaı W W snα R cosα (5.6) g Denlem (5.58) ve enlem (5.6) nn sağ taaflaı eştlen ve enlem (5.56) an H ene oulusa aşağıa enlem ele el:

141 33 R W cosα snα Wsnα R cosα (5.6) g Bu enlemen aşağıa gb bulunu: W snα (5.6) R W cosα snα R cosα g Yuvalanan Kon Şel 5.3 e göülen on sabt olan Z esen etafına amaan uvalanmataı. Bu haeet sıasına onnn tee notasının sabt alığı açıtı. Konnn tee açısı α, üselğ l, ağılı meenn tabanınan ualığı se l 4 ü. Konnn en esen etafına açısal hıı Ω, on esennn Z etafına açısal hıı se ı. Konnn hang hıa evleceğ soulmataı. Z α l α l /4 l tanα Ω l / cosα Şel 5.3 Kon amaan uvalanığınan ve Ω aasına lş aşağıa şele bulunabl: olsaı, Ω nın sebe olacağı ama hıı Ωl tanα l Ω olsaı, nın sebe olacağı ama hıı cos α Kama olmaması çn bu ama hılaı bbne eştlense, l Ω l tanα (5.63) cosα a a aşağıa lş ele el: Ω (5.64) sn α

142 34 Bu oblem çn açısal hı agamlaı Şel 5.33 e velmşt. cos α α α Ω snα cos α snα snα snα Şel 5.33 Açısal momentum agamlaı se Şel 5.34 e gb. Düşe etafına b moment ugulanmaığınan onnn haeet sıasına açısal momentumun üşe bleşen H nn önü ve bou eğşme. Bu üen bu bleşenn hesalanmasına gee otu. Yata bleşen H nn büülüğü se aşağıa gb: cos 3 α H cosα snα (5.65) snα cosα α H cos α snα α Şel 5.34 H H (t) t H ( t t) H vetöü ışaı öne olu ( H ) H ( t) ışaı H t le çaaa bulunu: (5.66) a a, H t ışaı H (5.67) Newton Kanunu geeğ açısal momentumun ışaı öne bleşen gövee ugulanan tolam ış momentn anı öne bleşenne eşt olma ounaı:

143 35 H t ışaı ışaı (5.68) Kone ugulanan bütün ış uvvetle ağıt ülem çne. Şel 5.35 e göstelen bu uvvetle ağılı uvvet W, e taafınan ugulanan uvvetn ata bleşen h, e taafınan ugulanan üşe uvvetle v ve v. (Zemn ve on elast maleme abul elmş ve bu üen üşe uvvetle ounma çgsnn ucuna alınmıştı.) Konnn ağılı mee üşe öne hehang b vmee sah olmaığınan v ve v aasına aşağıa lş vaı: v W (5.69) v Yata uvvet h se Newton Kanunu geeğ ağılı meen aal vmesnn büülüğüle onnn ütlesn çaaa bulunu: W 3 h lcosα (5.7) g 4 Z l α h l / 4 W v v W v Şel 5.35 Devlme anına v ve v W olu. Bu uum çn enlem (5.68) aılaa onnn evleceğ hı bulunabl. Konnn sabt olan uçu etafına moment alaa enlem (5.68) aılısa aşağıa enlem ele el: cos 3 α Wl 3 cos α sn α W l cos α (5.7) sn α cos α 4 Denlem (5.68) stense ağılı mee etafına a moment alaa a aılabl:

144 36 cos 3 α l 3 W 3 3 cos α sn α cos α W l l cos α l sn α sn α cos α 4 g 4 4 (5.7) Konnn evleceğ hı enlem (5.7) vea enlem (5.7) en çöülebl. Denlem (5.7) aşağıa sonucu ve: Wl 3 W lcosα cosα 4 3 cos α cosα snα snα (5.73) Denlem (5.7) en se aşağıa sonuç ele el: Wl 3 W l cosα cosα 4 (5.74) 3 cos α W 3 cosα snα l snα g 4 Denlem (5.73) ve enlem (5.74) falı göünümlene ağmen anı sonucu vele. Za enlem (5.73) ve enlem (5.74) e ve nn tanımlaı falıı. Atalet momentle enlem (5.73) e onnn tee notasınan geçen asal esenlee göe, enlem (5.74) e se ağılı meenen geçen asal esenlee göe tanımlanmıştı Yalalı Yuvalanan Tee Yaıçaı olan b tee ü b emn üene le oğu V hııla, alalaaa ve amaan uvalanmataı. Teen aaan göünümü Şel 5.36a a, üsten göünümü se Şel 5.36b e velmşt. Hehang b ana teen üşeen aılma açısı, le önen sama açısı se ϕ aaı. ve ϕ açılaı üçütü. Teen nam avanışını tanımlaan enlemlen aılması stenmete ve evlmemes çn mnmum uvalanma hıının ne olması geetğ soulmataı. ϕ Yuaı ϕ İle Sol V G W h v W Sağ ϕ V Sol Sağ (a) (b) Şel 5.36

145 37 Asal önlee açısal momentum bleşenle anı önlee açısal hı bleşenlenen aalanaa bulunmuş ve Şel 5.36 a göstelmşt. Bu bleşenleen aalanaa açısal momentum bleşenlenn le, uaı ve sola oğu önlee bleşenle sıasıla, ve s nslele göstelee aşağıa gb aılabl: s u V u V u V H ϕ ϕ ϕ ϕ (5.75) Bu enleme son tem üçü ve ϕ eğele çn hmal eleblğnen, enlem aşağıa hale gel: s u V u V u V H ϕ ϕ (5.76) Bu faenn tüev alınısa aşağıa enlem ele el: u H H u u V u V H ϕ ϕ (5.77) Newton Kanunu ve önlene bleşenle cnsnen aşağıa gb aılabl: ϕ W h V (5.78) V ϕ (5.79) Denlem (5.78) e geçen h uvvet Newton Kanunu geeğ teen ütles m le ağılı mee G nn sola oğu olan vmesnn çaımına eşt oluğunan aşağıa faele aılabl: ( ϕ) V t m t v m ma h G G (5.8) ( ϕ) V m h (5.8) Denlem (5.8) en alınan h enlem (5.78) e ene oulusa, nam enlemle aşağıa hale gel: V m W V ) ( ϕ ϕ (5.8) ϕ V (5.83) Denlem (5.8) ve enlem (5.83) aasına o el ve ele elen enlemn temle üenlense, aşağıa enlem ele el:

146 t mv V W V t V m V ϕ ϕ (5.84) Bu enlemn çöümü, t ϕ ϕ sn (5.85) şelne feanslı hamon b fonsonu. nın çöümü e ne anı feansta b hamon fonsonu. Dolaısıla tee le oğu uvalanıen hem üşe hem e ata öne feansıla alalaaa ge. feansı aşağıa faele bellen: V m V mv V W V 3 (5.86) Yuaıa tanımlanan alalı uvalanma anca enlem (5.86) eel b çöüm veğ tae, an aeöün altı otf se mümünü. Yan, teen evlmeen uvalanması çn şat aşağıa gb: mv V W V (5.87) a a, m W V (5.88) a a, m m W V (5.89) a a, m g V (5.9)

147 39 hale gel: Ço nce b tee çn oluğunan evlmeen uvalanma şatı aşağıa V g m (5.9) Eğe nce teen ç olu ve ütles muntaam ağılmışsa, şat aşağıa gb: m oluğunan, g g V (5.9) 3 Eğe nce tee b çembe şelnese, uvalanma şatı aşağıa hal alı: m oluğunan, evlmeen g g V (5.93) ( ) 4 Denlemle (5.9) ve (5.93) en göülüğü gb, b çembe ç olu b teee göe aha üşü hılaa evlmeen uvalanabl.

148 4 PROBEER Poblem 5. Şele onnn smet esen ataı. Bu on, sabt b on üe üene amaan uvalanmata ve bu sıaa smet esen üşe etafına açısal hııla önmete. Bu haeet nın hang eğele çn mümünü. nın eğe t eğen üene çıasa ne olu? g a h Kon:,, G Poblem 5. Şele göülen slnn çne ça üene atalanmış b joso vaı. Josoun açısal hıı Ω ço büütü. Joso ve slnn tolam ağılığı olu, ota ağılı mee G josoun meene. Sln ata üleme V lnee hıı le uvalanısa, ülemle aasına ounma uvvetlen bulun. Sln hang V hıına ülemen aılmaa başla? G Joso:, V g Yata ülem

149 4 Poblem 5.3 Şele ssteme josoun en esen etafına açısal hıı ço büütü. Kol O notası etafına ve ağıt ülem çne açısal hııla önüülüse, ol taafınan O a atalaa ugulanan momentn büülüğü ve önü ne olu? Joso: 6 el O t a Poblem 5.4 Şele ssteme josoun en esen etafına açısal hıı ço büütü. Kol üşe esen etafına açısal hııla önüülüse, ol taafınan O a atalaa ugulanan momentn büülüğü ve önü ne olu? Joso: 6 el 3 a O

150 4 Poblem 5.5 Aşağıa saaçlaa joso sle ışına elemanla ütles. Kollaı uaı bağlaan atala üesel. t a saaçla üşele α açısı aaen bıaılısa t > çn nasıl b haeet aacalaını açılaın. Peseson haeet aaca olanlaın eseson açısal hılaını ve önlen bulun. l l α α g el g el Ds:,, (a) Ds:,, (b) el g l el α Ds:,, Ds:,, l α l g Ds:,, el (c) ()

151 43 Poblem 5.6 Aşağıa sstemn üşe etafına eseson açısal hıı çn b fae bulun. a t) a snt (İvme) ( Tee:,, g Ω (Ço büü) Not: lle ütles. Poblem 5.7 Aşağıa atalet navgason sstemlene ullanılan açısal hı josounun bast b moel velmşt. Joso s B çeçevesne atalanmış olu, ' esen etafına ço üse b Ω hııla önmete. B çeçeves se ' esen etafına C çeçevesne atalanmıştı. C çeçeves se ' esen etafına atalanmıştı. B ve C çeçevele aasına ' esen bounca esneen b K aı vaı. Ya sebest boa en ', ' ve ' esenle bbne t. ' esen etafına sabt b açısal hı ugulanığına B çeçevesnn ' esen esen etafına önme açısı ne olu? e ' ' K Ω ' A B C O

152 44 Poblem 5.8 B latfom üene bağlanmış olan b oto ço üse sabt b hıına önüülmete. Platfom ve oto, ota ağılı mee G e üesel b atala atalanmıştı. Platfomun altına uunluta b olun ucuna notasal ütles vaı. Platfom ' üşe esen etafına Ω açısal hııla ünüülmee olanısa olun üşeen aılma açısı ne olu? Ω Tee: G Platfom g Poblem 5.9 Aşağıa ssteme latfom aıçaına blalı ülemsel b ata üene sebestçe otutulmuş olu, üşe esen etafına Ω açısal hııla önmee olanmataı. Platfomun üene ata esen etafına b oto sabt hııla önüülmete. Rotoun atalet momentle ve. Platfom ve otoun tolam ütles olu, ota ağılı mee G üşe esen üene ve latfomun blelee ounma ülemne. Platfomun evlmeen önüülebleceğ masmum Ω hıını bulun. (Devlme anına latfomun atağa te notaa ounuğunu vasaın. Platfomun atalet momentlen hmal en.) Ω Roto G g Platfom

153 45 Poblem 5. Aşağıa ssteme joso tee ışına bütün açala ütles. Tee avaş b el açısal hııla önmete. Yeçem otu. Buna aşılı latfom a vmesne saht. Peseson açısal hıı bulun. a (İvme olaması) O 3 el untaam ütle ağılımlı tee:,, Poblem 5. Şele oto üse b hııla en esen etafına önüülmete. Roto ml sabtl alala ata olaa asıa alınmıştı. Roto mlnn ataan en ço üçü b α açısı aa aılması stense latfom üşe esen etafına en fala hang hıla önüülebl? Ω a a Roto:, Platfom

154 46 Poblem 5. Şele sstem AA' etafına Ω açısal hııla önüülmete en B olu ataı ( el >> Ω ). Dönme sıasına sabtl a aa esneğne göe, sstem aametele cnsnen Ω ne? Yeçem otu. Joso tee ışına elemanla ütles. A' Ω l Joso tee: B el A Poblem 5.3 Aşağıa ssteme s ışına elemanla ütles. Ds üse b hıla önüğünen açısal momentum vetöü önme esen üene abul elebl. Dsn monte elğ atala aasına ualı a aaı. a) Saacın üçü genll salınımla çn salınım feansını bulun. b) Salınım sıasına s atalaına oluşan uvvetn büülü ve önünü bulun. Saaç en alt notaan geçeen uvvetn büülüğü ve önü ne? l α g Ds:,, H a

155 47 Poblem 5.4 Aşağıa sstemn esen etafına açısal hıını ölçme çn b üene göülmete. Ω en be ata onuma ve sıfıı göstemete. a) Sstemn çalışma ensbn açılaın. Ω Ω ( Ω > ) gb sabt b eğe se be hang öne saa? b) Küçü Ω hılaı çn Ω ve olun ataan aılma açısı α aasına ugun sstem aametelen çeen b fae bulun. ' l / α l İbe el (hılı) K g Ds:,, Ω Poblem 5.5 Şele ssteme en ol ataı. oluğuna, velen aametele ve hıla cnsnen α (α büü) açısını veen b fae bulun. Tee:,, ' el α Toson aı: Kt l g Sabt

156 48 Poblem 5.6 Şele vantlatöe F üflenen havanın eason uvvet. oto otounun ağılı mee G e göe atalet momentle,. (Dğe açala ütles.) a) A a ata gevşe bıaılı se vantlatöün üşe etafına açısal hıını bulun. b) A a ata sııştıılaa ltlenmş se ve üşe mln açısı sn t şelne eğştlse, ml taafınan vantlatö gövesne A notasına ugulanan momentn büülüğü ve önü ne olu? el F a G g g A 3 b Poblem 5.7 Şele ssteme ola avaş önen b joso monte elmşt. Kol üşe esen etafına öneblen b mle A ucunan elemle bağlıı. Kol ataen joso esen üşele 3 açı amataı. Kol ve josoun tolam ütles olu, ota ağılı mee G notasınaı. Kol ata uumaan eseson açısal hıı çn b fae bulun. Bu eseson haeetnn mümün olması çn hıının büülüğü en a ne olmalıı? el el 3 g A a G g Joso:,

157 49 Poblem 5.8 Aşağıa ssteme A ml sabt b Ω açısal hııla önüülmete. Bu mle atalanmış l uunluğuna ol a anı hıla üşe esen etafına önmete ve öneen üene atalanmış olan tee on üe üene amaan uvalanmataı. Teen on üee ugulaığı nomal öne uvvet bulun. A Ω l α Yata g Tee:,, Yata α Kon üe Poblem 5.9 Şele tee O an geçen ata esen etafına çeçevee atalanmış olaa hııla önmete. Çeçeve se üşe esen AA' etafına Ω hııla önüülmete. ve Ω hılaı bbne göe hmal elemeğne göe sstemn AA' üene atalaa ugulaığı momentn büülüğünü ve önünü bulun. A Ω Tee:, O Çeçeve A'

158 5 Poblem 5. Şele ssteme joso tee avaş b el hııla önmete. Ssteme üşe etafına b açısal hı ugulanmaığına ol ata uuma ve enge halne. Ssteme üşe etafına Ω gb b açısal hı ugulanısa blnen b ütlesn ol üene neee eleştsen ol ata uuma almaa evam ee? (Kolun atalet momentle hmal elebl.) Ω α Joso:, g el Poblem 5. Poblem 5. Yavaş önen b toacın üşme anına net o-enejs çn b fae bulun. B gemnn uvalanma haeetn stable etme çn şele gb b joso monte elmes önelmete. Josoun ço üse b hııla önüğünü abul en. a) Geme uvalanma haeet aataca (' esen etafına) b moment ugulanısa nasıl b avanış otaa çıa? b) Gemnn önü eğştlmee çalışılısa, an ' esen etafına T gb b ış moment ugulanısa, gemnn uvalanma açısı ne olu? Ağılı mee G şele gb se nasıl b avanış göülü? el A H el A G a g Üsten göünüş AA' est

159 5 Poblem 5.3 Aşağıa ssteme joso en esen etafına ço büü b hııla önmete. Bu sstemn eseson açısal hıı çn b fae bulun. Sstem t anına şele göstelğ uumasa, teen oluğu ucun ağıt ülemnen ışaı oğu çıması çn geeen şatlaı bulun. (Not: Tee ve ışına elemanla ütles. nn üşe esen etafına atalet momentn hmal en.) Joso:, a 45 a/ 45 g Küesel elem Poblem 5.4 Aşağıa ssteme mlle ütles. Tee en esen etafına ço büü b el hııla önmete ve anı amana K sabtl b ataın ucuna bağlı olaa ml bounca aablmete. Ya sebest boaen teen üşe esene ualığı l aaı. Peseson haeet sıasına aın bou aa uamataı. Peseson açısal hıını ve aın uama mtaını bulun. g K Tee:,, el l

160 5 Poblem 5.5 Şele ssteme K aı saece üşe öne esnemete. en joso snn esen ata uumaı. Ds en esen etafına Ω açısal hııla, sn monte elğ latfom se üşe esen etafına açısal hııla önüülmete. Ω hıının ço üse olmaığını abul eee s esennn ataan aılma açısı α çn b fae bulun. Esen ataan α açısı aa aılıtan sona latfomu hııla önüme çn ugulanması geeen moment ne? l / l Joso s: Küesel elem Ω K Yata Poblem 5.6 Aşağıa sstemle çn H faesn aın. Denlemlen, ve geel ğe aametele cnsnen aablsn. α mg el el a α W, Ağılı a) Dönen Rate b) Josolu Saaç

161 53 Poblem 5.7 Aşağıa göülen es on ü b üee amaan uvalanmataı. Konnn evleceğ t açısal hı Ω Ω bulun. Not: Ω, onnn en smet esenne göe olan açısal hııı. Kes on:,, a α G h Ω g Poblem 5.8 W ağılığına ve bbnn anı tee aşağıa gb amaan uvalanmataı. llen ütles otu. He b teeen ee ugulanan uvvet hıının fonsonu olaa bulun. b B W A a A W B Poblem 5.9 Bslet teele aılan aşağıa enee eğe tee ço hılı önese (teen en esen etafına açısal hıı Ω) eseson hıı üşü olaca ve tee meenn aal vmes üçü olacağınan hemen hemen üşe alacatı. Bu teen aha avaş önüğünü abul en. Bu uuma eseson hıı aha üse oluğunan AB üşeen α gb b açı aa aılacatı. Haeet sıasına tee esennn ata oluğunu abul en. Velen b Ω çn α ı bulma amacıla α, Ω ve ğe aametele cnsnen b fae bulun. Bu faee olmasın. g B α İn uunluğu a A a a Ω Tee ütles teen çevesne onsante olmuş.

162 54 6 JİROSKOP VE UYGUAAAR Joso smet esen etafına hıla önen; önme esennn ensne ve bbne esenen b vea he s etafına önme sebestlğ olan b göveen (joso s) oluşu. Smet esennn sebestlğn sağlama çn gmbal aı velen b atalama üeneğ ullanılı. Şel 6. e aısı velen bu üenete üse b Ω hııla önen joso snn smet esen ç gmbal enlen b çeçeve aıa atalanı. İç gmbal e sn smet esenne b esenle ış gmbal enlen nc b çeçeve aıa atalıı. Dış gmbal se ç gmbal esenne b esen etafına efeans ssteme atalıı. Bu öel üene saesne joso sne ışaıan moment ugulanması mümün eğl. Bu üen smet esen bell b açısal önelmeen önüülen b joso snn efeans ssteme göe önelm sabt alı. Josolaın en öneml ugulama alanlaı navgason sstemle. Aşağıa ısımlaa josoun bu alana çeştl ugulamalaı velmete. Joso s ' ' Ω ' İç Gmbal Dış Gmbal Şel 6.

163 55 6. Josolu Gem Pusulası anet gem usulalaı geçe coğaf ue gösteme. Bu usulalaan alınan ön blgle gemnn onumuna bağlı olaa manet uele coğaf ue aasına açı aa üeltlme ounaı. Bu sounu otaan alıma çn. üılın başlaına coğaf ue gösteen josolu gem usulası gelştlmşt. Bu usulanın öellğ eçemnn önünü ve ünanın önüşünü hsseee başlangıçta hatalı b öne olsa ble bu hataı üeltee enn coğaf uee oğu öneltmes. Josolu usula bulunuğu gem ene uvalanma ve unuslama haeetle aaen ble ünanın önüşünü hsseebl ve hatalaını üeltee coğaf ue göste. 6.. Bast B Pusula Denemes Josolu usulaı ncelemeen önce Şel 6. e bast sstemn b usula olaa ullanılı ullanılamaacağını ve hatalaını üelt üeltemeeceğn nceleelm. Bu ssteme joso snn gmballele asıa alınığını ve smet esenne şele gb atalala asılan b ütle oluğunu üşünün. Sstemn avanışını aha olaca anlama çn bu sstem Şel 6.3 e gb ünanın evato çgs üene eleştlmş olsun. Başlangıçta josoun smet esen ata ve coğaf uee oğu se, gmballe olaısıla josoa ışaıan moment ugulanamaığınan ve asılı ütlenn ağılı uvvet e smet esenne b moment ugulamaacağınan, josoun önme esennn önü sabt alı ve usula coğaf ue göstemee evam ee. Joso s Ω H N (Kue) g m W mg Şel 6. Şel 6.3 ncelenğne eğe başlangıçta usulanın ucu (smet esen) ataan uaı oğu se (uaı öne hata) m ütlesnn ağılığının aatacağı moment olaısıla usulanın ucu batı önüne oğu aa, an batı önüne b hata oluşmaa başla. Eğe başlangıçta aşağı öne b hata vasa m ütlesnn ağılığının aatacağı moment oğu önüne b amaa ve bu öne hata oluşmasına sebe olu. Eğe usulanın oğu önüne b hatası vasa, üna önüçe bu hata uaı öne amaa ve bu öne hataa; batı

164 56 Düna Evato Joso s m W (Batı) Ω e N (Kue) E (Doğu) Şel 6.3 önüne b hata vasa bu hata aşağı öne amaa ve hataa önüşü. Hatalaın sebe oluğu amala aşağıa gb öetlenebl: Yuaı öne hata Batı önüne hata Aşağı öne hata Doğu önüne hata Batı önüne ama ve hata Aşağı öne ama ve hata Doğu önüne ama ve hata Yuaı öne ama ve hata Şel 6. e gb b usulaa başlangıçta b hata vasa bu hata üna önüçe Şel 6.4 e gb eğş. Zaman leleçe bu hata sıfılanmaığınan böle b usula gemlee ullanılama. Yuaı öne hata Batı önüne hata Doğu önüne hata Aşağı öne hata Şel 6.4

165 Hatalaını Düelten Josolu Gem Pusulası Şel 6.5 e josolu b gem usulasının aısı şemat olaa velmşt. Şeln otasına joso s () ço üse b hıa önmete. Dsn önme esen usulanın bes olu şele ağıın çne oğu olan ön ue göstemete. Joso s şele () ve (3) numaala göstelen b gmbal taımıla estelenmşt. Dış gmbal b telle (4) fantoma (5) asılıı. Eğe tele b buulma vasa b sevomoto fantomu ış gövee (6) göe önüee bu buulmaı alaşı ¼ eecenn altına tutmataı. Dış göve le gem latfomu aasına şele göülmeen nc b gmbal taımı (9) aha vaı. Fantoma asılı olan saaç oluna b ağılı (8) bulunmataı. Saaç üene çubu () ç gmbal üene b aığın (7) çnen geçmete. Bu aı ülemsel l a 7 8 W. Joso s 4. İnce buulma-ası tel 7. Dülemsel aı. İç gmbal 5. Fantom 8. Saaç ağılığı 3. Dış gmbal 6. Dış göve 9. Gmbal taımı. Çubu Şel 6.5 Josolu Gem Pusulası oluğunan ç gmbal ve joso teenn oluştuuğu gu ağıt ülem çne sağa ve sola ahatça haeet eeblmete, buna aşılı ağıt ülem çne ve ışına olan haeetle sınılamataı. Bu üen usula bes uaı vea aşağı oğu satığına saaç olu ağıt ülemnen çe ve ışaı oğu haeet etmete ve ağılığın (8) etsle çubu taafınan ç gmbale bu haeet üeltc öne b uvvet ugulanmataı. Bastl amacıla usulanın Şel 6.6 a gb evato üene oluğu, açısı aa uaı öne, ϕ açısı aa oğu önüne hatası oluğu abul elsn. Bu hatala olaısıla uaı ve oğu önlene açısal momentum bleşenle Şel 6.6 a göstelğ gb sıasıla H ve H ϕ olu. Düna Ω e hııla öneen t aman sona bu vetöle ne

166 58 Düna Evato H N (Kue) H ϕ Ω t e H ( ) H ( ϕ ϕ) Şel 6.6 şele gb H ( ) ve H ( ϕ ϕ) olu. Şele açıla ve Ω et açısının ço üçü oluğu ate alınısa uaı ve oğu önüne H ve H t bleşenle çn aşağıa faele bulunu: ( H ) uaı H ( )cosω t H ( ϕ ϕ) sn Ω t H H HϕΩ t e e e (6.) H H HΩ eϕ (6.) t uaı ( H ) ogu H ( )sn Ω t H ( ϕ ϕ) cosω t Hϕ HΩ t Hϕ e e e (6.3) H t ogu H ϕ HΩ (6.4) e Yuaı öne hatası olaısıla saaç olu a ağıt ülemnn çne oğu açısı aa salınacağınan joso sne aşağıa gb momentle ugulanı. batı Wl (6.5) asagı Wa (6.6) Denlemle (6.) ve (6.4) le velen H bleşenlen enlemle (6.5) ve (6.6) an ele elen anı öne momentlee eştleee Newton Kanunu ugulanısa aşağıa enlemle bulunu:

167 59 H HΩ eϕ Wa (6.7) H ϕ HΩ e Wl (6.8) Yuaıa enlem aasına ϕ o else ve temle üenlense cnsnen aşağıa feansel enlem bulunu. (Eğe ϕ ene o else ϕ cnsnen e anı feansel enlem bulunu.) Ω Wa Wl e Ω e (6.9) H H Bu enlem nc metebe sönümlü b sstem tanımlamataı. Yan aman geçtçe hata sönümlenee otaan almataı. Pusulanın Doğal Feansı Pusulanın sönümsü sstem oğal feansı c aşağıa gb: WlΩ e c Ω e H (6.) Josolu usulalaın eou lee anlatılaca olan sebeleen olaı 84 aaa aalanı. Dünanın ve usulanın eotlaı, oluğunan, π Ω e a/a (6.) 4 6 π c a/a (6.) 84 Ω c e 7. (6.3) a a, c Ωe 94 (6.4) olu. Bu üen enlem (6.) a Ω e tem hmal elebl ve usulanın oğal feansı çn aşağıa alaşı fae ullanılabl: WlΩ e c H (6.5)

168 6 Sönüm Oanı Denlem (6.9) an göülüğü gb sönüm atsaısı a ualığıla oantılı olaa ata. Eğe a ualığı sıfı olsaı enlemle (6.7) ve (6.8) aşağıa hal alıı. H HΩ ϕ (6.6) e H ϕ ( HΩ e Wl) (6.7) Böle b sstemn t anına ( ) gb b başlanğıç hatasına sah oluğunu ve ( ) oluğunu üşünelm. Denlemle (6.6) ve (6.7) en ϕ ve ϕ nün başlangıç eğe aşağıa gb bulunu. ϕ ( ) (6.8) Wl WlΩ ϕ (6.9) e ( ) Ω e Ω e H H Ω e Denlem (6.) ate alınısa enlem (6.9) aşağıa hal alı: c ϕ( ) (6.) Ω e Denlemle (6.6) ve (6.7) nn genel çöümü ntegason sabtle cnsnen, C sn c t C cosct (6.) ϕ C3 sn c t C4 cosct (6.) şelne. Yuaıa başlangıç oşullaı ugulanaa ntegason sabtle bulunusa, çöüm aşağıa gb ele el: cos c t (6.3) c ϕ snct (6.4) Ω e Denlemle (6.3) ve (6.4) aşağıa els enlemn sağla: ( / ) ( ϕ / ) c Ωe (6.5)

169 6 Denlem (6.3) en / 7. oluğu ate alınısa, bu elsn oluça assı c Ω e oluğu ve usulanın ve ϕ hatalaının Şel 6.7 e gb eğştğ, ama hç b aman sıfılanmaığı göülü. / ϕ / 7. Şel 6.7 a ualığının sıfı olmaığı uuma se enlem (6.9) a Wa b (6.6) H gb b sönüm sabt olu. Sstem t sönümlü aaca sönüm sabt se enlemn atsaılaınan aşağıa gb ele elebl: b WlΩ e (6.7) H Denlemle (6.6) ve (6.7) en sstemn sönüm oanı aşağıa gb: b Wa/ H a W a WlΩ e ζ b WlΩ HlΩ e e H l Ωe H (6.8) Denlemle (6.5) ve (6.3) ate alınısa, sönüm oanı aşağıa hale gel: a c a ζ 8.55 (6.9) l Ω l e Kt sönüm uumuna ζ oluğuna göe, sstem t sönümlü aaca a eğe aşağıa gb: l a (6.3) 8.55

170 Schule Aaı İl gem usulalaı 9 l ıllaa hmete gğne, bunlaın hatalı gösteeblğ, öellle gem ueoğu-günebatı önüne uvalanma haeet aaa geen usulanın tamamen ullanılama hale gelğ göülü. Bu hatalaın gemnn uvalanma haeet sıasına usulaa ugulanan anal vmeleen analanığı anlaşılı. amlan Schule usulanın eou 84 aaa aalanısa, usulaa ugulanan anal vmeleen analanan hatalaın otaan alacağını göste. Onan sona usulalaın eou 84 aaa aalanı. Bu aalama şlemne Schule aalaması aı vel. Bu aaın neenn anlama çn ue gösteen b usulaa ue önüne o gb b vme ugulanığını üşünün. Bu uuma ç gmbal taafınan saaç ütlesne (Şel 6.5) m o aa b uvvet ugulanı. Bu neenle joso sne ugulanan momentle se aşağıa gb: W l batı mo ol (6.3) g asagı W m oa oa (6.3) g Daha önce enlem (6.9) ele elen ullanılan ve enlemle (6.5) ve (6.6) le velen momentlee bu momentle e elenee Newton Kanunu aılısa, enlemle (6.7) ve (6.8) bu en uum çn aşağıa hale gel: W H HΩ e ϕ Wa oa (6.33) g W H ϕ HΩ l e W ol (6.34) g Yuaıa enlem aasına ϕ o else ve temle üenlense cnsnen aşağıa feansel enlem bulunu. Wa H Ω e WlΩ e WΩ el H gh o Wa o gh (6.35) Şm bu ssteme Şel 6.8 e gb basama bçmme b vme ugulanığını üşünün. Başlangıçta a ( ) () olsun. Denlem (6.35) e tem Şel 6.8 e sıçama anı ışına sıfı oluğunan, atısı hmal elebl. Ω e tem e enlem (6.4) olaısıla hmal elebl. Bu vasaımla altına nün başlangıç anına eğe enlem (6.35) en aşağıa gb bulunu: WΩ e l o ( ) o c (6.36) gh g amlan Schule (89-97)

171 63 Bu enlemen göülüğü gb nün başlangıç anına eğe negatft; an usulaa aşağı oğu b hata aataca öne. Pusulanın eüüne aa ol alığı abul elsn (Şel 6.9). Pusula saaçının en onumuna hala üşe uuma olması çn ge oğu salınması, an saaç en üşe üene olaca bçme usula besnn aşağı oğu ψ açısı aa önmes gee. t Şel 6.8 Dünanın aıçaı R se, Şel 6.9 un geometsnen aşağıa fae aılabl: a a, Rψ (6.37) Rψ (6.38) İvme ugulanığına usula saacının ama üşe uuma alması çn se ψ olması geetğnen, enlemle (6.36) ve (6.38) en aşağıa faele bulunu: o o c (6.39) R g a a, g c (6.4) R a a, T c π g (6.4) R Dünanın aıçaı 637 m oluğuna göe, usulanın anal vmeleen etlenmemes çn eounun aşağıa gb 84 aa olması gee: T c 84.4 aa (6.4)

172 64 Düna R ψ ψ Şel 6.9 Denlem (6.4) anı amana uunluğu ünanın aıçaı aa olan b bast saaçın feansıı. Böle b saacın otası ama ünanın meene olacağınan elem notasına ne aa anal vme ugulanısa ugulansın ama üşe alı. Bast b saaçta böle b uumun fsel olaa sağlanmasına man olmamasına aşın, uaıa analen göülüğü gb josolu b ssteme bu sağlanabl. 6. Josolu Saaç Şel 6. a b josolu saaç göülmete. Saaç eçem alanı çne üesel b elemle asılıı. Bastl çn saaç olunun ütles oluğu abul elecet. Saaç olunun ağıt ülem çne oğu atığı açı le, ağıt ülemne aallel ülem çne sola oğu atığı açı se ϕ le göstelmşt. Anale he açının a üçü oluğu abul elecet. Joso sabt ve üse b hıla önüğünen H vetöünün uunluğu sabtt. Joso snn ütles m, ağılığı W, ol uunluğu l. W Küesel elem F l ϕ g H Şel 6.

173 65 Elem notasına sağa oğu o vmes ugulanmataı. Bu vme sağlama çn eleme ugulanması geeen ata uvvet F olaa göstelmşt. Bu bölüme josolu saacın elem notasına anal vme ugulanığına üşeen aılmaması çn geeen şatlaın ne oluğu ve bu şatlaın fsel olaa sağlanı sağlanamaacağı ncelenecet. ve ϕ açılaı üçü oluğunan açısal momentum vetöünün üşe, sola oğu ve ağıt ülemne çe öne bleşenlenn ( H, H s, H ) büülüle aşağıa gb: H H (6.43) H s Hϕ (6.44) H H (6.45) Açısal momentumun tüevnn sola ve ağıt ülemnn çne oğu olan bleşenlen büülüle enlemle (6.44) ve (6.45) n tüevn alaa bulunu: Hϕ H s (6.46) H H (6.47) ve ϕ açılaı üçü oluğunan eleme üşe uvvet sstemn ağılığı W aaı. Sağa oğu olan F ata uvvet se bu öne Newton Kanununu ugulaaa aşağıa gb bulunu: F m( l ϕ) (6.48) o Ssteme eleme ugulanan uvvetlen sol ve çe önlee aattığı moment bleşenle, s Wl (6.49) F l Wlϕ m( l ϕ) l Wlϕ (6.5) o olu. Denlemle (6.46) ve (6.47) e velen H nn tüev bleşenle Newton Kanunu geeğ enlemle (6.49) ve (6.5) e velen anı önlee moment bleşenlene eştlense aşağıa enlemle ele el: H ϕ Wl (6.5) H m( o l ϕ) l Wlϕ (6.5) Yuaıa enlem aasına o else, H Wl ml ϕ Wlϕ ml o (6.53)

174 66 bulunu. Joso s ço büü b hıla önüğü çn H ço büütü. Bu üen uaıa enleme ϕ temn atsaısına m l tem hmal elebl ve enlem geel üenlemelele, Wl mwl ϕ ϕ o H H (6.54) haln alı. Bu enleme ϕ nn atsaısı sstemn oğal feansının aesne eşt olu, oğal feans aşağıa gb: Wl n (6.55) H Başlangıç anına ϕ en eleme o vmes ugulanısa, ϕ nün başlangıçta vmes enlem (6.54) en bulunabl: mwl m Wl ϕ ( ) o o H (6.56) W H a a enlem (6.55) ate alınısa aşağıa fae ele el: ϕ () n o g (6.57) Eleme vme ugulanığına saacın üşeen aılmaması çn sağlanması geeen şat Şel 6.9 an, ϕ ( ) ψ o (6.58) R gb. Denlem (6.57) ve (6.58) n sağ taaflaı eştlense, g n (6.59) R olu. Bu feansa aşılı gelen eot 84 aaı. Denlem (6.55) ve (6.59) ullanılısa, saacın üşeen aılmaması çn sağlanması geeen şat aşağıa gb e aılabl. Wl H g R (6.6) R ço büü oluğunan bu enlemn sağ taafı ço üçü b saıı. Buna ağmen enlemn sol taafına e alan H tem önme hıını atıaa ço büü eğele alableceğnen, W, l ve H aametele ugun seçlee fsel otama enlem (6.6) le tanımlanan şatın sağlanması mümünü.

175 Hı Josou Roet ve enaltı gb aaçlaa ullanılan atalet navgason sstemle üç ana bleşenen oluşu: ) atalet efeans sstemne göe önelm sabt tutulan b latfom (enaltılaa ata latfom), ) sabt latfom (enaltıa ata latfom) üene monte elmş üse çöülülü ve oğululu vmeölçele, ) vmeölçe çıtılaının ntegaln alaa aacın hı ve onumunu veen b blgsaa. Atalet navgason sstemlene sabt latfomu (a a ata latfom) evam etteblme çn aısı bastçe Şel 6. e velmş olan hı josounan aalanılı. Hı josou b sebestl eecesne sah b sstem. Joso s B çeçevesne atalanmış olu, ' esen etafına ço üse b Ω hııla önmete. B çeçeves se ' esen etafına C çeçevesne atalanmıştı. C çeçeves se ' esen etafına atalanmıştı. B ve C çeçevele aasına ' esen bounca esneen b K aı vaı. Ya sebest boa en ', ' ve ' esenle bbne t. Hı josounun gş ' esen etafına ugulanan gb b açısal hıı. Çıış se ' esennn açısal onum eğşlğ. (' esen etafına gb sabt b açısal hı ugulanığına B çeçevesnn ' esen esen etafına önme açısı 'nın uağan eğe ne olu?) ' esennn açısal onum eğşlğ üse çöünülülü ve oğululu b tansüsele ölçülü. Hı josounun monte elğ latfom tansüse çıışı sıfı olaca şele b sevo sstemle önüülü. Atalet navgasonunun ua aaçlaına ugulamasına latfom üene bbne önlee üç tane hı josou bulunu. Platfomun ılılaa göe önelmn sabt tutma çn bütün esenlen tansüse çıışlaı sıfı olca şele latfom önüülü. Denaltılaa se ata b latfom bulunu ve bu latfomun atalığını evam ettme çn hı josounan aalanılı. e ' ' Çıış esen K Ω ' A B C Gş esen Şel 6. Hı Josou

176 68 PROBEER Poblem 6. Aşağıa göülen saacın ütles ol bounca ügün olaa ağılmıştı. Saacın elem notası O le ağılı mee G aasına ualı a aaı. Saaç başlangıçta üşe onumaen elem notasına ata öne o gb b vme ugulanığına saacın üşe onuma alması çn eounun 84 aa olması geetğn gösten. Fsel b ssteme a ualığını üçültee bu eoun aalanablmes mümün müü? a G O o g, G Poblem 6. Şel 6. e göülen hı josounun ' esenne gb sabt b açısal hı ugulanığına B çeçevesnn ' esen esen etafına önme açısı 'nın uağan eğe ne olu? Poblem 6.3 B enaltı lmana em atmış uumaı. Bu enaltının atalet navgason sstemne ata latfom tam olaa ata eğl ve t a atalıtan ϕ o açısı aa falıı. Bu hatanın vmeölçe taafınan nasıl algılanacağını, latfomu ata tutmaa çalışan sevo sstemnn nasıl avanacağını ate alaa, navgason sstemnn çıtı olaa veeceğ gem onumunun nasıl eğşeceğn gösten. Poblem 6.4 Smt şelne b ua stasonu alancı b eçem aatma çn smet esen etafına Ω sabt açısal hııla önüülmete. Bu stasona alancı üşe etafına salınan, şele gb bast b saaç oluğunu üşünün. Bu saacın ol uunluğu l, ütles m olsun. Bu saaç üşe onumaen elem notasına teğetsel öne (alancı ata önüne) gb b vme ugulanığına, üşeen aılmaması çn ugun b o

177 69 Schule feansı va mıı? Tahmne bulunmaın; cevabınıı şellele ve matematsel olaa açılaın. R Ω m l Yalancı tavan Yalancı emn

178 7 7 JİROSKOPİK ETKİER ATNDAKİ ROTORARN DİNAİĞİ Atalet moment büü olan otola esne mlle üene monte elee önüülüğüne göülen avanış, notasal ütle taşıan mllen önüülmes uumunan ço falıı. Bene avanış bçmle esne atalaa önen jt mllee monte elmş atalet moment büü olan otolaa a göülü. Bu otolaın avanış bçmlenn önceen blnmes jenaatö, tübn, büü elet motolaı v.b. manelen tasaımı ve şletm sıasına aşılaşılan tteşm oblemlenn çöümü çn öneml. 7. Temel Roto Poblem Başlangıçta ncelenece olan temel oblem Şel 7. e göülmete. Yeçem otu. Elast b ml b ucunan sütünmes olaa atalanmıştı. Yatala ee jt olaa bağlıı. ln ğe ucuna esenel smete sah b oto göves vaı. Roto gövesnn ağılı mee G le göstelmşt. Rotoun atalet momentle ağılı meenen geçen asal esenlee göe tanımlı olu, smet esenne göe atalet moment, çaa göe atalet moment se. Rotoun en smet esen etafına açısal hıı. Bu sstemn haeet sıasına smet esen e ata esen etafına önebl. Smet esennn ata esen etafına atığı bu önme haeetne olanım en. Smet esennn ata esen etafına açısal hıı, an olanım açısal hıı le göstelmşt. Sstemn nam haeet sıasına hehang b ana gövenn ağılı meenn ata esennen ualığı, mln uç notasına gövenn smet esennn ata esenle atığı açı se le göstelmşt. Yaılaca olan analn amacı ve büülüle aasına lş bulma; sstemn aşıı tteşmne ol açablece şatlaı bellemet. Yuaıa tanımlanan temel oblemn çöümü sıasına gelştlece olan öntemle aha sona falı bçme atalanmış esne mll otola, esne atalaa monte elmş jt mll otola, asmet esne mllee monte elmş smet otola ve esne smet mllee monte elmş asmet otola çn çöümle ele elmesne e ullanılablecet. Yata esen Yatala Elast ml G Roto göves Şel 7.

179 7 7.. Elast l Denlemle Buaa mln esnemelenn üçü oluğu ve bu üen lnee elastste teosnn geçel oluğu abul elecet. Yan sueoson ensb geçel olu, mle ugulanan moment vea uvvet olamalaının besel olaa sebe olulaı aal esnemele () ve açısal esnemele ( ) tolanaa, bu olamala blte ugulanığına otaa çıaca esnemele bulunabl. Öneğn Şel 6. e mln ucuna b moment ve F uvvet ugulanığına tolam aal ve açısal esnemele aşağıa enlemleen bulunabl: α F (7.) α α F α (7.) Yata esen Yatala F Elast ml Şel 7. Denlemle (7.) ve (7.) e geçen α mn bçmne temlee et atsaılaı a a awell atsaılaı en. α mn, n notasına ugulanan b bm olamanın (uvvet vea moment) m notasına sebe oluğu esneme mtaıı. Buaa esnemeen asıt, saece ş aılmasına sebe olan esneme. awell n Kaşıtlı Teoem ne göe aşağıa eştl geçel: α mn α nm (7.3) awell n Kaşıtlı Teoem Şel 7.3 e göülen etence estelenmş elast gövenn ve olaa göstelen notasına S ve S uvvet olamalaını ugulaaa anıtlanabl. Bunun çn önce S uvvet gövee ugulansın. Bunun sonucuna notasına esneme δ, notasına esneme δ olsun. Bu sıaa notasına hehang S S Şel 7.3

180 7 S S α W Sδ αs δ Şel 7.4 δ b uvvet olmaığınan bu notaa b ş aılma. Csm elast oluğunan notasına esneme Şel 7.4 e gb lnee olaa ata. Bu sıaa aılan ş aşağıa gb ve Şel 7.4 e δ esenle eğ aasına alana eştt. δ S W Sδ Sα S α S (7.4) Şm e gövee S uvvet ugulanıoen S uvvet e ugulansın. S uvvet ugulanığına notasına esnemenn gafğ Şel 7.4 ü anıı. Anca α n en α alı ve eğşenlen nsle olu. Dolaısıla S uvvet ugulanıen notasına aılan ş aşağıa gb: W S ( α S ) α S (7.5) S uvvet ugulanıen notasına S uvvet e ugulanmata oluğunan, bu uvvet taafınan notasına aılan ş se aşağıa gb: W S S ( α S) α S S (7.6) Elast gövee aılan şle göve taafınan otansel enej olaa eolanı. He uvvet e ugulanıtan sona göve taafınan eolanan tolam otansel enej enlemle (7.4), (7.5) ve (7.6) a velen şlen tolamı aaı: E α S α S αss (7.7) Şm e gövee uvvet ugulama şlemn önce S, aha sona S vaen S ugulaaa tea eelm. Bu şlem sıasına S uvvetnn notasına atığı ş, W S ( α S ) α S (7.8)

181 73 S uvvetnn notasına atığı ş, δ S W Sδ Sα S α S (7.9) S uvvet ugulanıen S nn notasına atığı ş se aşağıa gb: W S S ( α S) α S S (7.) Bu şlem sonuna elast göve taafınan eolanan tolam otansel enej, enlemle (7.8), (7.9) ve (7.) a ş temlenn tolamıı: E α S α S α SS (7.) Sonuç olaa uvvetlen ugulama sıalaı falı olmala blte, he şleme ulaşılan son uumla anıı. Elast göve ounumlu b eleman oluğunan eolaığı otansel enej şlemn aılığı sıaan bağımsıı ve saece son uuma bağlıı. Bu üen enlem (7.7) le velen E ve enlem (7.) le velen E otansel enejle bbne eştt. Bu temle eştlense aşağıa sonuca vaılı: α α (7.) Şel 7. e ssteme ve notalaı anı ee an mln (şn) uç notasınaı. F uvvet notasına olama, moment notasına olama, F nn ş amasına sebe olan esnemes notasına esneme, nn ş amasına sebe olan esnemes se notasına esneme. Et atsaılaı çeştl şle, geometle ve bağlantı uumlaı çn elastste ve muavemet onusuna talaa bulunabl. Şel 7. e gb b anaste ml (ş) çn esneme enlemle ve et atsaılaı Çelge 7. e öetlenmşt. 7.. Esne le Otutulmuş Rotolaın Dnamğ Şm Şel 7. e temel obleme ge önelm. Poblemn açısal hı vetöle Şel 7.5a a velmşt. Şele açısı üçü oluğunan sn ve cos alınabl. Şel 7.5a a bleşenleen ve esenle önlene hı bleşenle ele elmş ve Şel 7.5b e velmşt. Rotoun açısal hıı Ω, mln ata esen etafına olanım açısal hıı se ı. (a) Şel 7.5 Ω cos (b)

182 74 Çelge 7. E F 3 Fl (A.) 3E Y Fl (A.) E Y l 3 l α 3E Y α l E Y l E l (A.3) EY (A.4) α l E Y α l E Y E l Y F ve blte ugulanığına: α F α E Y : Young moülü. α α F : Kşn est atalet moment. Şel 7.5b e göülen asal önlee hı bleşenle bu önlee at atalet momentlele çaılısa H vetöünün asal önlee bleşenle Şel 7.6a a gb bulunu. Bunlaan a ata esenne aalel ve (aal) önlee açısal momentum bleşenle (sıasıla H e ve H ) Şel 7.6b e gb ele el. Dolanım haeet sıasına Şel 7.6b e vetö agamı ata esen etafına açısal hıı le öne. Bu önme haeet sıasına H e bleşennn önü ve bou eğşmeğnen H ne b atısı otu. H nn se önü eğş ve ucu ağıt ülem çne oğu ge. H nn büülüğü aşağıa gb: H Ω (7.3) t H e Ω H ( t t) H (t) H (a) (b) Şel 7.6

183 75 t sües çne H nn önme açısı t aaı. H se ağıın çne oğu ve H H t büülüğüne. Dolaısıla, aşağıa enlem aılabl: H t çe H ( Ω ) (7.4) Newton Kanunu geeğ enlem (7.4) ün otoa ugulanan çe öne moment bleşenne eşt olması geel. Bu moment otoa ml taafınan ugulanı. Bu momente eşt ve tes öne b moment se oto taafınan mle ugulanığınan, otoun mle ugulaığı moment çn aşağıa enlem aılabl: çe Ω ) (7.5) ( Dolanım haeet sıasına otoun ağılı meenn aal öne ata esenne oğu vmes aaı. Rotoun tolam ütles m se, ml taafınan otoa anı öne m aa b uvvet ugulanı. Bu uvvete eşt faat tes öne, F m (7.6) gb b uvvet se oto taafınan mle ugulanı. Roto taafınan mle ugulanan moment ve uvvet Şel 7.7 e göülmete. Yata esen Yatala m ( Ω ) Şel 7.7 el: Şel 7.7 e ml çn enlemle (7.) ve (7.) aılısa, aşağıa enlemle ele ( m ) α [ ( Ω )] α (7.7) ( m ) α [ ( Ω )] α (7.8) a a, [ α ] [ α ( Ω )] m (7.9) [ α ] [ α ( Ω ) ] m (7.)

184 76 Yuaıa enlem homojen. Bu üen bu enlemleen sıfıan falı b ve çöümünün bulunablmes çn atsaılaının etemnantının sıfı olması geel. Denlemlen atsaılaının etemnantının sıfıa eştlenmes aşağıa enlem ve: a a, 3 [ m ][ α ( Ω ) ] α m ( Ω ) α (7.) 4 3 [ m α α α )] [ m ( α α α )] Ω [ α m α ] [ α ] Ω ( (7.) Velen b Ω oto hıına aşılı gelen olanım hıı enlem (7.) en aşağıa aametele cnsnen çöülebl: f Ω, m,,, α, α, ) (7.3) ( α Denlem (7.) aha bast b hale getme çn aşağıa boutsu temle tanımlaalım: Boutsu olanım feansı: F mα (7.4) Boutsu oto hıı: S Ω mα (7.5) Ds ets: Elastste atsaısı: Atalet momentle oanı: D α (7.6) mα α α α α α E (7.7) (7.8) el: Yuaıa boutsu temle enlem (7.) e ullanılısa aşağıa enlem ele 3 D S F 4 SF F F (7.9) DE E DE Bu enlemen S aşağıa gb bulunabl: S F D F DE DE 3 F F E 4 (7.3) Denlem (7.3) ullanılaa F e aşı S eğs çlse Şel 7.8 ene bene b gaf ele el. Denlem (7.3) a F nn şaet eğştğne S nn şaet e eğşeceğnen

185 77 bu gafte eğle ojne göe smett. Yata asemtotla enlem (7.3) a aılaa, an aaı sıfıa eştleee bulunu: S 3 F F (7.3) E a a, F F (7.3) E,3 ± Gafte eğlen üşe esen estğ A, B, A' ve B' notalaı enlem (7.3) an S aılaa bulunabl. Bu eğele mln önmeğ uuma oğal feenslaıı. F B A A' tan E E S B' Şel 7.8

186 78 Gafte eğ asemtotun eğm aşağıa enlemen bulunabl: lm F S F F lm F Yan asemtot enlem aşağıa gb: se Kt Hıla 4 D F DE DE 4 F F E (7.33) F S (7.34) 45, < se < 45, > se > 45 olu. Not: Gövelen şellene göe nn eğe aşağıa gb eğş: < : Çubuğu anıan göve. : Küe, h. 866D olan sln. > : Ds anıan göve. : İnce s > : ümün eğl. Rotoun önme hıı olanım hıına eşt oluğuna sstem eonansa ge ve t uum otaa çıa. Yan t hı uumuna S F olu. Kt hılaı Şel 7.8 e çlen 45 eğml oğunun eğle estğ notala belle. Eğ asemtotun eğm 45 en üçüse bu oğu eğnn olunu eseceğnen t hı; eğ asemtotun eğm 45 en büüse, oğu eğnn b olunu eseceğnen b t hı vaı. Yan çubuğu anıan otoa sah mllen t hıı (Şel 7.9a), s anıan otoa sah mllen se b t hıı vaı (Şel 7.9b). Koonat ülemnn üçüncü çeeğne t hıla, ojne göe bnc çeeğne hılaın smetğ olu, otoun tes öne önüğü uuma att. F F < 45 > 45 S S (a) (b) Şel 7.9

187 79 Kt hılaın eğelen bulma çn enlem (7.9) a aşağıa enlem ele el: F S ene oulusa 4 4 D S S S S (7.35) DE E DE a a, 4 D ( ) S S (7.36) DE E DE a a, 4 D D S ( ) ( ) S (7.37) DE DE DE( ) a a, 4 D( ) S ( ) S (7.38) DE DE( ) Denlem (7.38) aamete cnsnen aılabl. Bunlaan bs E ğe se D( ). Eğe, X α α ( ) D( ) mα (7.39) mα olaa tanımlanısa enlem aşağıa hal alı: 4 X S S (7.4) XE XE S e aşı X eğsn çme çn enlem (7.4) an S çöülüse, S X X ± (7.4) XE XE XE ele el. Yuaıa enleme X en S oluğunan asemtotlaınan b. S esen gafğn Denlem (7.4) nın taafı XE le çaılı X çöülüse, S X (7.4) S ( ES )

188 8 ele el. Bu enleme S a a S E en X oluğunan, hem X esen hem e bu esene aalel ve esenen E ualıa oğu eğnn asemtotlaıı. Aıca X en S olu. S e aşı X eğsnn genel göünümü Şel 7. a gb. S esennn sağ taafına X > a a > olu, gafğn bu ısmı çubuğu anıan otola çn. S esennn sol taafına se X < a a < olu, gafğn bu taafı s anıan otola çn. Velen b X eğe çn bu gaften, çubuğu anıan otola çn t hı, s anıan otola çn se b t hı bulunu. S Ω mα B t hı E Dsle < ) ( İ t hı Çubula > ) ( α X ( ) mα Şel Esne le Otutulmuş Rotolaın Dnamğ Falı l ontaj Bçmlene Genelleştme Bölüm 7.. e velen analn sonuçlaı, montaj bçm Şel 7. enen falı olan ml-oto oblemlene e ugulanabl. Temel fa ncelenen montaj bçmne aşılı gelen et atsaılaını ( α, α, α ) belleme ve enlemlee bu atsaılaı ullanmatı. Bu bölüme öne olaa Şel 7. e gb genel b sstem çn et atsaılaı ve E aametes (elastste atsaısı) bellenecet. b a a b l Şel 7.

189 8 Bu obleme oto taafınan mle ugulanan uvvet ve moment anen b önce bölüme Şelle 7.5, 7.6 ve enlemle (7.3)-(7.6) a gb bulunabl. Roto taafınan mle ugulananan uvvete ısaca P, momente se elm. Saece P uvvetnn mle ugulanığı uum Şel 7. e şemat olaa göstelmşt. l üene otoun P a F P l b δ a α b F P l Şel 7. bulunuğu notanın ata esennen esneme mtaı δ, anı notaa mln ata esenle atığı açı α ı. α ve α et atsaılaı aşağıa gb tanımlanı: δ α P α α (7.43) P ln ucuna atala taafınan mle ugulanan uvvetle üşe öne uvvet enges ve moment enges enlemlen aaa olaca çöülebl. Bunla aşağıa gb: b F P l a F P (7.44) l B an çn P uvvetnn mle ugulanığı notanın sağına ısmı Şel 7.3 e gb aı olaa ele alalım. P uvvetnn oluğu ee san uvaan α açısıla a b uunluğuna b ş çımata ve P büülüğüne b uvvet bu şn ucunu δ α a l aa esnetmete. Ugulanan bu uvvet ve esneme Çelge 7. e (A.) elemne ene oulusa, aşağıa fae bulunu: b 3 P a a l δ α (7.45) 3E Y a α b F P l Şel 7.3 α a δ

190 8 Şel 7.4 e şn sol taafı bene bçme moellenmşt. Bu uuma şn ucu a P uvvet taafınan δ α b aa esnetlmete. Bu uvvet ve esneme Çelge 7. e l (A.) elemne ene oulusa, aşağıa fae bulunu: a 3 P b b l δ α (7.46) 3E Y b δ α b a P l α Şel 7.4 Denlemle (7.45) ve (7.46) a blnmeenle δ ve α ı. Bu enlemen δ ve α aşağıa gb ele el: δ Pa b 3E l Y Pab( b a) α (7.47) 3E l Y Denlemle (7.43) ve (7.47) en α ve α et atsaılaı bulunu: α a b 3E l Y ab( b a) α (7.48) 3E l Y Şm uaıa öntem, mle P uvvet ene b moment ugulaaa tea eelm (Şel 7.5). l üene otoun bulunuğu notanın ata esennen esneme mtaı δ, anı notaa mln ata esenle atığı açı α ı. α et atsaısının tanımı aşağıa gb: α α (7.49) Bu uum çn üşe öne uvvet enges ve moment enges enlemle aılısa, mln ucuna atala taafınan mle ugulanan uvvetle aşağıa gb ele el: F a b F (7.5) a b

191 83 F a b F a b b δ α a Şel 7.5 Şel 7.6 a şn (mln) sağ taafı göülmete. Duvaan α açısıla çıan b şn ucuna ( a b) uvvet ugulanmata ve bunun etsle şn ucu aşağı oğu αa δ aa esnemete. Bu uvvet ve esneme Çelge 7. e (A.) elemne ene oulaa aşağıa fae bulunu: 3 a a b a α δ (7.5) 3E Y a α a α δ F a b Şel 7.6 Şel 7.7 e se moment ugulanan şn sol taafı göülmete. Bu uuma se uvaan α açısıla çıan b şn ucuna ( a b) uvvet ugulanmata ve bunun etsle şn ucu uaı oğu α b δ aa esnemete. Bu eğele Çelge 7. e (A.) elemne ene ouluğuna aşağıa fae bulunu: 3 b a b b α δ (7.5) 3E Y b δ α b a b α Şel 7.6

192 84 Denlemle (7.5) ve (7.5) en α çöülüse, 3 3 ( a b ) α (7.53) 3E l Y bulunu. Denlemle (7.49) ve (7.53) en α aşağıa gb bulunu. 3 3 a b α (7.54) 3E l Y Denlemle (7.48) ve (7.54) le tanımlanan et atsaılaı enlem (7.7) e ene oulusa elastste atsaısı E aşağıa hale gel: a a, αα α E α α α a b ( b a) (3EY l)(3ey l 3 α α (3E l) a b ( a b 3 ) Y ) (7.55) a ( b a) l ( l a) l l E (7.56) a b a ( l a) a a l l Denlem (7.56) an göülüğü gb, E saece ( a l) aametesnn b fonsonuu. Şel 7.7 e E nn ( a l) e göe eğşm göülmete. Smet olaısıla gafte ( a l) nn saece.5 e aa olan eğele velmşt. Göülüğü gb E nn eğe ama sıfı le aasınaı. 7. Esne le Otutulmuş Smet Olmaan Rotolaın Dnamğ Bölüm 7.. e otoun smet oluğu abul elmşt. Gövenn ml esen etafına atalet momentne enlmşt. Şel 7.5 ve 7.6 a vetö agamlaınan açıça göüleceğ gb atalet momentne sah esen se, ml esenne faat ml ve ata esennn oluştuuğu ülem üene alınmıştı. Roto göves esenel smete sah

193 85..8 E a /l Şel 7.7 oluğunan gövenn açısal onumu bu üleme göe nasıl olusa olsun bu atalet moment eğşmemete. Kt hıa S F a a Ω olu, ı. Kt hıa önen b otoa Şel 7.8 e gb uç taafınan baılısa, otoun ata esenne he anı taafının batığı anlaşılı. Öneğn, oto A onumunaen ata esenne baan taafına şele göülüğü gb sah b nota şaetlenmş olsun. Roto A onumunan B onumuna gelğne bu sah nota hala ata esen taafına olu. A Ω B Yata Esen Şel 7.8 Şm otoun Şel 7.9 a gb asmet oluğunu abul eelm. Bu göve asal esenlenen b üene mle otutulmuş olsun. Gövenn ml esen etafıa atalet moment ola atalet moment an. Şel 7.9 a gövenn ğe asal esen etafına atalet momentle se bbnen falıı. Bunlaan üçü olanına olanına ma elm. mn, büü

194 86 mn ma l Şel 7.9 Şm bu asmet gövee, t hıa öneen Şel 7.8 ene bene bçme otoun oluğu uçtan baalım. Şel 7. e otoun açısal onumuna göe falı öel uum göülmete. Şel 7.a a atalet moment olan asal esen aal öne, Şel 7.b e se atalet moment mn olan asal esen aal öne. Şel 7. e se bu uumlaa aşılı gelen açısal momentum vetö agamlaı göülmete. Bu agamla aha önce smet göve çn çlen Şel 7.6 a agamlala aşılaştıılığına (buaa t hı uumu ncelenğnen Şel 7.6 a Ω alını.) aalaına te faın Şel 7.6 a nn ene Şel 7.a a ma, Şel 7.b e se n ullanılmış olmasıı. Dolaısıla, aha önce t hıla lgl olaa ele elen mn bütün enlemle ve Şel 7. bu en uumla çn e geçel. Saece ncelenen uuma göe ma a a mn ma n ullanılması etel. Şm e Şel 7. e genel hal ele alalım. Bu uuma eğene sah asal esenleen hç b aal öne eğl. ma ene ma a a mn eğene sah asal esen aal önle b α açısı amataı. Sstem t hıa sah oluğunan Ω ve olu, oto ve ml blte hııla önmete. İl olaa vetöünün asal önlee bleşenlen bulalım. Önce vetöünü Şel 7.3a a gb ml esen önüne (ola ön) / cos ve ata esenne ülem çne aal öne tan olaa bleşene aıalım. Daha sona a aal öne bleşenn Şel 7.3b e gb ve mn eğelene sah asal esen önlene bleşenlee aıalım. Asal önlee açısal hı bleşenle bu önle etafına atalet momentlele çaılısa, açısal momentum vetöünün asal önlee bleşenle ele el. Şel 7.3a ve Şel 7.3b e bu şele bulunan açısal momentum bleşenle aantele çne velmşt. H vetöünün ata esen önüne olan bleşenne saece ola öne bleşen atıa bulunu. Dolanım haeet sıasına ata esen önüne bleşenn önü ve bou eğşmeğnen, bunun H ne b atısı otu. H vetöünün ata esenne olan üleme bleşenle se Şel 7.3c e gb. Dolanım haeet sıasına Şel 7.3c e vetö agamı ata esenne olan ülem üene hııla öne. Dagama vetö bleşenlenn bou eğşme. Faat önme sıasına önle eğştğnen Şel 7.4a a göülen H bleşenlene sebe olula. Bu bleşenle Şel 7.4b e gb öne tolaalım. Bu bleşenleen aal öne ma

195 87 Ω A Ω A B B Yata Esen Yata Esen (a) (b) Şel 7. ma mn Yata esen Yata esen l l (a) Şel 7. (b) mn esen Ω Yata Esen α ma esen Şel 7.

196 88 ( ) Yata esen mn esen ( ) Yata Esen snα α cosα ( ma cosα ) ma esen mn snα l mn snα Yata Esen (b) α ma cosα (a) (c) Şel 7.3 ma cosα mn sn α Yata Esen sn α cos α ( mn ma ) α Yata Esen (a) ( ma cos (b) α mn sn α ) Şel 7.4 olanı (aşağı oğu olan) Newton Kanunu geeğ ml taafınan otoa bu öne ugulanan momente eştt: ( cos α sn α ) (7.57) ma mn Yuaıa enlem aha önce smet oto çn ele elmş olan enlem (7.5) n aşıtıı. Anca buaa t hıa uum ncelenğnen, enlem aasına aşılaştıma enlem (7.5) e Ω alaa, an ( ) enlemle çe ( aılmalıı. Bu fae le enlem (7.57) aşılaştıılığına, aha önce ) temnn en enlem (7.57) e ( cos α sn α ) temnn almış oluğu göülü. ma Yan smet otoun t hıını veen enlemlee ) temnn ene mn (

197 89 ( ma cos α mn sn α ) oaa asmet gövenn t hıını veen enlemle aılabl. Daha önce Şel 7. a velen gaf, ata esennne ) temn ( ma cos α mn ( sn α ) le eğştee asmet oto çn e ullanılabl (Şel 7.5). Öneğn, ata esenn eğe ve buna aşılı gelen t hıla α ve α 9 çn Şel 7.5 e velğ gb olsun. Roto öneen α açısı ve 9 eecele aasına hehang b eğee olableceğnen bu hı aasına bütün hıla a t hıı. Dolaısıla, asmet otolaa bell t hı eğele ene t hı bölgele göülü. Asmet otoun mle monte elğ asal esene bağlı olaa aşağıa üç falı uumla aşılaşılması mümünü:. Ds anıan oto > > ) : ( ma mn Bu uuma oto avan, s anıan b şele saht. α ve α 9 çn t hılaın s e Şel 7.5 e oluğu gb üşe esenn sol taafınaı. Bunun sonucu b tane aası hı bölges vaı. S Ω mα α 9 çn t hı. α çn t hı. Kt hı bölges. α ( ma cos α mn sn α) mα Şel 7.5 Ds anıan asmet oto > > ). ( ma mn. Çubuğu anıan oto > > ) : ( ma mn Bu uuma oto nce, çubuğu anıan b şele saht. α ve α 9 çn t hılaın s e Şel 7.6 a oluğu gb üşe esenn sağ taafınaı. Bunun sonucu tane aası hı bölges vaı.. Hb oto > > ) ( ma mn Bu uuma oto, ota atalet moment eğene sah asal esen etafına önüülmete. α çn t hı üşe esenn sağ taafına, α 9 çn t hı se üşe esenn solunaı. Şel 7.7 e oluğu gb neeese bütün hılaı çne alan tane ço genş t hı bölges vaı. Yuaıa bölge sonsu hıa aa olan hılaı çne alı.

198 9 Bölüm 5.5. e, sebest b göve çn ota atalet momentne sah esenn aası önme esen oluğu göülmüştü. Bu bölümün sonuçlaı se, gövelen ota atalet momentne sah esenle etafına b mle monte elee e önüülmemes geetğn göstemete. S Ω mα α çn t hıla. α 9 çn t hıla Kt hı bölges. α ( ma cos α mn sn α) mα Şel 7.6 Ds anıan asmet oto > > ) ( ma mn Kt hı bölges. S Ω mα α 9 çn t hıla. Kt hı bölges. Şel 7.7 Hb asmet oto > > ) α çn t hıla Kt hı bölges. α ( ma cos α mn sn α) mα ( ma mn NOT: Eğe smet b oto smet olmaan b mle monte elee önüülüse et atsaılaının eğele eğş önlee esnemele çn falı olacağınan uaıane bene aası bölgele göülü. Bu tü sstemle çn e bene b anal ullanılı.

199 9 PROBEER Poblem 7. ütlesne ve R aıçaına muntaam ütle ağılımlı nce b s ağılısı ve jt b mle otutulmuştu. l se a ve a ualılaına bulunan ve aal alaıla asıa alınmıştı. Dse aın olan a aha set olu a sabtle aasına, a a gb b lş vaı. l Ω hııla önmete. Bu sstem çn a a aşı Ω a gafğn ele en. Bu tem aasına a b aametes cnsnen b fonson bulun. Kt hıla nele? Not: a ( ) / b ( a a R 4 ) (aal), R (aal) a a Poblem 7. l uunluğuna ve E eğe bell b ml şele gb een atalanmıştı. Yatala mln açısını eğştmesne man olmamataı; atalanan notala se hehang b öne en eğştmemete. ln ucuna eğe blnen nce b s monte elmşt. 3 ml Dsn ütles m. Boutsu t hı K ı ( K ) s ets D nn ( D ) E ml fonsonu olaa bulun. l l E,

200 9 Poblem 7.3 Aşağıa ssteme ml jt ve ütles. A ve B e atala aal öne K sabtl alala asıa alınmıştı. Sstemn t hı/hılaını bulun. Küesel ata Ds:, A (to K (aal) K (aal) B (to l 3 l 3 l 3 Poblem 7.4 E sabtl ve luunluğuna b ml ucunan atalanmıştı. ln ucuna ütles ve amet atalet moment olan nce b s monte elmşt. Dsn bulunuğu e ata notasına ço aın olu ata hasına oluğunu abul elebl; olaısıla sn ağılı meenn enn eğşmeğn, ama sn ata esenne göe açısının eğşebleceğn abul en. a) Dsn açısal hıı Ω le olanım hıı aasına b fae ele en. Bu fae aşağıa tanımlaı velen K ve R temle cnsnen aın. K E l R Ω E l b) ln t hıını/hılaını bulun. l E İnce s

201 93 Poblem 7.5 B elet motou eçem alanı çne şele gb b O notasınan üesel atalala asıa alınmıştı. Roto el açısal hııla önmete. Ssteme oto ışına elemanla ütles. Ağılı mee G. Roto esen üşeen üçü açılala aılmataı. Roto esennn üşe etafına olanım açısal hıı çn b fae bulun. Sstemn t hıını/hılaını bulun. O Roto:,, α G l g el Poblem 7.6 Aşağıa ssteme ml jt ve ütles. A a atala aal öne K sabtl alala asıa alınmıştı. Dolanım hııla ml hıı aasına lş bulun. Sstemn t hıını/hılaını bulun. Çubu ve s çn t hı saılaı nasılı? Küesel ata Roto:,, A (to K (aal) l l

202 94 Poblem 7.7 Aşağıa ssteme ml jt ve ütles. A ve B e atala aal öne K sabtl alala asıa alınmıştı. Sstemn t hıını/hılaını bulun. A (to K (aal) K (aal) B (to Ds:, l l Poblem 7.8 Aşağıa ssteme ml jt ve ütles. A a atala aal öne K sabtl alala asıa alınmıştı. Dolanım hııla ml hıı aasına lş bulun. Sstemn t hıını/hılaını bulun. a uunluğu l / ve l aasına eğştlse t hı/hıla nasıl eğş? Küesel ata Roto:,, A (to K (aal) a l Poblem 7.9 Aşağıa ssteme ml jt ve ütles. A ve B e atala aal öne K sabtl alala asıa alınmıştı. Dolanım hııla ml hıı aasına lş bulun. Sstemn t hıını/hılaını bulun.,, Küesel ata A (to K (aal) K (aal) B,, l 4 l 4 l 4 l 4

203 95 Poblem 7. Esne b mle otutulmuş çubu şelne otolaın neen t hıa, s şelne otolaın se neen b t hıa sah oluğunu enlemleen aalanmaan olaın fğnen haeetle açılaın. Poblem 7. Aşağıa ssteme ml jt ve ütles. A a atala aal öne K sabtl alala asıa alınmıştı. Rotoun a A notasına oluğunu abul en. Dolanım hııla ml hıı aasına lş bulun. Sstemn t hıını/hılaını bulun. Küesel ata Roto:,, A (to K (aal) l Poblem 7. Büü b elet motou şele gb önme esen üşe olaca bçme monte elmşt. oto emnen esne taolala ole elmşt. Taola saece üşe öne esneeblmete. Yaılan b enee moto esen üşeen açısı aa ualaştıılmış ve bunun çn T aa b moment ugulanması geemşt. Taolaın esnelğ lnee abul elebl. Joso etle ate alaa motoun t hıı/hılaı çn b fae bulun. (Not: Yeçemn hmal en. Roto ışına elemanlaın ütles hmal elebl.) G Roto:,, Taola Küesel elem

204 96 8 YAY SABİTİ PERİYODİK DEĞİŞEN SİSTEER nee sstemlen en öneml öellğ, bu sstemlee süeoson öellğnn geçel olmasıı. nee b sstemn ( t) gb b gşe cevabı ( t), ( t) gb b gşe cevabı ( t) olsun. Bu ssteme e ( t) f( t) gb b gş ugulanısa (e ve f sabtle), süeoson ensb geeğ sstemn cevabı e ( t) f( t) olu. Süeoson ensb atsaılaı amana göe eğşen lnee feansel enlemlele tanımlanan sstemle çn e geçel. Öneğn, feansel enlemle aşağıa gb olan sstemlee sueoson ensb ugulanabl. m ( t) b (8.) m b ( t) (8.) Süeoson ensb nonlnee sstemle çn se geçel eğl. Öneğn, b sstemn feansel enlem, m b f ( ) (8.3) olaa velmşse ve buaa f (), n nonlnee b fonsonu se, süeoson ensb geçel eğl. Dnam sstemlen b avanış seglemele çn a başlangıç anına enlen uağan enge uumunan falı b uuma bulmalaı a a ışaıan b olama ugulanması etel. Dnam b sstemn haeete geçlmes çn b başa öntem se aametelenn aman çne eğşmes. Şel 8. e gb ütle, a ve sönümlecen oluşan b sstem olsun. Bu sstem başlangıçta stat enge uumuna olsun ve hehang b ış uvvet ugulanmasın. Bu sstemn a sabtnn eo olaa aalı attığını üşünün. Ya sabt aalığına ütle ağılığının ets altına a aha fala esneece ve ütle aşağı oğu necet. Ya sabt attığına se aın esnemes aha a olacağınan ütle uaı oğu çıacatı. Ya sabt eo olaa eğştlğne se ütle üşe öne eo olaa salınacatı. Bu ssteme a sabt ene ütle eğşse, eğşen ağılı olaısıla ne üşe öne b haeet meana gel. O hale eğşen aametele e nam b sstem olama öellğne saht.

205 97 Bu bölüme a sabt eo olaa eğşen sstemlen avanışlaı ncelenecet. Ya sabt eo olaa eğşen sstemlen baı önele Şel 8. e velmşt. b g m Şel 8. Altenatf aım, sn t m Tel üse T gelme T T sn t sn t sn t üse a) Kest alanı muntaam olmaan ml. b) Hava elet hattı. m asnt l g asnt l g g eten m g a sn t ( g / l) ve l l asn t c) Ev saaç. ) Değşen bolu saaç. Şel 8.

206 98 8. Ya Sabt Peo Olaa Değşen Sstemlen Tteşm Şel 8. e sstemlen feansel enlemle aşağıa genel fomaı: ( sn t) m (8.4) Bu enlem attheu Denlem. attheu enlemne a sabt Şel 8.3a a oluğu gb otalama b eğe etafına snusoal olaa eğş. Anca enlemn bu halle çöümü ço o oluğunan buaa bu eğşmn Şel 8.3b e gb b ae alga şelne oluğu abul elecet. t π π t (a) (b) Şel 8.3 Ya sabtnn Şel 8.3b e gb eğştğ abul else aşağıa enlemle aılabl: Eğe, ( ) m ( π < t < çn) (8.5) ( ) m ( < t < π çn) (8.6) n (8.7) m olaa tanımlanısa, enlemle (8.5) ve (8.6) aşağıa hale gel: n ( π < t < m çn) (8.8) n ( < t < π çn) (8.9) m Yaıma olalı olması çn aşağıa tanımlamala aılsın: n m (8.)

207 99 n m (8.) Bu tanımlamala ullanılısa enlemle (8.8) ve (8.9) aşağıa hale gel: ( π < t < çn) (8.) ( < t < π çn) (8.3) Yuaıa enlemlen eo b çöümü oluğunu vasaalım. Aıca he eoun sonuna genl b eot önce genlğn s atı aa olsun, an t anına çöümün b genl (tee) notası vasa b eot sona genl bunu s le çaaa bulunablsn. Ya a çöümün hehang b t anına eğe s le çaılığına çöümün b eot sona eğe aşağıa gb ele elsn: ( ) π t s( ) t (8.4) Bu vasaımla haeet elğne, s > se genlle amanla atacağınan sstem aası, s < se genlle amanla aalacağınan sstem aalı olu. Denlem (8.) nn çöümü, enlem (8.3) ün çöümü olsun. ve nn genel çöümle aşağıa gb: C sn t C cos t ( π < t < çn) (8.5) C3 sn t C4 cos t ( < t < π çn) (8.6) Denlem (8.5) en π < t < bölges çn ele elen çöümün alığı een enlem (8.6) nın çöümü evam eecet. Aıca enlem (8.4) geçel. Bu hususla ate alınığına, uaıa genel çöüme ugulanması geeen sını şatlaı aşağıa gb olu: en, t t π en, ( ) ( ) t (8.7) t ( ) ( ) t (8.8) t ( ) ( ) ( ) π s π π t t t (8.9) ( ) t π ( ) t π s( ) t π (8.) Denlemle (8.7) ve (8.8) e velen şatla enlemle (8.5) ve (8.6) a ugulanısa aşağıa faele ele el: C C 4 (8.)

208 3 C C (8.) Denlemle (8.9) ve (8.) e velen şatla enlemle (8.5) ve (8.6) a ugulanısa aşağıa enlemle ele el: sc sc C C π π π π 4 3 cos sn cos sn (8.3) C s C s C C π π π π 4 3 sn cos sn cos (8.4) Denlemle (8.) ve (8.) en C3 ve C4 alınaa enlemle (8.3) ve (8.4) e ene oulusa aşağıa enlemle bulunu: cos cos sn sn s C s C π π π π (8.5) sn sn cos cos s C s C π π π π (8.6) Yuaıa enlemle homojen. Bu enlemleen C ve C nn sıfıan falı b çöümünün ele eleblmes çn atsaılaının etemnantının sıfı olması geel. Bu şat aşağıa fae ve: sn sn cos cos s s π π π π (8.7) Yuaı enleme öşel aante çne tem A olaa tanımlaalım: A π π π π sn sn cos cos (8.8) a a, A π π π π sn sn cos cos (8.9) Denlem (8.9) an göülüğü gb, A ve olaısıla s aametee bağlıı. Bunla ( ) ve ( ) aametele. Bu aametele e nc b aşamaa enlemle (8.), (8.) ve (8.7) ullanaa aşağıa gb en aamete cnsnen fae elebl:

209 n n n m (8.3) n n n m (8.3) Sonuç olaa, A tem, n ve n olma üee aametee bağlıı. Denlem (8.7) A cnsnen aılısa, sa s (8.3) olu. Bu enlemen s çöülüse aşağıa fae bulunu: ± A A s (8.33) Denlem (8.33) e A nın büülüğü ben büüse s nn ölenen b ben büü olacağınan sstem aası olu. < < A olusa s nn büülüğü ben üçü olacağınan sstem aalı olu. Şel 8.4 e sstemn aalı ve aası oluğu bölgele n e aşı n ülemne göülmete Şel 8.4 Şel 8.4 e taalı bölgelee sstem aalı, bea bölgelee se aasıı. Kaası bölgelee ou enle göstelen aamla n nın alaşı eğele. Yan t feansla n nn.5,,.5,,.5,... gb aım atlaınaı. n n A A - A A - A A

210 n n F aa sah sstemlee tem otft. temnn negatf olması, n nn sanal oluğu anlamına gel. n oluğuna göe, sstemn a sabt negatft. m Eten a sabt negatf olan b sstem b sona ısıma ncelenecet. 8. Ya Sabt Negatf Olan B Sstem - Ev Saaç Şel 8.5 e ülemsel b ev saaç göülmete. Eğe elemn bağlı oluğu O notası sabt se, saaca ugulanan eçem uvvet saacı tee notasınan ualaştımaa çalışacağınan saacın tee onumu aası b enge notasıı. Şm elem notasının üşe öne ( t) asn t şelne eo olaa haeet ettlğ abul elsn. Saaç olunun üşeen aılma açısı le göstelsn ve açısının üçü oluğu abul elsn. Şel 8.5 e m ütlesnn hı bleşenle e çlmşt. Bu bleşenleen üşe ve ata bleşenle ele el ve bunlaın aele tolanısa hıın büülüğünün aes aşağıa gb bulunu: v ( l sn ) ( l cos ) l l sn (8.34) g m l ( t) asn t l Şel 8.5 Sstemn net o-enejs aşağıa gb: T * m( l l sn ) (8.35) Potansel enejs tem se, V mg( lcos ) (8.36) oluğunan, agange fonsonel aşağıa gb:

211 3 * T V m( l l sn ) mg( l cos ) (8.37) Genelleştlmş uvvetn sıfı oluğu ate alınaa agange enlem aılısa, t Q (8.38) a a, t [ ml ml sn ] [ ml cos mglsn ] (8.39) a a, m l ml sn mglsn (8.4) ele el. açısının üçü oluğu abul el, a sn t ene oulu ve temle enen üenlense aşağıa enlem bulunu: g a snt (8.4) l l Denlem (8.4) le enlem (8.4) anı fomaı. Dolaısıla aha önce bölüm 8. e ele elen sonuçla, aametele aşağıa gb eğştee ullanılabl: n n g (8.4) l g (8.43) l Şel 8.4 e gafğn üşe esen e aşağıa gb eğş: n a g a g l l (8.44) l l g a O hale Şel 8.4 e gaf ata esenn olaa, üşe esenn e l l olaa eğştme suetle ev saacın aalılığını belleme çn ullanılabl. Ev n saaç çn Şel 8.4 e temnn negatf oluğu ısım geçel. Gafğn bu ısmı Şel 8.6 a büültee en esen smlele velmşt. Denlem (8.43) e es şaet alıılmış, bunun ene ata esenn önü eğştlmşt.

212 4. a l a l g.4 l Kaalı bölge Şel 8.6 Şel 8.6 a nın eğe attıça ata esene sağ taafa oğu alaşılı. Kaalı bölgenn üst sınıını belleen eğ üşe esen alaşı.35 eğene geçe. Bu üen a l nn eğe.35 en üçüse, nın eğe attılığına sstem aalı bölgee gten sona nın eğe ne olusa olsun sstem aalı olu. Bu uuma saaç tee onumu etafına aalı olaa salını. Kaalı bölgenn alt sınıı alaşı olaa aşağıa aabol enlemle tanımlanabl. g l a l g.4 l (8.45) Öne:. m bouna b ev saacın elem notası üşe öne. m genlle snusoal bçme haeet ettlmete. Saacın aalı oluğu feans bölges ne? Denlem (8.46) an (8.46) a a, 7. a/s f H (8.47) a l nn eğe.35 en üçü oluğunan saaç 8.65 H üene feanslaa aalıı.

213 5 PROBEER Poblem 8. Aşağıa göülen saacın uunluğu cm olu, ütles ol bounca ügün olaa ağılmıştı. Saacın elem notası O üşe öne snüoal olaa, uçtan-uca cm genlle haeet ettlmete. Saacın aalılığı çn olama feansı ne olmalıı?, G Not: l G, l o 3 G g O sn t Poblem 8. Şele ev saacın nam avanışını veen enlem bulun. l. 5 m, olusa ve elem notası üşe öne. m genlle hamon olaa haeet ettlse, saaç hang feanslaa aalı olu? l l g

214 6 KAYNAKÇA Bu ta haılanıen T e Pof. D. J. P. Den Hatog (9-989) ve Pof. D. Stehen H. Canall an (9-3) alığı esle sıasına aa taafınan tutulan notla ve aşağıa analaan aalanılmıştı.. Aema,. D., Analtcal Dnamcs Theo an Alcatons, Kluwe Acaemc/Plenum Publshes, New Yo, 5.. Canall, S. H. (e.), A Unfe Aoach to Dnamcs va Hamlton s Pncle, T, Cambge, Canall, S. H., Kano, D.C., Kut, E.F., Pmoe-Bown, D.C., Dnamcs of echancal an Electomechancal Sstems, Kege Publshng, alaba, Den Hatog, J. P., echancal Vbatons, Dove Publcatons, New Yo, Gnsbeg, J., Engneeng Dnamcs, Cambge Unvest Pess, Cambge, Golsten, H., Poole, C., Safo, J., Classcal echancs, Ason Wesle, San Fancsco,. 7. Geenwoo, D. T., Avance Dnamcs, Cambge Unvest Pess, Cambge, Hason, H. R., Nettleton, T., Avance Engneeng Dnamcs, Anol, onon, Jaa, R. N., Avance Dnamcs, John Wle, Hoboen,.. Kane, T. R., evnson, D. A., Dnamcs Theo an Alcatons, ntenet-fst Unvest Pess, thaca, 5.. agnus, K., Tteşmle, İTÜ ühensl malı Faültes, Yaın No.7, İstanbul, eovtch,., ethos of Analtcal Dnamcs, c-gaw Hll, New Yo, Yng, S. J., Avance Dnamcs, AAA, Reston, 997.

215 7 DİZİN Açısal hı, Eule açılaı cnsnen, Açısal momentum, ağılı meenen geçen oonatlaa göe, 57 Açısal momentum, ço ütle açacılı sstem, 3 Açısal momentum, notasal ütle, 3 Açısal momentum, jt göve çn, 57 Açısal momentum, sabt notaan geçen oonatlaa göe, 57 Açısal momentum, öüngesel, 3 Ağılı mee, Anaste ş, elast enlemle, 74 Anaste ş, et atsaılaı, 74 Anaste ml, elast enlemle, 74 Anaste ml, et atsaılaı, 74 Asal esenle, 6 Asal esenle, smet öelllenen bulunması, 66 Asmet ml, 9 Asmet oto, 84 Asmet oto, t hı, çubuğu anıan göve, 89 Asmet oto, t hı, s anıan göve, 89 Asmet oto, t hı, hb göve, 89 Atalet çaımlaı, 58 Atalet elso, 8 Atalet oonat sstem, Atalet mats, 57 Atalet mats, asal esenlee göe, 65 Atalet mats, öeğele, 6 Atalet mats, övetöle, 6 Atalet momentle, 58 Atalet navgason sstem, 67 Boutsu olanım feansı, 76 Boutsu oto hıı, 76 Cools vmes (b. Kools vmes) Ds ets, 76 Ds, uvalanan, 3 Dolanım feansı, boutsu, 76 Dolanım hıı, 7, 76 Elast ml enlemle, 7 Elastste atsaısı, 76 Elastste atsaısı, anaste ml, 76 Elastste atsaısı, uçtan atalı ml, 84 Eleman abul elebll şatı, 9 Elso, atalet, 8 Elsole, gövenn, 6 Elso, H-elso, 8 Esne mll oto, 73 Esne atalı oto, 9 Et atsaısı, 7 Et atsaısı, anaste ml, 74 Et atsaısı, uçtan atalı ml, 8, 84 Eule açılaı, 98 Eule enlemle, 9, Eule enlem, smet göve, Ev saaç, Fonson fonsonu, 4 Fonsonel, 4 Fonsonel, agange, 7 Gem usulası, josolu, 55, 57 Genelleştlmş hı, 4 Genelleştlmş oonatla, 4 Genelleştlmş oonatla, bağımsı, 4 Genelleştlmş oonatla, tam, 4 Genelleştlmş uvvet, 43 Gmbal, 54 Göel hı, 5 Göve ons, 4 Göve ons, çubuğu anıan göve, 4 Göve ons, s anıan göve, 5 Gövenn elsole, 6 Hamlton ntegal, 5 Hamlton ensb, 5 Hamlton ensb, jt gövel sstemle çn, 68 Hamlton ensb, ugulama aşamalaı, H-elso, 8 Hı, 4 Hı josou, 43, 67 Hılı toaç, Hılı eseson, 6 Holonom sstem, 4 İ l saaç, 68 İ uvvet elemanı, 9 İ uvvet elemanı, ounumlu, İ uvvet elemanı, aısal lşs, 9 İ uçtan atalı ml, 8 İ uçtan atalı ml, elastste atsaısı, 84 İ uçtan atalı ml, et atsaısı, 8, 84 İş temle, 5, 7 İvme, 6 İvme, ools (cools), 6 İvme, meecl, 6 Jason aıçaı, 7 Joso, 54 Joso, hı, 43, 67 Josolu gem usulası, 55, 57 Josolu usula, 55, 57 Josolu usula, oğal feansı, 59 Josolu usula, t sönümlü, 6 Josolu usula, eou, 63 Josolu usula, sönüm oanı, 6 Josolu saaç, 64 Kabul elebll şatlaı, ugulama öntemle, 9 Kabul elebll şatlaı, 9 Kabul elebll şatlaı, agange çaanlaıla ugulanması, 3

216 8 Kabul elebll şatlaı, vaason şlem önces ugulanması, 3 Kabul elebll şatlaı, vaason şlem sonası ugulanması, 3 Kaalı önme esenle, 9, 9 Knet enej, 8 Knet o-enej, 8 Knet o-enej, ağılı meenen geçen oonatlaa göe, 57 Knet o-enej, matsle cnsnen aılışı, 59 Knet o-enej, sabt notası olan göve çn, 57 Knet o-enej, jt göve çn, 55 Ko-enej, net, 8 Ko-enej, otansel, Kon, uvalanan, 33 Kon, uvalanan, evlme te, 36 Konum, 4 Kools vmes, 6 Kounumlu -uvvet elemanı, Kounumlu uvvet alanı, Kt hı, çubuğu anıan oto, 8 Kt hı, s anıan oto, 8 Kt hı, 78 Kt hı, saılaı, 8 Kuvvet alanı, Kuvvet alanı, ounumlu, Kuvvet alanı, otansel enejs, Kuvvet alanı, eçem, Kütle, 7 Kütle, net enejs, 8 Kütle, net o-enejs, 8 Kütle, aısal lşs, 7 agange çaanlaı, 3 agange çaanlaı, sınılaıcı uvvetlen bulunması, 3 agange enlem, 46 agange enlem, jt gövel sstemle çn, 7 agange enlem, vso sütünme elemanlı sstem çn, 79 agange fonsonel, 7 nee mean sstem elemanlaı, 8 attheu enlem, 98 attheu enlem, aalı çöüm bölgele, attheu enlem, alaşı çöüm, 98 awell atsaısı, 7 awell'n Kaşıtlı Teoem, 7 ean elemanla, 8 eecl vme, 6 l, smet olmaan, 9 omentum, omentum, ço ütle açacılı sstem çn, Negatf a sabt, Newton Kanunu,, 3 Newton Kanunu, notasal ütle, Newton Kanunu, jt gövee oğuan ugulanması, Notasal ütle, Non-holonom sstem, 4 Nütason, 5, 9 Öeğe, 6 Övetöt, 6 Paalel esen teoem, 86 Paamete olamalı sstem, 96 Peo eğşen a sabt, 97 Potansel enej,, Potansel enej, ounumlu -uvvet elemanı, Potansel o-enej, ounumlu -uvvet elemanı, Peseson hıı, 5,, 5 Peseson, hılı, 6 Peseson, avaş, 6 Ralegh aılım fonsonu, 8 Rjt göve, açısal momentumu, 57 Rjt gövel sstemle, 55 Rjt göve, net o-enejs, 55 Rjt göve, net o-enejs, ojn ağılı meene se, 57 Rjt göve, net o-enejs, ojn sabt notaa se, 57 Rjt göve, elsole, 6 Rjt göve, net o-enejs, 55 Rjt göve, sebest haeet, Rjt göve, üç boutlu haeet, 98, Roto hıı, boutsu, 76 Roto t hıı, 78 Roto, asmet, 84 Roto, joso etle altına, 7 Roto, smet olmaan, 84 Rotolaın t hılaı, 78 Sabt ülem, 7 Saaç, ev, Saaç, l, 68 Saaç, josolu, 64 Schule aaı, 6 Schule, amlan, 6 Sebest joso,, 54 Sebestl eeces, 4 Smet olmaan ml, 9 Smet olmaan oto, 84 Smet olmaan oto, t hı, çubuğu anıan göve, 89 Smet olmaan oto, t hı, s anıan göve, 89 Smet olmaan oto, t hı, hb göve, 89 Sstem abul elebll şatı, 9 Sönüm sabt, Sönümlec, Sönümlec, aısal lşs, Süeoson, esne ml, 7 Tee, uvalanan, 36 Tee, uvalanan, evlme te, 38 Toaç, hılı önen, Toaç, avaş önen, Toaç, avaş önen, aalılığı, 5 Toaç, avaş önen, genel çöüm, 7 Ua ons, 4 Vaason, 4

217 Vaasonla, bağımsı, 4 Vaason, bnc, 4 Vaason, nc, 4 Vaasonla, tam, 4 Vaason, tolam, 4 Vso sönümlü sstem, 79 Vso sönümlü sstemle çn agange enlem, 79 Yaısal lş, -uvvet elemanı, 9 Yaısal lş, ütle, lnee, 7 Yaısal lş, ütle, nonlnee, 7 Yaısal lş, sönümlec, Yaısal lş, a, Yavaş önen toaç, aalılığı, 5 Yavaş önen toaç, Yavaş önen toaç, genel çöüm, 7 Yavaş eseson, 6 Ya, 9 Ya sabt, 9 Ya sabt eo eğşen sstem, 97 Ya sabt eo eğşen sstem, aalı çalışma bölgele, Ya sabt, negatf, Ya sabt, eo eğşen, 96 Ya, aısal lşs, Yeçem, Yeçem, otansel enejs,, 3 Yeçem vmes, 3 Yeçem alanı, Yeçem, uvvet, Yöüngesel açısal momentum, 3 Yuvalanan s, 3 Yuvalanan on, 33 Yuvalanan on, evlme te, 36 Yuvalanan tee, 36 Yuvalanan tee, evlme te, 38 9

218 İle Dnam. Basım SBN