SAYISAL ANALİZ. Ders Notları MART 27, 2016 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
|
|
- Yildiz Erçetin
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 SAYISAL ANALİZ Ders Notları MART 7, 06 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
2 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Ösöz Mühedslkte aaltk olarak çözemedğmz brçok problem, sayısal olarak çözüleblmektedr. Bua leer olmaya deklem sstemler çözümü veya karışık tegraller msal verleblr. Bu ders otları lsas eğtm ala Make Mühedslğ öğrecler ç hazırladı. Koular ve verle msaller kolayda zora doğru sıralamaya çalışıldı. Çözümler sayısal olarak verld. Ders otlarıda Türkçe ble tüm öğrecler parasız olarak faydalaablmes ç PDF formatı terch edld. Böylece öğrecler derste ayı şeyler yazmak yere, zamalarıı alamaya ayırması ve daha başarılı olması arzu edld. İlk defa yazılmaya başladığı ç hataları çıkması doğaldır ve bu hatalar gözde geçrldkçe düzeltlecektr. Notları geşletlmese mümkü olduğuca devam edlecektr. Ya zama geçtkçe daha düzgü ve hatasız hale geleceğ kaaatdeym. Ayrıca ye bölümler de ekleeblecektr. Ders otlarıda görüle hataları tarafıma bldrlmes be daha da memu edecektr. Böylece daha düzgü hale gelecektr. İşâallah laveler yapıldıkça ye hâlyle tekrar web sayfasıda yayılaacaktır. Br söz var, Amelzde rızâ-yı İlahî olmalı. Eğer o râzı olsa, bütü düya küsse ehemmyet yok. Eğer o kabul etse, bütü halk reddetse tesr yok. O râzı oldukta ve kabul ettkte sora, sterse ve hkmet ktzâ ederse, szler stemek talebde olmadığıız halde, halklara da kabul ettrr, oları da râzı eder. İylk yap deze at, Balık blmese de Hâlık blr. Mart 06 Doç.Dr. Zekerya Grg Pamukkale Üverstes Mühedslk Fakültes Make Mühedslğ Bölümü Kııklı Kampüsü 0070 Dezl, Türkye Web page: İzsz kopyalamayıız.
3 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg İçdekler Ösöz.... Sayısal Aalze Grş (Itroducto to Numercal Aalyss): Hata Taımlamaları (Error Deftos): Kesme Hatası (Trucato Error): Msal Bağıl Hata (Relatve Error): Msal Msal Mutlak Hata (Absolute Error): Msal Yuvarlatma Hatası (Roudg Error): (Leer olmaya br değşkel deklemler çözümler (Solutos of Nolear Equatos Oe Varable) İkye Bölme Metodu (Bsecto Method)... Şekl -: İkye bölme metoduu grafk gösterm..... Msal.... Doğrusal İterpolasyo Metodu (Lear Iterpolato Method, False Posto Method, Regula Fals method)... Şekl -: Doğrusal terpolasyo metoduu grafk gösterm..... Msal Msal Tekrarlama Metodu (The Fed-Pot Iterato method) Msal Msal Msal Msal Msal Msal Msal Newto-Raphso Yötem (Newto Raphso Method):... Şekl -: Newto-Raphso metoduu grafk gösterm... Şekl -4: Newto-Raphso metoduda k tekrarlama le köke yaklaşımı Msal: Msal: Msal:... 4 İzsz kopyalamayıız.
4 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg.4.4 Msal: Msal: İkc Mertebe Newto-Raphso Yötem (Secod Order Newto Raphso Method): Msal: Msal: Krş Yötem (Secat Method):... 8 Şekl -5: Secat metoduu grafk gösterm Msal: Msal: Msal: Leer olmaya Deklem Sstemler (Nolear Systems of Equatos) Msal... 4 Şekl -6: Dört-Kol mekazmasıı kapalı vektörel eştlğ ve açılarıı gösterm Msal Eğr Uydurma (Curve Fttg): Leer Düzeltme (Lear Regresso): E y sağlama Krter Msal Msal Leer Olmaya Eğr Uydurma Msal Msal Msal Msal Msal Msal Msal Msal Problem İterpolasyo (Iterpolato) Şekl 6-: Doğrusal terpolasyo ve eğrsel terpolasyo Doğrusal Yaklaşım Usulü (Lear Iterpolato Method) Eğrsel Yaklaşım Usulü (Quadratc Iterpolato Method) Msal: Kübk Yaklaşım Usulü (Cubc sple Method) İzsz kopyalamayıız.
5 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 6.4 Lagrage terpolasyo polomu (Lagrage Iterpolato polyomals) Msal Msal Msal Matrs İşlemler Matrs ters alma şlemler (Matr Iverse): Kare Matrs Ters (Iverse of Square Matr) Msal: Pseudo Ters Matrs Metodu (Pseudo Matr Iverse) Msal Msal Msal Msal Msal Doğruda çözümü elde ede yötemler: Gauss Yok etme metodu (Gauss Elmato Method) Msal: Gauss-Jorde Yötem (Gauss Jorde Method): Msal: Tekrarlama (Iterato) le çözümü elde edleble yötemler: Jacob Yötem (Jacob Method): Msal: Msal: Gauss-Sedel Yötem (Gauss-Sedel Method): Msal: SOR Yötem (Successve Over Relaato Method): Msal: Msal: Msal: Msal: Msal: Msal: Msal: Dferasyel Deklemler Sayısal Yötemler le Çözümler (Numercal Solutos of Ordary Dfferetal Equatos)... 0 İzsz kopyalamayıız. 4
6 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 8. Taylor Sers Çözümü (Taylor Seres Soluto) Msal Msal Msal Euler Metodu (Euler s Method) Msal Msal Ruge-Kutta Metodu (Ruge-Kutta Method) İkc Derecede Ruge-Kutta Metotları (Secod-Order Ruge-Kutta Methods) Heu Metodu (Heu Method) a =/ Orta Nokta Metodu (Mdpot Method) a = Ralsto Metodu (Ralsto s Method) a =/ Üçücü Derecede Ruge-Kutta Metotları (Thrd-Order Ruge-Kutta Methods) Msal Msal Msal Msal Dördücü Derecede Ruge-Kutta Metotları (Fourth-Order Ruge-Kutta Methods) Msal İkc Mertebede Dferasyel Deklemler Msal Msal Msal Msal Dferasyel Quadrature Metodu (Dfferetal Quadrature Method) Msal Msal Solu Farklar Metodu (Fte Dfferece Method = FDM) Msal Msal Sayısal İtegrasyo (Numercal Itegrato) Yamuk Kuralı (Trapezodal Rule) Msal İzsz kopyalamayıız. 5
7 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 9. Smpso Kuralı (Smpso s Rule) Smpso / Kuralı (Smpso s / Rule) Msal Smpso /8 Kuralı (Smpso s /8 Rule) Msal Msal Sayısal Aalze Grş (Itroducto to Numercal Aalyss): Sayısal Aalz; dferasyel deklem, tegral veya deklemler blgsayar yardımı le aaltk olarak değl, sayısal olarak çözümleme tekğdr. Mühedslkte br çok leer olmaya dferasyel deklem aaltk olarak çözülemedğ halde, sayısal olarak çözümleeblmektedr. Gerçek hayatta ble brçok fzksel olayı gerçek hâl leer olmaya dferasyel deklemler le fade edleblmektedr. Bua örek olarak Naver-Stokes Deklemler, Burger s Deklem vesare verleblr. Veya salıım hareket yapa br salıcağı hareket deklem, leer olmaya dferasyel deklem le fade edleblmekte ve bu deklem aaltk çözümü hâlâ blmemektedr. Br yağmur damlasıı gökyüzüde yere erke rüzgar drec hesaba alıdığıda, sabt hızla yere dğ blmektedr. Eğer ormal Damk dersdek gb dkey atış problem olsaydı, yere ceye kadar o kadar hızlaırdı k, düştüğü yerde hasara ede olablrd. Bu çözümler sayısal olarak yapılablmektedr. Brçok karmaşık foksyouu tegral, aaltk olarak yapılamamasıa rağme, sayısal olarak yapılablmektedr. Blgsayar tekolojs gelşmesyle brlkte, sayısal aalz metotları da gelşmştr. Buu e ble örekler, Solu Elemalar Metodu, Solu Farklar Metodu ve Geelleştrlmş Dferasyel Kuvadratüre Metotlarıdır. Ayrıca brçok leer veya leer olmaya deklem sstemler sayısal aalz metotları le çözüleblmektedr. Bu şlemler yapılablmes ç de br çok program gelştrlmştr (Fortra, Basc, Pascal, C++, C#, Matlab, Dymola gb). Buu yaı sıra Sembolk hesaplama yapa programlar da gelştrlmştr (Maple, Mathematca, Mathcad, Mupad, Sclab, Derve gb ). Bu programlar sayesde dferasyel deklemler ble sembolk olarak çözüleblmektedr. Hatta so zamalara Ecel programıa lave edle Matematksel Foksyolarda (Matrs Ters, Matrs Çarpımı gb) sora, Sayısal Aalz le lgl bütü souçlar Mcrosoft Ecel kullaılarak da elde edleblmektedr.. Hata Taımlamaları (Error Deftos): Blgsayar le hesaplama yaparke, blgsayarda / gb sayıları odalık le belrl kesrl sayılarla fade ederke sayılar kısaltmalarda dolayı hatalar meydaa gelr ve bu edele, Gerçek Değer Hesaplaa Değer Hata İzsz kopyalamayıız. 6
8 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg şeklde yazılablr. Bu hataları türler belrleyeblmek ç aşağıdak taımlamalar yapılmıştır.. Kesme Hatası (Trucato Error): Foksyoları Taylor serse açılımı aşağıdak gbdr. f f! f f f f f R!! Buradak arta değer, f R,! şeklde taımlıdır. Taylor sersde, 0 alıdığıda, Maclaur Sers elde edlr. 4 f 0 f 0 f 0 4 f f 0 f0 ()!! 4! Bazı foksyoları Maclaur serse açılımı aşağıdak gbdr e!! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0! s s 0 cos0 s 0 4 s0 cos0!! 4! cos0 5 s 0 6 cos0 7 s0 8 cos 0 9 5! 6! 7! 8! 9! s cos! 5! 7! 9!! k k s R k0 k Deklem () de görüldüğü gb serde alıa term sayısı arttıkça hata payı azalacaktır. Bu hata payı kesme hatası olarak taımlaır. Deklem olarak kesme hatası, Kesme Hatası Gerçek Değer HesaplaaDeğer şeklde taımlaablr. Veya, E t eact ap p yazılablr. Buula lgl msal aşağıda verlmştr... Msal.5 e sayısıı, Maclaur serse açıp maksmum, a). mertebedee kadar ola termlerler alarak, b) 5. mertebedee kadar ola termlerler alarak, kesme hatasıı hesaplayıız. İzsz kopyalamayıız. 7 ()
9 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Çözüm: a) lk öce ser yazılmalıdır e!! 4! 5! 6! 7! 8! 9!! e e.5 e !!!! E t eact ap p Et eact ap p Et b) lk öce ser yazılmalıdır. E e.8 Et t e!! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0! e 4 5 e!! 4! 5! E t eact ap p Et eact ap p Et e !! 4! 5! E e.8 Et t 4 75 Görüldüğü gb Maclaur sersde alıa term sayısı artırıldıkça, kesme hatası da o derece azalmaktadır.. Bağıl Hata (Relatve Error): Gerçek değer blyor ve hesaplaa değer de blyor se Mutlak hata, Veya, Gerçek Değer Hesaplaa Değer Bağıl Hata Gerçek Değer E * eact app rel Ere l () ea ct le taımlıdır. Buu le lgl bast br msal aşağıda verlmştr... Msal P sayısıı yaklaşık hal, a) bayağı kesr olarak şeklde verldğde, 7 b).46 olarak verldğde bağıl hatayı hesaplayıız. Çözüm: a) E rel * 7 Erel Erel olarak hesaplaır. E rel İzsz kopyalamayıız. 8
10 b) E PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg eact app rel Erel eact.. Msal.46 Erel Tab logartma e sayısı ve yaklaşık hesaplamış olarak verle.78 sayısı ç bağıl hatayı hesaplayıız. Çözüm: E eact rel app eact Erel E Erel e e.78 rel. Mutlak Hata (Absolute Error): Gerçek değer blyor ve hesaplaa değer de blyor se Mutlak hata, Mutlak hata Gerçek Değer HesaplaaDeğer Gerçek Değer deklemyle hesaplaır. Bu deklem aşağıdak şeklde de taımlaablr. E eact abs app eac t E abs * le taımlıdır... Msal Yukarıda verle Msal.. de bağıl hataları hesaplayıız. Çözüm: a) E rel * Erel 7 E rel Erel olarak hesaplaır. b) E eact app rel Erel eac t.46 Erel Yuvarlatma Hatası (Roudg Error): Hesap makesde alıa termlerde, kesrl kısmı hâe sayısı le lgldr. Kedsde sorak sayı değer 5 değere eşt ve büyükse poztf yöde sayı artırılarak yazılır. Eğer (5) te küçük se kala kesrl kısım atılır. Buu le lgl msaller aşağıda verlmştr. Aşağıda verle sayıları kesrl kısmı hae olacak şeklde yuvarlatma hatası yaparak yazıız , , İzsz kopyalamayıız. 9
11 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg. (Leer olmaya br değşkel deklemler çözümler (Solutos of Nolear Equatos Oe Varable) Bazı leer olmaya deklemler aaltk olarak çözülemedğde sayısal çözümleme yollarıa gdlr. Deklem, br tarafı sıfıra eştleecek şeklde aşağıdak gb yazılır. f,,, 0 Öcek bölümlerde zah edldğ gb leer olmaya deklemlerde br ve/veya brde fazla leer olmaya term olduğuda çözümü yapılamaz. Bua msal olarak aşağıdak deklemler verleblr. 0 leer değl çükü sy 0 leer değl çükü y 0 s y ve term mevcut..termlerde dolayı dsler toplamı brde büyük olduğuda leer değldr. Paydada değşke olduğuda leer değldr. Temel problem leer olmaya br deklemde kökler buluması olduğuda verle br foksyo f () = 0 şeklde taımladığıda köküü varlığı öce blmeldr. Grafk olarak buu görmek daha kolaydır. Verle foksyo [a,b] aralığıda sürekl ve foksyo bu aralıkta şaret değştryorsa mutlaka br sıfır oktasıda geçyor demektr. Çözümü mevcut olması (Estece of Solutos): Foksyou değer sıfır yapa kökü bulmak ç brkaç teorem verlmştr. Ara Değer Teorem (Itermedate-Value Theorem): f foksyou, a,b arlığıda sürekl ve herhag br C katsayısı f a özellğe sahp se öyle br p sayısı vardır k bu sayı pa,b özellğe sahptr C f b taımlıdır öyle k f c Ortalama Değer Teorem (Mea-Value Theorem): f foksyou, a,b aralığıda sürekl ve f af b 0 se, bu aralıkta e az br tae kök vardır. Foksyou kökler buluması temel olarak k farklı yolla yapılır. Bular;. Kapalı aralık (Braket)metotlar (Bracketg Methods): ya kapalı br a,b aralığıda foksyo şaret değştryor se, problem çözümüe k tae başlagıç değer grlerek çözüme gdlr. Başlagıç değerler doğru grldğde çözüme gdlr. fakat köke yavaş yaklaşır.. Açık Metotlar (Ope methods): Bu metotlarda başlagıç değer br tae grlerek çözüme gdlr. Bu metotlarda köke yaklaşma braket metotlara orala daha hızlıdır. İlk olarak burada kullaıla k tae Braket (Kapalı aralık) metot verlecektr. C İzsz kopyalamayıız. 0
12 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg. İkye Bölme Metodu (Bsecto Method) Bu metot a,b kapalı aralığıda a, b foksyo sürekl ve f a f b 0 özellğe sahp se, foksyo şaret değştrdğde dolayı mutlaka br sıfır değerde geçecektr. Aşağıda verle şeklde de görüldüğü gb ve olduğuda,. terasyo soucuda buluacak ola f 0 f 0 oktası bu k değer artmetk ortalaması alıır. Ya; (4) L U,,, L U r r olacak şeklde çaplı çzle dare merkez göstermektedr.. terasyo ç; olduğuda, f af b 0 şartıı sağlaması ç, ola öcek değer kullaılması mecburdr. Böylece f f 0 ; f 0 L U,,, L U 4 r r 4 çaplı çzle dare merkez göstermektedr. f 0 4 f 0 olacak şeklde. terasyo ç; olduğuda, f af b 0 şartıı sağlaması ç, so k değerde ola öcek değer kullaılması mecburdr. Böylece f f 0 ; f 0 L U 4,,, L 4 U 5 r r 5 4 f() f() f(4) f(5) 4 5 f() f() Şekl -: İkye bölme metoduu grafk gösterm olacak şeklde çaplı çzle dare merkez göstermektedr. 4 Böylece terasyo (yeleme) devam ettkçe foksyo kök değere yaklaşmaktadır. Bu metodu algortması aşağıdadır. İzsz kopyalamayıız.
13 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg İkye bölme metoduu program algortması: Gve f () = 0, ε ad the tal ed pots [a 0,b 0 ], where f(a 0 )*f(b 0 )<0; Gve ma=mamum umber of teratos; For =0 to ma Compute c = (a +b )/; If f(a )*f(c )<0 Update b + = c ad a + =a ; If f(a )*f(c ) > 0 Update a + = c ad b + = b ; If c c < ε Soluto= c ; Stop the teratos; Edfor.. Msal 5 0,4 şeklde verle deklem köküü aralığıda kye bölme metoduu kullaarak hesaplayıız. Çözüm: lk öce foksyou bu aralıkla şaret değştrp değştrmedğ test edlmeldr. f 5 f 5 5 f 5 0 f f Burada f f 4 0 olduğu görülür. Ye kullaılacak değer artmetk ortalama le hesaplaır. 4 f f 0 Öcek k farklı değerde foksyou değer hagsde sıfırda küçük se o değer seçlerek, kc terasyoa bu değerle başlaır. İterasyo L U C f( L ) f( U ) f( C ) sayısı e-5 Tabloda verldğ gb, değşmeye değerler 5. terasyoda sora olduğu görülmüştür değer kök değerdr.. Doğrusal İterpolasyo Metodu (Lear Iterpolato Method, False Posto Method, Regula Fals method) Bu metot a,b kapalı aralığıda a, b foksyo sürekl ve f a f b 0 özellğe sahp se, foksyo şaret değştrdğde dolayı mutlaka br sıfır değerde geçecektr. Fakat hesaplaa değer kabaca kye bölme olduğuğuda, tahm edle değerde hata payı yüksek olmaktadır. Buu yere, bu k okta arasıda leer terpolasyo yapılarak daha yakı br değer hesaplaması esas alımıştır. Dğer şlemler tamamı kye bölme metodu gbdr. İzsz kopyalamayıız.
14 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Aşağıda Şekl - de görüldüğü gb soucuda buluacak ola faydalaılır f f f() f f f 0 ve f 0 olduğuda,. terasyo oktasıı bulmak ç Şekl - dek üçgelerde f f f() [,] [,] 4 f(4) [4,] 5 f(5) 4 5 f() f() Şekl -: Doğrusal terpolasyo metoduu grafk gösterm f f f f f f f f f f f f (5) deklem veya aşağıda gelecek deklem, doğrusal terpolasyo metodu ç kullaılablr. f f f f f f Yukarıdak dekleme term, f f term eklep çıkarılarak tekrar yazıldığıda; f f f f f f term le çarpılıp ye bölüerek yazıldığıda; f f f f f f f f f f elde edlr. Bu termler ortak paydada yazıldığıda; f f f f f f olur. Gerekl sadeleştrmeler yapıldığıda; f f f f İzsz kopyalamayıız.
15 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg f f f Bu veya yukarıda verle deklem, metodu temel deklemdr. Program algortması (temel kuralı, matığı,şlem yapısı) aşağıdadır. Algorthm for False Posto Method: Gve f () = 0, ε ad the tal ed pots [a0, b0] where f (a0) f (b0) < 0; Gve ma=mamum umber of teratos; For =0 to ma Compute c()=((a()*f(b()-b()*f(a()))/( f(b()-f(a())); If f(a )*f(c ) < 0 Update b + = c ad a + =a ; Edf If f(a )*f(c ) > 0 Update a + = c ad b + = b ; Edf If c c < ε Soluto= c ; Stop the teratos; Edf Edfor İkcs, açık metotlar olarak taımlaa üç tae metot verlecek ve celeecektr. Bu metotları temel özellğ, başlagıç değer sadece br taedr. Blmeyee başlagıç değer verdkte sora tekrarlamaya devam ettkçe, foksyou kök değere yaklaşılır... Msal şeklde verle deklem köküü,4 5 0 (6) aralığıda doğrusal terpolasyo metoduu kullaarak hesaplayıız. Çözüm: lk öce foksyou bu aralıkla şaret değştrp değştrmedğ test edlmeldr. f 5 f 5 5 f 5 0 f f Burada değer artmetk ortalama le hesaplaır. f f f f 5 7 f f f 4 0 olduğu görülür. Ye kullaılacak f.5 0 Öcek k farklı değerde foksyou değer hagsde sıfırda küçük se o değer seçlerek, kc terasyoa bu değerle başlaır. İterasyo f( ) f( ) f( ) sayısı İzsz kopyalamayıız. 4
16 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Tabloda verldğ gb, değşmeye değerler 40. tekrarlamada sora olduğu görülmüştür değer kök değerdr... Msal Br paraşütçüü yukarıda aşağı doğru düşerke karşılaştığı sürtüme katsayısı; c mg t m v e deklem le verlmştr. Burada t:zama, m:kütle, g:yerçekm vmes, c v:yukarıda aşağıya düşme hızı ve c:sürtüme katsayısıdır. sayısal olarak t=0s, m=68.kg, g=9.8m/s ve v=40m/s olduğua göre, c sürtüme katsayısıı c= ve c=6 başlagıç değerler kullaarak hesaplayıız Çözüm: lk öce deklem sıfıra eştleerek yazılmalıdır ve temel değşke c katsayısıdır. c c mg t m 68. f c e v f c e 40 c c c = ç f c e elde edlr ve c =6 ç f c e 40.0 buluur. f c f c 0 şartı sağladığıda 6 değer, bu k değer arasıda terpolasyo deklem kullaılarak hesaplaır. c c f c f c c c f c c c f c f c c c f c c tekrarlama souda; f=6.94, f=-.06, cr=4.909 f*fr= < 0 Ye kök değer c ve cr arasıdadır. tekrarlama souda; f=6.94, f= , cr=4.85 f*fr= < 0 Ye kök değer c ve cr arasıdadır. tekrarlama souda; f=6.94, f= , cr=4.806 Tekrarlama sayısı artırıldığıda kök değer cr=4.80 olarak hesaplaır. Aşağıda verle çözüm tarzları açık ala usullerdr. ya Başalagıçta k okta alıarak çözüme başlamaz. Br değerde başlaır ve tekrarlama soucuda yavaş yavaş kök değere doğru gdlr.. Tekrarlama Metodu (The Fed-Pot Iterato method) f 0 deklem yazıldığıda, değer hesaplamak gerekyorsa, deklemde değer br tarafta kalacak şeklde tekrar yazılır. g (7) olarak taımlaır. Bu durumda; f () g 0 (8) c İzsz kopyalamayıız. 5
17 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Kökler buluması ç; g (9) Fakat burada çözümü yakısaması ç br şart vardır. Bu şart aşağıda verlmştr. le taımlı ve bu aralıkta her değer ç foksyo İterasyou yapılacağı aralık türev alıablr ve f a f b 0 a s a,b se bu türev değer; d d g L, g L, L (0) d d b olduğuda Tekrarlama Metodu uygulaablr. Şart sağlamadığı takdrde çözüm çıkablr, fakat mutlaka çözüm çıkacağıa garat vermez. a,b Veya aralığıda ve bu aralıkta, şartı sağlaıyor ve ayı zamada g a ç ve b alıdığıda, f a f b 0 g g L,, a,b, L 0, () şartı sağlaıyor se tekrarlama usulü kullaılablr. Deklem () kullaılması her zama değerler hesaplamalarda daha uygudur. Deklem () sağlaya bütü a,b başlagıç değer olarak kullaılablr. İşlemler alaşılması ç Msal.. bakıız... Msal s şeklde verle deklemde, 0, köküü buluup bulumayacağıı test edz. aralığıda tekrarlama metodu le Çözüm: lk öce verle aralığıda foksyou değerlerde brs poztf se dğer f s egatf olmalıdır. Bu durum test edlmeldr. f 0, f 0 s 0 0 f s f 0f f f 0 f 0 olduğuda verle aralık uygudur. Şmd de seçlecek ola g() foksyouu uygu olup olmadığı test edlmeldr. Buu ç lk olarak Deklem (0) le test edleblr. s 0 s d g d Burada g() foksyou ç, g s cos d g L, L d cos0 L, L L, L a yazılablr. Şartı sağlamadığı görüldü. Bu demektr k şart sağlamasa da çözüm çıkablr. Fakat mutlaka çözümü olacağıı garat etmez. Bu sebeple, Deklem () kullaılır se, her zama garatl souç elde edlr. =0 ç; g g 0 s(0) İzsz kopyalamayıız. 6
18 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g0 s 0 g s g g g 0 L,, a,b, L 0,, g s g g 0 g uygudur. Ayı şlem = yapılmalıdır. g g s() g s g s g g s g g g g g < şartı da sağladığıda seçle g() foksyouu kullaılması uygudur. Görüldüğü gb test foksyou olarak Deklem (0) yere, Deklem () kullaılması seçlecek her br 0, daha uygudur. Aartık buda sora başlagıç değer olarak değer ç çözüm mevcuttur. g s s s tekrarlama soucu: 0. tekrarlama soucu:. tekrarlama soucu: 4. tekrarlama soucu: Bu şlemler artırıldığıda kök değer.. Msal s s = s r olarak buluur. le verle deklemde değer tekrarlama metodu le 8, aralığıda çözümü olup olmadığıı tesbt edz. Çözümü varsa uygu ola g() foksyolarıı belrleyz. Çözüm: lk öce tekrarlama usülü le çözülüp çözülemyeceğ test edlmeldr. =-8 ç f()=6 ve = ç f()=-8 ve f 8f 0 olduğuda bu aralıkta kök değer vardır ve bu değerler ç lk öce uygu g() foksyou belrlemeldr.. yol: Öyle br g() foksyou seçlmeldr k bu fosyou verle aralıktak. türevlerde bu değerler yazıldığıda, elde edle sayı de küçük olmalıdır. f olduğu görülür. Burada; yazılablr veya olur. Burada g() foksyou ç; 0 9 g 0 yazılablr. Bu foksyou. türev alıdığıda, d 0 g d 9 olur. (Deklem (0) le test edldğde dolayı). İzsz kopyalamayıız. 7
19 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg = ç test edlmeldr. d g L d olduğuda. şart sağladı.. şart ç =-8 değer yazıldığıda çıka değer de küçük olmalıdır. d g d L 89 Bu değerler aşağıdak şartı sağladığıda uygudur. d d g L, g L L,, ya, b, L d d 8 Elde edle bu k değer, de küçük ve sıfırda büyük olduğuda, bu aralıkta alıa her değer ç g() foksyou çözüme gder. Dğer br test Deklem () le yapılablr. İlk öce f a f b 0 şartı test edlmeldr. f f 90 8 f şartı sağladı Şmd dğer şart, g g g g g g g 0 9 L g L L g 0 9 g f f 8 0 g < < g g < < 6 g g g L olduğuda seçle g() foksyou le çözüm yapılableceğ görülmektedr. f() foksyouda elde edle tüm g() foksyolarıda bu şartlar deemeldr.. yol: başka br g() foksyou seçls. İzsz kopyalamayıız. 8
20 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg f g g, 9 g g L g 9 0 g < 0 Şart sağladığı ç, seçle kc g() foksyou da çözüm ç kullaılablr Böylece;. tekrarlama soucu:. tekrarlama soucu:. tekrarlama soucu: 4. tekrarlama soucu: Bu şlemler artırıldığıda kök değer g yol: başka br g() foksyou seçls. f =- ç test edlmeldr g g g r olarak buluur g 9 0 d g şart sağlamadı d d g sayı gerçel sayı değldr ve uygu değl. d Ya bu değerler ç Deklem (0) kullaıldığıda, çözümü mutlaka olacağı garat edlemez. Buu ç Deklem () le g() foksyou tekrar test edlmeldr. g Msal e 4 verle deklem kökler ve olduğu blyor. Bu souçları elde ede uygu g() foksyolarıı belrleyz. Çözüm: lk olarak g() foksyoları belrles... e 4 e e 4 e 4 g () 4 e g 4 e () 9 İzsz kopyalamayıız. 9
21 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg. l e l 4 l g l 4 l () Üç farklı g() foksyou belrled. İlk kök değer hesaplaablmes ç aralık değer aralığıı 0, olarak, aralığı seçldğde bu aralığı uygu olmadığı fakat uygu olduğu görülecektr. () olu g() foksyouda =0 alıdığıda, 0 e e g g alııp Deklem () le test edldğde, 0. e g g g 0., olduğu görülecektr. Buu yere 0., aralığı dkkate.769 e g L Daha yeterl değldr. Ayı zamada = ç de test edlmeldr. e g g g e g L Olduğuda bu aralıktak kökü bu g() foksyou le çözmek mümküdür. Fakat ayı 4,5 olarak seçldğde, g() foksyou kc kökü bulmak ç uygu değldr. Çükü, 4.44 e e g4.44 g g g L olduğuda uygu değldr. Ya br aralıkta geçerl ola g() foksyou dğer aralıkta geçerl olmayablr. 4,5 aralığıa uygu ola g() fosyou, g l 4 l fadesdr. g4 l 4 l 4 g l 4 l g4.589 l 4 l g g g L g l 4 l g l g l 4 g g g L g İzsz kopyalamayıız. 0
22 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg e 0., aralığıda, Deklem () sağladığıda, g() foksyou da uygudur. 0 = alıdığıda elde edle değerler aşağıdak tabloda verlmştr. İterasyo sayısı e g() Bu şlemler devam ettğde,. Tekrarda = değere ulaşır. Dğer br l e l 4 l l 4 l g g l 4 l alıdığıda uygudur. Burada başlagıç değer daha büyük ola 0 =5 çözüm olarak g() foksyou, olarak alımıştır ve bua uygu souçlarda aşağıda verlmştr. İterasyo sayısı g l 4 l İzsz kopyalamayıız.
23 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg terasyoa devam edldğde = değer elde edlr. Her k kök değer de 4,5 aralığıdak bütü değerler doğrudur. Burada terasyoa 5 değer le başlatıldı. ç g() foksyou ayı souçları hesaplar. Aşağıda foksyou grafğ verlmştr...4 Msal le verle deklem köküü, tekrarlama metodu le çözeblmek ç,4 5 e aralığıı kullaarak; bu aralıkta çözümü vere g() foksyouu buluuz ve Tekrarlama Metodu le verle aralıkta.5 başlagıç değer kullaarak,. tekrarlamaya kadar ola kök değer hesaplayıız. Çözüm: lk olarak g() foksyoları belrles. lk olarak g() foksyoları belrles e 5 e l l l e g l l 5 () İzsz kopyalamayıız.
24 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 5 e g 5 e 5 e e 5 5 e 5 e e 5 g g e 5 () e (4) 5 Dört farklı g() foksyou belrled. Kök değer hesaplaablmes ç, seçlr ve bu aralığı uygu olmadığı test edlmeldr. g l l 5 g l l 5 l l 7 5 g g g g L l 4 l 45 g g l l 85 5 g g g L foksyou le çözmek mümküdür. g uygudur. g (),4 aralığı ç ayı test yapılmalıdır. olduğuda bu aralıktak kökü, bu g() İterasyo sayısı g l l Msal le verle deklemde f af b 0, a,b lk öce a,b 0 İzsz kopyalamayıız. şartıı sağlaya aralığı belrleyz ve daha sora bu aralıkta çözümü vere g() foksyouu bulup değer tekrarlama metodu le belrleyz.
25 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Çözüm: lk görüüşte f deklemde uygu aralık belrlemeldr. f 0 0 0, f f 5 9 alıa aralık uygudur. Fakat bu 0,5 aralığı daha da daraltılablr. f 0 f 0 f olduğuda f 0f 5 0 seçlrse daha da uygu olur. Şmd de çözümü vereblecek g() foksyou belrlemeldr. Buu ç;. terch: edldğde, dg 0 d a 0 0, dg g olur. =a değer yere yazılarak test d b kc şart sağlamadığıda seçle g() foksyou uygu değldr. Ayı test Deklem () le yapıldığıda, g g g 0 g L,, ya,b, L 0, 0 ye geçersz çözüm foksyou olduğu görülmektedr. Dolayısıyla başka br g() çözüm foksyou belrlemeldr:. terch: 0 / / g olur. Şmd ye g() foksyou ç Deklem () le test yapılablr. g g g 0 g < Şartı sağladığı görülmektedr. Foksyo celedğde,. terch: 0 Deklem () le test edldğde; g g 0 g 0 g 0 / g olur L,, y a,b, L 0, 0 olduğuda çözüm foksyou olarak seçle g() foksyouu geçerl olduğu görülmektedr. 4. terch: 0 0 g olur. Deklem () le test edldğde, g g g 0 g L,, y a,b, L0, 0 olduğuda uygu olmadığı görülmektedr.. terchte verle g() foksyou seçlerek çözüm yapıldığıda; g / başlagıç olarak değer seçld. İzsz kopyalamayıız. 4
26 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Tekrar sayısı g İterasyo sayısı tekrarlamada sora kök değer = olarak değşmedğ görülmektedr. Aşağıda gösterldğ gb, foksyou grafğe bakarak da kök değer tahm görülmektedr.edleblr. g..6 Msal le verle deklemde deklem köküü Tekrarlama metodu le 0, aralığıı kullaarak, çözeblmek ç a) Bu aralıkta çözümü vere uygu br g() foksyouu buluuz. b) Tekrarlama Metodu (Fed pot terato) le verle aralıkta 0 tekrarlamaya kadar kök değer hesaplayıız. c) Bu aralıktak gerçek kök değer = olduğua göre,. Tekrarlama soucuda elde edle kök değer le yapıla bağıl hatayı hesaplayıız. İzsz kopyalamayıız. 5
27 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Çözüm: lk görüüşte f 4 5 deklemde uygu aralık belrlemeldr. f , f 4 5 f 0f 56 0 olduğuda alıa aralık uygudur. Şmd de çözümü vereblecek f 0 5 g() foksyou belrlemeldr. Buu ç;. terch: yere yazılarak test edldğde, dg d yere yazılarak test edldğde, 0 dg d f 6 g olur., şart sağlamadı. Uygu değldr. g g değer değer. 75 kc şart da sağlamadığıda seçle g() 4 4 foksyou uygu değldr. Ayı test Deklem () le yapıldığıda, lk öce test edlmeldr. g g g 0 g L,, a,b, L 0, g g şartı sağlamadığıda geçerszdr. 0.5 =b ç kotrol edlmeldr. g g ç ye geçersz çözüm foksyou olduğu görülmektedr. Dolayısıyla başka br g() çözüm foksyou belrlemeldr.. terch: yere yazılarak test edldğde, 8 0 g 8 0 olur. =a değer dg d saal çıktı. dg d , şart sağlamadı. Sayı kc şart da sağlamadığıda seçle g() foksyou uygu değldr Ayı test Deklem () le yapıldığıda, lk öce 0 g g g 0 ç test edlmeldr I. Souç saal sayı olduğuda uygu değldr. Şart sağlamadı. =b ç kotrol edlmeldr. İzsz kopyalamayıız. 6
28 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g g g 4. g g ye geçersz çözüm foksyou olduğu görülmektedr. Dolayısıyla başka br g() çözüm foksyou belrlemeldr.. terch: yere yazılarak test edldğde, 4 5 g 4 5 olur. =a değer dg d / / , şart sağladı. dg / d 4 5 / 4 5 kc şart da sağladığıda seçle g() foksyou uygudur Ayı test Deklem () le yapıldığıda, g g lk öce 0 g g ç test edlmeldr. L,, a,b, L 0, g 0 g g Şart sağladı. Ayı şlem =b ç yapılmalıdır g g br çözüm foksyoudur. 0 = alıdığıda elde edle değerler aşağıdak tabloda verlmştr. Tekrar sayısı g Şart sağladı. Dolayısıyla, bu İzsz kopyalamayıız. 7
29 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg tekrarlamada sora souçları değşmedğ görülmektedr. =0 alıdığıda. tekrarlamada sora yapıla Bağıl hata mktarı; Gerçek Değer Hesaplaa Değer BağılHata Gerçek Değer Bağıl Hata olarak hesaplaır. Eğer başlagıç değer olarak = alııp şleme devam edlrse aşağıdak tablo değerler buluur. Tekrar sayısı g Souçlar her k durumda da elde edlmektedr. = alıdığıda. tekrarlamada sora yapıla Bağıl hata mktarı; Gerçek Değer Hesaplaa Değer BağılHata Gerçek Değer BağılHata olarak hesaplaır. İzsz kopyalamayıız. 8
30 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg..7 Msal 5 0 le verle deklem köküü tekrarlama metodu le çözeblmek ç aralığıı kullaarak, 0, a. Bu aralıkta çözümü vere br g() foksyouu buluuz (hag g() foksyouu uygu olduğu test edlerek gösterlecek) b. Tekrarlama Metodu (Fed pot terato) le verle aralıkta = başlagıç değer kullaarak, tekrarlamaya kadar ola kök değer hesaplayıız. Çözüm: lk öce tekrarlama usülü le çözülüp çözülemyeceğ test edlmeldr. =0 ç f(0)=-5 ve = ç f()=0 ve f 0f 50 0 olduğuda bu aralıkta kök değer vardır ve bu değerler ç lk öce uygu g() foksyou belrlemeldr. Şartları sağlaya g() foksyou belrledkte sora 0 şartıı sağlaya her değer kullaılablr. başlagıç değer olarak. terch: Öyle br g() foksyou seçlmeldr k bu fosyou verle aralıktak. türevlerde bu değerler yazıldığıda, elde edle sayı de küçük olmalıdır. f 5 0 olduğu görülür. Burada; 5 olur. Burada g() foksyou ç; g 5 yazılablr. Bu foksyou. türev alıdığıda, d g d olur. (Deklem (0) le test edldğde dolayı). =0 ç test edlmeldr. d g L d olduğuda. şart sağladı.. şart ç = değer yazıldığıda çıka değer de küçük olmalıdır. d g şart sağlamadığıda uygu değldr. d Dğer br test Deklem () le yapılablr. İlk öce f af b 0 şartı test edlmeldr. şart, g g L g g g L f 0 f 50 0 şartı sağladı Şmd dğer g g g Uygu değldr. g 5 İzsz kopyalamayıız. 9
31 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g g L g 5 0 g g L g g Uygu değldr. g g 5. terch: başka br g() foksyou seçls Deklem () le test edldğde; g g g 5 L g g g L 5 g 5 0 g g 5 g > uygu değldr. g 5. terch: başka br g() foksyou seçls Deklem () le test edldğde; g 5 5 g terch: başka br g() foksyou seçls. g 5 g 0 5 sayı saal sayı olduğuda uygu değldr g 5 Deklem () le test edldğde; 5 g 5 g g 0 5 sayı saal sayı olduğuda uygu değldr. 5. terch: başka br g() foksyou seçls g 5 Deklem () le test edldğde; g g L g g g L g 5 g g0.7 g Uygudur. İzsz kopyalamayıız. 0 g 5
32 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g g L 5 g 5 g g g 5 g g L g < Uygudur. 0 = alıdığıda elde edle değerler aşağıdak tabloda verlmştr. g Tekrar sayısı g tekrarlamada sora souçları değşmedğ görülmektedr..4 Newto-Raphso Yötem (Newto Raphso Method): Newto Raphso metodu da açık aralıklı ve br başlagıç değer le çözüm yapılable br metottur.foksyouu başlagıçta verle oktasıdak eğm ya brc türev yazıldığıda grafkte terasyo yötem elde edlr. Foksyou f ve eğm ya brc türev karşı dk kearı komşu dek değer dk keara oraı olduğuda; f f le taımlıdır. Bu fade tekrar düzeledğde; İzsz kopyalamayıız.
33 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg f f f f Bu fade Newto-Raphso metodu le asıl kök buluacağıı gösterr. Ayı fade Taylor sersde de elde edleblr. f f f f f f ()!!! f() + + f( ) () f ( ) = f( ) Şekl -: Newto-Raphso metoduu grafk gösterm Yukarıdak Taylor sersde lk k fade alııp sıfıra eştledğde Newto-Raphso deklem ortaya çıkar. f f f 0 f f (4) f Görüldüğü gb Deklem (4) le verle ayısı elde edlmştr. Eğer Newto-Raphso deklem daha hassas hale getrlmek sterse, Taylor sersde k term yere üç alıır ve daha hızlı, hassas souçlar elde edleblr. f f f 0! Aşağıdak grafkte se foksyoa başlagıçta 0 değer verldğde. ve. terasyolarda değer asıl köke yaklaştığı grafk olarak verlmştr. İzsz kopyalamayıız.
34 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg f() 0 f() 0 f() f(0) Şekl -4: Newto-Raphso metoduda k tekrarlama le köke yaklaşımı Algorthm for The Newto Raphso Method: Gve f()=0, ε ad the tal pot 0; Gve ma=mamum umber of teratos; Fd f (); For =0 to ma Compute (+)=()-f()/f (); If + < ε Soluto= + ; Stop the teratos; Edf Edfor.4. Msal: Br yay üzere h kadar yükseklkte br m kütles serbest olarak bırakılıyor. Bu yayı davraışı oleer olup kuvvet ve yerdeğştrme bağıtısı, F k y k y le verlmektedr. Sstemde eerj kaybolmadığıa göre, yayı çökebleceğ mamum değer hesaplayıız. (Başlagıç değer olarak y 0 =0.5 alıız.) Çözüm: Mamum çökme haldek toplam eerj mktarı; yayı ketk eerjs le potasyel eerj toplamı olduğuda, yayı ketk eerjs ç; y 5/ Fdy k y k y dy ky ky 5 0 fades yazılablr. Potasyel eerj aşağı doğru egatf olduğuda, toplam eerj, 5/ f ky mgy mgh ky 5 le taımlıdır. Burada k 40000, k 40, m 95, g 9.8, h 0.4 alıacaktır. Newto- Raphso presb uygulaablmes ç,y ye göre türev alıdığıda; df / fy k y mg k y dy olur. Burada Newto Raphso uygulamasıa geçldğde; 5/ fy k y y y mg y m g h k y y 5 y / f y k y m g k y İzsz kopyalamayıız.
35 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 5/ y y y y 5 y / y y 5/ y / olarak hesaplaır. Bu değerler tablo halde verleblr. Tekrar sayısı e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+0.4. Msal: y y Newto-Raphso metoduu kullaarak f (y) f y f e foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç değer olarak 0 0 kullaıız. Çözüm: temel formülü kullaılablmes ç foksyou e göre türev hesaplaması f e f e olur. verle değerler aşağıdak deklemde gerekr. yere yazıldığıda. terasyo souda değer; f 0 e e 0 0 f e 0 e 0 e olarak hesaplaır. Bu değerler tablo halde verleblr. e f () Tekrar f sayısı e e Msal: le verle deklem kökler başlagıçta 0 = alarak, Newto- Raphso yötem le hesaplayıız. İzsz kopyalamayıız. 4
36 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Çözüm: foksyou lk öce e göre türev hesaplaması gerekr. f f 0 4 olur. verle değerler aşağıdak deklemde yere yazıldığıda. terasyo souda değer; f f olarak hesaplaır. Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. Dkkat edlrse, 9. terasyoda sora değerler değşmemektedr. İterasyo sayısı f ( ) f Görüldüğü gb 9. tekrarlamada sora değerler değşmemektedr..4.4 Msal: e s 0 0 le verle deklem kökler başlagıçta 0 =0 alarak, Newto Raphso yötem le hesaplayıız. Çözüm: foksyou lk öce e göre türev hesaplaması gerekr. e s e e cos s f 0 f olur. verle değerler aşağıdak deklemde yere yazıldığıda. terasyo souda değer; e s f 0 f e e cos s İzsz kopyalamayıız. 5
37 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 0 e s olarak hesaplaır. 0 0 e e cos0 s Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. Dkkat edlrse, 9. terasyoda sora değerler değşmemektedr. f ( ) İterasyo sayısı İzsz kopyalamayıız. 6 f Görüldüğü gb. tekrarlamada sora değerler değşmemektedr..4.5 Msal: e 0 le verle deklem kökler başlagıçta değer kullaarak, Newto-Raphso yötem le. tekrarlamaya kadar ayrıtılı olarak hesaplayıız Çözüm: lk öce foksyou e göre türev alımalıdır. f e f f e e İterasyo sayısı f ( ) f
38 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Yedc tekrarlamada sora souçlar değşmemektedr..5 İkc Mertebe Newto-Raphso Yötem (Secod Order Newto Raphso Method): Bu usül le çözüm yapıldığıda, geel olarak daha hızlı br şeklde köke yaklaşıldığı görülür. Fakat baze de zorlukla karşılaşılmaktadır. Temel formül olarak aşağıdak deklem kullaılır. Veya deklem daha sade olarak yazılablr..5. Msal: f f f f f f (5) f f f f (6) f f İkc Mertebede Newto-Raphso usulüü (tarzıı, metoduu, yötem) kullaarak yukarıda Msal.4. le verle f foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç değer olarak 0 kullaıız. Çözüm: temel formülü kullaılablmes ç foksyou e göre türevler f f 0 4 f 6 0 hesaplaması gerekr. olur. verle değerler aşağıdak deklemde yere yazıldığıda. terasyo souda değer; f f f f f f 0 4 f f f f f olarak hesaplaır. Bu değerler tablo halde verleblr. İterasyo sayısı f f f f () İzsz kopyalamayıız. 7
39 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Görüldüğü gb 8. tekrarlamada sora değerler değşmemektedr. Zorluklar dkkate alıdığıda. mertebede Newto-Raphso usulüü daha kolay uyguladığı görülmektedr..5. Msal: İkc Mertebede Newto-Raphso usulüü (tarzıı, metoduu, yötem) kullaarak e s yukarıda Msal.4.4 le verle f 0 foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç değer olarak kullaıız. 0 0 Çözüm: temel formülü kullaılablmes ç foksyou e göre türevler hesaplaması gerekr. e s e e cos s f 0 f f e e e s cos s f f 4 6 olur. Verle değerler aşağıdak 4 deklemde yere yazıldığıda. terasyo souda değer; f f f f f f değerler tablo halde verleblr. f olarak hesaplaır. Bu f f İzsz kopyalamayıız. 8 f f f f () İterasyo sayısı f f Görüldüğü gb 9. tekrarlamada sora değerler değşmemektedr. Zorluklar dkkate alıdığıda. mertebede Newto-Raphso usulüü daha kolay uyguladığı görülmektedr..6 Krş Yötem (Secat Method): Newto-Raphso yötemdek e büyük zorluklarda br, karmaşık ola foksyoları türev almaktır. Foksyou bu oktada türev almak yere, başlagıçta brbre eşt olmaya fakat brbre yakı k başlagıç oktası seçldğde, Bu k oktada geçe
40 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg doğru, foksyou bu oktada yaklaşık olarak eğm verdğde bu metoda Secat (eğm) metodu der. İkye bölme metoduda, şeçle k oktaı keyf olmayıp foksyou bu k oktada brsde egatf se dğerde poztf olma zorululuğu vardı. Burada se böyle br şart yoktur. Sadece seçle k okta brbre yakı olursa foksyou eğm de o derece doğru hesaplaacaktır. Bu durum Şekl -5 e dkkat bakıldığıda, le oktaları, brbre e kadar çok yakı seçlrse, mav çzg le gösterle doğruu eğm de o derece foksyou eğme yakı olacaktır. Tekrarlama soucuda elde edle souç, kök değere e yakı olduğu ç, kc tekrarlamada seçlecek kc değer, tekrarlama değere e yakı olursa, daha hızlı kök değere gdlr. Foksyou yazıldığıda; f f f dek değer f ve eğm ya brc türev ger farklar kullaılarak f f f hale gelr. Bu fade Newto-Raphso metodudak türevde yere koulduğuda; f f (8) f f f Bu fade Secat metoduu temel deklemdr ve kök değerler bu deklem le hesaplaır Aşağıdak grafkte se foksyoa başlagıçta 0 değer verldğde. ve. terasyolarda değer asıl köke yaklaştığı grafk olarak verlmştr. f( -) f() f( ) + f( ) f ( ) = - Şekl -5: Secat metoduu grafk gösterm.6. Msal: Secat metoduu kullaarak değer olarak 0.0 ve 0.0 kullaıız. f( -)-f( ) -- (7) f e foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç f e Çözüm: f e, f e f f f f 0 e e İzsz kopyalamayıız. 9
41 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg İzsz kopyalamayıız değer brc terasyo soucuda elde edle değerdr. Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. İterasyo sayısı f Görüldüğü gb kök değer 4. terasyoda sora değşmemektedr..6. Msal: Krş (Secat) metoduu kullaarak hesaplayıız. başlagıç değer olarak f 0.0 e s 0 foksyouu köküü ve kullaıız Çözüm: f e s 0 e s 0 f e s e s5 f f0 0 f f f f f değer brc terasyo soucuda elde edle değerdr. Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. Görüldüğü gb kök değer 0. tekrarlamada sora değşmemektedr. İterasyo sayısı E bast halyle, tabloya bakıldığıda, tekrarlamadak so k değer, br sorak tekrarlamada kullaılmaktadır. Bu özellk lk dört tekrarlamada mav rekle belrtlmştr. Kök değere erşldğde, tekrarlamada elde edle değerler değşmez hale gelr. Bu durum 0. tekrarlamada kırmızı rekle gösterlmştr. 0 f f f
42 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg.6. Msal: Krş (Secat) metoduu kullaarak e s f foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç değer olarak 0.5 ve 0.0 kullaıız. f e 0 s f 0 e 0 s 0 Çözüm: f f e s f f f f f f 0.5 f İzsz kopyalamayıız değer brc tekrarlama soucuda elde edle değerdr. Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. Görüldüğü gb kök değer 7. tekrarlamada sora değşmemektedr. İterasyo sayısı E bast halyle, tabloya bakıldığıda, tekrarlamadak so k değer, br sorak tekrarlamada kullaılmaktadır. Bu özellk lk dört tekrarlamada mav rekle belrtlmştr. Kök değere erşldğde, tekrarlamada elde edle değerler değşmez hale gelr. Bu durum 7. tekrarlamada kırmızı rekle gösterlmştr..7 Leer olmaya Deklem Sstemler (Nolear Systems of Equatos) Baze karşımıza brde fazla deklem ve ayı deklem çersde brde fazla değşke olup bu deklemler ayı ada çözümlemes gerekr. Buu br msal Mekazma dersde kullaıla mekazmaları koum, hız ve vme aalzlerdr. Mesele daha rahat alaşılması ç; k foksyo kabul edelm ve bu k foksyo hem hem de y ye bağlı olsu. Taylor sers k değşke ç yazıldığıda;! f k k f, y y k k y y 0! k0 k! k! y,y hale gelr.bu fade brkaç term ç açılarak yazıldığıda; f f y y y f f f, y f, y y y y! f y y y Sadece. derecede türevler dkkate alıarak tekrar yazıldığıda; f f f f y y (9) y f(,y) ç yazıla değerler kc g(,y) foksyou ç de yazıldığıda, f f
43 PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g g g g y y (0) y olur. Deklem (9) ve (0) brer deklem olarak ele alıdığıda f + ve g + değerler sıfıra eşt olacaktır. Böylece bu k deklem, f f f f f f f f y y 0 y y f y y y g g g g g g g g y y 0 y y g y y y Burada buluması gereke değerler + ve y + olduğuda, bu değerler eştlğ br tarafıda kalacak şeklde tekrar düzeledğde, f f f f y y f y y g g y y g g y y g hale gelr. İk blmeyel deklemler ç Cramer kuralı yazıldığıda, f f f f f f y f y y f y y g g g y g y y f f y g g y, y g g g y g y f f y g olur. İfadeler açılarak tekrar düzeledğde, f f g g g f y f y g y y y y f g f g y y f g g g f f y g y f y y y f g f g y y hale gelr. Gerekl kısaltmalar yapılarak Newto-Raphso formatıda yazıldığıda, g f f g f g g f y y, y y () f g f g f g f g y y y y olur. Deklem () veya Deklem () le k blmeyel sstemler ç, ayı souçlar elde edlr. Ayı souçlar Jacoba Matrs kullaılarak da elde edleblr. g, y olsu. Sayısal çözümleme ç Newto- Yukarıdak gb bu k foksyo f, y ve Rahpso yötem kullaılablr. Buu ç matrs formu gerekldr. Foksyolarda ve y oldğu ç matrs formu kullaılmalıdır. Burada; g y İzsz kopyalamayıız. 4
Polinom İnterpolasyonu
Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır
DetaylıSayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç
Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu
DetaylıRegresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi
Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)
DetaylıYER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.
YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,
Detaylı) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit
Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e
DetaylıBEKLENEN DEĞER VE VARYANS
BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee
DetaylıDeğişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ
Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde
Detaylıdenklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy
Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada
DetaylıÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR
ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ
Detaylı= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama
TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)
Detaylıİki veri setinin yapısının karşılaştırılması
İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu
DetaylıMERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle
DetaylıGiriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun:
Grş İSTATİSTİK I Ders Değşkelk ve Asmetr Ölçüler Ortalamalar, serler karşılaştırılmasıda her zama yeterl ölçüler değldr. Ayı ortalamayı sahp serler arklı dağılım göstereblrler. Bu edele serler karşılaştırılmasıda,
DetaylıÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ
03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak
Detaylı(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü
FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER
DetaylıTahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması
. Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve
DetaylıLİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
DetaylıHĐPERSTATĐK SĐSTEMLER
HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,
DetaylıPAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya
DetaylıÖnceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan
III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda
Detaylı1. GAZLARIN DAVRANI I
. GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak
Detaylıİleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455
İler Tekoloj Blmler Dergs Joural of Advaced Techology Sceces ISSN:47-3455 GÜÇ SİSTEMLERİNDE HARMONİKLERİN KRİTİK DEĞERLERE ETKİSİ Yusuf ALAŞAHAN İsmal ERCAN Al ÖZTÜRK 3 Salh TOSUN 4,4 Düzce Üv, Tekoloj
DetaylıZaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ
Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler
Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı
DetaylıDoç. Dr. Mehmet AKSARAYLI
Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br
Detaylıdeğerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.
Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler
TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar
DetaylıBir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu
Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler
DetaylıĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1
ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler
Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede
DetaylıParametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2
Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr
DetaylıBÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)
BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Dinamik Programlama. Örnek 3: Tıbbi Müdahale Ekiplerinin Ülkelere Dağıtımı
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Hafta Determstk Damk Programlama (devam) Damk Programlama Geçe derste küçük ölçekl problemler damk programlamayla yelemel olarak asıl çözüldüğüü gördük. Bu derste, öreklere devam
DetaylıDenklem Çözümünde Açık Yöntemler
Denklem Çözümünde Bu yöntem, n yalnızca başlangıç değer kullanılan ya da kökü kapsayan br aralık kullanılması gerekmez. Açık yöntemler hızlı sonuç vermesne karşın, başlangıç değer uygun seçlmedğnde ıraksayablr.
DetaylıĐst201 Đstatistik Teorisi I
Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller
DetaylıKUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.
İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest
DetaylıQuality Planning and Control
Qualty Plag ad Cotrol END 3618 KALİTE PLANLAMA VE KONTROL Prof. Dr. Mehmet ÇAKMAKÇI Dokuz Eylül Üverstes Edüstr Mühedslğ Aablm Dalı 1 Qualty Maagemet İstatstksel Proses Kotrol Kotrol Kartları 2 END 3618
DetaylıDEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 9 Sayı: 1 s. 1-7 Ocak 2007 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE TAŞIMA MATRİSİ YÖNTEMİ
DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ lt: 9 Sayı: s -7 Ocak 7 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖÜMÜNDE AŞIMA MARİSİ YÖNEMİ (MEHOD OF RANSFER MARIX O HE ANALYSIS OF HYDRAULI PROBLEMS) Rasoul DANESHFARA*,
DetaylıDEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ
DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ Clt: 2 Sayı: 3 sh 87-02 Ekm 200 VOLTERRA SERİLERİ METODU İLE DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN FREKANS BOYUTUNDA ANALİZİ İÇİN NET TABANLI ARAYÜZ TASARIMI (DESIGN
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
DetaylıYüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi
Yüksek Mertebede Sstemler İç Ayrıştırma Temell Br Kotrol Yötem Osma Çakıroğlu, Müjde Güzelkaya, İbrahm Eks 3 Kotrol ve Otomasyo Mühedslğ Bölümü Elektrk Elektrok Fakültes İstabul Tekk Üverstes,34369, Maslak,
DetaylıÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU
6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace
DetaylıFİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek
Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )
DetaylıGenelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine
Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler
Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde
DetaylıSürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Sürekl olasılık onksyonları X değşken - ;+ aralığında tanımlanmış br sürekl rassal değşken olsun. Aşağıdak
DetaylıIII.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)
III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak
DetaylıKONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI
1 KONTOL KATLAI 1)DEĞİŞKENLE İÇİN KONTOL KATLAI Ölçe,gözle veya deey yolu le elde edle verler değşke(ölçüleblr-sürekl) ve özellk (sayılablr-keskl) olak üzere başlıca k gruba ayrılır. Değşke verler belrl
DetaylıTOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı
TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve
DetaylıBASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
Detaylı6. Uygulama. dx < olduğunda ( )
. Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal
DetaylıBAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK *
BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * Fteess Codtos For Soe Segroup Fales ad Costructos ad Effcecy Basr ÇALIŞKAN Mateatk Aabl Dalı Hayrullah AYIK Mateatk Aabl Dalı ÖZET
DetaylıTABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME
6 TABAKAI ŞA ÖREKEME 6.. Populasyo ortalaması ve populasyo toplamıı tam 6.. Populasyo ortalamasıı ve toplamıı varyası 6... Populasyo ortalamasıı varyası 6... Populasyo toplamıı varyası 6..3. Ortalama ve
DetaylıAçık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma
Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda
DetaylıSıklık Tabloları ve Tek Değişkenli Grafikler
Sıklık Tabloları ve Tek Değşkenl Grafkler Sıklık Tablosu Ver dzsnde yer alan değerlern tekrarlama sayılarını çeren tabloya sıklık tablosu denr. Sıklık Tabloları tek değşken çn marjnal tablo olarak adlandırılır.
DetaylıBir Alışveriş Merkezinde Hizmet Sektörü Đçin En Kısa Yol Problemi ile Bir Çözüm
Br Alışverş Merkezde Hzmet Sektörü Đç E Kısa Yol Problem le Br Çözüm Pıar Düdar, Mehmet Al Balcı, Zeyep Örs Yorgacıoğlu Ege Üverstes, Matematk Bölümü, Đzmr Yaşar Üverstes, Matematk Bölümü, Đzmr par.dudar@ege.edu.tr,
DetaylıREGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI
FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 EGESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KAELE VE EN KÜÇÜK MEDYAN KAELE YÖNTEMLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI Özlem GÜÜNLÜ ALMA, Özgül VUPA Dokuz Eylül Üverstes, Fe-Edebyat Fakültes,
Detaylı5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları
5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu
DetaylıBETONARME YAPILARIN DEPREM PERFORMANSININ DEĞERLENDİRİLMESİ. M.Emin ÖNCÜ 1, Yusuf CALAYIR 2
BETONARME YAPILARIN DEPREM PERFORMANSININ DEĞERLENDİRİLMESİ M.Em ÖNCÜ, Yusuf CALAYIR ocume@dcle.edu.tr, ycalayr@frat.edu.tr Öz: Çalışmada, betoarme yapıları Türk Deprem Yöetmelğde (ABYYHY,998) verle talep
DetaylıTĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz
TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (
DetaylıBÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
DetaylıSAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
DetaylıCebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi
3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada
Detaylıçözüm: C=19500 TL n=4 ay t=0,25 I i 1.yol: Senedin iskonto tutarı x TL olsun. Bu durumda senedin peşin değeri: P C I (19500 x) TL olarak alınabilir.
1 6)Kred değer 19500 TL ola br seet vadese 4 ay kala, yıllık %25 skoto oraı üzerde br bakaya skoto ettrlyor. Hesaplamada ç skoto metodu kullaıldığıa göre, seed skoto tutarı kaç TL dr? C=19500 TL =4 ay
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri
DetaylıSAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
Detaylı(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
DetaylıSOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ
ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes
DetaylıÖrnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;
Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9
DetaylıTÜREV DEĞERLERİNİ İÇEREN RASYONEL İNTERPOLASYON YÖNTEMLERİ VE UYGULAMALARI. Bayram Ali İBRAHİMOĞLU* & Mustafa BAYRAM**
D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları TÜREV DEĞERLERİNİ İÇEREN RASYONEL İNTERPOLASYON YÖNTEMLERİ VE UYGULAMALARI Bayram Al İBRAHİMOĞLU*
DetaylıAES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör
AES S Kutusua Bezer S Kutuları Ürete Smulatör M.Tolga SAKALLI Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ tolga@trakya.edu.tr Erca BULUŞ Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ ercab@trakya.edu.tr Adaç ŞAHİN Trakya Üverstes
DetaylıTarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim.
6..27 Tarhl Mühedslk ekooms fal sıavı Süre 9 dakka Sıav Saat: Sıav süresce görevllere soru sormayı. Başarılar dlerm. D: SOYD: ÖĞRENCİ NO: İMZ: Tek ödemel akümüle değer faktörü Tek ödemel gücel değer faktörü
Detaylıbir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre
Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak
DetaylıELECO '2012 Elektrik - Elektronik ve Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 29 Kasım - 01 Aralık 2012, Bursa
ELECO '1 Elektrk - Elektrok ve Blgsayar Mühedslğ Sempozyumu, 9 Kasım - 1 Aralık 1, Bursa Artırma/Azaltma Lmtl ve Yasak İşletm Bölgel Ekoomk Güç Dağıtımı Problemler Yerçekmsel Arama Algortması le Çözümü
DetaylıDeney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı
SRY ÜNİVERSİESİ Djtal ontrol Laboratuvar Deney Föyü Deney No: 2 Sıvı Sevye ontrol Deney 2.. Deneyn macı Bu deneyn amacı, doğrusal olmayan sıvı sevye sstemnn belrlenen br çalışma noktası cvarında doğrusallaştırılmış
DetaylıHARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI
HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme
Detaylı5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii
DetaylıETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA
İstabul Tcaret Üverstes Fe Blmler Dergs Yıl: 11 Sayı: Güz 01 s. 19-35 ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA Cası KAYA 1, Oza KOCADAĞLI Gelş: 30.05.01 Kabul: 14.1.01
DetaylıTALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ
TALEP TAHMİNLERİ Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ Yöetm e temel foksyolarıda br ola plalama, e kaba taımıyla, şletme geleceğe yöelk alıa kararları br bleşkesdr. Geleceğe yöelk alıa kararları başarısı yöetcler yaptıkları
DetaylıHIZLI EVRİMSEL ENİYİLEME İÇİN YAPAY SİNİR AĞI KULLANILMASI
Hızlı Evrmsel Eyleme İç Yapay Sr Ağı Kullaılması HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ OCAK 006 CİLT SAYI 3 (-8) HIZLI EVRİMSEL ENİYİLEME İÇİN YAPAY SİNİR AĞI KULLANILMASI Abdurrahma HHO Dekalığı Havacılık
DetaylıSAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ
SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz SAYISAL ANALİZ SAYISAL TÜREV Numercal Derentaton Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz İÇİNDEKİLER Sayısal Türev Ger Farklar
Detaylı5.3. Tekne Yüzeylerinin Matematiksel Temsili
5.3. Tekne Yüzeylernn atematksel Temsl atematksel yüzey temslnde lk öneml çalışmalar Coons (53) tarafından gerçekleştrlmştr. Ferguson yüzeylernn gelştrlmş hal olan Coons yüzeylernde tüm sınır eğrler çn
DetaylıBağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği
Akademk Blşm 11 - III. Akademk Blşm Koferası Bldrler 2-4 Şubat 2011 İöü Üverstes, Malatya Bağıl Değerledrme Sstem Smülasyo Yötem le Test Edlmes: Kls 7 Aralık Üverstes Öreğ Kls 7 Aralık Üverstes, Blgsayar
DetaylıM Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R
İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY
DetaylıMatematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2
Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü
DetaylıMühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN
Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın
DetaylıKARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI 1 1.
KARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI.., +.,.,. +.,,. +, + Re( ) İm( ) +. olmak üere? olmak üere.. + )? (. 6 +.. 9 + 8 ( ) olduğua göre İm (Z) Re (Z)?. + + 9 + 6 +... + 89 6. 0 + + +... + 7. P(x) x 7 + x x
Detaylı0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322
Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem
DetaylıPOLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı
DetaylıBÉZIER YAKLAŞIMI İLE BİR YÜZEYİN OLUŞTURULMASI VE C PROGRAMLAMA İLE CAM KODLARININ TÜRETİLMESİ
İMAK-asarım İmalat Aalz Kogres 6-8 Nsa 6 - ALIKESİR ÉZIER YAKLAŞIMI İLE İR YÜZEYİN OLUŞURULMASI VE C PROGRAMLAMA İLE CAM KODLARININ ÜREİLMESİ Cha ÖZEL, Erol KILIÇKAP Fırat Üverstes, Maka Mühedslğ ölümü-elaziğ
Detaylı=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24
İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK
DetaylıFilbert Matrislerinin Normları İçin Alt ve Üst Sınırlar. The Upper and Lower Bounds For Norms of Filbert Matrices
lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Sülema Demrel Üverstes B Türe E Sarııar e Blmler Esttüsü Dergs - (00 - lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Bahr TÜREN E SRIPINR Sülema Demrel Üverstes
Detaylı1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ
DERS NOTU 07 KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ, LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİ FAİZ ESNEKLİĞİ Bugünk dersn çerğ: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 1.1 İŞLEMLER (MUAMELELER) TALEBİ... 2 1.2 ÖNLEM (İHTİYAT) TALEBİ...
DetaylıİŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI
İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI Ahmet ERGÜLEN * Halm KAZAN ** Muhtt KAPLAN *** ÖZET Arta rekabet şartları çersde karlılıklarıı korumak ve
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler
Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde
DetaylıRANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras
RANKI OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI Reports Of Free Groups Otomorfzm Rak Le Algebras Özge ÖZTEKİN Matematk Aa Blm Dalı Name EKİCİ Matematk Aa Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada,
Detaylı