(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

Transkript

1 FİZ4 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI (DERS NOTLARI Hazırlaa: Pro.Dr. Ora ÇAKIR Aara Üverstes Fe Faültes Fz Bölümü Aara 07!

2 İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLMESİ I/II. UYGUN EĞRİNİN BULUNMASI VE INTERPOLASYON I/II 4. SAYISAL İNTEGRAL HESAPLARI I/II 5. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ I/II 6. BENZETİM I/II 7. FİZİKTE SEMBOLIK HESAPLAMA I/II EKLER KAYNAKLAR!

3 KONU 0 DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ II 5.5. Ruge-Kutta Yötemler Ruge-Kutta ötem Euler ötemde ortalama eğm esaplama şlemler br adım daa ler götürür. Leer terpolasoda ullaıla eğm aralığı sol ve sağ sıırıda eğmler le aralığı çde bulua braç ota alıara ağırlılı ortalama olara esaplaır. Eğmler ç ullaıla bölmeleme ve bağıl ağırlılar ç brço alterat bulumatadır bölece Ruge Kutta ötem brc mertebede ad deresel delemler çözüm ötem olara blr. Bütü bu ötemler osou Talor sers açılımıda ( ötem mertebes olma üzere mertebe termlere adar uumludur. Buda dolaı c üçücü dördücü vs. mertebede Ruge-Kutta ötemler vardır. İc mertebede ötemler l terme adar bütü termlere saptr. Dördücü mertebede Ruge-Kutta ötem se lü terme adar bütü termlere saptr. Arıca gelştrlmş Euler ötem ve değştrlmş Euler ötem c mertebe Ruge- Kutta ötem özel durumları olduğu gösterleblr Dördücü mertebede Ruge-Kutta ötem Br ad deresel delem çözere e ço ullaıla ötem dördücü mertebede Ruge- Kutta ötemdr. Dördücü mertebe ötem ç aşağıda verle adede elde edlr. ( 4 6!

4 Bu delemde değerler elde edle değerde tam artışı ade etmetedr. ( ( / ( / ( 4 / / 4 Burada sol sıırı eğm tam sağ sıırı eğm tam ve se arada otaı eğm tamler göstermetedr. değerler ağırlılı ortalaması de artışı belrleme ç ullaılır ve değer buluması ç değere eler. Öre: : d / d deresel delem ( 0 başlagıç oşulu olma üzere değerler ç dördücü mertebede Ruge-Kutta ötemle çözüüz. Çözüm: Ruge-Kutta ötemde verle delemler ullaılır: 0 ( 4 0 ç 6 esaplamalıdır. Buu ç [ (0.0.0] 0.(.0 0. ( [ ( / ] 0. (0.. 0.( ( 0 / 0 / 0. [ ( / ] 0. (0.. 0.( ( 0 / 0 / 0. [ ( ] 0. ( ( ( Souç olara [ 0. (0.4 ( ] / elde edlr.! 4

5 ( Bezer şelde ç 6 4 esaplamalıdır. [ (0..48] 0.( ( 0. [ ( / ] ( / / ( ( [ ( / ] ( / / ( ( [ ( ] 4 ( ( ( Souç olara edlr. [ (0.746 ( ] / elde Bu örete problem çözümü ç azırlamış program aşağıda verlmştr. FORTRAN programı program ruge_utta mplct real*8 (a-o-z parameter (5 dmeso (0:(0: 00.d0.d0 0.d0 wrte(**"( "" ("" (" call RK4(00 do 0! 5

6 ope(le"ruge_utta.tt" wrte(*((o(( wrte(**((o(( eddo ed subroute RK4(00 mplct real*8 (a-o-z dmeso (0:(0: (-0/ (00 (00 do 0- (( *((( *((/.d0(/.d0 *((/.d0(/.d0 4*((( (((.d0*(4/6.d0 eddo retur ed ucto ( mplct real*8 (a-o-z retur! 6

7 ed ucto o( mplct real*8 (a-o-z o-.d0-.d0*ep( retur ed Program çalıştırıldığıda değerlere arşı gele Ruge-Kutta ötemde esaplaa değerler elde edlmetedr. Çzelge 5. de souçları arşılaştırma ç aalt çözümde elde edle ( değerler de verlmştr. Ruge-Kutta ötemde Çzelge 5. de görüldüğü gb Euler öteme göre olduça duarlı souçlar elde edlmetedr. Bu ötemde bu öre ç ataı mertebes le verlr. Çzelge 5. Ruge-Kutta ötem le delem çözümüde elde edle değerler ( Ruge-Kutta ötemler bazı özelller. Kedlğde başlar ( değer belrleme ç sadece br öce otasıda ararlaır.! 7

8 . Fosou çbr türev esaplamaa gere dumaz.. Fosou uumludur. c ( ötem derecesdr term dal olma üzere Talor sers açılımıa v. Kola programı azılablr ço ararlı ve doğrudur. Daa öce de basedldğ gb dördücü mertebede Ruge-Kutta ötem ç esme atası O( 5 mertebesdedr. v. Ruge-Kutta ötem ed ede başlaablme özellğe sap olduğuda adım aralığıı değştrme oladır. Dördücü mertebede Ruge-Kutta ötem ç br dezavataj e br değer esaplama ç ( osouu dört ez esaplama gereldr. Foso armaşı se bu zama alıcı olablr. Buula brlte arta doğrulu edele dördücü mertebede Ruge- Kutta ötem terc edlr. Yüse duarlılığı edele büü adım aralılarıda ble ullama mümüdür. Ked ede başlama özellğ saesde Ruge-Kutta ötem ullaılara başlagıç çözümü elde edleblr ve buda sora da tam-düzeltme ötem ullaılara çözümü doğruluğu artırılablr. Bazı problemler saısal çözümü ç adım aralığıı otomat olara değştrldğ ötemler ullama adalı olacatır. Çüü çözüm bazı bölgelerde ızlı değşm göstereblr burada duarlılı elde edeblme ç üçü adım aralığı gerer. Sabt ve ço üçü adım aralığı da esaplamalarda uzu zama alacağıda adım aralığıı otrolü öem taşımatadır. Böle br ötem ugulaması ç erel esme atası er br adımda tam edlr ve bua göre adım aralığı aarlaır. Br adımlı ötemlere adım aralığı otroluü verme ç temel alaşım vardır. Bularda brcs aı mertebel aat arlı adım aralılı Ruge-Kutta ötem ullaara tam arasıda ar olara ata esabıdır. İcs arlı mertebel Ruge- Kutta ötem ullaara tam arasıda ar olara erel esme atasıı esabıdır. Adım arılama vea adaptve RK ötemde er br adım dea alıır. Öce tam br adım alıır ( tam sora bağımsız arı adım alıır ( tam. İ soucu arı erel esme atasıı tam verr (Δ. Adım aralığı otrolu rter eleme ç dördücü mertebe RK ötemde düzeltme term ß Δ/5 şelde verlr. Bu tam se beşc-mertebe duarlılığıdadır.! 8

9 5.6. Ço Adımlı Yötemler Bütü Ruge-Kutta ormüller seç özelllerde br te adımlı ötemler olmalarıdır. Br sora ( değer elde edere sadece br öce otasıda blgde aralaır. Bu şlem Ruge-Kutta öteme ed ede başlaa br özell vermese rağme tegralleme sürec braç adım lerledğde elde edle ve öce adımlarda esaplaa değerler le lgl lave blgler ullaamaz. Ço-adımlı ötemler braç ( ( değer ullaara (öreğ ( ( ( tam etmee çalışır. Br sora değer esaplama ç ( tam değer ullaa öteme -adımlı ötem der. Öre olara -adımlı ötem tae ( değer ( geretrr a ( belrleme ç ( ve gereldr. Ço-adımlı ötem braç otaı blgse gere duduğuda ed ede başlaamaz. Buda dolaı bütü ço adımlı ötemler başlaması ç Ruge-Kutta ötem gb te adımlı ötemlerle başlagıç değerler esaplaması geremetedr. Ço-adımlı ötemlerde temel presp öce değerler ullaara ( türev osouu taımlaa br polom urma ve buu sora aralığa etrapolaso apmatır. Polomu dereces date alıa otaları saısıa bağlıdır. İ ota ullaılırsa tam polom brc derecede olacatır. Üç ota ullaılırsa tam polom quadrat olacatır dört ota ullaılırsa tam polom üb olacatır ((a 0 a a a. Kullaıla ota saısı arttıça alıa polomu mertebes ve doğruluğu artacatır Adams Yötem Ço-adımlı ötemlere br öre Adams ötemdr. İc mertebe Adams ötem üç otada geçe c derecede br polom le ( osouu tam eder Şel 5.6. d / d ( deresel delem sıırları de e ola br tegral eştlg şelde azarız.! 9

10 d ( d P ( d P Burada ( a0 a a azılırsa; d ( a0 a a d a 0 a a Yuarıda tegral er aralıta ede esapladığı ç sıır otalarıı oumuda etlemez ve tegral sıırları 0 ve alıablr (burada aralılar eşt abul edlmştr. a0 a a a Blmee 0 a ve a atsaılarıı aşağıda delemlerde esaplaablrz. 0 0 ç ( a ç ( a a a 0 ç ( a a0 a 4 Yuarıda delem sstem çözülürse a 0 a ( 4! 0

11 a ( buluur. Yuarıda atsaılar ere azılıp esaplaırsa Adams ötem elde edlr: (5 6 Eğer ( osou ve otaları gb dört otada geçerse o zama c mertebede Adams öteme bezer br alaşım ullaılara aşağıda verle deleme göre değer belrleeblrz. ( (45 Bu delem aı zamada Adams-Basort ormülü olara da blr. Bu deleme arşı gele ataı mertebes O( 5 dr.!

12 Şel 5.6 İc mertebede Adams ötem grasel gösterm 5.6. Tam-Düzeltme Yötemler Tam-düzeltme ötemler ço adımlı ötemlerdr ve braç otaa at blglerde adalaırlar. Bu ötemde değer verle br ormülle tam edlr ve bu değer başa br ormülle düzeltlr. Düzeltme ormülü eterl duarlı elde edlcee adar braç ez ugulaır. Bu edele tam-düzeltme ötemler terarlama (teraso şlemler gerçeleştrr. Öce otalar aıda blg geretrr ve ed ede başlaa br ötem değldr. Buda dolaı tam-düzeltme ötemler dğer ötemlerle (öreğ Ruge-Kutta ötem brleştrlere ullaılır. E bast tam-düzeltme ötem gelştrlmş Euler ötemdr. Bu ötemde tam değer temel Euler ötemle esaplaır. Tam delem * ( le verlr ve düzeltme delem [ ( ( ] * le verlr Mle-Smpso Yötem!

13 E ble tam-düzeltme ötemlerde br Mle-Smpso ötemdr Şel 5.7 ve 5.8. Bu ötem l öce türev değerler etrapole edere değer tam eder. Br sora adıma geçmede öce tam edle bu değer düzeltlr. Bu ötem ve otalarıda dört adet başlagıç değer ullaır. Bu otalarda ve değerler bld ğ de ( osouu esaplaablrz. Burada quadrature ormulü d / d ( deresel delem le sıırları arasıda tegre etme ç ullaılır. d ( d P ( d P quadratc terpolaso osou ( a0 a a ere azılırsa ve alıırsa ç tam edle (etrapole edle değer; Şel 5.7 Mle tam ötem grasel gösterm!

14 ( a0 a a d a a a le verlr. Blmee 0 ve atsaıları terpolaso osou ve otalarıa uumula elde edlr. Bu şlem daa öcede c mertebede Adams ötem ç apılmıştı. Bu değerler ere azılıp tegral esaplaırsa edlr. tam ç Mle ormülü elde 4 P ( Mle düzeltme ormulü se c derecede polom ve otalarıda geçece şelde elde edlr. Burada tegral aşağıda gb esaplaır. d ( d P ( d ( a 0 a a d Burada ( osou ere e tegral sıırları ve ola quadratc oso ullaılmıştır.! 4

15 Şel 5.8 Mle düzeltme ötem grasel gösterm Yuarıda tegral Smpso u br-bölü-üç uralıa eşt olduğua dat edz. Blmee a0 a ve a atsaıları çözülere aşağıda verle düzeltme ormülü elde edlr; C ( Bu delemde tam ormülüde elde edle ullaılara değer esaplaır. Tam (predctor delem le düzeltme (corrector delem aı olmadığıa dat edz (aı üç otada osou t etmor. Arıca tam ve düzeltme ormüller ç tegral sıırları da arlıdır. Tam ve düzeltme delemler so termler esaplamasıda ullaılmaz. Bu termler esaplaa değer le lşl ata termlerdr. Düzeltme ormülüde ataı atsaısı (/90 tam ormülüdede (8/90 ço daa üçütür.! 5

16 Geel olara tam ve düzeltme ormüllerde esaplaa değer arlı olacatır. Gerçe değer bu değer arasıda buluur ve düzeltme ormülü le elde edle değere aıdır. Tam ve düzeltme değerler arasıda ar duarlılı ç bast br tam verr ve adım aralığıı aarlama ç ullaılablr. Ye değerler düzeltme ormülüü braç ez ugulaara esaplaablr ve aısalığı test edeblrz. Bua rağme çoğu müedsl problemlerde aısalı br vea terasoda elde edlr bölece bu ötemler ugulaa programları çoğu geellle sadece br çt teraso gerçeleştrr. Mle ötem bast oluşu ve duarlılı (erel ata O( 5 vermese rağme bazı durumlarda ararsızlı problemle arşılaşır. Özellle çözümler üstel olduğu durumlarda aıla atalar da üstel olara büür. Çoğu problemler ç deresel delem çözümü öcede blmedğde Mle ötem ullaılması pe azla öerlmez Adams-Moulto Yötem Mle ötemde ararsızlı problemde etlemee tam-düzeltme ötem Adams- Moulto ötemdr. Bu ötem ullaır. ve csde tam ede ormül; değer tam edere Adams-Basort ormülüü P ( Tam edle değer aşağıda verle Adams-Moulto düzeltme ormülü le düzeltlr. ( C Bu ötem başlatma ç dört değere taç duulduğua dat edz. Burada erel ata O( 5 mertebesdedr. Bu otem Mle-Smpso ötem gb arasızlı problemde etlemedğde ullaım alaı daa geştr.! 6

17 Hem Adams-Moulto ötem em de Mle-Smpso ötem Ruge-Kutta ötemde at daa vermldr çüü bular adım başıa osou dea esaplamasıı geretrr albu Ruge-Kutta ötemde dört dea esap apma geremetedr. Tam-düzeltme ötemler dğer br üstülüğü se çde duarlılı rterler bulumasıdır. Tam edle ve düzeltle değerler arasıda ar tam duarlılığı verr ve bu adım aralığıı aarlama ç ullaılablr. Te adımlı ötemlerle ço adımlı ötemler brbrler tamamladığıda deresel delemler çöze prat br program er teğ de ullamalıdır. ve ü bulma ç Ruge-Kutta ötemle çözüme başlaır. Ardışı 4 5 değerler esaplama ç Tam-Düzeltme ötemler ullaılır. İstele duarlı ç düzeltme ormülüü üç vea daa azla terasou gerelse adım aralığı azaltılmalıdır. Adım aralığıı değştrme ç so değer başlagıç otası olara düşüülür ve çözüm bu otada Ruge-Kutta ötem vasıtasıla ede başlatılır. Deresel delemler çözme ç Adams-Moulto tam-düzeltme ötem ugulaa program aşağıda verlmştr. FORTRAN program program ada_mou mplct real*8 (a-o-z parameter (0 dmeso (0:(0: wrte(**"0 0" read(**00 call adams_moulto(00 wrte(**"( "" (" do 0 ope(le"ada_mou.tt"! 7

18 wrte(*(( wrte(**(( eddo ed subroute adams_moulto(00 mplct real*8 (a-o-z dmeso (0:(0: (-0/ 0.d0* call RK4(00 do - (( C...Tam etme ((/4.d0*(. -9.d0*((-(-. 7.d0*((-( d0*((-(-. 55.d0*((( C...Duzeltme ((/4.d0*(. ((-(-. -5.d0*((-(-. 9.d0*(((. 9.d0*((( eddo retur! 8

19 ed subroute RK4(00 mplct real*8 (a-o-z dmeso (0:(0: (-0/ (00 (00 do 0- (( *((( *((/.d0(/.d0 *((/.d0(/.d0 4*((( (((.d0*(4/6.d0 eddo retur ed ucto ( mplct real*8 (a-o-z retur ed Program çalıştırıldığıda aşağıda souçlar elde edlmetedr Çzelge 5.. Burada deresel delem 0 da 0 olaca şelde başlagıç oşulu altıda [0:] aralığıda sabt! 9

20 0. adımlı çözülmüştür. Elde edle değerler le aalt souç O( 5 mertebesde duarlılı göstermetedr. Çzelge 5. Adams-Moulto ötem le delem çözümüü souçları İc Mertebede Deresel Delemler İc mertebede vea daa üse mertebede br deresel delem ardımcı bağımlı değşeler taımlaara brc mertebede deresel delem ssteme drgeeblr. İdrgemş brc mertebede deresel delemler aşağıda gb azılablr: ʹ ( v v ʹ ( v! 0

21 Burada olara taımlamıştır. Çözüm ç Ruge-Kutta ötem ullaılırsa; ve adeler elde edlr. Öre: Br zsel öre olara Newto u c areet asasıı temsl ede deresel delem ele alalım: d d v / ( v ( v l l v l v l l v l v l ( 4 l v l v ( l 4 ( 6 4 ( 6 4 l l l l v v!

22 d F ma m dt Bu delemde F uvvet m ütle ve a vmedr. Burada er değştrme ve t zamaı gösterme üzere vme ades a d / dt şelde azılablr. Yuarıda delemde v d / dt bağımlı değşe değştrmesle brc derecede deresel deleme drgeeblr (burada v ızı göstermetedr. d v dt dv m dt F Burada delemler brc mertebede delemler ç gelştrle erag br ötemle çözüleblr. ve v bağımlı değşeler er delemde de buluduğuda er delem eş t zamalı çözülmeldr. Bölece er t zama aralığı ç ve v değerler esaplamalıdır. ve v esaplamasıda başlagıç değerler geremetedr. Eğer t bağımsız değşe bazı değerler ç ve v bağımlı değşe değerler açıça belrtlrse sstem başlagıç değer problem olara sııladırılır. Eğer t bağımsız değşe bazı değerler ç ve v bağımlı değşe değerler verlmemşse bu sstem sıır değer problem olara smledrlr. Sıır değer problemler saısal çözümü başlagıç değer problemlerde daa zordur. İc mertebede deresel delemlerle gösterleblece prat öem ola başlagıç değer problemler vardır. Kütle-a sstem sürtümel br ortamda br dış F(t uvvet etsde olduğuda areet delem d d m b ( t F( t dt dt!

23 şelde azılablr. Bu delemde m ütle b söüm atsaısı a sabt t zama ve (t zamaı osou olara er değştrmedr. Eğer v dv / dt derse c mertebede deresel delem tae brc mertebede deresel delemle er değştreblrz. d dt dv dt v m [ F( t bv( t ( t ] Bu delemler çözümler eşzamalı olara uarıda alatıla ötemlerle buluablr. Fzsel öreler aşağıda verlmştr. Öre Problem : Söümlü armo salııcı - ger çağırıcı uvvet ve b! sürtüme uvvet etsde areet etmetedr. Problem Ruge-Kutta ötem le çözüüz. Burada N/m b N.s/m olara Çözüm : Burada brc mertebede deresel delemler aşağıda gb azılablr. d dt dv dt v m [ bv ] st st st bçmde azılablr. Bu delem çözümü e olara alıırsa! se ve!! s e elde edlr. Burada cebrsel delem s Bular sa b 0 azılablr. Bu delem çözülürse s ç ö buluur. a s ± a 4b 4!

24 elde edlr. İ ö değer aı değlse bu durumda çözüm Geel çözüm aşağıda gb azılablr. st st c e ce olara elde edlr. β bt w t / m ( t e Ae A e β w t Problem saısal çözümü ç gerel program aşağıda verlmştr. FORTRAN program program _der mplct real*8 (a-o-z parameter (0 dmeso (0:(0:v(0: wrte(**"0 0 v0" read(**00v0 call RK4(00v0v wrte(**"( "" ("" v(" do 0 ope(le"_der.tt" wrte(*((v( wrte(**((v( eddo ed subroute RK4(00v0v mplct real*8 (a-o-z! 4

25 dmeso (0:(0:v(0: (-0/ (00 (00 v(0v0 do 0- (( *(((v( l*(((v( *((/.d0(/.d0v(l/.d0 l *((/.d0(/.d0v(l/.d0 *((/.d0(/.d0v(l/.d0 l*((/.d0(/.d0v(l/.d0 4*(((v(l l4*(((v(l (((.d0*(4/6.d0 v(v((l.d0*(lll4/6.d0 eddo retur ed ucto (v mplct real*8 (a-o-z *0.d0*0.d0v retur ed! 5

26 ucto (v mplct real*8 (a-o-z FF0.d0 b.d0.d0 *0.d0FF-b*v-* retur ed Program çalıştırıldığıda aşağıda Çzelge 5.4 de değerler elde edlmetedr. Bu verler grağ çzlrse Şel 5.9 elde edlr. Çzelge 5.9 Öre problem ç Ruge-Kutta ötemde elde edle souçlar t(s (cm v(cm/s ! 6

27 (cmv(cm/s Koum Hz t(s Şel 5.9 İc mertebede deresel delem Ruge-Kutta le çözümü zamaa bağlı olara oum ve ız grağ söüm altı durum. Öre Problem : Br RLC eletr devres matemat model Q (t0q (t 5Q(t9s(5t le verlor. Burada Q(00 ve Q (00 dır. Deresel delem Ruge-Kutta ötem le [0 :] aralığıda çözüüz. M40 adım ullaıız ve adım aralığıı 0.05 alıız. Çözüm : I(tQ (t devrede geçe aımı göstermetedr. Bua göre delem sstem aşağıda gb azılablr. Q' ( t I( t I' ( t 0I( t 5Q( t 9s(5t Bu delem sstem çözümü öce probleme bezer şelde apılablr. Değşl apılması geree oso altprogramlarıdır. FORTRAN altprogramı ucto (tq mplct real*8 (a-o-z t*0.d0q*0.d0 retur! 7

28 ed ucto (tq mplct real*8 (a-o-z FF9.d0*s(5.d0*t a0.d0 b5.d0 t*0.d0ff-a*-b*q retur ed Program çalıştırıldığıda elde edle verlerde Şel 5.0 de Q(t ve I(t geçe zamaa bağlı olara grağ gösterlmştr. Q(tI(t t(s Şel 5.0 Dış eletromotor uvvet etsde RLC devresde üü ve aımı zamaa göre değşm.! 8

29 ÖZET Deresel delemler: d/dt Δ/Δt(t deresel delem verldğde zamaı osou olara bulma geremetedr (t Δt.! 9