Kesir Dereceli bir PID Denetleyicinin Genetik Algoritma Optimizasyonlu ANFIS Modeli

Transkript

1 Kesir Dereceli bir PID Denetleyicinin Genetik Algoritma Optimizasyonlu ANFIS Modeli Mehmet Korkmaz 1, Ömer Aydoğdu 2 Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü, Selçuk Üniversitesi 1 mkorkmaz@selcuk.edu.tr, 2 oaydogdu@selcuk.edu.tr Özetçe Bu çalışmada ilk olarak, kesir dereceli bir PID (Fractional Order PID, FOPID) denetleyici Genetik Algoritmalar (GA) yardımıyla optimal olarak tasarlanmış ve optimal parametreleri bulunmuş kesir dereceli PID denetleyicinin ANFIS modeli elde edilmiştir. Daha sonra elde edilen ANFIS bulanık denetleyicisinin giriş kazançları ve çıkış kazancı GA ile tekrar optimize edilerek ikinci dereceden bir sistemin kontrolünde kullanılmıştır. Elde edilen GA ile optimizasyonu yapılmış ANFIS modelli denetleyicinin, cevap performansı açısından daha iyi sonuçlar verdiği görülmüştür. 1. Giriş Genetik algoritmalar (GA), doğadaki biyolojik evrim temeline dayanan optimizasyon tekniğidir. Genetik algoritmalar ilk defa 1975 yılında Michigan üniversitesinde John Holland ve arkadaşları tarafından tanıtılmıştır. İlk uygulaması, boru hatları ile ilgili bir problemin çözümü amacıyla David Goldberg tarafından yapılmıştır [1]. İlk tanıtımından beri kullanılan bu yaklaşım, doğal ve yapay sistem bilimlerinin gelişimine önemli katkılar sağlamıştır. Ancak, mühendislikte optimizasyon için genetik algoritmaların kullanılmasına, özellikle son yıllarsa, sıklıkla rastlanmaktadır [2]. ANFIS (Adaptive Network Based Fuzzy Inference System) yapısı, Sugeno tipi bulanık sistemlerin, sinirsel öğrenme kabiliyetine sahip bir ağ yapısı olarak temsilinden ibarettir. Bu ağ, her biri belli bir fonksiyonu gerçekleştirmek üzere, katmanlar halinde yerleştirilmiş düğümlerin birleşiminden oluşmuştur [3]. ANFIS ın, yapısında hem yapay sinir ağları hem de bulanık mantık kullanılır [4]. Yapı bakımından ANFIS, bulanık çıkarım sistemindeki eğer-ise kuralları ve giriş çıkış bilgi çiftlerinden oluşur [5]. Ancak sistem eğitiminde ve denetiminde Yapay Sinir Ağı (YSA) öğrenme algoritmaları kullanılır. Kesir dereceli türev ve integral kavramı, tam sayı olanları kadar eski bir geçmişe sahip olmasına karşın hesaplamalarda karşılaşılan zorluklardan dolayı son zamanlara kadar fazla yer bulamamıştır. Gelişen bilgisayar teknolojisi ve buna paralel olarak hesaplamalarda ki kolaylıklar kesirli türev ve integral kavramının bilim ve mühendisliğin birçok alanında kullanılmasına imkan tanımıştır. Günümüzde bu konu üzerine çalışmalar gün geçtikçe daha da artmaktadır. Literatürde kesirli dereceli kontrol ilk olarak 1958 yılında Tustin in büyük objelerin pozisyon kontrolü için tanıtılmıştır [6]. Bununla birlikte 1960 lı yıllarda Manabe tarafından bu konuda öncülük eden bazı çalışmalar yapılmıştır [7] lerde ise Oldstam ve arkadaşlarının bu konu üzerine yoğun bir şekilde eğildikleri görülmektedir. Bagley, , Miller, 1994 yapılan çalışmalarda mekanik sistemlerin kesir dereceli durum denklemleri ile ifadesi üzerinde durulmuştur [8-10]. Le Méhauté ve Crepy, 1983 yılında fraktans adı verilen ve direnç ile kapasitans arasında özellikler gösteren bir devre elemanı önermişler ve bu elemanı kesirli dereceden elemanlarla ifade etmişlerdir. Nakawaga ve Sorimachi, 1992 yılında benzer bir çalışma yapılmıştır [11-12]. Weterlund tarafından 1994 yılında yeni bir kapasitör teorisi geliştirilmiş olup esası kesirli dereceden türeve dayanmaktadır [13]. Caputo, Nonnenmacher, Glöcke, Friedrich, Westerlund tarafından deneysel olarak kesirli dereceden sistemlerin tam sayılı olanlarına göre daha iyi sonuçlar verdiği görülmüştür [14-16] yılında Podlubny tarafından ortaya atılan kesirli PID yapısı (PI λ D µ ) ilgi görmüş ve üzerine yapılan çalışmalar devam edegelmiştir [17]. Gelişen süreçte frekans bölgesi yaklaşımları Vinagre ve arkadaşları tarafından ortaya konulmuştur. Devamında kontrolör tasarımları da yapılagelmiştir. Endüstride sıklıkla kullanılan PID tip denetleyicilerin bir sonucu olarak da bu konu üzerine çalışmalar yoğunlaşarak devam etmiştir [18]. Bilgisayar ortamında ki çalışmalara örnek olarak ise Oustaloup tarafından 1991 yılında CRONE, (Commande Robuste d Ordre Non Entier), kesir dereceli sistemlerin dayanıklı kontrolü anlamında bir program geliştirilmiştir yılında Toolbox ninteger for MATLAB v. 2.3 adlı, MATLAB ortamında çalışan bir program yayınlamıştır [19]. 2. Kesir Dereceli Sistemler Kesir dereceli kontrol sistemleri Şekil-1 de görüldüğü gibi denetleyicinin ya da kontrol edilecek sistemden en az birinin türev veya integral derecesinin reel olmasıyla oluşan sistemlerdir. Şekil 1: Kesirli dereceden sistem

2 R(s) referans giriş; C(s) sistem cevabı; Gc(s) kontrolör; Gp(s) denetlenecek sistem olmak üzere kesirli bir sistemin blok diyagramı şekil-1 deki gibi verilebilir. Türev ve(ya) integral mertebeleri reel olan kesir dereceli diferansiyel denklemler için literatürde birçok tanımlama bulunmaktadır. Bununla birlikte bunlar arasında en çok kullanılan Grünwald-Letnikov (GL) ve Rieman-Lioville (RL) tanımlamalarıdır. Aşağıdaki denklem RL için kesirli dereceyi ifade eden denklemdir. n t 1 d f ( ) a Dt n d, n<α<n+1 (1) n1 ( n ) dt ( t ) a Bu denklemde Γ(.) Euler gama fonksiyonu, D a t integrotürev operatörü olup a ve t sınırlar, α ise türev veya integral derecesidir. α nın pozitif durumları için türevi temsil ederken, negatif değerlerinde integral ifadesi anlamına gelmektedir. Kesirli diferansiyel denklemlerin donanımsal olarak ve benzetimlerde zor ifade edilmesinden dolayı bazı tamsayı yaklaşıkları elde edilerek uygulamaları yapılabilir. Literatürde bu denklemlerin ifade edilmesi için tanımlanmış sürekli kesir açılımı (CFE), frekans tanımlaması ya da eğri uyumu, Carlson yöntemi vb. birçok yöntem bulunmaktadır. Bununla birlikte literatürde Laplace ortamında s nin belli değerleri için hazırlanmış tablolarda bulunmaktadır [20]. Bu çalışmada kesirli ifadelerin yaklaşıklarını elde etmek için Crone Yöntemi kullanılmıştır. Buna göre bu yaklaşım için denklem aşağıdaki gibidir. Bu işlem için hesap [ω l, ω h ] frekans aralığında geçerlidir. C s) ks v ( (2) C( s) k' N n 1 1 s 1 zn (3) s pn Bu yaklaşım, N kutup ve N sıfır için tekrarlı bölünme işlemini kullanır. ω zn ve ω pn, sırasıyla sıfır ve kutuplar için, birinci değerlerinden N ye kadar olan değerleri anlamına gelir. k ayarlanabilir kazançtır Kesir dereceli PID Denetleyiciler Kesirli matematiğin alt dalı olan kesirli dereceden denetleyiciler, kesirli dereceden sistemlerde olduğu gibi, türev ve integral parametrelerinin derecelerinin reel sayı olarak seçilmesiyle elde edilir. Bu tür denetleyiciler için transfer fonksiyonu (4) de verildiği gibidir. G c( s) K p Kis Kds (4) Denklem sisteminde K p, oransal kazancı (proportioal gain), K i integral kazancını (integral gain) ve K d türev kazancınıı (derivative gain) ifade etmektedir. Bununla birlikte λ ve µ reel sayıları sırasıyla integral ve türev derecelerine işaret etmektedir. Şekil-2 den görüleceği üzere sistemde türev (µ) ve integral (λ) derecelerinin sıfır alınması ile sistem alışık olduğumuz oransal kontrolör (P) yapısında olmaktadır. µ değerinin sıfır, λ değerinin 1 alınması ile PI yapısı oluşurken tersi durumda ise PD denetleyicisi elde edilmektedir. Bunlara paralel olarak µ ve λ değerlerinin 1 seçilmesi ile klasik PID yapısı oluşmaktadır. Geleneksel PID denetleyici, türev-integral düzleminde ancak dört nokta ile ifade edilirken, şekil-2 den görüldüğü gibi denetleyici kesirli yapıda olduğunda düzlemde sonsuz noktada ifade edilebilmektedir. Bu da bize denetleyici parametrelerini seçerken daha esnek olmamızı sağlamaktadır ve sistemin gürbüzlüğünü artırmaktadır. Şekil 2: (a) Tam Dereceli, (b) Kesir Dereceli PID denetleyicinin türev ve integral düzlemlerinde gösterilmesi 3. Kesirli Dereceden PID Denetleyici ANFIS Modeli 3.1. ANFIS (a) (b) Giriş kısmında özellikleri ve içeriğinden bahsedilen genel bir ANFIS yapısı için, Şekil-3 de birinci dereceden iki girişli tek çıkışlı örnek bir ANFIS yapısı verilmiştir. Şekil-3 den görüldüğü gibi ANFIS yapısı, 5 katmanlı ileri beslemeli bir yapay sinir ağı formundadır. Herbir katman ve bu katmanların görevleri şu şekilde özetlenebilir [21-24]. 1. Katman: ANFIS yapısında girdi değişkenlerinin her biri adaptif bir bağlantı ucu (düğüm) oluşturur, yani düğüm sayısı girdi değişkeni sayısına eşittir. Bu değişkenlerin üyelik fonksiyonları düğüm fonksiyonu olarak kullanılır. Ayrıca bu üyelik fonksiyonlarının parametreleri öncül parametreler olarak adlandırılır. 2. Katman: Düğümler sabit karakterdedir. Düğüm sayısı kural sayısına eşittir. Düğüm girdileri, kuralların öncül kısmındaki değişkenlerin üyelik fonksiyon değerleri, düğüm çıktıları ise, kuralların ağırlık dereceleri (firing streght) dir 3. Katman: Düğüm girdileri, kuralların ağırlık dereceleri, çıktıları ise, normalize edilmiş ağırlık dereceleridir. Yani bu tabakanın görevi, kuralların ağırlıklarını normalize etmektir. 4. Katman: Bu tabakadaki düğümler adaptiftir. Düğüm fonksiyonu, Sugeno Sistemi nde, herhangi bir mertebeden (çoğunlukla 1. mertebe) bir fonksiyondur. Model parametreleri, Durulaştırma veya Sonuç parametreleri olarak adlandırılır. 5. Katman: Tek düğümden ibaret olan bu tabakanın çıktısı, kesin değerli model çıktısıdır. ANFIS yapısının parametreleri; öncül ve sonuç parametreleridir. Eğitim veri seti, bu yapay sinir ağına tanıtılır

3 ve herhangi bir eğitme algoritması vasıtasıyla, eğitim veri setinde girdi-çıktı fonksiyonel ilişkisini en iyi şekilde öğrenir. Aslında bu işlem bir optimizasyon işleminden başka bir şey değildir. ANFIS için model çıktısı ile eğitim veri seti çıktısı (ölçüm, deneysel sonuç vs.) arasındaki farkın kareler toplamı şeklinde ifade edilen hata fonksiyonunun minimum olduğu şartların bulunması, yani, parametrelerin optimum değerlerinin tespiti hedeflenir [22]. Şekil 3: Birinci dereceden iki girişli tek çıkışlı ANFIS yapısı 3.2. ANFIS Modeli ANFIS uygulamasını gerçekleştirmek için MATLAB programı kullanılmıştır. Bahsi geçen sisteme birim basamak girişi uygulanarak cevap eğrisinden train_data isminde bir eğitim verisi ile check_data isminde bir kontrol verisi oluşturulmuştur. Giriş verisi olarak hata(e), hatanın türevi (de) ve hatanın türevinin türevi (dde) alınırken çıkış verisi olarak kontrolör çıkışı(u) alınmıştır. Üretilen FIS yapısında giriş değişkenleri için küme sayıları sırasıyla 2, 2, 2; 5, 5, 5 ve 3, 3, 3 olarak denenmiştir. En uygun sonuçlar, üyelik fonksiyonlarının 3, 3, 3 olarak seçilmesi durumunda elde edilmiştir. Üyelik fonksiyonu olarak gbellmf fonksiyonu seçilmiştir. Eğitme işlemi, Hybrid algoritma ile gerçekleştirilmiştir. Çalışmada kullanılmış olan üç girişli bir çıkışlı ANFIS ile oluşturulan ağ yapısı şekil-4 te görülmektedir. Başlangıçta eğitim için 30 iterasyonun uygun olacağı öngörülmüş ancak bu yeterli olmayınca 20 iterasyonluk bir deneme daha yapılarak 50 iterasyon sonunda hata daha makul seviyelere düşmüş ve sabitlenmiştir. Bunun üzerine eğitim işlemi tamamlanmıştır. 4. GA Optimizasyonlu ANFIS Modeli 4.1. Genetik Algoritmalar Yerel minimumlara nazaran genel minimum noktaları da bulmada da başarılı olan genetik algoritmalar bu özelliğinin yanı sıra rasgele oluşturulmuş olan başlangıç popülasyonunu baz alarak, bu popülasyonun özelliklerini yeni nesillere seçilim ve üreme işlemleri ile aktarır. Elde edilen son birey problem için en uygun ya da en uyguna yakın bir çözüm anlamına gelmektedir. Kodlama açısından genetik algoritmalar gerçek ve ikilik taban olmak üzere iki türdedir. Bireyler bir amaç fonksiyonuna göre kıyaslanarak en iyi olanları seçilirken diğerleri elenirler. Daha sonra ise global optimizasyonun yapılabilmesi için en iyi bireyler ve bunların bir kısmının mutasyona uğratılarak yeni popülasyonun elde edilmesi ile bu işlemler nihai sonuca kadar sürdürülür. Bu çalışmada kullanılan algoritmada popülasyon sayısı 30, çaprazlama oranı 0.5, mutasyon oranı 0.5, iterasyon sayısı 50 olarak seçilmiştir. Ayrıca bireylerin birbirleri arasından en uygun olanını seçmek için turnuva yöntemi kullanılmıştır. Çalışmada kullanılan algoritma akış diyagramı şekil-5 teki gibidir: Şekil 5: Genetik algoritma akış diyagramı Bu veriler eşliğinde 50 iterasyonluk bir çalışma neticesinde her bir iterasyon için fonksiyon çıkışları bulunmuştur. En uygun değerler hesaplanırken amaç fonksiyonu olarak (5) deki gibi karma bir optimizasyon kriteri kullanılmıştır. Fonksiyon çıkışları için (5) i minimal yapan bireyler en iyi değerler olarak kabul edilerek kesirli PID yapısının parametreleri olarak kullanılmıştır. J 0 2 ( e( t) 0.001u ( t)) dt (5) Şekil 4: ANFIS ile oluşturulan ağ yapısı

4 5. Simülasyon Sonuçları Benzetim sonuçlarını elde etmek için çalışmada transfer fonksiyonu (6) daki gibi olan ikinci dereceden bir sistem kullanılmıştır. Gp 400 () s 2 s 50s (6) Kesirli PID yapısının ANFIS modeli elde edilerek şekil- 7 de ki yapıya göre çıkışlar elde edilmiştir. Şekil-6 da Simulink blok diyagramı görülen sistem için kesirli PID yapısının parametreleri Tablo-1 deki gibi bulunmuştur. Bu sistemde oluşan hata (e), hatanın türevi (de) ve hatanın ikinci dereceden türevi (dde), ANFIS yapısı için giriş parametreleri olarak kullanılırken; kontrolör çıkışı (u) ise çıkış değişkeni olarak kullanılmıştır. Şekil 7: ANFIS ile modellenmiş sistem Daha sonra şekil-8 de görüleceği üzere değişkenler için giriş ve çıkış kazançları ayarlanabilecek şekilde düzenleme yapılmış ve kesirli PID ANFIS modeli kullanılarak bu kazanç değerleri genetik algoritmalar yardımıyla yeniden elde edilmiştir. Buna göre kazançlar için bulunan optimal parametreler tablo-2 de ki gibidir. Şekil 6: Kesirli PID ile kontrol edilen sistem blok diyagramı Tablo 1: GA ile elde edilen kesirli PID parametreleri Tablo 2: GA-ANFIS Parametreleri G e G de G dde G o GA-ANFIS K p K d µ K i λ FOPID Şekil 8: GA-ANFIS modelli kesirli PID MATLAB - Simulink Modeli

5 Şekil-9 dan görüleceği üzere birim basamak girişine cevap olarak sırasıyla, kesirli PID, bu yapının ANFIS modeli ve giriş-çıkış kazançları GA ile optimize edilmiş ANFIS modelinin eğrileri görülmektedir. Şekil 9: Sistemler için birim basamak cevapları Benzer şekilde elde edilmiş bu yapılar farklı performans kriterlerine göre de karşılaştırılmıştır. Sonuçlar tablo-3 de verilmiştir. Tablo 3: Sistemlerin performans kriterlerine göre değerlendirmeleri (Birim basamak giriş) IAE ISE Karma FOPID ANFIS GA-ANFIS Elde edilen bu sistemlerin girişlerine sinüs sinyali uygulandığında sistem cevap eğrileri şekil-10 daki gibi elde edilir. Buna göre oluşan performans kriterleri açısından değerlendirmeleri ise tablo-4 teki gibidir. Şekil 10: Sistemlerin sinüs giriş için cevapları Tablo 4: Sistemlerin performans kriterlerine göre değerlendirmeleri (Sinüs giriş) IAE ISE Karma FOPID ANFIS GA-ANFIS Sonuçlar Bu çalışmada ikinci dereceden bir sistemin kesirli PID yapısına göre kontrolü incelenmiştir. Kesirli PID parametreleri performans kriterlerine göre genetik algoritmalar ile belirlenmiş olup sistem cevabı benzetim çalışması ile incelenmiştir. Bununla birlikte kesirli PID yapısının ANFIS ile modellenmesi sağlanarak bu yapı yerine geçebilecek bir bulanık yapı oluşturulmuş ve farklı tipteki girişler için çıkışı nasıl izlediği gözlemlenmiştir. Ayrıca oluşturulan bu fuzzy FIS (fuzzy inference system) yapısı için giriş ve çıkış kazançları aynı kriterlere göre genetik algoritma ile yeniden optimize edilmiştir. Buna göre beklenildiği üzere, modellenmiş olan ANFIS yapısı, genetik algoritmalar ile en uygunlaştırılmış kesirli PID ile benzer sonuçları verirken genetik algoritmalar yardımıyla denetleyici giriş-çıkış kazançları optimize edilmiş olan ANFIS modelli yapının sistem çıkışını izlemede daha iyi sonuçlar verdiği görülmüştür. İlerleyen çalışmalarda bu yapının daha da geliştirilmesi ve farklı derecede ve türdeki transfer fonksiyonları içinde irdelenmesi amaçlanmaktadır. 7. Kaynakça [1] Goldberg, D.E Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning, Addison Wesley, New York. [2] Ashraf zadeh, F Genetic Based Auto-Design of Fuzzy Controllers. PhD. Thesis, The University of Galgary, Alberta. [3] L.H. Tsoukalas, R.E. Uhrig, Fuzzy and Neural Approaches in Engineering, John Wiley & Sons Inc., [4] B. Kosko, Neural Networks and Fuzzy Systems:A Dynamical Systems Approach to Machine Intelligence, Englewood Ciffs., NJ: Prentice Hall, [5] J.S.R. Jang, ANFIS: Adaptive Network-based Fuzzy Inference Systems, IEEE Trans. on Systems, Man and Cybernetics, Cilt: 23, s: , [6] A. Tustin, et. al, The Design of Systems for Automatic Control of the Position of Massive Objects, The Institute of Electrical Engineers, (105-C)1: pp. 1-57, 1958 [7] S. Manabe, The Non-integer Integral and its Application to Control Systems, Journal of Institute of Electrical Engineers of Japan, (80)860: pp , [8] R. L. Bagley ve R. A. Calico, Fractional-Order State Equations for the Control of Viscoelastic Damped Structures, J. Guidance, Control and Dynamics, vol. 14, no. 2, pp , [9] R. L. Bagley ve P. Torvik, On the Appearance of the Fractional Derivative in the Behavior of Real Materials, J. Appl. Mech., vol. 51, pp , [10] A. Makroglou, R. K. Miller ve S. Skaar, Computational Results for a Feedback Control for a Rotating Viscoelastic Beam, J. Guidance, Control and Dynamics, vol. 17, no. 1, pp , [11] A. Le M ehaut e ve G. Crepy, Introduction to Transfer and Motion in Fractal Media: The Geometry of Kynetics, Solid State Ionics, no. 9 10, pp , 1983.

6 [12] M. Nakagawa, ve K. Sorimachi, Basic Characteristics of a Fractance Device, IEICE Trans. Fundamentals, vol. E75-A, no. 12, pp , [13] S. Westerlund, Capacitor Theory, IEEE Trans. Dielectrics Electron. Insulation, vol. 1, no. 5, pp , [14] M. Caputo, Elasticita e Dissipacione, Bologna: Zanichelli, [15] T. F. Nonnenmacher ve W. G. Glöckle, A Fractional Model for Mechanical Stress Relaxation, Philosophical Magazine Lett., vol. 64, no. 2, pp , [16] C. Friedrich, Relaxation and Retardation Functions of the Maxwell Model with Fractional Derivatives, Rheol. Acta., vol. 30, pp , [17] Podlubny, Fractional-Order Systems and PI λ D µ Controllers, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44, no. 1, pp , [18] B. M. Vinagre, C. A. Monje, V. Feliu ve Y. Q. Chen, On Auto- Tuning of Fractional Order PI λ D µ Controllers, in Proc. IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Application (FDA 06), Porto, Portugal, [19] Url-1http://web.ist.utl.pt/duarte.valerio/ninteger/ Manual.pdf [20] Ozyetkin M.M., Tan N., Kesirli Dereceli Sistemlerin Tamsayı Dereceli Yaklaşımı, SIU IEEE 18.Sinyal isleme ve iletisim uygulamalari kurultayi, Diyarbakır, [21] J.S.R. Jang, C.T. Sun, and E. Mizutani, Neuro-fuzzy and Soft Computing: A Computational Approach to Learning and Machine Intelligence, Prentice Hall, N.J [22] M. Caner, E. Akarslan, Mermer Kesme İşleminde Spesifik Enerji Faktörünün ANFIS ve YSA Yöntemleri ile Tahmini, Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Cilt: 15, No: 2, s: , [23] A.A. Saifizul, Z. Zainon, N.A Abu Osman, C.A. Azlan ve U.F.S Ungku Ibrahim, Intelligent Control for Selferecting Inverted Pendulum Via Adaptive Neuro-fuzzy Inference System, American Journal of Applied Sciences, Cilt: 3, No: 4, s: , [24] T. Pejman, H. Ardeshir, Application of Adaptive Neuro- Fuzzy Inference System for Grade Estimation, Australian Journal of Basic and Applied Sciences, Cilt: 4, No: 3, s: , 2010.