Kontrol Sistemlerinin Tasarımı

Transkript

1 Kontrol Sistemlerinin Tasarımı Kök Yer Eğrileri ile Tasarım IV Geribesleme Üzerinden Denetim ve Fiziksel Gerçekleme Prof.Dr.Galip Cansever

2 2

3 3

4 Denetleyiciyi veya dengeleyiciyi geribesleme hattı üzerine yerleştirerek de kapalı döngü kutuplarının yerlerini değiştirebiliriz. ( Kök yer eğrisini tekrar yapılandırabiliriz) Genel olarak, K, G 2 (s) veya her ikisi de birim seçilerek yukarıdaki blok diyagram değişik biçimler alabilir. Eşdeğer blok diyagramı: 4

5 Geribesleme hattı üzerinden denetleyici tasarımı daha zordur. Ama tasarımcının istediği başarım ölçütünü yakalamak üzere kontrol döngülerini ayrıştırma şansı verir. Örneğin bir uçak kontrolü düşünelim: böyle bir tasarımla uçağın yükseklik kontrolü, bütün uçağın sürüş kontrolünden bağımsız olarak tasarlanabilir. Geribesleme hattı üzerinden yapılan denetimin bir diğer avantajı da daha hızlı olmasıdır. Ayrıca geribesleme hattı üzerindeki denetleyici fazladan ampifikatör gerektirmeyebilir, çünkü geribesleme hattı üzerindeki denetleyicinin girişi yüksek seviyeli çıkış işareti, çıkışı ise düşük seviyeli giriş işaretidir.( Böylece gürültüler amplifikate edilmemiş olur.) En popüler geribesleme hattı denetleyicisi fark alıcıdır(differentiator) 5

6 Fark alıcı olarak takometre kullanan bir konum kontrol sistemi Burada takometre motorun hızına göre gerilim üretmektedir. Bu denetleyici ile çıkış konumu kolayca ayarlanabilir. 6

7 Bu sistemin blok diyagramı Takometrenin transfer fonksiyonu Alt kapalı döngü geribesleme denetleyici 7

8 Tipik olarak alt döngü fiziksel sistemin yada denetleyicinin etrafındadır. Böylece alt döngü denetleyici tasarımcının anadöngüyü kapatmadan denetleyiciyi tasarlamasına izin verir. Alt döngü denetleyicisine fiziksel sistemin açık döngü kutuplarını kaydıran bir denetleyici gözü ile bakılabilir. Ana döngü denetleyicisi ise sisteme bir sıfır ekler ve K takometre kazancı ile ayar yapar. Bu sıfır sistemin kök yer eğrisini yeniden yapılandırır ve kök yer eğrisinin istenilen noktadan geçirir. Görüleceği üzere bu yordam (procedure) PD denetleyici tasarımına benzer. 8

9 Ana(Dış) Döngü Denetleyicisi: Eğer denetleyici aşağıdaki şekideki gibi ana döngü birim geribesleme ile paralel ise eşdeğer transfer fonksiyonu: R(s) K G ( s) C(s) K f s H ( s) = + K s = K ( s + Eşdeğer açık döngü transfer fonksiyonu: f f K K G H s) = K K G ( s)( s + ( f f ) K f ) 9

10 Böylece, geribesleme denetleyici sistem açık döngü taransfer fonksiyonuna ayarlanabilir sıfır ekler. Ardarda(kaskat) bağlantılı tasarımda olduğu gibi sıfırın seçimi ile kök yer eğrisi yeniden yapılandırılır ve K kazancı ayarlanır. Burada dikkat edilmesi gereken denetleyicinin sıfırı kapalı döngü transfer fonksiyonunun değildir. Örnek: Şekildeki sistem için takogeneratör denetleyici tasarlayarak yerleşme zamanının 4 kat azalmasını ve sistemin birim basamak cevabında %20 aşıma sahip olmasını sağlayınız. 0

11 Hız geribeslemeli denetleyici yapısı Eşdeğer geribeslemeli denetleyici yapısı

12 Kompanze edilmemiş sistemin kök yer eğrisini çizdirip %20 aşıma karşılık gelen ξ=0.456 doğrusu ile kesiştirdiğimizde baskın köklerin -.809±j3.53 noktalarında olduğunu görürüz. Birim basamak cevabına baktığımızda, 2

13 Birim basamak cevabı 3

14 Başarım Ölçütleri 4

15 Denetleyiciden istenilen yerleşme zamanı 2.2/4=0.55 saniye olmalıdır. Öyleyse baskın köklerin reel kısmı 4(-.809)= olur. İmajiner kısım ise: ω d = tan( ) = 4.23 Baskın köklerin ±j4.23 noktalarında olur. Açı koşulunu kontrol ettiğimizde kompanze eilmemiş sistemin köklerinden bu baskın kutuplara olan açıların toplamının olduğunu görürüz. Dolayısıyla denetleyicimizin açı katkısı olmalıdır. 5

16 tan( ) = zc z c =

17 Denetlenmiş sistemin kök yer eğrisi: 7

18 Denetlenmiş sistemin birim basamak cevabı: 8

19 z c = K f K f = z c = 5.42 = 0.85 Tasarım noktasında K kazancı=0.85*388.2= Birim kök yer eğrisinden dikkat edilecek olursa, yüksek dereceli kutup baskın kutuplardan çok uzakta olmadığından etkisi ihmal edilemez. Açık döngü sıfırı, kapalı döngü sıfır olmadığı için, sıfır- Kutup eliminasyonu yoktur. Böylece tasarım simülasyon ile kontrol edilmelidir. Simülasyon sonucundan görüleceği üzere sistem birim basamak cevabı aşırı sönümlü ve 0.75san yerleşme zamanına sahiptir. Tasarım başarım ölçütlerini tam sağlamamasına rağmen kompanze edilmemiş sisteme göre iyileşme olmuştur. Tipik olarak az aşım kabul edilebilir. Yerleşme zamanını daha da iyileştirmek için tasarım yeniden yapılandırılmalıdır. 9

20 K v = 75 K + KK f = 4.8 e( ) rampa = = = K 4.8 v

21 Alt(iç) Döngü Denetleyicisi: Bu denetleyici tasarımında geribesleme denetleyicisinin geçici rejim cevabını düzenlemek üzere kapalı döngü sistem cevabında ayrı olarak tasarımın nasıl yapılabileceğini inceleyeceğiz. Alt döngü ileri yol transfer fonksiyonu temsil eder ve bu ileri yol transfer fonksiyonunun kutupları alt döngü denetleyicisinin kazancı ile ayarlanır. Ardarda(kaskat) tip denetleyiciye nazaran kök yer eğrisinin ilave sıfır ve kutupla yeniden düzenlenmesi yerine sistemin kutuplarının yeri kazanç ayarlanması ile değiştirilir. 2

22 Örnek: Şekildeki sistem için alt döngü sönüm oranı 0.8 ve kapalı döngü sistem sönüm oranı 0.6 olacak şekilde alt döngü geribesleme denetleyicisi tasarlayınız.(ikinci şekildeki gibi) 22

23 Alt döngü s( s+ 5)( s+ 5) fiziksel sistemini ve K f s ve geribesleme denetleyicisini içeren döngüdür. K f in değeri alt döngü kutuplarını yerleştirecek şekilde ayarlanır ve daha sonra kapalı döngü cevabını verecek K belirlenir. 23

24 Alt döngü nün transfer fonksiyonu, G ML, G ML = + s( s+ 5)( s+ 5) K s( s+ 5)( s+ 5) f s = [ 20 (75 )] 2 + s+ + K s s f 24

25 G ML = [ 20 (75 )] 2 + s+ + K s s f + s [ s + 20s + (75+ K )] [ 2 s s + 20s + (75 + K ) ] f + = [ ] 2 f s s + 20s + (75 + K ) 2 Kapalı döngü transfer fonksiyonu ise: f = s [ s + 20s + (75 + K )] 2 s s s + K f f + s nin paydasını +KG(s)H(s) haline K f için dönüştürmemiz gerekir ki kök yer eğrisini çizdirelim. Alt döngü K f s s( s+ 5)( s+ 5) için kök yer eğrisi, 25

26 K f kazancına göre kök yer eğrisini çizdirip ξ=0.8 doğrusu ile kestirelim. 26

27 Orjindeki sıfır alt döngü geribesleme fonksiyonundan geldiği için, bu sıfır alt döngünün kapalı döngü sıfırı değildir. Böylece orjindeki kutup yerinde kalır ve sıfır kutup eliminasyonu olmaz. G ML transfer fonksiyonu da bunu açıkça belirtir. Diğer iki kutbun yeri kazancın değişimi ile değişir. Sönüm oranı 0.8 i veren doğru çizildiğinde kompleks kutuplar -0±j7.5 noktalarındır. Bu noktalarda K f kazancı 8.25 değerindedir. Ana döngü için tasarımımızı tamamlayalım. Ana döngünün son hali: + R(s) + C(s) K 2 - s( s + 20s ) K kazancına göre kök yer eğrisini çizdirip ξ=0.6 doğrusu ile kestirelim. 27

28 Görüldüğü gibi baskın köklerimiz s,2 =-4.535±j6.046 noktalarındadır ve bu noktalar için gerekli olan kazanç değeri dir. Bu kazanç ile elde edilecek üçüncü kök noktasındadır. 28

29 Üçüncü kök baskın köklerden yeterli uzaklıkta olmadığı için sistem performası simülasyonla kontrol edilmelidir. 29

30 FİZİKSEL GERÇEKLEME Bu bölümde tasarladığımız denetleyicilerimizi nasıl gerçekleyebileceğimizi inceleyeceğiz. Özellikle devre ile gerçeklemede kullanılan op-amp lar ile başlayalım. OP-AMP Şekilde gördüğümüz op-amp 4 ana karakteristik özelliğe sahiptir. ) Fark alan giriş, v 2 -v 2) Yüksek giriş empedansı 3) Düşük çıkış empedansı 4) Yüksek Kazanç, A 30

31 Çıkış gerlilimi, v o (t), v o (t)=a[v 2 (t)-v (t)] Eğer v 2 (t) topraklamış ise op-amp eviren op-amp olarak adlandırılır. Bu durumda, v o (t)=-av (t) Alternatif olarak eviren op-amp ı aşağıdaki gibi gösterebiliriz. 3

32 Eğer iki empedans şekildeki gibi eviren op-amp a bağlanacak olursa denetleyicilerimiz için gerçekleme devrelerini elde edebiliriz. Kirşof yasalarını uygulayacak olursak, I a (s)=0 ve I (s)=-i 2 (s). Ayrıca, A kazancı çok yüksektir ve doalyısıyla v 0. Böylece I (s)=v i (s)/z (s) ve I 2 (s)=v 0 (s)/z 2 (s). Bu iki denklemi birleştirecek olursak; V V 0 i ( s) ( s) = Z Z 2 ( s) ( s) 32

33 Aktif Devrelerle Denetleyicilerin Gerçeklenmesi: Z ve Z 2 empedanslarını değiştirerek veya uygun seçerek şimdiye kadar gördüğümüz denetleyicileri aktif opamp devreleri ile gerçekleyebiliriz. 33

34 34

35 Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonuna sahip PID denetleyicisini gerçekleyiniz. Çözüm: ( s + 0.5)( s ) G PID ( s) = s G PID ( s) = s s Şeklinde PID denetleyicimizin transfer fonksiyonunu yazabiliriz, bu durumda, R R 2 = + C C R2 C = = R C 2 35

36 Üç denklem ve buna karşılık dört bilinmeyen olduğu için parametrelerden bir tanesi pratikte kullanılan bir değer olarak seçilir. Örneğin C 2 =0.mikroFarad olarak seçilirse, R = kΩ, R2 = kΩ ve C = 5.59µ F olarak hesaplanır. Bu durumda PID denetleyici devresi, 36

37 Pasif Devrelerle Denetleyicilerin Gerçeklenmesi: Faz-gecikmeli, Faz-ilerletici ve Faz-ilerletici-gecikmeli denetleyiciler pasif devre elemanları ile de gerçeklenebilirler. Faz-ilerletici-gecikmeli denetleyici transfer fonksiyonu genel olarak, İle verilir. Burada alfa den küçüktür ve dolayısıyla T terimi faz ilerletici denetleyiciden T 2 ise faz gecikmeli denetleyiciden gelir. 37

38 38

39 Faz-ilerletici-gecikmeli denetleyicileri pasif devre elemanları ile gerçeklerken pasif devre elamanlarının yüklenme etkilerinin ortadan kaldırmak üzere iki pasif devre arasına buffer yerleştirilir. 39

40 Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonuna sahip Faz ilerletici denetleyiciyi gerçekleyiniz. Çözüm: G c s + 4 ( s) = s R C = 4 R C + R C 2 = R2 C = C=mikro Farad olarak seçilirse, R =250kohm ve R 2 =62.2kohm olarak bulunur. 40