ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayça Hatce TÜRKAN GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 007

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Bu tez 08 / 08 /007 Tarhde Aşağıdak Jür Üyeler Tarafıda Oybrlğ/ Oyçokluğu İle Kabul Edlmştr. İmza Prof.Dr. Hamza EROL DANIŞMAN İmza Prof.Dr. Fkr AKDENİZ ÜYE İmza Prof.Dr. Mehmet TÜMAY ÜYE Bu tez Esttümüz İstatstk Aablm Dalıda hazırlamıştır. Kod No: Prof. Dr. Azz ERTUNÇ Esttü Müdürü İmza ve Mühür Bu çalışma Türkye Blmsel ve Tekolojk Araştırma Kurumu (TÜBİTAK)-Blm İsaı Destekleme Dare Başkalığı (BİDEB) tarafıda desteklemştr. Not: Bu tezde kullaıla özgü ve başka kayakta yapıla bldrşler, çzelge, şekl ve fotoğrafları kayak gösterlmede kullaımı, 5846 sayılı Fkr ve Saat Eserler Kauudak hükümlere tabdr.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce Türka ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Daışma: Prof.Dr. Hamza EROL Yıl: 007, Sayfa: 4 Jür: Prof.Dr. Hamza EROL Prof.Dr. Fkr AKDENİZ Prof.Dr. Mehmet TÜMAY Blm ve tekolojdek hızlı gelşmeler hayatımıza yö vermektedr. Yelkler dur durak blmedğ ortamda ayakta kalmak, kazaç sağlamak ç rekabetç olmak gerekr. Tüketc veya kullaıcı daha y şartlarda barıablmek, daha y şlere mza atablmek ç buluduğu ortama ayak uydurmak zorudadır. Buları yaı sıra ürüler se özellklere göre değerledrlmektedr. Şüphesz e öeml özellklerde br ürüü güvelrlğdr. Bu düşücede hareketle bu çalışmada, öcelkle güvelrlk, rsk foksyou ve küvet eğrs gb öeml kavramlarla brlkte ele alıacaktır. Sora ürüler yaşam sürelere ışık tutacak güvelrlk aalzde kullaıla tek değşkel dağılımlar, k değşkel dağılımlar, karma dağılımlar, karıştırılmış dağılımlar ve bleşk dağılımlar celeecektr. Bu statstksel dağılım modellerde yaygı bçmde kullaılalara lşk temel özellkler ve parametre tahmler araştırılacaktır. Güvelrlk, yük ve mukavemet kavramları le tekrar ele alııp, çeştl dağılımlarla örekledrlecektr. Ayrıca, blgsayar çağıda yaşadığımız uutulmamış, yazılım güvelrlğde kullaıla statstksel dağılımlara da yer verlecektr. Aahtar kelmeler: Güvelrlk, statstksel dağılım modeller, doaım ve yazılım güvelrlğ. I

4 ABSTRACT MSc. THESIS STATISTICAL DISTRIBUTION MODELS USED IN RELIABILITY ANALYSIS Ayça Hatce TÜRKAN DEPARTMENT OF STATISTICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervsor: Prof.Dr. Hamza EROL Year: 007, Pages: 4 Jury: Prof.Dr. Hamza EROL Prof.Dr. Fkr AKDENİZ Prof.Dr. Mehmet TÜMAY Quck developmets the scece ad techology gves drecto to our lfe. It has to be compettve to stad stll ad make proft the evromet that productve ovatos are o-stop. Cosumer or user has to keep step wth the stuato to lve better codtos ad sg o better works. Besdes, products are evaluated accordg to ther qualty. No doubt, oe of the most mportat qualty s relablty of the product. So, frstly relablty wll be hadled wth the mportat cocepts lke hazard fucto ad bathtub curve ths study. The, uvarate dstrbutos, bvarate dstrbutos, mture dstrbutos, med dstrbutos ad compoud dstrbutos that are used the relablty aalyss whch lghte the products lfetme. Ma propertes ad parameter estmators related to these statstcal dstrbuto models whch are commoly used wll be searched. Relablty wll be hadled aga wth the load ad stegth cocepts ad eamplfed wth varous dstrbutos. Also, t s t forgotte that we lve computer age ad t s gve a place to statstcal dstrbutos that are used software relablty. Key words: Relablty, Statstcal dstrbuto models, Hardware ad Software relablty. II

5 TEŞEKKÜR Bu tez hazırlaması sürecde değerl blgler ve kayaklarıı bemle paylaşa daışmaım sayı Prof.Dr. Hamza EROL a; yardımlarıı esrgemeye İstatstk bölümü öğretm elemalarıa; destek sağlaya TÜBİTAK a teşekkürlerm suarım. Ayrıca eğtm ve öğrem hayatım boyuca madd ve maev katkılarıı bede hçbr zama esrgemeye aleme teşekkürü br borç blrm. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ......I ABSTRACT......II TEŞEKKÜR......III İÇİNDEKİLER...IV TABLOLAR DİZİNİ...IX ŞEKİLLER DİZİNİ...X. GİRİŞ.... ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Güvelrlk Parametreler Dağılım Foksyoları Hata Oraı Parçalardak Değşm Güve Aralığı Yeleme Teors (Reewal Theory) Eşevrel ve Evre Uyumsuz Yapılar Modele Dayalı Dyagramlar Blok Dyagramlar Kusur Ağaç Aalz (FTA) Olay Ağaç Aalz Durum Dyagramları (State Dagrams) Teork Metodlar Kuyruk Teors Asmptotk Aalz Boole Cebr Bayes Yaklaşımı Mote Carlo Smülasyou Optmzasyo (E İyleme) Dğerler TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR...5 IV

7 3.. Güvelrlk Aalzde Kullaıla İstatstksel Dağılımlarla İlgl Temel Kavramlar ve Taımlar Güvelrlk Kousuda Temel Açıklamalar Br Ürüü Güvelrlğ Koşullu Güvelrlk Foksyou Oarılamaz Parçalar Oarılablr Parçalar Rsk Oraı Foksyouu Geel Formu Ser Sstemler Paralel Sstemler Geel Ser-Paralel Sstemler GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Normal Dağılım Normal Dağılımdak Parametreler Tahm Normal Dağılımı Uygulama Alaları Logormal Dağılım Logormal Dağılımdak Parametreler Tahm Logormal Dağılımı Uygulama Alaları Üstel Dağılım Üstel Dağılımdak Parametreler Tahm Üstel Dağılımı Uygulama Alaları Webull Dağılımı Webull Dağılımıdak Parametreler Tahm Webull Dağılımıı Uygulama Alaları Raylegh Dağılımı Raylegh Dağılımıdak Parametreler Tahm Raylegh Dağılımıı Uygulama Alaları Uç Değer (Etreme Value) Dağılımı Uç Değer Dağılımıdak Parametreler Tahm Uç Değer Dağılımıı Uygulama Alaları...98 V

8 4.7. Dğer Dağılımlar Beroull Dağılımı Bom Dağılımı Posso Dağılımı Gama Dağılımı Geometrk Dağılım Negatf Bom Dağılımı Solda Kesk/Keslmş Logstc Dağılım GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Freud u İk Değşkel Üstel Dağılımı Freud u İk Değşkel Üstel Dağılımıdak Parametreler Tahm Marshall ve Olk İk Değşkel Üstel Dağılımı Marshall ve Olk İk Değşkel Üstel Dağılımıdak Parametreler Tahm Ldley ve Sgpurwalla ı İk Değşkel Üstel Dağılımı İk Değşkel Pareto Dağılımı Yaşam Süres Dağılımı ç Ver Çftler Aalz GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Geel Blgler Webull Dağılımlarıı Karması Webull Dağılımlarıı Karmasıdak Parametreler Tahm Normal Dağılımları Karması Normal Dağılımları Karmasıdak Parametreler Tahm Üstel Dağılımları Karması Üstel Dağılımları Karmasıdak Parametreler Tahm...46 VI

9 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Güvelrlk Aalzde Kullaıla Dğer Karma Dağılım Modeller Güvelrlk Aalzde Kullaıla Bleşk Dağılım Modeller Rastgele Termler Toplamı Stadart Gama Dağılımı Bleşk Posso Dağılımı Bleşk Posso Sürec Bleşk Posso Sürec Özellkler Bleşk Negatf Bom Dağılımı Geelleştrlmş Dağılım Posso-Bom Dağılımı YÜK MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Yük Mukavemet Güvelrlk Model I Bazı Özel Durumlar Normal Dağılım Durumu Üstel Dağılım Durumu Üstel ve Normal Dağılım Durumu Yük Mukavemet Güvelrlk Model II Freud u İk Değşkel Üstel Dağılım Durumu Marshall ve Olk İk Değşkel Üstel Dağılım Durumu DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Doaım Güvelrlğ ç Küvet Eğrs Yazılım Güvelrlğ ç Küvet Eğrs Doaım Yazılım İlşks Yazılım Güvelrlk Mühedslğ Öeml Kavramları Yazılım Güvelrlk Modeller Jelsk Morada Model Schck-Wolverto Model...86 VII

10 Goel-Okumoto Model Bayes Yazılım Güvelrlk Büyüme Modeller Lttlewood ve Verrall Bayes Model SONUÇLAR VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ VIII

11 TABLOLAR DİZİNİ SAYFA Tablo 9.. Doaım ve Yazılım Özellkler Karşılaştırılması...76 Tablo 9.. Yazılım güvelrlk hata oraı modeller...80 IX

12 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekl 3.. Güvelrlk ve güvelmezlk arasıdak lşk...5 Şekl 3.. Oarılamaz ürü ç zamaa bağımlı güvelrlk foksyou...7 Şekl 3.3. Oarılablr ürüde hata/başarısızlık umues...8 Şekl 3.4. Küvet eğrs...3 Şekl 3.5. İk bleşel ser sstem...3 Şekl 3.6. m bleşel ser sstem...33 Şekl 3.7. İk bleşel paralel sstem...34 Şekl 3.8. bleşel paralel sstem...35 Şekl 3.9. Ser-paralel sstem...36 Şekl 4.. Normal dağılımda µ 0 ve σ 0. 5, σ, σ 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...4 Şekl 4.. Normal dağılımda σ ve µ, µ 0, µ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...4 Şekl 4.3. Normal dağılımda µ 0 ve σ, σ 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler...43 Şekl 4.4. Normal dağılımda µ 0 ve σ 3, σ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler...43 Şekl 4.5. Normal dağılımda µ 5 ve σ, σ 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler...44 X

13 Şekl 4.6. Logormal dağılımda µ 0 ve σ, σ 0. 5, σ 0. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...5 Şekl 4.7. Logormal dağılımda σ ve µ 0, µ 0. 3, µ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...5 Şekl 4.8. Logormal dağılımda µ 0 ve σ 0. 6, σ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler...5 Şekl 4.9. Logormal dağılımda µ 0 ve σ 0. 6, σ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler...53 Şekl 4.0. µ log(0000) ve σ parametre değerleryle logormal dağılıma sahp gelr rastgele değşke ç f ( t) olasılık yoğuluk foksyouu grafğ...55 Şekl 4.. İk parametrel üstel dağılımda µ ve λ, λ 0. 5, λ 0. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...6 Şekl 4.. Br parametrel üstel dağılımda λ 0. 5, λ ve λ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...6 Şekl 4.3. Br parametrel üstel dağılımı R ( t) güvelrlk ve ( t) F dağılım foksyolarıı grafkler...6 Şekl 4.4. Br parametrel üstel dağılımı h ( t) rsk foksyouu grafğ...63 Şekl 4.5. Tekl akım ölçüm sstem Şekl 4.6. Paralel, özdeş üç akım ölçüm sstem Şekl 4.7. Orta değer seçc rölel sstem.. 66 XI

14 Şekl 4.8. İk parametrel Webull dağılımıda σ ve η 0. 5 η η 4 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...74 Şekl 4.9. İk parametrel Webulll dağılımıda σ ve η, η 0. 5, η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler...74 Şekl 4.0. İk parametrel Webulll dağılımıda σ ve η, η 0. 5, η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler...75 Şekl 4.. İk parametrel Webull dağılımıda σ ve η, η 0. 5, η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler...75 Şekl 4.. Stadart Webull dağılımıda η 0. 75, η, η. 5, ve η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık foksyolarıı grafkler...76 Şekl 4.3. Raylegh dağılımıda β 0. 5, β ve β parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...8 Şekl 4.4. Raylegh dağılımıda β. 5, β 3 ve β 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...8 Şekl 4.5. Raylegh dağılımı R ( t) güvelrlk ve ( t) F dağılım foksyolarıı grafkler...83 Şekl 4.6. Raylegh dağılımıı h ( t) rsk foksyouu grafğ...83 Şekl 4.7. [ 0,3] kapalı aralığıda, Raylegh dağılımıa lşk ( t) F dağılım foksyouu grafğ...85 XII

15 Şekl 4.8. I. tp uç değer dağılımıda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...95 Şekl 4.9. I. tp uç değer dağılımıda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler...96 Şekl I. tp uç değer dağılımda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler...96 Şekl 4.3. I. tp uç değer dağılımıda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler...97 Şekl 4.3. I.tp uç değer dağılımıda σ ve µ 0. 5, µ, µ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...97 Şekl Solda kesk/keslmş logstc dağılımda µ 00 ve σ 8. 5, σ 4. parametre değerler ç GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler.0 Şekl Solda kesk/keslmş logstc dağılımda µ 00 ve σ 8. 5, σ 4. parametre değerler ç GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler..0 Şekl Solda kesk/keslmş logstc dağılımda µ 00 ve σ 8. 5, σ 4. parametre değerler ç GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler... Şekl 8.. Rastgele yük ve sabt mukavemet durumuda bleşe güvelrlğ...65 Şekl 8.. Rastgele mukavemet ve sabt yük durumuda bleşe güvelrlğ...66 Şekl 8.3. Rastgele mukavemet ve rastgele yük durumuda bleşe güvelrlğ..67 Şekl 9.. Doaım güvelrlğ ç küvet eğrs...74 XIII

16 Şekl 9.. Yazılım güvelrlğ ç küvet eğrs...75 Şekl 9.3. Kusur çerk foksyou grafğ...83 Şekl 9.4. Kusur tespt oraı foksyou grafğ...83 XIV

17 . GİRİŞ Ayça Hatce TÜRKAN. GİRİŞ Tarh boyuca salık, geleceğ tahm etme gayret çde olmuştur. Güümüzde sstemler, alt sstemler ve bleşeler ç güvelrlğ tahm etmek bu gayret br ürüüdür. Güvelrlk, br ese taımlamış br amacı bell br zama aralığıda, tam olarak yere getrme olasılığıdır (Betley 993, Adrews ve Moss 00). So ell yılda moder tekoloj yükselmesyle brlkte güvelrlk kavramı daha da öem kazamıştır. Brçok alada yaygı olarak kullaıla statstk blm, güvelrlk aalzde de olasılık dağılımlarıyla brlkte öeml br yer edmştr. Güvelrlk aalzde, olasılık dağılımlarıda keskl dağılımlar belrl br zama aralığıda gerçekleşe hata sayısı gb keskl olaylarla lglerler. Sürekl dağılımlar se zamaa karşı dayama süres gb herhag br değer ala değşkeler modellemek ç kullaılırlar (Moss 005). Olasılık dağılımları sstemler, alt sstemler veya bleşeler ç zamaa karşı bozulma ya da arızalama modeller olarak yaygı bçmde kullaılırlar (Hah ve Shapro 967, Betley 993). Br sstem yaşam süres; üretm mktarı, üretm ç kullaıla madde veya çevresel koşullardak değşm gb brçok faktöre bağlıdır. Öce sstem ya da sstem br alt sstem veya sstem br bleşe ç süre br rastgele değşke olarak alıarak zamaa karşı bozulma ya da arızalama ç uygu br olasılık model oluşturulur. Sora oluşturula olasılık modeldek parametreler tahm edlr. Ayrıca oluşturula olasılık modeller sağ kalım (survval) foksyou, rsk (hazard) foksyou gb bazı özellkler celer (Meeker ve Escobar 998). Bu tez çalışmasıda güvelrlk aalzde kullaıla ormal dağılım, üstel dağılım, log-ormal dağılım, webull dağılımı, raylegh dağılımı ve uç değer dağılımı gb bazı tek değşkel (uvarate) statstksel dağılım modeller; k değşkel (bvarate) üstel dağılım (Kotz ve Sgpurwalla 999, Nadarajah ve Kotz 006a, 006b) ve k değşkel pareto dağılımı (Gupta 00) gb bazı k değşkel statstksel dağılım modeller; webull dağılımlarıı karması (Patra ve Dey 999, Bucar ve ark. 004) gb bazı karma (mture/med) dağılım modeller ve özellkler

18 . GİRİŞ Ayça Hatce TÜRKAN celemştr. Ayrıca bleşk Posso dağılımı (Feller 968) gb bazı bleşk (compoud) dağılım modeller le lgl açıklamalara yer verlmştr. Bu dağılım modeller özellkle karmaşık sstemler güvelrlk modellemelerde ve aalzde uygulama alaları araştırılmıştır. Doaım güvelrlğde ve yazılım güvelrlğde kullaıla bazı dağılımlarla lgl açıklamalara yer verlmştr. Tez kc bölümüde kouyla lgl öcek çalışmalar celemştr. Bu bölüm lk güvelrlk teorler üzere br özet telğ taşımaktadır. Bu bölümde güümüz çalışmalarıa kayaklık ede, teor ve metodları geçmş hakkıda blg verlmştr. Tez üçücü bölümüde kouyla lgl temel kavramlar açıklamış ve taımlar verlmştr. Öcelkle statstksel dağılımlara lşk temel taımları yer aldığı bu bölümde, güvelrlk kavramı üzerde durulmuş, bu kavramla lşkl küvet eğrs ele alımıştır. Ayrıca, ser, paralel ve geel sstemlerde güvelrlk araştırılmıştır. Tez dördücü bölümüde güvelrlk aalzde kullaıla bazı tek değşkel dağılım modeller açıklamıştır. Bu dağılım modeller açıklaırke dağılım foksyou, beklee değer, varyas, medya, mod gb dağılımları taımlayıcı özellkler yaı sıra güvelrlk foksyou, rsk foksyou gb özellkle güvelrlk kousuda değer kazaa özellkler celemştr. Verle blgler, grafklerle desteklemştr. Ayrıca parametre tahmler ve uygulama alaları verlmştr. Tez beşc bölümüde güvelrlk aalzde kullaıla bazı k değşkel dağılım modeller ele alımıştır. Bu dağılımlara lşk bazı özellkler ve kullaım alalarıı açıklamasıı yaı sıra paramete tahmler de suulmuştur. Tez altıcı bölümüde güvelrlk aalzde kullaıla karma dağılım modeller araştırılmıştır. Bu bölümde karma dağılımları geçmş ve gereksm ede açıklamıştır. Üstel, Webull ve ormal dağılımları karması üzerde durulmuş ve parametre tahmlere yer verlmştr. Tez yedc bölümüde güvelrlk aalzde kullaıla dğer karma dağılım model ve bleşk (compoud) dağılım model celemştr. Bu bölümde

19 . GİRİŞ Ayça Hatce TÜRKAN dğer karma dağılım model ve bleşk dağılım model öreklerle açıkladığı taımlara yer verlmştr. Tez sekzc bölümüde yük mukavemet güvelrlk modeller açıklamıştır. Bu bölümle güvelrlk kavramıa, yük ve mukavemet kavramlarıı yardımıyla farklı br yaklaşım suulmuş olup daha öce sözü edle ormal ve üstel dağılımları uygulamaları yapılmıştır. Tez dokuzucu ve so bölümüde doaım ve yazılım güvelrlğ kousu araştırılmıştır. Bu bölümde doaım ve yazılımı farklılıkları üzerde durulmuştur. Özellkle yazılım güvelrlğde kullaıla bazı güvelrlk modeller kullaım şekller açıklamıştır. Yaygı bçmde kullaıla modeller tabloyla özetlemştr. 3

20 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Geçmş yüzyıla bakıldığıda, brçok güvelrlk çalışmasıı so 50 yıl çde yapıldığı görülmektedr (Rueda ve Pawlak 004). Bu çalışmalar güümüz çalışmalarıa da kayaklık etmektedr. Güvelrlk aalz çalışma alaı güvelrlk parametreler gösterm, yeleme teors (reewal theory) (Watso ve Leadbetter 964, Gedeko ve ark. 969), eşevrel yapıları (coheret structure) (Boutskas ve Koutras 000, Tstmdels ve ark. 00, Adrews ve Beeso 003), modellere dayalı dyagramı, teork metodları ve çeştl tekkler çerr. Modellere dayalı dyagram, blok dyagramları (block dagrams) (Kleerma ve Wess 954, Blato 957), kusur ağaç aalz (fault tree aalyss-fta) (Adrews 00), olay ağaç aalz (evet tree aalyss-eta) (Papazoglou 998, Adrews ve Duett 000a, 000b) ve akış grafkler (flowgraphs) (Haap 964, Dolozza 966) çermektedr. Teork metodlar kuyruk teors (queueg theory) (Ouhb ve Lmos 999), asmptotk aalz (asymptotc aalyss) (Takacs 959, Gedeko 964a, 964b, Pogozhev 964), Boole cebr (Boolea algebra) (Fratk 954), Bayes metoduu (Bayesa method) (Hultg ve Robso 994, Kerscher ve ark. 998), Mote Carlo smülasyouu (Mote Carlo smulato) (Belyaev ve ark. 967) ve optmzasyo tekkler çerr. Güvelrlk araştırmalarıa so 50 yılda yapıla katkıları güümüz çalışmaları üzerde etks büyüktür. Güümüzde kullaıla dağılım foksyoları üzere Webull (939, 95), Epste (948), Epste ve Sobel (953) öeml etkler olmuştur. Lotka (939), Campbell (94), Feller (94, 968), Co (960, 96), Smth (954, 958), Co ve Smth (953), Barlow ve Huter (959, 960), Gedeko (964a, 964b), Solov yev (970a, 970b) güvelrlk ç teorler gelştrmşlerdr. Takacs (959) ı yayıları asmptotk çalışmalara başlagıç telğdedr. Güvelrlk aalz arkasıda dura teorler geçmş yaklaşık olarak 773 yılıda Perre-Smo Laplace ı Laplace döüşümüü gelştrdğ ve 8 de Theore aalytque des probabltes sml yayıı yaptığı döeme rastlamaktadır. Adre Adreevch Markov 880 yılıda Markov zcr gelştrmştr (Rueda ve 4

21 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN Pavlak 004). Buula brlkte so 50 yıla kadar güvelrlk araştırmalarıa çok öem verlmemştr. So 50 ve 60 yıl güvelrlğ altı çağıdır. Brçok buluş ve araştırmaı br merak ya da gereksm soucu ortaya çıktığı düşüülürse güvelrlk aalz de br gereksm soucu ortaya çıktığıı tahm etmek çok da zor değldr. Moder tekoloj hareket kazamasıyla tcar ve asker sektörlerde güvel ürülere gereksm duyulmuştur. Güvelrlk aalz; otomobl edüstrsde, havacılık edüstrsde, letşm sstemlerde, roketlerde olduğu gb atış sstem çalışmasıda kullaılmıştır. Brçok bezer aalz tekğ bugü hala kullaılmaktadır. Bu teorler yeleme teors (reewal theory), Markov modeller, bleşe öem ölçüler, Mote Carlo smülasyouu, Bayes yaklaşımıı ve optmzasyo tekkler çerr. Blok dyagram aalz gb güvelrlk hesaplamalarıda kullaıla e y ble metodlar, bu teorlere dayaır. Ayı teorler kullaa uygulamalar hızladırılmış yaşam test, bakımı, yazılım güvelrlğ, ağ güvelrlğ ve sstem güvelrlğ çerr. ISO 840 ye göre güvelrlk belrl br zamada çevresel ve şletmsel koşullar altıda br eşyaı gerekl foksyou yere getrme yeteeğ olarak taımlaır. Ushakov (000) moder güvelrlk teorler altı gruba ayırır. Bular saf güvelrlk aalz, geçerllk, kalımlılık, güve, güvelk ve yazılım güvelrlğdr. Bu bölümde sözü edle teorler çoğu Ushakov (000) tarafıda taımlaa saf güvelrlk aalz kavramıa dahldr... Güvelrlk Parametreler Güvelrlk teorlerde kullaıla parametreler çalışmadak kouları ya da kavramları özellkler göstermek ç kullaılır.... Dağılım Foksyoları Dağılım foksyoları, br sstem çalışır durumda olduğu ya da çalışır durumda olmadığı süre özellkler göstermek ç kullaılır. E etkl dağılım foksyoları, materyal yorulma hatasıı taımlamak ç kullaıla Webull 5

22 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN dağılımıa (Webull 939) ve Epste ve Sobel (953) hayat test ç oluşturduğu üstel dağılıma dayalıdır. Webull, materyallerde yorulma ömrüü ve uç değer teors lgl koularıı çalışmıştır. Webull (939), materyaller yaşam süres açıklaması ç br dağılımı yaklaşık dağılım olarak ögörmüştür. Bu dağılım daha sora Webull dağılım olarak adladırılmıştır. Dael (945) plk mukavemet le lgl çalışmasıda ormal dağılımı kullamıştır. Epste (948) artırımlı hasarları büyüklüğü koulu çalışmasıda logormal dağılım foksyouu ve uç değer teors lgl koularıı kullamıştır. Webull (95) farklı uygulamalar ç Webull dağılımıı braz farklı formuu kullamıştır. Davs (95) hata dağılımları ç hata verler ve uyumu ylğ testler aalz etmştr. Üstel dağılıma ayrıcalık taımıştır. Kao (956, 958) u yaptığı çalışmalarda Webull dağılımıa öem verdğ görülmektedr. Buehler (957) füze ürüler güvelrlğ hesaplamak ç bom dağılıma başvurmuştur. Brbaum ve Sauders (958) damk yük altıdak yapıları ömrü ç ustaca hazırlamış br statstksel model sumuşlardır. Bu modelde hata oraı bozulma ve yıpramaı br foksyou olarak kullaılmıştır. Sabt yük özel durumu, oları yaşam mukavemet ç gama dağılımıı öermelere olaak sağlamıştır. Herd (959) çeştl dağılımları uygulamalarıı, yoğuluk foksyolarıı, varyas, ortalama ve hata oralarıı özetlemştr. Tate (959) mmum varyas yasız tahm edcs elde etmştr. Co (960), gama olasılık dağılımıa sahp T rastgele değşke eğer tüm sstem yaşam süres gösteryorsa, yedek bleşe sayısıı Laplace döüşüm ters kullamada hesaplaableceğ göstermştr. Zele ve Daemller (96) üstel dağılıma dayaa brçok yaşam test prosedürüü sağlam olmadığıı ortaya çıkarmıştır. Nylader (96) yaşam test dağılım foksyoları üzere br özet hazırlamıştır. Blato ve Jacobs (96) da br lste sağlamıştır. Shortle ve Medel (00) yaşam süres uzaylarıı fzksel Ökld uzayları olmadığıı fakat dferasyel geometrde lf demet yığııı eşdeğer olduğuu göstermştr.... Hata Oraı Barlow ve ark. (963) tae bağımsız özdeş dağılıma sahp rastgele değşkede arta hata oraı büklüm teorem (creasg falure rate covoluto 6

23 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN theorem) kaıtlamak ç toplam poztflğ (total postvty) kullamışlardır. Barlow ve Marshall (964) arta hata oraı (Icreasg Falure Rate-IFR) dağılımlarıı sıırlarıa lşk br çalışma yapmışlardır. Barlow ve Proscha (965) güvelrlk üzere br ktap yazmışlardır. Bu ktap mooto sstemler geel kavramlarıı, mooto azala ve arta hata oralarıyla dağılımlarıı çermektedr. Ross (97) eşevrel sstem ç ortalamaı üstüdek arta hata oraı (Icreasg Falure Rate o the Average-IFRA) kapama (closure) teorem kaıtlamıştır. Block ve Savts (976), Barlow ve arkadaşları tarafıda çalışıla ve tae bağımsız özdeş dağılıma sahp rastgele değşkelere lşk teorem spatıı kısaltmışlardır...3. Parçalardak Değşm Meltzer (956) modül güvelrlğ fades elde etmek ç varyas aalz kullamıştır. Burada amaç parçaları özellkler sumaktır. Blato (958) ekpma güvelrlğde olası değşmler tahm etmştr. Modül güvelrlkler, ekpma güvelrlğde büyük değşklğe ede olduğuu göstermştr. Dreste (959, 960), parça dayaıklılığıı ürü dayaıklılığı le lşkl olduğuu fade etmştr...4. Güve Aralığı Buehler (957), füze güvelrlk hesaplamalarıda ürüler güve aralıklarıı oluşturmak ç bom parametrelere başvurmuştur. Steck (958), Madasky (958) ve Roseblatt (963) bezer çalışmalar yapmışlardır. Joh ve Leberma (966) Webull dağılımı ç güvelrlk güve sıırıı hesaplamışlardır. Thoma ve ark. (970), Webull dağılımı ç güve aralığı ve güvelrlğ tolerası tahmler maksmum lkelhood yötemyle yapmıştır. Martz ve Dura (985), bleşeler test verlere dayalı sstem güvelrlğde güve tahm değerledrmek ç Bootstrap metodua başvurmuştur. 7

24 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN.. Yeleme Teors (Reewal Theory) Lotka (939), Campbell (94), Feller (94, 968), Co (960, 96) ve Smth (954, 958) güvelrlk ç yeleme teors gelşmde büyük katkıda bulumuşlardır. Yeleme teors, yeleme problem çözmek ç kullaılır. Başarısız bleşe yesyle derhal değştrleceğ varsayılır. Bleşeler toplam ömrü ş sürese katkı sağlar. tae yedek ese ömrüü tahm etmek ç bleşe beklee toplam ömrü tahm edleblr. Lotka (939) edüstryel yedek ese problem ç yeleme teorse başvurmuştur. Campbell (94), sabt aralıklı yeleme ve br ütede hata olması durumuda değşm malyete etklğ koulu çalışmasıda yeleme teorse başvurmuştur. Feller (94), yeleme teors matematksel br blg dalı olarak gelştrmştr. Blackwell (948), belrl br zamada yelee olayları beklee sayısıı hesaplamıştır. Doob (948), olasılığa göre yeleme teors tartışmıştır. Feller (949) yelee olaylar üzere br çalışma yapmıştır. Bu çalışmada yelee olayları beklee sayısı ve ou varyasıa keskl yeleme sürec ç br formül oluşturulmuştur. Co ve Smth (953) yeleme teors drekt spatıı yapmışlardır. Smth (954) sürekl yelee süreç ç yelee olayları beklee sayısıı ve ou varyasıı hesaplayarak, yelemş stokastk süreç teors taımlamıştır. Smth, t sosuza gderke değer leer foksyoa yaklaştığıı göstermştr. Smth (958), yeleme teorsde özellkle yelee olaylar üzere ble matematksel souçları buluduğu br özet hazırlamıştır. Smth (959), yelee olayları beklee değer le lgl teorem spatlamış ve yelee olayları beklee sayısıı, ou varyasıı t sosuza gderke leer foksyoa yaklaştığıı bulmuştur. Barlow ve Huter (959, 960), sstem güvelrlğ ç matematksel modeller başlıklı k makale yayılamışlardır. Co (96), yeleme teors üzere br ktap çıkarmıştır. Co u hem ked, hem de Isham le brlkte yürüttüğü çalışmalarıı güvelrlk teors gelşme güçlü br etks olmuştur (Co ve Isham 980). Bu da güvelrlk modellemesde stokastk sürece başvurmak ç ye yollar açmıştır. Watso ve Leadbetter (964), rsk foksyou aalz üzere çalışmışlardır. Gedeko ve ark. (969) tarafıda oarılablr 8

25 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN sstemlerde, asmptotk aalze ve güvelrlk ver aalze lşk çok sayıda souç çere Rusça ve İglzce dllerde ktaplar yayılamıştır..3. Eşevrel ve Evre Uyumsuz Yapılar Brbaum ve ark. (96), eşevrel sstemler güvelrlğ hesaplamak ç eşevrel yapılar üzere br çalışma yapmışlardır. Bu çalışmadak düşüce; bleşe hatası yüzüde sstem hata olasılığıı hesaplamasıdır. Brbaum (955), rastgele değşke yapısal bleşe hatalarıı göstermek ç kullamıştır. Daha öce Moore ve Shao (956) tarafıda çalışıla ağ güvelrlğ ve eşevrel yapılar kousu Brbaum ve ark. (96) tarafıda geşletlmştr. Olar, paralel ya da ser düzelemş çoklu bleşe yapılarıda güvelrlğ çalışırke vektör aalz tekklere başvurmuşlardır. Esary ve Proscha (963), ble yapıda steğe bağlı k kutuplu ağı alt ve üst sıırlarıı elde etmşlerdr. Sıırlar ağları yolu ve kestler eksksz kümeler aracılığıyla açıklamıştır. Brbaum ve Esary (965), kl eşevrel sstemlerde modüller taımlamış ve çalışmışlardır. Brbaum ve ark. (966), ortalamaı üstüdek arta hata oraı teorem eşevrel sstem ç taımlamışlardır. Brbaum (969), karmaşık sstem aalzde, daha öce Kolmogorov (945) tarafıda oluşturula kl hata tp (bary falure type) göstermler ola aşağı ( dow ) ve yukarı ( up ) göstermler kullaarak ye br akım başlatmıştır. Ross (97), eşevrel sstem ç IFRA teorem br spatıı yapmıştır. Satyaarayaa ve Prabhakar (978), eşevrel yapılar ç daha etkl olasılık hesaplamaları taımlamışlardır. Olar eşevrel sstem ç güvelrlk lteratürüe bağımsızlık kavramıı kazadırmışlardır. Satyaarayaa ve Chag (983), eşevrel sstemde faktör algortmasıı tek yölü ağlar ç e etkl algortma olduğuu kaıtlamışlardır. Bedell ve Asell (984), eşevrel yapı ç tutarsızlık koşullarıı çalışmışlardır. Huseby (989), bağımsızlık kavramı üzere daha soyut brleştrlmş br teor oluşturmuş ve tam güvelrlk hesaplamalarıa lşk uygulama le eşevrel sstem ç bağımsızlığı çalışmıştır. Fu ve Koutras (995), bağımsız bleşel ve eşevrel yapı ç sıır bulmuştur. Tstmdels ve ark. (00), geetk algortmayı kullaarak bu sıırları bulmak ç br prosedür oluşturmuştur. Boutskas ve Koutras (000), eşevrel yapı ç geelleştrlmş 9

26 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN sıırları hesaplamışlardır. Iagak ve Heley (980) ve Jackso (983), evre uyumsuz br sstemle lgl öeml çalışmalar yapmışlardır. Adrews ve Beeso (003), öem ölçüsüü evre uyumsuz sstemlere dahl etmek ç Brbaum (969) tarafıda ortaya atıla bleşe öem ölçüler geşletmş ve geelleştrmştr..4. Modele Dayalı Dyagramlar Modele dayalı dyagramlar, sstem görsel olarak suumuu sağlar. Model, mühedslere ve matematkçlere matematksel aalze başvurmada öce hedef sstem daha y alaşılmasıa olaak sağlar. Blok dyagramları yaı sıra kusur ağaç aalz (Fault Tree Aalyss-FTA), olay ağaç aalz (Evet Tree Aayss- ETA), durum dyagramı (state dagram) ve akış grafkler (Oltork 963, Haap 964, Dolozza 966) de güvelrlk aalzde kullaılır..4.. Blok Dyagramlar Kleerma ve Wess (954), güvelrlk lşkler göstermek ç güvelrlk blok dyagramıı kullamış ve matematksel gösterm öermştr. Blato (957), güç kayaklarıı ve bezer üteler göstermek ç ek sembollerle mühedslk blok dyagramıı kullamış ve buu matematksel gösterm öermştr..4.. Kusur Ağaç Aalz (FTA) Kusur ağaç aalz br Mutema füzesde gerçekleşeblecek br kazaı olasılığı çalışmasıı br soucu olarak ortaya çıkmış ve Watso aalz projesde yer almıştır (Rausad 005). FTA, rsk değerledrmesde e çok kullaıla tekklerde brdr. Holtzma ve Marshall (960), FTA yı blok etketledrmelerde kullamışlardır. Rosethal (980), FTA ç aalz malyet düşürmeye yöelk br yaklaşım kullamıştır. Duga ve ark. (99), damk FTA yötem gelştrmşlerdr. Coudert ve Madre (993), büyük kusur ağaçlarıı (^0 temel olaylı) çözümüde kl karar dyagramlarıı (Bary Decso Dagrams-BDD) kullamışlardır. Doyle ve Duga (995); statk kusur ağaçlarıı, ardışık ve bağımlı 0

27 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN olmaya hata davraışı ç kullaılableceğ bulmuşlardır. Dutut ve Rauzy (996), bağımsız alt ağaçları taımlaya doğrusal zama algortmasıı (lear-tme algorthm) gelştrmşlerdr. Aad ve Soma (998), bağımlılıklar ve kusur ağaçlarıı aalz ç ayrıştırma metodua (decomposto method) başvurmuşlardır. Adrews (00), çok şlevl sstemlerde FTA yı kullamıştır Olay Ağaç Aalz Papazoglou (998), küme teors ve olasılık teors temel kavramlarıı kullaarak olay ağaçları yapısı ç matematksel br gösterm gelştrmştr. Adrews ve Duett (000a, 000b), sstemlere düzgü olay ağaç aalz uygulamışlardır Durum Dyagramları (State Dagrams) Durum dyagram; kuyruk teors ç çok popüler br göstermdr. Kolmogorov (945) uçaksavar yagıı yüzüde oluşa uçak hasar olasılığıı aalz etmek ç kl durumu kullamıştır. Fratk (954), bleşeler durumuu göstermek ç üç durum kullamıştır. Takacs (959), br sstem durumlarıı göstermek ç k durum kullamıştır. Barlow ve Huter (959), çalışır durumdak veya bozulmuş durumdak br üte durumuu göstermek ç aç-kapa model (o-off model) kavramıa başvurmuşlardır. Bu gülerde, güvelrlk aalzde çalışır durum ve bozulmuş durumla brlkte Markov model yaygı bçmde kullaılmaktadır. Elsayed ve Zebb (979), çok durumlu araçları aalz etmşlerdr..5. Teork Metodlar Dğer alalarda kullaıla br çok teork metod güvelrlk aalz ç de uygulaablr. E popüler metodlarda bazıları kuyruk teors, asmptotk (kavuşmaz) aalz, Boole cebr, Bayes yaklaşımıı, Mote Carlo smülasyouu ve optmzasyou çerr. Dğerler geetk algortmayı (Tstmdels ve ark. 00) ve modüler ayrışımı (Bod 970) çerr.

28 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN.5.. Kuyruk Teors Barlow ve Huter (959), sstem güvelrlğ ç Markov modele başvurmuşlardır. Bharucha-Red (960) ve Kelso ve Koohara (960), sstem kullaılırlık ve bakımı çalışmalarıda kuyruk teors kullamışlardır. Breder ve Tater (96), bleşe yıkıcı hatalarıı etkler düşümek ç Markov tekkler kullaılableceğ göstermşlerdr. Pogozhev (964), hata ya da başarısızlık ç Posso sürec kullamıştır. Gedeko ve ark. (969), güvelrlk problemler, özellkle bakım ve yedekleme problemler, çözmek ç kuyruk teorse başvurmuşlardır. Solov yev (970a, 970b), sstem güvelrlğ ç kuyruk teorse başvurmuştur. Duga ve ark.(993), hata çere sstemler güvelrlk çalışmasıda Markov modeller kullamışlardır. Ouhb ve Lmos (999), sstem kullaılırlığı ve güvelrlğ çalışmasıda yarı Markov model kullamıştır. Frcks ve Trved (003), bleşe öem ölçüsüü hesaplamak ç Markov reward model (MRM) ortaya koymuştur. Lefebvre (003), Mote Carlo smülasyoua alteratf olarak faydasızlığı (kullaılmazlığı) hesaplamak ç hata oraı üzere yaşlama etks göstermek amacıyla homoje olmaya posso yötem (Nohomogeeous Posso Process-NHPP) kullamıştır..5.. Asmptotk Aalz Smth (954), yelee olayları sayısıı ve ou varyasıı asmptotk özellğ celemştr. Moore ve Shao (956), ağ güvelrlğ üzere asmptotk aalz yapmışlardır. Takacs (959), k durumlu metodu asmptotk dağılımıı hesaplamıştır. Gedeko (964a, 964b), kullaılablrlğ yüksek sstemler aalz ç asmptotk metodu kullamıştır. Pogozhev (964), k aahtar asmptotk teoremde br geelleştrmştr Boole Cebr Gates (95), Boole cebr sstemler güvelrlğ hesaplamak ç kullamıştır. Fratk (954), üç farklı durumlu bleşeler ç Boole cebre

29 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN başvurmuştur. Me (959), karmaşık sstemler göstermek ç Boole foksyolarıı kullamıştır Bayes Yaklaşımı Bazovsky (96), Mosteller ve ark. (96) güvelrlk ç Bayes teorem kullaımıı öermşlerdr. Martz ve Waller (98), güvelrlk aalzde Bayes yaklaşımıı kullaıldığı çalışmalar yayılamışlardır. Hultg ve Robso (994), oarılablr ser sstemlerde Bayes yaklaşımıı kullamıştır. Kerscher ve ark. (998), gelşmekte ola ye ürüler güvelrlğ teledrmek ç Bayes blgler kullaarak ye br yötem gelştrmşlerdr Mote Carlo Smülasyou Brçok durumda eştlk çözümler zorluğu edeyle tam br aaltk çözüm yapılamaz. Bu tp durumlarda problem çözmek ç Mote Carlo smülasyou popüler br alteratftr. Frstma (958), güvelrlğ tahm etmek ç Mote Carlo modeller kullamıştır. Blato ve Jacobs (96), güvelrlğ tahm ç Mote Carlo smülasyouu da çde buluduğu tekkler kullamıştır. Belyaev ve ark. (967), Mote Carlo smülasyouu kullaarak güve tahm üzere bazı souçlar elde etmştr Optmzasyo (E İyleme) Moskowtz ve Mclea (956), optmal fazlalık üzere lk çalışmayı yapmışlardır. Gordo (957), optmum bleşe fazlalığıı çalışmıştır. Bellma ve Dreyfus (958), optmal fazlalığı buluuşuda damk algortmaya başvurmuşlardır. Kettelle (96), optmal problem çözümü ç damk programlama algortmasıda etkl ve pratk br değşklk öermştr. Barlow ve ark. (963), k olası türde hatalı bleşeler ç optmal fazlalığı hesaplamışlardır. Barlow ve Proscha (965) çalışmalarıda optmal bakım ve optmal fazlalık problemler detaylı br suusuu vermştr. Proscha ve Bray (965), çoklu kısıtlamalar altıda güvelrlk ç e uygu metodları gelştrmşlerdr. Tllma ve ark. (980), 3

30 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN optmzasyo metodları üzere daha ler gelşmlerle optmum sstem güvelrlğ çere br çalışma yapmışlardır..6. Dğerler Bu kısımda dğer bölümlerde olmaya tekk, teor ve metodlar celemştr. Lpp (957), karmaşık çok parçalı ser, paralel ağlar ç matematksel göstermler çıkarmıştır. Flehger (958), sstem farklı sevyelere fazlalık ekleyerek güvelrlğ gelştrmey öermştr. Phlpso (959), tüm güvelrlk şekl, ayrık aralıklar ç güvelrlkler bleşmlerde elde edlebldğ göstermştr. Kaufma ve Kaufma (960), her araç ç K faktör hesabı kullaımıı dahl edldğ üç tahm tekğ taımlamıştır. Cramer ve Kamps (000), her br hata üzere rsk oralarıı ayarlamak ç bölme katsayısıı kullaarak k -out-of- sıralı sstemler ömrüü matematksel gösterm çalışmışlardır. Tstmdels ve ark. (00), güvelrlk sıırlarıı bulmak ç geetk algortmayı kullamışlardır. Kerscher ve ark. (003), tahmde bulaık matığa (Fuzzy logc) başvurmuştur. Marseguerra ve ark. (003) güvelrlk tahm ç yapay sr ağlarıı kullamışlardır. 4

31 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR 3.. Güvelrlk Aalzde Kullaıla İstatstksel Dağılımlarla İlgl Temel Kavramlar ve Taımlar TANIM 3.. Değer br deey soucuyla belrtle br değşkee rastgele değşke der (Akdez 006). TANIM 3.. X br rastgele değşke olsu. X alableceğ değerler sayısı solu veya sayılablr sosuzlukta se X e keskl rastgele değşke der (Akdez 006). TANIM 3.3. X br rastgele değşke olsu. X br aralıkta ya da brde çok aralıkta her değer alablyorsa X e sürekl rastgele değşke der (Akdez 006). (,,..., N) TANIM 3.4. X solu sayıdak,...,, N değerler f ( ) P( X ), olasılıkları le alable keskl rastgele değşke olsu. Bu durumda aşağıdak koşulları sağlaya f ( ) foksyoua X olasılık foksyou der (Hogg ve Crag 995, Akdez 006).. f ( ) 0 N. f ( ), tüm ler ç TANIM 3.5. X, ( ), aralığıda taımlaa sürekl rastgele değşke olsu. Aşağıdak koşulları sağlaya f ( ) foksyoua X rastgele değşke olasılık yoğuluk foksyou der (Hogg ve Crag 995, Akdez 006). eşttr.). ( ) 0 f +. f ( ) d ( ( ) f eğrs altıda kala ve ekse le sıırlaa ala e 5

32 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN TANIM 3.6. X, f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl rastgele değşke olsu. X dağılım foksyou, ( ) P( X ) f ( ) F (3.) dr (Evas ve ark. 993, Akdez 006). TANIM 3.7. X, f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl rastgele değşke olsu. X dağılım foksyou, ( ) f ( y) F dy (3.) dr (Evas ve ark. 993, Akdez 006). (,,..., N ) TANIM 3.8. X solu sayıdak,...,, N değerler f ( ) P( X ), olasılıkları le alable keskl rastgele değşke olsu. X beklee değer veya ortalaması, E ( X ), aşağıdak eştlkle verlr (Kapada ve ark. 005, Akdez 006). E N ( X ) f ( ) (3.3) TANIM 3.9. X, f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl rastgele değşke olsu. X beklee değer veya ortalaması, E ( X ), aşağıdak eştlkle verlr (Kapada ve ark. 005, Akdez 006). + ( X ) f ( ) E d + (3.4) 6

33 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN TANIM 3.0. X br rastgele değşke olsu. X ortalaması E ( X ) µ se X varyası, Var ( X ) veya Akdez 006). ( X ) E ( X ) σ aşağıdak gb taımlaır (Evas ve ark. 993, [ ] E( X ) ( E(X ) Var ) µ σ (3.5) TANIM 3.. X, f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl br rastgele değşke olsu. X rastgele değşke momet çıkara foksyou, M ( t) E( ( t) ) ep( t) f ( ) ep (3.6) eştlğ le fade edlr (Evas ve ark. 993). TANIM 3.. X, f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl br rastgele değşke olsu. X rastgele değşke momet çıkara foksyou, M + () t E( ( t) ) ep( t) f ( ) ep d (3.7) eştlğ le fade edlr (Evas ve ark. 993). TANIM 3.3. X, f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl br rastgele değşke olsu. ( ) r g foksyouu beklee değere X rastgele değşke sıfır etrafıdak r. momet der. momet, r r ( X ) f ( ) µ r le gösterle merkez ya da sıfır etrafıdak r. µ E (3.8) r veya 7

34 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN ( t) r d M µ r t 0 (3.9) r dt eştlğ le fade edlr (Kapada ve ark. 005). TANIM 3.4. X, f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl br rastgele değşke olsu. ( ) r değşke sıfır etrafıdak r. momet der. etrafıdak r. momet, g foksyouu beklee değere X rastgele µ r le gösterle merkez ya da sıfır r r ( X ) f ( ) + µ E d (3.0) r veya ( t) r d M µ r t 0 (3.) r dt eştlğ le fade edlr (Kapada ve ark. 005). değşke TANIM 3.5. f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl br X rastgele µ r le gösterle ortalama etrafıdak r. momet, r r µ r E µ ( ) µ f (3.) dr (Kapada ve ark. 005). TANIM 3.6. f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl br X rastgele değşke µ r le gösterle ortalama etrafıdak r. momet, r + r E µ µ r µ f ( ) d (3.3) 8

35 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN dr (Kapada ve ark. 005). TANIM 3.7. Br dağılımı α 3 le gösterle çarpıklığı, µ 3 α 3 (3.4) 3 µ dr. Tek tepel dağılımlarda µ 0 se sola, µ 0 se sağa çarpıklık söz kousudur. 3 3 µ 0 3 se dağılım smetrktr (Hah ve Shapro 967). TANIM 3.8. Br dağılımı α 4 le gösterle svrlğ, µ α 4 (3.5) µ 4 dr. Dağılımları svr ya da basık olmaları kousuda yorum stadart ormal dağılıma göre yapılır. Stadart ormal dağılımı svrlğ üçtür. α 3 se dağılım stadart ormal dağılımda daha svr, α 3 se dağılım stadart ormal dağılımda daha basıktır (Hah ve Shapro 967). 4 4 TANIM 3.9. Br X rastgele değşke modu, e yüksek olasılığa sahp rastgele değşke değerdr (Evas ve ark. 993). TANIM 3.0. f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl tptek br X rastgele değşke medyaı, ( u) f 0. 5 (3.6) u eştlğ sağlaya X değerdr (Evas ve ark. 993). 9

36 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN TANIM 3.. f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl tptek br X rastgele değşke medyaı, ( u) f du 0. 5 (3.7) eştlğ sağlaya X değerdr (Evas ve ark. 993). TANIM 3.. f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl br X rastgele değşke dağılım foksyou foksyou F ( ) olmak üzere, h ( ) ( ) F( ) f (3.8) foksyoua rsk foksyou der (Ireso ve ark. 996). TANIM 3.3. X ve X sürekl rastgele değşkeler se, (, ) P( X X ) f (3.9), şeklde verle ve aşağıdak koşulları sağlaya foksyo ( ) X, X değerler ç ortak olasılık yoğuluk foksyou veya ortak olasılık dağılımı olarak adladırılır (Hogg ve Crag 995).. ( ) 0 f + +,. f ( ) d ( ( ), d sıırlaa ala e eşttr.) f, eğrs altıda kala ve ekse le foksyoları, TANIM 3.4. X ve X sürekl rastgele değşkeler se ortak dağılım ( ) P( X, X ) f ( u, v), F dudv (3.0) 0

37 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN şekldedr (Kapada ve ark. 005). TANIM 3.5. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları f (, ) olsu. X marjal olasılık foksyou, + ( ) f ( ) f, d (3.) şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.6. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları f (, ) olsu. X marjal olasılık foksyou, + ( ) f ( ) f, d (3.) şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.7. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları ( ), dağılımı, ( / ) (, ) f ( ) f olsu. X verlmşke X koşullu f f (3.3) şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.8. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları ( ), dağılımı, ( / ) (, ) f ( ) f olsu. X verlmşke X koşullu f f (3.4)

38 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.9. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları ( ), beklee değer, E ( X X ) f olsu. X verlmşke X koşullu (, ) f ( ) f / d (3.5) + şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları ( ), beklee değer, E ( X X ) f olsu. X verlmşke X koşullu (, ) f ( ) f / d (3.6) + şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.3. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları f (, ) olsu. X ve X rastgele değşkeler ortak momet çıkara foksyou, + +,, dd ( t t ) E( ep( t + t )) ep( t + t ) f ( ) M (3.7) eştlğ le verlr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.3. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları f (, ) olsu. X rastgele değşke ortalaması µ ; X rastgele değşke ortalaması µ olsu. X ve X rastgele değşkeler kovaryası,

39 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN Cov ( X X ) E [( X )( X µ )] E ( X X ) E ( X ) E ( ) µ (3.8), X şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM X ve X sürekl rastgele değşkeler olsular. X rastgele değşke varyası σ ; X rastgele değşke varyası σ olsu. X ve X rastgele değşkeler korelasyo katsayısı ρ, ρ ( X, X ) Cov σ σ (3.9) eştlğ le verlr (Hogg ve Crag 995). TANIM X ve X sürekl rastgele değşkeler olsular. X rastgele değşke varyası σ, X ve X rastgele değşkeler korelasyo katsayısı ρ olsu. X verlmşke X koşullu varyası, ( X / X ) σ ( ρ ) Var (3.30) şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM X ve X sürekl rastgele değşkeler olsular. X rastgele değşke varyası σ, X ve X rastgele değşkeler korelasyo katsayısı ρ olsu. X verlmşke X koşullu varyası, ( X / X ) σ ( ρ ) Var (3.3) şekldedr (Hogg ve Crag 995). 3

40 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN 3.. Güvelrlk Kousuda Temel Açıklamalar 3... Br Ürüü Güvelrlğ Br ürü ç güvelrlk, sağlıklı çalışmasıa devam etme olasılığı olarak taımlaablr. Güvelrlk zamala azalırke, güvelmezlk zamala artar. Herhag br zamada, br ürü ya şler durumdadır ya da arızalı/çalışamaz durumdadır. Başarısızlık olasılığı güvelmezlk, başarı olasılığı güvelrlk olarak fade edleblr. Güvelrlk ve güvelmezlk foksyoları ç sırasıyla R ( t) ve F ( t) göstermler kullaılmıştır. Güvelrlk foksyou ç bazı uygulamalarda R ( t) yere S ( t) kullaımı terch edlr. Buu ede de güvelrlk yere sağ kalım fades kullaılmasıdır. sayıdak özdeş bleşeler br teste tab tutulsu. ( t t, t) 0 aralığıda, b ( t) sayıdak bleşe başarısız olduğu, ( t) zama s sayıdak bleşe se sağ kaldığı gözles ( ( t) + ( t) ). Bu durumda t aıda ( t) güvelrlk, R () t b s 0 s ( t) () t + () t ( t) s 0 R le gösterle (3.3) s b olur. Dğer br fadeyle t zamaa karşı dayama rastgele değşke se, t aıda güvelrlk foksyou, ( t) P( T t) R (3.33) şeklde fade edlr (Kadfel 987). Böylece, ( t) + F( t) R (3.34) 4

41 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN dr. Ya, t aıda br ürüü güvelrlğ le başarısızlık olasılığı toplamı dr. Zamaa karşı dayama rastgele değşke t, f ( t) olasılık yoğuluk foksyoua sahp se (3.34) eştlğde, R () t F() t f ( u) t du (3.35) 0 elde edlr (Kadfel 987). (3.35) eştlğ t ye göre türev alıırsa, dr dt ( t) () t f (3.36) buluur (Elsayed 996). güvelmezlk güvelrlk f(t) P(t<a) Şekl 3.. Güvelrlk ve güvelmezlk arasıdak lşk. ( Koşullu Güvelrlk Foksyou a t Koşullu güvelrlk hesaplamaları, daha öce belrl br sürede şlev başarıyla tamamladığı ble br üte özel br sürede şlev başarıyla 5

42 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN tamamlaması olasılığıı hesaplama olaağı sağlar. Öyleyse, koşullu güvelrlk foksyou kullaılmış ekpmaları güvelrlğ olarak düşüüleblr. GÖREV : görev görev SÜRE : süret süret SONUÇ : başarılı blmyor ( Burada t : ye görev ç süre ve T : başarıyla tamamlamış esk göreve at süre olmak üzere koşullu güvelrlk foksyou R ( t T) ( + t) R( T) R T / (3.37) eştlğ le verlr Oarılamaz Parçalar Oarılamaz br ürüde bulua N tae parça T süresce test edls ve gerçekleşe hatalar/arızalar kaydedls. T süresce N parçada hata/arıza gözledğ ve. hataı/arızaı T de gerçekleştğ varsayılır. Bua göre, N parça N T ç toplam dayama süres dr. Ortalama dayama süres se MTTF N N T (3.38) eştlğ le verlr. λ le gösterle ortalama hata oraı da 6

43 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN N λ (3.39) N T şekldedr. Görüldüğü gb ortalama hata oraı, ortalama dayama süres çarpmaya göre tersdr. t T de N taes çalışır durumda ola parçaları sayısı olacaktır. Bua bağlı olarak, R ( N ), t 0 da ke t T de 0 olur. N t T de 0 Şekl 3.. Oarılamaz ürü ç zamaa bağımlı güvelrlk foksyou (Betley 993). Şekl 3. celedğde. dkdörtge ç yükseklk, uzuluk T ve ala N T dr. Böylece MTTF, grafğ altıdak alaa eşttr. N ke R keskl N güvelrlk foksyou, sürekl güvelrlk foksyou olur. Böylece, R ( t) altıdak T 0 ala R() t dt olur. Geel olarak, sürekl güvelrlk foksyou csde MTTF, 7

44 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN 0 () t MTTF R dt (3.40) şeklde fade edlr (Betley 993). MTTF, zamaa karşı dayama süres ç kullaıla rastgele değşke beklee değer ya da ortalamasıdır (Ireso ve ark 996, Elsayed 996) Oarılablr Parçalar Oarılablr ürüde bulua N tae parça T süresce test edls. T D : j hataı/arızaı gerçekleştğ zamala, arızalı parçaı oarılmış olarak yere koup çalışmaya başladığı zama arasıda geçe sürey, ya arıza/çalışmama süres gösters. Bua göre, N F hata/arıza sayısı olmak üzere toplam N T D j F arıza/çalışmama süres, dr. Şekl 3.3. Oarılablr ürüde hata/başarısızlık umues (Betley 993). Bu durumda ortalama çalışmama süres, 8

45 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN MDT N F N F j T D j (3.4) olarak taımlaır. Ayrıca çalışma süres, F Çalışma süres NT T N j D j NT N F MDT (3.4) dr. Ortalama dayama süres se MTBF NT N N F (3.43) F MDT bçmdedr. Ortalama hata oraı da N F λ (3.44) NT N MDT F olarak fade edlr. Görüldüğü gb ortalama hata oraı, hatalar arası ortalama süre çarpmaya göre tersdr. A le gösterle kullaılablrlk toplam çalışma süres test sürese bölümüdür. N F MTBF MTBF A (3.45) N MTBF + N MDT MTBF + MDT F F U le gösterle kullaılmazlık se toplam arıza/çalışmama süres test sürese bölümüdür. U MDT (3.46) MTBF + MDT So k eştlk yardımıyla, A +U (3.47) 9

46 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN buluur (Betley 993, Adrews ve Moss 00) Rsk Oraı Foksyouu Geel Formu [ ] t zama aralığıda, br bleşe başarısızlık olasılığı,,t t f () t dt F( t) F( t) R( t) R( t) (3.48) t şeklde yazılablr (Elsayed 996). t aıda öce br hataı gerçekleşmedğ blyorke [ ] t aralığıda brm zamada başarısızlık olasılığı hata oraı olarak,t taımlaır. Hata oraı, P ( t T < t/ T > t) P( t T < t) t t ( t t ) P( T > t ) F( t) F( t) ( t t ) R( t ) (3.49) eştlğ le verlr (Kadfel 987). Hata oraı güvelrlk foksyou yardımıyla, P ( t T < t/ T > t) R( t) R( t) t t ( t t ) R( t ) (3.50) olarak yazılır. (3.50) dek eştlkte t, t ve t, t + t le yer değştrlrse bu eştlk P ( t T < t/ T > t ) R( t) R( t + t) t t tr() t (3.5) olarak yede yazılablr. Dğer tarafta rsk foksyou, t sıfıra yaklaşırke hata oraıı lmt olarak taımlaır. Ya rsk foksyou, alık hata oraıdır. Böylece rsk foksyou, h () t ( t) R( t + t) tr() t R() t lm R d R() t 0 dt t (3.5) şeklde elde edlr. (3.36) dak eştlk yardımıyla, 30

47 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN () t () t f h () t (3.53) R olarak da yazılablr (Elsayed 996, Kadfel 987). Şekl 3.4 le br ürüü yaşamı süresce rsk oraıı asıl değşklk gösterdğ görülmektedr. Rsk oraıa lşk bu eğr küvet eğrs olarak adladırılır. Öylek eğrde üç bölge gözler. Bu üç bölge sırasıyla başlagıç hatalarıa (I), rastgele hatalara (II) ve yıpramaya bağlı hatalara (III) karşılık gelr. Eşyalar ye olduğuda, özellkle ürü ye tasarlamışsa erke hatalar: tasarım kusurlarıda, kötü kalte bleşelerde, malat kusurlarıda, kurum hatalarıda, bakım hatalarıda ya da ürüü kullaıcı ç alışılmamış olmasıda kayaklaır. Bu durumda kusurlar düzeltlp, zayıf bleşeler değştrlr. Kullaıcı ürüü kurulmasıa, çalışmasıa ve bakımıa zamala alışır. Rsk oraı bu bölgede zamala azalır. İkc bölgede rsk oraı sabttr. Bu bölgede hatalar tahm edlemeye çeştl edelere bağlı olarak ortaya çıkar. Üçücü bölgede se ürüü yıpramasıa bağlı olarak rsk oraı artar (Betley 993, Elsayed 996). Ireso ve ark (996), şeklde I, II ve III le gösterle üç bölgey sırasıyla erke ölümlülük peryodu, yararlı ömür peryodu ve yıprama peryodu olarak adladırmışlardır. Alık hata oraı h(t) I II III Zama t Şekl 3.4. Küvet eğrs (Betley 993, Elsayed 996). 3

48 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN Ser Sstemler İk bleşel ser br sstem Şekl 3.5 le verlmektedr. Bu sstemde atıl durumda ola bleşe yoktur. Herhag br bleşe başarısızlığı, sstem başarısızlığıa ede olur. R A ve R B sırasıyla A ve B bleşeler başarı olasılığı ve F A ve F B sırasıyla A ve B bleşeler başarısızlık olasılıkları olsu. Ya, F A + R A ve F B + R B şekldedr. A bleşe başarısız olması durumu A F, B bleşe başarısız olması durumu B F le gösterls. Bu durumda sstem başarısızlık olasığı F sstem P P F ( A veya B ) F F ( A ) + P( B ) P( A ve B ) A F + F B F F A F B ( F )( ) A F B F F (3.54) olarak yazılır. Sstem, A bleşe çalışması ( A W ) ve B bleşe çalışması ( BW ) durumuda çalışır. Ya sstem başarı olasılığı R sstem P ( A ve B ) W W R R (3.55) A B dr. A B Şekl 3.5. İk bleşel ser sstem (Adrews ve Moss 00). Yukarıda k bleşel ser sstem ç açıklamalar geelleştrls. m elemada oluşa ser br sstemde elemaları güvelrlkler sırasıyla R, R,..., R,..., R m olsu. Her br elemaı güvelrlğ, dğerler güvelrlklerde bağımsız olduğu varsayılsı. Sstem sağ kalımı, her br 3

49 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN elemaı/bleşe sağ kalımıı gerektrr. Br bleşe başarısızlığı durumuda sstem başarısız olur. Bulara bağlı olarak sırasıyla sstem güvelrlğ ve güvelmezlğ, m R sstem R (3.56) m ( ) F sstem F (3.57) olarak fade edlr (Adrews ve Moss 00, Betley 993). R R R 3 R R m 3 m Şekl 3.6. m bleşel ser sstem (Betley 993) Paralel Sstemler İk bleşel paralel br sstem şekl 3.7 de gösterlmektedr. A ve B bleşelerde br başarısız olsa dah sstem çalışır. Bu fade yedekl/emyetl br sstem (fully redudat system) belrtr. Sstem başarısızlığı A ve B bleşeler başarısızlığı le gerçekleşr. Ya, F sstem P ( A ve B ) F F F F (3.58) A B dr. A veya B çalışıyorsa, sstem çalışır. Ya, R sstem P ( A veya B ) W W ( R )( ) (3.59) A R B dr. 33

50 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN A B Şekl 3.7. İk bleşel paralel sstem (Adrews ve Moss 00). Yukarıda k bleşel paralel sstem ç açıklamalar geelleştrls. elemada oluşa paralel br sstem güvelmezlkler sırasıyla F, F,... F j,..., F olsu. Sstem şlev gerçekleştrmes ç sadece br elemaı şlev ble yeterldr. Kala elemalar sadece sstem güvelrlğ arttırır. Sstem başarısızlığı tüm elemaları başarısızlığı durumuda gerçekleşr. Öyleyse paralel br sstemde elema sayısıı arttırmak, tüm sstem güvelrlğ arttırır. Her br elemaı güvelrlğ, dğerler güvelrlklerde bağımsız olduğu varsayılır. Bulara bağlı olarak sstem güvelmezlğ ve güvelrlğ sırasıyla, F sstem F (3.60) ( ) R sstem R (3.6) şeklde fade edlr (Adrews ve Moss 00, Betley 993). 34

51 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN F F F j j F Şekl 3.8. bleşel paralel sstem (Betley 993) Geel Ser-Paralel Sstemler Geel ser-paralel sstem şekl 3.9 da gösterlmştr. Geel ser paralel sstem m tae ser bağlı elema çere tae paralel alt sstemde oluşmaktadır. R j, j. alt sstemdek. elemaı güvelrlğ göstermektedr. Bua göre j. alt sstem güvelrlğ, R j m R j R j... R j... R jm R j (3.6) şekldedr. j. alt sstem güvelmezlğ se m F j R j (3.63) şekldedr. Tüm sstem güvelmezlğ de 35

52 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN m F sstem R j (3.64) j eştlğ le fade edlr (Betley 993). R R R R m R R R R m R j R j R j R jm R R R R m Şekl 3.9. Ser-paralel sstem (Betley 993). 36

53 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ 4.. Normal Dağılım foksyou, TANIM 4.. Sürekl tptek br rastgele değşke olasılık yoğuluk ( ) t µ f t; µ, σ ep t µ σ 0 (4.) σ π σ se t rasgle değşkee µ ve σ parametrel ormal dağılıma sahptr der. Burada µ ve σ parametreler sırasıyla ormal dağılımı koum ve yayılım parametrelerdr. µ ve σ parametrel ormal dağılıma at olasılık yoğuluk foksyouda σ ve µ 0 alıırsa stadart ormal dağılım elde edlr. Normal dağılımla lgl Φ (.) foksyou ç U rastgele değşke ( µ ) U t olarak alısı. U ç olasılık yoğuluk foksyou, σ ( ) φ u ep u (4.) π şekldedr. Bua ormal dağılımı stadart formu der. U ç dağılım foksyou da, Φ ( u) P( U u) π u t ep dt (4.3) şekldedr (Johso ve ark. 994). TEOREM 4.. Normal dağılımı dağılım foksyou, 37

54 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN F t y µ µ (4.4) σ π σ ( t;, σ ) ep dy veya t µ F ( t; µ, σ ) Φ (4.5) σ dr (Ireso ve ark. 996). TEOREM 4.. µ ve σ parametrel ormal dağılıma sahp X rastgele değşke ç momet çıkara foksyou, M σ t µ (4.6) ( t;, σ ) ep µ t + dr (Hogg ve Crag 995). TEOREM 4.3. Sürekl tptek t rastgele değşke, ormal dağılıma sahp se beklee değer; ya da ortalaması, ( t) µ µ E (4.7) dur (Hogg ve Crag 995). varyası, TEOREM 4.4. Sürekl tptek t rastgele değşke, ormal dağılıma sahp se ( t) σ Var σ 0 (4.8) dır (Hogg ve Crag 995). TANIM 4.. Sürekl tptek t rastgele değşke, ormal dağılıma sahp se, α 3 le gösterle çarpıklığı, 38

55 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN α 0 (4.9) 3 dır (Evas ve ark. 993). TANIM 4.3. Sürekl tptek t rastgele değşke, ormal dağılıma sahp se, α 4 le gösterle svrlğ, α 3 (4.0) 4 tür (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.5. Normal dağılımı modu, t µ (4.) oktasıdadır (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.6. Normal dağılımı medyaı, t µ µ (4.) oktasıdadır (Evas ve ark. 993). foksyou, TEOREM 4.7. Normal dağılımı R ( t) le gösterle güvelrlk/sağ kalım R () t t ( π ) y µ ep σ + σ dy (4.3) veya t µ R() t Φ (4.4) σ dır (Ireso ve ark. 996). 39

56 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN foksyou, TEOREM 4.8. Normal dağılımı ( T t) R / le gösterle koşullu güvelrlk ( / t) R T + T + t + t σ σ ( π ) ( π ) y µ ep dy σ y µ ep dy σ (4.5) dr (Ebelg 997). TEOREM 4.9. Normal dağılımı h ( t) le gösterle rsk foksyou, h () t + t σ σ ( π ) ( π ) t µ ep σ y µ ep dy σ (4.6) ya da eşdeğer olarak, h () t ( t µ ) φ σ σ t µ Φ σ (4.7) dır (Ireso ve ark. 996) Normal Dağılımdak Parametreler Tahm Tek değşkel ormal dağılımı µ ve σ parametreler tahm edcler, maksmum lkelhood yötem kullaılarak hesaplaacaktır. 40

57 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN t.,, t, t3,... t ; µ ve σ parametrel ormal dağılımda alımış brmlk rastgele öreklem olsu. Bu gözlem değerler kullaılarak blmeye µ ve σ parametreler ç tahm edcler hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ler ortak olasılık yoğuluk foksyou, f ( t, t, t,... t ;, σ ) 3 dr. ( µ σ ) f ( t, t, t,... t ; µ, σ ), 3 t µ µ ep (4.8) σ π σ L olsu. O halde, ( ) t µ L µ, σ ep (4.9) σ π σ dr. (4.9) dak eştlğ logartması alıdığıda, l t µ µ (4.0) σ π σ { L(, σ )} l elde edlr. (4.0) dek fade µ ve σ parametrelere göre türevler alııp sıfıra eştledğde µ ve σ parametreler tahmler sırasıyla ˆµ (4.) t ve ( t ) σ ˆ µ (4.) buluur (Evas ve ark. 993). 4

58 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN σ σ -.-. σ 3 f(t) t Şekl 4.. Normal dağılımda µ 0 ve σ 0. 5, σ, σ 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Hah ve Shapro 967, Johso ve ark. 994) µ - µ µ 0.5 f(t) t Şekl 4.. Normal dağılımda σ ve µ, µ 0, µ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Hah ve Shapro 967, Johso ve ark. 994). 4

59 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN σ... σ F(t) t Şekl 4.3. Normal dağılımda µ 0 ve σ, σ 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler (Elsayed 996) σ 3 - σ 0.6 R(t) t Şekl 4.4. Normal dağılımda µ 0 ve σ 3, σ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler (Elsayed 996). 43

60 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 0 9 σ 8... σ h(t) t Şekl 4.5. Normal dağılımda µ 5 ve σ, σ 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler (Hah ve Shapro 967, Elsayed 996) Normal Dağılımı Uygulama Alaları Gauss dağılımı da dele ormal dağılım, brçok alada oldukça öeml br olasılık dağılımıdır. Normal dağılımı mühedslkte ve güvelrlkte öeml uygulamaları vardır. Br uygulama olarak, yıpramaya karşı hata vere chazları aalz verleblr. Sık sık, yıpramaya bağlı olarak ortaya çıka hata/başarısızlık dağılımı ormal dağılıma yakısadığıda güvelrlğ tahm etmek veya değerledrmek ç ormal dağılım kullaılablr. Dğer br uygulama olarak mal edle maddeler aalz ve buları foksyolarıı gerçekleştrme yeteeğ aalz verleblr. Brbre bezeye k parça tam olarak ayı şlev görmez. Parçalardak değşklk, sstemde değşklğe yol açar. Tasarımda, parça değşkelğ hesaba katılmalıdır. Aks taktrde farklı kombasyolara bağlı olarak sstem kedsde beklee vermeyeblr. Olasılık teors kalb olduğu düşüüle merkez lmt teorem de ormal dağılımı ürüüdür. Teorem şu şekldedr. 44

61 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN X, X, X 3,... µ ortalamalı, olsu. Böylece, σ varyaslı, bağımsız rastgele değşkeler Z X X σ µ (4.3) ç dağılım ke stadart ormal dağılıma yaklaşır (Ross 997). Br rastgele değşke çok sayıdak bağımsız küçük edeler toplam etks gösteryorsa, merkez lmt teorm o değşke dağılımıı ormal olduğuu fade eder. Ya üretme bağlı olarak elektrok bleşe parçaları değerde değşmler ormal dağılıma sahp olduğu düşüülür (Egeer's Edge 007). Normal dağılım, sstemler çeştl fzksel, mekak veya kmyasal özellkler modellemek ç de kullaılır. Gaz moleküller hızı (gas molecule velocty), gym, ses, alümyum alaşım çelğ çekme drec/gerlme mukavemet, (tesle streght of alumum alloy steel), elektrk kodasatörler kapaste değşm (capacty varato of electrcal codesers), br alada elektrk gücü tüketm, jeeratör çıkış gerlm (geerator output voltage) ve elektrk drec (electrcal resstace) ormal dağılımı uygulama alalarıa örek olarak gösterleblr (Ireso ve ark. 996). Normal dağılım (, + ) aralığıda taımlıdır. Buula brlkte güvelrlk teorsde, eseler yaşam süreleryle lglelr. Bu edele eseler yaşam süresyle lgl dağılımı [ 0, ) aralığıda olduğu varsayılır. Bu dağılım solda kesk/keslmş dağılım olarak adladırılır. Bu durumda ye olasılık yoğuluk foksyou, t µ ep () () ~ f t σ π σ f t (4.4) () F 0 t µ ep σ π 0 σ 45

62 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN le fade edlr. Problemlerde kesk/keslmş dağılım olma durumu, σ µ oraı dört veya beşte büyük se hmal edleblr br etkye sahptr. Kesk/keslmş dağılımı ortalaması dama lgl ormal dağılımı ortalamasıda büyüktür. Dğer tarafta, varyası da dama küçüktür (Gedeko ve Ushakov 995). Acak ormal dağılımı ya da kesk/keslmş ormal dağılımı kullaımıda dağılım foksyouu kapalı formu olmaması zorluk oluşturur. ÖRNEK 4.. Normal dağılıma sahp 5 üteye at dayama süreler saat csde 0, 0, 30, 40, 50 olarak verlmştr. Bu verler ç ortalama ve stadart sapmayı hesaplayıız. ÇÖZÜM: Bu verlere göre ortalama ve stadart sapma tahmler (4.) ve (4.) dek eştlkler kullaılarak sırasıyla, t σ ˆ t olarak buluur. ve ( t t ) 4. 4 t ÖRNEK 4.. Br bleşe ç zamaa karşı dayama süres ormal dağılım olsu. Dağılımı ortalaması 0 saat, stadart sapması da 3 saattr. Aşağıdak soruları yaıtlayıız.. Bleşe şletme zamaıı 5. saatde güvelrlğ edr?. Bleşe 5. ve 8. saatler arasıda başarısız olması olasılığı edr? 3. Bleşe şletme zamaıı 5. saatde hata oraı edr? ÇÖZÜM: İlk soruu çözümü ç (4.4) dek eştlk kullaılarak, 5 0 R ( 5 ) Φ Φ(.667) buluur. İkc soruu çözümü 3 ç (4.5) dek eştlkte yaralaılır. Bu durumda ( 8 ) F( 5) Φ(.667) Φ(.667) F buluur. Üçücü soruu çözümü ç (4.7) dek eştlk kullaılarak, ( ) (Ireso ve ark. 996). 5 0 Φ 3 h hata/saat buluur 3 R ( 5) 46

63 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 4.. Logormal Dağılım foksyou, TANIM 4.4. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk l t µ ( ) ( ) f t; µ, σ ep 0 t µ + σ 0 (4.5) tσ π σ se t rastgele değşkee µ ve σ parametrel logormal dağılıma sahptr der (Evas ve ark. 993, Patl ve ark.984). Burada µ ve σ parametreler sırasıyla dağılımı koum ve şekl parametrelerdr. TEOREM 4.0. Logormal dağılımı dağılım foksyou, F t l y µ µ (4.6) σ π y 0 σ ( t;, σ ) ep dy veya l t µ F() t Φ σ (4.7) dır (Ireso ve ark. 996). TEOREM 4.. Logormal dağılımı sıfır etrafıdak r. momet, σ r µ ep + r µ r (4.8) dr (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.. Sürekl tptek t rastgele değşke, logormal dağılıma sahp se beklee değer ya da ortalaması, 47

64 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN σ () E t ep µ + (4.9) dr (Elsayed 996). TEOREM 4.3. Sürekl tptek t rastgele değşke, logormal dağılıma sahp se varyası, ( t) ep( µ + σ )( ep( σ ) ) Var (4.30) dr (Elsayed 996). TANIM 4.5. Sürekl tptek t rastgele değşke, logormal dağılıma sahp se, α 3 le gösterle çarpıklığı, ( ep( σ ) + ) ep( ) α (4.3) 3 σ dr (Evas ve ark. 993). TANIM 4.6. Sürekl tptek t rastgele değşke, logormal dağılıma sahp se, α 4 le gösterle svrlğ, ( 4σ ) + ep( 3σ ) + 3ep( ) 3 α 4 ep σ (4.3) tür (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.4. Logormal dağılımı modu, ( µ σ ) t ep (4.33) oktasıdadır (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.5. Logormal dağılımı medyaı, 48

65 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN ( µ ) t ep (4.34) oktasıdadır (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.6. Logormal dağılımı R ( t) le gösterle güvelrlk/sağ kalım foksyou, R () t t yσ ( π ) l y µ ep σ + dy (4.35) veya l t µ R() t Φ (4.36) σ dır (Ireso ve ark. 996). TEOREM 4.7. Logormal dağılımı ( T t) güvelrlk foksyou, R / le gösterle koşullu ( / t) R T + t+ T + t yσ yσ ( π ) ( π ) l y µ ep dy σ l y µ ep dy σ (4.37) dr (Ebelg 997). TEOREM 4.8. Logormal dağılımı h ( t) le gösterle rsk foksyou, h () t + t tσ yσ ( π ) ( π ) l t µ ep σ l y µ ep dy σ (4.38) 49

66 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN veya h () t () t f l t µ Φ σ (4.39) dır (Elsayed 996) Logormal Dağılımdak Parametreler Tahm Tek değşkel Logormal dağılımı µ ve σ parametreler tahm edcler maksmum lkelhood yötem kullaılarak hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ; µ ve σ parametrel logormal dağılımda alımış brmlk rastgele öreklem olsu. Bu gözlem değerler kullaılarak blmeye µ ve σ parametreler ç tahm edcler hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ler ortak olasılık yoğuluk foksyou, f ( t, t, t,... t ; µ, σ ) 3 ep t C l t µ ( ) σ σ π (4.40) dr. ( µ σ) f ( t, t, t,... t ; µ, σ) L olsu. O halde,, 3 L ( µ, σ ) ep t C l t µ ( ) σ σ π (4.4) dr. (4.4) dek eştlğ logartması alıdığıda, l l t µ µ (4.4) σ { L(, σ )} l t ( σ π ) 50

67 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN elde edlr. (4.4) dek fade sırasıyla µ ve σ parametrelere göre türevler alııp sıfıra eştledğde µ ve σ parametreler tahmler sırasıyla ˆµ l t (4.43) ve σ ˆ ( l t ) l t (4.44) buluur (Elsayed 996) σ - σ σ f(t) t Şekl 4.6. Logormal dağılımda µ 0 ve σ, σ 0. 5, σ 0. 5 parametre f t olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Hah ve Shapro 967, Evas ve ark. 993). değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula ( ) 5

68 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN µ 0 - µ µ 0.4 f(t) t Şekl 4.7. Logormal dağılımda σ ve µ 0, µ 0. 3, µ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Hah ve Shapro 967) F(t) σ σ t Şekl 4.8. Logormal dağılımda µ 0 ve σ 0. 6, σ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler (Evas ve ark. 993). 5

69 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN.5 h(t) 0.5 Şekl 4.9. Logormal dağılımda µ 0 ve σ 0. 6, σ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler (Hah ve Shapro 967, Johso ve ark. 994, Evas ve ark. 993) Logormal Dağılımı Uygulama Alaları - σ σ t Olasılıkta ve statstkte logormal dağılım, logartması ormal dağıla rastgele değşkeler olasılık dağılımıdır. Log ( t) taımlı olablmes ç t poztf olmalıdır. Bu edele, Logormal dağılımı uygulaablmes ç lglele rastgele değşke poztf değerler alması gerekr. Logormal dağılım; çok küçük hataları çarpımlarıda kayaklaa değerler buluduğu şlemler ç model olarak ortaya çıkar. Merkez lmt teorem kullaılarak geel koşullar altıda, bağımsız poztf değerler ala rastgele değşke çarpımıa at dağılımı logormal dağılıma yaklaştığı gösterleblr (Hah ve Shapro 967). Logormal dağılım ekoomde byolojye değşk uygulamalarda; gözlee değer, öcek değer rastgele oraı olduğu şlemlerde kullaılır. Örek olarak kşsel gelrler, mras ve baka mevduatıı dağılımı verleblr. Dğer br örek se gelşm brçok küçük tc güce maruz kala ve buu soucuda etk alık 53

70 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN hacm le oratılı olduğu br orgazmada, orgazmaı hacm dağılımıdır. Logormal dağılım kırılma şlem soucuda elde edle taeckler hacm dağılımıı göstermek ç kullaılır. Ayrıca yaşam testde de kullaılır (Hah ve Shapro 967). Logormal dağılım çarpık br dağılımdır. Logormal dağılım çok sayıda olayı, dağılımı sol kuyruğuda yoğulaştığı durumları modellemek ç kullaılır. Bu dağılıma örek olarak farklı müşterler tarafıda kullaıla elektrk mktarı, sstemler arıza süres, tamr süres, ampuller ışık yoğulukları, kmyasal artıkları yoğulukları, farklı müşterler tarafıda otomoblle katedle mesafeler verleblr (Ireso ve ark. 996). ÖRNEK 4.3. ABD de yaşaya dört aleye at gelrler µ log(0000) ve σ parametre değerleryle logormal dağılıma sahp olsu. Gelr ç f ( t) olasılık yoğuluk foksyouu grafğ oluşturuuz (Mathworks 007). ÇÖZÜM: >>0:000:500; >>ylogpdf(,log(0000),.0); >>plot(,y); >>set(gca,'tck',[ ]) >>set(gca,'tcklabel',strmat('0','$30000','$60000','$90000','$0000')) 54

71 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN f(t) Şekl 4.0. µ log(0000) ve σ parametre değerleryle logormal dağılıma sahp gelr rastgele değşke ç f ( t) olasılık yoğuluk foksyouu grafğ ( stats/prob_d3.html) Üstel Dağılım 0 0 $30000 $60000 $90000 $0000 t TANIM 4.7. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk foksyou, f ( t µ, λ) λ ep( ( t µ ) λ) ; t µ 0 λ 0 (4.45) se t rastgele değşkee µ ve λ parametrel üstel dağılıma sahptr der (Patl ve ark. 984). Burada µ ve λ parametreler, sırasıyla dağılımı koum ve yayılım parametrelerdr. (4.45) dek eştlkte µ 0 ve λ alıırsa stadart üstel dağılım elde edlr. TEOREM 4.9. İk parametrel üstel dağılımı dağılım foksyou, F ( t µ, λ) ep( ( t µ ) λ) ; (4.46) dır (Patl ve ark. 984). 55

72 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN TEOREM 4.0. Sürekl tptek t rastgele değşke k parametrel üstel dağılıma sahp se beklee değer ya da ortalaması, E () t µ + (4.47) λ dır (Patl ve ark. 984). TEOREM 4.. Sürekl tptek t rastgele değşke, k parametrel üstel dağılıma sahp se varyası, Var () t (4.48) λ dr (Johso ve ark. 994, Patl ve ark. 984). TEOREM 4.. İk parametrel üstel dağılıma sahp X rastgele değşke ç momet çıkara foksyou, M ( t µ, λ ) ( µ t) ep ; (4.49) t λ dır (Johso ve ark. 994, Patl ve ark. 984). TANIM 4.8. Sürekl tptek t rastgele değşke, k parametrel üstel dağılıma sahp se, α 3 le gösterle çarpıklığı, α (4.50) 3 dr (Johso ve ark. 994, Patl ve ark. 984). TANIM 4.9. Sürekl tptek t rastgele değşke, k parametrel üstel dağılıma sahp se, α 4 le gösterle svrlğ, 56

73 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN α 9 (4.5) 4 dur (Johso ve ark. 994, Patl ve ark. 984). TEOREM 4.3. İk parametrel üstel dağılımı modu, t µ (4.5) oktasıdadır (Patl ve ark. 984). TEOREM 4.4. İk parametrel üstel dağılımı medyaı, t log + µ (4.53) λ oktasıdadır (Patl ve ark. 984). TANIM 4.0. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk foksyou, f ( t λ) λ ep( λt) ; t 0 λ 0 (4.54) se t rastgele değşkee λ parametrel üstel dağılıma sahptr der. Ayrıca λ parametrel üstel dağılıma, br parametrel üstel dağılım da der. Burada λ parametrese ora parametres der. Alteratf olarak, üstel dağılım µ olmak λ üzere yayılım parametres µ yardımıyla da fade edlr (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.5. Br parametrel üstel dağılımı dağılım foksyou, F ( t λ) ep( λt) ; (4.55) dr (Evas ve ark. 993). 57

74 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN TEOREM 4.6. Sürekl tptek t rastgele değşke br parametrel üstel dağılıma sahp se beklee değer; ya da ortalaması, E () t (4.56) λ dır (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.7. Sürekl tptek t rastgele değşke, br parametrel üstel dağılıma sahp se varyası, Var () t (4.57) λ dr (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.8. Br parametrel üstel dağılımı momet çıkara foksyou, t M ( t; λ) (4.58) λ dr (Evas ve ark. 993). TANIM 4.. Sürekl tptek t rastgele değşke, br parametrel üstel dağılıma sahp se, α 3 le gösterle çarpıklığı, α (4.59) 3 dr (Evas ve ark. 993). TANIM 4.. Sürekl tptek t rastgele değşke, br parametrel üstel dağılıma sahp se, α 4 le gösterle svrlğ, α 9 (4.60) 4 58

75 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN dur (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.9. Br parametrel üstel dağılımı modu, t 0 (4.6) oktasıdadır (Evas ve ark. 993). TEOREM Br parametrel üstel dağılımı medyaı, t log (4.6) λ oktasıdadır (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.3. Br parametrel üstel dağılımı R ( t) le gösterle güvelrlk/sağ kalım foksyou, R ( t) ( λt) ep (4.63) dr (Elsayed 996). TEOREM 4.3. Br parametrel üstel dağılımı ( T t) güvelrlk foksyou, R ( T t) ep( λt ) R / le gösterle koşullu / (4.64) dr (Ebelg 997). foksyou, TEOREM Br parametrel üstel dağılımı h ( t) le gösterle rsk ( t) λ h (4.65) dır (Betley 993). 59

76 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN TEOREM bleşel br ser sstemde her br bleşe br parametrel üstel dağılıma sahpse sstem güvelrlğ, R sstem () t ep t λ (4.66) dr. Burada bleşeler brbrde bağımsız olduğu varsayılır (Betley 993). TEOREM Br parametrel üstel dağılıma sahp bleşe ç λ le gösterle ortalama hata oraı, λ λ (4.67) dır (Betley 993) Üstel Dağılımdak Parametreler Tahm İk parametrel üstel dağılımı µ ve λ parametreler tahm edcler, maksmum lkelhood yötem kullaılarak hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ; k parametrel üstel dağılımda alımış brmlk rastgele öreklem olsu. Bu gözlem değerler kullaılarak blmeye µ ve λ parametreler ç tahm edcler hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ler ortak olasılık yoğuluk foksyou, f ( t, t, t,... t ;, λ) λ ( t µ ) λ 3 µ ep (4.68) dr. ( µ λ) f ( t, t, t,... t ; µ, λ) L olsu. O halde,, 3 (, λ) λ ep ( t µ ) λ L µ (4.69) dr. (4.69) dak eştlğ logartması alıdığıda, 60

77 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN { L(, σ )} l λ λ l µ t + µλ (4.70) elde edlr. (4.70) dek fade sırasıyla µ ve λ parametrelere göre türevler alııp sıfıra eştledğde µ ve λ parametreler tahmler sırasıyla { t, t, t,..., } µ ˆ m 3 t (4.7) ˆ λ (4.7) ( t µ ˆ ) buluur. Ayı yötemle br parametrel üstel dağılımı λ parametres tahm de ˆλ (4.73) t şeklde buluur (Johso ve ark. 994) λ - λ λ f(t) t Şekl 4.. İk parametrel üstel dağılımda µ ve λ, λ 0. 5, λ 0. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Evas ve ark. 993). 6

78 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN.5... λ λ -.-. λ. 5 f(t) t Şekl 4.. Br parametrel üstel dağılımda λ 0. 5, λ ve λ. 5 parametre f t olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Evas ve ark. 993). değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula ( ) F(t) R(t ) 0 t Şekl 4.3. Br parametrel üstel dağılımı R ( t) güvelrlk ve ( t) foksyolarıı grafkler (Elsayed 996). F dağılım 6

79 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN h(t) λ t Şekl 4.4. Br parametrel üstel dağılımı ( t) 996) Üstel Dağılımı Uygulama Alaları h rsk foksyouu grafğ (Elsayed Epste ve Sobel (953), elektrok bleşeler ç yaşam test göstermek amacıyla üstel dağılımı kullamaya başlamıştır. Oları çalışmaları, güvelrlk aalzde üstel dağılımı popüler br dağılım yapmıştır. Üstel dağılım, br bleşede lk hata/başarısızlık gerçekleşceye kadar bekleme sürese at dağılım olarak kullaılır. Ayı zamada br hatalı bleşe ayı tpte dğer br bleşele değştrlebleceğ varsayımı altıda, hatalar arasıdak bekleme zamalarıa at dağılım olarak da kullaılır (Hah ve Shapro 967). Üstel dağılım, zamaa karşı dayama model olarak kullaıla statstksel dağılımlar arasıda e popüler olaıdır. Bu populerte br ede, sabt hata oraıı, zamala değşklk göstere hata oraıa göre matematksel olarak kolaylık sağlamasıdır. Söz kousu sabt hata oraıa uygulamalarda çok az karşılaşılır. Öreğ gele telefo aramalarıı oraı güü saatlere göre farklılık gösterr. Fakat gü çde oraı sabt olduğu zama aralığıa odaklaacak oluursa, br sorak telefo araması gerçekleşceye kadar gereke zama ç üstel dağılım y br yaklaşık modeldr. Buula brlkte br orgazmaı ya da tekk br chazı yaşam sürec modellemek ç üstel dağılım uygu değldr. Çükü burada hata oraları sabt değldr. Aşağıda yaklaşık olarak üstel dağıla rastgele değşke örekler verlmştr. 63

80 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN. Taık oluacak br araba kazası gerçekleşceye kadar gereke zama.. Br radyoaktf parça bozuması gerçekleşceye kadar gereke zama ya da Geger-Müller sayacıı arka arkaya k bplemes arasıda geçe zama. 3. Büyük br meteoru çarpması soucu ktlesel br yıkım gerçekleşceye kadar gereke zama (Wkpeda 007). Üstel değşkeler her br mesafe brmde sabt olasılıkla gerçekleşe olaylarda koumları modellemek ç de kullaılır. Bua örek olarak aşağıdakler verleblr.. Br DNA plğdek mutasyolar arasıdak mesafe.. Br yoldak arızalar arasıdak mesafe (Wkpeda 007). Üstel dağılımı güvelrlkte oldukça geş br kullaım alaı vardır. Üstel dağılımı güvelrlk alaıdak uygulamalarıa örek olarak elektro tüpler, resstörler ve kapastörler verleblr (Hah ve Shapro 967). Çok sayıda bleşee sahp karmaşık sstemler ömrü ç üstel dağılım y br modeldr. Üstel dağılım sabt hata oraıa sahp olduğu ç erke ölümlülük peryodu btm sorasıda ya yararlı ömür peryodu ç y br model oluşturur. Elektrkl ve elektrok sstemler, blgsayar sstemler ve otomobl aktarım araçları gb uygulamalar örek olarak verleblr (Ireso ve ark 996). ÖRNEK 4.4. Br akım ölçüm sstem, br ölçme delğde (Orfce plate) ( λ 0.75), basıç letcde (D/P trasmtter) ( λ.0), karekök çıkarıcı aygıtta (Square root) ( λ 0.) ve br kaydedcde (Recorder) oluşmaktadır. Aşağıdak 3 maddeye lşk, 0.5 yıl sora olablecek akım ölçüm kaybı olasılığıı hesaplayıız. (a) (b) Şekl 4.5 dek br akım ölçüm sstem ç Şekl 4.6 dak paralel, özdeş üç akım ölçüm sstem ç (c) üç ölçme delğ, üç basıç letc ve br orta değer seçc rölesde (Mddle value) ( λ 0.) oluşa sstem. Röle, e yüksek e alçak ola letc syal çıktıları seçmektedr. Seçle syaller öce karekök çıkarıcı aygıta, sora kaydedc aygıta letlmektedr. (d) Bu hesaplamalarda asıl souçlar çıkarılablr? 64

81 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN (a) ÇÖZÜM: λ 0.75 λ. 0 λ 3 0. λ 4 0. Orfce plate D/P trasmtter Square root Recorder Şekl 4.5. Tekl akım ölçüm sstem (Betley 993). Öce λ sstem λ + λ + λ + λ. 95 hesaplaır. Sora bu değer (4.66) dak 3 4 eştlkte kullaılarak ( t) ep( t) ep( ) ep( 0.975) Fsstem λ sstem olarak buluur. Bu edele 0.5 yıl sora hata olasığı0.63 tür. (b) λ 0.75 λ. 0 λ 3 0. λ 4 0, Orfce plate D/P trasmtter Square root Recorder λ 0.75 λ. 0 λ 3 0, λ 4 0. Orfce plate D/P trasmtter Square root Recorder λ 0.75 λ. 0 λ 3 0. λ 4 0. Orfce plate D/P trasmtter Square root Recorder Şekl 4.6. Paralel, özdeş üç akım ölçüm sstem (Betley 993). 3 sstem (3.60) tak eştlk kullaılarak F ( 0.63) 0. 4 edele 0.5 yıl sora hata olasığı0.4 dr. 3 F buluur. Bu 65

82 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN (c) Mddle value Square root Recorder Orfce plates D/P trasmtters Şekl 4.7. Orta değer seçc rölel sstem (Betley 993). Öce λ λ ölçmedelğ + λ. 75 hesaplaır. Sora bu değer (4.66) dak basıasıçc eştlkte kullaılarak 0.5 yıl sora hata olasılığı, ep( λ ) ep( ) ep( 0.875) F t buluur. Seçc, üç ayrı O/P + D/P kaalıda br seçer. O/P + D/P kaallarıa at 3 tüm güvelmezlk ( t) F ( 0.583) F dr. O/P + D/P kaallarıa at tüm güvelrlk R( t) F( t) dr. Kala üç bleşe hata oraı λ şekldedr. Böylece kala üç bleşe ç güvelrlk ( ) R ep buluur. (3.56) dak eştlk kullaılarak R sstem R( t) R elde edlr. Bu edele F R 0.30 dur. sstem sstem (d) E yüksek güvelmezlk (a) maddesdek sstemde olmaktadır. Üç paralel sstem barıdıra (b) maddesdek sstem se e düşük güvelmezlğe sahptr. Buula brlkte bu sstem malyet yüksektr. (c) maddesdek sstem (b) maddesdek ssteme göre daha güvelmez olsa da malyet daha düşüktür (Betley 993). 66

83 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 4.4. Webull Dağılımı foksyou, TANIM 4.3. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk f ( t; γ, σ, η) η t σ σ γ t γ ep σ η η t γ 0 σ 0 η 0 (4.74) se t rastgele değşkee γ, σ ve η parametrel Webull dağılımıa sahptr der. Burada γ, σ ve η parametreler, sırasıyla dağılımı koum, yayılım ve şekl parametrelerdr (Johso ve ark 994). TEOREM Üç parametrel Webull dağılımıı dağılım foksyou, F η t γ ; ep t η (4.75) σ ( t γ, σ, η) dr (Johso ve ark. 994). TEOREM Üç parametrel Webull dağılımıı R ( t) le gösterle güvelrlk/sağ kalım foksyou, η t γ R() t ep (4.76) σ dr. (Johso ve ark. 994) TEOREM Üç parametrel Webull dağılımıı ( T t) koşullu güvelrlk foksyou, R / le gösterle 67

84 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN η T + t γ ep ( ) σ R T/ t (4.77) η t γ ep σ dr (Ebelg 997). foksyou, TEOREM Üç parametrel Webull dağılımıı h ( t) le gösterle rsk η η t γ h () t (4.78) σ σ dr (Johso ve ark. 994). foksyou TANIM 4.4. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk f ( t; σ, η) η σ t σ t ep σ η η t 0 σ 0 η 0 (4.79) se t rastgele değşkee σ ve η parametrel ya da k parametrel Webull dağılımıa sahptr der. İk parametrel Webull dağılımı, üç parametrel Webull dağılımıda γ 0 alıarak elde edlr (Evas ve ark 993). TEOREM İk parametrel Webull dağılımıı dağılım foksyou, F η t ; ep (4.80) σ ( t σ, η) dr (Evas ve ark. 993). 68

85 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN TEOREM 4.4. Sürekl tptek t rastgele değşke, k parametrel Webull dağılımıa sahp se, sıfır etrafıdak r. momet, r r + η µ r σ Γ (4.8) η dr (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.4. Sürekl tptek t rastgele değşke, k parametrel Webull dağılımıa sahp se beklee değer; ya da ortalaması, + η E () t σγ (4.8) η dr (Evas ve ark. 993). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, k parametrel Webull dağılımıa sahp se varyası, + η + η Var () t σ Γ Γ (4.83) η η dr (Evas ve ark. 993). TANIM 4.5. Sürekl tptek br t rastgele değşke, k parametrel Webull dağılımıa sahp se, α 3 le gösterle çarpıklığı, 3 + η + η + η 3 + η Γ 3Γ Γ + Γ η η η η α 3 (4.84) 3 + η + η Γ Γ η η dr (Hah ve Shapro 967). 69

86 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN TANIM 4.6. Sürekl tptek br t rastgele değşke stadart Webull dağılımıa sahp se, α 4 le gösterle svrlğ, 4 + η 3 + η + η + η + η 4 + η Γ 4Γ Γ + 6Γ Γ 3Γ η η η η η η α 4 (4.85) + η + η Γ Γ η η dr (Hah ve Shapro 967). TEOREM İk parametrel Webull dağılımıı modu, η η t σ η (4.86) oktasıdadır (Evas ve ark. 993). TEOREM İk parametrel Webull dağılımıı medyaı, t σ ( l )η (4.87) oktasıdadır (Patl ve ark. 984). foksyou TANIM 4.7. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk η η ( t; η ) ηt ep( t ) t 0 η 0 f (4.88) se t rastgele değşkee η parametrel stadart Webull dağılımıa sahptr der (Patl ve ark. 984). Burada η parametres dağılımı şekl parametresdr. TEOREM Stadart Webull dağılımıı dağılım foksyou F η ( t η) ep( t ) ; (4.89) 70

87 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN dr (Patl ve ark. 984). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke stadart Webull dağılımıa sahp se, sıfır etrafıdak r. momet, r + η µ r Γ (4.90) η dr (Patl ve ark. 984). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke stadart Webull dağılımıa sahp se beklee değer; ya da ortalaması + η E () t Γ (4.9) η dr (Patl ve ark. 984). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke stadart Webull dağılımıa sahp se varyası, + η + η Var () t Γ Γ (4.9) η η dr (Patl ve ark. 984). TANIM 4.8. Sürekl tptek t rastgele değşke stadart Webull dağılımıa sahp se, α 3 le gösterle çarpıklığı, 3 + η + η + η 3 + η Γ 3Γ Γ + Γ η η η η α 3 (4.93) 3 + η + η Γ Γ η η 7

88 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN dr (Erol 99). TANIM 4.9. Sürekl tptek t rastgele değşke stadart Webull dağılımıa sahp se, α 4 le gösterle svrlğ, 4 + η 3 + η + η + η + η 4 + η Γ 4Γ Γ + 6Γ Γ 3Γ η η η η η η α 4 (4.94) + η + η Γ Γ η η dr (Erol 99). TEOREM Stadart Webull dağılımıı modu, η η t (4.95) η oktasıdadır (Patl ve ark. 984). TEOREM 4.5. Stadart Webull dağılımıı medyaı, ( l )η t (4.96) oktasıdadır (Patl ve ark. 984) Webull Dağılımıdak Parametreler Tahm İk parametrel Webull dağılımıı σ ve η parametreler tahm edcler, maksmum lkelhood yötem kullaılarak hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ; k parametrel Webull dağılımıda alımış brmlk br rastgele öreklem olsu. Bu gözlem değerler kullaılarak blmeye σ ve η parametreler ç tahm edcler hesaplaacaktır. t, t, t3,...., t ler ortak olasılık yoğuluk foksyou 7

89 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 73 ( ) t t t t t t f 3 ep, ;,...,, η η σ σ σ η η σ (4.97) dr. ( ) ( ) η σ η σ, ;,...,,, 3 t t t t f L olsu. O halde, ( ) t t L ep, η η σ σ σ η η σ (4.98) dr. (4.98) dek eştlğ logartması alıdığıda ( ) { } t t L l, l η η σ σ σ η η σ (4.99) elde edlr. (4.99) dak fade sırasıyla σ ve η parametrelere göre türevler alııp sıfıra eştledğde σ ve η parametreler tahmler sırasıyla η η σ ˆ ˆ ˆ t (4.00) ve ˆ ˆ l l ˆ t t t t η η η (4.0) buluur (Johso ve ark. 994).

90 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN η η -.-. η 4 f(t) t Şekl 4.8. İk parametrel Webull dağılımıda σ ve η 0. 5, η, η 4 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Evas ve ark. 993, Hah ve Shapro 967) F(t) η... η η t Şekl 4.9. İk parametrel Webulll dağılımıda σ ve η, η 0. 5, η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler (Evas ve ark. 993). 74

91 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN η... η η R(t) t Şekl 4.0. İk parametrel Webulll dağılımıda σ ve η, η 0. 5, η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak R t güvelrlk foksyolarıı grafkler. oluşturula ( ) η... η η 3 h(t) t Şekl 4.. İk parametrel Webull dağılımıda σ ve η, η 0. 5, η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler (Hah ve Shapro 967, Evas ve ark. 993). 75

92 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN η η -.-. η η 3 f(t) t Şekl 4.. Stadart Webull dağılımıda η 0. 75, η, η. 5, ve η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık foksyolarıı grafkler (Johso ve ark. 994) Webull Dağılımıı Uygulama Alaları Brçok durumda, üstel dağılımı zamaa karşı dayama model olarak yetersz kalması, sabt rsk foksyouda kayaklaır. Bu edele hata/başarısızlık olasılığıı zamaa bağlı olarak değştğ daha geel ve esek br dağılıma ya Webull dağılımıa gereksm duyulur. Webull dağılımıı zamaa karşı dayama model olarak kullaıldığı uygulama alalarıa örek olarak elektro tüpler, röleler ve blyalı rulma gösterleblr (Hah ve Shapro 967). Webull dağılımı güvelrlk mühedslk dsplde oldukça yaygı kullaıla br olasılık dağılımıdır. Bast br kuvvet foksyouda elde edle Webull dağılımı erke ölümlülük, rastgele hatalar/başarısızlıklar, yıprama ve serbest hata peryodu gb hata/başarısızlık telkler çeştllğ modellemek ç kullaılır. Ayrıca Webull dağılımı, güvelrlk merkezl bakım aktvtelerde, malyet etks ve bakım peryotlarıı hesaplamak ç kullaılır. 76

93 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Webull dağılımı edüstryel mühedslk problemlerde malat ve dağıtım zamalarıı gösterm ç kullaıldığı gb, uç değer teorsde ve hava tahmde öemldr. Güvelrlk mühedslğde ve hata aalzde çok popüler br modeldr. Radar sstemde, alıa syal sevyeler dağılımıı modellemek ç kullaılır. Ayrıca telsz letşm le lgl söümlü kaal modellemes ç ve rüzgar hızı dağılımlarıı taımlamak ç kullaılır (Wkpeda 007). İk parametrel Webull dağılımı çarpık verler modellemek ç kullaılır. η ke Webull dağılımı ç rsk foksyou zamala azalır k bu da erke ölümlülük peryoduu şaret eder. η ke Webull dağılımı üstel dağılım le ayıdır. Ya üstel dağılımla lgl olarak yapıla tüm yorumlar bu durum ç de geçerldr. η ke rsk foksyou artar. Bu yüzde yıprama peryoduu belrlemek ç y br model olur (Elsayed 996). Korozyo süres (corroso lfe), yorulma süres (fatgue lfe), atfrksyo yatakları (atfrcto beargs), trasmsyo dşller (trasmsso gears) ve elektrok tüpler ömrü bu dağılımı uygulama alalarıdadır. Üç parametrel Webull dağılımı, mmum yaşam sürese sahp ke, mmum yaşam süresde öce bleşe başarısız olması olasılığı sıfıra yakı olduğuda y br modeldr. Uygulama alalarıa örek olarak elektrk drec (electrcal resstace), elektrksel kapaste (capactace) ve yorulma dayaımı (fatgue streght) verleblr (Ireso ve ark 996). ÖRNEK 4.5. Özel br tptek elektro tüpü ç zamaa karşı dayama süres η ve σ 8 parametre değerler le Webull dağılımıa sahptr. Test süres yıl csdedr. İlk k yıl sırasıda hata/başarısızlık olasılığıı hesaplayıız. ÇÖZÜM: İlk k yıl sırasıda başarısızlık olasılığı F ( ) değerdr. Öyleyse, F buluur (Hah ve Shapro 8 (4.80) olu eştlkte ( ;8, ) ep 0, ). 77

94 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN ÖRNEK 4.6. Belrl br tptek yağ keçes ç yaşam süres dağılımıı σ 000 ve η. 8 parametre değerler le Webull dağılımı olduğu varsayılıyor. Br yılda başarısızlık olasılığıı hesaplayıız (Moss 005). ÇÖZÜM: (4.80) dek eştlk kullaılarak η.8 t t F( t; σ, η ) ep ep şeklde yazılır. Burada σ F (365gü) ep buluur Raylegh Dağılımı foksyou, TANIM 4.0. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk t t f t 0 β 0 (4.0) ( t; β ) ep β β se t rastgele değşkee Raylegh dağılımıa sahptr der. Raylegh dağılımıı β parametres, dağılımı yayılım parametresdr (Evas ve ark. 993). TEOREM 4.5. Raylegh dağılımıı dağılım foksyou, t F (4.03) ( t; β ) ep β dr (Evas ve ark. 993). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, Raylegh dağılımıa sahp se, merkez ya da sıfır etrafıdak r. momet, r r r µ r β Γ + (4.04) dr (Erol 99). 78

95 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, Raylegh dağılımıa sahp se beklee değer; ya da ortalaması, π E () t β (4.05) dr (Evas ve ark. 993). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, Raylegh dağılımıa sahp se varyası, ( 4 ) β π Var () t (4.06) dr (Evas ve ark. 993). TANIM 4.. Sürekl tptek t rastgele değşke, Raylegh dağılımıa sahp se, α 3 le gösterle çarpıklığı, α 3 ( π 3) π (4.07) 3 ( 4 π ) dr (Evas ve ark.993). TANIM 4.. Sürekl tptek t rastgele değşke, Raylegh dağılımıa sahp se, α 4 le gösterle svrlğ, α 4 3 3π (4.08) ( 4 π ) dr (Evas ve ark., 993). TEOREM Raylegh dağılımıı modu, 79

96 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN t β (4.09) oktasıdadır (Evas ve ark. 993). TEOREM Raylegh dağılımıı medyaı, t β l 4 (4.0) oktasıdadır (Evas ve ark. 993). TEOREM Raylegh dağılımıı R ( t) le gösterle güvelrlk/sağ kalım foksyou, t () R t ep (4.) β dr. TEOREM Raylegh dağılımıı ( T t) güvelrlk foksyou, R / le gösterle koşullu tt + T R (4.) ( T/ t) ep β dr (Ebelg 997). TEOREM Raylegh dağılımıı h ( t) le gösterle rsk foksyou, t h () t (4.3) β dr (Evas ve ark. 993). 80

97 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Raylegh Dağılımıdak Parametreler Tahm Raylegh dağılımıı β parametres tahm edcs, maksmum lkelhood yötem kullaılarak hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ; Raylegh dağılımıda alımış brmlk br rastgele öreklem olsu. Bu gözlem değerler kullaılarak blmeye β parametres ç tahm edc hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ler ortak olasılık yoğuluk foksyou, f t t β (4.4) β β ( t ), t, t3,... t; ep dr. ( β ) f ( t t, t,... t ; β ) L olsu. O halde,, 3 t ( ) t L β ep (4.5) β β dr. (4.5) dek eştlğ logartması alıdığıda l β t t β β (4.6) { L( )} l elde edlr. (4.6) dak fade β parametrese göre türev alııp sıfıra eştledğde β parametres tahm, β ˆ (4.7) t buluur (Evas ve ark 993). 8

98 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN β 0. 5 β β 0.8 f(t) t Şekl 4.3. Raylegh dağılımıda β 0. 5, β ve β parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Evas ve ark. 993, Hah ve Shapro 967) β. 5 β β f(t) t Şekl 4.4. Raylegh dağılımıda β. 5, β 3 ve β 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Evas ve ark. 993, Hah ve Shapro 967). 8

99 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN F(t) R(t ) 0 t Şekl 4.5. Raylegh dağılımı R ( t) güvelrlk ve ( t) grafkler (Elsayed 996). F dağılım foksyolarıı h(t) Şekl 4.6. Raylegh dağılımıı h ( t) rsk foksyouu grafğ (Elsayed 996) Raylegh Dağılımıı Uygulama Alaları t Raylegh dağılımı, br düzlemde radyal hata dağılımıı göstermek ç kullaılır. Öylek her br eksedek hatalar bağımsız ve eşt varyaslı, sıfır ortalamalı ormal dağılıma sahptr. y ve y her br sıfır ortalamalı, özdeş varyaslı ormal dağılımda alımış bağımsız rastgele öreklemler değerler olmak üzere Raylegh rastgele değşke t, 83

100 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN t y + y (4.8) şeklde taımlaır. ve y doğrultusudak görüş hataları bağımsız ve eşt varyaslı ormal dağılıma sahp olduğuda, şa alıa hedefle bombaı çarptığı yer arasıdak uzaklık dağılımıı hesaplaması gb problemler Raylegh dağılımıı temel uygulamalarıdır. İkc br uygulaması statstksel haberleşme teorsdr. Rastgele sesler, doğrusal algılayıcı tarafıda algıladığıda sesler gelğ, Raylegh dağılımıa göre dağıtılır (Hah ve Shapro 967). Br bleşe yıprama evresde arta br rsk oraı sergler. Döer şaft, valf ve kam gb mekak bleşeler leer olarak arta rsk oraıa sahptr. Röleler gb az sayıda elektrok bleşeler de leer arta rsk oraı sergler. Bu yüzde raylegh dağılımı terch edlr (Elsayed 996). ÖRNEK 4.7. [ 0,3] kapalı aralığıda, Raylegh dağılımıa lşk dağılım foksyouu grafğ oluşturuuz (Mathworks 007). ÇÖZÜM: >> 0:0.:3; >> praylcdf(,); >> plot(,p) 84

101 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN F(t) t Şekl 4.7. [ 0,3] kapalı aralığıda, Raylegh dağılımıa lşk ( t) foksyouu grafğ (Evas ve ark. 993) Uç Değer (Etreme Value) Dağılımı F dağılım foksyou, TANIM 4.3. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk f ( t µ ) k ( t µ ) k µ ep + k + k (4.9) σ σ σ ( t; k,, σ ) t + σ 0 µ 0 ( t µ ) 0 + k σ se t rastgele değşkee k, µ, ve σ parametreler le geelleştrlmş uç değer dağılımıa sahptr der. Burada k, µ, ve σ parametreler sırasıyla dağılımı koum, yayılım ve şekl parametrelerdr. Üç tp uç değer dağılımı vardır. k 0 ç II. tp, k 0 ç III. tp ve k 0 ç I. tp uç değer dağılımıdır (Mathworks 007). 85

102 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN foksyou, TANIM 4.4. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk f t µ t µ ( t µ, σ ) ep ep ; (4.0) σ σ σ t + µ 0 σ 0 se t rastgele değşkee µ ve σ parametrel, brc tp uç değer dağılımıa sahptr der. Burada µ ve σ parametreler, sırasıyla dağılımı koum ve yayılım parametrelerdr (Johso ve ark. 995). TEOREM 4.6. Brc tp uç değer dağılımıı dağılım foksyou F t µ ( t µ, σ ) ep ep ; (4.) σ dr (Erol 99). TEOREM 4.6. Brc tp uç değer dağılımıa sahp X rastgele değşke ç momet çıkara foksyou, M ( t; µ, σ) ep( µ t) Γ( σt) t (4.) σ dır (Erol 99). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, brc tp uç değer dağılımıa sahp se beklee değer; ya da ortalaması, ( t) µ Γ( ) σγ ( ) E (4.3) dr (Erol 99). 86

103 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, brc tp uç değer dağılımıa sahp se varyas, ( t) σ Γ ( ) σ Γ ( ) Γ ( ) Var (4.4) dr (Erol 99). TANIM 4.5. Sürekl tptek t rastgele değşke brc tp uç değer dağılımıa sahp se α 3 le gösterle çarpıklığı, α (4.5) 3 dr (Evas ve ark. 993). TANIM 4.6. Sürekl tptek t rastgele değşke brc tp uç değer dağılımıa sahp se α 4 le gösterle svrlğ, α 5.4 (4.6) 4 tür (Evas ve ark. 993). TEOREM Brc tp uç değer dağılımıı modu, t µ (4.7) oktasıdadır (Erol 99). TEOREM Brc tp uç değer dağılımıı medyaı, ( l ) t µ σ l (4.8) oktasıdadır (Erol 99). TEOREM Brc tp uç değer dağılımıı R ( t) le gösterle güvelrlk/sağ kalım foksyou, 87

104 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN t µ R() t ep ep (4.9) σ dır. TEOREM Brc tp uç değer dağılımıı ( T t) koşullu güvelrlk foksyou, R / le gösterle T + t µ ep ep ( ) σ R T/ t (4.30) t µ ep ep σ dır (Ebelg 997). foksyou, TEOREM Brc tp uç değer dağılımıı h ( t) le gösterle rsk h () t t µ ep σ σ t µ ep σ t µ ep ep σ (4.3) dır. TANIM 4.7. Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk foksyou, f ( t) [ t ep( t) ] t + ep (4.3) se t rastgele değşkee brc tp stadart uç değer dağılımıa sahptr der (Johso ve ark. 995). TEOREM Brc tp stadart uç değer dağılımıı dağılım foksyou 88

105 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN F ( t) [ ep( t) ] ep (4.33) dr (Patl ve ark. 984). TEOREM 4.7. Brc tp stadart uç değer dağılımıa sahp X rastgele değşke ç momet çıkara foksyou ( t) Γ( t) t M (4.34) dr (Patl ve ark. 984). TEOREM 4.7. Sürekl tptek t rastgele değşke, brc tp stadart uç değer dağılımıa sahp se beklee değer; ya da ortalaması, ( t) Γ ( ) E (4.35) dr (Erol 99). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, brc tp stadart uç değer dağılımıa sahp se varyası, ( t) Γ ( ) Γ ( ) Γ ( ) Var (4.36) dr (Erol 99). TANIM 4.8. Sürekl tptek t rastgele değşke brc tp stadart uç değer dağılımıa sahp se α 3 le gösterle çarpıklığı, α (4.37) 3 dır (Patl ve ark. 984). TANIM 4.9. Sürekl tptek t rastgele değşke brc tp stadart uç değer dağılımıa sahp se α 4 le gösterle svrlğ, 89

106 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN α 5.4 (4.38) 4 tür (Patl ve ark. 984). TEOREM Brc tp stadart uç değer dağılımıı modu, t 0 (4.39) oktasıdadır (Patl ve ark. 984). TEOREM Brc tp stadart uç değer dağılımıı medyaı, ( l ) t l (4.40) oktasıdadır (Patl ve ark. 984). foksyou TANIM Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk τ τ τ t µ t µ f ( t; µ, σ, τ ) ep t µ σ 0 τ 0 (4.4) σ σ σ se t rastgele değşkee µ, σ ve τ parametrel, kc tp uç değer dağılımıa sahptr der (Patl ve ark.984). Burada µ, σ ve τ parametreler, sırasıyla dağılımı koum, yayılım ve şekl parametrelerdr. TEOREM İkc tp uç değer dağılımıı dağılım foksyou F τ t µ ; ep (4.4) σ ( t µ, σ, τ ) dr (Patl ve ark.984). TEOREM İkc tp uç değer dağılımıı µ etrafıdak r. momet, 90

107 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN r r µ r σ Γ r τ (4.43) τ dr (Patl ve ark.984). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, kc tp uç değer dağılımıa sahp se beklee değer; ya da ortalaması, E () t µ + σ Γ τ (4.44) τ dr (Patl ve ark.984). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, kc tp uç değer dağılımıa sahp se varyası, () Γ Γ Var t σ τ (4.45) τ τ dr (Patl ve ark.984). TANIM 4.3. Sürekl tptek t rastgele değşke, kc tp uç değer dağılımıa sahp se, α 3 le gösterle çarpıklığı, 3 3 Γ 3 Γ Γ + Γ τ τ τ τ α 3 τ 3 (4.46) 3 Γ Γ τ τ dr (Erol 99). TANIM 4.3. Sürekl tptek t rastgele değşke, kc tp uç değer dağılımıa sahp se, α 4 le gösterle svrlğ, 9

108 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Γ 4 Γ Γ + 6 Γ Γ 3 Γ τ τ τ τ τ τ α 4 τ 4 (4.47) Γ Γ τ τ dr (Erol 99). TEOREM İkc tp uç değer dağılımıı modu, τ τ µ σ τ t + (4.48) + oktasıdadır (Patl ve ark.984). TEOREM 4.8. İkc tp uç değer dağılımıı medyaı, τ t µ + σ (4.49) l oktasıdadır (Patl ve ark.984). foksyou TANIM Sürekl tptek t rastgele değşke olasılık yoğuluk f ( t; µ, σ, τ ) τ σ µ t σ µ t ep σ τ τ t µ σ 0 τ 0 (4.50) se t rastgele değşkee µ, σ ve τ parametrel, üçücü tp uç değer dağılımıa sahptr der (Patl ve ark.984). Burada µ, σ ve τ parametreler, sırasıyla dağılımı koum, yayılım ve şekl parametrelerdr. TEOREM 4.8. Sürekl tptek t rastgele değşke, üçücü tp uç değer dağılımıa sahp se beklee değer; ya da ortalaması, 9

109 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN E () t µ σ Γ + τ (4.5) τ dr (Patl ve ark.984). TEOREM Sürekl tptek t rastgele değşke, üçücü tp uç değer dağılımıa sahp se varyası, () Γ + Γ Var t σ + τ (4.5) τ τ dr (Patl ve ark.984). TANIM Sürekl tptek t rastgele değşke, üçücü tp uç değer dağılımıa sahp se, α 3 le gösterle çarpıklığı, 3 3 Γ + 3 Γ + Γ + + Γ + τ τ τ τ α 3 (4.53) 3 Γ + Γ + τ τ dr (Erol 99). TANIM Sürekl tptek t rastgele değşke,kc tp uç değer dağılımıa sahp se, α 4 le gösterle svrlğ, Γ + 4 Γ + Γ Γ + Γ + 3 Γ + τ τ τ τ τ τ α 4 (4.54) Γ + Γ + τ τ dr (Erol 99). TEOREM Üçücü tp uç değer dağılımıı modu, 93

110 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN τ τ t µ σ τ (4.55) oktasıdadır (Patl ve ark.984). TEOREM Üçücü tp uç değer dağılımıı medyaı, t µ σ ( l )τ (4.56) oktasıdadır (Patl ve ark.984) Uç Değer Dağılımıdak Parametreler Tahm Brc tp uç değer dağılımı µ ve σ parametreler tahm edcler, maksmum lkelhood yötem kullaılarak hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ; µ ve σ parametrel brc tp uç değer dağılımda alımış brmlk rastgele öreklem olsu. Bu gözlem değerler kullaılarak blmeye µ ve σ parametreler ç tahm edcler hesaplaacaktır. t.,, t, t3,... t ler ortak olasılık yoğuluk foksyou f t µ t µ µ (4.57) ( t ), t, t3,... t ;, σ ep ep ep σ σ σ dr. ( µ σ ) f ( t, t, t,... t ; µ, σ ) L olsu. O halde,, 3 t µ t µ L µ (4.58) (, σ ) ep ep ep σ σ σ dr. (4.58) dek eştlğ logartması alıdığıda, l t µ t µ λ ep (4.59) İ σ σ { L( )} lσ buluur. 94

111 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN (4.59) dek fade µ ve σ parametrelere göre türevler alııp sıfıra eştledğde µ ve σ parametreler tahmler sırasıyla, t µ ˆ σˆ l ep (4.60) σˆ ve t ep σˆ σ ˆ t (4.6) t t ep σˆ buluur (Evas ve ark. 993) σ 0. 5 σ -.-. σ f(t) t Şekl 4.8. I. tp uç değer dağılımıda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler. 95

112 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN F(t) σ 0. 5 σ -.-. σ t Şekl 4.9. I. tp uç değer dağılımıda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler σ σ -.-σ R(t) t Şekl I. tp uç değer dağılımda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre R t güvelrlk foksyolarıı grafkler. değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula ( ) 96

113 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN σ σ -.-. σ h(t) t Şekl 4.3. I. tp uç değer dağılımıda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler µ 0. 5 µ -.-. µ. 5 f(t) t Şekl 4.3. I. tp uç değer dağılımıda σ ve µ 0. 5, µ, µ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler. 97

114 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Uç Değer Dağılımıı Uygulama Alaları Br bleşedek veya br sstemdek başarısızlık, özel br dağılımda alıa br öreklemdek e küçük veya e büyük değer gb uç olaylara bağlıdır. Ayı üretmde rastgele seçlmş bleşe kapsaya k devre düşüelm. İlk devrede bleşeler ser bağlası. Brc bleşe başarısız olursa devre de başarısızlık olur. İkc devrede bleşeler paralel bağlası. Başarısızlık durumu acak tüm bleşeler başarısız olursa gerçekleşr. Sabt gerlmde gerçekleşe yorguluk testde başarısızlık, söz kousu materyal elemalarıı mukavemete bağlıdır. Kapastör aalzde, çok sayıda hataı materyale rastgele dağıldığıı ve bozulma voltajıı drekt olarak e büyük kusuru hacme bağlı olduğu görülmüştür. Bu durumlarda, bazı başlagıç dağılımıda alıa br öreklemdek e küçük veya e büyük elemaı dağılımı le lglelr. Geellkle, yorguluk ve bozulma voltajı öreklerde olduğu gb başlagıç dağılımı blmez ve drekt örekleme yapılamaz. Öylek sadece maksmum ve mmum değerler gözler. E küçük veya e büyük elemaı dağılımı boyutlu örekleme ve başlagıç dağılımıı yapısıa bağlıdır. büyükse, başlagıç dağılımı le lgl bazı sıırladırılmış varsayımlara bağlı olarak geel asmptotk souçları kullaılablr. Mmum ve maksmum değerler ç farklı başlagıç dağılımlarıa dayalı üç tp asmptotk dağılım gelştrlmştr.. Maksmum değerler ç I.tp asmptotk dağılım.. Mmum değerler ç I. tp asmptotk dağılım. 3. Mmum değerler ç III. tp asmptotk dağılım. I. tp asmptotk dağılım, I. tp uç değer dağılımıdır, Gumbell ı uç değer dağılımı veya bastçe uç değer dağılımı olarak da blr. Mmum değerler ç III. tp asmptotk dağılım se ble Webull dağılımıdır. Yukarda görüldüğü gb Gumbell dağılımıı k formu vardır. Bularda br e küçük değere, dğer e büyük değere dayaır. Gumbel (mmum durumu ç) dağılımıa at olasılık yoğuluk foksyou koum parametres µ ve yayılım parametres σ le 98

115 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN f t µ t µ ( t µ, σ ) ep ep ; (4.6) σ σ σ şekldedr. Gumbel (maksmum durumu ç) dağılımıa at olasılık yoğuluk foksyou koum parametres µ ve yayılım parametres σ le f t µ t µ ( t µ, σ ) ep ep ; (4.63) σ σ σ şekldedr (Hah ve Shapro 967). Olasılık teorsde ve statstkte Gumbell dağılımı çok kullaışlıdır. Geçmş o yıla at maksmum değerler blyorsa, br ehr özel br yılda maksmum sevyes buluablr. Ya da br deprem, br sel baskııı ya da başka br doğal felaket gerçekleşme olasılığı tahm edleblr. Maksmum değerler ç I. tptek asmptotk dağılım, paralel bağlı elemada oluşa devreler ç zamaa karşı dayamayı göstermek ç kullaılır. Bu kullaımda büyük olduğu, bleşe hata süreler ayı üstel dağılımda geldğ ve başarısızlıkları bağımsız olduğu varsayılır. Bu model yaşam test ve güvelrlkle sıırlı kalmamıştır. Öreğ özel br ölçüm oktasıda, özel br ehr gülük su boşaltımıda yıllık maksmum dağılımıı göstermek ç başarılı br bçmde kullaılmıştır. Bu uygulamada aşağıdak varsayımlar yapılmıştır.. Gülük boşaltım değerler br üstel tp dağılım zler.. Elemaları orjal umarası, 365 gü, asmptotk teor uygulaablrlğ adıa yeterce büyüktür. 3. Gülük boşaltımlar bağımsızdır. Br uçağı karşılaştığı est hız dereces, bakterler esl tükeme süres, korozyo çukurlarıı derlğ uygulamalarıda da maksmum değerler ç I. tp asmptotk dağılım kullaılır (Hah ve Shapro 967). Poztf veya egatf değer ala rastgele faktörler mmumu ç herhag br modelleme uygulamasıda uç değer dağılımı aday modeldr. Yaşam süres dağılımı model ç hata sayıları sıfırla sıırlı olacağıda Webull dağılımı daha y br seçmdr. 99

116 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Webull dağılımı le uç değer dağılımıı matematksel alamda kullaışlı br akrabalığı vardır. l t 3 t.,, t, t3,... t ; Webull dağılımıda alıa br öreklem se, l t, l t,..., l t ; uç değer dağılımıda alıa rastgele gözlemlerdr. Bu akrabalık sayesde uç değer dağılımı ç tasarlamış blgsayar programları Webull verler ç de kullaılablr (Mathworks 007). ÖRNEK 4.8. Her br boyutu 000 adet ola çamaşır makes yığıları göz öüde buluduruluyor. Her yığı ayı malat yötemde elde edlmştr. E küçük çamaşır makes hacm modellemek steyor. Yığılar arasıda ve br yığı çde hacmler bağımsız olduğu düşüülüyorsa, sekz yığıda alıa mmum çap ölçülere uç değer dağılım uygulaablr. Sekz yığıa at mmum çap ölçüler 9.774, 0.4, 9.44, 0.5,.377, 9.003, 9.66, 8.83 olarak verlmştr. Dağılımı parametreler maksmum lkelhood tahmler ve güve aralıkları hesaplamak steyor. ÇÖZÜM: >> [ ]; >> [parmhat, parmc] evft() parmhat parmc parmhat le sırasıyla µ ve σ ç maksmum lkelhood tahmler, parmc le güve aralıkları verlmektedr (Mathworks 007). 00

117 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 4.7. Dğer Dağılımlar Beroull Dağılımı Uygulamalarda zama zama sadece başarı ve başarısızlık olmak üzere k soucu olduğu bast durumlarla lgleleblr. Öreğ br ser malat badıı ürü kaltes aalz ederke tüm öreklem y ve kötü şeklde k parçaya ayırmak ç br krter (uygu br sevye veya toleras lmt) seçleblr. Başka br örek olarak, br ekpma test esasıda br zama belrler ve seçle chazı zamaa karşı dayama süres belrlee süre le karşılaştırılır. Zamaa karşı dayama süres, belrlee sürey aşıyor ya da aşmıyordur. Böylece her br olay, bu krterle brlkte başarı ya da başarısızlıkla lgl olablr. Başarılı souç ve başarısız souç 0 le gösterls. Bu durum, P ( X ) p ve P ( X ) p q 0 olacak şeklde br X rastgele değşke düşüülmese yol açar. p değer Beroull dağılımıı parametres olarak adladırılır. X rastgele değşke olasılık foksyou, f ( ) p q 0, (4.64) şekldedr. Beroull rastgele değşke ç beklee değerler ( X ). p + 0. q p E (4.65) ( X ) p + 0 q p E (4.66) bçmdedr. Varyas ( X ) E( X ) E( X ) ( ) p p p( p) pq Var (4.67) olarak hesaplaır. Momet çıkara foksyo da M t ( t) E( e ) p ( t) + q ep t + (4.68) buluur (Gedeko ve Ushakov 995). 0

118 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Bom Dağılımı Beroull deemeler slslesde deemede başarılı souçları sayısı le lgleleblr. Bu durumda lglele rastgele değşke X, X X + X X X (4.69) şekldedr (Gedeko ve Ushakov 995). Bom dağılım, sstemler başarılı ve başarısız gb k kategorye ayrıldıkları durumda kullaılır. tae sstem olsu. Br sstem başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı p olsu. Bua göre başarılı ola sstemler sayısı X, bom dağılıma sahptr. Bu blgler ışığıda X rastgele değşkee at olasılık foksyou, f 0,,..., (4.70) ( ) p ( p) dr (Moss 005). Buula brlkte Beroull dağılımıa at beklee değer ve varyas blgler kullaılarak bom dağılımıa at beklee değer, varyas ve momet çıkara foksyo sırasıyla E Var X İ X E ( X ) Var p ( X ) pq (4.7) (4.7) ve M () t E( ep ( t) ) ep( t) 0 0 p q ( p () t) q ( pep() t + q) ep (4.73) 0

119 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN buluur (Gedeko ve Ushakov 995). ÖRNEK 4.9. İmalathae hzmet dışı kalmasıa yol aça hatalarda korumak ç üç koruyucu kaalıyla brlkte br otomatk koruyucu sstem tasarlamıştır. Sstem durması ç üç kaalda herhag ks başarısız/arızalı olması gerekmektedr. Br kaalı güvelrlğ 0.99 olsu. Böyle br otomatk koruyucu sstem başarısız olması olasılığı hesaplamak steyor. ÇÖZÜM: Br kaalı güvelrlğ se, başarısız olması olasılığı dr. Sstem başarısız olması ç ya da 3 kaal başarısız olmalıdır. Üç kaalda herhag ks arızalı olması olasılığı le üçüü arızalı olması 3 P X ve 4 olasılıkları sırasıyla, ( ) ( )( ) P ( X 3) ( 0.0) 0 olarak buluur. Böylece otomatk koruyucu P X + P X olarak buluur 4 sstem başarısız olması olasılığı, ( ) ( ) (Moss 005) Posso Dağılımı Posso dağılımıı güvelrlkte k temel uygulaması vardır. İlk uygulaması br zama aralığıda rastgele olayları (hataları/başarısızlıkları) sayısıı taımlamak ç kullaılmasıdır. İkc br uygulaması se bom parametres küçük olduğuda bom dağılımı ç br yaklaşım olarak kullaılmasıdır. Herhag br zama aralığıda gerçekleşe hataları/başarısızlıkları sayısı sadece aralığı uzuluğua bağlıdır ve µ λt ortalaması le Posso dağılımıa sahptr. Hata oraı, λ sabttr. Posso rastgele değşke X ç olasılık foksyou, f ( ) ( µ ) ep µ 0,,... µ 0 (4.74)! şekldedr (Moss 005). Momet çıkara foksyou 03

120 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN M () t E( ep( t) ) ep( t) ( ) ep 0 ( µ ep( t) ) ( µ )! µ [( ep() t ) µ ] ep µ ep 0! (4.75) olarak buluur. Beklee değerler ( X ) M ( 0) M ( t) µ ep( t) ep[ ( ep( t) ) µ ] M ( 0) µ E (4.76) ve ( X ) M ( 0 ) µ + µ E (4.77) dr. Varyası se ( X) E( X ) ( E( X) ) ( µ + µ ) µ µ Var (4.78) olarak buluur (Gedeko ve Ushakov 995). ÖRNEK 4.0. Br malathaeye 0 pompa yerleştrlyor. Her hag br pompaı başarısız olması durumuda pompa değştrlecektr. Kullaıla pompa tp ortalama hata oraı yıllık 0. hata/başarısızlık olarak verlmştr. Posso dağılımıa uyduğu varsayımı altıda sürekl çalışma esasıda herhag br ayda ya da daha çok pompaı hata/başarısızlık olasılığı hesaplamak steyor. ÇÖZÜM: 0 pompa ç hata oraı yıllık hata/başarısızlıktır. Böylece t. λ olur. Araıla fade, ( X ) [ { P( X 0) + P( X ) }] ( X 0 ) ep( t) ep(.) P dr. P λ ve P ( X ) ep( t) λt ep(.) λ şekldedr. Böylece, ( X ) ( ) P buluur (Moss, 005). 04

121 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Gama Dağılımı Gama dağılımı, olayları sabt br orala gerçekleştğ, tam olarak η bağımsız olayı meydaa gelmes ç gereke süreye uygu br modeldr. Br sstemde başarısızlığı gerçekleşmes, tam olarak η alt hataı sabt br λ oraıyla bağımsız olarak gerçekleşmese bağlı se gama dağılımı zamaa karşı dayama dağılımıdır. η kullaımda sora yede ayarlamaya gereksm ola br aygıt ç ya da η görevde sora kotrol edlmes gereke br uçak ç ardışık bakım şlemler arasıdak zama ormal koşullar altıda gama değşkedr. Ya gama dağılımı bekleme hattı ve müşter servs problemler gb koularla lglee statstksel kuyruk teorsde öeml br role sahptr. Gama dağılımıa sahp X rastgele değşke ç olasılık yoğuluk foksyou, f ( ; η, λ) λ Γ η ( η) η ep ( λ) 0 λ 0 η 0 (4.79) şekldedr (Hah ve Shapro 967). Gama dağılımıa sahp X rastgele değşke ç momet çıkara foksyo, M 0 () t E( ep( t) ) ep( t) 0 ep (( λ) ) λ Γ ( η ) λ Γ η ( η) η ep ( λ) η η t (4.80) d dr. Eştlkte y ( t λ) döüşümü yapılarak, η t M() t (4.8) λ buluur. Gama dağılımıa sahp X rastgele değşke beklee değerler 05

122 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN η η t η E ( X) M () 0 M () t M ( 0) (4.8) λ λ λ ve η ( X ) M () 0 ( η + ) E (4.83) λ dr. Gama dağılımıa sahp X rastgele değşke varyası η η η Var ( X ) E( X ) ( E( X )) ( η + ) (4.84) λ λ λ olarak buluur (Patl ve ark. 984). Gama dağılımıı hata oraı η ke azalır, η ke sabt ve η ke artar (Ireso ve ark 996) Geometrk Dağılım Br sokete br üte yerleştrls. Üte peryodk olarak her t süres souda ye br taes le değştrls. Soket çalışma durumu devrler br slsles olarak düşüülmektedr. Her br devr ye br üte kullaımı le oluşmaktadır. X değşke deeme soucuu göstermek üzere, üte t zama aralığıda başarısız olmazsa X, dğer durumda X 0 olsu. Br üte br devrde başarılı çalışma olasılığı p dr. Tüm üteler özdeş ve stokastk olarak bağımsızdır. Soket lk hata/başarısızlık gerçekleşee kadar X rastgele devr sayısıca başarılı br bçmde çalışmaktadır. Burada X rastgele değşke geometrk dağılıma sahptr. Geometrk dağılıma lşk olasılık foksyou, P ( X ) p q (4.85) dur. Geometrk dağılıma sahp X rastgele değşke momet çıkara foksyou M () t E( ep( t) ) q p ep( t) 0 q p ep () t (4.86) 06

123 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN dr. Beklee değerler d d q p E ( X ) M () t t t dt 0 0 dt pep() t q (4.87) ve E d ( X ) M () t ( + p) (4.88) dt dt p ep() t q d q p t 0 t 0 olarak elde edlr. Geometrk dağılıma sahp X rastgele değşke varyası ( + p) p p p Var ( X ) q q (4.89) q olarak buluur (Gedeko ve Ushakov 995) Negatf Bom Dağılımı Negatf bom dağılım sabt sayıda başarıya ulaşmada öce gerçekleşe başarısızlık sayısı le lgleldğ durumda kullaılır. Ya, egatf bom dağılımı, geometrk dağılımı geel şekldr. Aşağıdak koşulları yere getre br deey egatf bom dağılım deeydr.. Deey bağımsız deemeler br slslesde oluşur.. Her deeme başarılı ve başarısız olacak şeklde k olası souca sahptr. 3. Her br deemede başarı olasılığı sabttr. 4. Deey sabt K sayıdak başarı gerçekleşee kadar devam eder. Negatf bom dağılımıa sahp X rastgele değşke olasılık foksyou, f K K K ( ) p ( p) (4.90) şekldedr. Negatf bom dağılıma sahp X rastgele değşke, her dağılıma sahp rastgele değşke olmak üzere, X geometrk 07

124 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN X X X X (4.9) şeklde de fade edleblr. Bu fade ve daha öce bulua geometrk dağılıma at beklee değer ve varyas blgler yardımıyla, egatf bom dağılımıı beklee değer ve varyası sırasıyla E ( X ) E( X ) p q (4.9) ve Var ( X ) Var( X ) p q (4.93) olarak buluur (Gedeko ve Ushakov 995) Solda Kesk/Keslmş Logstc Dağılım Normal ve kesk/keslmş ormal dağılıma at dağılım foksyolarıı kapalı formlarıı olmaması, güvelrlk modellemesde uygulaablrlkler adıa zorluk oluşturur. Normal dağılıma lşk yoğuluk foksyoua br alteratf olarak, matematksel olarak daha elverşl ola logstc olasılık yoğuluk foksyou vardır. Logstc dağılımı grafksel gösterm le ormal dağılımı grafksel gösterm ayırt edlemeyecek bçmde bezerdr. Logstc dağılım zamaa karşı dayama model olarak güvelrlk aalzde kullaılır. Normal dağılım gb logstc dağılımda, yıprama peryodua özgü arta rsk oraı sergler. Solda kesk/keslmş logstc dağılım, logstc dağılımı solda sıfır oktasıda keslmesyle elde edlr. Kesk yüzdes çok küçük olduğuda kesk/keslmş logstc dağılımla, logstc dağılım pratk olarak ayırt edlemez olsa da güvelrlk modellemes ç doğru dağılım solda kesk/keslmş logstc dağılımdır. Çükü güvelrlk mühedslğ poztf zamada gerçekleşe başarısızlıklarla lgler. Kesk mktarı arttıkça, solda kesk/keslmş logstc dağılım daha poztf çarpık olur. Yıpramaya maruz kala ve zamaa karşı dayama 08

125 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 09 süreler poztf çarpık ola sstemler ç zamaa bağımlı başarısızlık davraışlarıı göstermek amacıyla solda kesk/keslmş logstc dağılım kullaılablr. Kesk/keslmş logstc dağılımı olasılık yoğuluk foksyou, güvelrlk foksyou ve rsk foksyou sırasıyla () ( ) ( ) 3 ep 3 3 ep 3 ep + + σ µ π σ σ µ π σ πµ π t t t f 0 (4.94) () ( ) ep 3 ep 3 ep σ πµ σ µ π σ πµ t t R (4.95) () ( ) + 3 ep 3 σ µ π σ π t t h (4.96) olarak verlr (Jeks 98).

126 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN - σ σ 4. Şekl Solda kesk/keslmş logstc dağılımda µ 00 ve σ 8. 5, σ 4. parametre değerler ç GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler (Jeks 98). - σ σ 4. Şekl Solda kesk/keslmş logstc dağılımda µ 00 ve σ 8. 5, σ 4. parametre değerler ç GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler (Jeks 98). 0

127 4. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN - σ σ 4. Şekl Solda kesk/keslmş logstc dağılımda µ 00 ve σ 8. 5, σ 4. parametre değerler ç GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler (Jeks 98).

128 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Sstem k ya da daha fazla bleşede oluşuyorsa, ortak yaşam süres, doğal olarak herbr bleşe yaşam sürese bağlı ola çok değşkel dağılım tarafıda taımlaır. Baze hata oraı brde fazla edede ötürü meydaa geleblr. Çok değşkel dağılımlar bu tür durumları modellemek ç uygu dağılımlardır. Öreğ T ve T, k bleşel elektrok br sstemdek bleşelere at başarısızlık zamaları olsu. Eğer bleşeler ayı zamada, p olasılığı le başarısızlığa uğruyorsa, oları geel başarısızlık zamaı bazı tek değşkel dağılımlara göre dağılablr. Dğer tarafta bleşeler p olasılığı le farklı zamalarda başarısızlığa uğruyor olablr. Bu durumda oları başarısızlık zamaları bazı k değşkel dağılımlara göre dağılablr (Al-Ruzaza ve El-Gohary 007). 5.. Freud u İk Değşkel Üstel Dağılımı TANIM 5.. C ve C bleşelere sahp br aygıt olsu. Bu aygıt bleşelerde br başarısız olsa ble çalışmaya devam etmektedr. Bu bleşeler sırasıyla X ve X yaşam sürelere sahptr. Öylek, her k bleşe de çalışıyor durumda ke f ( ) bağımsız olasılık yoğuluk foksyoları, f ( ) α ( α ) ep α 0 0, (5.) şekldedr. Bu sembolk olarak X f ( ; α ) ~ bçmde gösterlr. X ve X arasıda br bağımlılık vardır. Öylek herhag br bleşedek br hata dğer bleşe yaşam dağılımıı parametres değştrr. Böylece başarısız olduğuda X Buu dışıda başka br bağımlılık yoktur. C ( X yaşam sürel) 3 parametres α 3 ke α 3 olarak değşmektedr.

129 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN İlk hataya kadar geçe zama ep( α ) gerçekleştğ lk bleşe C olması olasılığı α + olarak dağılır. Başarısızlığı α,, şekldedr. Br α + α bleşedek lk hatada dğer bleşedek hataya kadar geçe zama dağılımı ola ep( α ) ve ( ) ep α değerler sırasıyla α α + α ve α α + α karma oralarıa sahptr. Böylece X ve X rastgele değşkeler, f (, ) α α ep α α ep [ α ( α + α α ) ] [ α ( α + α α ) ] 0 0 (5.) ortak olasılık yoğuluk foksyoua sahptr. Bu dağılım Freud u k değşkel üstel dağılımı olarak adladırılır. Bu dağılımı uygulama alalarıa örek olarak; k motorlu uçaklarda motor arızaları, ya da saları göz, kulak, böbrek gb çft ola orga hastalıkları verleblr (Kotz ve ark. 000, Freud 96). foksyou, TANIM 5.. İk değşkel üstel dağılıma lşk ( ) R, ortak sağ kalım (, ) P( X X ) R, γ γ ( α ep( γ α ) + ( α α ) ep( ( α + α ) ) ( α ep( γ α ) + ( α α ) ep( ( α + α ) ) 0 0 (5.3) şekldedr. Burada, olmak üzere γ α + α α dr (Kotz ve ark. 000). α TANIM 5.3. İk değşkel üstel dağılımı değşkeler X ve X olsu. + α α (,) foksyou, olmak üzere X ç ( ) f marjal olasılık yoğuluk 3

130 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN f ( ) ( α α )( α + α ) ep ( ( α + α ) ) α α ( α ) α + α α + 3 ep α + α α 0 (5.4) şekldedr (Kotz ve ark. 000). ve TANIM 5.4. İk değşkel üstel dağılımı değşkeler X ve X olsu. X M t,t ortak momet çıkara foksyou, X ( ) ( t, t ) E[ ( t X t X )] M + ep α + α t t α t α t + α α (5.5) eştlğ le verlr (Kotz ve ark. 000). X ( ) TANIM 5.5. İk değşkel üstel dağılımı değşkeler X ve X olsu. E beklee değer ya da ortalaması, ( ) α + α 3 E X, α ( α + α) (5.6) dr (Kotz ve ark. 000). TANIM 5.6. İk değşkel üstel dağılımı değşkeler X ve X olsu. X ( ) Var varyası, α + αα + α3 Var ( X ), { α ( α + α )} (5.7) dr (Kotz ve ark. 000). X ve TANIM 5.7. Değşkeler X ve X ola k değşkel üstel dağılım ç, X ( ) ρ, korelasyo katsayısı, 4

131 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN ρ (, X ) X (5.8) ( α + α α + α )( α + α α + α ) α α α α dr (Kotz ve ark. 000). TANIM 5.8. Değşkeler X ve X ola üstel dağılım ç X verlmşke X ye at ( ) f / koşullu olasılık yoğuluk foksyou, f ( ) / α α α α ( α + α α ) ep ( ) ( ( α + α α ) α ) ( α + α α ) ep ( ) ( α ( α + α α ) ) h h 0 0 (5.9) dr. Burada h( ) ( α α )( α + α ) ep( ( α + α ) ) + α α ( α ) ve ark. 000). dr (Kotz ep TANIM 5.9. Değşkeler X ve X ola üstel dağılım ç X verlmşke X ( ) E X / X koşullu beklee değer, E α / ( )( ) α + α α h α ( X X ) ( α + α α )( + α ) α α α + α α { + ( α + α α ) } ep( ( α + α ) ) α α ( α ) ] + ep (5.0) α + α α şekldedr (Kotz ve ark. 000) Freud u İk Değşkel Üstel Dağılımıdak Parametreler Tahm Freud u k değşkel üstel dağılımıdak parametreler tahm etmek ç maksmum lkelhood yötem kullaılacaktır. Buu ç (5.) dek ortak olasılık 5

132 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN yoğuluk foksyoua sahp br ktlede hacml br rastgele öreklem seçls. Bu öreklem r taesde lk kez C bleşe başarısız olsu. r taesde lk kez C bleşe başarısız olsu. İlk kez C bleşe başarısız olduğu gözlemlerde C bleşeler yaşam süreler toplamı, bua karşı C bleşeler yaşam süreler toplamı dr. İlk kez C bleşe başarısız olduğu gözlemlerde C bleşeler yaşam süreler toplamı, bua karşı C bleşeler yaşam süreler toplamı dr. Bua göre lkelhood foksyou L, L r r α + α α α ep α α α α α ' + α α α (5.) şekldedr. Burada r 0 se L, parametreler tahm edlemez. Bezer bçmde α br foksyou değldr. Bu edele r se L, değldr ve bu durumda da parametreler tahm edlemez. l L α, α, α ve α br foksyou α parametrelere göre türev alııp sıfıra eştlerse br deklem sstem oluşturulur. Bu deklem sstem dört parametreye göre çözülürse α, α, tahm edcler, α ve α parametreler eş alı maksmum lkelhood r α (5.) ˆ + r α ˆ + (5.3) r α ˆ (5.4) 6

133 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN r α ˆ (5.5) olarak buluur (Freud 96). 5.. Marshall ve Olk İk Değşkel Üstel Dağılımı TANIM 5.0. İk bleşel br sstem olsu. Bu sstem herbr ölümcül ola şoklara maruz kalsı. Şokları λ, λ ve λ parametreler le bağımsız Posso süreçler tarafıda yöetldğ varsayılsı. Şoku sadece. bleşee uygulamasıa lşk parametre λ, şoku sadece. bleşee uygulamasıa lşk parametre λ ve şoku. ve. bleşelere uygulamasıa lşk parametre λ dr. İk bleşe egatf yaşam süreler, X ve F X, ( ) (, ) ep[ + λ + λ + λ m ( )], şekldedr. Ya P ( X ) P F, ortak dağılım foksyou, 0 (5.6), (yaşam_süres ) dr. Alteratf olarak, Y j, (5.7) j X alıırsa, P ( Y y ) ep λ y λ y λ ma( y, y ) I j j [ ], y 0 j y (5.8) olur (Johso ve Kotz 97). Buu alamı, şoklar arasıdak zamalar λ, λ ve λ beklee değerler le bağımsız üstel dağılırlar. Bu dağılımı br özellğ de Y m ( Z Z ) ve m( Z Z ), 3 Y, 3 olacak şeklde bağımsız ve λ, λ, λ parametreler le üstel dağılıma sahp Z, Z ve Z 3 değşkeler olmasıdır. Bu dağılım Marshall ve Olk k değşkel üstel dağılımı olarak adladırılır (Kotz ve ark. 000). 7

134 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN İk bleşel br sstem düşüülsü. Bu sstem şoklara maruz kalsı. Acak şokları ölümcül olması şartı buluması. Şokları oluşumları bağımsız ( t ) Z ( t ) ve ( t ) ;δ ;δ Z, ;δ Z Posso süreçler tarafıda yöetldğ varsayılsı. Sstem durumu ( 0,0), ( 0,), (,0) ve (,) çftler le taımlamaktadır. Burada kllerde lk (kc) sırada, buluması lk (kc) bleşe çalışır durumda olduğuu; 0 ı buluması çalışmıyor olduğuu fade eder. ( t ) bleşe etkleye şoklardır. Bu şoklar p olasılıkla (,) durumuu (,) ( t ) ;δ Z sürecde gerçekleşe olaylar lk ;δ p olasılıkla (,) durumuu (,) 0 durumua, durumua döüştürmektedr. Bezer bçmde Z sürecde gerçekleşe olaylar kc bleşe etkleye şoklardır. Bu şoklar p olasılıkla (,) durumuu (,0) durumua döüştürmektedr. ( t ) durumua, p ;δ olasılıkla (,) durumuu (,) Z sürecde olaylar, her k bleşee de etk ede şoklardır. Bu şoklar (,) durumuu sırasıyla p 00, p 0, p 0 ve p olasılıklarıyla ( 0,0), ( 0,), (,0) ve (,) durumlarıa döüştürmektedr. Ayrıca br bleşee herbr şoku, başarısızlık ç bağımsız br fırsatı fade ettğ varsayılır. X ve Y sırasıyla brc ve kc bleşeler ç yaşam süreler temsl ets. ( t ) Z ( t ) ve ( t ) ;δ Z bağımsız olduklarıda s 0 ;δ kalım ya da güvelrlk foksyou, t ç ( y) Z, ;δ R, ortak sağ R k δ s k 0 k! l 0 ( ) ( ) m δ s m δ ep δ p ep[ δ ( t s) ] 0 m 0 m! l δ t ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k l, y P X s, Y t ep δ s p ep δ t ( p ) l! ( ( t s) ) ( )! p + p s 0 { s[ p + δ p ] t[ δ p + ( p p )]} ep δ δ (5.9) 0 0 şekldedr. s t 0 ç bezer şeklde, P ( X s, Y t) ep{ s[ δ p + δ ( p p )] t[ δ p + δ p ]} (5.0) 0 0 yazılır. (5.9) ve (5.0) dek eştlkler kullaılarak, 8

135 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN ( X s Y t) ep[ λ s λ t ma( s t) ] P, (5.), λ yazılır. Burada λ δ p + δ p0, λ δ p + δ p0 ve λ δ p00 şekldedr (Marshall ve Olk 967) Marshall ve Olk İk Değşkel Üstel Dağılımıdak Parametreler Tahm j,..., olmak üzere ( Y ) Y j j,, herbr (5.8) dek eştlk le verle dağılıma sahp bağımsız değşke çftler olsu. λ, λ ve λ 3 parametreler tahmler Wtj ˆλ t t, (5.) T j W3 j ˆλ (5.3) T j olarak elde edlr. Burada, Y j Y j ke W j dğer yerlerde 0; Y j Y j ke W j dğer yerlerde 0; Y j Y j ke W 3 j dğer yerlerde 0 ve T ( ) m ( Y, j Y j ) dr (Johso ve Kotz 97, Arold 968). j 5.3. Ldley ve Sgpurwalla ı İk Değşkel Üstel Dağılımı Herbr bleşe yaşam süres üstel dağılımla fade edle k bleşel paralel br sstem düşüülsü. İk bleşe de başarısız olduğuda sstem başarısız olur. Çalışma koşullarıı br etks hesaba katıldığıda bleşeler ortak yaşam süres, marjallerde br (5.50) de verle tek değşkel Pareto dağılımı ola k değşkel dağılımla gösterlr., olmak üzere λ, bleşe parametres olsu. İk bleşe yaşamlarıı bağımsız olduğu varsayılırsa sstem R ( t) güvelrlk foksyou, 9

136 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN ( t) ep( λ t) + ep( λ t) ( ( λ + λ ) t) R ep (5.4) şekldedr. Çalışma koşullarıı, ortak poztf faktör η aracılığıyla λ parametres etkledğ varsayılsı. Bu durumda sstem R ( t) güvelrlk foksyou, ( t) ep( ηλ t) + ep( ηλ t) ( η( λ + λ ) t) R ep (5.5) şeklde fade edlr. Burada η blmeye fakat belrszlğ G ( η) dağılım foksyouyla taımlaa br celk olsu (Ldley ve Sgpurwalla 986). Bu durumda sstem R ( t) güvelrlk foksyou, ( t) G ( λ t) + G ( λ t) G [( λ + ) t] R λ (5.6) eştlğ le verlr. Burada, ( y) ( ηy) dg( η) G ep (5.7) olup; G, G Laplace döüşümüdür (Elsayed 996). ( ) G foksyouu g ( η) b a+ η a ep a! ( ηb) 0 < η <, b > 0, a + > 0 (5.8) olasılık yoğuluk foksyou le k parametrel gama dağılımıı dağılım foksyou ve dg dη ( η) ep( ηb) a a b + η η 0 (5.9) a! olduğu varsayılır. Öcelkle bleşeler yaşam süreler ç ortak olasılık yoğuluk foksyou, ( t t ) ηλ ep( ηλ t ) ηλ ( ηλ t ) dg( η) f ep, (5.30) 0

137 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN fades le verlr (Kotz ve ark. 000). Böylece, ( ) foksyou f 0 ( t t ) ηλ ep( ηλ t ) ηλ ep( ηλ t ) f t,t ortak olasılık yoğuluk a+ a ep ( ηb), b η dη a! lm 0 ηλ ep ( ηλ t ) ηλ ep( ηλ t ) b a+ η a ep a! ( ηb) dη λλ b a! a+ [ η( λ t + λ t b) ] dη a+ lm η ep + 0 (5.3) şeklde yazılır. Burada, I [ η( λ t + λ t b) ] dη a+ η ep + (5.3) olsu. Bu eştlkte ( λ t λ t + b) u η döüşümü uyguladığıda + I ( λ t + λ t + b) ( u) 4 a+ u ep du a J a + (5.33) eştlğ elde edlr. Kısm tegrasyo yötemyle, a+ ( u) + ( a + ) u ep( u) a+ J a+ u ep du (5.34) J a + a ( u) + ( a + ) u ( u) 4 4 a+ J a+ u ep ep du (5.35) 4 3 Ja a ( u) + a u ep( u) a J a u ep du (5.36) J a M 3 J 3 u ep( u) + 3 u ep( u) du (5.37) ( u) + u ep( u) J u ep du (5.38) ( u) + ep( u) J u ep du (5.39)

138 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN eştlkler elde edlr. Burada da, ( u) + ( a ) J a+ J a+ u ep + a+ (5.40) a a+ + u ep( u) + ( a + ) J a ( + ) J a J a u ep( u) + aj a ( + )( a + ) M J 3 u ep u + ( ) J 4... ( a + )( a + ) 3 3 u ep( u) J 3... ( a + )( a + ) J + a (5.4) a (5.4) a (5.43) a (5.44) ( u) + ep( u) du u ep( u) ( u) J u ep ep (5.45) yazılır. İstee J a+ fades bulmak ç yukardak a + sayıdak eştlk yalarıdak fadelerle çarpılır. Daha sora ye elde edle a + sayıdak eştlk toplaarak J a+, J [ ] a+ a+ a ( u) u u ( a + ) u ( a + )( a + )... u(.3... ( ) ) ep ( ).3... ( a + ) ep + u (5.46) a + a olarak elde edlr. Bulua bu fade öce (5.33) tek I ç verle eştlkte sora (5.3) dek eştlkte yere koursa, ( ) f t,t ortak olasılık yoğuluk foksyou, f ( t t ) a ( a + )( a + ) b 3 ( λ t + λ t + b) λ λ, a+ + (5.47) olarak elde edlr (Kotz ve ark. 000, Elsayed 996). (5.7) dek eştlğ hesaplamasıyla R ( t) güvelrlk foksyou, R () t b λt+ b a+ b + λt+ b a+ ( λ+ λ) b t+ b a+ (5.48) olarak elde edlr. ( ) h t,t rsk foksyou da taımıda,

139 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN h ( t, t ) ( a + )( a + ) λλ ( b + λ t + λ t ) (5.49) buluur. (5.47) dek eştlğ t ye göre tegral hesapladığıda marjal olasılık yoğuluk foksyou, t f ( ) t f ( t ) a+ λ ( a + ) b + ( λ t + b) a (5.50) olarak elde edlr (Elsayed 996). Bu dağılım da kc tp Pareto dağılımı olarak adladırılır (Ldley ve Sgpurwalla 986) İk Değşkel Pareto Dağılımı Pareto dağılımı, geellkle yapım, malat ya da üretm şlemler zlemekte kullaılır. Öreğ br maka bakır tel ürets. Maka ara sıra tel boyuca bazı oktalarda kusur/hata oluşturacaktır. Pareto dağılımı, ard arda gele kusurlar/hatalar arasıdak tel uzuluğuu modellemek ç kullaılır (StatSoft 007). Bu dağılımı, gelr servet modellemes, başarısızlık zamaları, doğum oraı, ölüm oraı ve güvelrlk modeller alalarıda uygulamaları da vardır. Burada özel br durum olarak marjaller tek değşkel Pareto formuda ola, geel formuyla k değşkel br Pareto dağılımı şok model olarak verlecektr. Geellkle sstem bleşeler yaşam süreler arasıda bağımlılık olduğuu varsaymak gerçekç br yaklaşım olur. Bu dağılımda k bağımlı bleşee sahp br sstem düşüülmektedr. Üç bağımsız kayakta şoklar olsu. İlk kayakta gele şok sadece sstem brc bleşee rastgele T zamaıda etk ets. T ( ) R güvelrlk foksyou, t θ a R ( t) P( T t) a + t 0 t a θ 0 (5.5), le verlr. İkc kayakta gele şok sstem sadece kc bleşee rastgele T zamaıda etk ets. T ( ) R güvelrlk foksyou, t 3

140 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN θ a R ( t) P( T t) a + t 0 t a θ 0 (5.5), le verlr. Üçücü kayakta gele şok se sstem her k bleşe de rastgele T zamaıda etkles. T R ( t) güvelrlk foksyou, θ a R () t PT ( t) t 0 a, θ 0 (5.53) a+ t le verlr. Böylece sstem brc ve kc bleşee at rastgele yaşam süreler X ve X, ( T, T ), X m ( T T ) X m, (5.54) eştlkler sağlamak zorudadır (Al-Ruzaza ve El-Gohary 007). foksyou, TEOREM 5.. T ve T rastgele değşkeler ( t t) R, ortak güvelrlk R ( t t) θ θ, a a a + t a + t, (5.55) şekldedr (Al-Ruzaza ve El-Gohary 007). TEOREM 5.. X ve güvelrlk foksyou, X rastgele değşkeler ( ) R, ortak R θ, a a a + z a + ( ) θ ( ) z ma (5.56), şekldedr (Al-Ruzaza ve El-Gohary 007). 4

141 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 5 TEOREM 5.3., olmak üzere X, rastgele değşke ( ) R marjal güvelrlk foksyou, ( ) θ θ + + a a a a R ( ), (5.57) şekldedr (Al-Ruzaza ve El-Gohary 007). TEOREM 5.4. Eğer k değşkel ortak güvelrlk foksyou ( ), R (5.56) dak eştlk formuda se, X ve X ( ), f ortak olasılık yoğuluk foksyou, ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f, 0,,, (5.58) şekldedr. Burada, ( ), f θ θ θ θ θ θ θ θ a a a a a a a a a a a a a (5.59) ( ), f θ θ θ θ θ θ θ θ a a a a a a a a a a a a a (5.60) θ θ θ θ a a a a a a a f (5.6) dr (Al-Ruzaza ve El-Gohary 007).

142 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN TEOREM 5.5. Ortak olasılık yoğuluk foksyoları (5.58) dek eştlk le verle X ve foksyoları, X rastgele değşkeler ( ) f marjal olasılık yoğuluk f ( ) θ a a a + θ+ a a + θ θ + θ a + a a + a a + θ, (5.6) şekldedr (Al-Ruzaza ve El-Gohary 007). Ayrıca ortak olasılık yoğuluk foksyoları (5.58) dek eştlk le verle X ve X rastgele değşkelere lşk;, olmak üzere X, X ve X X ç beklee değerler ve X ç varyas sırasıyla E ( X ) a θ + θ (5.63) E ( X ) ( θ + θ )( θ + θ ) a (,) (5.64) ( X, X ) ( θ + θ + θ ) a ( θ + θ )( θ + θ )( θ + θ + θ ) E (5.65) ve Var ( X ) ( θ + θ )( θ + θ ) a θ + θ, (5.66) şekldedr. Kovaryas ve korelasyo katsayısı se, a θ Cov (5.67) ( X, X ) ( θ + θ )( θ + θ )( θ + θ + θ ) 0 ve 6

143 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN ( θ + θ )( θ + θ ) ( θ + θ )( θ + θ ) θ ρ θ + θ, (5.68) θ + θ + θ şekldedr (Al-Ruzaza ve El-Gohary 007) Yaşam Süres Dağılımı ç Ver Çftler Aalz,..., olmak üzere boyutlu br chazda alıa öreklemde yaşam süres test gerçekleştrls. Bu chaz ç lk başarısızlığa kadar yaşam süres kaydedls. Chaz oarıldıkta sora, ayı chaz ç kc başarısızlığa kadar yaşam süres Y kaydedls. Herbr ( ) X, çft çde bağımlılık vardır. Y Cator ve Kapp (985), ver çftler sağ kalım süreler modellemek ç br dağılım öermşlerdr. Ver çftler çdek bağımlılık başka br rastgele değşke Θ tarafıda modelledrlmştr. Θ değşke ese duyarlılığıı ya da drec gösterr. Ya parametre, zayıflık parametres (fralty parameter) olarak düşüüleblr. 0 olsu. θ olacak şeklde Θ, ( θ ) Θ θ verlmşke sağ kalım süres üstel dağılımdır. Bu dağılım ( /θ ) süres X, h olasılık yoğuluk foksyoua sahp X dağılımı ( ) θ λ E ortalamalı f le gösterls. Θ θ verlmşke sağ kalım θ Y dağılımı E ( ) ortalamalı üstel dağılımdır. Bu dağılım ( y/θ ) y λ le gösterls. X /{ Θ θ } koşullu dağılımı Y { Θ θ } f y / koşullu dağılımıda bağımsızdır. Bulara bağlı olarak koşullu ortak olasılık yoğuluk foksyou f (, y/ θ ) f ( / θ ) f y ( y/ θ ) λ λ θ [ θ ( λ + y) ] ep λ λ λ 0 θ 0 (5.69), dır. Ortak olasılık yoğuluk foksyou ( y, θ ) f (, y θ ) h( θ ) f, / (5.70) 7

144 5. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN dır. Ortak olasılık yoğuluk foksyou 0 ( y) f (, y, ) f y, θ dθ (5.7) kullaılarak marjal olasılık yoğuluk foksyoları X e ve Y ye göre sırasıyla 0 ( ) f ( y) f y, dy (5.7) ve 0 ( y) f ( y) f y y, d (5.73) olarak elde edlr (Owe ve ark. 000, Cator ve Kapp 985). 8

145 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ 6.. Geel Blgler Bu bölümde bleşeler, ble dağılımlar ola statstksel dağılımlarla lglelecektr. Söz kousu dağılımlar karma dağılımlar olarak adladırılır. Öreğ, br çocuk ktlesdek boy uzuluğu dağılımı aşağıdak gb fade edleblr. f (boy_uzuluğu) f (boy_uzuluğu;erkek) p (erkek)+ f (boy_uzuluğu;kız) p (kız) (6.) Burada p (erkek) ve p (kız), ktlede seçle br çocuğu sırasıyla erkek olması ve kız olması olasılıklarıdır. f ve f sırasıyla erkek ve kızlar ç boy uzuluğua lşk olasılık yoğuluk foksyolarıdır. Böylece boy uzuluğu olasılık yoğuluk foksyou, k tae koşullu olasılık yoğuluk foksyou le fade edlr (Evertt ve Had 98). Ver modellemede esek br yol olarak, br dağılımı yeterl olmadığı durumlarda karma dağılımları uygulamaları vardır. Öcelkle karma dağılımı gereksm edeler ve bua bağlı olarak tarh açıklaacaktır. Karma dağılımı kullaımı yaklaşık olarak yüz yıl öcese dayamaktadır. Ülü byometrc Karl Pearso a at 894 tarhl yayıda, sırasıyla µ ve µ ortalamalı, σ ve varyaslı, π ve π oralı k ormal olasılık yoğuluk foksyouu karması celemştr. Pearso ı çalışmasıda kulladığı verler meslektaşı Weldo (89, 893) tarafıda sağlamıştır. Verler br yegeç türüde alıa 000 yegece lşk alı geşlğ boy uzuluğua oraı ölçümler çermektedr. Weldo (893), tek değşkel ormal dağılımı kullaıldığı verlere at hstogram grafğde asmetr varlığıı k ye alt tür yüzüde olduğuu düşüür ve matematksel blgs yetersz bularak meslektaşı Karl Pearso da yardım ster. Ya Pearso ı karma model k alt tür olduğu düşücese dayaır. Bu çalışma, byolojk σ 9

146 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN problemler ç statstksel aalz temel metod olarak ögörür (McLachla ve Peel 000). Karma dağılımları yaygı br bçmde kullaıldığı formu, ormal bleşeler çere formudur. Medgyess (96), elektroforez le yapıla prote ayırma souçlarıda karma ormal dağılıma başvurmuştur. Bhattacharya (967), br balık türüde uzuluk dağılımıı çalışmış ve gözlemler yaş kategorlere göre ayırmıştır. Her br kategor, karma dağılımda br ormal dağılım bleşe şeklde düşüülmüştür. Casse (954), ayı problem çalışmıştır. Gregor (969), fareler karacğer hücrelerde çekrdekte DNA çerk ölçümler verlerde karma ormal dağılıma başvurmuştur. Bu uygulamada karma ormal dağılımı düşüülmes ede bazı orgalarda hücreler çekrdekler çeştl sııflarıı bulumasıdır. Öylek çekrdekler DNA çerklerde karekterstk farklılıklar vardır (Evertt ve Had 98). Karma dağılımları dğer br uygulama alaı, hata verlerdr. Burada gözlemler, br öreklemde ese zamaa karşı dayama sürelerdr. Geellkle hatalar brde fazla ede yüzüde ortaya çıkar. Her br ede ç hata dağılımı br yoğuluk foksyoua yakısar. Böylece tüm hata dağılımı da karma dağılım olur. Elektrok valflerde hata dağılımıa karma dağılım düşüülmüştür. Öreğ, Medehall ve Hader (958), üstel bleşeler; Kao (959), Webull bleşeler kullamıştır. Thomas (966), sr hücrelerde deşarj olma süreler dağılımıı modellemek ç karma üstel dağılımı kullamıştır (Evertt ve Had 98). Bleşe ktleler çoğu heteroje yapıdadır. Ya populasyo kısa ömürlü zayıf bleşelerde ve uzu ömürlü güçlü bleşelerde oluşur. Öreğ özdeş üteler br kısmı, hammadde veya uygu olmaya üretm edeyle olağa dışı ürüler olablrler. Dolayısıyla üteler bu kısmıı ömürler kısa olacaktır veya alçak yük/gerlm düzeylerde başarısız olacaktır. Stadart üteler ömrü daha uzu olur. Bu üteler daha yüksek yük/gerlm düzeylere dayaablrler (Jag 99). Blackstoe, Naftel ve Turer (986) açık kalp amelyatlarıda ölüm rsk üç safhaya göre şeklledğ düşüdüler. Rsk erke safhada yüksek, orta safhada sabt ve so safhada düşmeye başlar. Burada, üç ölüm safhasıa göre üç bleşel 30

147 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN karma dağılım sağ kalım modellemes ç etkl br yoldur. Çükü farklı safhalara göre, ayrı parametrk modeller uygulama bakımıda uygu br modelleme değldr. Webull dağılımı, yaşam süres dağılım model olarak kullaıla e yaygı dağılımdır. Buu ede eseklğ le olasılık yoğuluk, sağ kalım ve rsk foksyolarıı kolay fade edleblmesdr. Webull rsk foksyou şekl parametrese bağlı olarak mooto artar, azalır veya sabttr. Eseklğ le çok geş çeştllktek yaşam süres verlere y uyum sağlar. Bua bağlı olarak karma Webull dağılımlarıı heteroje verlerle brlkte sağ kalım ve güvelrlk aalzde yaygı br bçmde kullaımı şaşırtıcı değldr. Patra ve Dey (999), çok değşkel karma Webull dağılımlarıı güvelrlk modellemesde düşümüşlerdr. Webull dağılımıda şekl parametres bre eşt alıırsa üstel dağılım elde edlr. Karma üstel dağılımları kullaımıa se blmde ve sosyal blmlerde sıkça rastlaır (McLachla ve Peel 000). Böylece daha esek ve kullaışlı dağılımlar olarak ble karma dağılımları tarhte asıl yer eddğ kousuda açıklamalar tamamlamıştır. Karma dağılımları matematksel olarak asıl fade edldkler gösterlecektr. X, φ ( ) ve ( ) X φ ( ) olasılık yoğuluk foksyou, ( ) α φ ( ) α ( ) φ φ şeklde olasılık foksyolarıa sahp olsu. φ + α α 0 α +α (6.), şeklde gösterleblr. Burada φ ( ) ve ( ) φ karmaı bleşe olasılık yoğuluk foksyolarıdır. α ve α karma ağırlıkları ya da oralarıdır. α ve α sırasıyla φ ve φ foksyolarıı seçlme olasılıklarıdır. Daha kullaışlı br formül ç φ ( ) olasılık foksyouu λ parametrel br foksyo olduğu düşüces le φ ( ;λ) ales gösterm terch edlr. Her λ değer br ağırlığı vardır, öylek bu γ ( λ) le gösterls. φ ( ) φ( ; λ ) γ ( λ ) ve ( ) γ λ (6.3) 3

148 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN şekldek gösterm le X rastgele değşke, karma dağılıma sahptr (Douglas 980). verlmştr. Daha yaygı olarak kullaıla karma dağılım gösterm aşağıdak taımla TANIM 6.. X br rastgele değşke ve f ( ) olasılık yoğuluk foksyoları olmak üzere, f g ( ) f ( ) π, 0 π, π (6.4) g şeklde olasılık yoğuluk foksyou taımlaır. Bua göre X, solu karma dağılıma sahptr der. Burada, π,...,π g karma oraları ve f ( ),..., f g ( ) karma bleşe yoğulukları olarak adladırılır (McLachla ve Peel 000). TANIM 6.. Olasılık yoğuluk foksyou (6.4) dek gb ola X rastgele değşke F ( ) dağılım foksyou, F g ( ) f ( y) dy f ( y) dy π f ( y) g π dy (6.5) yardımıyla, F g ( ) F ( ) π, 0 π, π (6.6) g olarak buluur. 6.. Webull Dağılımlarıı Karması Çok tepel Webull olarak da ble karma Webull dağılımı, Webull olasılık grafğde br doğru üzere düşmeye verler modellemek ç kullaılır. Özel olarak hata sürelere lşk verler olasılık grafğde S bçml se bu durum brde fazla hata modu olduğuu gösterr. Güvelrlk mühedslğde elektrkl ve 3

149 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN mekak ekpmaları geelllkle brde fazla hata modua ya da edee sahp olduğu blr (Keçecoğlu ve Wag 998). Hata modları hayat bölgelere göre ortaya çıkar. Brc tp hata ya azala hata oraı, geellkle bleşeler ömürler erke safhalarıa attr. İkc tp hata bleşe şas eser başarısızlığa uğradığı, hata oraıı heme heme sabt olduğu duruma karşılık gelr. Bu tp hatalar bleşe ömrü süresce gerçekleşeblr. Üçücü tp hata yıpramaya bağlı olarak gerçekleşe hatadır. Hata modları kmlkledrlmel ve hata dağılımları belrlemeldr. Her br mod ç zamaa karşı dayama süreler, Webull dağılımıa sahp olablr. Karma Webull dağılımı br kaç Webull alt ktlesde oluşa br ktley gösterr. Her br alt ktle kede at br hata modu ve dağılımı vardır. Medehall ve Hader (958), br sstem veya aracı başarısızlıklarıı k ya da daha fazla edele fade etmşlerdr. Br elektrok tüpü başarısızlığı, gaz kusurları, mekak kusurlar veya katotda ormal yıpramaya bağlı olarak ortaya çıkmış olablr. Herbr ede tp ç zamaa karşı dayama süres kede at dağılımı vardır. Bu edele, elektrok tüpü yaşam süres karma dağılıma sahptr (Jag 99). Kao (959), elektrok tüpler ömürler göstermek ç k bleşel karma dağılımı öermştr. Başarısızlıklar, a ve yıpramaya bağlı olmak üzere k sııfa ayrılmıştır. Sttch ve ark. (975), mkrodevreler hızladırılmış testde, esas ve aormal ayrık alt ktlelerle başarısızlıkları k tepel dağılıma uyduğuu gözlemlemştr. Mkrodevreler güvelrlğ elde etmek ç çözüm, aormal alt ktley belrlemektr. Elektrok bleşeler bezer k tepel yaşam süres dağılımları Reyolds ve Steves (978), ve Shaw (987) tarafıda gözlemlemştr (Jag 99). Jese (989), mekak bleşeler mukavemet modellemek ç karma Webull dağılımıı kullamıştır. Bleşe mukavemetde kötüleşme, kusur büyümes soucu olduğuu ler sürmüştür. Bleşe mukavemetde daha büyük br yüke/gerlme maruz kalırsa başarısız olur. Daha büyük kusur, daha az dayaıklılık getrecektr. Br bleşe düşük mukavemet, şçlk kusurları ve malat esasıda edle kusurlar gb bleşe doğasıda ola kusurlara bağlıdır (Jag 99). 33

150 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Sgh ve Sclar (97), köprü ve dreaj tasarımıda su baskılarıı sıklığıı öeml br faktör olduğua dkkat çekmştr. İstatstksel aalzlerde, k dağılımlı karmaı, gözlee su baskıı dağılımlarıa tek dağılımda daha y uyduğu soucuu çıkarmışlardır. Çelk köprüler tasarımıda kamyoları dolu ağırlıkları esas yorulma yüklerdr. Tall ve Petreshock (990), yed eyalete at verler aalz etmşler ve dolu ağırlıkları k tepel dağılımlar olduğuu bulmuşlardır (Jag 99). g bleşel karma Webull dağılımı ç (6.4) dek f, f ( t; σ, η ) η σ t σ η t ep σ η t 0, σ 0, η 0 (6.7) şekldedr. Böylece karma Webull dağılımıı olasılık yoğuluk foksyou, f η g η η t t σ π ep t 0, σ 0, η 0 (6.8) σ σ σ ( t;, η ) olarak fade edlr (Nagode ve Fajdga 000). TANIM 6.3. Bleşeler dağılım foksyou (4.80) dek gb ola (6.4) dek g bleşel karma dağılımı (6.6) dak dağılım foksyou, F η g t σ π ep t 0, σ 0, η 0 (6.9) σ ( t;, η ) şekldedr (Nagode ve Fajdga 000) Webull Dağılımlarıı Karmasıdak Parametreler Tahm Ktle, k bağımsız alt ktle karması şeklde olsu. Herbr ktle kede at tek br hata modu ve dağılımı olsu. Böylece karma ktle ç yaşam süres dağılımı, 34

151 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN ( t) pf ( t) qf ( t) f + (6.0) le fade edleblr. Burada f ( t), karma ktle olasılık yoğuluk foksyouu; j, olmak üzere f j ( t),. j alt ktle olasılık yoğuluk foksyouu; p ( 0,) olmak üzere brc alt ktle ç karma oraıı; ( 0,) ç karma oraıı göstermektedr. Ayrıca q olmak üzere kc alt ktle p + q (6.) dr. Alt ktlelere at olasılık yoğuluk foksyoları f j () t η σ t σ η t ep σ η j,. (6.) şekldek Webull dağılımı le fade edlr. Böylece (6.0) dak eştlk le fade edle k bleşel karma Webull dağılımı η, σ, η, σ ve p parametrelere sahptr. Keçecoğlu ve Wag (998), bu parametreler tahm ç e küçük kareler yötem le Bayes teorem brleştrerek ye br algortma sumuşlardır. Bu algortma ç gerekl taımlamalar aşağıda verlmştr. P j ( t ),. gözlem j. alt ktleye sosal at olma olasılığı (posteror belogg probablty); MON j ( t ), ortalama sıra sayısı (mea order umber); MR j ( t ), medya rakı (meda rak) olsu. Y j { [ ]} ( ) log MR ( t ) log (6.3) e e j ve X ( ) log ( ) (6.4) e t alısı. ρ ρ + ρ olacak şeklde ρ ve ρ korelasyo katsayılarıı göstermektedr. 35

152 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Güvelrlk yaşam test br ürüü N ütesde gerçekleştrlmektedr. Öylek ürüü k hata modu vardır. Zamaa karşı dayama öreklem { t,,..., N}, olarak elde edls. t t... t N ve herbr t zamaıda br hata gözles. Kamath ve ark. (978), Keçecoğlu ve Su (994), hataı j. alt ktleye at olduğu fkryle sosal olasılığı P j ( t ) le göstermşlerdr. Bu gösterm Pj ( t ) P T f j () t t t T t + t, j,,,,..., N. (6.5) şekldedr. Bayes teoreme başvurulduğuda, P j P t t T t+ t T f j P t t T t+ t T f j { } () t PT f() t j { } () t PT f() t j j (6.6) yazılır. Burada { T f ( t) } p P (6.7) ve { T f ( t) } p q P (6.8) dur. Böylece olasılığı, t zamaıda gerçekleşe hataı. alt populasyoa at olması ( t ) pf( t) ( t ) + qf ( t ) ( t) ( t ) pf,,..., N (6.9) P pf f dr. Bezer şeklde t zamaıda gerçekleşe hataı. alt populasyoa at olması olasılığı, 36

153 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN ( t ) qf( t) ( t ) + qf ( t ) P pf f ( t) ( t ) qf,,..., N (6.0) dr. Ayrıca, ( t ) P ( t ) P,,..., N (6.) + P ( t ),. alt ktledek t zamaıda başarısız üte sayısı ve ( ) zamaıda başarısız üte sayısı olarak düşüüleblr. Böylece,. alt öreklem: {(, P( t )), ( t, P( t )),...,( t P( ))} t N, t N. alt öreklem: {(, P ( t )), ( t, P ( t )),...,( t P ( ))} t N, t N P t,. alt ktledek t şekldedr. j. alt ktledek. başarısızlığı ortalama sıra sayısı (mea order umber), MON ( t) P ( t k ),,..., N k (6.) ve MON ( t) P ( t k ),,..., N k (6.3) dr. İlgl medya rakları,. ve. alt ktle ç sırasıyla, ( t) ( t ) + 0, 4 MON MR ( t) (6.4) MON N ve ( t) ( t ) + 0, 4 MON MR ( t) (6.5) MON N eştlkleryle hesaplaır. Böylece. ve. alt ktleler ç 37

154 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN {(, MR ( t )), ( t, MR ( t )),...,( t MR ( ))} t N, t N {(, MR ( t )), ( t, MR ( t )),...,( t MR ( ))} t N, t N şeklde k küme oluşturulur. E küçük kareler yötemyle sosal parametreler hesaplaablr. Webull dağılımı ç dağılım foksyou ya da güvelmezlk foksyou, log e log e MR j j e j e j ( t ) η log t η log σ (6.6) veya leer formda, j ( ) j X ( ) b j Y η + (6.7) olarak yazılır. Burada, Y j X { [ ]} ( ) log MR ( t ) log (6.8) e ( ) log t e e j (6.9) b j η log σ (6.30) j e j şekldedr. E küçük kareler yötem uygulaarak dağılımı parametre tahmler, N () Y() X() Y() X j j N η ˆ j (6.3) N N X N () X() N j j N N N N bˆ j Y() η ˆ X() (6.3) N bˆ j σˆ j ep (6.33) ηˆ j 38

155 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN eştlkler le verlr. Dğer tarafta sosal karma oraları, ( t ) N MON N pˆ P ( t) (6.34) N N veya ( t ) N MON N pˆ qˆ P ( t) (6.35) N N eştlkler le verlr. Ayrıca (6.34) ve (6.35) le verle tahmler, maksmum lkelhood eştlğ de sağlarlar. Dağılımı parametreler ve ver kümes blyorsa at olma olasılıkları ya da karma oraları hesaplaablr. Buu alamı P j ( t ) parametreler ve ver kümes br foksyoudur. (6.) dek eştlk (6.35) de kullaılırsa parametreler de at olma olasılıklarıı, P j ( t ) ve ver kümes foksyoları olduğu görülür. j ( η σ, η,, p t ) η g, j, (6.36) j j, σ ( η σ, η,, p t ) j, σ σ g, j, (6.37) ( η σ, η,, p ) t p g, (6.38) 3, σ (6.36), (6.37) ve (6.38) eştlkler η, σ, η, σ, p parametrelere ve öreklem verlere bağlı beş eştlktr. Teork olarak e küçük kareler parametre tahmler, bu beş eştlğ çözümü le elde edlr. Geelde bu eştlkler sayısal çözümü ç adımsal yötemlere başvurulur. Buula brlkte tahm souçları başlagıç değere ve ver kümes kaltese bağlıdır. Bu durumu dışıda, eştlkler çözüm vermeyeblr ya da düşük kaltede tahmler sağlar. Ver kalte durumu hmal edlerek e y uya doğru her zama mevcuttur. E küçük kareler presbe göre e y uya doğru, doğru etrafıdak rezdü varyaslarıı mmum yapar. Geel olarak korelasyo katsayısı, doğruu verye e 39

156 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN kadar y uyduğuu göstere y br ölçü sağlar. Daha büyük korelasyo katsayısı, doğruu verye daha y uyduğuu gösterr. E y parametre tahmler elde etmek ç e küçük kareler presb kullaılır. Ya η, σ, η, σ ve p değerler üzere ardışık şlemler yapılır. Değerler, okta le doğru arasıdak sapmayı mmum yapacak, dğer br fadeyle korelasyo katsayısıı maksmum yapacaktır. Herhag br η, σ, η, σ ve p set ç korelasyo katsayıları (6.9) ve (6.6) eştlklerde yararlaarak, N N N X() Yj() X() Yj() N ρ j (6.39) N N N N X () X() Yj () Yj() N N olarak fade edlr. İk doğru da eşzamalı olarak Webull alt ktlesde gele k alt örekleme uymak zoruda olduğuda herbr parametre her k korelasyo katsayısı üzerde etkye sahptr. Bu edele k korelasyo katsayısıı kareler toplamı uyumu dereces ç e y ölçü olablr. İk Webull karması ç korelasyo katsayısı dama poztftr. Uyumu dereces ç bastçe korelasyo katsayıları toplamı kullaılablr. ρ ρ + ρ (6.40) Ardışık şlemlerle, başlagıç değerler olarak grafk tahmler alıarak, ρ değer maksmum yapacak şeklde parametre tahmler elde edlr (Keçecoğlu ve Wag 998) Normal Dağılımları Karması g bleşel karma Normal dağılım ç (6.4) dek f, f µ µ ep, µ, σ 0 (6.4) σ ( ;, σ ) ( ) π σ 40

157 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN şekldedr. Böylece karma Normal dağılımı olasılık yoğuluk foksyou, f g µ µ π ep, µ, σ 0 (6.4) ( ;, σ ) ( ) π σ σ olarak fade edlr (Vlasss ve ark. 999). TANIM 6.4. Bleşeler dağılım foksyou (4.4) dek gb ola (6.4) dek g bleşel karma dağılımı (6.6) dak dağılım foksyou, F g y µ µ, µ, σ 0 (6.43) σ π σ ( ;, σ ) π ep dy dr. Burada, I y µ ep σ dy (6.44) y µ olsu. (6.44) de u döüşümü uygulaarak, karma ormal dağılımı σ dağılım foksyou, F µ g σ π ;, µ, σ 0 (6.45) ( µ, σ ) π ep u du dur Normal Dağılımları Karmasıdak Parametreler Tahm g bleşel karma ormal dağılımda j,..., g olacak şeklde µ j ve σ j parametreler maksmum lkelhood tahmler, ağırlıklı öreklem ortalaması ve ağırlıklı öreklem varyası le fade edleblr. Ayrıca tüm ortalama ve tüm varyası 4

158 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN maksmum lkelhood tahmler, öreklem ortalaması ve öreklem varyası le uyumludur. Karmaı tüm ortalama ve varyası, α ve β, g p j j α µ (6.46) j ve ( σ + µ ) g g β p j j j p jµ j (6.47) j j eştlkler le verlr.,..., (6.4) eştlğ le verle yoğuluğa sahp dağılımda alımış br rastgele öreklem olsu. Öreklem ortalaması ve öreklem varyası sırasıyla, (6.48) ve s ( ) (6.49) g şekldedr. p g p j alısı. Lkelhood foksyouu logartması, j L g log p j f j ( ) (6.50) j eştlğ le verlr. Böylece lkelhood deklemler, { f j ( ) f g ( )} f ( ) 0 j,..., g (6.5) 4

159 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN p σ ( µ j ) f j ( ) j 0 f ( ) j j,..., g (6.5) p σ {( µ j ) σ j } f j ( ) j 0 4 f ( ) j j,..., g (6.53) olarak buluur. (6.5) eştlğ her k tarafı p j le çarpılır souç j üzerde toplaırsa, f f ( ) ( ) g (6.54) elde edlr. (6.54) eştlğ (6.5) eştlğde yere koursa, f f ( ) ( ) j j,..., g (6.55) buluur.,..., ve j,..., g olacak şeklde, j f j ( ) { f ( )} w (6.56) olsu. (6.55) ve (6.56) eştlklerde, w j j,..., g (6.57) buluur. µˆ j, σ ˆ j ve pˆ j, sırasıyla µ j, σ j ve p j parametreler maksmum lkelhood tahmler olsu. ŵ j ; µ j, σ j ve p j parametreler, maksmum lkelhood tahmler le yer değştrlmes soucu elde edle w j tahm olsu. (6.56) eştlğ p j le çarpılıp j üzerde toplaırsa, 43

160 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN g j pˆ j wˆ j,..., (6.58) buluur. Ayrıca, w j ˆ j,..., g (6.59) şekldedr. (6.5) ve (6.53) eştlkler kullaılarak (6.55) ve (6.56) eştlkler de yardımıyla, ˆµ wˆ j,..., g (6.60) j j σˆ j w ˆ ˆ j µ j j,..., g (6.6) buluur. α ve β parametreler, αˆ ve βˆ parametre tahmler elde etmek ç (6.46) ve (6.47) eştlklerde µ j, σ j ve p j parametreler, tahmler le değştrlr (Zeha 966). (6.60) eştlğ her k tarafı p j le çarpılıp j üzerde toplaır, (6.58) eştlğde faydalaılırsa, αˆ (6.6) buluur. (6.6) eştlğ her k tarafı p j le çarpılıp j üzerde toplaır, (6.58) ve (6.6) eştlklerde faydalaılırsa, β ˆ s (6.63) olarak buluur. (6.59) eştlğ, pˆ pˆ wˆ j,..., g (6.64) j j j 44

161 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN formuda yazılır ve (6.60), (6.6) eştlkler de kullaılmasıyla parametre tahmler buluur. Blmeye parametreler başlagıç değerler blyorsa sstem ardışık şlemlerle çözüleblr (Behbooda 970) Üstel Dağılımları Karması Karma üstel dağılım, yaşam test uygulamalarıda ortaya çıkar. Farklı edelerle ortaya çıka hataları karma üstel olasılık yoğulukla fade edlmes hata özellkler ç daha y taımlamalar yapılmasıa olaak sağlar. Öreğ, elektrok valf hataları; gaz kusurları, mekak kusurlar ve katotda ormal çürüme/bozulma yüzüde oluşa kusurlar olmak üzere üç gruba ayrılablr. Davs (95), Sstemler e çok sa ve mekak edeler br kombasyou dolayısıyla başarısızlığa uğrayableceğ belrtmştr (Evertt ve Had 98). g bleşel karma üstel dağılım ç (6.4) dek olasılık yoğuluk foksyou f ( ) σ ep σ 0 σ 0 (6.65) şekldedr. Böylece karma üstel dağılımı olasılık yoğuluk foksyou, f g ( ;σ ) π σ ep σ 0 (6.66) olarak fade edlr (Evertt ve Had 98). TANIM 6.5. Bleşeler dağılım foksyou (4.55) dek gb ola (6.4) dek g bleşel karma dağılımı (6.6) dek dağılım foksyou, F ; (6.67) ( σ ) π ep σ 45

162 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN şekldedr (Evertt ve Had 98) Üstel Dağılımları Karmasıdak Parametreler Tahm Üstel dağılımı karmasıdak parametreler tahm ç Medehall ve Hader (958) tarafıda gelştrle yötem kullaılacaktır. Bu yötemle blmeye oralarda k üstel başarısızlık dağılımıı karması tarafıda elde edle ktle parametre tahm yötem açıklaacaktır. İk alt ktlede oluşa br ktle düşüülsü. Bu k alt ktle k başarısızlık tp temsl etmekte ve ktle çde p 0 p le q p oralarıda bulumaktadırlar. Ktledek herbr bleşe hag alt ktleye at olduğuu göstere br etket çerr. Etket blgs başarısızlık ededr ve acak başarısızlık gerçekleştkte sora elde edlr., olmak üzere. alt ktle ç başarısızlık zamalarıı dağılım foksyou, F ( t) ep( t α ) 0 t (6.68) le taımlaır. p, üteler. alt ktlese at olması oraı se populasyo ç dağılım foksyou ve olasılık yoğuluk foksyou sırasıyla, ( t) pf ( t) qf ( t) F + (6.69) ve ( t) pf ( t) qf ( t) f + (6.70) şekldedr. Ayrıca alt ktleler ve ktle ç güvelrlk foksyoları sırasıyla, R ( t) F ( t) (6.7) ve R ( t) F( t) (6.7) 46

163 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN dr. Br ktle test edldğde karma oraları zamala değşr. Br alt ktledek eseler dğerdeklere göre daha hızlı öleblr. t aıda alt ktleler p ( t) ve q ( t) p( t) karma oralarıda buluur. Bu mktarlar koşullu karma oraları olarak adladırılır ve pr () ( t) t ve p ( ) p R() t p 0 (6.73) şekldedr. Test ç kullaılablr süre kısıtlı olması edeyle, araştırmacılar geellkle yaşam test tahm süre geçtkte sora veya öcede başarısızlığı tahm edle sayıda üte başarısız oldukta sora yapmayı sterler. Bu şekldek örekleme, sasürlü öreklem (cesored sample) der. Bu parametre tahm yötemde sabt test btrme süres le sasürlemş öreklem düşüülecektr. sayıdak ütede (ktlede) rastgele öreklem seçlp test uygulası. Test sabt T zamaıda btrls. Bu süre souda. alt ktlede r sayıda üte başarısız olmuştır. Ya toplam üte başarısızlık zamaı ola gözlem r + r r üte başarısızdır.. alt ktlede, j. t j le gösterlmştr. r sayıdak başarısız olmaya üte hag alt ktlede geldğ blgs mevcut değldr. Böylece gözlee rastgele değşkeler, olmak üzere r ve şekldedr. j,,...,r olmak üzere t j.durum: Alt ktle parametreler görel büyüklüğü blmes. Ktle parametreler tahm maksmum lkelhood yötem kullaılarak hesaplaacaktır. Btrme zamaı T dr. Bu yüzde t ve T ç F ( ) dağılım foksyou ve sosal olasılıklar sırasıyla α β olsu. Böylece, her br bleşe T F 0 (6.74) ( ) ep β ve 47

164 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 48 ( ) ( ) () [ ] () [ ] () [ ] r r r R qf pf r r r r r r P!!!! /,, (6.75) şekldedr. r ve j verlmşke elde edle r,...,, sıralı gözlemler koşullu yoğuluğu, ( ) ( ) () [ ] r r j j j r F f r r P! ; /,...,, (6.76) şekldedr. Lkelhood foksyou se, ( ) () ( ) ( )!! r j j r j j r r r f f q p R r L (6.77) buluur. L l parametrelere göre türev alıırsa, ( ) l β β β β r r r k L + (6.78) ( )( ) l β β β β r r r k L + (6.79) ( ) ( )( ) q r r k p r r k p L l + + (6.80) eştlkler elde edlr. Burada, + + ep ep ep ep β β β β β p q q p p k (6.8)

165 6. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN dr. (6.73) eştlğe göre k p( ) olduğu görülür. Parametrelere göre alıa türevler sıfıra eştlerse parametre tahmler sırasıyla, ( r) r pˆ + kˆ (6.8) ( r) β ˆ ˆ + k (6.83) r ( kˆ )( r) β ˆ + (6.84) r olarak buluur. Burada, r j j,. (6.85) r k ˆ (6.86) qˆ + ep pˆ ˆ ˆ β β şekldedr..durum: Alt ktle parametreler görel büyüklüğü bls. özel durumu ç maksmum lkelhood tahmler, β β β r pˆ (6.87) r ( r) r + r + β ˆ (6.88) r şekldedr. Geel olarak, tahmler elde etmek ç.durumu kullamak zoruludur. Fakat, β ˆ βˆ ke β β se veya, β ˆ βˆ ke β β se. duruma at tahmler kullaılır (Johso ve ark. 994). 49

166 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ver modellemede esek br yol olarak, br dağılımı yeterl olmadığı durumlarda uygulaa solu karma dağılım modellere ek olarak, bu bölümde dğer karma dağılım model ya da karıştırılmış (med) dağılım model celeecektr. 7.. Güvelrlk Aalzde Kullaıla Dğer Karma Dağılım Modeller Br ekpmaı güvelrlğ, matematksel olarak yaşam süres dağılımı olarak ble br olasılık dağılımıa göre fade edlr. Br ekpmaı yaşam süres e y şeklde taımlaya dağılım model e az br blmeye parametreye bağlıdır. Brçok durumda, belrl br ada br chazı başarısızlığıda sorumlu (tek başıa veya kolektf etkl) brkaç rastgele fzksel ede olablr. Bu durumda, varsayıla yaşam süres dağılımı tarafıda çerle parametre blmeye br olasılık dağılımıa göre davraa br rastgele değşke olduğu düşüülür. Öreğ, parçalar koturollü koşullar altıda mal edlse ble parçaları yaşam süres dağılım parametres, br parçada dğere veya br kısım parçada dğer kısma rastgele değştğ görülmektedr. Ya br kutuda brkaç grup chaz varsa ve yaşam süres dağılım parametres br grupta dğere rastgele değşyorsa, rastgele seçle br parçaı yaşam süres dağılım foksyou, rastgele parametre değere bağlıdır (Padgett ve Tsokos 979). TANIM 7.. φ ( ;λ) parametrk ales alısı. Burada ve λ rastgele değşkelerdr. X rastgele değşkee lşk olasılık yoğuluk foksyou λ rastgele parametrese bağlıdır. G ( λ), Λ taım kümesde λ rastgele parametres brkml dağılım foksyoudur. Bu durumda karıştırılmış (med) dağılım model olasılık yoğuluk foksyou Λ φ ( λ) dg( λ) ; (7.) şeklde taımlaır. Burada G ( λ) ya ağırlık dağılımı da der (Douglas 980). 50

167 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN ÖRNEK 7.. X, web suucusuu hzmet süres, Y, ulaşa talep sayısıı göstere rastgele değşkeler olsu. X rastgele değşke, ( ) µ ( ) f ep µ 0 (7.) olasılık yoğuluk foksyoua sahp olsu. X belrl br değer ç Y rastgele değşke, p ( y/ ) y ( λ) ep( λ) y 0,,... λ 0 (7.3) y! Posso olasılık foksyoua sahp olsu. Burada ( y) p( y ) f ( ) P Y 0 y ( λ) ep( λ) / d µ ep( µ )d y! 0 y µλ y! 0 y ep ( λ µ ) d (7.4) elde edlr. (7.4) dek eştlkte ( λ + µ ) u ve ( + µ ) d du değşke değştrme yapılırsa, y λ olacak şeklde y µλ ρ P ( Y y) (7.5) y+ ( µ + λ) + ρ + ρ buluur. Burada, λ ρ (7.6) µ dür. Böylece, Y rastgele değşke ρ ortalamalı geometrk dağılıma sahptr (Trved 006). 5

168 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN TANIM 7.. f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl tptek br X rastgele değşke g ( z) le gösterle olasılık çıkara foksyou, ( z) E( z ) g (7.7) şekldedr (Douglas 980). TANIM 7.3. X rastgele değşkee at olasılık çıkara foksyou γ ( z ;λ) olsu. λ sürekl tpte br rastgele değşke olsu. G ( λ), Λ taım kümesde taımlı olmak üzere λ ı brkml dağılım foksyou olsu. Bu durumda karıştırılmış dağılımı olasılık çıkara foksyou, Λ γ ( λ) dg( λ) z; (7.8) şekldedr. λ, g ( λ) olasılık foksyoua sahp keskl tpte br rastgele değşke se olasılık çıkara foksyou, ( z λ) g( λ) γ ; (7.9) λ olur (Douglas 980). ÖRNEK 7.. λ ortalamalı Posso dağılımıı olasılık foksyou ve olasılık çıkara foksyou sırasıyla, f ( ) ep( λ) ( )! λ (7.0) ve 0 0 ( λz) ( ) ( ) ( ) λ γ z; λ z ep λ ep( λ) ep( λ + λz) (7.)!! 5

169 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN şekldedr. λ, Gama dağılımıa sahp olsu. Öyleyse olasılık yoğuluk foksyou, κ g κ λ 0 ( λ) ρ Γ ( κ ) λ ep ρ şekldedr. Ayrıca Γ( ) ( κ )! çıkara foksyou, ( z λ) ep( λ λz) λ, ρ 0, κ 0 (7.) κ dr. Böylece karıştırılmış dağılımı olasılık γ ; + (7.3) ve dg ( λ) κ ρ λ κ ep λ dλ (7.4) Γ( κ) ρ eştlklerde yararlaılarak, ( λ + λz) dg( λ) ( γ ρz) κ ep (7.5) olarak buluur (Douglas 980). 7.. Güvelrlk Aalzde Kullaıla Bleşk Dağılım Modeller 7... Rastgele Termler Toplamı Değşkeler brleştrme yollarıda br, toplamlarıı dağılımıı hesaplamaktır. X ve X, dağılımları ble rastgele değşkeler olmak üzere w rastgele değşke w X + X (7.6) olarak taımlası. X ve X ; 0,,,... keskl değerler alsı. Bu durumda, 53

170 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN P ( X + X w) P( X ) P( X w) + P( X ) P( X w ) w w 0 P + w P ( X ) P( X ) ( X ) P( X w ) P ( X + X w X ) P( X ) / ( X w ) P( X ) ( X w) P( 0) + P X P (7.7) eştlkler yazılablr. X ve X rastgele değşkelere at olasılık çıkara foksyoları sırasıyla g ( z) ve ( z) g g olmak üzere, ( ) ( ) ( ) ( ) z g z z P X z P X elde edlr. Böylece, ( z) ( z) g ( z) g ( z) g w ( X ) P( X ) + z P ( X ) P( X ) P z w (7.8) g w, X + X değşke olasılık çıkara foksyou se, (7.9) şekldedr. Bu fade tae rastgele değşke toplamıa geelleştrleblr., X X ; sırasıyla g ( z), g ( z),..., g ( z) X,..., brbrde bağımsız rastgele değşkeler se dağılımıa at olasılık çıkara foksyo, ( z) g ( z)... g ( z) olasılık çıkara foksyolarıa sahp X + + X +... X değşke g (7.0) şekldedr. Yukarıda, S X + X X (7.) 54

171 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN fades ç ble br sayı olduğuda ve bağımsız rastgele değşkeler olasılık çıkara foksyoları bldğde, olasılık dağılımıı belrleebleceğ görülmektedr. S ç olasılık dağılımıı bulmak, yumurta kümesde gözlee toplam yumurta sayısıı olasılık dağılımıı bulmak olarak düşüüleblr. Burada her br küme dağılımı blmektedr. Buula brlkte, yumurta kümeler sayısı N, her br X de bağımsız, ( N ) değşke olduğu düşüces le, P olasılık foksyoua sahp br rastgele S N X + X X N (7.) olmak üzere, P ( S s) P( S s N ) P( N ) N / ( S s) P( N ) P (7.3) eştlğ yazılır. S N ç olasılık çıkara foksyo, h 0 ( z) z P( S 0) + zp( S ) + z P( S )... N N N ( S s) s z P s N ( S s) P( N ) s P s z (7.4) şekldedr. g ( z) ; N e at olasılık çıkara foksyou se, g ( z) z P( N ) (7.5) dr. f ( z) ; her br X ç olasılık çıkara foksyou se, f ( z) z P( X ) (7.6) dr. Böylece S X X + X ç olasılık çıkara foksyou, 55

172 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN ( S s) [ f ( z) ] s z P (7.7) s yardımıyla S N ç olasılık çıkara foksyo, [ f ( z) ] P( N ) (7.8) olarak buluur (Douglas 980, Feller 968). TANIM 7.4. M br stokastk sayı olsu. k,,..., M olmak üzere Y k stokastk değşkeler W M Y k k şeklde toplası. Bu durumda W u olasılık foksyou, 0 ( w) f( w/ ) h (7.9) g şeklde taımlaır ve W stokastk değşke bleşk (compoud) dağılıma sahptr der. Burada ( w ) Y k k f /, M ke toplamı ç yoğuluk, olasılıktır (Grubbström ve Tag 006). M 0 ke W 0 dır. g, M ç Bleşk (compoud) dağılıma örek olarak br depoda talepler düşüüleblr. Öylek, müşter sayısı ve her br müşter tarafıda yapıla talep mktarı bağımsız brer rastgele değşkedr (Grubbström ve Tag 006). M, talepler sayısıı; Y,. taleb mktarıı ve W, toplam talep mktarıı gösters. Olasılık foksyou yardımıyla, dağılım foksyou, 0 ( w) PW ( w) g F( w/ ) H (7.30) şekldedr. Burada ( w ) foksyou se, F /, M ke W ç dağılım foksyoudur. Güvelrlk 56

173 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN 0 ( w) PW ( w) g R( w/ ) R (7.3) olarak buluur. Burada ( w ) R /, M ke W ç güvelrlk foksyoudur. Böylece güvelrlk foksyou, toplam talep mktarıı belrl br mktarı aşması olasılığıdır (Ca 998). ÖRNEK 7.3. Br aledek çocuk sayısı µ ortalamalı Posso dağılımıa sahp X rastgele değşke olsu. Ya P( X r) ( ) r ep µ µ ve r 0,,,... olur. r! Br çocuğu erkek olması olasılığı p olsu. Rastgele seçle br aledek erkek çocuk sayısı Y rastgele değşke olmak üzere, Y rastgele değşke dağılımı stemektedr.,..., X ve I Beroll rastgele değşke olmak üzere ( I ) p P( I ) p q P 0 olur. Y I I X, j 0,,... olacak şeklde P ( Y j) fades bulmak gerekmektedr. ( Y j) P, P ( Y j) P( X ) P( Y j/ X ) 0 µ ep( µ ) 0! j p q j j j j j ( µ ) µ p ( q) j! ( j) ep µ j ( µ )( µ p) j ( µ q) ep + µ q j!! ( µ )( ) ep µp j ep µ j! ( ) ( µ p µ p ) j ( q)! ep (7.3) j! olarak elde edlr. 57

174 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN Böylece Y rastgele değşke µ p ortalamalı Posso dağılımıa sahp olduğu buluur (Joaes 000) Stadart Gama Dağılımı Bu bölümde k tae stadart üstel dağılıma sahp rastgele değşkeler toplamı olarak stadart gama dağılımı celeecektr. TANIM 7.5. X,...,, X X k herbr stadart üstel dağılıma sahp bağımsız ve özdeş dağıla rastgele değşkeler olsu. Y k X rastgele değşke, f k ( ) ep( ) Γ ( k) 0 k 0 (7.33) olasılık yoğuluk foksyou le k parametrel stadart gama dağılımıa sahptr. Bu dağılıma lşk dağılım foksyou, momet çıkara foksyou, beklee değer, varyas ve mod sırasıyla F M ( ) ( k; ) ( k) Γ (7.34) Γ ( t) ( t) k t (7.35) E ( X ) k (7.36) Var ( X ) k (7.37) ve mod k k (7.38) şekldedr (Patl ve ark. 984). 58

175 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN Bleşk Posso Dağılımı N, X,..., λ t ortalamalı Posso dağılımıa sahp br rastgele değşke olsu., X, X 3 X N özdeş dağılıma sahp bağımsız rastgele değşkeler olsular. Bu rastgele değşkeler ayı zamada N de de bağımsızdırlar. Böylece (7.) dek eştlk le verle P S N, ( S s) P( S s) P( N ) N ep ( t) ( λt) 0! ( S s) λ P (7.39) olasılık foksyou ve [ f ( z) ] P( N ) ( λt) ( λtf ( z) ) ( λt λtf () z ) ep + ep (7.40)! olasılık çıkara foksyouyla bleşk (compoud) Posso dağılımıa sahptr. Burada ( z) f,,,..., N olmak üzere her br X ç olasılık çıkara foksyodur. Belrl br t zama aralığıda, yıldırım çarpması sayısı λ t ortalamalı Posso dağılımıa sahptr. Bu zama aralığıda yıldırımları ede olduğu toplam zarar se bleşk (compoud) Posso dağılımıa sahptr (Kapada ve ark. 005). N, t uzuluktak zama aralığıda, gerçekleşe kozmk ışı sağağı sayısı λ t ortalamalı Posso dağılıma sahp olduğu varsayılır. Brde fazla sayaç olduğu düşüülsü. Burada herhag br sayaç ç (sağak) kayıt sayısı br rastgele değşkedr. t zama aralığıda, toplam kayıt sayısı (compoud) Posso dağılımıa sahptr. S N rastgele değşke, bleşk X,. kazaya dahl ola otomobller sayısı olsu. Kaza sayısı ola N, Posso dağılımıa sahp br rastgele değşkedr. Kazalara dahl ola toplam otomobl sayısı sahptr (Feller 968). X + + X +... X N se bleşk (compoud) Posso dağılımıa 59

176 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN Bleşk Posso Sürec { N( t) t T} TANIM 7.6. Br stokastk süreç { ( t), t 0}, br rastgele değşke topluluğudur ve her T değşkedr.) N ( t), [,t] N olsu. (Br stokastk süreç t ç ( t) N br rastgele 0 aralığıda gerçekleşe olayları sayısıı gösteryorsa bu br sayma sürecdr. N ( t) aşağıdak koşulları sağlamalıdır.. N ( t) 0.. N ( t), her t değer ç tamsayıdır.. v. s t se N( s) N( t) dr. s t ç ( t) N( s) N, ( t) s, aralığıda gerçekleşe olayları sayısıdır. Ayrık zama aralıklarıda gerçekleşe olayları sayısı bağımsız se, sayma sürec bağımsız artışlara sahp olduğu söyler (Ross 997). TANIM 7.7. Br sayma sürec ola { ( t), t 0} sağladığıda λ oraı le br Posso sürecdr.. N ( 0 ) 0 N aşağıdak koşulları. İk ayrık alt aralıkta gerçekleşe olayları sayısı, bağımsız rastgele değşkelerdr.. t uzulukta herhag br aralıkta gerçekleşe olayları sayısı, (7.4) dek λ t ortalamalı Posso dağılımıa sahptr (Ross 997). P { N( t s) N() s } ( λt)( λt) ep + 0,,... s, t 0 (7.4)! TANIM 7.8. Br stokastk süreç ola { ( t), t 0} Y, Y () t ( t ) N D (7.4) şeklde se bleşk (compoud) Posso sürecdr. Burada { ( t), t 0} sürecdr. {,,,... } N br Posso D bağımsızdırlar ve özdeş dağılırlar. Ayı zamada herbr 60

177 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN { N ( t), t 0} de de bağımsızdır. ( t) Y rastgele değşke, bleşk (compoud) Posso rastgele değşkedr. Öreğ br markette müşterler Posso sürece göre ayrılsı. D,. müşter yaptığı ödeme mktarıı gösters. Müşterler tarafıda yapıla ödeme mktarları bağımsız ve özdeş dağılmaktadır. Y ( t), t zamaıa kadar yapıla ödemeler toplamıı gösteryorsa, { ( t), t 0} (Ross 997). Y bleşk (compoud) Posso sürecdr Bleşk Posso Sürec Özellkler. Koşullu beklee değer yardımıyla bleşk (compoud) Posso sürec beklee değer, E ( Y( t) ) E( E( Y( t) N( t) )) E( N( t) E( D )) E( N( t) ) E( D ) λte( D ) / (7.43) olarak hesaplaır.. Bleşk (compoud) Posso sürec varyası, ( Y ( t) ) E( Var( Y ( t) / N( t) )) + Var( E( Y ( t) N( t) )) Var / ( N( t) Var( D )) Var( N( t) E( )) E + Var Var D ( D ) E( N( t) ) + ( E( D )) Var( N( t) ) ( D ) λt + ( E( D )) λt ( Var( D ) ( E( )) ) λ t + te( ) D D λ (7.44) olarak elde edlr. Bu hesaplamalar yapılırke toplam varyas kuralıda yararlaılmıştır. 3. Bleşk (compoud) Posso sürec momet çıkara foksyou, ( Y ( t) ) P( Y ( t) N( t) ) P( N( t) ) P / (7.45) toplam olasılık kuralı kullaılarak, 6

178 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN E ( ep ( sy )) ep( s) P( Y ( t) ) ( s ) P( Y ( t) / N( t) ) P( N( t) ) ep ( N( t) ) ( s) P( Y ( t) N( t) ) P ep ( N( t) ) ( s) P( D + D + + D ) P ep... ( N( t) ) M D ( s) ( ) P ( N ( t ) ) ep l M D ( s ) P M () t ( l( M D ( s) ) ( t( M ( ) ) N ( ( ) ep λ s (7.46) D şeklde hesaplaır (Wkpeda 007) Bleşk Negatf Bom Dağılımı N ; p, q ve r parametreler le egatf bom dağılıma sahp br rastgele değşke olsu. X,...,, X, X 3 X N özdeş dağılıma sahp bağımsız rastgele değşkeler olsu. Bu rastgele değşkeler ayı zamada N de de bağımsızdırlar. Böylece, Y N X (7.47) ç olasılık dağılımı, bleşk (compoud) egatf bom dağılımıdır. N 0 se Y 0 dır (Wkpeda 007) Geelleştrlmş Dağılım TANIM 7.9. X ve X sırasıyla g ( z), ( z) foksyolarıa sahp bağımsız rastgele değşkeler olsu. ( g ( z) ) g olasılık çıkara g olasılık çıkara 6

179 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN foksyoua sahp X rastgele değşke, X tarafıda geelleştrlmş X rastgele değşke olarak adladırılır. X rastgele değşke dağılımı, geelleştrlmş dağılımdır (Patl ve ark. 984) Posso-Bom Dağılımı λ, ve p parametrel Posso-bom dağılımı: ve p parametrel bom dağılımı tarafıda λ parametrel Posso dağılımıı geelleştrlmes soucu elde edlr. Bu dağılım ayı zamada λ parametrel Posso dağılımıa sahp y üzere, y ve p parametreler le bom dağılımıı karıştırılmış dağılımdır. Posso- Bom dağılımıı olasılık foksyou P ( ) ( ) ep j j j λ j p q 0 j! 0,,,.. λ 0 λ,,... (7.48) dr. Burada 0 p ve q p dr. Bu dağılıma lşk ortalama ve varyas sırasıyla µ λp (7.49) ve ( p + q) ( p q) σ λp µ + (7.50) şekldedr (Patl ve ark. 984). Geelleştrlmş dağılım taımıda yararlaarak bu dağılımı olasılık çıkara foksyou hesaplaacaktır. Buu ç öcelkle Posso ve bom dağılımlarıa at olasılık çıkara foksyoları bulumalıdır. Posso dağılımıa lşk olasılık çıkara foksyou (7.) dek eştlkte, ( z λ) ep( λ λz) γ ; + (7.5) 63

180 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Ayça Hatce TÜRKAN olarak bulumuştu. Bu olasılık çıkara foksyou geelleştrlmş dağılım taımıda faydalaarak ışığı altıda g ( z), bom dağılımıı olasılık çıkara foksyouu se g ( z) olarak adladırılır. Bom dağılımı ç olasılık çıkara foksyouu, ( a + b) 0 a b (7.5) eştlğ yardımıyla, g () z E( z ) z p q ( q + pz) (7.53) 0 olarak elde edlr. Böylece posso bom dağılımıı olasılık çıkara foksyou, ( ) ( g ( z) ) g ( q + pz) ep λ + λ( q pz) g + (7.54) olarak buluur. 64

181 8. YÜK-MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 8. YÜK MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Bölümde k yük mukavemet güvelrlk modellerde kullaıla bazı statstksel dağılımlar celeecektr. 8.. Yük Mukavemet Güvelrlk Model I Brçok güvelrlk mühedslğ uygulamasıda e uç koşullar altıda br ekpmaı parçasıı ya da keds sağ kalım yeteeğ blgse gereksm duyulur. Mekak br yapı ç, yapıı darbe ya da ttreşm gb dış yüklemelere veya ç gerlme dayama olasılığı le lglelr. Elektrok br ekpmaı, güç sağlayıcısıı voltaj sıçramalarıyla veya syal grdlerdek öeml değşklklere dayama olasılığıyla lgleleblr. Sstem mukavemet ble br k sabt, ssteme uygulaa yük se f ( ) olasılık yoğuluk foksyolu, F ( ) dağılım foksyolu X rastgele değşke olsu. Böylece sstem güvelrlğ, yükü mukavemet aşmaması olasılığıdır. Bu da, R k 0 f ( ) d F ( k) (8.) eştlğ le fade edlr. Bu duruma lşk güvelrlk Şekl 8.. le gösterlmştr. Şekl 8.. Rastgele yük ve sabt mukavemet durumuda bleşe güvelrlğ (Ebelg 997). 65

182 8. YÜK-MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Ssteme uygulaa yük ble br s sabt, sstem mukavemet se f y ( y) olasılık yoğuluk foksyolu, F y ( y) dağılım foksyolu Y rastgele değşke olsu. Böylece sstem güvelrlğ, mukavemet sabt yükü aşması olasılığıdır. Bu da, ( s) f ( y) dy F () s R P Y (8.) s y y eştlğ le fade edlr. Bu duruma lşk güvelrlk Şekl 8.. le gösterlmştr. Şekl 8.. Rastgele mukavemet ve sabt yük durumuda bleşe güvelrlğ (Ebelg 997). Geel olarak mukavemet Y ve yük X rastgeledr. İlk herhag br tekolojk şlem büyesel değşkelğ edeyle rastgeledr. İkcs se doğal br yolda rastgeledr. Çükü yük çevresel faktörlere bağlıdır. Y ve X rastgele değşkeler sırasıyla f ( ) ve f y ( y) olasılık yoğuluk foksyolu, ( ) F ve F y ( y) dağılım foksyolu olsu. Sstem başarılı br bçmde çalışma olasılığı ya güvelrlğ araştırılsı. Burada güvelrlk, yükü mukavemette az olması olasılığı ya da mukavemet yükte büyük olması olasılığıdır. Bu durumda güvelrlk, R P 0 y ( X Y ) f ( ) d f ( y)dy ( y) f ( y) 0 0 y F y dy (8.3) 66

183 8. YÜK-MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN şeklde yazılablr. Bu duruma lşk güvelrlk Şekl 8.3. le gösterlmştr. Şekl 8.3. Rastgele mukavemet ve rastgele yük durumuda bleşe güvelrlğ (Ebelg 997). X ve Y bağımsız rastgele değşkeler olduklarıda Z Y X olacak şeklde ye br rastgele değşke taımlaablr. Böylece güvelrlk ç yukardak göstermlere ek olarak, ( X ) P( Y X 0) P( 0) R P Y Z (8.4) fades de kullaılablr (Gedeko ve Ushakov 995, Ebelg 997) Bazı Özel Durumlar Yük-mukavemet güvelrlk modeller ç kullaıla bazı statstksel dağılım modeller celeecektr Normal Dağılım Durumu X rastgele değşke; µ ortalamalı ve σ stadart sapmalı ormal dağılıma sahp olsu. Y rastgele değşke se µ y ortalamalı ve σ y stadart sapmalı ormal dağılıma sahp olsu. değşke ortalaması, Z X Y rastgele değşke düşüülsü. Bu rastgele ( Z ) µ y E µ (8.5) 67

184 8. YÜK-MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 68 ve stadart sapması, y z σ σ σ + (8.6) şekldedr. Böylece güvelrlk, ( ) ( ) + 0 y y z z Z P Z P R σ σ µ µ σ µ ( ) + Φ + y y y y z z Z P σ σ µ µ σ σ µ µ σ µ (8.7) olarak buluur (Gedeko ve Ushakov 995, Ebelg 997) Üstel Dağılım Durumu X ve Y sırasıyla µ ve y µ ortalamalı üstel dağılıma sahp rastgele değşkeler olsu. Bu durumda güvelrlk, dy y d R y y y µ µ µ µ ep ep ep ep dy y y y y µ µ µ dy y dy y y y y y + µ µ µ µ µ ep ep ep y y y y µ µ µ µ µ

185 8. YÜK-MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 69 y y y y y R µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ (8.8) olarak elde edlr (Gedeko ve Ushakov 995, Ebelg 997) Üstel ve Normal Dağılım Durumu X, λ ortalamalı üstel dağılıma sahp rastgele değşke olsu. Y rastgele değşke se y µ ortalamalı ve y σ stadart sapmalı ormal dağılıma sahp olsu. Böylece güvelrlk, ( ) [ ] 0 ep ep dy y y R y y y λ σ µ π σ 0 ep dy y y y y σ µ π σ ( ) 0 ep ep dy y y y y y λ σ µ π σ (8.9) şekldedr. Burada, ( ) ( ) [ ] y y y y y y y y y y y λσ σ λµ λσ µ σ λ σ µ + + (8.0) eştlğ kullaılarak, Φ y y R σ µ ( ) [ ] dy y y y y y y y y ep σ λ σ λµ λσ µ σ π σ (8.)

186 8. YÜK-MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 70 elde edlr. ( ) y y y y t λσ µ σ + ve dy dt y σ olacak şeklde değşke değştrme yapıldığıda, ( ) dt t R y y y y y y y + Φ σ λσ µ σ λ λ µ π σ µ ep ep ( ) Φ Φ y y y y y y y σ λσ µ σ λ λ µ σ µ ep (8.) elde edlr. Mukavemet y µ, 0 oktasıda çok uzakta bulumalıdır. Buu alamı >> λ µ y dr. Bu durumda, R ( ) Φ y y y y y σ λσ µ σ λ λ µ ep (8.3) olur. Ayrıca y λσ küçüktür. Bu da R ç ( ) ep y y R σ λ λ µ (8.4) fades yazmaya olaak sağlar (Gedeko ve Ushakov 995). 8.. Yük Mukavemet Güvelrlk Model II Nadarajah ve Kotz (006a), Y rastgele değşke le rastgele mukavemet ve X rastgele değşke le rastgele yükü gösterdkler çalışmalarıda bleşe güvelrlk ölçümü olarak, ( ) Y X P R (8.5) formuu kullamışlardır.

187 8. YÜK-MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Katı yakıtlı roketler yapısı celes. Br katı yakıtlı roket, temel olarak roket dış kabuğuu oluştura yama odası, hareket ettrc yakıt yükü, yakıtı ateşleyc aygıt ve yamayı durdurucu br aygıtta oluşur. Hareket ettrc yakıtı yaması, roket arkasıdak br memede hızla püskürtüle gazları oluşturur. Gazlar hızlı üretldğde, yama odasıda yüksek basıçlarla brkrler; bu yüzde, yama odası bu basıca dayaacak sağlamlıkta olmalıdır. Yama odası geellkle çelkte, ttayumda ya da alümyum alaşımlarda yapılır. Küçük roketlerde yama odası baze plastkle güçledrlmş cam elyafıda yapılır. Yama odasıı tasarımı öemldr. Öreğ, yama olayıı yalış hesaplamasıyla çok fazla basıç doğarsa, oda patlayıp roket parçalayablr. Burada, Y rastgele değşke le yama odasıı sağlamlığı, X rastgele değşke le yama odasıdak maksmum basıç fade edlr (Blm ve Yaşam Asklopeds 007). Rulma yatakları döel br şaft ekse ç yük desteğ sağlamak üzere kullaıla motel br yatak bçmdr. Yatak mahfazası şaft eksee paralel br yüzeye mote edlr. Uygu yatak seçm; şaft boyutua, radyal ve tme yükü gereksmlere göre yapılır. Rulma yatakları, şaftı desteklemek ç tasarlamıştır. Motaj yüzey, şaft ekse le paralel br hat üzerdedr. Üte tabaıda veya ayaklarıdak uzatılmış cvata delkler rulma yatağıı ayarlamasıa ve kolay motajıa olaak sağlar. Orjal veya değştrle yatak seçlrke, rulma yataklarıı bazı ebatları ve ölçümler krtk öem taşır. Şaft çapı, yatak ütes karşılık gele uygu delk boyutları le eşleştrlr. Şafta uygu boyutta üte seçlrse yatak şaft üzerde ve pozsyou çerse kolaylıkla kayacak ve kltleme aygıtı vasıtası le sabtlemeye hazır hale gelecektr. Burada, Y rastgele değşke le rulma yatağıı çapı, X rastgele değşke le şaftı çapı gösterlrse güvelrlk, ara kesşm oktası olmada şaftı ml yatağıa uymasıdır (Emyet Rulma 005). X ve Y, k elektrok chazı yaşam süreler gösters. Bu durumda yukarıda taımlaa R, br chazı dğerde daha öce başarısız olması olasılığıdır. Nadarajah ve Kotz (006a), ( X, Y ) f ortak olasılık yoğuluk foksyolu k değşkel üstel dağılıma sahp olduğuu varsaymışlar ve güvelrlğ, 7

188 8. YÜK-MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 0 (, y) R f dyd (8.6) olarak hesaplamışlardır Freud u İk Değşkel Üstel Dağılım Durumu Freud (96), k değşkel üstel dağılıma lşk ortak olasılık yoğuluk foksyouu, 0, y 0, α 0, α 0, β 0, ve β 0 olmak üzere f (, y) α β ep α β ep { β y ( α + α β ) } { β ( α + α β ) y} y y (8.7) eştlğ le vermştr. Bu dağılımda X ve Y, k bleşee at yaşam süreler göstermektedr. X ve Y yaşam süreler, sırasıyla α ve α parametrel bağımsız üstel dağılıma sahptr. Burada bleşeler arasıda br bağımlılık vardır. Br bleşe başarısızlığı dğer bleşe yaşam süres dağılımıı parametres değştrmektedr. Brc bleşe başarısızlığa uğrarsa Y ç parametre β olarak, kc bleşe başarısızlığa uğrarsa X ç parametre β olarak değşmektedr. X ve Y ç marjal olasılık yoğuluk foksyoları üstel değldr. Bu foksyolar karma üstel dağılım formudadır. X ve Y ç marjal olasılık yoğuluk foksyoları sırasıyla, (8.8) ( ) [( α β )( α + α ) ep{ ( α + α ) } + β α ep( β )] f α + α β (8.9) ( y) [( α β )( α + α ) ep{ ( α + α ) y} + β α ep( β y) f α + α β eştlkler le verlr. Güvelrlk, 0 { β y ( α + α ) }dyd R α β ep β 7

189 8. YÜK-MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN { ( α ) }d R α ep + α 0 α α + α (8.0) şekldedr (Nadarajah ve Kotz 006a) Marshall ve Olk İk Değşkel Üstel Dağılım Durumu Marshall ve Olk (967), k değşkel üstel dağılıma lşk ortak olasılık yoğuluk foksyouu, 0, y 0, θ 0, θ 0 ve θ 0 olmak üzere 3 f (, y) θ θ ( θ + θ 3 ) ep{ θ ( θ + θ3 ) y} ( θ + θ 3 ) ep{ θ y ( θ + θ 3 ) } θ ep{ ( θ + θ + θ ) y} 3 3 y y y (8.) eştlğ le vermşlerdr. Bu dağılımda X ve Y, k bleşee at yaşam süreler göstermektedr. Bu bleşeler üç tp şoka maruz kalmaktadırlar. Bu şoklar θ, θ ve θ 3 parametrel Posso süreçler tarafıda yöetlmektedr. Şoku sadece. bleşee uygulamasıa lşk parametre θ, şoku sadece. bleşee uygulamasıa lşk parametre θ ve şoku. ve. bleşelere uygulamasıa lşk parametre θ 3 dür. X ve Y marjal olasılık yoğuluk foksyoları sırasıyla θ + θ 3 ve θ + θ 3 parametrel üstel dağılımlardır. Güvelrlk, 0 ( θ + θ ) { θ ( θ + θ ) y} R θ 3 ep 0 { ( θ + θ + θ ) } θ ep 3 d θ + θ 3 3 dyd (8.) θ + θ şekldedr (Nadarajah ve Kotz 006a). 73

190 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Güümüzde her alada kullaımı yaygılaşa blgsayarlar, doaım ve yazılım elemalarıı ş brlğ le çalışırlar. Blgsayarı gözle görülüp elle dokuulabldğ yapı elemaları topluluğu, doaımı oluşturur. Doaım elemalarıa örek olarak klavye, motör ve sabt dsk verleblr. Blgsayarda kullaıla her türlü program se yazılım olarak adladırılır. Yazılım gözle görülmez, blgsayarda çalıştırıldığı zama grş ve çıkış brmlerde görüleblr. Yazılımlar değşk ortamlara kaydedlmş, blgsayarı çalışmasıı yöledre, verler özel amaçlar doğrultusuda değerledrlmes sağlaya sayısal kodlardır (Kesc ve Kocabaş 006). 9.. Doaım Güvelrlğ ç Küvet Eğrs Doaım güvelrlğ ç küvet eğrs, Şekl 9. de verlmştr. Bu şekl le lgl ayrıtılı açıklamalar daha öce 3. bölümde verlmşt. Alık hata oraı h(t) 0 Zama t Şekl 9.. Doaım güvelrlğ ç küvet eğrs (Pa 999). 74

191 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 9.. Yazılım Güvelrlğ ç Küvet Eğrs Yazılım güvelrlğ ç olası eğr se Şekl 9. de verlmştr. Doaım ve yazılım eğrler arasıda k temel farklılık vardır. So safhaları celedğde yazılımı doaım gb arta hata oraıa sahp olmadığı görülür. Bu safhada yazılım eskmeye başlar. Hata oraı değşmez. İkc farklılık yararlı ömür safhasıdadır. Bu safhada se yazılım hata oraıda güçlü artışlar olur. Hata oraı sevyeler aşamalıdır. Buu ede hatalar/kusurlar buluur ve düzeltlr. Bu edele de artış sorası sabtleme durumu vardır. Şekl 9.. Yazılım güvelrlğ ç küvet eğrs (Pa 999) Doaım Yazılım İlşks Doaım ve yazılım özellkler karşılaştırmalı olarak Tablo 9. de verlmşr. 75

192 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Tablo 9.. Doaım ve Yazılım Özellkler Karşılaştırılması (Ireso ve ark. 996) Doaım Başarısızlıklar (falures), tasarımı, üretm, kullaımı ve bakımı eksklkler soucu olablr. Yazılım Başarısızlıklar, öcelkle tasarım kusurlarıda (faults) kayaklaır. Tamrler, başarısızlıklara ede ola koşullara karşı sağlamlık kazamak açısıda tasarımı düzelemesyle gerçekleştrlr. Başarısızlıklar, yıpramaya bağlı olarak gerçekleşeblr. Baze başarısızlıklar gerçekleşmede öce uyarı gelr. Yıprama olgusu söz kousu değldr. Yazılım başarısızlıkları uyarı vermede gerçekleşr. Tamr, ekpmaları daha güvelr hale getreblr. Güvelrlk, hata oraıı azaldığı, arttığı ya da sabt olduğu yaşam peryodlarıa bağlıdır. Güvelrlk zamala lşkldr. Başarısızlıklar, çalışma (veya depolama) süres br foksyou olarak gerçekleşr. Güvelrlk sıcaklık, ttreşm, em gb çevresel faktörlere bağlıdır. Güvelrlk tasarım, kullaım ve çevresel stres faktörler blglerde teorde tahm edleblr. Güvelrlk geellkle fazlalık sağlaarak gelştrlr. Tamr durumu yoktur. Tek çözüm yede programlamadır. Güvelrlk zamaa bağımlı değldr. Güvelrlk gelşm zamada etkleeblr fakat bu şleme süres lşks değldr. Daha doğrusu kusurları (errors) bulmak ve düzeltmek yüzüde kodu güvelrlk gelşm br foksyoudur. Güvelrlk zamala lşkl değldr. Başarısızlıklar, br program basamağıda ya da yoluda başarısızlığa ede ola kusurlar çerldğde gerçekleşr. Dış çevre program grdler etklemedğ sürece güvelrlğ etklemez. Güvelrlk herhag br fzksel esasta tahm edlemez. Çükü tamame tasarım aşamasıda sa faktörüe bağlıdır. Paralel program yolları özdeş se fazlalık güvelrlğ gelştrmez. Öreğ, br yol başarısızlığa uğrarsa, dğer yollarda da ayı soru ortaya çıkacaktır. Ya, özdeş yazılım bleşeler kullaımı yazılım güvelrlğ gelştrmez. Acak herbr farklı takım tarafıda yazıla ve kotrol edle farklı 76

193 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN programlara sahp yedek durumuda paralel yollar, güvelrlğ gelştrr. Başarısızlıklar, br örekte br sstem Ayrık komutları aalzde başarısızlıklar bleşelerde gerçekleşeblr. Güvelrlk adre tahm edlr. Kusurlar, programı krtk lsteler, yüksek rsktek chazları çde rastgele var olmaktadır. Herhag br taımlamak ç kullaışlıdır. komut kusurlu olablr. Güvelrlk krtk lsteler uygu/sabetl değldr. Doaım ara yüzler görseldr. Yazılım arayüzler görselde çok kavramsaldır. Doaım ürüler, temel yapı taşı olarak Yazılımda stadart parça yoktur. stadart bleşeler kullaırlar. Stadartlaşmış matık yapıları vardır. Ya kısıtlı mktarda yazılımı yede kullaımı söz kousudur. Doaım ve yazılım brbrde farklı oldukları halde doaım güvelrlk modellemesde kullaıla matematğe, yazılım güvelrlk modellemesde de başvurulur. Doaım ve yazılım güvelrlk mühedslğ brçok kavram ve brçok matematksel ve statstksel alatıma sahptr. Br bleşe ya da br sstem gelecektek davraışıı tahm etmek amacıyla geçmş hata verler modellemek ç matematk ve statstğe başvurulur. Doaım güvelrlk modellemesde kullaıla temel statstksel dağılımlar üstel, gama, Webull, bom, Posso, ormal, logormal, Bayes ve Markov dağılımlarıı çerr. Bu dağılımları kullamak ç sstemler hatalarıda toplaa verler, maksmum lkelhood veya e küçük kareler tahmler gb yötemlerle uyumlu olmalıdır. Uyumu ylğ, k-kare gb statstksel yötemler kullaılarak doğrulamalıdır. Elektrok ve mekak sstemler, zamala kötüleşme eğlmdedr. Bu güvelrlk dağılımları değşke olarak zamaa bağlıdır (Wallace ve Colema 00) Yazılım Güvelrlk Mühedslğ Öeml Kavramları Yazılım güvelrlğ belrl br zamada, taımlı çevresel koşullar altıda, yazılımı başarısızlığa uğramaksızı şlev yere getrme olasılığı olarak taımlaır. 77

194 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Bazı grd verler ç çıktı souçları doğru değlse, yazılım kusur (fault) çeryor der. Kusur her zama yazılımda buluablr ve yazılımı hatalı kısmıı düzeltlmesyle ortada kaldırılır. Geel olarak kusur yazılımda herhag br probleme ede ola kısımlardır. Çıktı yalış olduğuda yazılım başarısızlığı gözler. Br başarısızlık yazılım kusuru veya sa hatası edeyle ortaya çıkar. Br başarısızlık gözledğde, yazılımda br ya da daha çok kusur buluablr. Kusurlar düzeltldğde, ayı başarısızlık tekrar gerçekleşmez (Zhag 999). Kodta veya kullaıcı davraışı da dahl olmak üzere çevresel koşullarda değşklk yapılmadığı sürece yazılımı güvelrlğ sabt kalır. Herbr başarısızlık sorasıda, başarısızlığa ede ola kusur tespt edlr ve düzeltlr. Sora yazılımı güvelrlğ zamala artar. Bu durum test fazları ya da safhaları ç böyledr. t zamaıa kadar belrlee başarısızlık sayısı M ( t) le gösterlr. M ( t) davraışıı alata modeller yazılım güvelrlk büyüme modeller (software relablty growth models-srgms) olarak adladırılır. Başarısızlık zamaları t,... veya başarısızlıklar arası zamalar t,... testlerle elde edlerek modeller, t parametreler buluablr. Ortalama değer foksyou m ( t), t aıa kadar belrlee başarısızlıkları beklee değer göstermektedr. Ortalama değer foksyouu dm ( t), başarısızlık yoğuluğu olup ( t) zamaa göre türev, λ le gösterlr. Bu da dt t 0 ke [ t; t + t) aralığıda belrlee başarısızlıkları beklee değer lmt gösterr., t Başarısızlık yoğuluğu rsk oraı le karıştırılmamalıdır. ( ). başarısızlık t aıda gerçekleşmş ke. başarısızlığı olasılık yoğuluğu, rsk oraıdır. Rsk oraı, ( t t ) t + t aıda belrlemes ç z le gösterls. Sağ kalım / aalzde bleşeler rsk oraı geellkle λ ( t) le gösterlr. Br çok araştırmacı program rsk oraıı, hata oraı veya başarısızlık yoğuluğu olarak adladırır. Aslıda program rsk oraı z ( t t ) /, yazılım güvelrlk büyüme modeller ç t t + aıda başarısızlık yoğuluğua eşttr. Tüm kusurlar şleyş sıklığı 78

195 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN bakımıda eş değerse başarısızlığa kadar gereke zama ayı olasılık yoğuluğua f a ( t) sahptr. Herbr kusur ç dağılım foksyou F a t () t f ( ) 0 a d (9.) olmak üzere kusur rsk oraı, z a () t ( t) () t fa (9.) F a şekldedr. Böylece herbr kusur rsk oraı, heüz şleyş durumuda olmaya özel br kusuru br başarısızlığa ede olması olasılığı ç br ölçümdür (Grottke 00) Yazılım Güvelrlk Modeller Yazılım güvelrlk mühedslğ, yazılım güvelrlğ ç br ölçü sağlamak amacıyla hata verlere dayalı olarak yazılım sstem br model üretr. Modellere lşk eştlkler, e küçük kareler ya da maksmum lkelhood tahm gb yötemler kullaılarak tahm edlecek parametrelere sahptr. Belrl br ver kümes ç seçle model doğruluğuu kaıtlamak, model foksyolarıı çalışılmasıı ve yelemey gerektrr. Bu souçlarda, kala hata sayısı tahm ve br sorak hata gerçekleşceye kadar geçecek süre tahm yapılablr. Ayrıca tahmler ç güve aralıkları da hesaplaablr (Wallace ve Colema 00). Bazı popüler modeller algortmaları Tablo 9. de verlmştr. Tablo 9. de α : tahm edlecek br parametrey; φ : oratılı sabt, herhag br kusuru tüm programa katkısıı veya herbr kusur ç rsk oraıı; N : programdak başlagıç kusurlarıı sayısıı; t :. ve ( ). başarısızlıklar arasıdak sürey; D : programı başlagıç hata oraıı; k : geometrk foksyou parametres; p : br başarısızlık gerçekleştğde başarısızlığı ortada kaldırılma olasılığıı göstermektedr (Wallace ve Colema 00). 79

196 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Tablo 9.. Yazılım güvelrlk hata oraı modeller (Wallace ve Colema 00). Model adı Jelsk- Morada Schck- Wolverto J-M Geometrc Goel- Okumoto Lttlewood- Verrall Webull ( ) f t olasılık yoğuluk foksyou R( t ) F( t ) güvelrlk foksyou φ [ N ( ) ] ep( φ( N ( ) ) ) ( φ ( N ) ) ep + λ ( t ) rsk foksyou φ [ N ( ) ] f ( t ) olasılık yoğuluk φ [ N ( ) ] t foksyou ( t ) F( ) R t güvelrlk foksyou t φ ep φ[ N ( ) ] t ep φ N t λ ( t ) rsk foksyou [ ( )] f ( t ) olasılık yoğuluk foksyou R( t ) F( t ) güvelrlk foksyou Dk ep ep( Dk t ) λ ( t ) rsk foksyou ep( Dk ) f ( t ) olasılık yoğuluk foksyou R( t ) F( t ) güvelrlk foksyou φ ( Dk t ) t [ N ( ) ] t [ N p( ) ] ep( φ[ N p( ) ] ) ep ( φ [ N p( ) ] ) λ ( t ) rsk foksyou φ [ N p( ) ] α f ( t ) olasılık yoğuluk ξ() foksyou () () α t+ ξ t+ ξ α R( t ) F( t ) ξ () güvelrlk foksyou α s + ξ () s + ξ () λ ( t ) rsk foksyou ( ) f t olasılık yoğuluk foksyou ( t ) F( ) R t güvelrlk foksyou λ ( t ) rsk foksyou t t β α + ξ () ( t γ ) θ β β t γ ep θ β β ( t γ ) β θ t t γ ep θ β ds β t 80

197 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Homoje olmaya Posso sürec (o-homogeeous Posso process- NHPP), yazılım güvelrlk aalzde, kusur belrleme sürec (fault detecto process) taımlamak ç kullaılır. { N ( t), t 0}, t aıa kadar brkml başarısızlık sayısıı gösters. ( t) N, m ( t) ortalama değer foksyou le Posso dağılımıa sahpse, sayma sürec { N ( t), t 0}, ( t) P λ yoğuluk foksyou le homoje olmaya Posso sürecdr. { N() t k} Burada ( t) E[ N( t) ] k ( m( t) ) m ( t) ep k 0,,... (9.3) k! m dr. Ya, ortalama değer foksyou brkml başarısızlıkları beklee değerdr. Yazılım güvelrlğ, ( t) başarısızlığı gerçekleştğ verlmşke, ( t t + ) başarısızlığı gerçekleşmemes olasılığıdır. R ( t) ep[ ( m( t + ) m( t) )] şeklde yazılır. 0 R / t aıda so, zama aralığıda yazılım / (9.4) t ke R( 0) m( ) / ve t ke ( / ) R dr. Homoje olmaya Posso sürec modeller, başarısızlık yoğuluğuu, arta kusur çerğ (resdual fault cotet) le oratılı olduğuu varsayar. Homoje olmaya Posso sürec yazılım güvelrlk büyüme modeller (software relablty growth models/srgms) geel sııfı, ( ) dm t dt () t[ a() t mt ()] b (9.5) dferasyel deklem çözümü le elde edlr. a ( t) ve ( t) b foksyolarıı sabt olması, Goel-Okumoto NHPP model olarak blr (Goel ve Okumoto 979). a ( t) sabt olması, hata ayıklama (debuggg process) esasıda ye kusuru dahl olmadığı alamıa gelr. Sabt b ( t), başarısızlık yoğuluk foksyouu λ ( t) artık kusurları (remag faults) sayısı le oratılı olduğuu fade eder. (9.5) dek dferasyel deklem geel çözümü, 8

198 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN () [ Β() ] + t ep t m a( )() bτ ( Β() t) dτ mt 0 τ ep (9.6) 0 şekldedr (Pham ve ark. 999). Burada, Β() t b() τ dτ ve ( t 0 ) m0 t 0 m dır. Hata ayıklama sürec başlagıç zamaı t 0 le gösterlr. Brçok NHPP model (9.6) dak eştlk le verle geel model özel br durumu olarak düşüüleblr. Arta a ( t) foksyou, arta toplam kusur sayısıı belrtr. Bu da kusurlu hata ayıklama (mperfect debuggg) durumuu yasıtır. Dğer br model olarak kusurlu hata ayıklama ve öğreme model (model wth mperfect debuggg ad learg) varsayımları:. zama bağımlı S bçml kusur tespt foksyou. arta zama bağımlı kusur çerk foksyou şekldedr. Bu modelde, kusurlu hata ayıklama fades le alatılmak stee, kusurları hata ayıklama safhası esasıda da dahl olabldğdr. Model, kusur tespt oraı foksyou b ( t), azalmaya S bçml eğr olduğuu varsayar (Ohba 984, Ohba ve Yamada 984). a ( t) ve ( t) a ( t) c + a( ep( αt) ) b sırasıyla (9.7) b () t b + β ep ( bt) (9.8) şekldedr.burada, a( 0) a testte öce yazılımda bulua başlagıç kusurlarıı b toplam sayısı ç parametredr. b () 0 başlagıç kusur tespt oraıdır. Burada +β toplam kusur çerk foksyou a ( t) azalmaya br foksyodur ve zamaa göre üstel olarak artar. Buu alamı, başlagıçta yazılıma çok sayıda kusur dahl olablr. Test devam ederke başlagıç oraı (troducto rate) azalır. Test safhasıı başlagıcıda, çok sayıda kusur dahl edlr. Belrl br zama sora, gelştrc 8

199 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN yazılım hakkıda daha çok şey öğrer ve daha az kusur dahl olur. Bu yüzde c, yazılımda başlagıç kusur sayısı olarak yorumlaablr ve a kusur başlagıç oraıdır. Kusur tespt oraı foksyou b ( t), artık sabt değldr. Fakat döüm S- şekll model (flecto S-shaped model) le azalmaya br foksyodur. Şekl 9.4 te görüldüğü gb, test başlagıcıda kusur tespt oraı yavaşça artar. Çükü kotrolcüler yazılım hakkıda az blgye sahptr. Belrl br zama sorasıda blgler artar ve kusur tespt hızlı orada artar. Fakat test souda kusur tespt oraı yavaşlar. Çükü artık kusurları çoğu yazılımda kaldırılmıştır. Şekl 9.3. Kusur çerk foksyou grafğ (Zhag 999). Şekl 9.4. Kusur tespt oraı foksyou grafğ (Zhag 999). (9.7) ve (9.8) dek sırasıyla a ( t) ve b ( t) eştlkler ( 0 ) 0 eştlkte yere koursa ortalama değer foksyou, m [ + a ( t) ( ( + β ep( bt) )) ( c ) m le (9.6) dak ab b α ( ep( bt) ) ( ep( αt) ep( bt) )] (9.9) 83

200 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN olarak elde edlr (Zhag 999). t test aıda her br kusur ç kusur tespt oraı se d () t ( ) dm t dt a mt () (9.0) şekldedr (Huag ve ark. 003). Güümüzde yazılım güvelrlk araştırmalarıda geel tahm modeller gelştrmek oldukça öemldr. Bu amaçla, L ve ark. (006), yazılım güvelrlk tahm ç yazılım güvelrlk modeller hyerarşk br karmasıı (herarchcal mture of software relablty models-hmsrm) öermşlerdr. Bu öerler uzmaları hyerarşk karmaları (herarchcal mtures of eperts/hme) yapısı ç br örek oluşturur. HMSRM de yazılım güvelrlk modeller, uzmalar olarak kullaılır. L ve ark. (006), HMSRM güvelrlk tahm ç geleceğ parlak br yötem olduğu soucua varmışlardır. Yazılım sstemde karma dağılım kullaımıa da rastlamaktadır. Modüller farklı şrket grupları tarafıda yazılmış olablr. Karma dağılımda herbr bleşe yoğuluğu farklı br şrket grubuda sağlamış modüle attr. Karma oraları se şrket gruplarıı modül katkı oralarıdır (Trved 006) Jelsk Morada Model Bu model lk güvelrlk modellerde brdr. Üstel sıra statstk model (epoetal order statstcs model) sııfıa attr (Ahuja ve ark. 003). Sıra statstk problem şöyle açıklaır. Ürü N 0 olacak şeklde blmeye N sayıda kusur çers.. kusur ürü şlerke lk kez D aıda gözles. Ürü T 0 aıda şleme kosu ve ürüü şlemler sabt T 0 aıa kadar gözles. Gözlee kusurları aıda rapor edldğ varsayılmaktadır. T zamaıa kadar rapor edle R sayıdak kusura lşk rapor zamaları Böylece T T... TR olacak şeklde lşkldr. T,...,TR rastgele değşkeler D,..., DN rastgele değşkeler lk R sıra statstğdr. Burada D,..., DN rastgele değşkeler her br blmeye λ 0 ora parametresyle üstel dağılıma sahp, bağımsız ve özdeş dağıla rastgele 84

201 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN değşkeler olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayım edeyle bu problem üstel sıra statstk problem olarak blr. Bu problem lk kez Jelsk ve Morada (97) tarafıda yazılım güvelrlk soruları ç br model olarak ler sürülmüştür. Geellkle Jelsk-Morada olarak söz edlr (Fkelste ve ark. 999). Model varsayımları aşağıda verlmştr.. Test başlagıcıda yazılım kodu sabt fakat blmeye u 0 sayıda kusur çerr.. Herbr kusur alık başarısızlığa ede olma olasılığı bakımıda eşdeğer tehlkeldr. Herbr kusuru rsk oraı zamala değşmez sabt φ değerdedr. 3. Başarısızlıklar lşkl değldr. Başarısızlıklar arası zamalar ( t t,..., ) bağımsızdır., 4. Br başarısızlığa ede ola kusur yazılıma ye br kusur dahl edlmede ortada kaldırılır. ( ). kusur ortada kaldırıldıkta sora programı rsk oraı, br kusuru rsk oraıyla ( ( t) φ) z z a brlkte yazılımda kala kusurları sayısıyla oratılıdır. ( t t ) [ u M ( t )] φ[ u ( ) ] / 0 0 φ (9.) t N Bu model ç başarısızlık yoğuluk foksyou, başlagıç kusur sayısı ve tek br kusuru şleyşe kadar gerekl zamaı olasılık yoğuluğu f a ( t) çarpımıa eşttr. Ya, ( ) dm t dt () t uφ ( φt) u0 fa 0 ep (9.) şekldedr. Böylece ortalama değer foksyou, m ( t) u [ ep( φt) ] 0 (9.3) olarak verlr. (9.) ve (9.3) eştlkler yardımıyla başarısızlık yoğuluğu, ( ) dm t dt [ u mt ()] 0 φ (9.4) 85

202 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN olarak elde edlr. (9.4) dek eştlğe göre, t aıda yazılımı başarısızlık yoğuluğu yazılımda kala kusurları beklee değer le oratılıdır (Grottke 00) Schck-Wolverto Model Br varsayım dışıda Jelsk Morada model le ayı varsayımlara sahptr. Bu modelde rsk foksyou, kala kusur sayısı ve so başarısızlıkta bu yaa geçe zama le oratılıdır (Kadfel 989). Bu modele lşk rsk foksyou, ( t ) φ[ N ( ) ] t λ (9.5) şekldedr. Burada, φ : oratılı br sabt, herhag br kusuru tüm programa katkısı ya da sabt kusur rsk oraıı; N : programdak başlagıç kusurlarıı sayısıı; t :. ve ( ). başarısızlıklar arasıdak sürey göstermektedr Goel-Okumoto Model Goel ve Okumoto (979) tarafıda öerle model varsayımları aşağıdak gbdr.. t aıda belrlee başarısızlıkları sayısı Posso dağılımıa sahptr. Ortalama değer foksyouu sıır koşulları, m ( 0 ) 0 (9.6) ve t ( ) N lm m t (9.7) şekldedr.. t 0 ke ( t, t + t] aralığıda gerçekleşe yazılım başarısızlıklarıı sayısı, tespt edlmemş kusurları beklee değer ( m( t) ) φ dr. N le oratılıdır. Oratı sabt t t... t olacak şeklde zamaları solu br koleksyou ç, 86

203 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN (, t ), ( t, t ),...,(, ) 0 t t ayrık aralıkları herbrde gerçekleşe başarısızlıkları sayısı brbrde bağımsızdır. 3. Ne zama br başarısızlık gerçekleşse, o başarısızlığa ede ola kusur yazılıma ye br kusur dahl etmede alık olarak ortada kaldırılır. Herbr kusur br başarısızlığa ede oldukta heme sora tamr söz kousu olduğuda, test başlagıcıda yazılım başlagıç kusurlarıı sayısı, sosuz mktarda test sorasıda gerçekleşmş olacak başarısızlıkları sayısıa eşttr.. varsayıma göre M ( ), N ortalaması le Posso dağılımıa sahptr. Bu edele, N başlagıç yazılım kusurlarıı beklee değerdr.. varsayımda, t aıda başarısızlık yoğuluğu, ( ) dm t dt [ N mt ()] φ (9.8) eştlğ le verlr. Jelsk-Morada modelde olduğu gb başarısızlık yoğuluğu, tek br kusuru sabt rsk oraı le yazılımda kala kusurları beklee değer çarpımıa eşttr. Buula brlkte N keds br beklee değerdr (Grottke 00) Bayes Yazılım Güvelrlk Büyüme Modeller Daha öce celee modellerde parametreler sabt ama blmedğ düşüülmekteyd. Bayes modellerde ver yokluğu durumuda parametreler sabt ve blmeye değerde olmadığı düşüülür. Fakat ösel dağılıma (pror dstrbuto) sahp olduğu düşüülür. Parametre vektörü θ ı ösel yoğuluğu p ( θ ) le gösterls. Blmeye fakat gözlee ver (t aıda belrlee başarısızlık sayısı veya başarısızlık zamaları gb) y olsu. Bu gözlee verler yazılım güvelrlk büyüme model yoluyla parametrelere bağlıdır. Belrl br parametre değer ç ver, p ( y/θ ) koşullu dağılımıa sahptr. Parametre değerler blmedğde, y ösel dağılımı, olası θ değerler üzerde y ve θ ı ortak dağılımıı tegral alıdığıda, 87

204 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN ( y) p( y θ ) dθ p( y θ ) p( θ ) p, / dθ (9.9) eştlğ le verlr. Br yazılım güvelrlk büyüme model verlmşke, model parametreler dağılımıa lşk varsayım sağlaıyorsa, mktarları dağılımı hesaplaablr. Öreğ t aıda gözlee başarısızlıkları sayısıı dağılımı dolayısıyla ou beklee değer elde edleblr. Ya hçbr başarısızlık gözlemede bu blglere ulaşılablr. Model parametreler ösel dağılımı, yazılımı yapısal blgler ya da deeymler soucu oluşturulur. Acak bu gerçekle çelşeblr. Verler kullaılablrse, model parametreler varsayıla dağılımları; gözlee değer verlmş ke model parametreler p ( θ y) ( θ, y) p( y) ( y/ θ ) p( θ ) ( y/ θ) p( θ) dθ p p / (9.0) p koşullu dağılımıı hesabı le gücelleştrleblr. Görüldüğü gb, p ( θ /y) sosal dağılımıı (posteror dstrbuto) elde etmek ç sadece p ( y/θ ) ve p ( θ ) gerekmektedr. Öreğ t aıda lk başarısızlık gözledkte sora { } θ ı ösel dağılımı (9.0) dek eştlk kullaılarak p ( /y) y ve t θ hesaplaablr. t + t aıda belrlee başarısızlık sayısı dağılımı tahm edleblr. Geel olarak, br sorak başarısızlık gerçekleşee kadar geçecek zama gb blmeye gözleeble ~ y ı sosal tahm dağılımı (posteror predctve dstrbuto), ( ~ y/y) p( ~ y, θ/ y) dθ p( ~ y / θ, y) p( θ ) dθ p( ~ y/ θ ) p( θ/y) dθ p /y (9.) eştlğ le verlr (Grottke 00). 88

205 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN Lttlewood ve Verrall Bayes Model Bu model başarısızlıklar arası zamaa dayalı, Bayes yazılım güvelrlk büyüme modeldr. Başarısızlıklar arası zamaı üstel dağılıma sahp olduğu varsayılır. Öylek, dağılımı parametres, gama dağılımıa sahp br rastgele değşkedr (Wager ve Fscher 005). Model varsayımları aşağıdak gbdr.. Başarısızlıklar arasıdak başarılı uygulama zamaları,..., olmak üzere ξ parametreler le bağımsız üstel rastgele değşkelerdr. Ya lgl olasılık yoğuluk foksyou f ( t ξ ) ξ ep( ξ t ) / (9.) şekldedr (Wu????).. Bağımsız rastgele değşkeler br slsles ola ξ ler herbr α ve Ψ ( ) parametreler le gama dağılımıa sahptr. Burada α şekl parametres ke, Ψ ( ) yayılım parametresdr. Bua göre ξ ç olasılık yoğuluk foksyou, g ( ξ) α [ Ψ( ) ] ξ Γ( α) α ep ( Ψ() ξ) (9.3) şekldedr.. ve. varsayımlarda, f ( t) f( t ξ)( gξ) 0 α [ Ψ( ) ] [ t +Ψ() ] α / dξ α + (9.4) yazılablr. Ayrıca güvelrlk foksyou, R ( t ) f () t () () α t Ψ dt (9.5) t +Ψ 0 şekldedr (Wu????). 89

206 9. DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN 3. Ψ ( ), arta br foksyodur. Programcıı deeym/tecrübes ve görev zorluğuu taımlar. Bu modelde, Ψ ( ) ç brc derecede ve kc derecede formlar öerlmştr (Wager ve Fscher 005). Bular sırasıyla ( ) β + Ψ (9.6) 0 β ve ( ) β + β Ψ (9.7) 0 şekldedr (Çeter 007). 90

207 0. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Ayça Hatce TÜRKAN 0. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Bu tez çalışmasıda, güvelrlk aalzde kullaıla tek değşkel, k değşkel, karma, karıştırılmış, bleşk ve geelleştrlmş statstksel dağılım modeller uygulama alaları ve özellkler celemştr. Güvelrlk aalz probleme e uygu statstksel dağılımı belrlemes ele alımış ve öreklerle açıklamıştır. Bu tez çalışmasıda hareketle buda sora sstem güvelrlğ araştırmasıda, sstem yaşam süres dağılımı ç güvelrlk blok dyagramlarıı oluşturulması, bu güvelrlk blok dyagramları ç olasılık yoğuluk foksyolarıı ve bua bağlı olarak güvelrlk foksyolarıı ve rsk foksyolarıı oluşturulması araştırılablr. Ürü güvelrlğ hesaplamak ç farklı yaklaşımlarla daha y yötemler gelştrleblr. 9

208 KAYNAKLAR AHUJA, S., MISHRA, G.S. ad TYAGI, A.P. (003). Jelsk Morada Model for Software Relablty Predcto ad ts G.A. based Optmsed Smulato Trajectory. SSGRR 003w L Aqula, Italy, Jauary 6-, 003. Iteratoal Coferece o Advaces Ifrastructure for e-electroc, e-busess, e- Educato, e-scece, e-medce o the Iteret. ( AKDENİZ, F. (006). Olasılık ve İstatstk. Nobel Yayı Dağıtım. Adaa. AL-RUZAIZA, A.S. ad EL-GOHARY, A. (007). A New Class of Postvely Quadrat Depedet Bvarate Dstrbutos wth Pareto. Iteratoal Mathematcal Forum,, o. 6, ANAND, A. ad SOMANI, A.K. (998). Herarchcal aalyss of fault trees wth depedeces, usg decomposto, Proc. RAMS, Ja, ANDREWS, J. D. (00). The use of Not logc fault tree aalyss. Qual. Rel. Eg., vol. 7, ANDREWS, J.D. ad BEESON, S. (003). Brbaum's measure of compoet mportace for ocoheret systems. IEEE Tras. Rel., vol. 5, o., Jue, 3-9. ANDREWS, J.D. ad DUNNETT, S. (000a). Evet tree aalyss usg bary decso dagrams. IEEE Tras. Rel., vol. R-49, o., Jue, ANDREWS, J.D. ad DUNNETT, S (000b). Improvg accuracy evet tree aalyss, Proc. Foresght ad Precauto, Proc. ESREL 000, SARS ad SRA- Europe Aual Cof., May. ANDREWS, J.D. ad MOSS, T.R. (00). Relablty ad Rsk Assessmet. Secod Edto. Professoal Egeerg Publshg Lmted: Lodo ad Bury St Edmuds, UK. 540s. ARNOLD, B.C. (968). Parameter Estmato for a Multvarate Epoetal Dstrbuto. Joural of the Amerca Statstcal Assocato, Vol. 63, No. 33. (Sep.),

209 BARLOW, R.E. ad HUNTER, L.C. (959). Mathematcal models for system relablty, Sylvaca Electroc Defese Labs., Rept. No. EDL-E35, Aug. BARLOW, R.E. ad HUNTER, L.C. (960). Mathematcal models for system relablty, part II, The Sylvaa Techologst, vol. 3, BARLOW, R.E. ad MARSHALL, A.W. (964).Bouds for dstrbutos wth mootoe hazard rate, I ad II, A. Math. Stat., vol. 35, BARLOW, R.E., MARSHALL, A.W. ad PROSCHAN, F. (963). Propertes of probablty dstrbutos wth mootoe hazard rate, A. Math. Stat., vol. 34, BARLOW, R. ad PROSCHAN, F. (965). Mathematcal Theory of Relablty, Wley, New York. BAZOVSKY, I.I. (96). Relablty Theory ad Practce, Pretce Hall, Eglewood Clffs. BEHBOODIAN, J. (970). O a Mture of Normal Dstrbutos. Bometrka, Vol. 57, No.. (Apr.), 5-7. BELLMAN, R. ad DREYFUS, S. (958). Dyamc programmg ad relablty of mult-compoet devces", Operatos Res., vol. 6, BELYAEV, Y.K., DUGINA, T.N. ad CHEPURIN, E.V. (967). Computato of lower cofdece lmt for the comple system relablty. Eg. Cyberetcs, o's & 3. BENDELL, A. ad ANSELL, J. (984). The coherecy of multstate coheret system, Rel. Eg., vol. 8, BENTLEY, J.P. (993). A troducto to Relablty ad Qualty Egeerg. Logma Scetfc ad Techcal. Joh Wley & Sos, Ic. New York. BHARUCHA-REID, A.T. (960). Elemets of the Theory of Markov Processes ad ther Applcatos, McGraw-Hll, New York. BHATTACHARYA, C.G. (967). A smple method of resoluto of a dstrbuto to Gaussa compoets. Bometrcs, 3,

210 BİLİM ve YAŞAM (Çağdaş Blm ve Tekoloj) Asklopeds. / Uygulamalı Blmler -Gelşm Yayıları: Clt: 6 Sayfa : 79. ZAMAN YOLCULUĞUNU ARAŞTIRMA MERKEZİ (Tme Travel Research Ceter). (007). ( BIRNBAUM, Z.W. (955). O a use of the Ma-Whtey Statstc, Proc. Berkeley Symp. Math. Stat. ad Prob., Uversty of Calfora Press, Los Ageles, vol., 3-7. BIRNBAUM, Z.W. (969). O the mportace of dfferet compoets multcompoet system, Multvarate Aalyss, II, Academc Press, New York, BIRNBAUM, Z.W. ad ESARY, J.D. (965). Modules of coheret bary systems", J. SIAM, vol. 3, BIRNBAUM, Z.W., ESARY, J.D. ad MARSHALL, A.W. (966). Stochastc characterzato of wear out for compoets ad systems, A. Math. Stat., 37, BIRNBAUM, Z.W., ESARY, J.D. ad SAUNDERS, S.C. (96). Multcompoet systems ad structures ad ther relablty, Techometrcs, vol. 3, Feb, BIRNBAUM, Z.W. ad SAUNDERS, S.C. (958). A statstcal model for lfe-legth of materals. J. Amer. Stat. Assoc., Vol.53, No.8, BLACKSTONE, E. H., NAFTEL, D. C. ad TURNER, M. E. (986) The decomposto of tme-varyg hazard to phases, each corporatg a separate stream of cocomtat formato. Am. Statst. Ass., 8, BLACKWELL, D. (948). A reewal theorem, Duke Math. J., vol. 5, BLANTON, E. (957). Relablty-Predcto techque for use desg of comple systems. IRE Natl. Coveto Record, pt. 0, BLANTON, H.E. (958). Relablty-sestvty- fucto aalyss, Electroc Desg, vol. 6, Feb. BLANTON, H.E. ad JACOBS, R.M. (96). A survey of techques for aalyss ad predcto of equpmet ad relablty, IEEE Tras. Rel., July, BLOCK, H. ad SAVITS, T.H.(976). The IRFA closure problem, A. Prob., 4,

211 BODIN, L.D. (970). Appromato of system relablty usg a modular decomposto, Techometrcs, vol., o., BOUTSIKAS, M.V. ad KOUTRAS, M.V. (000). Geeralzed relablty bouds for coheret structures, J. of Appled Prob., vol. 37, BRENDER, D.M. ad TAINITER, M. (96). A Markova model for predctg the relablty of a electroc crcut from data o compoet drft ad falure", IRE Itl. Coveto Record, pt. 6, BUCAR, T., NAGODE, M. ad FAJDIGA, M. (004). Relablty appromato usg fte webull mture dstrbutos. Relablty Egeerg & System Safety BUEHLER, R.J. (957). Cofdece tervals for the product of two bomal parameters, J. Amer, Stat. Assoc., vol. 5, CAI, J. (998). A Ufed Study of Bouds ad Asymptotc Estmates for Reewal Equatos ad Compoud Dstrbutos wth Applcatos to Isurace Rsk Aalyss. A Thess the Departmet of Mathematcs ad Statstcs. Preseted Partal Fulflmet of the Requremets for the Degree of Doctor of Phlosophy at Cocorda Uversty Motreal, Quebec, Caada. CAMPBELL, N.R. (94). The replacemet of pershable members of a cotually operatg system. J. Roy. Stat. Soc., vol. 7, CANTOR, A.B. ad KNAPP, R.G. (985). A Test of the Equalty of Survval Dstrbutos Based o Pared Observatos from Codtoally Idepedet Epoetal Dstrbutos. IEEE Trasactos o Relablty, 34, CASSIE, R.M. (954). Some uses of probablty paper the aalyss of sze frequecy dstrbutos. Austral. J. of Mare ad Freshwater Res., 5, 53-. COUDERT, O. ad MADRE, J.C. (993). Fault tree aalyss: 0^0 prme mplcats ad beyod", Proc. RAMS, COX, D.R. (960). O the umber of Reewals a Radom Iterval," Bometrka, vol. 47, ssue 3/4, Dec., COX, D.R. (96). Reewal Theory, Wley, New York. COX, D.R. ad ISHAM, V. (980). Pot Processes. Moographs o Statstcs ad Appled Probablty. Chapma & Hall/CRC. 95

212 COX, D.R. ad SMITH, W.L. (953). A drect proof of a fudametal theorem of reewal theory, Skad. Aktuar., 36, CRAMER, E. ad KAMPS, U. (000). Sequetal k-out-of- Systems. ( Feb.) ÇETINER (007). Where Learg Made Easy Ad Ejoyable... ( DANIELS, H.E. (945). The statstcal theory of the stregth of budles of threads, Proc. Roy. Soc. Lodo, vol. 83, DAVIS, D.J. (95). A aalyss of some falure data, J.Amer. Stat. Assoc., vol. 47, DOLOZZA, E. (966). System states aalyss ad flowgraph dagrams relablty. IEEE Tras. Rel., R-5, DOOB, J.L. (948). Reewal theory from the pot of vew of the theory of probablty, Tras. Amer. Math. Soc., 63, DOUGLAS, J.B. (980). Aalyss wth Stadard Cotagous Dstrbutos. Statcal Dstrbutos Scetfc Work: Volume 4. Iteratoal Co operatve Publshg House: Farlad, Marylad USA. DOYLE, S.A. ad DUGAN, J.B. (995). Depedablty assessmet usg bary decso dagrams. Proc. IEEE It. Symp. Fault- Tolerat Computg, FTCS- 5, Jue. DRESTE, F.E. (959). Statstcs: Key to relable mltary electroc desg, Mltary Electrocs, vol. 6, Mar., 4, 6, 8. DRESTE, F.E. (960). Crcut desg cocepts for hgh relablty, Proc. Natl. Symp. Rel. ad Qualty Ctrl., Ja -33. DUGAN, J.B., BAVUSO, S.J. ad BOYD, M.A. (99). Dyamc fault tree models for fault tolerat computer systems, IEEE Tras. Rel., vol. 4, o. 3, Sept DUGAN, J.B., BAVUSO, S.J. ad BOYD, M. (993). Fault trees ad Markov models for relablty aalyss of fault tolerat systems", Rel. Eg. ad System Safety, vol. 39,

213 DUTUIT, Y. ad RAUZY, A. (996). A lear-tme algorthm to fd modules fault trees, IEEE Tras. Rel., Sept. EBELING, C.E. (997). A Itroducto to Relablty ad Mataablty Egeerg. McGraw-Hll Iteratoal Edtos. Electrcal Egeerg Seres. ELSAYED, E.A. (996). Relablty Egeerg. Addso Wesley Logma, Ic. ELSAYED, E.A. ad ZEBIB, A. (979). A reparable multstate devce, IEEE Tras. Rel., R-8, 8-8. EMNİYET RULMAN (005) ( ENGINEER'S EDGE (007). Solutos By Desg. ( stcal_models.htm) EPSTEIN B. (948). Applcato of the theory of etreme values fracture problems, J. Amer. Stat. Assoc., vol. 43, EPSTEIN, B. ad SOBEL, M. (953). Lfe testg, J. Amer. Stat. Assoc., vol. 48, o. 63, EROL, H. (99). Tek Değşkel Dağılım Modeller. Yüksek Lsas Tez. Çukurova Üverstes. Fe Blmler Esttüsü. ESARY, J.D. ad PROSCHAN, F. (963). Coheret structure of odetcal compoets, Techometrcs, o. 5, EVANS, M., HASTINGS, N. ad PEACOCK, B. (993). Statcal Dstrbutos. Secod Edto. A Wley Iterscece Publcato: Joh Wley & Sos, Ic. New York, Chchester, Brsbae, Toroto, Sgapore. Prted the Uted States of Amerca. 70s. EVERITT, B.S. ad HAND, D.J. (98). Fte Mture Dstrbutos. Lodo New York: Chapma ad Hall. 43s. FELLER, W. (94). O the tegral equato of reewal theory, A. Math. Stat., vol., FELLER, W. (949) Fluctuato theory of recurret evets, Tras. Amer. Math. Soc., vol. 67,

214 FELLER, W. (968). A Itroducto to Probablty Theory ad Its Applcatos. Volume. Thrd Edto. Wley Seres Probablty ad Mathematcal Statstcs. Joh Wley & Sos, Ic. New York, Lodo, Sydey. FINKELSTEIN, M., TUCKER, H.G. ad VEEH, J.A. (999). Cofdece Itervals for N the Epoetal Order Statstcs Problem. Commu. Stat., Theory Methods 8, No.6, ( pdf&formatshort) FIRSTMAN, S.L. (958). Mote Carlo models for estmatg relablty: A eploratory aalyss", The Rad Corp., Report o. RM49, ASTIA Doc. No. AD3036, Jue. FLEHINGER, B.J. (958). Relablty mprovemet through redudacy at varous system levels, IBM J. of RD, ssue, FRANTIK, R.O. (954). The determato applcato ad lmtatos of crcut relablty equatos, Sada Corp., report o. SC-388(TR), Aprl. FREUND, J.E. (96). A Bvarate Eteso of the Epoetal Dstrbuto. Joural of the Amerca Statstcal Assocato, Vol. 56, No. 96. (Dec.), FRICKS, R.M. ad TRIVEDI, K.S. (003). Importace aalyss wth Markov Chas, Proc. Rel. ad Ma. Symp., FU, J.C. ad KOUTRAS, M.V. (995). Relablty bouds for coheret structures wth depedet compoets, Stat. Ad Prob. Letters, vol., GATES, C.R. (95). The relablty of redudat systems, JPL-Calfora Ist. Of Tech. Pasadea, CA, Memo 0-76, Aug. GNEDENKO, B.V. (964a). O spare duplcato. Eg. Cyberetcs, o. 4. GNEDENKO, B.V. (964b). O duplcato wth reewal. Eg. Cyberetcs, o. 5. GNEDENKO, B.V., BELYAEV, Y.K., ad SOLOVYEV, A.D. (969). Math. Methods Relablty Theory, Academc Press, New York. (Please ote that ths book was publshed 965 Russa) 98

215 GNEDENKO, B., ad USHAKOV, I. (995). Probablstc Relablty Egeerg. Edted by James Falk: George Washgto Uversty. A Wley Iterscece Publcato: Joh Wley & Sos, Ic. New York, Chchester, Brsbae, Toroto, Sgapore. 58s. GOEL, A.L. ad OKUMOTO, K. (979). Tme-depedet error-detecto rate model for software ad other performace measures. IEEE Trasactos o Relablty, Vol.8, 06-. GORDON, R. (957). Optmum compoet redudacy for mamum system relablty, Operatos Res., vol. 5, GREGOR, J. (969). A algorthm for the decomposto of a dstrbuto to Gaussa compoets. Bometrcs, 5, GROTTKE, M. (00). Software Relablty Model Study. Forschugsbercht A. des Projekts PETS, Uverstät Erlage-Nürberg, Nürberg. ( GRUBBSTRÖM, R.W. ad TANG, O. (006). The momets ad cetral momets of a compoud dstrbuto. Europea Joural of Operatoal Research GUPTA, R.C. (00). Relablty studes of bvarate dstrbutos wth pareto codtoals. Joural of Multvarate Aalyss. 76, 4-5. HAAP, W.W. (964). Applcato of flowgraph techques to the soluto of relablty problems, J. Physcs of falure Electrocs, US Departmet of Commerce Offce of Techcal Servces AD-434/39, HAHN, G.J. ad SHAPIRO, S.S. (967). Statstcal Models Egeerg. Joh Wley & Sos, Ic. New York, Chchester, Brsbae, Toroto. HERD, G.R. (959). Some statstcal cocepts ad techques for relablty aalyss ad predcto, Proc. Natl. Symp. Rel. ad Qualty Ctrl., Ja, HOGG, R.V. ad CRAIG, A.T. (995). Itroducto to Mathematcal Statstcs. Pretce-Hall, Ic. HOLTZMAN, C.W. ad MARSHALL, JR., W.E. (960). A ew method of commucato betwee egeerg ad mathematca ads system relablty predcto, Proc. Natl. Symp. Rel. Ad Qualty Ctrl., Ja,

216 HUANG, C.Y., LYU, M.R. ad KUO, S.Y. (003).Ufed Scheme of Some Nohomogeous Posso Process Models for Software Relablty Estmato. IEEE Trasactos o Software Egeerg, vol. 9, o. 3, March. HULTING, F.L. ad ROBINSON, J.A. (994). The relablty of a seres system of reparable subsystems: a Bayesa approach, Naval Research Logstcs, vol. 4, HUSEBY, A.B. (989). Domato Theory ad the crapo beta-varat, Networks, 9, INAGAKI, T. ad HENLEY, E.J. (980). Probablstc evaluatos of prme mplcats ad top evets for ocoheret systems, IEEE Tras. Rel., vol. R- 9, o. 5, Dec IRESON, W.G., COOMBS, C.F. ad MOSS, R.Y. (996). Hadbook of Relablty Egeerg ad Maagemet. McGraw Hll. JACKSON, P.S. (983). O the s-mportace of elemets ad prme mplcats of ocoheret systems, IEEE Tras. Rel., vol. R-3, o., Apr. -5. JELINSKI, Z. ad MORANDA, P.B. (97). Software relablty research, : FREIBERGER, W. (Ed.) Statstcal Computer Performace Evaluato, pp (New York, Academc Press). JENKINS, D.L. (98). Relablty Modelg Usg the Left-Trucated Logstc Dstrbuto. A Dssertato by Davd Loyal Jeks Submtted to the Graduate College of Teas A&M Uversty partal fulfllmet of the requremets for the degree of Doctor of Phlosophy. Major Subject: Idustral Egeerg. JENSEN, F. (989). Compoet Falures Based o Flaw Dstrbutos, Proceedgs Aual Relablty ad Mataablty Symposum, JIANG, S. (99). Med Webull Dstrbutos Relablty Egeerg-Statstcal Models for the Lfetme of Uts wth Multple Modes of Falure. A Dssertato Submtted to the Faculty of the Aerospace ad Mechacal Egeerg Departmet. I Partal Fulflmet of the Requremets for the Degree of Doctor of Phlosophy wth a Major Mechacal Egeerg I the Graduate College the Uversty of Arzoa. 00

217 JOANES, D.N. (000). MATH730: Itroducto to Statstcs I. Hadouts.The Departmet of Statstcs. The Uversty of Leeds. JOHNS, M.V. ad LIEBERMAN, G.J. (966). A eact asymptotcally effcet cofdece boud for relablty the case of the Webull Dstrbuto", Techometrcs, vol. 8, JOHNSON, N.L. ve KOTZ, S. (97). Dstrbutos Statstcs: Cotuous Multvarate Dstrbutos. Joh Wley & Sos, Ic. New York, Lodo, Sydey, Toroto. JOHNSON, N.L., KOTZ, S. ad BALAKRISHNAN, N. (994). Cotuous Uvarate Dstrbutos. Volume: Secod Edto. Wley Seres Probablty ad Mathematcal Statstcs. A Wley Iterscece Publcato: Joh Wley & Sos, Ic. New York, Chchester, Brsbae, Toroto, Sgapore. JOHNSON, N.L., KOTZ, S. ad BALAKRISHNAN, N. (995). Cotuous Uvarate Dstrbutos. Volume: Secod Edto. Wley Seres Probablty ad Mathematcal Statstcs. A Wley Iterscece Publcato: Joh Wley & Sos, Ic. New York, Chchester, Brsbae, Toroto, Sgapore. KADİFELİ, F. (989). A Relablty Model for A Large-Scale Software System. Submtted to the Isttute for Graduate Studes Scece ad Egeerg partal fulfllmet of the requremets for the degree of Master of Scece Computer Egeerg, Boğazç Uversty. ( KAMATH, A.R.R., KELLER, A.Z. ad MOSS, T.R. (978). A Aalyss of Trasstor Falure Data, 5 h Symposum o Relablty Techology, Bradford, September 978. KAO, J.H.K. (956). A ew lfe-qualty measure for electro tube, IRE Tras. Rel. ad Qualty Ctrl., PGRQC- 7, -. KAO, J.H.K. (958). Computer methods for estmatg Webull parameters relablty studes, IRE Tras. Rel. Ad Qualty Ctrl., PGRQC-3, 5-. KAO, J.H.K. (959). A Graphcal Estmato of Med Webull Parameters Lfe Testg of Electro Tubes, Techometrcs, Vol., KAPADIA, A.S., CHAN, W. ad MOYE, L. (005). Mathematcal Statstcs wth Applcatos. Chapma&Hall/CRC. Taylor&Fracs Group. 0

218 KAUFMANN, M.I. ad KAUFMANN, R.A. (960). Predctg relablty, Mache Desg, Aug, KECECİOGLU, D.B. ad SUN, F.B. (994). Med-Webull Parameter Estmato for Bur- Data Usg the Bayesa Approach, Mcroelectro. Relab., Vol. 34, NO. 0, pp , 994. KECECIOGLU, D. B. ad WANG, W. (998). Parameter estmato for medwebull dstrbuto. Proc. 44th Aual Relablty ad Mataablty Symposum, Aahem, pp ( CES_FINAL_jue_4.pdf) KEILSON, J. ad KOOHARIAN, A. (960). O tme depedet queug processes, A. Math. Stat., vol. 3. KERSCHER III, W.J., BOOKER, J.M., BEMENT, T.R. ad MEYER, M.A. (998). Characterzg relablty a product/process desg-assurace program, Proc. RAMS, 05-. KERSCHER III, W.J., BOOKER, J.M., MEYER, M.A. ad SMITH, R.E. (003). PREDICT: A case study, usg fuzzy logc, Proc. RAMS, KESİCİ, T. ve KOCABAŞ, Z. (006). Blg ve İletşm Tekolojs. M.E.B. Devlet Ktapları. Brc baskı. Pel Ofset-Akara. KETTELLE, J.D.(96). Least-cost allocato of relablty vestmet, Operatos Res., vol. 0, o.. KLEINERMAN, M.M. ad WEISS, G.H. (954). O the relablty of etworks, Proc. Natl. Electrocs Cof., vol. 0, KOLMOGOROV, A.N. (945). A umber of target hts by several shots ad geeral prcples of effectveess of gufre, Proc. Moscow Ist. Math., ssues. KOTZ, S., BALAKRISHNAN, N. ad JOHNSON, N.L. (000). Cotuous Multvarate Dstrbutos. Volume: Models ad Applcatos: Secod Edto Wley Seres Probablty ad Statstcs Appled Probablty ad Statstcs Secto. A Wley Iterscece Publcato: Joh Wley & Sos, Ic. New York, Chchester, Wehem, Brsbae, Sgapore, Toroto. 0

219 KOTZ, S. ad SINGPURWALLA, N. D. (999). O a bvarate dstrbuto wth epoetal margals. Scadava Joural of Statstcs. Vol LEFEBVRE, Y. (003). Usg equvalet falure rates to assess the uavalablty of a ageg system, Proc. Rel. ad Ma. Symp., LI, S., YIN, Q., GUO, P. ad LYU, M.R. (006). A herarchcal mture model for software relablty predcto. Appled Mathematcs ad Computato. LINDLEY, D.V. ad SINGPURWALLA, N.D. (986). Multvarate Dstrbutos for the Lfe Leghts of Compoets of a System Sharg a Commo Evromet. Joural of Appled Probablty 3, LIPP, J.P. (957). Topology of swtchg elemets vs. relablty", IRE Tras. Rel. ad Qualty Ctrl., vol. 0, Jue -33. LOTKA, A.J. (939). A cotrbuto to the theory of selfreewg aggregates wth specal referece to dustral replacemet. A. Math. Stat., vol. 0, -5. MADANSKY, A. (958). Uses of tolerace lmts mssle evaluato, Proc. Stat. Techques Mssle Evaluato Symp., Aug. MARSEGUERRA, M., ZIO, E., AMMATURO, M. ad FONTANA, V. (003). Predctg relablty va eural etworks, Proc. RAMS, Tampa, Florda, MARSHALL, A.W. ad OLKIN, I. (967). A Multvarate Epoetal Dstrbuto. Joural of the Amerca Statstcal Assocato, Vol. 6, No. 37. (Mar.), MARTZ, H.F. ad DURAN, B.S. (985). Comparso of three methods for calculatg lower cofdece lmts o system relablty usg compoet data, IEEE Tras. Rel., vol. R- 34, o.. MARTZ, H.F. ad WALLER, R.A. (98). Bayesa Relablty Aalyss, Wley, New York. MATHWORKS (007). Acceleratg the pace of egeerg ad scce. MCLACHLAN, G. ad PEEL, D. (000). Fte Mture Models. Wley Seres Probablty ad Statstcs Appled Probablty ad Statstcs Secto. A Wley 03

220 Iterscece Publcato: Joh Wley & Sos, Ic. New York, Chchester, Wehem, Brsbae, Sgapore, Toroto. MEDGYESSI, P. (96). Decomposto of superpostos of dstrbuto fuctos. Publshg house of the Hugara Academy of Sceces, Budapest. MEEKER, W. Q. ad ESCOBAR, L. A. (998). Statstcal Methods for Relablty Data. Joh Wley & Sos Ic. New York. MELTZER, S.A. (965) Desgg for relablty, IRE Tras. Rel. ad Qualty Ctrl., PGRQC-8, Sept, MENDENHALL, W. ad HADER, R.J. (958). Estmato of Parameters of Med Epoetally Dstrbuted Falure Tme Dstrbutos from Cesored Lfe Test Data. Bometrka, Vol. 45, No. 3/4. Dec., MINE, H. (959). Relablty of physcal system, IRE Tras. Iformato Theory, IT- S (Specal Supplemet), MOIVRE, A. DE (738). The Doctre of Chaces, d ed. Lodo: Woodfall. MOORE, E.F. ad SHANNON, C.E. (956). Relable crcuts usg less relable relays, J. of the Frakl Isttute, vol. 6, 956, Pt. I, 9-08, ad Pt II, MOSKOWITZ, F. ad MCLEAN, J. (956). Some relablty aspects of system desg", IRE Tras. Rel. ad Qualty Ctrl., vol. 8, MOSS, T.R. (005). The Relablty Data Hadbook. Professoal Egeerg Publshg Lmted: Lodo ad Bury St Edmuds, UK. 87s. MOSTELLER, F., ROURKE, R.E. ad THOMAS, JR., G.B. (96). Probablty wth statstcal applcatos, Addso-Wesley, Readg. NADARAJAH, S. ad KOTZ, S. (006a). Relablty for some Bvarate Epoetal Dstrbutos. Mathematcal Problems Egeerg. Volume 006, Artcle ID 465, 4. NADARAJAH, S. ad KOTZ, S. (006b). Relablty models based o bvarate epoetal dstrbutos. Probablstc Egeerg Mechacs NAGODE, M. ad FAJDIGA, M. (000). A mproved algorthm for parameter estmato sutable for med webull dstrbutos. Iteratoal Joural of Fatgue Volume, Issue, Jauary,

221 NYLANDER, J.E. (96). Statstcal dstrbutos relablty, IRE Tras. Rel. ad Qualty Ctrl., RQC-, July OHBA, M. (984). Software relablty aalyss models, IBM Joural of Research Developmet, vol.8, OHBA, M. ad YAMADA, S. (984). S-shaped software relablty growth models, Proc. 4th It. Cof. Relablty ad Mataablty, OLTORIK, T.F. (963). Relablty aalyss usg flowgraphs, Ar Force Isttute of Techology, USGRR Documet, o. AD , Aug. OUHBI, B. ad LIMNIOS, N. (999). Estmato of kerel, avalablty ad relablty of sem-markov systems", Proc. Stat. ad Prob. Methods Rel. OWEN, W.J., SINHA, D. ad CAPOZZOLI, M.H. (000). A Pared-Data Aalyss for a Lfetme Dstrbuto. The Amerca Statstca, November, Vol.54, No.4. PADGETT, W.J. ad TSOKOS, C.P. (979). Bayes Estmato of Relablty Usg a Estmated Pror Dstrbuto. Operatos Research, Vol. 7, No. 6. (Nov. - Dec.), PAN, J. (999). Software Relablty - Depedable Embedded Systems. PAPAZOGLOU, I.A. (998). Mathematcal foudatos of evet trees. Rel. Eg. ad System Safety, vol. 6, PATIL, G.P., BOSWELL, M.T. ad RATNAPARKHI M.V. (984). Dctoary ad Classfed Bblography of Statstcal Dstrbutos Scetfc Work. Volume. Cotuous Uvarate Models. Statstcal Dstrbutos Scetfc Work Volume 7. Iteratoal Co operatve Publshg House: Farlad, Marylad USA. PATRA, K. ad DEY, D. K. (999). A multvarate mture of webull dstrbutos relablty modelg. Statstcs ad Probablty Letters PHAM, H., NORDMANN, L. ad ZHANG, X. (999). A Geeral mperfect software debuggg model wth s-shaped fault detecto rate, IEEE Trasactos o Relablty, vol.48, o.,

222 PHILIPSON, J.L. (959). Operatoal relablty model for a recoassace system, IRE Natl. Coveto Record, pt. 6, POGOZHEV, I.B. (964). Estmato of devato of falure flow mult-use equpmet from Posso process", Cyberetcs Servce for Commusm, vol., Eergya, Moscow. PROSCHAN, F. ad BRAY, T. (965). Optmum redudacy uder multple costrats, Operatos Res., vol. 3, o. 5. RAUSAND, M. (005). Chapter 3 System Aalyss Fault Tree Aalyss. ( REYNOLDS, F.H. ad STEVENS, J.W. (978). Semcoductor compoet Relablty a Equpmet Operatg Electromechacal Telephoe Echages, 6th Aual Proceedgs Relablty Physcs Symposum, 7-3. ROSENBLATT, J.R. (963). Cofdece lmts for the relablty of comple systems, Stat. Theory of Rel., Uversty of Wscos Press, Madso, Wscos, ROSENTHAL, A. (980). Decomposto methods for fault tree aalyss", IEEE Tras. Rel., vol. 43, Jue, ROSS, S.M. (97). Itroducto to Probablty Models wth Optmzato Applcatos, Academc Press, New York. ROSS, S.M. (997). Itroducto to Probablty Models. Sth Edto. Academc Press. RUEDA, A. ad PAWLAK, M. (004). Poeers of the Relablty Theores of the Past 50 Years. The Iteratoal Symposum o Product Qualty & Itegrty RAMS 004 IEEE ( SATYANARAYANA, A. ad CHANG, M.K. (983). Network relablty ad the factorg theorem, Networks, 3, SATYANARAYANA, A. ad PRABHAKAR, A. (978). New topologcal formula ad rapd algorthm for relablty aalyss of comple etworks, IEEE Tras. Rel., R-7,

223 SHAW, M. (987). Recogzg the Optmum Bur-I Perod, Qualty ad Relablty Egeerg Iteratoal, Vol.3, SHORTLE, J.F. ad MENDEL, M.B. (00). Physcal foudatos for lfetme dstrbutos, Proc. System ad Bayesa Rel., SINGH, K.P. ad SINCLAIR, R.A. (97). Two-Dstrbuto Method for Flood- Frequecy Aalyss, J. Hydraul. Dv. Am. Soc. Cv. Eg., Vol.98, SMITH, W.L. (954). Asymptotc reewal theorems, Proc. Roy. Soc. Ed., A, 64, SMITH, W.L. (958). Reewal theory ad ts ramfcatos, J. Roy. Stat. Soc., Ser. B, vol. 0, o., SMITH, W.L. (959). O the cumulats of reewal processes," Bometrka, vol. 46, ssue /, Jue, -9. SOLOV'YEV, A.D. (970a). Relablty ad queueg theory: stadby wth rapd reewal. Eg. Cyberetcs, o., SOLOV'VEY, A.D. (970b). Redudacy wth fast repar. Eg. Cyberetcs, o.. STATSOFT (007). STECK, G.P. (958). Upper cofdece lmts for the falure probablty of comple etworks, Sada Corporato Research Report, SC-433(TR). STITCH, M., JOHNSON, G.M., KIRK, B.P. ad BRAUER, J.B. (975). Mcrocrcut Accelerated Testg Usg Hgh Temperature Operato Tests, IEEE Trasactos o Relablty, Vol. R-4, TAKÁCS, L. (959). O a sojour tme problem the theory of stochastc processes. Tras. Amer. Math. Soc., vol. 93,ssue 3, Dec. TALLIN, A.G. ad PETRESHOCK, T. (990). Modelg Loads for Steel Brdges, Trasportato Research Record 75, p TATE, R.F. (959). Ubased estmato: Fuctos of locato ad scale parameters, A. Math. Stat., vol. 30, o., THOMAN, D.R., BAIN, L.J. ad ANTLE, C.E. (970) Mamum Lkelhood Estmato, Eact Cofdece Itervals for Relablty, ad Tolerace Lmts the Webull Dstrbuto, Techometrcs, vol.,

224 THOMAS, E.A.C. (966). Mathematcal models for the clustered frg of sle cortcal euroes. Brt. J. Math. Stat. Psychol., 9, 5-6. TILLMAN, F.A., CHING-LAI, H. ad KUO, W. (980). Optmzato of System Relablty, Marcel Dekker, New York. TRIVEDI, K.S. (006). Probablty ad Statstcs wth Relablty, Queug ad Computer Scece Applcatos. Secod Edto. Publsher-Joh Wley&Sos. Chapter 5: Codtoal Dstrbuto ad Epectato Dept. of Electrcal&Computer Egeerg. TSITMIDELIS, S., KOUTRAS, M.V. ad ZISSIMOPOULOS, V. (00). Evaluato of relablty bouds by geetc algorthm, Proc. Math. Methods Rel. USHAKOV, I. (000). Relablty: past, preset, future, Recet Advaces Relablty Theory: Methodology, Practce, ad Iterface; Brkhauser, Bosto, 3-4. VLASSIS, N.A., PAPAKONSTANTINOU, G. ad TSANAKAS, P. (999). Mture Desty Estmato Based o Mamum Lkelhood ad Sequetal Test Statstcs. Neural Processg Letters v.9., p ( WAGNER, S. ad FISCHER, H. (005). A Software Relablty Model Based o a Geometrc Sequece of Falure Rates. Techcal Report TUMI-050, Isttut fur Iformatk, Techsche Uverstat Muche. WALLACE, D. ad COLEMAN, C. (00). Hardware ad Software Relablty: Applcato ad Improvemet of Software Relablty Models. Software Assurace Techology Ceter, Report 33-08, NASA. ( ec.pdf) WATSON, G.S. ad LEADBETTER, M.R. (964). Hazard Aalyss. I, Bometrka, vol. 5, Jue WEIBULL. COM (99-006). O-le Relablty Egeerg Resources for the Relablty Professoal. ( 08

225 WEIBULL, W. (939). A statstcal theory of the stregth of materals, Ig. VeteskapsAkad. Hadl., o. 5, WEIBULL, W. (95). A statstcal dstrbuto fucto of wde applcablty, J. Appled Mech., vol. 8, WELDON, W.F.R. (89). Certa correlated varatos Crago vulgars. Proceedgs of the Royal Socety of Lodo 5, -. WELDON, W.F.R. (893). O certa correlated varatos Carcus moeas. Proceedgs of the Royal Socety of Lodo 54, WIKIPEDIA (007). The Free Ecyclopeda. ( WU, P. (????). Software Relablty Models. Lab of Computer Scece, ISCAS. Bejg, Cha. ( ZEHNA, P.W. (966). Ivarace of mamum lkelhood estmators. A. Math. Statst. 37, 744. ZELEN, M. ad DANNEMILLER, M.C. (96). The robustess of lfe testg procedures derved from the epoetal dstrbuto, Techometrcs, vol. 3, o., ZHANG, X. (999). Software Relablty ad Cost Models wth Evrometal Factors. A dssertato submtted to the Graduate School New Bruswck Rutgers, The State Uversty of New Jersey partal fulfll to the requremets for the degree of Doctor of Phlosophy. Graduate Program Idustral&Systems Egeerg. 09

226 ÖZGEÇMİŞ 98 yılıda Adaa da doğdum. İlk öğretmm Atatürk İlkokuluda tamamladım. Orta ve Lse öğretmm İsmal Safa Özler Aadolu Lsesde aldım. Br yıl Almaca hazırlık eğtm de dahl olmak üzere 7 yıl eğtm gördüğüm İsmal Safa Özler Aadolu Lsesde 000 yılıda mezu oldum. Ayı yıl Çukurova Üverstes Fe Edebyat Fakültes Matematk Bölümüü kazadım. Çukurova Üverstes Yabacı Dller Öğretm Araştırma ve Uygulama Merkezde br yıl sürel İglzce hazırlık eğtm aldım. Dört yıllık Matematk Lsas eğtmde sora 005 yılıda mezu oldum. Ayı yıl Çukurova Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı da yüksek lsas öğreme başladım. 0