ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR

Transkript

1 ORTÖĞRETĐM ÖĞRENĐLERĐ RSI RŞTIRM ROJELERĐ YRIŞMSI ( ) ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTLR rojeyi Hzırlyn Öğrencilerin dı Soydı : Sinem ÇKIR Sınıf ve Şuesi : 11- dı Soydı : Fund ERDĐ Sınıf ve Şuesi : 11- Okulun dı : Eskişehir Ftih Fen Lisesi Dnışmn Öğretmen : Osmn EKĐZ ESKĐŞEHĐR 2009

2 2 ÖZET Üçgenlerin kendilerine hs özel noktlrı mevcuttur. ir lise öğrencisi üçgenin ğırlık merkezi, çevrel çemerinin merkezi, iç teğet çemerinin merkezi gii zı özel noktlrını ve u noktlr rsındki ilişkileri geometri derslerinde öğrenir. nck lise müfredtınd u noktlrın syısı ir elin prmklrı syısını geçmez. nck günümüzde üçgenlere hs yüzlerce özel nokt tnımlnmış, u noktlr rsındki ilginç ilişkiler orty konmuştur. ir üçgenin yükseklik yklrını köşe kul eden üçgene ortik üçgen denir. iz u çlışmmızd ortik üçgen yrdımıyl eş özellikli nokt dını verdiğimiz noktlr tnımldık. u noktlrın kendine hs özelliklerini orty koyup u özelikleri kullnrk kendi rlrındki ilişkileri orty çıkrdık. Çlışmmızd ele ldığımız zı ulgulrın özel hlleri çeşitli yrışmlrd sorulmuştur. Fkt konuyl lklı yyınlr incelenmiş nck orty koyduğumuz ulgulr enzer ulgulr içeren ir çlışmy rstlnmmıştır. Çlışmmızd öne sürdüğümüz iddilrı genellemeden önce özel olrk seçtiğimiz noktlr için iddimızı doğrultmy çlıştık. Sonuç olumlu ise ri Geometry 2 lus progrmı kullnılrk iddimız uygun çizimleri yprk doğruluğunu progrm sorgulttık 2

3 3 MÇ. rojemizde ortik üçgen yrdımıyl tnımldığımız eş özellikli noktlr ve u noktlrın özellikleri orty konmuştur. yrıc zı prolemlerin genellemesi ypılmıştır. GĐRĐŞ. Çlışmmızın çıkış noktsını oluşturn iki prolem şğıd prolem 1 ve prolem 2 olrk verilmiştir. u prolemlerin iddilrı üçgenin özel noktlrı için geçerli olup iz u iddilrın genelleştireileceğini düşündük. u düşüncemizi doğrultmk dın eş özellikli nokt dını verdiğimiz noktlr tnımldık. Litertür trmsı yptığımızd izim yptığımız tnımlmy enzer ir tnımlmy rstlnmmış, yrıc orty koyduğumuz iddilr enzer iddilrl d krşılşılmmıştır. Dolyısıyl oldukç özgün ir çlışm orty koyduğumuz inncındyız. rolem 1. üçgeninin, ve kenrlrı üzerindeki yükseklik yklrı sırsıyl 1, 1, 1 olsun. u durumd 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin diklik merkezleri sırsıyl H 1, H 2, H 3 ise H 1, H 2, H 3 ün noktdş olduğunu gösteriniz. H1 1 1 H2 1 H3 rolem 2. üçgeninin, ve kenrlrı üzerindeki yükseklik yklrı sırsıyl 1, 1, 1 olsun. u durumd 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin çevrel çemerlerinin merkezleri sırsıyl O 1, O 2, O 3 ise O 1, O 2, O 3 ün noktdş olduğunu gösteriniz. 1 O1 1 O2 1 O3 3

4 4 Tnım ve ve Q herhngi iki nokt olsun. Eğer 1 1, 1 1 ve 1 1 ise ve Q noktlrın ve üçgenlerinin eş özellikli noktlrı denir. 1 1 Q 1 Şekil 1 Şekil-1 de ve Q noktlrı üçgenlerin iç ölgelerinde lınmıştır. Fkt u noktlr üçgenlerin dış ölgelerinde vey üzerlerinde de seçileilir. Sonuç 1. enzer iki üçgenin eş özellikli noktlrı ile krşılıklı köşeleri irleştiren doğrulr krşılıklı kenrlrı vey u kenrlrın uzntılrını ynı ornd öler. 1 1 Şekil.2 Q Q1 1 1 Q Şekil.2 Q1 1 1 Knıt: olup ve Q noktlrı u üçgenlerin eş özellikli noktlrı olsun. ve Q noktlrı Şekil.2 d üçgenlerin iç ölgesinde Şekil.2 de dış ölgelerinde seçilmiştir. ve 1 Q kesenleri ve 1 1 i sırsıyl 1 ve Q 1 de kesin. Tnım gereği m( 1 ) = m( 1 1 Q 1 ) ve m( 1 ) = m( 1 1 Q 1 ) olcktır. u durumd Q 1 ve Q 1 olur. u durumd 4

5 5 1 = ve Q = dir olduğundn Q = Q 1 olur ki u ise = olduğunu gösterir. Dolyısı ile = olcktır. 1Q 1 1Q1 1Q1 enzer şekilde ve 1 Q kesenleri ve 1 1 i, ve 1 Q kesenleri ve 1 1 i, ynı ornd ölecektir. Tnım 2. ir üçgenin kenrlrı vey uzntılrı üzerinde irer nokt ile üçgenin köşelerinin elirttiği üçgenleri ele llım.(kz. Şekil.3) Şekil.3 1 1, 1 1, 1 1 üçgenleri üçgenine enzer olilir mi? evımız evet olmlıdır. Örneğin, 1, 1, 1 noktlrı üçgenin kenr ort noktlrı ise 1 1, 1 1, 1 1 üçgenleri üçgenine enzer olur üçgenine de üçgeninin orty üçgeni denir. Şekil.4 de u durum örnek ir çizim verilmiştir. F c E c D Şekil.4 c şk ir durumd şudur. üçgeninin de 1, 1 ve 1 yükseklikler olsun. u durumd olur üçgenine de üçgeninin ortik üçgeni denir. Şekil.5 de u durum örnek ir çizim verilmiştir. 5

6 6 1 1 Şekil ilişkisinin nedenine gelince u durumd çplı 1 ve 1 den geçen ir çemer mevcuttur. 1 1 kiriş dörtgeni olduğundn m() = m( 1 1 ) ve m() = m( 1 1 ) olup 1 1 olur. enzer şekilde diğer enzerlikler de gösterileilir. Teorem 1[Trigonometrik Sev ğıntısı]. üçgenin iç ölgesinde lınn ir sin sin sin c noktsı için (kz. Şekil.6).. = 1 dir. Eğer sin ' sin ' sin c ' sin sin sin c.. = 1 ise X, Y ve Z noktdştır. sin ' sin ' sin c ' ' ' X ' c c' Şekil.6 u teoremin knıtı çlışmmızı doğrudn ilgilendirmediği için verilmemiştir. ' Y Z c c' Tnım 3. Şekil.7 de S ve T, ir çısının köşesinden geçen iki doğru olsun. 6

7 7 x x y y S T S n T Şekil.7 Eğer u doğrulr sol şekildeki gii çının kollrıyl ynı ölçülü çı oluşturuyorlrs u doğrulr çısın göre izogonl doğrulr vey çısın göre irirlerinin izogonl eşlenikleri denir. Teorem 2. ir üçgeninin iç ölgesinde herhngi ir noktsı llım ve u noktyı üçgenin köşelerine irleştirelim. öyle ir durumd, ve nin izogonl eşlenikleri noktdştır. Kesiştikleri nokty Q dersek ve Q noktlrın iririnin izogonl eşleniği oln noktlr denir. Q YÖNTEM. Çlışmmızd kullncğımız tnımlr verildi. ulgulrın doğrultılmsı için fydlnıln teoremler isptsız olrk verildi. ulgulr öncelikle seçilen özel noktlr için doğrultıldı. zı ulgulrımız ise ri Geometry 2 lus progrmı yrdımıyl doğrultıldı. u ypılnlrdn sonr ulgulrın sentetik knıtlrı orty kondu. SONUÇLR. Çlışmmızd yptığımız tnımlmlr ve ulgulrımızı doğrultmk dın kullndığımız teoremler yukrıd verilmiş olup elde ettiğimiz sonuçlr ulgulr dı ltınd verilmiştir. ulgu 1. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1, 2, 3 sırsıyl 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin eş özellikli noktlrı olsun. u durumd 1, 2, 3 noktdştır. 7

8 8 ' 1 c c' ' 1 ' 1 c' c Knıt: 1 1 üçgeninde 1, 1, 1 kesenleri çılrı şekildeki gii ölsün. u sin sin sin c durumd T.S. den.. 1 sin ' sin ' sin c ' = dir. 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinde 1, 2, 3 noktlrı eş özellikli noktlr olduğundn 2 ve 3, ve çılrını şekildeki gii ölecektir. T.S. nin krşıtı gereğince 1, 2, 3 noktdştır. ulgu 1 deki 1, 2, 3 ün kesim noktsın diyelim. 1, 2, 3 noktlrı ile noktsının rsındki ilişkiye geçelim. ulgu 2. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1, 2, 3 sırsıyl 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin eş özellikli notlrı olsun. 1, 2, 3 noktlrının izogonl eşlenikleri Q 1, Q 2, Q 3 olmk üzere 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin Q 1, Q 2, Q 3 noktlrı ile üçgeninin noktsı eş özelliklidir. ' 1 ' c c' 1 ' Şekil.8 1 c' c 1 c' c ' Q1 ' Şekil.8 1 Knıt: Şekil.8 de 1 1 üçgeninde 1 noktsının izogonl eşleniği oln Q 1 noktsı ve oluşturduğu çılr gösterilmiştir. üçgeni ile 1 1 üçgeni enzer olup ve Q 1 noktlrını köşelere irleştiren doğru prçlrının oluşturduğu çılr incelenirse ve Q 1 noktlrının ve 1 1 üçgenlerinin eş özellikli noktlrı olduğu orty çıkr. 8

9 9 u ulgumuz ışığınd yukrıd verdiğimiz rolem 1 ve rolem 2 tekrr ele lınırs irinci prolemde H 1, H 2, H 3 ün kesim noktsının üçgeninin çevrel çemerinin merkezi olduğu görülür. Çünkü ir üçgende diklik merkezi ile çevrel çemerin merkezi iririnin izogonl eşleniği oln noktlrdır. ulgu 3. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1, 2, 3 sırsıyl 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin eş özellikli notlrı olsun. 1, 2, 3 kesenleri üçgeninin 1 1, 1 1, 1 1 kenrlrını sırsıyl Q 1, Q 2, Q 3 noktlrınd kessin. u durumd 1 Q 1, 1 Q 2, 1 Q 3 noktdştır. Knıt: 1 1 ve 1 1, 1 ve 1 kenrlrını K ve L noktlrınd kessin Q1 1 K L üçgeninde sev ğıntısındn.. 1 Q K L = dir L c c' ' Q1 K ' 1 Q2 Q3 ' 1 c' c 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinde 1, 2, 3 noktlrı eş özellikli olduğundn 1 K 1Q 3 L 1 Q2 = ve = olur. u durumd K Q L Q Q1 1Q 3 1 Q2 1Q1 1 K L.. =.. = 1 olup sev ğıntısının krşıtındn 1 Q 1, Q1 1 Q3 1 Q21 Q1 1 K L1 1 Q 2, 1 Q 3 kesenlerinin noktdş olduğu orty çıkr. ulgu 4. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1, 2, 3 sırsıyl , 1 1, 1 1 üçgenlerinin eş özellikli notlrı olsun... 1 = Knıt: Eş özellikli noktlrın tnımındn dolyı 1, 2, 3 noktlrının oluşturduğu çılr ve üçgenler şekil.9 d gösterilmiştir. u durumd , , olup 9

10 10 1 c c' c c' ' ' 1 ' ' ' ' 1 Şekil.9 c' c =, = olup =.. = 1olur ulgu 5. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin çevrel çemerleri üzerlerinde lınn eş özellikli noktlr ile üçgeninin diklik merkezi doğrusldır. Knıt: 1 H 1, 1 H 1, 1 H 1 dörtgenlerinde krşılıklı çılr toplmı olduğundn u dörtgenlerin çevrel çemerleri üçgenin diklik merkezi H de kesişir. u çemerler ynı zmnd 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin çevrel çemerleridir. 1 H 1 1 Şekil.9 1 1, 1 1 üçgenlerinin çevrel çemerleri üzerlerinde lınn eş özellikli noktlr sırsıyl 2 ve 3 olsun. Tnım gereği m( 1 2 ) = m( ) olur. yrıc 10

11 11 m( 1 2 ) = m( 1 H 2 ) ve m( ) = m( 1 H 3 ) olduğundn m( 1 H 2 ) = m( 1 H 3 ) olcktır. u eşitlik 2, H, 3 noktlrı doğrusldır. his konusu u doğru 1 1 üçgeninin çevrel çemerini 1 noktsınd kessin. m( 1 H 3 ) = m( 1 H 1 ) = m( 1 1 ) olur. urdn m( 1 2 ) = m( ) = m( 1 1 ) eşitliğini elde ederiz. u ise 1 noktsının 2 ve 3 noktlrı ile eş özellikli olduğunu gösterir. ulgu 6. ir önceki ulgumuzun krşıtı d doğrudur. Şöyle ki; üçgeninin diklik merkezi H den geçen doğru 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin çevrel çemerlerini 1, 2 ve 3 kessin. u durumd 1, 2 ve 3 noktlrı 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin eş özellikli noktlrıdır. 1 H 1 1 Knıt: m( 1 2 ) = m( 1 H 2 ) = m( 1 H 3 ) = m( ) olduğundn 2 ve 3 noktlrı eş özelliklidir. enzer şekilde m( 1 2 ) = m( 1 H 2 ) = m( 1 H 3 ) = m( ) = m( 1 1 ) olduğundn 1 ve 2 noktlrı eş özelliklidir. ulgu 7. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin 1 1, 1, 1 kenrlrı vey uzntılrı üzerinde sırsıyl eş özellikli 1, 2 ve 3 noktlrı llım. u durumd 2 3 üçgeninin diklik merkezi 1 noktsıdır. Knıt: 1, 2 ve 3 noktlrı sırsıyl 1 1, 1, 1 üzerinde olsun. Eş özellikli 1 1 nokt tnımındn = olup 1 // 1 2 olur. 1 olduğundn 1 2 olur

12 enzer şekilde 1 3 olcktır. u durumd 1 noktsı 2 3 üçgeninin diklik merkezi olcktır. ulgu 8. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1, 2, 3 sırsıyl 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin eş özellikli noktlrı olsun. 1, 2, 3 ün kesim noktsı oln noktsı üçgeninin diklik merkezidir. Q1 1 1 Q3 Q2 1 Knıt: Öncelikle olduğunu gösterelim. 1 2, 1 3 ve 1, 1, 1 ve 1 1 kenrlrını sırsıyl Q 2, Q 3 ve Q 1 noktlrınd kessin. Eş özellikli noktnın tnımındn dolyı Q 2, Q 3 ve Q 1 noktlrı eş özelliklidir. ulgu 7 den dolyı 1 Q 2 Q 3 olcktır. Q 2 ve Q 3 noktlrı eş özellikli olup tnım gereği 1 1 = olup 2 3 // Q 2 Q 3 olur. u durumd olcktır. Q Q

13 13 enzer şekilde ve olcğındn noktsı üçgeninin diklik merkezidir. ulgu 9. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1, 2, 3 sırsıyl 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin iç teğet çemerlerinin merkezleri olsun. u durumd üçgeninin ortik üçgeni üçgenine enzer ve kenrlrı üçgeninin kenrlrın prleldir. 1 Q3 Q2 1 Q1 1 c c Knıt: çılrı şekildeki gii isimlendirelim. + + c = 90 0 olur. m(q 2 ) = + c dir. ulgu 8 den Q 1 Q 2 Q 3 üçgeni üçgeninin ortik üçgeni (*) olduğundn 1 Q 3 Q 2 dörtgeninde Q 3 ve Q 2 çılrı 90 0 olduğundn m(q 3 1 Q 2 ) = m(q 2 ) = + c olcktır. 1 Q 3 3 dik üçgen olduğundn m( 1 3 Q 3 ) = olmlıdır. (*) dn dolyı 3 Q 1 Q 2 dörtgeni kirişler dörtgeni olup m(q 1 Q 2 ) = m( 1 3 Q 3 ) = olur. u durumd // Q 1 Q 2 olur. enzer şekilde // Q 2 Q 3 ve // Q 1 Q 3 olduğu gösterileilir. ulduğumuz u ilişkiler iddimızı doğrulr. 13

14 14 TRTIŞM. ulgulrımızd his konusu 1, 2, 3 noktlrı 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin iç ölgelerinde lınmıştır. eki, 1, 2, 3 noktlrı 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin dış ölgelerinde lınsydı iddilrımız yine de doğru olur muydu? iz iddilrımızın doğru olduğu kntindeyiz. Çünkü ulgu 1, 2 ve 8 için 1, 2, 3 noktlrı his konusu üçgenlerin dış ölgelerinde lınmış ve ri Geometry 2 lus progrmı kullnılrk iddilrımız doğrultılmıştır. Fkt sentetik ir knıt orty konulmmıştır. Çlışmmızd ortik üçgen yrdımıyl eş özellikli nokt tnımını yptık. Yukrıd verdiğimiz enzerlik ilişkilerini sğlyn orty üçgen yrdımıyl d enzer şekilde eş özellikli noktlr tnımlnilir. u durumd d elde ettiğimiz ulgulr enzer ulgulr elde edileilir. Yine ri Geometry 2 lus progrmı syesinde doğru olduğunu düşündüğümüz fkt knıtlymdığımız iki iddimızı verelim. Đddi 1. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1, 2, 3 sırsıyl 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin eş özellikli noktlrı olsun. 1, 2, 3 noktlrındn geçen,, kenrlrın prlel doğrulrın ikişer ikişer kesişmesiyle şekildeki üçgeninin oluşturlım. u durumd dir Đddi 2. üçgeninin ortik üçgeni olmk üzere 1, 2, 3 sırsıyl 1 1, 1 1, 1 1 üçgenlerinin eş özellikli noktlrı olsun. 1, 2, 3 noktlrındn geçen 1, 1, 1 yüksekliklerine prlel oln doğrulr noktdştır. 14

15 KYNKLR Honserger R., (1995), Episodes in Nineteenth nd Twentieth entury Eucliden Geometry, Wshington, M 15