Lif çarpımı ve simplektik manifoldlar

Transkript

1 Lif çarpımı ve simplektik manifoldlar Ahmet Beyaz, Orta Doğu Teknik Üniversitesi 11 Haziran 2015, Ankara Matematik Günleri

2 1 2-Küre üzerindeki Lefschetz Lif Uzayları 2 Lif çarpımı 3 Lif toplamı 4 Chern değişmezleri 5 References

3 Lefschetz Lif Uzayları Lefschetz lif uzayı, düzgün bir 4-manifold X ve X ten S 2 ye düzgün bir fonksiyon p den oluşur. S 2 içindeki sonlu sayıda kritik değerler dışındaki her noktadaki lif (p nin geri görüntüsü) g cinsli bir yüzey Σ g dir.

4 Lefschetz Lif Uzayları Lefschetz lif uzayı, düzgün bir 4-manifold X ve X ten S 2 ye düzgün bir fonksiyon p den oluşur. S 2 içindeki sonlu sayıda kritik değerler dışındaki her noktadaki lif (p nin geri görüntüsü) g cinsli bir yüzey Σ g dir.

5 Lefschetz Lif Uzayları

6 Lefschetz Lif Uzayları Kritik nokta etrafında p fonksiyonu p(x, y) = xy gibi görünür.

7 Lefschetz Lif Uzayları X in topolojik özellikleri π 1 (X ) = 1 olduğunu varsayalım.

8 Lefschetz Lif Uzayları X in topolojik özellikleri π 1 (X ) = 1 olduğunu varsayalım. Chern sayısı c 2 (X )=Euler sayısı =kritik noktaların sayısı+2(2 2g)

9 Lefschetz Lif Uzayları X in topolojik özellikleri π 1 (X ) = 1 olduğunu varsayalım. Chern sayısı c 2 (X )=Euler sayısı =kritik noktaların sayısı+2(2 2g) Chern sayısı c 2 1 (X )

10 Lefschetz Lif Uzayları X in topolojik özellikleri π 1 (X ) = 1 olduğunu varsayalım. Chern sayısı c 2 (X )=Euler sayısı =kritik noktaların sayısı+2(2 2g) Chern sayısı c 2 1 (X ) Lefschetz lif uzayları simplektiktir.

11 Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun.

12 Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun. Bunların lif çarpımı S 2 üzerinde a S 2 için lifi (a) p 1(a) olan lif uzayıdır. p 1 1 2

13 Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun. Bunların lif çarpımı S 2 üzerinde a S 2 için lifi (a) p 1(a) olan lif uzayıdır. p Sonlu sayıda nokta dışında lifler Σ 1 Σ 2 olur.

14 Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun. Bunların lif çarpımı S 2 üzerinde a S 2 için lifi (a) p 1(a) olan lif uzayıdır. p Sonlu sayıda nokta dışında lifler Σ 1 Σ 2 olur. İki lif uzayının kritik değerlerinin ayrık olduğunu varsayarsak 6 boyutlu düzgün bir manifold M elde ederiz.

15 Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun. Bunların lif çarpımı S 2 üzerinde a S 2 için lifi (a) p 1(a) olan lif uzayıdır. p Sonlu sayıda nokta dışında lifler Σ 1 Σ 2 olur. İki lif uzayının kritik değerlerinin ayrık olduğunu varsayarsak 6 boyutlu düzgün bir manifold M elde ederiz. M aynı zamanda simplektiktir. π 1 (M) = 1

16 Lif çarpımı

17 Lif toplamı Yapımda kullanılan lif uzaylarının kritik değerlerini ayrı yarıkürelerde toplayalım.

18 Lif toplamı Yapımda kullanılan lif uzaylarının kritik değerlerini ayrı yarıkürelerde toplayalım.

19 Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz.

20 Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz. M 1 = X 1 Σ 2 ve M 2 = X 2 Σ 1 olsun.

21 Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz. M 1 = X 1 Σ 2 ve M 2 = X 2 Σ 1 olsun. M 1 ve M 2 içinde Σ 1 Σ 2 bulunur öyle ki normal demetleri çarpım şeklindedir: Σ 1 Σ 2 D 2.

22 Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz. M 1 = X 1 Σ 2 ve M 2 = X 2 Σ 1 olsun. M 1 ve M 2 içinde Σ 1 Σ 2 bulunur öyle ki normal demetleri çarpım şeklindedir: Σ 1 Σ 2 D 2. M = M 1 (Σ 1 Σ 2 ) M 2 (Σ 1 Σ 2 )

23 Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz. M 1 = X 1 Σ 2 ve M 2 = X 2 Σ 1 olsun. M 1 ve M 2 içinde Σ 1 Σ 2 bulunur öyle ki normal demetleri çarpım şeklindedir: Σ 1 Σ 2 D 2. M = M 1 (Σ 1 Σ 2 ) M 2 (Σ 1 Σ 2 ) Yapıştırma ortak sınır olan (Σ 1 Σ 2 D 2 ) = Σ 1 Σ 2 S 1 üzerinden yapılıyor.

24 Chern sayıları c 3 = 2c 2 (X 1 )(1 g 2 ) + 2c 2 (X 2 )(1 g 1 ) 8(1 g 1 )(1 g 2 ) c 3 1 = 6(1 g 2 )c 2 1 (X 1 ) + 6(1 g 1 )c 2 1 (X 2 ) 48(1 g 1 )(1 g 2 ) c 1 c 2 = 2(1 g 2 )(c 2 1 (X 1) + c 2 (X 1 )) +2(1 g 1 )(c 2 1 (X 2 ) + c 2 (X 2 )) 24(1 g 1 )(1 g 2 )

25 Simplektik Calabi-Yau manifoldları Eğer X 1 ve X 2 i üzerindeki eliptik lif yapısı ile E(2) alırsak c 1 (M) = 0 olur. Not: E(2) manifoldu K3 olarak da bilinir.

26 Simplektik Calabi-Yau manifoldları Eğer X 1 ve X 2 i üzerindeki eliptik lif yapısı ile E(2) alırsak c 1 (M) = 0 olur. Not: E(2) manifoldu K3 olarak da bilinir. c 1 (M) = 0 olan simplektik manifoldlara simplektik Calabi-Yau manifoldları denir. Yukarıda anlatılan yolla sadece bir tane simplektik Calabi-Yau manifoldu elde ederiz. Bu manifoldun temel grubu tek elemanlı gruptur.

27 Teşekkürler!

28 References [1] A. Beyaz, Symplectic geography problem in dimension six, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics 41 (5), , 2012 [2] R. Gompf, A new construction of symplectic manifolds. Ann.ofMath.(2) 142 (1995), no.3, [3] M. Halic, On the geography of symplectic 6-manifolds, Manuscripta Math. 99 (3), , [4] B. Hunt, Complex manifold geography in dimension 2 and 3, J. Differential Geom.30 (1), , [5] C. LeBrun, Topology versus Chern numbers for complex 3-folds, Pacific J. Math. 191 (1), , [6] C. Schoen, On fiber products of rational elliptic surfaces with section. Mathematische Zeitschrift, 197, , 1988.