Bu Cennet Vatan için Şehit Düşenlere İthafen

Transkript

1 ÖNSÖZ Optimizasyon Teorisinin mühendislik, üretim, işletme, ekonomi, haberleşme, ulaştırma, sanayi gibi pek çok alanda uygulanması, YA nı vazgeçilmez kılmıştır. Özellikle bilgisayarların yaygın bir kullanım alanına sahip olmasından sonra endüstri kesimi de karar vermede yararlı bir araç olduğunu gördüğü Lineer Programlama (LP) konusuna ilgi duymaya başlamıştır. Petrol endüstrisi, problemlerinin karmaşıklığı sebebiyle, LP ile ciddi bir şekilde ilgilenen ilk endüstri branşı olmuştur []. Günümüzde, YA aşağıda sadece bir kaçını verebileceğimiz yüzlerce farklı problemlerin çözümünde kullanılmaktadır.bunlar, Fabrika Organizasyonu, Atelye/Tezgah Optimizasyonu, Proje Yönetimi, kaynakların optimum kullanımı sayılabilir. Bu ders notunu hazırlama amacımız,lisans seviyesinde eğitim veren fakültelerde Meslek Matematiği,Optimizasyon Teknikleri vb.isimler altında verilen derslere uygun olan ve lisansüstü eğitime önemli derecede katkı sağlayacak bir çalışma yapmak ve bunu daha da geliştirerek Optimizasyon Teknikleri kitabını yazmaktır.bununla birlikte, güncel hayatın her alanında uygulamalarına rastladığımız optimizasyon kavramını öğrencilerimize uygulamaları ile aktararak bu konudaki bilincin oluşturulması ve en güncel yaklaşım olan yapay zeka tekniklerine zemin hazırlanması amaçlanmıştır. İçeriğinde temelde Doğrusal Programlama ile Doğrusal Olmayan Programlama tekniklerini barındıran bu çalışmada öğrencilerimize klasik optimizasyon teorisinden ulaştırma problemlerine,gezgin satıcı probleminden en kısa yol problemine ve simpleks yöntemden atama problemine kadar çok sayıda konu örnekler ile desteklenerek ele alınmıştır. Bu çalışmanın gerek dersimizi alan öğrencilere gerekse bu konularla ilgilenen herkese faydalı olması temennisiyle Öneri ve eleştirilerini adresine bekliyoruz. Bu Cennet Vatan için Şehit Düşenlere İthafen

2

3 Önsöz...I İçindekiler...II. Giriş.... Lineer Programlama ve Grafik Çözümü..... Lineer Programlamaya Giriş..... Lineer Programlama Hakkında Genel Bilgi....3 Lineer Programlama İşlem Basamakları Lineer Programlama Problem Örnekleri Lineer Programlama ve Simpleks Metodu Simpleks Metoda Giriş Aylak Değişkenler ve Simpleks Metodun Örneklerle İncelenmesi Simpleks Metot Maksimum Problemleri Simpleks Metot II (Minimum Problemleri) Lineer Prramlama Problemlerinin marjinal analizleri ve formülleri: Lineer Programlama Problemlerinin Matris Fonksiyonlar Duality Duality ve Simpleks Metot İlişkisi Duality nin temel teoremi Ulaştırma Problemleri Ulaştırma Problemlerine Giriş Örneklerle Ulaştırma Problemlerinin incelenmesi Kuzey-batı köşesi yöntemi En küçük maliyetli hücreler metodu VAM(vogel) metodu Atama Problemleri ve Gezgin Satıcı Problemi Atama Problemlerine Giriş Atama Problemlerinin Çözüm adımları Örneklerle Atama Problemlerinin İncelenmesi Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemine Giriş Gezgin Satıcı Problemi İşlem Adımları Gezgin Satıcı Problemlerinin Örneklerle İncelenmesi...68

4 7. Dinamik Programlama Dinamik Programlaya Giriş Dinamik Programlanın Örneklerle İnecelenmesi Uygulama Programları Simpleks Metot Atama Problemleri Uygulamalarda Kullanılan Teknolojiler Java Java Hakkında Genel Bilgi Java Program Geliştirme Ortamaları ve Applett Kullanımı Delphi Delphi Hakkında Genel Bilgi Atama Problemi Algoritma Yapısı Active X Html Html hakkında Genel Bilgi Html içerisinde Diğer Dillerin Kullanımı Html de Active X Kullanımı Sonuç ve Öneriler...8.Kaynaklar...83.Özgeçmiş...84

5 I.GİRİŞ.Optimizasyon.. Tanım:En basit anlamı ile optimizasyon eldeki kısıtlı kaynakları en optimum biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir().matematiksel olarak ifade etmek gerekirse optimizasyon kısaca bir fonksiyonun minimize veya maksimize edilmesi olarak tanımlanabilir(). Diğer bir değişle optimizasyon en iyi amaç kriterinin en iyi değerini veren kısıtlardaki değişkenlerin değerini bulmaktır (3). Başka bir tanımlama ile belirli amaçları gerçekleştirmek için en iyi kararları verme sanatı veya belirli koşullar altında herhangi bir şeyi en iyi yapma (4) olarak da tanımlanan optimizasyon kısaca en iyi sonuçları içeren işlemler topluluğudur (5).Optimizasyonda bir amaç da maksimum kâr veya minimum maliyeti sağlayacak üretim miktarını kısıtlara bağlı olarak tespit etmektir. Günümüzün bilgisayar teknolojisi kadar güncel bir kavram olan optimizasyon kavramı çok çeşitli endüstri kesimlerinde uygulama olanağı bulmuştur. Değişen teknolojilerin, sınırlı kaynakların, artan rekabetin, karmaşık hale gelen sistemlerin doğurduğu problemlerin klasik yöntemlerle (matematiksel veya matematiksel olmayan, analitik veya sayısal) çözümünün güçleşmesi optimizasyon kavramını güncelleştiren en önemli sebeptir.bu yönüyle optimizasyonun kullanılmadığı bir bilim dalı hemen hemen yok gibidir (6)... Tarihçe:Gerçek hayatta karşılaşılan birçok problem için geliştirilen karar modellerinin kısıtları ve amaç fonksiyonlarında her zaman doğrusal bir ilişki kurulamadığından 95 li yıllardan sonra geliştirilmeye başlayan ve temelleri 8. ve 9. yüzyıllara dayanan yeni analitik ve sayısal yöntemler 96 lı yıllardan sonra sayısal bilgisayarlarında desteği ile hızla çoğalmıştır. Özellikle kimyasal işlemlerin süreklilik arz etmesi, planlamacıların, tasarımcıların, mühendislerin, jeologların, ekonomistlerin, iktisatçıların, işletmecilerin v.b. kendi alanlarındaki problemleri çözmek için yaptıkları çalışmalar optimizasyon ve buna bağlı teknikleri hızla ortaya çıkarmıştır. Benzer şekilde bu tekniklerin amaçlandığı alanlara, sistemin özelliklerine, kullanılan matematiksel yöntemlere ve kıstasların tasnifleri aşamalar geçirmiştir(3).

6 Klasik optimizasyon teorisi Cauchy, Lagrange ve Newton tarafından geliştirilmiştir. Newton ve Leibnitz in analiz çalışmaları optimizasyonun diferansiyel hesap metodlarının geliştirilmesine katkıda bulunmuştur. Kısıtlı problemler için optimizasyon metodunu adıyla anılan Lagrange geliştirmiştir. Kısıtsız optimizasyon problemlerini çözmek için Steepest Descent (en dik iniş,eğim) metodunun ilk uygulaması da Cauchy tarafından yapılmıştır. Optimizasyon konusundaki bu çalışmalar. yüzyılın ortalarına kadar çok yavaş ilerlemiştir. 95 lerden sonra sayısal bilgisayarların icadı optimizasyonda çok büyük çalışmaları beraberinde getirerek birçok yeni teori ve metodun ortaya çıkmasını sağlamıştır. Fakat 96 lı yıllarda kısıtsız optimizasyon konusundaki sayısal metodlar sadece İngiltere de geliştirilmiştir (5). Simpleks metodunu 947 de Dantzing, Dinamik Programlama Tekniğini 954 de Bellmann geliştirmiştir.bu çalışmamızın esasını teşkil eden Doğrusal Olmayan Programlama konusundaki ilk önemli çalışmalar 95 yılında Karush Kuhn ve Tucker tarafından optimal çözüm için gerek ve yeter şartlar teorisi başlığı adı altında sunulmuştur(7). 96 lı yıllarda Zoutendijk ve Rosen de Doğrusal Olmayan Programlama sahasında önemli çalışmalar yapmışlardır. Doğrusal Olmayan Programlama alanındaki en büyük gelişme kısıtsız optimizasyonun bilinen tekniklerini kullanarak çok zor problemlerin çözümünü kolaylaştıran ciddi çalışmaların Carroll, Fiacco ve Mc Cormick tarafından ortaya konmasıdır. Geometrik Programlama ise 96 lı yıllarda Peterson, Zener ve Duffin tarafından geliştirilmiştir(5).düzlemsel Kesme Algoritması ise 969 da Zangwill tarafından ortaya konmuştur. İndirgenmiş Gradient Metod ise Wolfe tarafından 963 de geliştirilmiştir(8)..3.optimizasyon Probleminin Özellikleri ve Çözüm Aşamaları Bir optimizasyon probleminin temel özelliği üç kategoriye ayrılmasıdır. Bunlar : En az bir amaç fonksiyonunun optimize edilmesi Eşitlik kısıtları Eşitsizlik kısıtlarıdır

7 Yani genel bir optimizasyon problemi: maksimum (minimum) f() veya gi (),( ) i =,,.., m h i () = i = m +, m +,, n şeklindedir.bu genel tanım altında amaç fonksiyonunun en iyi değerini veren X = (,,..., n )T n boyutlu çözüm vektörüne model vektörü de denir(3). () ile ifade edilen genel problemde f() amaç fonksiyonunu, g i () eşitsizlik kısıtları ve h i () eşitlik kısıtları temsil eder. n in sıfır olması problemin kısıtsız olması, sıfırdan farklı olması da problemin kısıtlı olması anlamına gelir. Genel bir optimizasyon probleminin çözümü altı adımda gerçekleştirilir. i. İşlem analiz edilerek işlem değişkenlerinin bütün bir listesi çıkarılır. ii. iii. iv. Optimizasyon için amaç fonksiyonunu tanımlayacak kriter belirlenir. Matematiksel ifadelerle kullanılabilir bir işlem gerçekleştirilir. Problem çok büyükse; a) Kontrol edilebilir ve modeli basitleştirilir. b) Amaç fonksiyonu tekniği matematiksel ifadeye uygulanır. v. Uygun optimizasyon tekniği matematiksel ifadeye uygulanır. vi. Cevaplar kontrol edilir(3). Bütün optimizasyon problemlerinin çözümü için etkili tek bir metot olmadığından optimizasyon metotları optimizasyon problemlerinin farklı tiplerinin çözümü için geliştirilmiştir(5)..4. Doğrusal Olmayan Programlama Gerçek hayatta karşılaşılan birçok problem için geliştirilen karar modellerinin kısıtlarından en az biri veya amaç fonksiyonunun doğrusal olmadığı durumlar için geliştirilen tüm kavram ve teknikler Doğrusal Olmayan Programlama adı altında incelenmektedir(6). 3

8 Doğrusal Olmayan Programlama: Z = f( i ) = f(,..., n ) (i =,,, n) şeklinde tanımlanan sürekli ve türevlenebilen bir amaç fonksiyonunun; g j ( i ) ( i ) (i =,,, n)(j =,,, m ) kısıtları altında optimum çözümünü araştırma yöntemidir(9). Doğrusal ve doğrusal olmayan denklemlerden oluşan g j ( i ) kısıtları eşitlikler veya eşitsizlikler şeklinde verilebilir. Şöyle ki; g j ( i ) ( ) (j =,,., l) ve g j ( i ) = (j = +,..., m) şeklinde tanımlanan kısıtlar m tane denklemden oluşan bir denklem sistemidir. Bu denklemlerin tanesi eşitsizlik, (m-) tanesi eşitlik denkleminden oluşur()..5. Amaç Fonksiyonunun Yorumlanması Amaç fonksiyonunun yorumlanması konusunda kısıtlarda ve (veya) kısıtsız problemde yer alan değişkenlerin (karar değişkenleri) en iyi seçmedeki kriter programlamada amaç fonksiyonu olarak adlandırılır.pratikte ise kısıtlarda ve amaç fonksiyonunda yer alacak değişkenlerin (kıt kaynakların) en iyi değerlerini bulmak olarak tanımlanabilir(3)..6. Optimizasyon ile İlgili Temel Kavram ve Tanımlar.6.. Fonksiyonlarda Süreklilik Kavramı A. Tek Değişkenli Fonksiyonlarda Süreklilik Tek değişkenli bir y = f() fonksiyonunun bir noktasında sürekli olması demek, verilen ε > sayısına karşılık öyle bir h < σ,σ > sayısının bulunmasıdır ki; f ( + h) f ( ) ε dır. 4

9 B. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Süreklilik Çok değişkenli bir z = f () = f (,,..., n ) fonksiyonunun bir noktasında sürekli olması demek, verilen ε > sayısına karşılık öyle bir h < σ,σ > sayısının bulunmasıdır ki; Burada; f ( + h) f ( ) ε dır. h = (h,h,...,h n ) ve σ = (σ,σ,...,σ n ) > dır()..6.. Unimodal (Tek değer) Fonksiyon Verilen bir aralıkta bir tek maksimum veya minimuma sahip fonksiyona Unimodal fonksiyon denir(5). Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse: [a,b] aralığı üzerinde bir y=f() fonksiyonu tanımlanmış olsun. [ a, b] p sayısı için; i) f(), [a, p] aralığında azalan bir fonksiyon ii) f(), [p, b] aralığında artan bir fonksiyon ise y = f() fonksiyonuna bu aralıkta Unimodal (tek değerli) fonksiyon denir(). Eğer f() fonksiyonu [a, b] aralığında Unimodal fonksiyon ise f() minimum değerini a < c < d < b şeklindeki bir [c,d] aralığında alabilir. Bu minimum değer f(c) ve f(d) nin ma[f(a), f(b)] den daha küçük iken garanti edilir (Şekil.a - b). Eğer f(c) f(d) ise [a, d] aralığının sağından aralık daraltılır (Şekil.a). Eğer f(d) < f(c) ise [c, b] aralığının sağından itibaren aralık daraltılır (Şekil.b). y = f() y = f() [a c p d b] [a c p d b] Şekil.a Şekil.b 5

10 .7.Konvekslik ile İlgili Tanımlar.7..Konveks Bileşen S, E n, n boyutlu öklidyen uzayda boş olmayan bir küme olsun. i Sveα i, λ i = iken, = α + α α n n olsun. Eğer; n = α i i şeklinde elde edilen noktasına i = konveks (dışbükey) bileşeni denir(6)..7.. Konveks Küme,, 3,..., n noktalarının S, E n, n-boyutlu öklidyen uzayda boş olmayan bir küme olsun. S kümesinin farklı iki noktasının konveks (dışbükey) bileşeni ile bulunan nokta yine S kümesinin bir elemanı ise S kümesine konveks küme denir(8).(şekil.a-b) Konveks Küme Konveks değil Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse; Şekil.a Şekil.b, S, i j, α i j iken = + ( S( i j) oluyorsa S kümesine konveks (dışbükey) küme denir..7.3.konveks Fonksiyon α i λ) j E n, n-boyutlu öklidyen uzayda verilen herhangi iki nokta (, ) olsun.eğer aşağıdaki eşitsizlik E n, n-boyutlu öklidyen uzayındaki her nokta çifti için geçerli ise f fonksiyonuna konvekstir denir(3). ( ) E ; α, için; f [( α) + α ] [( α) f ( ) + α f ( )] 6

11 .7.4.Konkav (İçbükey) (Konveks Olmayan) Fonksiyon Konveks fonksiyonunun tanımına benzer olarak; ( ) E ; α, için; f [( α) + α ] [( α) f ( ) + α f ( )] oluyorsa f fonksiyonuna konkav (içbükey) fonksiyondur denir.(.7.3) ve (.7.4) ile ifade edilen tanımları geometrik olarak açıklamak gerekirse; Fonksiyonun yüzeyi üzerinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğru, fonksiyonun temsil ettiği eğrinin altında kalıyorsa fonksiyona konkav fonksiyon, aksi halde yani yüzey üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru fonksiyonun temsil ettiği eğrinin üstünde kalıyorsa fonksiyona konvekstir denir(8) (Şekil 3.a-b-c). Konveks Fonksiyon Konkav Fonksiyon Ne Konveks Ne Konkav (Şekil 3.a). (Şekil 3.b). (Şekil 3.c). [(-α) + α ] [(-α) + α ] [(-α) + α ].8. Optimum Aramada Konveksliğin ve Konkavlığın Etkileri.8.. Kısıtsız Maksimum (Minimum) Eğer bir doğrusal olmayan programlama problemi bir f() amaç fonksiyonunu içerirse ve ayrıca f() konveks (konkav) ise uygun bölge içindeki bir noktada bir tek optimum çözüm vardır ve bu noktada. mertebeden türevlerin hepsi sıfırdır. Aynı zamanda bu nokta bir sınır noktada olabilir. Aynı özellik bu sınır nokta içinde geçerlidir(3). 7

12 .8..Kısıtlı Maksimum Eğer bir doğrusal olmayan programlama problemi aynı anda hem bir amaç fonksiyonu hem de kısıtların bir kümesinden oluşuyorsa optimum çözümün tekliği amaç fonksiyonu ve kısıtlara bağlıdır.eğer amaç fonksiyonu konkav ve kısıtların kümesi konveks ise problemin bir tek maksimum çözümü vardır. Bu nedenle herhangi bir sabit nokta mutlak maksimum çözüm olmak zorundadır..8.3.kısıtlı Minimum Eğer bir doğrusal olmayan programlama problemi aynı anda bir amaç fonksiyonu ve kısıtların bir kümesini içeriyorsa optimum çözümün tekliği amaç fonksiyonu ve kısıtlara bağlıdır. Eğer amaç fonksiyonu konveks ve keza kısıtların kümesi de konveks bölge formunda ise problemin bir tek minimum çözümü olacaktır. Bu nedenle herhangi bir sabit nokta mutlak minimum çözüm olmak zorundadır..8.4.konkav (Konveks) Fonksiyonun Minimizasyonu (Maksimizasyonu) Eğer bir konveks fonksiyon maksimize (konkav fonksiyon minimize) edilirse optimal çözüm kısıtlar kümesinin ekstremum noktalarının yalnız birisinde bulunacaktır..9. Bir Fonksiyonun Gradienti f() = f(,,..., n ) n-değişkenli fonksiyonunu göz önüne alalım. Burada, (,,..., n ) koordinatları n-boyutlu öklidyen uzayda X-sütun vektörü ile temsil edilirler(). f() = f(,,..., n ) fonksiyonunun gradienti ise f() veya grad f() sembolleri ile gösterilir ve; grad f() = f f f f () =,,..., n veya kısaca; f f () = dır. (k =,,, n) şeklinde tanımlanır. k 8

13 9.. Hessian Matrisi f() fonksiyonunun ikinci mertebeden sürekli türevlere sahip olması durumunda bütün i ve j ler için; j i j i. f. f = eşitliği geçerlidir(4). Bu nedenle f() = f( n,...,, ) n-değişkenli fonksiyonunun ikinci mertebeden kısmi türevleri; n n j i f. f H = şeklinde bir matris ile gösterilebilir. İşte bu n n lik f H () matrisine f() fonksiyonunun Hessian matrisi denir. Bu matris aynı zamanda simetriktir(5). Açıkça yazmak gerekirse; n n f n n n n f... f f f... f f () H = II. KLASİK OPTİMİZASYON TEORİSİ. Klasik Optimizasyon Teorisi Klasik Optimizasyon Teorisi kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için ekstremum noktaların belirlenmesinde diferansiyel hesabın kullanılmasını geliştirmiştir.geliştirilen bu metodlar sayısal hesaplamalar için uygun olmayabilir. Bu temel başlık altında kısıtsız ekstremumların belirlenmesi için gerek ve yeter şartları, eşitlik kısıtlara sahip problemler için Karush Kuhn Tucker gerek ve yeter şartlarını inceleyip örnekler vererek açıklayacağız().

14 . Kısıtsız Ekstremum Problemleri f() fonksiyonunun bir ekstremum noktası maksimum veya minimum nokta olarak tanımlanır. Matematiksel olarak tanımlamak gerekirse; h = (h, h,..., h j,..., h n ) öyleki h j bütün j ler için yeterince küçük olmak üzere; f ( + h) f ( ) ε şartı sağlanıyorsa noktası bir maksimum noktadır(3). Bir başka deyişle; ın komşuluğundaki her noktada f fonksiyonunun değeri f ( ) dan küçük ya da eşit kalırsa a f fonksiyonunun maksimum noktası denir. Benzer şekilde; h = (h, h,..., h j,..., h n ) öyleki h j bütün j ler için yeterince küçük olmak üzere; f ( + h) f ( ) şartı sağlanıyorsa noktası bir minimum noktadır. Yani ın komşuluğundaki her noktada f nin aldığı değer f ( ) değerinden büyük yada eşit kalırsa noktasına f fonksiyonunun minimum noktası denir. Aşağıdaki şekil [a, b] aralığında tek değişkenli bir f() fonksiyonunun maksimum ve minimumlarını tanımlar (Şekil 4). f () a Şekil.4. f() fonksiyonunun maksimum ve minimumları Şeklimize göre,, 3, 4, 6 noktaları f() fonksiyonunun ekstremum noktalarıdır. Bu noktalardan, 3 ve 6 noktaları maksimum noktalar iken ve 4 noktaları da minimum noktalarıdır. f ( 6 ) = ma { f ( ),f ( 3 ),f ( 6 )} olduğundan f ( 6 ) global maksimum veya mutlak maksimum olarak isimlendirilir. f ( 6 ) ya göre f ( ) ve f ( 3 ) noktaları da yerel maksimum olarak adlandırılır.

15 Benzer olarak; f ( ) = min { f ( ),f ( 4 )} olduğundan f ( ) noktası mutlak minimum nokta olarak isimlendirilirken, f ( ) ye göre f ( 4 ) noktası yerel minimum nokta olarak isimlendirilir. ile 3 noktaları karşılaştırıldığında zayıf maksimum iken 3 güçlü maksimumdur. ile 4 noktaları karşılaştırıldığında 4 noktası noktasına göre zayıf minimum noktadır(). Genelleştirecek olursak; f ( + h) f ( ) ise bir zayıf maksimum f ( + h) < f ( ) ise bir güçlü maksimum f ( + h) f ( ) ise bir zayıf minimum f ( + h) > f ( ) ise bir güçlü minimum noktadır. noktası güçlü minimum nokta iken Burada h daha önce tanımlandığı gibidir. Şekil 4 den de görüldüğü gibi bütün ekstremum noktalarda f() fonksiyonunun eğiminin (. türevi) sıfıra eşit olduğu sonucuna varabiliriz. Buna karşılık bu özellik tek değildir. Yani tersi doğru olmayabilir. f() fonksiyonunun eğimi herhangi bir noktada sıfır olduğu halde bu nokta ekstremum nokta olmayabilir. Şekil 4 deki 5 noktası böyle bir noktadır. Yani bu noktada f() fonksiyonunun eğimi sıfır olduğu halde 5 noktası bir ekstremum nokta değildir. İşte böyle noktalara, gradienti (eğim) sıfır oldugğu halde ekstremum olmayan noktalara büküm noktaları denir... Ekstremum İçin Gerek ve Yeter Şartlar n-değişkenli bir f() fonksiyonunu gözönüne alalım. f() fonksiyonunun her noktasında birinci ve ikinci mertebeden sürekli türevlere sahip olduğunu varsayalım. Teorem-: Herhangi bir noktasının f() fonksiyonunun ekstremum noktası olması için gerek şart; f ( ) = olmasıdır.

16 Ispat: < θ < için Taylor teoreminden; T f ( + h) f ( ) = f ( )h + h Hh + θh Yeterince küçük h j ler için kalan terim Bundan dolayı () deki açılım; h T Hh, h j nin mertebesindedir. f ( + h) f ( ) f ( )h + (h j ) f ( ). h Şimdi noktasının bir minimum nokta olduğunu varsayalım. Olmayana ergi yöntemiyle gösterilebilir ki f ( o ) sıfıra eşit olmak zorundadır. bir minimum nokta. değil iken özel bir j için; f ( j ) < f ( ) veya > j olabilir. f ( ) h j nin işareti uygun seçilerek h j. < j her zaman elde edilebilir. Diğer h j lerin kümesi sıfıra eşitlenerek Taylor açılımındaki kabulden ( + h) f ( ) f < veya ( + h) f ( ) bulunur. Bu ise noktasının bir minimum nokta olması ile çelişir. O f < halde f ( o ) = olmak zorundadır. Bu sonuç gerektir fakat yeter değildir. Yani f ( o ) = iken bir ekstremum nokta olmayabilir. Teorem-: Sabit bir noktasının bir ekstremum nokta olması için yeter şart Hessian Matrisinin ( Hf ) daki değeri ile belirlenir. H (f) > bir minimum noktadır. H (f) < bir maksimum noktadır. İspat: < θ < için Taylor teoreminden; T f ( + h) f ( ) = f ( )h + h Hh + θh idi. bir sabit nokta iken Teorem- gereğince f ( ) = dır.buna göre; T f ( + h) f ( ) = h Hh + θh olur.

17 noktasını minimum nokta olarak alalım. Tanımdan; f ( + h) > f ( ) dır. Bunun anlamı şudur; noktasının bir minimum nokta olması için; T h Hh +θh > olmalıdır. İkinci kısmi türevlerin sürekli olmasını kabulü ile h T H ve + θ h ın her ikisinde de değerlendirildiğinde aynı işarete sahip olmak zorundadır. h T Hh bir karesel form olarak tanımlanır ve noktasında değerlendirilirse ın minimum nokta olması için H pozitif tanımlı olmalıdır. Bu son ifadenin anlamı şudur:sabit bir noktasının minimum nokta olması için yeter şart Hessian Matrisinin bu noktada pozitif tanımlı olmasıdır. Aynı yeter şart ın maksimum nokta olması için yapıldığında Hessian matrisinin noktasında negatif tanımlı olması gerektiği söylenebilir. Sonuç : Eğer H tanımsız ise bir büküm noktası olmak zorundadır. Sonuç : Teorem- ve Teorem- ile sunulan ifadeler tek değişkenli y = f() fonksiyonu için şu şekilde özetlenebilir.herhangi bir noktasının y = f() fonksiyonunun bir ekstremum noktası olması için gerek şart f ( ) = olmasıdır. Yeter şart; f ( ) < ise bir maksimum noktadır. f ( ) > ise bir minimum noktadır(6). Eğer, f ( ) = ise ın ekstremum nokta olması için yüksek mertebeden türevler gözönüne alınmak zorundadır. Bunu aşağıdaki sonuç teorem ile sunabiliriz. Teorem-3: y=f() fonksiyonu verilsin. f() in sabit bir noktasında; ( n) ( f ) = ve ( n) ( f ) oluyorsa = noktasında f(); n tek ise bir büküm noktasına sahiptir.n çift ise; a) b) ( n) ( f ) < ise maksimuma sahiptir. ( n f ) ( ) > ise minimuma sahiptir(). 3

18 4.3. Çok değişkenli Fonksiyonlarının Optimizasyonu (Kısıtsız Optimizasyon) Daha önce tanımlandığı gibi,y=f(,,... n ) n- değişkenli fonksiyonu. mertebeden sürekli kısmi türevlere sahipken bu fonksiyonun hessian matrisi simetrik bir matris (simetrik matris: j i olmak üzere aij=aji olan matristir) olup aşağıdaki gibidir ; Hf()= n n n n n f f f f f f f f f = nn n n n n f f f f f f f f f nn nn y=f(,,... n ) fonksiyonların ekstremumlara sahip olması için; i) Gerek şart:,..., ),..,, ( ),..,, ( = = = n n n f f f gradf olmasıdır. Bu denklemin çözümü olan noktalara sabit noktalar denir, ii) Yeter şart: noktası ) ( = f şartını sağlayan nokta(sabit nokta) olsun.buna göre;.test : i. Hf( ) > (Pozitif tanımlı) ise minimum noktasıdır ii. Hf( ) < (Negatif tanımlı)ise maimum noktasıdır iii. Hf( ) tanımsız ise büküm noktasıdır.test: det(a- λ I)= n.dereceden bir polinom denklem olup buna f fonksiyonunun karakteristik polinomu,bu denklemin köklerine de karakteristikler veya özdeğerler denir.buna göre ; i. λ > i i için ise A pozitif tanımlıdır (A=(a ij ) nn ) ii. λ < i i için ise A negatif tanımlıdır (A=(a ij ) nn ) iii. Diğer durumlarda tanımsızdır.

19 .3.. A matrisinin tanımlılığı:nn lik bir A matrisinin tanımlılığını belirlemek için aşağıdaki test uygulanır. A= a a.. a n a a.. a n a a.. a n n nn olsun. A nın uzanan alt matrisleri ; nn a A =[a ] ; A = a a a a,..., Aj = a a j a a a j a a a j j jj a,... An a a n... a a a n n nn olarak tanımlanır. jj nn Bu matrislerin determinantlarının hepsi pozitif ise A matrisi pozitif tanımlıdır.yani; i. i için det A i > ise A pozitif tanımlıdır. ii. i için (-) i det A i > ise A negatif tanımlıdır. iii. Diğer durumlarda tanımsızdır.nokta büküm noktasıdır..3.. Konveks,Konkav Fonksiyonunun Hessian Matrisi ile Tayini (D escartes kuralı) det (A- λ I) = ifadesi P( λ ) = şeklinde λ ya bağlı bir polinom olup; p(λ ) daki işaret değişikliği sayısı δ (pozitif kök sayısı) p(-λ ) daki işaret değişikliği sayısı δ (negatif kök sayısı) ile tanımlanır ve sabit noktanın kimliği ilefonksiyonun konkav yada konveksliği kolayca belirlenir. Örnek : f(,, 3 )= fonksiyonun ekstremumlarını ve konveks yada konkavlığını inceleyiniz )Gerek şart: f()= olmalıdır f =- =, f =3 - =, f =+ - 3 = 3 Buradan; =/, =/3, 3 =4/3 olduğu görülür. =(/,/3,4/3) sabit noktadır. 5

20 6 )Yeter şart:bu fonksiyona ait Hessian matrisini oluşturalım Hf( )= f f f f f f f f f f ise Hf( )= H =[-] olduğundan det H =- H = olduğundan det H =4 H 3 olduğundan det H 3 =-6 H f () negatif tanımlıdır =(/,/3,4/3) maksimum noktadır Not:yeter şart için II. Metot şu şekildedir. Det (H-I λ )= - λ = λ λ λ = ve buradan; p( λ )=(-- λ )[(-- λ ) -]= ise p( 6 6 ) 3 = = λ λ λ λ olur. p(- 6 6 ) 3 = + = λ λ λ λ dır (3 tane negatif kök vardır, fonksiyon konkavdır yani noktasımaksimum noktasıdır) Örnek : f(,y)= -4y+y fonksiyonunun ekstremumlarını ve konveks yada konkavlığını inceleyin. Çözüm: )Gerek şart: ) ( = f olmalıdır f =-4y=, y f =-4+y= Buradan; =, y= olduğu görülür. =(,) sabit noktadır. )Yeter şart:hf( )= = 4 4 fyy fy fy f H =[] ise det H => H = 4 4 ise det H = -< H f tanımsız olduğundan f fonksiyonu ne konveks nede konkavdır, büküm noktasıdır.

21 7. yol : det (H- I) = λ λ = 4 4 = λ λ p( ) λ =(- λ ) -6= 4 = λ λ p(- 4 ) = + = λ λ λ λ ların bir kısmı pozitif bir kısmı negatif olduğundan büküm noktasıdır. Örnek: f(,y,z)=4-6y -y+3z-y-4yz+ fonksiyonunun ekstremumlarını bulunuz Çözüm: Gerek Şart: ) ( = f olmalıdır.buna göre; f =8-y+3z= f y =-y--4z-= f z =3-4y= olup buradan (-6/7,-9/4,3/7) bulunur. Yeter şart : f =-,f y =3,f yy =-,f yz =-4,f zz = olup Hessian matrisi; H = elde edilir..test : det [8] = 8 > ve det 8 = < (H f () tanımsız, büküm noktası, fonksiyon ne konveks ne de konkavdır).test : det (A- I) = λ = = λ λ λ λ ise buradan şu bulunur; ) ( 3 = + + = λ λ λ λ p ) ( 3 = + = λ λ λ λ p üç negatif kök varsa negatif tanımlı, 3 pozitif kök varsa pozitif tanımlı bunun dışında tanımsızdır.

22 .3. Kısıtlı Ekstremum Problemleri: Bu bölümde sınır şartları ve kısıtlarıyla sürekli fonksiyonların optimizasyonu ele alacağız. Bu sınır şartları veya kısıtlar denklem formunda olabillir veya olmayabilir()..3.. Eşitlik Kısıtlar Eşitlik kısıtlarına sahip amaç foksiyonunun optimizasyonu için iki metod geliştirilmiştir. Bunlardan ilki Jacobian (Kısıtlı Türevler) metodu, ikincisi ise Lagrange metodudur(). Jacobian metodu Doğrusal Programlama için simpleks metodunun bir genellemesi olarak ele alınabilir. Gerçekten de simpleks metodu şartları Jacobian metodundan türetilebilir. İkinci bir metod olan Lagrange metoduda yine benzer olarak Jacobian metoduna benzer bir mantıkla geliştirilmiştir. Bu ilişki Lagrange metodunun ilginç bir ekonomik yorumunu kabul eder. A) Lagrange Metodu f = J Y g duyarlılık katsayıları f nin optimum değeri üzerinde kısıtlardaki küçük değişikliklerin etkisini belirlemede kullanılır. Keza bu katsayılar sabittir. Bu özellikler eşitlik kısıtlarına sahip kısıtlı problemleri çözmek için kullanılır. λ = Y f J = g Buradan; f - λ g = bulunur. Bu denklem sabit noktalar için gerek şartlarda yeterlidir. Yani f, g C f ye benzer olarak hesaplanır. Bu denklemleri sunmak için daha elverişli bir ifade de bütün Böylece; j lerin kısmi türevleri alınmak suretiyle elde edilir. (f - λg) = j (j =,,, n) g = kısıt denklemleri ile bu son denklem ve λ nın uygun değerlerini kabul eder ki sabit noktalar için gerek şartlar kâfidir.eşitlik kısıtlarına sahip optimizasyon problemlerinin sabit noktalarının belirlenmesi işlemi Lagrange işlemi olarak adlandırılır. Bu metodu formulize eden ifade; L ( X, λ ) = f() λ g() ile verilir. 8

23 Burada L fonksiyonu Lagrange fonksiyonu ve λ parametreleri de Lagrange çarpanları olarak bilinirler. L L = ve = λ X denklemleri Lagrange fonksiyonu için gerek şartların oluşturulmasında direkt olarak kullanılır. Bir başka deyişle, g() = kısıtları ile f() fonksiyonunun optimizasyonu L ( X, λ ) Lagrange fonksiyonunun optimizasyonuna eşittir. Şimdide Lagrange metodu için yeter şartları ispatsız olarak tanımlayalım. Burada; H B = T P P Q (m+ n)(m+ n) P = g g g... () () () m (m n) ve Q = L (X, λ) i. j (n n) ( i,j için ) İşte bu şekilde tanımlanan B H matrisine sınırlandırılmış Hessian Matrisi denir(). B Verilen bir ( X, λ ) noktasında Hsınırlandırılmış Hessian Matrisi ve L (X, λ ) Lagrange fonksiyonu değerlendirilirse; ) Eğer B H, (m + ) inci mertebeden temel minör determinantı ile başlayan ve (n-m) inci mertebeden temel minör ile son bulan determinantların işareti ( ) m+ ile değişiyorsa ( X, λ ) bir maksimum noktadır. ) Eğer B H, (m + ) inci mertebeden temel minör determinantı ile başlayan ve (n-m) inci mertebeden temel minör ile son bulan determinantların işareti ( X, λ ) bir minimum noktayı belirtir(8). m ( ) ile aynı işarete sahipse 9

24 Bu şartlar bir ekstremum noktayı tanımlamak için yeterlidir fakat gerek değildir. Bir başka deyişle bir sabit nokta yukarıdaki şartları sağlamaksızın ekstremum nokta olabilir. Bu metodun dezavantajı işlem akışının hesaplama olarak pratik kararlar için uygun olmayışıdır. Bunun için; P Δ = T P Q μi matrisini bu şekilde tanımlayıp ( X, λ ) noktasında değerlendirelim. Burada P ve Q daha önce tanımladığımız gibi, μ ise bilinmeyen bir parametredir. Δ = determinantını gözönüne alırsak; Δ = polinom denkleminin (n -m) tane u i reel kökünün herbiri için; a) Δ < oluyorsa ( X, λ ) bir maksimum noktadır. b) Δ > oluyorsa ( X, λ ) bir minimum noktadır..3.. Eşitsizlik Kısıtlar Bu bölümde ilk olarak Lagrange metodunun genişlemesini ele alacağız. Yani sınırlı bir anlamda eşitsizlik kısıtlarını gözönüne alarak Lagrange metodunu genişleteceğiz. İkinci olarak ise eşitsizlik kısıtlarına sahip problemlerin analitik çözümü için Karush-Kuhn-Tucker gerek ve yeter şartları sunulmaktadır. A. Lagrange Metodunun Genişletilmesi Ma z = f() Kısıtlar g i () (i =,,.., m) i problemini gözönüne alalım.lagrange metodunun genişletilmesinin esası şudur: Eğer f() in kısıtsız optimimu bütün kısıtları sağlamazsa, kısıtlı optimum çözüm uzayının bir sınır noktasında olmak zorundadır. Yani denklem formunda m kısıtta yeterli olmak zorundadır.buna göre işlem adımları şu şekilde özetlenebilir. Adım : Maksimum z = f() kısıtlı probleminin çözümünde eğer sonuç optimum bütün kısıtlarda yeterli ise k = alınıp adım ye geçilir.

25 Adım : Herhangi k kısıt işleme sokulur ve f(), k aktif kısıt için optimize edilir. Eğer sonuç, kalan kısıtlar itibariyla uygunsa dururuz. Bu bir yerel minimumdur. Bir başka deyişle diğer aktif k kısıt işler hale getirilip adım tekrarlanır. Eğer alınan k aktif kısıtının bütün kümeleri uygun bir çözüm karşı gelmeksizin aynı anda gözönüne alınırsa adım 3 e geçilir. Adım 3: Eğer k = m ise dur. Uygun çözüm yoktur. Yani k = k + teşkil edilerek adım ye geri dönülür. Bu işlemin önemli bir noktası sık sık ihmal edilmektedir. Bu nokta problemin uygun davrandığında bile mutlak optimum garanti edilememesidir. Diğer bir önemli nokta ise p < q için f() in optimumunun p eşitlik kısıt için her zaman q eşitlik kısıttan daha kolay sağlanması gibi yanlış bir kanıya varmaktır. B.Karush Kahn Tucker Şartları Karush, Kuhn ve Tucker tarafından geliştirilen bu şartlar eşitsizlik kısıtlarına sahip doğrusal olmayan kısıtlı bir problemin sabit noktalarını tanımlamak için gerek ve yeter şartları sunar(9).metoddaki gelişme temelde Lagrange metodu üzerindedir(). Aşağıdaki eşitsizlik kısıtlı problemi gözönüne alalım. i)gerek Şartlar maksimum z = f( i ) kısıtlar g( i ) i Eşitsizlik kısıtlar negatif olmayan aylak değişkenlerin yaklaşık toplamı olarak denklemler içinde dönüştürülebilir. T T S = (S, S,...,Sm ) ve S = (S, S,...,Sm ) tanımlayalım. Burada, m eşitsizlik kısıtların toplam sayısıdır. Buna göre Lagrange fonksiyonu; [ g() S ] L (X, S, λ ) = f (X) λ + olarak tanımlanır. Verilen kısıtlar (g() ) optimallik için gerek şarttır. Yani; λ nın negatif olmama ( pozitif olmama ) durumu maksimizasyon ( minimizasyon ) problemleri için verilen g() kısıtlarında optimallik için gerek şarttır. Burada sadece maksimizasyon durumunu ele alalım. f f nin g ye göre değişim oranı λ ile ölçüldüğünden; λ = dır. g Bu son ifadenin sağ tarafı g olduğundan artar ve çözüm uzayı daha az sınırlanmış olur.

26 Buna göre, f azalmaz, bu λ demektir. Benzer olarak, minimizasyon için f artmaz ki bu λ demektir. Eğer kısıtlar eşitlik halinde ise [ ( ) ] g = ise λ işarette sınırsız olur. Bu λ üzerindeki kısıtlamalar Kuhn Tucker şartlarını kısmen kapsamaktadır. Şimdi Lagrange fonksiyonu L ( X, S, λ ) nın sırasıyla X, S ve λ ya göre kısmi türevlerini alalım. L X L S i = f() - λ g() = () = λ i. S = () (i =,,., m) i [ g() + S ] = L =. (3) λ () ile ifade eden denklemden takip eden sonuçlar açığa çıkar. a) λ i ise i = dır. Bu demektir ki eşitlik kısıt yoktur. S b) Eğer S i > ise λ i = dır. f Yani; λ i = = dır. g i () ve (3) ile ifade edilen denklemlerin kümesinden; λ () (i =,,., m) i g i = Bu yeni şart esas itibariyla λ a göre tekrarlanacak olursa g i () = veya i = dır. Benzer olarak; eğer g () < S ve λ dır. i > i i > i = Aşağıda özetleneceği gibi X ve λ için Karush Kuhn Tucker şartları yukarıdaki maksimum probleminin bir sabit noktası olması için gerektir. Buna göre; Maksimum nokta için; λ f() - λ g() = λ () (i =,,, m) i g i = g() Aynı şey minimum durum için uygulanırsa λ olmak zorundadır. Hem maksimum hemde minimum durumda, eşitlik kısıtlarına göre Lagrange çarpanları işarette sınırsız olmak zorundadır. S

27 ii) Karush Kuhn Tucker Yeter Şartları Eğer amaç fonksiyonu ve çözüm uzayı konvekslik ve konkavlık ile ilgili kesin şartlara sahip ise Karush Kuhn Tucker gerek şartları aynı zamanda yeterdir. Bu şartları aşağıdaki gibi özetleyelim (Tablo ). Tablo. Optimizasyon Çeşidi Amaç Fonksiyonu Gerek Şartlar Çözüm Uzayı Maksimizasyon Minimizasyon Konkav Konveks Konveks Küme Konveks Küme Tablo den de anlaşılacağı gibi amaç fonksiyonu ister konveks isterse konkav, çözüm uzayı konvekstir.bu şartları sağlamak için aşağıdaki genel doğrusal olmayan programlama problemini gözönüne alalım. (maksimum / minimum) kısıtlar; g i () (i =,,, r) L (X, S, λ) = f() - g i () (i = r +, r +,, p) g i () = (i = p +, p +,, m) p m [ gi () + Si ] λi [ gi () + Si ] r λi λigi () i = i = r + i = p + Burada λ i, i kısıttaki Lagrangeçarpanları gösterir. Böylece Karush Kuhn Tucker yeter şartlarını belirlemek için gereken bilgiler bir tablo ile gösterilecek olursa; Tablo. 3

28 Tablo deki şartlar Tablo deki şartların genellemesini tarif eder. Minimizasyon durumda L ( X, S, λ ) konveks, maksimizasyon durumda L ( X, S, λ ) konkav fonksiyondur. Bu genişletilecek olursa; i. Eğer g i () konveks ve λ ise λ () konvekstir. ii. Eğer g i () konveks ve λ ise λ () konkavdır. i g i i g i Unutulmaması gereken birşey de doğrusal fonksiyonun hem konveks hemde konkav bir fonksiyon olmasıdır. Sonuç: Kısıtlı doğrusal olmayan problemlerin ekstremumlarını yerleştirmek için geliştirilen Klasik Optimizasyon Teorisi sayısal hesaplamalar için uygun değildir. Fakat bu teoriler hesap algoritmalarını geliştirmede temel teşkil ederler. Öyle ki Kuadratik Programlama Karush Kuhn Tucker gerek ve yeter şartlarını kullanan mükemmel bir örnektir. III. DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA ALGORİTMALARI 3.. Optimizasyon Metodlarının Genel Tasnifi TASNİF Klasik Optimizasyon Metodları Lagrange Çarpanlar Metodu Jacobian (Kısıtlı Türevler) Metodu Karush Kuhn Tucker Metodu (5,, ) Statik Optimizasyon Metodları Bir Boyutlu Kısıtsız Optimizasyon Metodları Arama Metodları Fibonacchi Arama Metodu Altın Oran Metodu Ayrıntılı Arama Metodu Çatallaşma Arama Metodu Sınırsız Arama Metodu Karesel İnterpolasyon Metodu Rastgele Arama Metodu (, 5,,,8) Gradient Metodlar 4

29 Newton Raphson Metodu Secant Metodu Kübik İnterpolasyon Metodu Direkt Kök Metodları 4.- İkiye Bölme Metodu 4.- Kirişler Metodu 4.3- Deneme Metodu 4.4- İterasyon Metodu (,, ) Çok Boyutlu Kısıtsız Optimizasyon Metodları Arama Metodları Hooke ve Jeeves Metodu Nelder ve Mead Metodu Spendly, Het ve Himswort un Simpleks Metodu Kompleks Metodu Izgara - Ağ Metodu Döngüsel Koordinat Metodu Rosenbrock Metodu (, 5, 8,, 3, 4, 8) Gradient Metodlar Davidon - Fletcher - Powell Metodu En Dik İniş (Çıkış) (Eğim) Metodu Fletcher - Reeves Metodu Smith Metodu Newton Metodu Birleşik Doğrultuda Hareket Metodu (, 3, 5, 8, 4, 5, 7, 3) Dinamik Optimizasyon Metodları Minimum Yol Problemi - Dinamik Programlama, Genel Matematiksel Optimizasyon, Optimallik İlkesi 3- Kesikli Karar Modelleri, Doğrusal Olmayan Sürekli Modeller 4- Dinamik Programlama ve Fonksiyonların Optimizasyonu 5- Kesikli Maksimum İlkesi (3,, 6) Çok Boyutlu Kısıtlı Optimizasyon Metodları Yarı İlmikleme 5

30 Gradient Yansıtma Metodu Ceza ve Engel Fonksiyon Metodları Ardışık Kısıtsız Optimizasyon Tekniği (SUMT) Frank Wolfe Algoritması (, 3, 5, 8,, 6, 9) Özel Programlama Tipleri Karesel Programlama Geometrik Programlama Ayrılabilir Programlama Tamsayılı Programlama Tahmini Programlama Amaç Programlama Lineer Çarpanlar Metodu (5, 8,, 4) 3.. Seçilen Doğrusal Olmayan Programlama Tekniklerinin Seçim Sebepleri Bu çalışmada ele alınan Newton Raphson, Nelder Mead, Gradient, Frank Wolfe ve SUMT metodlarının diğer optimizasyon metodları içindeki yerleri ve önemleri açısından ele alındığında denilebilir ki, bunlar genel sınıflandırma içinde kısıtsız, kısıtlı, direkt (doğrudan arama = türevsiz) ve indirekt (türevli = gradient) yöntemleri şu noktalarda temsil ederler Newton Yöntemi: Kısıtsız tek değişkenli y = f() fonksiyonunun optimum noktasını bulmada yerel olarak (lokal) karesel bir yakınsaklık gösterir. Karesel bir fonksiyonda minimuma bir iteresyonda ulaşır. Çok değişkenli fonksiyonlar için bir indirekt metod olarak ikinci kısmi türevlerden elde edilen bilgi ile ikinci (karesel) yaklaşımı kullanarak minimizasyon (veya maksimizasyon) için hızlı bir yöntem olarak kendini gösterir Nelder - Mead Metodu: Türevleri kullanmaksızın bir arama doğrulltusunda değerlendirilecek f() fonksiyonunun düzenli geometrik şekil (simpleks) kullanarak köşe noktalarının seçimini formüle eder. Bu yöntemle sürekli olarak arama ile daha etkili biçimde daha karmaşık şekille (n + ) köşe noktalarını değerlendirerek fonksiyonun minimumunu bulur. 6

31 3..3. Gradient Metodu: Kısıtsız ve kısıtlı fonksiyonlarda türevleri kullanarak optimum doğrultuda ve adım büyüklüğünde ilerleyerek minimuma veya maksimuma en hızlı biçimde ulaşır (steepest descent - ascent). En önemli özelliği f() in ölçeğine göre çok duyarlı olmasıdır Frank - Wolfe Metodu: Kısıtlı fonksiyonları gradient yöntemi ile doğrusal forma sokup doğrusal programlama ile çözümüne hazırlık yapar. Doğrusal olmayan amaç fonksiyonu ve doğrusal kısıtlı problemi genelleştirilmiş İndirgenmiş gradient yöntemi ile doğrusallaştırma işlemini yürütür. En sık kullanılan karesel programlama için ideal bir yöntemdir SUMT (Ardışık Kısıtsız Optimizasyon Tekniği): Çok değişkenli sistemlere ceza fonksiyonu yöntemini uygulama Fiacco ve McCormick tarafından ilk defa ele alınmış olup Zangwill in katkılarıyla şu şartlar geliştirilmiştir. i. m adet g i () formunda kısıt ii. iii. iv. En az bir olurlu çözüm Amaç ve kısıt fonksiyonları sürekli Kısıtlı problemin kısıtsız hale dönüştürülmesi ile oluşan yeni problemin içerdiği K gibi pozitif ceza sabiti E gibi bir yakınsaklık ölçütü. Bu yöntemlerin genel değerlendirilmesi sonucu şöyle özetlenebilir. Ceza maliyet temelli (SUMT gibi) yöntemler en az bir yerel optimuma yakınsama özelliğinden dolayı muhtemelen en kuvvetli yöntemlerdir. Bu durum örneklerde görülecektir. 3.3.Seçilen Tek - Çok Değişkenli Arama - Gradient Metodları Newton Metodu: Bir boyutlu problemler için geliştirilmiş Newton - Raphson metodunun n-boyutlu problemlerdeki karşılığı bir gradient arama metodu formundadır. Bu arama karesel yakınsaklığın arzu edilen niteliğe sahip olmasına rağmen ikinci kısmi türevlerinin ve ters matrisinin belirlenmesini gerektirir. 7

32 Varsayalım ki, k = geçerli arama noktasının civarında f(), f s () kesilmiş Taylor serisi açılımı ile verilsin. Buna göre; n k n n k f( ) k k s () f ( ) + ( i i ) + a ij( i k i ) ( - ) i = j j i i = j = f. f s () f () () Burada; a ij f = a ji = k () i. j = f s () karesel fonksiyonunun sabit noktalarıaşağıdaki klasik yaklaşım ile; fs () f( = m k m ) + n n k a mi ( i i ) + n = j = a mj ( j k j ) fs () f( = m k m ) + n j = a mj ( j k j )... (3) fs () = m (m =,,., n) şeklinde elde edilir.(3) ifadesi matris formunda sunulduğunda; A k k k k ( ) = f( ) = -g... (4) (4) ifadesinde A k, (n n) tipinde bir kare matris olup; k A a a... an a a...a n = a n a n...a nn (n n) (A k ) ters matrisinin var olduğunu farz edelim. Buna göre (4) ifadesinin her iki yanını (A k ) ile çarpar ve yerine k + yazılırsa; ( A k ) k k + k. (A ) ( - ) = elde edilir. Bu son ifadeyi basitleştirirsek; k + = k - (A k - ). g k -(A k - ). g k (5) (6) 8

33 şeklini alır. Bu son ifade genelde bir gradient arama işlemini belirtir. Şimdi bu genellemeden sonra Newton arama metodunun bir iterasyonunda yapılması gereken işlem adımlarını özetleyelim. i) İlk olarak n elemanlı gradient ii) İkinci olarak ise a ij lerin sayısı göre k = da belirlenir. iii) Son olarak k A kare matrisinin tersi Bir Boyutta Newton Raphson Arama: k = da hesaplanır. n. (n + ) olup bunlar f() in kısmi türevlerine (A k ) hesaplanır. Tek değişkenli y =f() fonksiyonu verilmiş olsun ve bu fonksiyonun ikinci mertebeden sürekli türevlere sahip olduğunu varsayalım. f() fonksiyonunun sabit noktaları; df d ' f () = g() = denklemi e göre çözülerek bulunur. Bir boyutlu problemlerde Newton - Raphson bir ardışık işlem tekniğidir. Öyleki g() = denkleminin sıfırlarını bulmakta kullanılır. Tek değişkenli fonksiyonlar için klasik yaklaşım, f() in dönüm noktalarındaki değerlerini f ' () = eşitliğinin çözümleri gibi bulur. Yaklaşık y = f () eğrisi ortalama çözümünün bulunmasını sağlayabilir.eğer f ' (a) ve (b) f ' ' nin ters işaretlere sahip olduğu a ve b gibi iki bulunabilirse, bu tahmin kesin sürekliliği mecbur kılar. Bu aralıkta uyan bir α kökü olacaktır. (Şekil 6) a < α < b şartına f() f() y = Q() y=f() a y=f() α b Q ( ) = y P(,y ) θ K T A(,) Şekil 6 Şekil 7 9

34 ' Newton metodu kabaca Q() denkleminin tahmini kökünü bulmayı sağlar. [ Q() = f ()] Şekil 7 deki P noktasının apsisi olan noktası Q() in tahmini bir kökü olsun. PT, y = Q() eğrisinin P noktasındaki tanjantı ve T noktası bu tanjant doğrunun - eksenini kestiği nokta olsun. Buna göre OT genellikle K gerçek kökü için noktasından daha iyi bir tahmin olacaktır. Böylece; OT = OA TA = TA PA TA = Tan θ = Q ( ' ) TA = PA ' Q ( ) Q ( ) = ' Q ( ) Q ( ) TA = iken TA = ' Q ( ) Q ( = ' Q ( Q ( ) = elde edilir. ' Q ( ) Bu son ifadeyi genişletecek olursak; Q ( ) k + = k k =,,., n ' Q ( ) ) ) veya tek değişkenli y =f() fonksiyonu için Newton Raphson formülü; f ( ) k + = k (k =,,., n) olur. ' f ( ) Böylece Newton metodu bu son formülasyon ile bir ardışık işlem haline gelmiş olur ve bu işlem k + ile k arasındaki fark (hata payı) istenilen hassasiyete ulaşınca son bulur Nelder ve Mead Metodu Nelder ve Mead Metodu Spendly, Het ve Himsworth un simpleks metodunun genişletilmiş bir şeklidir(). Bu metod adından da anlaşılacağı gibi çok değişkenli bir fonksiyonun optimizasyonunu bulmak için Nelder ve Mead tarafından tasarlanmış bir simpleks metoddur. Bu metotda (n + ) adet nokta, bir düzenli simpleks (basit ve düzenli) olarak bilinen n-boyutlu Öklidyen uzayda karşılıklı olarak konulur. Bu nedenle iki boyutta simpleks bir dörtyüzlüdür(). 3

35 İki boyutta bu metod üçgenin köşelerinde fonksiyon değerlerini karşılaştıran bir model arama metodudur. İki değişkenli bir z = f (, y) fonksiyonunun minimizasyon durumunu gözönüne aldığımızda, üçgenin en kötü köşesinde (w = worst verte) z = f (, y) fonksiyonunun değeri en büyüktür. Bu nedenle, bu en kötü köşe yeni bir nokta ile yer değiştirir. Böylece yeni bir üçgen elde etmiş oluruz. Artık arama işlemi bu yeni üçgen içinde devam ettirilir ve böylece bu işlem köşe nokta değerinde fonksiyon değerinin gittikçe küçüldüğü bir üçgenler dizisine dönüşür. İşlem üçgenlerin küçülerek bir noktaya yaklaşması ile son bulur ki bu nokta istenen minimum noktadır. İki değişkenli z = f (, y) fonksiyonu için geliştirilen bu metod n-değişkenli f () = f (,,..., ) fonksiyonuna genelleştirilebilir. Nelder ve Mead ın geliştirilmiş n olduğu bu metod etkili ve hesap açısından kısadır. Bu metodda simpleksin hareketi üç temel işlem (Reflection- Yansıtma, Epansion-Büyüme- Genişleme) ve (Contraction-Büzülme-Kısalma) ile sağlanır. Şimdi bu işlemleri safhaları ile açıklayalım. i) Başlangıç Üçgeni BGW: (Initial Best Good Worst Triangle) Min z = f (, y) fonksiyonunu gözönüne alalım. Bir üçgenin verilen üç köşesi ile işleme başlayalım. Vk = ( k, yk )... k =,, 3 Sonra bu üç köşe noktanın herbirinde fonksiyon değerlerini bulalım ve buna z f (, y ) (k =,, 3) diyelim. Bu değerleri de büyüklük sırasına göre z z z3 olacak şekilde sıralayalım. Üçgenin köşe noktalarını; = (, y ), G = (, y ), W (, y ) ile gösterelim.burada; B = 3 3 B = Best Verte = En iyi köşe nokta G = Good Verte = Sonraki en iyi köşe nokta W = Worst Verte = En kötü köşe nokta olarak tanımlanabilir. B noktası maksimum durumunda foksiyonda yerine konduğunda en büyük fonksiyon değerine sahip iken aynı nokta minimum durumunda ise en küçük fonksiyon değerine sahiptir. k = k k 3

36 İyi Kenarın Orta Noktası:İyi kenardan maksat üçgenin = (, y ) ve G (, y ) B = noktalarını birleştiren doğru parçasıdır. Bu doğru parçasının orta nokta koordinatlarıda B = = (, y ) ve G (, y ) noktalarının koordinatlarının ortalamaları alınarak aşağıdaki şekilde bulunur. B + G + y + y M = =, R Noktasını Kullanarak Yansıtma İşlemi: W noktası ile B noktası arasındaki BGW üçgeninin kenarı boyunca hareket ettiğimizde f(, y) fonksiyonu gittikçe azalan bir grafik çizer. Benzer olarak W noktasından G noktasına doğru üçgenin bu kenarı boyunca hareket ettiğimizde f(, y) fonksiyonu yine azalan bir grafik çizer. Bu nedenle B ve G noktalarını birleştiren doğrunun karşı kenarı üzerinde W ya uzak noktalarda f(, y) fonksiyonu çok küçük değerler alır. Bunu test etmek için R noktasını BG kenarından geçecek şekilde yansıtarak elde edebiliriz. R noktasını belirleyebilmek için ilk olarak BG kenarının M noktasını daha önce tanımladığımız gibi tespit ederiz. İkinci olarak W ile M noktalarını birleştirerek bir doğru elde ederiz. Bu doğrunun uzunluğuna d dersek, son olarak M noktasından d uzunluğunda bir doğru çizeriz ve bu doğrunun bittiği noktaya R deriz. Böylece yansıma işlemini kullanarak R noktasını elde etmiş oluruz(şekil 8). R B d G M d G W Şekil 8 Şekilden de görüleceği gibi R noktasının vektörel notasyonu; R = M + (M - W) = M - W şeklindedir. 3

37 Genişleme İşlemini Kullanarak E noktasını Elde Etmek: Eğer R deki fonksiyon değeri W deki fonksiyon değerinden daha küçükse yani f (R) f (W) ise minimuma doğru bir yönde hareket ederiz. R noktası minimum noktaya uzak olabilir. Bu nedenle M noktasından R noktasına olan doğruyu R noktasından aynı d uzunluğunda genişlettiğimizde bitim noktası E yi elde ederiz. Böylece biz BGW üçgeninden genişleme işlemi ile BGE üçgenini elde ederiz.(şekil 9) E d B d R M W G Şekil 9 Eğer E noktasındaki fonksiyon değeri R noktasındaki fonksiyon değerinden daha küçük ise yani f(e) < f(r) ise, R den daha iyi bir köşe bulmuş oluruz.genişleme işlemi ile elde ettiğimiz (Şekil 9) daki E noktasına ait vektör formülasyonu; E = R + (R - M) = R M dir. Daraltma (Büzülme) İşlemini Kullanarak C noktasının Elde Edilmesi: Eğer R noktasındaki fonksiyon değeri W noktasındaki fonksiyon değeri ile aynı ise yani, f(r) = f(w) ise, başka bir nokta test edilmek zorundadır. Fonksiyon M noktasında küçük olabilir fakat biz M ile W yi yeniden yazamayız çünkü yeni bir üçgen elde etmek zorundayız. WM ve MR doğrularının orta noktalarına sırasıyla C ve C dersek yeni üçgenimiz BGC olur. Burada BGC veya BGC olması iki boyutlu durumunda farketmez. Fakat çok boyutlu durumda farkader (Şekil ). 33

38 M R C C W G Şekil Üçgenin B noktasına Doğru Daraltılması: Eğer C noktasındaki fonksiyon değeri W noktasındaki fonksiyon değerinden daha küçük değilse yani f (C) f (W) ise G ve W noktaları B noktasına doğru daraltılmak zorundadır. (Şekil ) Bu daraltma işlemini ilk adımda G noktası yerine BG doğrusunun orta noktası olan M noktası ve W noktası yerine BW doğrusunun orta noktası olan S noktası alınır. Sonraki ardışık işlem adımları B noktasına doğru hep orta noktalar alınarak devam ettirilir. İşlem B noktası elde edildiğinde son bulur. (Şekil ) R S M W G Şekil. Her bir adım için mantıksal kararlar:yukarıda açıklanan her bir adımda yeni bir köşe bulunur ve bu W ile değiştirilir. Bunu bir algoritma olarak şu şekilde açıklayabiliriz. f (R) < f (G) ise Safha - f (R) f (G) ise Safha - düzenlenir. Safha : Yansıma veya Genişleme f (B) < f (R) W yerine R alınır. f (B) f (R) E ve f(e) hesaplanır. f (E) < f (B) W yerine E alınır. f (E) f (R) W yerine R alınır. 34

39 Safha : Büzülme veya Daralma f (R) < f (W) W yerine R alınır. Sonra W + M C = alınır ve f(c) hesaplanır. f (C) < f (W) W yerine C alınır. f (C) f (W) S yerine f(s) hesaplanır. W yerine S ve G yerine M alınır(). Örnek: İki Boyutlu Problemler İçin Nelder - Mead Metodu Çözüm: Değişken Sayısı : İterasyon Sayısı : 5 []. Min []. Ma : l Amaç Fonksiyon : + y - 3y Vektör Elemanları. Vektör Elemanları : (.,.). Vektör Elemanları : (.,.) 3. Vektör Elemanları : (.,.) k B( k, y k ) G ( k, y k ) W( k,y k ) F ( k, y k ) (.,.) (.,.5) (.,.5). (.,.5) (.5,.5) (.5,.75) (.5,.75) (.5,.65) (.5,.65) (.5,.65) (.5,.75) (.5,.85) (.5,.85).5,.65) (.3438,.7344) (.5,.85) (.3438,.7344) (.88,.99) (.5,.85) (.88,.99) (.88,.38) (.88,.38) (.9766,.977) (.34,.73) (.9766,.977) (.34,.73) (.94,.664) (.9766,.977) (.34,.73) (.957,.33) (.957,.33) (.9668,.9) (.99,.33) (.99,.33) (.9668,.9) (.5,.9834) (.5,.9834) (.59,.68) (.994,.993) (.994,.993) (.,.) (.78,.9883) (.,.) (.39,.994) (.997,.9966) -. 35

40 Gradient Metodu:n - değişkenli bir f () = f (,,..., ) fonksiyonunun yerel optimumunu bulmak için 4 yılı aşkın bir süredir çok çeşitli algoritmalar geliştirilmiştir. Bu algoritmaların çoğu şu esasa göre tasarlanmıştır. f () = f (,,..., ) n - değişkenli fonksiyonunun grafiğini tepe ve vadilerden n oluşan bir sıradağlar topluluğu olarak gözönüne alırsak, vadilerin en alt tarafındaki bölgeler fonksiyonun minimumunu gösterirken tepelerin en üstündeki bölgelerde fonksiyonun maksimumunu temsil eder.eğer minimum noktada değil isek bulunduğumuz noktadan aşağıya doğru minimumu buluncaya kadar hareketimize devam ederiz. Maksimum noktada değil isekte bulunduğumuz noktadan yukarıya doğru maksimumu buluncaya kadar hareketimize devam ederiz(). ( Şekil) n B (Yerel Maksimum) D (Yerel Maksimum) (Mutlak Maksimum) F A (Yerel Minimum) E (Yerel Minimum) C (Mutlak Minimum) Şekil Bir gradientin yönü en dik çıkış (steepest ascent) yönüdür. Tersi ise en dik iniş (steepest descent)yönüdür. Yani en dik çıkış yönü f() yönünde iken en dik iniş yönüde - f() yönündedir(). n-değişkenli bir f () = f (,,..., ) fonksiyonunu gözönüne alalım. Burada, (,,..., n ) n - boyutlu öklidyen uzayda; X =. sütun vektörü ile temsil edilir.. n n 36

41 f() fonksiyonunun gradienti ise grad f() veya ifadesinde kısmi türevler f grad f() = ( f, f,..., f n ) () veya k f() ile gösterilir ki; f f() = (k =,,., n) () f f f() =,..., şeklindedir. n k f = k =,,., n de belirlenir(). k Şimdi X = (,,..., ) uygun değerleri üzerinde herhangi bir kısıtlama olmaksızın f (X) n = (,,..., ) konkav fonksiyonunun maksimizasyon problemini gözönüne n alalım. Bir boyutlu arama işlemini çok boyutlu problemimiz için genişletmeye çalışalım. Bir boyutlu problemlerde bayağı türev bir veya iki olası yolu yani in azalış veya in artış yönünü seçmek için kullanılır. Amaç bir noktayı araştırmaktır ki bu noktada türev sıfırdır. [ f () ] ' = Bu özellik çok değişkenli bir fonksiyon için şu şekilde genişletilebilir. Sabit noktaları araştırmak amaç iken, bu noktalarda bütün kısmi türevler sıfıra eşittir(7). Bu nedenle bir boyutlu aramanın çok boyutlu aramaya genişletilebilmesi kısmi türevleri kullanarak hareket yönünde özel bir yön seçmeyi gerektirir. İşte bu gereksinim amaç fonksiyonunun gradientini kullanmayı kapsar. f() amaç fonksiyonu yüksek mertebeden sürekli kısmi türevlere sahip olduğunda herbir noktasında f(), f() ile gösterilen bir gradiente sahiptir(7). f f() = f, f..., n ' Özel bir = noktasındaki gradient ise elemanları kısmi türevler olan ve ' noktasında değeri olan bir vektördür. ' f f f( ) =,..., ' n = Gradient arama işlemi kısıtsız bir problemin çözümü için etkili bir arama işlemidir. Bu işlem gradientin yönündeki hareketi koruyan ve * optimal çözümünü araştıran bir yöntemdir. 37

42 Bu nedenle normal olarak f() in yönünde i sürekli olarak değiştirmek pratik degildir. Çünkü bu değişikliklerin serisi sürekli olarak f j lerin yeniden belirlenmesini ve her ikisinin yönünde değişiklik yapmayı gerektirir. Bundan dolayı en iyi yaklaşım geçerli aşikar çözümden sabit bir yöndeki hareketi koruyan ve f() fonksiyonunun artışı durana dek devam eden bir yaklaşımdır(9). f() in artışının bittiği nokta ise son aşikar çözümdür ve bu noktada gradienthareketin yeni yönünü belirlemek için yeniden hesaplanacaktır. Bu yaklaşımla herbir ardışık işlem geçerli aşikar çözümün değişikliğini kapsar. Şöyle ki; ' ' ' * ' = + t f( ) alalım. (I) * ' ' Burada, t, f [ t f( )] ' * ' ' ' f [ t f( )] = ma f [ + t f( )] + yi maksimum eden pozitif (t) değeridir. + ( t ) (I) ifadesini genişletecek olursak; elde edilir. Bu son ifade j f ' t = j + ' j = (,,.., n) j = j için yalnızca sabitleri ve t yi içerir. Yani f() t nin bir fonksiyonudur. Bu gradient arama işleminin iterasyonları küçük bir ε toleransı ile f() = olana dek sürdürülür. Yani; f j ε j =(,,, n) Şimdi bu değindiğimiz özelliklere göre gradient işlemini basit bir algoritma ile tanımlayalım. Başlangıç Adımı: İstenilen hassasiyet ε ve başlangıç aşikar çözüm ( ) yi alalım. Ardışık Adımlar: f ' ) t j = j + ' j = (,,, n) j = ' ' Kümesi oluşturarak t nin bir fonksiyonu olan f [ t f( )] f() yerine bu ifadeler konulur. Son adıma gidilir. kılan ) ' + ifadesi oluşturulur ve ' ' t için bir boyutlu arama işlemi kullanılarak f [ t f( )] * t = t bulunur. + yi maksimum 38

43 ' ' * ' 3) = + t f( ) oluşturulur ve son adıma geçilir. Son Adım: ' = de f( ' f ) hesaplanır. Daha sonra ε un sağlanıp sağlanmadığı j kontrol edilir. Eğer bu kontrol sağlanıyorsa için * optimal çözümünün yaklaşık beklenen değeri ' optimal çözüm alınır. Aksi halde ilk adıma dönülüp işlem tekrarlanır(7). Bütün gradient arama tekniklerinin ortak özelliği f f = g = f f,..., f n i kullanmalarıdır. Ayrıca; = = - t f( ) iterasyon işlemini kullanmalarıdır. k k k Örnek:Gradient arama işleminin nasıl yapıldığını göstermek için konkav bir fonksiyon için iki değişkenli kısıtsız optimizasyon problemini göz önüne alalım. Ma. f() = Çözüm: ve değişkenlerine göre kısmi türevlerini alırsak; df d = df d = olarak bulunur. Buna göre f() in grandienti f() = grad f() = ( df d, df d ) = ( , ) dır. grad f() = şartından; ( , ) = (, ) Böylece, = = Bu denklemlerin aynı anda çözümü ile optimal çözüm (, ) = (, 4 ) bulunur. Buna göre;f(,4) =.().(4) + 8.() () - () (4) (4) = 5 ve grad f(,4) = , ) = (, ) bulunur. Şimdi f() ve grad f() göz önüne alınarak gradient arama işleminin nasıl elde edilebileceğini görelim. Bu işleme başlamak için bir başlangıç aşikar çözüme ihtiyacımız vardır ki; bu noktada f(, ) = (, ) dır. Böylece (, ) = (, ) başlangıç aşikar çözüm olarak alınabilir. 39

44 Bu nokta için gradient; grad f (, ) = ( 8.4 ) Bu şu anlama gelir = (, ) noktasında f() deki ma. artma oranı (, ) dan (, ) + ( 8.4 ) e hareket edilerek bulunur. Buna göre (, ) ve ( 8.4 ) noktaları arasındaki doğru denklemi;(şekil.3) (, ) + [ ( 8.4 ) (, ) ] = ( 8t, 4t ) dır.burada t > olmalıdır. 4 8 Şekil.3 (, ) dan ( 8,4 ) noktalarını birleştiren doğru boyunca ne kadar hareket etmeliyiz. Bir başka deyişle; ( 8t, 4t ) doğrusu için t sıfırdan ne kadar arttırılmalıdır. Bu soruların cevabı şudur: f() in artması durana kadar bu doğru boyunca hareket edilir. Yani = 8t ve = 4t değerleri fonksiyonda yerine yazılır. f ( 8t, 4t ) = (8t) (4t) + 8 (8t) - (8t) (8t) (4t) - (4t) f ( 8t, 4t ) = 8t 576t t 4 f ( 8t, 4t ) nin değeri ma. olana kadar t nin arttırılması gerekir. Bunu gerçekleştirmek için bir boyutlu arama işlemi ile t nin maksimum değeri; t * =.665 olarak bulunur. (Şekil.4) f(8t,4t) = 8t 576t t 4. t Şekil.4 Buna göre yeni aşikar çözüm;(, ) = (8t *,4t * ) = (.86,.66 ) olur. f(.86,.66 ) =

45 Bu ilk iterasyonu; Adım grad f( ) + [ grad f( ) ] t * + t * [grad f( ) ] (, ) ( 8.4 ) (+ 8t, + 4t).67 (.86,.66 ) şeklinde bir genel tablo ile ifade edebiliriz.(şekil.5) Şekil.5 Şimdi ikinci iterasyonu ilk iterasyonun sonucuna göre tekrarlayalım. Geçerli aşikar çözüm (, ) = (.86,.66 ) noktasıyla (.86,.66 ) + (.83, ) noktasını birleştiren doğru boyunca olacaktır. Bu doğrunun denklemi; (.86,.66 ) + (-.8,7.93) = (.86.8t, t) bu doğru boyunca; =.86.8 t = t dır. Böylece; f (, ) = t 89.7 t t 3.3 t 4 ve bir boyutlu arama işlemi gerçekleştirilirse; t * =.36 olarak bulunur. Buna göre yeni aşikar çözüm; (, ) = ( t, t) = (.547,.469 ) Şimdi bu iki iterasyonu Adım grad f( ) + [ grad f( ) ] t * + t * [grad f( ) ] (, ) ( 8.4 ) (+ 8t, + 4t).67 (.86,.66 ) (.86,.66) (-.3,7.93) (.86-.3t,.7+7.9t ).36 (.547,.469 ) şeklinde bir genel tablo ile gösterilebilir. A aşikar çözümlerin optimal noktaya doğru hareketlerini de yandaki şekille gösterebilir. (Şekil.6) 4

46 (.547,.469) Şekil.6 Bundan sonraki iterasyonlarıda genel tablomuzla aşağıdaki şekilde verebiliriz. Adım grad f( ) + [ grad f( ) ] t * + t * [grad f( ) ] (, ) ( 8.4 ) (+ 8t, + 4t).67 (.86,.66 ) (.86,.66) (-.3,7.93) (.86.3t, t ).36 (.547,.469 ) 3 (.547,.469) (5.9,.55) (.55+5.t, t ).7 (.948,.56 ) 4 (.948,.56) (-.4,.843) (.95+.4t, t ).9 (.978,3.354) 5 (.89,3.354) (6.59,.99) ( t, t ).3 (.978,3.376) İterasyonların sayısı istenilen hassasiyete bağlı olarak belirlenir. Eğer iterasyona devam edilecek olursa belli bir iterasyon sonunda tam optimal çözüme erişilebilir. Bu örneğimizde. hata toleransı söz konusu iken tam optimal çözüm olan (, ) = (,4) noktasını elde etmek için yapılan iterasyonlar yukarıdaki tabloda sunulmuştur. Bu optimal çözüme ulaşıncaya kadar elde edilen bütün aşikar çözümler birleştirildiğinde son aşikar çözüm olan (, ) = (,4) (optimal çözüm) noktasına doğru zigzag bir grafik ortaya çıkar (Şekil.7). 4

47 . (.978, 3.376) Konveks Programlama: Şekil.7 Konveks Programlama z = f() amaç fonksiyonunun konkav ve bütün g i () kısıtlarının konveks olduğu özel bir doğrusal olmayan programlama türüdür. Bu varsayımlar problemi oldukça basitleştirir. g i () kısıtlarının konveks oluşu, mümkün çözümler kümesininde konveks olmasını gerektiren, f() amaç fonksiyonunun konkav oluşu ile bulunacak herhangi bir ekstremum yada yerel optimum çözümün aynı zamanda mutlak optimum çözüm olmasını sağlar. Bir başka deyişle birçok yerel optimumları bulup bunların içinde mutlak optimumu seçmek zorunluluğu bulunmamakta, elde edilecek bir yerel optimum problemin mutlak optimum çözümü olmaktadır. Bu konuda da birçok metod geliştirilmiştir(8). Fakat Konveks programlama problemlerini çözmek için her zaman kullanılan standart bir algoritma yoktur. Bu konuda farklı pek çok algoritmalar geliştirilmiş olup bunların avantajları ve dezavantajları mevcuttur.bu algoritmalar temelde üç kategoride toplanmıştır. ) Gradient Algoritmalar: Bu algoritmalar temelde korunmak şartı ile gradient arama işlemine benzer olarak geliştirilmiştir. Genel indirgenmiş gradient metod bunların en önemlilerindendir. 43

48 ) Ardışık Kısıtsız Algoritmalar: Penalty (Ceza) ve Barrier (Engel) fonksiyon metodlarını içerir. Bu algoritmalar orjinal kısıtlı optimizasyon problemlerini kendi içinde kısıtsız optimizasyon problemlerinin bir dizisine dönüştürür. Bundan sonra da kısıtsız optimizasyon problemlerinin herbiri gradient arama işlemi ile çözülebilir. 3) Ardışık Yaklaşık Algoritmalar: Bu algoritmalar Doğrusal yaklaşım ve Karesel yaklaşım metodlarını içerir. Bu algoritmalarla doğrusal olmayan amaç fonksiyonu Doğrusal veya Karesel yaklaşımların bir ardarda gelişi ile yeniden yerine konur. Doğrusal kısıtlı optimizasyon problemleri için bu yaklaşımlar Doğrusal veya Karesel programlama algoritmalarının tekrar uygulanmasını kabul eder(7) Frank - Wolfe Algoritması: Bu algoritma bir amaç fonksiyonunun doğrusal kısıtlar altındaki optimizasyonunu inceler. Verilen olurlu çözüm fonksiyonunu göre; Amaç optimize f() Kısıtlar A b ' iken f() amaç fonksiyonu için doğrusal bir yaklaşım f() ' = civarında birinci mertebeden Taylor serisine açmakla elde edilir. Buna f() f( ) + ' n j = f( ) j ' ( j - ' j ' ) f( ) + f( ) ' ( - ' ) ' f ( ) ve ' ' f( ). değerleri sabit değerler olduğundan yeni amaç fonksiyonumuz; Bu son ifadeyi; ' f() = f( ) + f( ). - f( ). ' f() f( ). + c şeklindedir. ' ' ' ' g() = f( ). yazarsak bu bir doğrusal programlama problemine dönüşür ve optimal çözüm simpleks metod veya grafik çözümden elde edilebilir. Bu çözüme LP diyelim. Doğrusal amaç fonksiyonu den LP arasındaki doğru parçası boyunca bir hareket gibi zorunlu olarak muntazaman artar. 44

49 Frank -Wolfe algoritmasına ait işlem adımları aşağıdaki gibidir. Başlangıç Adımı: Bir başlangıç olurlu çözümü bulabilmek için doğrusal programlama işlemi uygulanarak bu aşikar çözüm Ardışık Adımlar:.Adım: j =,, 3,..., n için f () j () bulunur. k = yazılır. (k ) = de f () değerlendirilir ve c j= ifadesi yazılır. j. Adım: Aşağıdaki doğrusal programlama problemine ait n Maksimum g() = c j j j= Kısıtlar A b, 3. Adım: t arasındaki t değişkeni için; (k ) = + t [ k (k ) LP ] (k) LP optimal çözümü bulunur. için h(t) = f() ifadesi oluşturulur. Bundan sonra problemimiz t için h(t) ifadesini maksimize etmeye dönüşür ki bu bir boyutlu arama işlemi ile çok kolay başarılabilir. Buradan bulunan t* değeri () ifadesinde yerine konarak yeni aşikar çözüm elde edilir. Daha sonra son adıma geçilir. Son Adım: Eğer (k) (k ) ile arasındaki fark istenilen hassasiyete ulaştığında aranılan (k) optimal çözüm olarak alınır. Bir başka deyişle k = k + alınarak ardışık adımlara geri dönülür. Frank Wolfe Algoritması ile çözülen örneklerin genelinde karşımıza şu önemli sonuç çıkar. Aşikar çözümler iki veya daha fazla yörünge üzerinde değişirler. Bu çözümler yörüngeler üzerinde değiştiğinde, bu yörüngelerin kesiştiği yaklaşık noktanın tahmini optimal çözüm olacağı açıktır. Bu tahmin son aşikar çözümden daha iyidir. Bunun sebebi aşikar çözümlerin optimal çözüme doğru çok yavaş yakınsaması ve bundan dolayı optimal çözümden uzak olmalarıdır. Fank-wolfe algoritmasının nasıl uygulandığı göstermek için aşağıdaki doğrusal kısıtlı optimizasyon problemini göz önüne alalım. 45

50 Örnek: Ma.f()= ve Çözüm:Bu problemin doğrusal kısıtlarına göre elde edilen uygun bölge Şekil.8 deki gibidir =7 (,4) (,) - = Şekil.8 Kısıtlar göz önüne alınmaksızın kısıtsız f() = fonksiyonun maimumu kısmi türevler alınıp sıfıra eşitlenerek (, ) = (,4) olarak kolayca bulunabilir. Fakat kısıtlı maimumu bir başlangıç aşikar çözüme ihtiyacımız olacaktır. Bu başlangıç aşikar çözümü (, ) = (,) olarak alalım. Kısmi türevleri alıp bu noktada değerlendirirsek; df d = 3-3 df d (,) = 3-4() 3 = 3 df d = 8- df d (,) = 8 - () = 8 olarak bulunur. Bu göre yeni amaç fonksiyonumuz bir doğrusal yaklaşım olarak ; g () = 3 +8 dır. Buna göre yeni problemimiz; Ma. g () = 3 +8 Kısıtlar ve ; olarak tekrar yazılır.bu problemin orijinal kısıtlarla çözümü (, ) = (,) noktasını çözüm olarak kabul eder. (Şekil.9) 46

51 7 3 + = =7 (,) - = g (,) = 3 () + 8 () = 7 Şekil.9 (,) noktasına yakın olmadığından bu iyi bir yaklaşım değildir. Bu nedenle (,) ve (,) noktalarını birleştiren doğru parçası üzerinde f() i en büyük yapan X = (, ) noktasını bulmaya çalışalım. f(,) = 55 iken g(,) = 7 dir. Buna (,) deki yaklaşım iyi bir yaklaşım değildir.(,) ve (,) noktaları arasındaki doğrunun denklemi; (,) + t [ (,) (,) ] = ( t,t ) ( + ) Buna göre; =t, = t olarak alınıp f() de yerine yazılırsa t ye bağlı bir h(t) fonksiyonu elde edilir. f (, )= f ( t, t) = h(t) = 3(t) (t) 4 + 8t + t h(t) = 7t - t - 64 t 4 ( t ) t ye bağlı bu h(t) fonksiyonuna bir boyutlu arama işlemi uygulanıyorsa; df (,) = 3 4 () 3 = d df d (,) = 8 - () = 6 ve yeni problemimiz; g() =

52 Kısıtlar g (,7) = 4, f (,7) = 7 iken çözüm (, ) = (,7 ) dir. Şimdi (,) ve (,7) noktaları arasındaki doğru bulunur. (,) + t [ (,7) (,) ] = ( -t, + 6t ) ( + ) h(t) = f( -t, +6t ) = t - 3 t + 64 t 3-6t 4 h(t) yi maimum yapan t değeri; t * =.54 dür. Buna göre,(, ) = ( - t *, +6 t * ) = (.695,.94 ) yeni aşikar çözümdür.yine benzer işlemleri bu son aşikar çözümümüz için uygulayalım. f()= iken df d (.695,.94) = 3-4(.695) 3 =,5 df d (.695,.94) = 8 - (.94) = 4,7 belirlenir ve yeni amaç fonksiyonumuz;g() = olur. Bu yeni amaç fonksiyonu ile orijinal kısıtlı problemimizi yukarıdaki gibi çözdüğümüzde yeni aşikar çözüm (, ) = (.695,.94 ) olarak bulunur.(şekil.) 7 o (.695,.94) (,) Şekil. 48

53 Konveks Olmayan Programlama : Konveks programlamada bir yerel ekstremum aynı zamanda bir mutlak ekstremumu gerektirir. Fakat doğrusal olmayan programlama problemlerinde bu özellik her zaman karşımıza çıkmayabilir. Bu nedenle konveks olmayan programlama problemlerini uygulayabilmek için ortak bir yaklaşım izlemeniz gerekir. Bu ortak yaklaşımda arama işlemi algoritma vasıtasıyla yapılabilir ki bu işlem bir yerel ekstremum bulana dek uygulanır ve sonra bu işleme tekrar başlanarak mümkün olduğu kadar farklı yerel ekstremumlar bulunur. Bu ekstremumların en iyisi de mutlak ekstremum olarak alınır. Normal olarak bu arama işlemi konveks programlamanın bütün şartları sağlandığında mutlak ekstremumu bulmak için tasarlanmıştır. Fakat konveks programlamanın şartları sağlanmadığı durumlarda bir yerel ekstremumu bulmak için de kullanılabilir. İşte bu kısaca değindiğimiz özete uygun bir arama işlemi 96 lı yıllarda geliştirilmiş ve çok geniş bir uygulama alanı bulmuştur. Bu algoritma <<Sequential Unconstrained Mınımazıtıon Technıque>> (SUMT) adıyla bilinen ardışık kısıtsız optimizasyon tekniğidir (7) SUMT (Ardışık Kısıtsız Minimizasyon Tekniği) Algoritması : Ardışık Kısıtsız Minimizasyon Tekniği (SUMT) ilk olarak 96 de Carroll tarafından ileri sürülmesine rağmen bu metodun sadece teorisi ve özellikleri üzerinde durmayan, aynı zamanda bu metodun genişlemesi için pratik bir sistem geliştiren Fiacco ve McCormick tarafından araştırılıp geliştirilmiştir. Pratik bir kural ile metodu kullanmanın mümkün olması için teorrik yaklaşım (yakınsaklık) özelliğini gerçek bir hesaplamaya dönüştürmek şarttır(). SUMT algoritması esas itibarı ile bölümde incelenir. Bunlardan ilki uygun bölge içinde yakınsak olan bir penalty (ceza) fonksiyonunu kullanan ve uygun olmayan çözümlerden bahseden harici nokta algoritmasıdır. [eterior Point Algorithm] ikincisi ise uygun bölge içinde barrier (engel) fonksiyonunu kullanan ve direkt uygun çözümlere değinen dahili nokta algoritmasıdır. [interior Point Algorithm]. Adından da anlaşılacağı gibi Ardışık Kısıtsız Minimizasyon Tekniği (SUMT) çözümleri orijinal problemin çözümü ile birleşen kısıtsız optimizasyon problemlerinin bir dizisi ile orijinal problemin yerini alır. 49

54 Bu yöntem çok etkili sonuçlar verir. Buna sebep kısıtlı bir optimizasyon problemi yerine kısıtsız bir optimizasyon problemini çözmenin daha kolay olmasıdır.ayrıca bu tip problemlerin Gradient Metodla çözülebilmesidir (7). SUMT algoritmasında çok genel haliyle bir Gradient metoddur. Burada amaç fonksiyonunun konkav ve her bir kısıt fonksiyonun konveks olduğu varsayılmıştır. Bu algoritma temelde kısıtlı problemi kendi içinde kısıtsız bir probleme dönüştürür. Bu haliyle işlem Lagrange çarpanlar metodunu andırmaktadır. n Böylece;P(,r)=f()+r n...(*) i = b g ( ) j = i i j şeklindeki ifade edilen problemimizi gözönüne alırsak, buproblemin steepest ascent (en dik çıkış) metoduyla çözebiliriz. Burada b i - g i () konveks iken; b g ( ) i konkavdır(). i Bu son ifade P(,r) nin de konkav olması demektir.sonuç olarak P(,r) bir tek ekstremuma sahiptir.ayrıca orijinal kısıtlı problemin optimizasyon (maksimizasyon veya minimizasyon) P(,r) nin optimizasyonuna eşittir ve başlangıç aşikar çözüm noktası uygun bölge içinde bir nokta olmak zorundadır. (interir point). Buna göre bu çözümü takip eden diğer çözümlerde uygun bölge içinde kalmak zorundadır. (*) ifadesi ile verilen problemimizde r> skalerinin farklı iki değeri için P(,r) yi ekstremum yapan in optimum değerleri yaklaşık olarak aynı ise SUMT algoritması bu optimum noktada son bulur. Maksimum P(,r) = f() rb() problemini göz önüne alalım. Kısıtsız problemlerin dizisini oluşturan her bir problem için buradaki r skalerini kesin pozitif yapan bir r değeri seçilir ve problem e göre çözülür. Burada B() bir barrier (engel) fonksiyonudur ve şu özelliklere sahiptir. i ) uygun bölge sınırına uzak iken B() küçüktür. ii) uygun bölge sınırına yakın iken B() büyüktür. uygun bölge sınırında iken B() a yaklaşır. Böylece, P(,r) yi artırmak için arama işlemi uygun bir çözüm ile başlar. B() in genel formu; n B()= i = n + b g ( ) j = i i j 5

55 in uygun değerleri için şunu görebiliriz ki; negatif olmayan kısıt veya uygun fonksiyon için her terimin paydası in kısıt sınırından olan uzaklığı ile orantılıdır. Bu nedenle her terim sınırda olmayan bir terimdir ve kısmi kısıt sınırına göre B() in üç özelliğine sahiptir. B() in diğer bir etkili özelliği dee konveks programlamanın tüm şartları sağlandığında P(,r) nin konkav fonksiyon olmasıdır. Ardışık Kısıtsız Minimizasyon Tekniği (SUMT) kısıtsız optimizasyon problemlerinin bir çözümünü kapsadığından r nin uygun değerleri için r sıfıra yaklaşır. Bu yaklaşımda her bir yeni r değeri daha önceki r değerinin bir θ ( < θ <, θ =. ) sayısı ile çarpılarak bulunur. Örneğin: r = r = r.θ =.. =. r nin sıfıra yaklaşması halinde P(,r),f() fonksiyonuna yaklaşacaktır. Şöyle ki P() nin uygun yerel maksimumu orijinal problemin yerel maksimumuna yakınsayacaktır. Bu nedenle sadece kısıtsız optimizasyon problemini çözmek gerekir. Orijinal problem konveks programlamanın şartlarını sağladığında bize yardımcı olacaak bir bilgi verir. Eğer,,P(,r) nin bir mutlak maksimumu ise; f( ) f ( *) f( ) + rb() dir Burada, * orijinal problem için bilinmeyen optimum çözümdür. Böylece rb() amaç fonksiyonunun değerindeki maksimum hatadır ve * değerine eşittir. Daha ileride bu hata için bir hassasiyet sınırı getirilirse rb() bu hassasiyetten daha küçük kalınca işlem son bulur. Fakat konveks olmayan programlama problemlerinde maksimum hata için böyle bir garanti verilmez. Bu bilgilerin ışığı altında Ardışık Kısıtsız Minimizasyon Tekniği (SUMT) nın işlem adımları şu şekilde özetlenebilir. Başlangıç Adımı : Uygun bölgenin sınırı üzerinde olmayan bir başlangıç noktası alalım ve k = atayalım. Kesin pozitif r skalerini ve θ sabitini seçelim. [Genellikle r =, θ =. olarak alınır]. Ardışık Adımlar : n P(,r)=f()-r n + i = b g ( ) j = i i j Fonksiyonunun k yerel ekstremumunu bulmak için k- noktasından başlayarak daha önce tanımladığımız gradient işlemini uygulayalım. [ k = k- -t f( k )] 5

56 Son Adım : Eğer k- ile k arasındaki fark ihmal edilebilirse işlem k nın orijinal problemin tahmini yerel ekstremumu olarak kullanılması ile son bulur. Aksi halde k = k + ve r k = θ. r k- alınarak ardışık adıma geri dönülür. Bu algoritma konveks programlamanın şartları sağlanana dek başlangıç tahmini uygun çözümlerle başlanarak tekrarlanır. Yerel değerlerin en iyisi ekstremum olarak kullanılır. Sonuç olarak Ardışık Kısıtsız Minimizasyon (maksiminizasyon) Tekniği eşitlik kısıtlarına sahip [g i () = b i ] problemler içinde kolayca genişletilebilir. Her eşitlik kısıt; r [ b g ( )] b g () i yerine i i r i alınarak SUMT algoritması aynı şekilde tekrarlanır. SUMT algoritmasının nasıl çalıştığını görmek için aşağıdaki örneği verelim. Örnek: Ardışık Kısıtsız Minimizasyon Tekniği(SUMT) Alt Kısıtlardaki Değişkenlerin Sayısı : Alt Sınır Kısıtsız değişkenlerin Sayısı : Eşitsizlik Kısıtların Sayısı : Eşitlik Kısıtların Sayısı : r r r P(,r)=f() B ( ) L ( ) L ( ) Burada; f() = B () = L () = L () = Ardışık Kısıtsız Minimizasyon tekniği Çözümü: k r f() ,,87,67 3,8 3,,89,,7 3,856 4,,894,7 3,854 5,894,7 3,8543 6,894,7 3,8543 5

57 3.4. UYGULAMALAR VE YORUMLARI Seçilen Doğrusal Olmayan Programlama Tekniklerinin Karşılaştırmalı Genel Yorumu Bu çalışmamızda seçtiğimiz Doğrusal Olmayan Programlama Tekniklerini tek-çok değişkenli, kısıtlı-kısıtsız, direkt-indirekt olmak üzere üç ana başlık altında tasnif edebiliriz. Buna göre Newton-Raphson Metodu tek değişkenli, indirekt(türev kullanan), kısıtsız bir ardışık işlem metodudur. Nelder - Mead Medodu ise çok değişkenli kısıtsız ve direkt (türev kullanmayan) bir arama metodudur. Gradient metodu ise adından da anlaşılacağı gibi çok değişkenli,kısıtsız ve indirekt bir arama metodudur. Frank-Wolfe Algoritması ise çok değişkenli, doğrusal kısıtlı ve indirekt bir Gradient arama işlemidir. SUMT Algoritması ise çok değişkenli, doğrusal ve doğrusal olmayan eşitlik ve eşitsizlik kısıtlı ve indirekt olan bir Gradient arama işlemidir. Bu tasnife göre karşılaştırmalı yorumu kısıtlı metodları kendi aralarında, kısıtsız metodları kendi aralarında olmak üzere ayıralım. Newton-Raphson Metodu y = f() tek değişkenli fonksiyonunun sıfırlarını bulan metodlarının arasında gerçek köke en hızlı yakınsayan bir ardaşık arama işlemidir. Bu nedenle çalışmada tek değişkenli fonksiyonları temsilen seçilmiştir. Nelder - Mead Medodu ile Gradient Metodu çok değişkenli kısıtsız fonksiyonların optimizasyonunu bulan iki metod olmasına rağmen Nelder ve Mead Medodu türev kullanmayan (direkt) bir arama işlemi, Gradient Metodu ise türevleri kullanan (indirekt) arama işlemidir. Gradient arama işleminin en önemli özelliği optimum çözüme steepest ascent ( en dik çıkış ), steepest descent ( en dik iniş ) veya zigzag şeklinde bir grafik çizerek yakınsamasıdır. Bu Gradient arama işleminin en karakteristik özelliğidir. Bu nedenle uygun bölgede seçilen her başlangıç aşikar çözüm optimum çözüme hızlı bir şekilde yakınsar. Uygulama 4 ve Uygulama 5 bunu açıkca ortaya koymaktadır. Fakat bu metodun bir dezavantajı adım uzunluğunun küçülmesi durumunda bir sonraki iterasyona geçememesidir. Bu bilgisayarlardaki alt taşması, üs taşması gibi hatalarından kaynaklanmaktadır. Bu nedenle ancak uygun başlangıç aşikar çözümlerin, seçimi ile tam optimum çözüme ulaşabiliriz. Nelder Mead tarafından geliştirilen metod ise bir simpleks metodudur ve çok değişkenli kısıtsız fonksiyonların optimizasyonunu bulmakta oldukça etkilidir. İki boyutta simpleks bir üçgen olduğundan, ilk üçgenin üç köşe noktası başlanğıç vektörler alınarak işleme başlanır. 53

58 Bu köşe noktalarda maksimum problem için en büyük, minimum problem için en küçük fonksiyon değerine sahip noktaya Best Verte (En iyi köşe nokta ), sonraki en iyi noktaya Good Verte ( Sonraki en iyi köşe nokta ) ve maksimum problemlerde en küçük, minimum problemlerde en büyük fonksiyon değerine sahip noktaya da Worst Verte (En kötü köşe nokta ) denir. Bu işlem her iterasyonda tekrarlanarak iki boyutlu problmlerde üçgenlerin bir dizisi ile optimum çözüme yaklaşılır. B, G ve W ile isimlendirdiğimiz üçgenin bu köşe noktaları birbirlerine eşit iken bir noktayı gösterirler ki işte bu nokta aranılan optimumu noktadır. Bu nedenle başlangış vektörlerinin iyi seçimi ile bu metod Gradient Metodundan daha etkili bir arama işlemi haline gelir. Buna göre, Gradient Algoritması her iterasyonda kısmi türevlerin hesabı gerektiğinden Nelder - Mead Metoduna göre daha çok işlem süresine sahip bir arama işlemidir. Gradient arama işleminde adım uzunlukları arasındaki fark yakınsaklığın durumu göstermesi açısından önemli iken Nelder - Mead Metodunda bu ölçüt her iterasyondaki üçgenin bir öncekine göre daha küçülmesi yani B, G ve W noktalarının birbirine yaklaşması ile belirlenebilir. Şimdi de Frank-Wolfe ve SUMT Algoritmalarının kendi aralarında karşılaştırmalı yorumlarını yapalım. Bu iki algoritmada kısıtlı çok değişkenli fonksiyonların optimizasyonunu bulurlar. İkisinin ortak özelliği işlem adımları esnasında Gradient arama işlemini kullanmalarıdır. Yani her ikisi de İndirekt ( türev kullanan ) arama işlemidir. Frank-Wolfe Algoritması doğrusal kısıtlı problemlerin optimizasyonunu bulurken, SUMT Algoritması hem doğrusal hem doğrusal olmayan kısıtlı problemlerin optimizasyonunu bulur. Frank-Wolfe Algoritmasının genel karakteristiği doğrusal kısıtlı, doğrusal amaç fonksiyonu olan bir doğrusal programlama problemine dönüşür. Frank-Wolfe Algoritmasının diğer önemli bir karakteristiği ise iterasyonların optimum çözüme doğru iki farklı yönden yaklaşmasıdır. Bu nedenle Frank-Wolfe Algoritmasında optimum çözüme yakınsama SUMT Algoritmasına göre daha yavaş bir yakınsamadır. SUMT Algoritmasının en genel karekteristiği ise ceza fonksiyonlarını kullanarak kısıtlı optimizasyon problemlerini kısıtsız optimizasyon problemlerinin bir dizisi ile çözmesidir. Bu nedenle SUMT Algoritması uygun bölge içinde seçilen bir başlangıç aşikar çözüm ile optimum çözüme çok hızlı bir şekilde yakınsayan ve r =. değeri için; P(,r) = f() rb() fonksiyonunun amaç değerini bulan bir gradient arama işlemidir. Bu özellikleri ile SUMT Algoritması gerek doğrusal kısıtlı gerekse doğrusal olmayan kısıtlı fonksiyonların optimizasyonunda çok etkili bir algoritmadır. 54

59 4. BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER VE LİNEER PROGRAMLAMA 4.EŞİTSİZLİKLER 4.. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler a ve a,b, R olmak üzere f()=a+b ifadesine birinci dereceden fonksiyon ve birinci dereceden iki terimli denir. a + b >, a+b<, a + b ve a + b şeklindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler adı verilir. b a+b= ifadesine birinci dereceden denklem, = - sayısına da denklemin kökü denir. a a + b >,a+b<, a + b ve a + b eşitsizliklerini ise sonsuz sayı gerçeklediğinden bunların çözüm kümesini bulma işleminde denklemden yararlanılarak önce kökü bulunur. Daha sonra işaret kuralı aşağıdaki tabloda olduğu gibi düzenlenerek çözüm kümesi bulunur. f()=a+b iki terimlisinin işaret kuralı aşağıdaki tabloda verilmiştir. f() = a + b a'nın işaretinin tersi a'nın işaretinin aynı + Örnek:f()= -+8 fonksiyonunun işaret tablosunu hazırlayarak +8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: f()=-+8 fonksiyonun önce kökünü bulalım. +8= = 4 ve a=4 dür Tablo incelendiğinde; i) <4 ise f()< ii) =4 ise f()= iii) >4 ise f()> olur. O halde çözüm kümesi Ç=[4, ) dir. 55

60 4.. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler a, b, c R, a ve R olmak üzere; f()=a +b+c ifadesine ikinci derece fonksiyonu ve ikinci dereceden üç terimli denir.a + b + c >, a + b + c, a + b + c < ve a + b + c şeklindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. f()=a +b+c üç terimlisinin işaret kuralı aşağıdaki tablolarda gösterildiği gibi bulunur. a +b+c= denkleminde; I) Δ > ise denkleminin birbirinden farklı iki kökü vardır.bunlar, olsun. a +b+c + a'nın işaretinin aynı a'nın işaretinin tersi a'nın işaretinin aynı II) Δ = ise denkleminin eşit iki kökü vardır. = = b a a +b+c = a'nın işaretinin aynı a'nın işaretinin aynı + III) Δ < ise a +b+c= denkleminin gerçek kökü yoktur. f()=a +b+c hiçbir zaman sıfır olamayacağından, işareti değişmez,a ile aynı kalır. a +b+c + a'nın işareti ile aynı Δ < ve a> f()> Δ > ve a< f()< dır. Örnek: a) +3-< b)9 ++4> c) -<-8 eşitsizliklerinin çözüm kümelerini bulunuz. Çözüm: a) +3-< eşitsizliğinin çözüm kümesini bulurken önce eşitsizliği denkleme çevrilir.daha sonra kökler bulunarak işaret tablosu hazırlanır. Δ = 49 >, farklı iki gerçek kökü vardır. +3-= denkleminin kökleri (+5)(-)= ise =-5, = dir Ç={ 5 < <, R } = (-5,) 56

61 b) 9 ++4>, a da yapılan işlemler izlenerek kökleri araştırılır. Δ =, birbirine eşit iki kökü vardır.9 ++4= denkleminde Δ = olduğundan birbirine eşit iki kökü vardır ve denklemin kökleri b = = = tür. a Ç=R dir. c) -< < şekline getirdikten sonra a da yapılan işlemler tekrarlanarak kökleri araştırılır. + 8 = denkleminde Δ < olduğundan gerçek kök yoktur Ç=Ø dir Eşitsizlikler ve grafikleri a.+b.y+c, a.+b.y+c, a.+b.y+c > ve a.+b.y+c < şeklindeki eşitsizliklere.dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler denir.bu eşitsizliklerin grafiğini çizmek için ilk olarak; a.+b.y+c = denkleminden; a c y = (a,b,c IR b ) b b şekline getirilerek fonksiyonun grafiği çizilir.burada a b = m, c b = n dersek; y=m+n...() elde edilir.bu fonksiyonun grafiği bir doğru olup, bu doğrunun grafiğini çizmek için iki nokta bulmak yeterli olacaktır.buradan;y=m+n için; y n n m alınarak, y=m+n ile y m+n ve y m+n grafikleri aşağıdaki gibi çizilir. 57

62 y=m+n y=m+n n y m + n -n/m n y m + n -n/m. Şekil. y==m+n grafiği Şekil. y m+n ve y m+n grafikleri y=m+n eşitliğinde y m+n veya y m+n eşitsizliklerinin grafiği şekil. deki gibidir. y m+n eşitsizliğinin grafiğini çizmek için y=m+n doğrusunun grafiği ilk olarak çizilir.daha sonra, bu doğru üzerinde bulunmayan herhangi bir test noktası alınarak eşitsizliği sağlayıp sağlamadığı belirlenir.eğer bu nokta eşitsizliği sağlıyor ise, bu noktanın alındığı bölge istenen bölge, karşı bölge ise diğer eşitsizliğe ait olur.bundan başka, a+by+c> ve a+by+c< eşitsizliklerinde yine yukarıdaki yol takip edilir.fakat, grafik çizilirken a+by+c= doğrusu kesikli çizgi ile gösterilir.(şekil.3) a + by + c = a + by + c > a + by + c < Şekil.3 a+by< ve a+by+c> grafikleri 4.4. Eşitsizlik sistemlerinin grafik gösterimi: Eğer birden fazla eşitsizliğin bir araya gelmesiyle oluşan bir sisteme sahipsek, bu sisteme eşitsizlik sistemi denir.bu sistemin çözümüne ait grafiği bulmak için ayrı ayrı her bir eşitsizliğin grafiği aynı koordinat düzleminde çizilir ve bu grafiklerin aynı anda sağlandığı bölge (çözüm bölgesi) bulunur.bunu aşağıdaki gibi basit bir örnek ile gösterebiliriz. 58

63 Örnek: + 4y 8 3 y 6 y 3 sistemini sağlayan çözüm bölgesini bulalım. Çözüm: Çözüm Bölgesi y=3 +4y=8 y Örnek : + 3y y Çözüm: y = = - 3 y eşitsizlik sisteminin grafik çözümünü bulunuz. Çözüm Bölgesi -y = +3y = Not: Her iki örnekte elde edilen çözüm bölgesini bulmak için öncelikle eşitsizlikler eşitlikler haline getirilerek her birinin grafiği çizilir.daha sonra, eşitsizliğin durumuna göre bir test noktası yardımıyla doğrunun altı veya üstü çözüm bölgesi olarak alınır.sonuç olarak, bütün eşitsizliklerin aynı anda sağlandığı bölge istenen çözüm bölgesi olarak alınır. 59

64 4.5. Lineer Programlama Grafik Çözümü Genel Bilgi: Lineer programlama lineer fonksiyonlardan oluşan problemleri çözmek için geliştirilmiş bir metottur. Bu metotla problemlerde istenilen amaca ulaşılmaya çalışılır. Bu amaç maksimum kar, minimum maliyet, maksimum ağırlık vb.gibi olabilir. Bunun anlamı şudur.,y değişkenleri gerçek hayatta bir olayı temsil ettiklerinden hiçbir zaman negatif olmazlar. Bir lineer programlama problemi; amaç z=f( i ) Kısıtlar; g i () ( ) b i i şeklinde tanımlanır. Burada,amaç maksimum ise g i () b i, amaç minimum ise g i () b i Lineer Programlama İşlem Basamakları ) i-) Bilinmeyenler belirlenir ve buna göre değişkenler tanımlanır. ii-) Kısıtlar lineer eşitsizliklere çevrilir. iii-) Amaç fonksiyonu oluşturulur. ) Uygun bölgenin grafiği çizilir. i-) Eşitsizlikler standart forma çevrilir. ii-) Her bir eşitsizliğin grafiği çizilir. iii-) Her eşitsizliğin aynı anda sağlandığı uygun bölge bulunur. 3) Uygun bölgenin köşe noktaları bulunur. 4) Bu köşe noktalarda amaç fonksiyonu belirtilir. En iyi amaca ulaşılan nokta Optimal Çözüm Noktasıdır. 6

65 Lineer Programlama Problem Örnekleri Problem: Aşağıdaki tabloda pirinç ve soya fasulyesinde birim bardakta bulunan kalori, vitamin ve B vitamin miktarları verilmiştir. Buna göre minimum maliyete sahip diyeti elde edebilmek için günde ne kadar pirinç ve soya fasulyesi (bardak cinsinden ) üretilmelidir? Pirinç Soya Günlük Gereksinim ( gr ) Protein Kalori ( mg ) B Vitamin /9 /3 Maliyet 4 Çözüm: = günde üretilecek bardak cinsinden pirinç miktarı. y = günde üretilecek bardak cinsinden soya miktarı. Modeli kurarsak; Minz=+4y Kısıtlar 6 y 8+7y=6 y y 9 y y y 6 + y 9 3 ; y A (,6) Uygun Bölge y=9 B, y = C(3,) 9 3 D(9,) B için ; y = y = = ; y = 7 7 C için ; y = 9 + y = 9 3 =3 ; y= Sonuçların değerlendirilmesi ; A (, 6 ) z = = 84 B ( 7 6, 7 4 ) z = = 66 C ( 3, ) z = = 9 D ( 9, ) z = = 89 Yorum : Günde 6/7 bardak pirinç ve 4/7 bardak soya üretirsek 66 T.L. na malolur ve optimum çözümdür 6

66 Problem: Aşağıdaki tabloda verilenlere göre işletmenin maksimum karı elde edebilmesi için günde kaç tane hangi tip bıçak üretilmelidir. ( A tipi bıçak ) ( B tipi bıçak ) y Mevcut Kapasiteler İş gücü 6 9 Çelik 35 7 Odun 4 3 Kar 5 Çözüm: = Günde üretilecek A tipi bıçak sayısı. y = Günde üretilecek B tipi bıçak sayısı. Model : Maksimum z= + 5y Kısıtlar : y y y y 7 y 4+3y= +35y=7 B(,8) y y ; y Uygun Bölge C(6.5,5) +6y=9 D(3,) B noktası için ; +35y=7 -/ +6y=9 = ve y=8 C noktası için ; +35y=7-5/ 4+3y= =6.5 ve y=5 B (, 8 ) noktası için ; z = = 8 C ( 6.5, 5 ) noktası için ; z =. (6.5) = 77.5 Optimum çözüm B (, 8 ) dir. 6

67 Problem: Aşağıdaki tabloya göre günde üretilecek pamuk ve floş ipliği miktarını bulunuz. (Pamuk) (Floş) y Mevcut Kapasiteler Hallaç 4 8 Cer-fitil 5 Taraklama 7 Maliyet 3 Çözüm: = Günde üretilecek Pamuk İpliği miktarı. y= Günde üretilecek Floş İpliği miktarı. Model. Min z=+3y Kısıtlar B Noktası y 8 + 4y 8 +y =5 +y =7 y y 5 =, y=3 C Noktası y y 7 ; y +4y =8 +y =5 =4, y= B için z=.+3.3=3, C için z=.4+3.= Optimum çözüm. 63

68 Problem: Yandaki tabloda verilenlere (A Tipi) (B Tipi) Mevcut göre işletmenin maksimum karı y Kapasiteler elde edebilmesi için günde.atölye 4 34 hangi tip malzemeden ne kadar.atölye üretmesi gerekir. 3.Atölye 5 33 Kar 8 Çözüm: = A tipi malzemeden günde üretilecek miktar. y = B tipi malzemeden günde üretilecek miktar. Model : Maksimum z = 8 + y Kısıtlar y y 34 y y 38 y y 33 ; y B için 3+4y=38 +4y=34 =, y=8 C için 5+y=38 +4y=34 =4, y=65 B(,8) Z=8.+.8=. C(4,65) Z= =. O halde B(.8) noktası optimum çözüm noktasıdır. 64

69 Problem: Bir işletmede radyo ve TV üretilmektedir.bu üretim tasarım montaj ve test atölyelerinde gerçekleştirilmektedir. Birim radyo üretimi için bu atölyede sırasıyla 6saat,4saat,3saat iş gücü, gerekli iken birim TV üretimi için bu atölyede sırasıyla 3saat,4saat, ve saat iş gücü gerekmektedir.atölyelerin günlük maksimum kullanım süreleri sırasıyla 9,7 ve 96 saattir.birim karlar sırasıyla ve dolardır.buna göre işletmenin maksimum karı elde edebilmesi için günde kaç tane radyo ve TV üretilmesi gerekir. Çözüm: : günde üretilecek radyo sayısı y:günde üretilecek TV sayısı y Mevcut kapasite Tasarım Montaj Test Kar Maksimum z = + y y y = 9 3 y 6 + 3y = y = 7 y y y = y = (,) C Uygun Bölge 3 + 6y = 96 D 5 8 3, y 4 + 4y = 7 ise = 4 C (4,4) ise z = = y = 96 y = y = 7 ise = D (,6) ise z =. +.6 = y = 9 y = 6 İşletme günde 4 tane radyo, 4 tane TV üretmesi gerekir. 65

70 Problem: Bir işletmede pamuk ve floş ipliği üretilmektedir. Bu üretim hallaç, cer-fitil ve taraklama dairesinde gerçekleşmektedir. Atölyelerin günlük kullanım süreleri mil olup 6,7,56 saattir.birim pamuk üretimi için bu atölyede sırasıyla,,4 saat iş gücü gerekirken birim floş üretimi için,6,4 saat iş gücü gereklidir.birim maliyetler sırasıyla 5 ve 6 dolardır. Buna göre, işletmenin minimum maliyeti elde edebilmesi için günlük ne kadar pamuk ve floş ipliği üretmesi gerekir. Çözüm: u : günde üretilecek pamuk ipliği miktarı v: günde üretilecek floş ipliği miktarı Min z = 5u + 6v Kısıtlar u v u v u v u v mevcut kapasite Hallaç 6 Cer-fitil 6 7 Taraklama Maliyet 5 6 u + v = 6 u + 6v = 7 4u + 4v = 56 u, v u + 6v = 7 u + v = 6 4u + 4v = v A (, ) C (4,4) Uygun Bölge D (5,6;,4) B (4,) u u + 4v = 56 ise u = 5,6 D (5.6,.4) ise z = 5.5,6 + 6.,4 = 4,4 u + v = 6 v =,4 u + 6v = 7 ise u = 4 C (4,4) ise z = = 44 u + v = 6 v = 4 günde 5,6 birim pamuk,4 birim floş ipliği üretilmesi gerekir. 66

71 4.6.Simpleks yöntemiyle Lineer Programlama Problemi Çözümü Bu yöntemi aşağıdaki örnek problem üzerinde inceleyelim. Maz=8+7y Kısıtlar 6+3y 96 +y 8 +6y 7, y Adım : Aylak değişkenler girilir ve lineer denklem sistemine göre değişkenler kurulur Adım : Buna göre bunun için başlangıç simpleks tablosu oluşturulur Adım 3: Amaç fonksiyonun satırında en büyük negatif değerli sayının olduğu sütundaki pivot eleman belirlenir Bu eleman en sağ sütundaki katsayılar sabitler pivotlar sütundaki kat sayılara bölünerek en küçük orana sahip değişken temel e girer öbürü temelden çıkar(temel çözüm) Adım 4:Yukarıda ki adımlar amaç fonksiyonu satırında negatif eleman kalmayıncaya kadar tekrarlanır. Maz=8+7y amaç fonksiyonu M-8-7y= şekline çevrilir. Kısıtlar 6+3y+u =96 +y +v =8 +6y +w =7-8-7y +M = Bundan sonra adım ye geçilir yani başlangıç simple tablosu hazırlanır. Boyalı sütun amaç fonksiyonu sütunudur. y u v w M u v 8 w 6 7 M

72 Tabloya göre u=96, v=8,=,y= olup çözüm değildir çözüm için amaç fonksiyonu satırında negatif eleman kalmamalıdır. 3.aşama:amaç fonksiyonu belirlendi ve bu satırdaki en küçük negatif eleman (-8) yok edilmeye çalışılıyor /6=6 en küçük eleman olduğundan bunu...8 belirlendi ve 8/= /=36 96/6=6 en küçük eleman olduğundan bunu sağlayan sayı 6 olduğuna göre bu sayı işaretlenir ve 6 nın bulunduğu satırı 6 ya böleriz y u v w M u ½ /6 6 D v 8 D w 6 7 D3 M -8-7 D4 -D+D D -D+D3 D3 işlemleri yapılarak yeni bir matris oluşturulur. -8D+D4 D4 Amaç sütununu, u sütununa dönüştürüp i temele almaktır. y u v w M ½ /6 6 v ½ -/6 w 5 -/3 4 M -3 4/3 8 =6, v=,w=4,m=8, y= olup çözüm değildir.o halde, işleme devam edilerek belirlenir ve = 3, = 4, = 8 oranlarından en küçüğü sağlayan ½ sayısı pivot / / 5 elemandır. 68

73 y u v w M ½ /6 6 v ½ -/6 w 5 -/3 4 M -3 4/3 8 y u v w M /3-4 y -/3 4 w 4/3 - M /3 6 4 (-/)D+D D (-5)D+D3 D3 3D+D4 D4 O halde; =4, y= 4,w =, m=4 çözümdür yani;maksimumz= =4 dür Marjinal Analiz y u v w M / (/3)=5 y -/ (-/3)=3 w 4/ (4/3)=4 M / (/3)=4 u tasarım, v montaj, w test atölyesi olsunlar.tasarım sütununu dikkate alalım burada ilave bir iş gücü üretim seviyesi ve karı ne kadar değiştirilebilir? Bunun için tasarım atölyesinde 3 saatlik ilave iş gücü sonuç tabloyu şekilde eklenir Sonuç olarak u=/3, v=6,w= değerlerine marjinal değerler denir. Örnek.4.7 :maz=3+5y Kısıtlar 3+6y 9 Tasarım 7+5y 38 Montaj 4+3y Test, y montaj atölyesine 8 saat ilave edildiğinde kar ne kadar artar?montaj atölyesine ilave edilecek saati belirleyen analizi yapınız. 69

74 Çözüm.4.7: y u v w M u v w 4 3 M -3-5 y u v w M y 7/7 -/9 8 +8(-/9)=6-5/7 /9 4 +8(/9)=8 w -/7-5/9 4 +8(-5/9)=3 M /7 /9 8 +8(/9)=84 ( lira artı) u tasarım, v montaj, w test atelyesi olsunlar. giriş kısıtlama 8+h(-/9) h 7 4+h(/9) h h 7 4+h(-5/9) h 7 Örnek.4.8: minz =375--3y Kısıtlar 3 y 5 +y 5( ise y 5) +y 45, y minz= - ma(-z) Çözüm.4.8: + t =3 y + u =5 -+-y +v =-5 +y +w =45 --3y +M = -375 y t u v w M t 3 u 5 v w 45 M

75 y t u v w M D t - 5 D u 5 D3 v - 5 D4 w 3 D5 M y t u v w M v - 5 u 5 3 w - 5 M y t u v w M v 3 u - 3 y - 5 M Maksimum problemi olsaydı 3 ü seçecektik burada ise yi yok etmeye çalışacağız. Karşılıklı elemanları oranlıyoruz 3/; -5/- ; 45/ oranlarından en küçük oranı alıyoruz (-5)/(-) dır.(-) pivot elemandır. Bulunduğu satırın tüm elemanlarını (-) ile çarptık ikinci tabloyu yazdık.daha sonra aşağıdaki satır işlemlerini yaptık; D3+D5 D5 D3+D D D3+D4 D4 İkinci tabloda yi yok etmeye çalışacağız.karşılıklı elemanları oranlıyoruz 5/ ; 5/- ; 3/ en küçük oranı alıyoruz. 7

76 y t u v w M v 3 t - - y 5 M -6 Min y ise +3y-375=M =, y=5 ise =-6 TL Negatif çıkmasının sebebi minimum problemi olmasıdır. 4.7.DUALİTE ma CX Kısıtlar AX B X lineer programlama probleminin duali; min B T U kısıtlar A T U CT U şeklinde tanımlanır.bir önceki örnek problemimizi buna göre uyarlarsak; Maz=8+7y ma[8 7] y Kısıtlar Kısıtlar 6+3y ve 6 y y 7 +y y 7, y Dual problem:minz=96u+8v+7w Kısıtlar 6u+v+w 8 3u+v+6w 7 u, v, w 7

77 Örnek: min8+y+z kısıtlar 3-5y-z 4 6-8z 9, y, z yeni kısıtlar -3+5y+z 4 6-8z 9, y, z maz=-4u+9v (simpleks çözüm) Kısıtlar -3u+6v 8-3u+6v+ =8 5u 5u +y = u-8v u-8v +z = u, v , M=-4u+9v ise 4u-9v+M= 3 u v y z M D y 5 D z -8 D3 M 4-9 Amaç fonksiyonundaki en küçük sayı,d4 8/6,/,/-8, buradan 8/6 seçilir.6 pivot elemandır 73

78 u v y z M v -/ /6 3 D y 5 D z - 4/3 6 D3 M -/ 3/ 7 D4 D+D3 (/)D+D (/)D+D4 işlemleri gerçekleştirilir. 3 /,, 5 6, buradan /5 seçilir.5 pivot elemandır. u v y z M v /6 / 5 u /5 4 z 4/3 /3 34 M 3/ / 9 v=5, u =4 olduğundan maz = =9 dır optimum çözüm sağlanmıştır. M=8+y+z, =3/, y= /, z= ise M=8.3/+./+.=9 Örnek.4.9: minz=-3y+6z kısıtlar 3-4y-6z +y+z +3y-z 5, y, z LP problemini çözünüz Çözüm.4.9 : minz= -3y+6z (standart forma çevirelim) kısıtlar -3+4y+6z +y+z --3y+z 5, y, z (dualini alalım) 74

79 maz=-u+v-5w kısıtlar -3u+v-w 4u+v-3w 3 6u+v+w 6 u, v, w -3u+v-w+ = 4u+v-3w+y = -3 6u+v+w +z = 6 u-v+5w +M= u v w y z M 6/=3,-3/=-3,/= (en küçük oran -3 - alınır)pivot eleman ikinci satırın tüm y elemanlarını ye bölelim satır işlemleri z 6 6 ile pivot elemanın bulunduğu sütundaki M - 5 elemanları yapalım son satırdan(amaç satırında) negatif eleman kalmayana kadar bu işlemlere devam edelim. u v w y z M v -3/ -/ ½ y / -5/ -/ -4 z M -9/ -/ / u v w y z M v /3 /6 5/3 y -3/3 -/9 -/8-4/9 u /3 -/9 /9 4/9 M 3/3 35/9 9/8 57/9 u=4/9, v=5/3, w= -u+v-5w=- 4/9 +.5/3-5.=57/9 =35/9,y=, z=9/8-3y+6z=.35/ /8=57/9 ilk atölyede 3 saatlik bir artış yapılırsa kar ne olur? 5/3+3(/3)=8/3-4/9+3(-/9)=-7/9 4/9+3(-/9)=/9 57/9+3(35/9)=6/9 75

80 5.BÖLÜM 5.Ulaştırma Problemleri 5..Ulaştırma Problemlerine Giriş Bu bölümde, doğeusal programlama problemlerinin özel bir türü yani belirli sayıda kaynakta üretilen malların, belirli amaçlere minimum maliyette gönderilmesi ile ilgili olan ulaştırma modellerine değinilecektir. Ulaştırma probleminde amaç kaynaklardan hedeflere, yani üretim merkezlerinden dağıtım merkezlerine mallar dağıtılırken, bu dağıtım işlemini mnimum maliyette gerçekleştirmektir. Ulaştırma modelinde kısıtlayıcı koşullar, istem ve sunum miktarına bağlı olarak daha çok eşitlik şeklindedir. Ulaştırma modeli şeklinde kurulan bir problem simpleks yöntem ile çözülebilir. Fakat ulaştırma problemleri kendine özgü teknikleri ile, yani ulaşırma algoritması, atama ve aktarma modelleri gibi tekniklerle daha az zaman ve daha az hesaplamayla çözmek olanaklıdır. Ulaştırma modelini bugünküne benzer fakat daha basit yapıda ilk kez 94 yılında Hitchock petrol endüstrisine uygulamıştır. Sonraları, Koopmans, Dantzig, Cooper ve charnes in geliştirdikleri ve uygulamada geçerli olan teknik 96 larda yaygınca kullanılmaya başlamıştır.ulaştırma problemleri aşağıdaki alanlarda sıkça kullanılmaktadır: - Üretim ve tüketim merkezleri arasında optimal mal dağıtımının belirlenmesinde, - İşlerin makinalara dağıtımında, 3- Üretim planlamasında, 4- Çeşitli şebeke ağı (network) problemlerinde, 5- İşletmelerin (fabrikaların) kuruluş yeri seçiminde gibi.. 76

81 5..Örneklerle Ulaştırma Problemlerinin incelenmesi: Problem.5.: Bir işletmeden aşağıdaki veriler alınmıştır Üretim merkezleri Üretim miktarları Tüketim merkezleri Tüketim miktarı F F F3 4 5 D D D Tüketim merkezi D D D3 Üretim merkezi F 6 5 F F3 6 9 Bu tablo iki merkez arasındaki birim taşıma maliyetidir.üretim yerlerinden tüketim yerlerine gönderilecek malları işleminin toplam maliyetinin en az olması isteniyor Çözüm.5.: Ulaştırma tablosunun düzenlenmesi F D D D3 Arz F F Talep a > i= i 3 j= Buna göre amaç fonksiyonu; Z min = ij dır b j Kısıtlar arz kısıtlayıcıları talep kısıtlayıcıları 77

82 Kuzey-batı köşesi yöntemi :Hantal bir çözüm yöntemidir,daha iyisi vardır. F F 7 5 F3 6 D D D3 D4 Arz Talep Arz=Talep olması için D4 ü ekledik Z min = Z min =755 TL. m+n-=6(m=4,n=3) En küçük maliyetli hücreler yöntemi: D D D3 D4 Arz F 6 5 F F Talep Z min = Z min =735TL. VAM(vogel) yöntemi: D D D3 D4 Arz (sunum) F F Talep (istem) Arabaların kiralandığı merkez ile kiralayan merkezler arasındaki birim taşıma maliyetleri tabloda verilmiştir.buna göre arabaların dağıtım programlarını ve toplam en küçük taşıma maliyetini vagel yöntemine göre düzenleyiniz. 78

83 Öncelikle arz talep dengelenir.bunun için kukla fabrika kurarız F3 gibi.daha sonra her satır ve sütün için en küçük iki sayının farkını hesaplayıp ilgili satır yada sütunun sonuna yazarız. İşlemlere en büyük farktan başlarız m+n-=4+3-=6 tane çarpım toplanır D D D3 D4 Arz 4 4 F F F talep Minz= =547 TL. dır. 6.BÖLÜM 6.Atama Problemleri 6. Atama Problemlerine Giriş: Atama problemleri en çok işçilerin işlere ve işlerin makinalara programlandırılmasında kullanılır.atama modeli kaynakların en etkin kullanımını amaçladığından işlerin min. Zamanda veya min. maliyette gerçekleşmesi istenir.atama problemleri ulaştırma problemlerine dönüştürülebilir. Burada tüm arz ve talepler toplamı e eşit olmaktadır. 6..Atama Problemlerinin Çözüm adımları: Adım- ) Maliyet matrisinin her sırasında yer alan en küçük değerli eleman belirlenir, sonra yeni bir maliyet matrisi oluşturmak için aynı sıradaki tüm elemanlardan çıkarılır. Adım- ) Adım- de elde edilen maliyet matrisinin her sütunundaki en küçük değerli eleman bulunur, sonra bu elemanlar ilgili olduğu sütundaki tüm elemanlardan çıkarılır. Adım-3 ) Elde edilen yeni matristeki değerli elemanlara kaynkalar veya işçiler atanır. Bir işçinin sadece bir işe atanması yapılmış ise bu durum uygun atamanın olduğunu gösterir.hangi işçinin hangi işe atandığını belirlemek için değerli elemanlar daire içine alınır. Eğer uygun atama yoksa Adım-4 e geçilir. En uygun atamalar daire içine alınan lara karşılıktır. 79

84 Adım-4 ) Matriste yer alan tüm değerli elemanlardan geçen en az sayıda çizgiler çizilir. Çizilen çizgilerin sayısı sıra veya sütun sayısından az olacaktır. Üzerinden çizgi geçmeyen en küçük eleman seçilir sonra bu eleman, üzerinden çizgi geçmeyen en küçük eleman seçilir sonra bu eleman, üzerinden çizgi geçmeyen tüm elemanlardan çıkarılır ve iki çizginin kesiştiği yerdeki elemanlara eklenir. Üzerinden çizgi geçen öteki elemanlar değişmeden kalır. Bütün işlemlerden sonra Adım-3 deki işlemlere başvurulur Örneklerle Atama Problemlerinin İncelenmesi: Problem: Aşağıdaki tabloda saat olarak her makinenin ilgili iş bitirme süresi verilmektedir.buna göre, minimum zamanda işlerin makinelara atanması problemini çözünüz. Makineler İşler A B C D Çözüm: Her satırdaki en küçük eleman belirlenir. İki taneyse herhangi biri alınır sonra bütün elemanlar bu elemandan çıkartılarak yeni bir matris oluşturulur. Daha sonra I. adımda elde edilen maliyet matrisinin her sütunundaki en küçük eleman bulunur ve bu tüm elemanlardan çıkartılır.elde edilen yeni matristeki değerli elemanlara işçi, iş veya makine atanır. Hangi işçinin (makinenın ) hangi işe atandığı belirlemek için değerli elemanlar daire içine alınır Atama uygun değilse adım 4 e geçilir. 8

85 Matriste yer alan tüm değerli elemanlardan geçen en az sayıda doğru çizilir. Çizilen doğruların sayısı satır veya sütun sayısından az olacaktır. Üzerinden doğru geçmeyen en küçük eleman bulunacak ve üzerinden doğru geçmeyen bütün elemanlardan çıkarılacak ve iki doğrunun kesiştiği yerdeki elemanlara eklenecektir.sonuç vermezse adım 3 e dönülür.iş A makinesine,.iş B makinesine, 3.iş C makinesine, 4. iş D makinesine atanır minz=+3++3=48 Problem:Aşağıda verilen değerlere göre işçilerin işlere atamalarını yaparak toplam maliyeti minimum yapınız. İşler İşçiler Çözüm: Opimal çözüm =.işçi 3.işe,.işçi 4.işe,3.işçi.işe, 4.işçi. işe atanır minz=+7+8+4=9. 8

86 7.BÖLÜM 7.Gezgin Satıcı Problemi 7. Gezgin Satıcı Problemlemine Giriş: Gezgin satıcı problemi başladığı noktaya tekrar dönmek koşuluyla (n-) sayıda yerleşim yerine uğrayan satıcı ile ilgilidir. Burada amaç sayısı n tane olan yerleşim yerinden bir satıcının (n-) tane kente en kısa sürede uğrayarak başladığı kente dönmesini sağlayacak bir gezi planı hazırlamaktır. Bu yöntem teslimat, teftiş gibi işlemlerde ve T:v: röle istasyonlarının yerinin tespitinde veya okul öğrencilerinin minibüslerle toplanması gib günlük işlerde sıklıkla kullanılır. 7..Gezgin Satıcı Problemi İşlem Adımları: Gezgin satıcı problemi için dört adımda işlem yapılır Bunlar ;.-Adım ) Verilen problemin maliyet matrisinde boş hücreler varsa bu hücrelere en büyük sayılar yazılır matriste yer alan en küçük eleman daire içine alınır gezi planının halkasına eklenir.-adım ) Adım I de daire içine alınan elemanın bulunduğu satır ve sütunundaki tüm diğer elemanların yerine çok büyük değerli sayılar yerleştirilerek yeni bir matris elde edilir 3.-Adım ) Adım II de ulaşılan maliyet matrisinde daire içine alınmayan en küçük eleman işaretlenir ve sonra henüz tamamlanmamış gezi planında karşılık olduğu halkaya deneme yönünde eklenir. Sonuçlanan gezi uygun değilse işaretlenen maliyet daire içine alınarak Adım IV e geçilir. 4.Adım ) Eğer sonuçlanan gezi planı uygun değilse en son halka plandan çıkartılır ve onun maliyeti yerine daha önce verilen büyük maliyet alınarak Adım III e dönülür 5.Adım ) Gezi planı tamamlanmış ve optimale yakın ise bu plan kabul edilir aksi halde adım ye dönülür. Boş bırakılan herhangi bir yerleşim yeri Adım II deki işlemlerine geçilir. Boş bırakılan herhangi bir yerleşim yeri Adım II deki işlemler ile yeniden geriye bırakılmaz ve herhangi bir yerleşim yeri gezi planına girdi ise tekrar plana girmez. 8

87 7.3. Gezgin Satıcı Problemlerinin Örneklerle İncelenmesi: Problem: Aşağıda gezgin satıcı problemi için verilen maliyet matrisine optimale yakın çözüm varsa bulunuz. A B C D E A B C D E Çözüm: Önce boş bırakılan gözelere yeni c,c,c 33,c 44 ve c 55 yerine gibi çok büyük değerli maliyet elemanı yerleştirilerek aşağıdaki tablo elde edilir. A B C D E A B C D E Yukarıdaki tabloda en küçük değer c 4 veya c 4 dir. c 4 elemanını seçtiğimizi düşünelim ve işaretleyerek bunu, gezi planının bir halkası yani 4 olarak kabul edelim. Sonra c 4 elemanının dışında kalan ikinci sıra ve dördüncü sütundaki elemanlar ile aynı değerdeki elemanların yerine büyük değerli sayı yerleştirilir ve aşağıdaki tablo elde edilir. 83

88 A B C D E A B C D E Yukarıdaki tabloda işaretlenmemiş en küçük eleman c 43 = 3 dur. Şimdiki gezi planına 4-3 halkasını da ekleyerek, uygun olmayan ve hala tamamlanmamış -4 ve 4-3 gezi planı elde edilir. Ayrıca c 43 elemanı işaretlenerek ilgili olduğu satır ve sütundaki diğer elemanlar ile dönüşüm elemanı c 34 yerine elemanı konularak aşağıdaki tablo elde edilir. A B C D E A B C D E Yukarıdaki tabloda işaretlenmeyen c =35 tir. Tamamlanmamış şimdiki gezi planına - halkası ilave edilerek -,-4,4-3 gezi planı elde edilir. c elemanı işaretlenir, birinci sıradaki diğer elemanlar ile ikinci sütudaki tüm diğer elemanlar ve dönüşüm elemanı c nin yerine büyük değerli sayı konulur. Bu işlemin sonuçları aşağıdaki tabloda görünmektedir. A B C D E A B C D E

89 Aynı işlemlere devam edilerek c 35 ve c 5 elemanları da sırası ile işaretlenerek aşağıdaki tablolar elde edilir. Gezi planı son tabloda işaretlenen elmanlar ile gösterilir ki, adlandırılınca gezi planı, 4,4 3,3 5,5 olur. Bu tamamlanmış bir plan olup optimale yakındır. Gezinin toplam maliyeti ise z= =35 birim lira olur. A B C D E A B C D E A 35 A 35 B B C 75 C 75 D 3 D 3 E 65 E 65 8.BÖLÜM 8.DİNAMİK PROGRAMLAMA 8..Dinamik Programlaya Giriş: Bir ekonomik olaya bağlı bir fonksiyonun optimal değerinin değerinin araştırmanın en güvenilir araçlarından birisi, yıl kadar önce A.B.D li matematikçi Richard Bellman tarafından açıklanmıştır.bu analiz aracının önemi ekonomik olaylarda olduğu kadar fizik matematik alanlarda da geçerli olmasındadır. DP optimizasyon probleminin çoğunu çözmekte kullanılan bir yöntemdir ve problemin sonundan başına doğru çalışarak çözümlerin elde edilmesine dayanır.böylece büyük ve çözülemez problemler çözülebilen küçük problemlerin bir dizisine indirgenmiş olur bu yöntem daha çok yatırım, şebeke, ve kaynak tahsisi problemlerinde kullanılır.(yatırım:inventory,şebeke:network,kaynak tahsisi:resource allocation) 8..Dinamik Programlanın Örneklerle İncelenmesi: Örnek: Bir masada 3 kibrit ve iki oyuncu vardır öncelikle ilk oyuncu, veya 3 kibrit toplayarak başlıyor.sonra rakip, veya 3 kibrit topluyor.oyun bu şekilde devam ederken son kibriti olan oyuncu oyunu kaybediyor.oyunu kazanacağından ilk oyuncu olarak nasıl emin olabilirim. 85

90 Çözüm: Problem sondan başlanarak çözülür Eğer masada 5,9,3,7,,5,9 kibrit kalırsa ben kazanırım bunun için 3-9= kibrit olarak ilk benim sıramsa mutlaka kazanırım Örnek: (şebeke- problemi)dp nin pek çok uygulaması verilen bir şebekede iki noktayı birleştiren en kısa veya en uzun yolu bulmaya dayanır Joe NY ta yaşıyor fakat arabayla LA ya gitmeyi planlıyor.joe nin imkanları sınırlıdır ve her geceyi seyahatlerde geçirmek istiyor joe nin arkadaşlarının bulunduğu şehirler ve aralarında ki mesafeler aşağıda ki tabloda verilmiştir. buna göre joe en az mil giderek LA ya nasıl ulaşır. Çözüm: Newyork Columbus 68 Kansas Nashvillla3 Oklomaha Louisville4 83 Dallas7 7 Denver8 3 Los Angeles San Antonia9 39 safha safha safha3 safha4 F 3 (5)=min F 3 (6)=min F 3 (7)=min F ()=min F (3)=min C58+f4(8)=6+3=64 C59+f4(9)=79+39=8 C68+f4(8)=54+3=57 C69+f4(9)=94+39=33 C78+f4(8)=79+3=8 C68+f4(9)=7+39=66 C5+f3(5)=68+64=3 C6+f3(6)=79+57=36 C7+f3(7)=5+66=7 C35+f3(5)=58+64= C36+f3(6)=76+57=33 C37+f3(7)=66+66=3 86

91 C45+f3(5)=5+64=5 F (4)=min C46+f3(6)7+57=7 C47+f3(7)=83+66=48 (f 4 (8)=3 ve f 4 (9)=39) C+f()=55+3=87 F ()=min C3+f(3)=9+=3 C4+f(4)=77+5=9 (Burada, f n (a) şeklindeki ifadelerde n aşama(stage) sayısıdır.) Sonuç: =87 km dır Örnek: Bir şirket gelecek 4 ayda ürünü için olan talebin şu şekilde olacağını bilmektedir..ay birim.ay 3 birim 3.ay birim 4.ay 4 birim her ayın başlangıcında şirket geçerli aylarda kaç birim üretilmesi gerektiğini belirlemek zorundadır her hangi bir birimin üretildiği bir ay içinde 3 dolarlık bir maliyetle karşı karşıya kalınmaktadır ayrıca üretilen her birim için dolarlık değişken bir maliyet olmaktadır.her ay sonunda 5 cent birimlik bir maliyetle karşı karşıya kalınıyor kapasite birimi her ay boyunca mam 5 birim üretilmesine izin veriliyor.şirketin stoklarının boyutu her ay için olsa olsa 4 birimlik bir üretimin çıkışıyla sınırlanmaktadır bu şirket bütün istekleri zamanında karşılayabilmek için toplam üretim için en uygun koşulları belirlemek ve 4 ay boyunca olacak maliyeti karşılayabilmek çin bir üretim programı belirlemek istemektedir.bu programa göre ilk ayın başlangıcında birim olduğu varsayılmaktadır Bütün istekler her ayın üretim çıkışı pozitif olacak şekilde sınırlandırılacak ve zamanında karşılanacaktır. Çözüm:4.ay ürünleri + 3 aydan gelen stoklar = 4 ay talebi t (i)= t ayı başında i birimleri üretilmiş t,t+,.., 4 ayları boyunca tutan toplam harcamaları minimize eden ürün seviyesi f t (i)=her ay için minimummaliyetle karşılanan talep t,t+,..,4 eğer i birimler (t) ayının başında hazır halde ise C() = periyod süresince üretilen birimlerinin maliyet C()= ve > ise c()=+3$ 87

92 f 4 ()=üretim maliyeti 4- birim=c(4)=3+4=7$ ve 4 ()=4-=4 f 4 ()= // 4- birim=c(3)=3+3=6$ ve 4 ()=4-=3 f 4 ()= // 4- birim=c()=3+=5$ ve 4 ()=4-= f 4 (3)= // 4-3 birim=c()=3+=4$ ve 4 (3)=4-3= f 4 (4)= // 4-4 birim=c()= ve 4 (4)=4-4= f 3 (i) yi belirleyeceğiz, i=,,,3,4(aşamalar aylardır) f 3 (i)=min[/(ı+-)+c()+f 4 (i+-)](4 i + ) f 3 (),f3()=,f 3 ()=7, 3 ()=, 3 ()=5, 3 ()= f 3 (3)=3/,f 3 (4)=6, 3 (3)=, 3 (4)= Örnek:Ekipman (Equipment) Yenileme Problemi.yıl.yıl 3.yıl 4.yıl 5.yıl.zaman.zaman.zaman 3.zaman 4.zaman 5.zaman g(t) =t den 5 e kadar c t =t zamanda satın alınan bir makinenın net maliyetini zamana kadar işletme olarak tanımlıyoruz c t =$ +mt+...+m t- -S t- G(t)=mil {c t +g()}(t=,,,3,4) Bir oto tamir dükkanı mutlaka bi r makine analizine ihtiyaç duyar. Yeni bir makine analizi $ dır. Bir makine analizinin, veya 3 yıl elde tutulabiliyor. Birinci elde tutma maliyeti m i = 6 $, ikinci yıl elde tutma maliyeti m i =8$,üçüncü yıl elde tutma maliyeti m 3i =$ dır. X yıl sonra makine bir yenisi ile değiştirilebilir. Bu yaşındaki makineyi değiştirebilmemizde birinci yıl s i =8$,ikinci yıl s i =6$,üçüncü yıl s 3i =5$ kurtarma maliyeti elde ediliyor. Bu dükkan yeni bir makine almak zorunda olduğu zaman 5 yıl boyunca bu maliyeti en aza indirmek için ne yapmalıdır. Çözüm: c =$+6$-8$=6$= c =c 3 =c 34= c 45 c =$+6$+8$-6$=54$=c 3 =c 4 =c 35 c 3 =$+6$+8$+$-5$=76$=c 4 =c 5 g(t)=min {c t +g(t)}(t=,,,3,4) t+<=<=t+3,<=5 g(5)= 88

93 g(4)=c 45 +g(5)=6+=6$. g(3)=min c 34 +g(4)=6+6=5$ c 35 +g(5)=54+=54$ c 3 +g(3)=6+5=78$ g()=min c 4 +g(4)=54+6=8$ c 5 +g(5)=76+=76$ c +g()=6+76=$ g()=min c 3 +g(3)=54+5=6$ c 4 +g(4)=76+6=$ c +g()=6+=8$ g()=min c +g()=54+76=3$ c 3 +g(3)=76+5=8$ 9.BÖLÜM 9.Uygulama Programları 9. Simpleks Metot internet sitesinden temin ettiğimiz simpleks metot problemlerinin çözümlerini yapan programımız bir java uygulamasıdır. Bu sebepten browser üzerinden herhangi başka bir internet ayarı yapmadan kullanılabilir. Program temel olarak simpleks problemlerini simpleks yöntem kullanarak ya da dual yöntem kullanarak çözebilmektedir. Program internet uygulaması olabilmesi için Applet şeklinde hazırlanmıştır. Ayrıntılı bilgi için adresine bakabilirsiniz. Programın işleyişi açısından yazım kuralları mevcuttur. Bunlar kısaca: Problem minimum ya da maksimum problemi oluşuna göre min ya da ma yazılır. Bu yazının ardından : işareti koymak gerekiyor. İlk yazılacak değer de maksimum ya da minimum değerlerden hangisinin hesaplanacağını gösteren bu değer olacaktır. Verilecek değişken isimleri istenilen şekilde seçilebilir. Sonuçlar verdiğiniz değişken adlarıyla ekrana getirilecektir. Yazılan her eşitsizlikten sonra : işareti kullanmak zorundasınız. Bu yazım kurallarına dikkat ederek programı kodladığınızda sol ortada bulunan solve butonuna bastığınızda sonuçlar bir altta bulunan kutucukta gösterilir. 89

94 Seçme sekmelerinden somefeedback sekmesini seçerseniz işlemlerin sadece bazı adımları ve sonuç ekrana getirilir. Only solution sekmesi seçilirse sadece problemin sonucu ekrana verilir. All steps sekmesini seçerseniz işlemlerin tüm adımlarını ekrana listeler. Clear butonuna tıkladığınızda da çözüm ekranındaki sonuçlar silinir. 9. Atama Problemleri Atama problmelerinin çözümlerini yapan uygulama proje grubu tarafından Delphi de geliştirilmiş Active X teknolojisi kullanılarak internet ortamına aktarılmış bir yazılımdır. Bu yazılımızdan biz de basit bir yazım kuralı kullandık. Temelde makinalar ve onlara atanacak işçiler olmak üzere bir matris oluşturulmuştur. Bu ilk matristir ve makinalar üstte işçiler solda olacak şekilde eşleşmeye denk gelen değerler ilk matrise yazılır. Kullandığımız yazım kuralı şudur: Her bir satır sütun kesişimindeki değeri yazdıktan sonra ; işsareti koymanız gerekmektedir Bu değerler yazıldıktan sonra işle butonuna basılır. Atama problmelerinin çözümü bölümünde anlatıldığı gibi ilk önce yatayda en küçük değer ya da seçilen sekmeye göre en büyük değer bulunur. Daha sonra satırlar bazında işlemler yapılır. yatay işlemler matris bunu gösterir.daha sonra aynı işlemler dikey için de yapılır. dikey işlemler matrisine o değerler işlenir. Eğer uygun çözüm yoksa Atama problemlerinde bahsi geçen Adım-4 işlemleri gerçekleştirilir. Ardından eğer uygun çözüm varsa bu uygun çözüm matrisi bir sonraki Çözüm matrisine yerleştirilir. Son bölümde ise metinsel olarak verilen problemin çözümünün ne anlama geldiği Sonuçlar belirtilir. Maksimum ya da minimum problemlerinden istenilen yapı bu program dahilinde çözülebilir. Ancak maksimum ya da minimum olma durumunu sağ üst köşedeki seçim sekmelerinde belirtmek gerekmektedir. 9

95 KAYNAKLAR ) Bunday,B.D.,Basic Optimization Methods, Edward Arnold Ltd, London, 984. ) Kahaner, D.,Moler, C., Nash, S.,Numerical Methods and Software, Prentice Hall, Inc.Englewood Cliffs, NJ, )Himmelblau,D.M., Edgar,T.F.,Optimization of Chemical Processes, McGraw- Hill,Inc.NY,989. 4) Kübat,C.,Yöneylem Araştırması,8. Ulusal Kongresi,Ankara,983. 5) Rao,S.S.,Optimization Theory and Applications, nd.edition, Halsted, Inc ) Kara,İ., Yöneylem Araştırması, Doğrusal Olmayan Modeller, Anadolu Üniversitesi Basımevi, Eskişehir,986. 7) Hillier, F.S., Lieberman, G.J., Introduction to Mathematical Programming, McGraw-Hill, Inc.U.S.A., 99. 8) Bazaraa, M.S., Shetty,C.M., Nonlinear Programming, John Wiley&Sons,Inc ) Saaty,T.L.,Bram,J., Nonlinear Mathematics, McGraw-Hill, Inc,NY, 964. ) Brachen, J.,McCormick,G.P.,Selected Applications of Nonlinear Programming, John Wiley&Sons,Inc.NY,968. ) Taha,H.A.,Operations Research, Forth Edition,MacMillan Publishing Company, Inc.NY,989. ) Mathews,J.,Numerical Methods,Prentice Hall,Inc. Englewood Cliffs,NJ,987. 3) Ravindran, A.,Philips,D.T.,Solberg, J.L., Operations Research, Principles and Practice, John Wiley&Sons,Inc ) Şenel, M., Genel Matematik, Bilim ve Teknik Kitapevi, İstanbul, ) Wilde, D.,Beightler,C.S.,Foundations of Optimation, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs,NJ,967. 6) Calter,P.,Technical Mathematics with Calculus, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs,NJ, 99. 7) Kramer,A.D., Fundamentals of Technical Mathematics with Calculus, Second Edition, McGraw-Hill, Inc.U.S.A., ) Tulunay, Y., Matematik Programlama ve İşletme Uygulamaları, Sermet Matbaası, İstanbul, 98. 9) Hilliers, F.S., Lieberman, G.J., Introduction to Operations Research, Fourth Edition, McGraw-Hill, Inc

96 ) Schmidt,J.W., Davis, R.P., Foundations of Analysis in Operations Research, Academic Press,NY,98. ) Walsh, G.R., Methods of Optimazation, John Wiley & Sons, Inc. NY,975. ) Altıntaş.Y., Nümerik Analiz, İ.T.Ü. Sakarya Mühendislik Fakültesi Matbaası, 3. Baskı, Adapazarı, ) Aoki,M., Introduction to Optimazation Techniques, Fundamentals and Applications of Nonlinear Programming, The MacMillan Company, Inc.NY, 97. 4) Lasdon, L.S., Optimazation Theory for Large System, MacMillan Publishing Com., Inc. NY, 97. 5) Beightler,C.S., Philips,D.T.,Widde, D.J., Foundations of Optimazation, Second Edition, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs,NJ, ) Humphreys, K.K., Jelen s Cost and Optimazation Engineering, McGraw-Hill, Inc ) Zoutendijk, G., Nonlinear Programming, Prentice-Hall, Inc. NJ, ) Martos, B., Nonlinear Programming, Theory and Methods, North Holland, Inc. Amsterdam, ) Fiacco, A.V., McCormick, G.P., Nonlinear Programming, Sequential Unconstrained Minimization Techniques, John Wiley & Sons,Inc.NY, ) Zangwill, W., Nonlinear Programming, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs,NJ, )Tektaş,M. : M.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Bölümü (Yüksek Lisans Tezi: Uygulamaları ve Karşılaştırmalı Yorumları İle Bazı Doğrusal Olmayan Programlama Teknikleri) 3)Koçer,M., Harekat araştırması Ankara (98) 33)Harvey,M.W., Principles of Operations Research,Prentice-Hall N.J.no: 34)Sezginman,H.İ., Lineer Programlama (Teori ve Problemleri) İSTANBUL-(986) 35)Halaç,O., Kantitatif Karar Verme Teknikleri(Yöneylem Araştırması) no:3 İSTANBUL-(99) 36) Bronson,R.,Naadımuthu,G., Operations Research,Second Editions, Mc Graw-Hill, Inc. NY, )DOĞAN, İ., Yöneylem Araştırması Teknikleri ve İşletme Uygulamaları, Bilim Teknik Yayınevi, 995, s.3.. 9

97 EK..PROGRAM VE PROGRAM TANIMI Doğrusal Olmayan Programlama Tekniklerini incelediğimizde bu çalışmada Gradient, Frank-Wolfe ve SUMT algoritmalarına ait uygulamalar Mathprog adlı bir paket programla yapılmıştır. Bu uygulamalara ait yorumların daha iyi yapılması açısından bu uygulamalara bazı ilaveler yapılmıştır. Diğer kalan Nelder - Mead Metod ve Newton-Raphson Metodları için Pascal Programlama dilinde ayrı ayrı program yazılmıştır. a) NELDER MEAD METODU İÇİN PROGRAM Bu programda amaç fonksiyonu program içerisinden tanımlamaktır. Tanımlama FUNC prosedürü içerisinden yapılmaktadır. Program çalıştığında tanımlanan fonksiyon değişken sayısı, iterasyon adedi, maksimumminimum seçimi ve başlangıç vektör elemanları VEKTÖR prosedürü yardımıyla belirlenir. RME prosedürü yardımı ile başlangıç vektörleri fonksiyonda yerine konur ve çıkan değerlerden BGW prosedürü kullanılarak BEST (en iyi), GOOD (sonraki en iyi) ve WORST (en kötü) noktalar tespit edilir. Bu işlem istenen iterasyon sayısı kadar devam ettirilir. İstendiği taktirde 999 iterasyon yazıcı veya ekran üzerine alınarak incelenebilir. ÇERÇEVE, BOŞA, BOŞALT, ALT_ÇERÇEVE isimli prosedürler değişken değeri sıfırlama ve ekran tasarımı için kullanılan program parçalarıdır. b) NEWTON RAPHSON METODU İÇİN PROGRAM Programın amacı bir boyutlu problemlerin Newton-Raphson Metodu ile çözümüdür. Çözüm için gerekli fonksiyon f(p) tek değişkenli fonksiyon parçasında, türevi ise ft(p) tek değişkenli fonksiyon parçasında program içerisinde tanımlanmalıdır. BİLGİ_AL prosedürü yardımı ile başlangıç değeri, iterasyon sayısı ve hata miktarı belirlenir. İTERASYON isimli prosedür ile verilen iterasyon miktarı kadar veya tanımlı fonksiyondan çıkan değer, istenilen hassasiyetten daha küçük kalıncaya kadar iterasyon işlemine devam edilir. Sonuçlar istendiği taktirde yazıcı üzerine alınıp incelenebilir. ÇERÇEVE, ALT_ ÇERÇEVE, ve YAZICI isimli program parçaları, ekran tasarımı ve yazıcı çıktıları için kullanılmıştır. 93

98 a)program NELDERMEAD; uses crt,dos,printer; VAR Q,QQ,YER,SAT:BYTE; grv:array[..,..3,..] of real; CH,CV:CHAR; V:array[..3,..] of real; A:array[..] of real; F,PRM:real; ITER,K,I,J,N,L,H:INTEGER; X:array[..] of real; M,E,R,C,S:array[..] of real; AMAC:STRING[]; {Amac fonksiyon}(*amac fonk*) PROCEDURE FUNC(N:BYTE); VAR A,B,C:REAL; begin F:=X[]*X[]-4*X[]+X[]*X[]-X[]-X[]*X[]; end; PROCEDURE VEKTOR; VAR Z:BYTE; begin Z:=3; GOTOXY(5,6);WRITE(' DEGISKEN SAYISI...>');READLN(N); GOTOXY(5,8);WRITE(' ITERASYON ADEDI...>');READLN(ITER); GOTOXY(5,);WRITE(' [].MIN [].MAX...>');READLN(AMAC); GOTOXY(5,);WRITE(' EKRAN YAZICI.[E/Y]...>');READLN(CV); FOR K:= TO 3 DO BEGIN GOTOXY(5,Z);WRITELN('V',K,'VEKTORU ELEMANLARI'); INC(Z); FOR J:= TO N DO BEGIN GOTOXY(5,Z);WRITE(J,'.CI ELEMAN=');READLN(V[K,J]); INC(Z); END; END; FOR J:= TO N DO BEGIN grv[,,j]:=v[,j]; grv[,,j]:=v[,j]; grv[,3,j]:=v[3,j]; END; END; PROCEDURE BGW; VAR 94

99 FV:array[..3] of real; BEGIN FOR I:= TO 3 DO BEGIN FOR J:= TO N DO BEGIN X[J]:=V[I,J]; END; FUNC(); FV[I]:=F; END; FOR J:=3 DOWNTO DO BEGIN FOR I:= TO J- DO BEGIN IF FV[J]>FV[I] THEN BEGIN PRM:=FV[I]; FV[I]:=FV[J]; FV[J]:=PRM; FOR L:= TO N DO BEGIN PRM:=V[I,L]; V[I,L]:=V[J,L]; V[J,L]:=PRM; END; END; END; END; IF AMAC='' THEN BEGIN FOR L:= TO N DO BEGIN PRM:=V[,L]; V[,L]:=V[3,L]; V[3,L]:=PRM; END; END; END; PROCEDURE BOSA; BEGIN FOR J:= TO DO BEGIN A[J]:=; M[J]:=; E[J]:=; R[J]:=; S[J]:=; C[J]:=; END; END; PROCEDURE BOSALT; BEGIN FOR I:= TO 3 DO FOR J:= TO DO 95

100 V[I,J]:=; END; PROCEDURE RME; VAR B,B,B3,B4:real; BEGIN FOR I:= TO N DO BEGIN M[I]:=(V[,I]+V[,I])/; R[I]:=*M[I]-V[3,I]; E[I]:=*R[I]-M[I]; C[I]:=(V[3,I]+M[I])/; S[I]:=(V[,I]+V[3,I])/; END; FOR I:= TO N DO X[I]:=R[I]; FUNC(); B:=F; FOR I:= TO N DO X[I]:=V[,I]; FUNC(); B:=F; IF B<B THEN BEGIN FOR I:= TO N DO X[I]:=V[,I]; FUNC(); B3:=F; IF B3<B THEN BEGIN FOR I:= TO N DO BEGIN V[3,I]:=R[I]; END; END ELSE BEGIN FOR I:= TO N DO X[I]:=E[I]; FUNC(); B4:=F; FOR I:= TO N DO X[I]:=V[,I]; FUNC(); B3:=F; IF B4<B3 THEN BEGIN FOR I:= TO N DO 96

101 V[3,I]:=E[I]; END ELSE BEGIN FOR I:= TO N DO V[3,I]:=R[I]; END; END; {ELSE BEGIN FOR I:= TO N DO X[I]:=R[I];} FUNC(); B:=F; FOR I:= TO N DO X[I]:=V[3,I]; FUNC(); B:=F; IF B<B THEN BEGIN FOR I:= TO N DO V[3,I]:=R[I]; FOR I:= TO N DO X[I]:=C[I]; FUNC(); B3:=F; FOR I:= TO N DO X[I]:=V[3,I]; END; FUNC(); B:=F; IF B3<B THEN BEGIN FOR I:= TO N DO V[3,I]:=C[I]; END ELSE BEGIN FOR I:= TO N DO X[I]:=S[I]; FUNC(); B4:=F; FOR I:= TO N DO BEGIN V[3,I]:=S[I]; V[,I]:=M[I]; END; END; 97

102 END; END; PROCEDURE CERCEVE; VAR X:BYTE; BEGIN tetcolor(5);tetbackground(6); clrscr; writeln; writeln; writeln(' ============================================================ ================ '); for := to do begin gotoy(,3+); write(' '); gotoy(79,3+); write(' '); end; writeln(' ============================================================ ================ '); gotoy(7,4);writeln(' **IKI BOYUTLU PROBLEMLER ICIN NELDER-MEAD METODU**'); END; PROCEDURE alt_cerceve; var :byte; begin gotoy(,5);writeln(' === ======== ======== ======== ======== '); gotoy(,6);writeln(' k B(Xk,Yk) G(Xk,Yk) W(Xk,Yk) F(Xk,Yk) '); gotoy(,7);writeln(' === ======== ======== ======== ======== '); for := to 6 do begin gotoy(,7+);writeln(' '); gotoy(,4); writeln(' === ======== ======== ======== ======== '); end; end; PROCEDURE YAZICI; BEGIN write(lst,h:3,' '); write(lst,'(',v[,]:6:4,',',v[,]:6:4,') '); write(lst,'(',v[,]:6:4,',',v[,]:6:4,') '); write(lst,'(',v[3,]:6:4,',',v[3,]:6:4,') '); X[]:=V[,]; X[]:=V[,]; FUNC(); write(lst,f:8:6); END; BEGIN 98

103 cerceve; YER:=; BOSALT;BOSA;VEKTOR; ALT_CERCEVE; SAT:=8; IF UPCASE(CV)='Y' THEN BEGIN GOTOXY(,5);WRITE('YAZICIYI ACIP BIR TUSA BASINIZ...'); CH:=READKEY; writeln(lst,'iki BOYUTLU PROBLEMLER ICIN NELDER-MEAD METODU'); writeln(lst,' '); writeln(lst,''); writeln(lst,'degisken says...:',n:3); writeln(lst,'iterasyon says...:',iter:3); writeln(lst,'[].min [].Ma...:',amac:3); writeln(lst,'amac Fonksiyon...:^-4+y^-y-y'); writeln(lst,'vektor Elemanlar'); writeln(lst,'.vektor elemanlar:(',v[,]:6:4,',',v[,]:6:4,')'); writeln(lst,'.vektor elemanlar:(',v[,]:6:4,',',v[,]:6:4,')'); writeln(lst,'3.vektor elemanlar:(',v[3,]:6:4,',',v[3,]:6:4,')'); writeln(lst,' '); writeln(lst,' k B(Xk,Yk) G(Xk,Yk) W(Xk,Yk) F(Xk,Yk) '); writeln(lst,' '); end; for H:= to do X[H]:=; for H:= to ITER do begin BGW;RME; gotoy(4,sat); write(h:3); gotoy(8,sat); write(v[,]:6:4,',',v[,]:6:4); gotoy(4,sat); write(v[,]:6:4,',',v[,]:6:4); gotoy(4,sat); write(v[3,]:6:4,',',v[3,]:6:4); if upcase(cv)='y' then YAZICI; X[]:=V[,]; X[]:=V[,]; FUNC(); gotoy(6,sat); write(f:8:6); INC(SAT); IF SAT>3 THEN BEGIN CH:=READKEY; CERCEVE; ALT_CERCEVE; SAT:=8; END; END; 99

104 IF UPCASE(CV)='Y' THEN WRITELN(LST,^); CH:=READKEY; END. b) PROGRAM NEWTON_RAPHSON; uses crt,dos,printer; var ch:char; b,hata,z,s:real;,iter,sat:byte; function f(p:real):real; begin {p:=p*3.4/8;} f:=ep(p)+p; end; function ft(p:real):real; begin {p:=p*3.4/8; } ft:=ep(p)+; end; PROCEDURE cerceve; VAR X:BYTE; BEGIN tetcolor(5);tetbackground(6); clrscr; writeln; writeln; writeln(' ============================================================ ================ '); for := to do begin gotoy(,3+); write(' '); gotoy(79,3+); write(' '); end; writeln(' ============================================================ ================ '); gotoy(7,4);writeln(' ***IKI BOYUTLU PROBLEMLER ICIN NEWTON-RAPHSON METODU***'); END; PROCEDURE bilgi_al; begin GOTOXY(7,);WRITE('BASLANGIC DEGERINI GIRINIZ...>');READLN(b); GOTOXY(7,);WRITE('ITERASYON SAYISINI GIRINIZ...>');READLN(ITER); GOTOXY(7,4);WRITE('HATA TOLERANSINI GIRINIZ...>');READLN(hata);

105 end; PROCEDURE alt_cerceve; var :byte; begin gotoy(,5);writeln(' === ======== ======== ======== ======== '); gotoy(,6);writeln(' F(Xk) '); gotoy(,7);writeln(' k Xk Xk+=Xk- F(Xk) Xk+-Xk '); gotoy(,8);writeln(' F(Xk) '); gotoy(,9);writeln(' === ======== ======== ======== ======== '); for := to 4 do begin gotoy(,9+);writeln(' '); end; gotoy(,4);writeln(' === ======== ======== ======== ======== '); end; PROCEDURE yazici; label ; begin writeln(lst,'***iki BOYUTLU PROBLEMLER ICIN NEWTON-RAPHSON METODU***'); writeln(lst,' '); writeln(lst,' F(Xk) '); writeln(lst,' k Xk Xk+=Xk--- F(Xk) Xk+-Xk '); writeln(lst,' F(Xk) '); writeln(lst,' '); b:=s; for := to iter do begin z:=b-f(b)/ft(b); write(lst,:3,' '); write(lst,b:3:,' '); write(lst,z:3:,' '); write(lst,f(b):3:,' '); write(lst,abs(z-b):3:,' '); if f(z)<=hata then goto ; b:=z; end; : writeln(lst,^l); end; PROCEDURE iterasyon; begin cerceve; alt_cerceve; sat:=; for := to iter do begin

106 z:=b-f(b)/ft(b); gotoy(4,sat);write(:3); gotoy(8,sat);write(b:3:); gotoy(4,sat);write(z:3:); gotoy(4,sat);write(f(b):3:); gotoy(6,sat);write(abs(z-b):3:); if ABS(f(z))<=hata then eit; inc(sat); if sat>3 then begin ch:=readkey; cerceve; alt_cerceve; sat:=; end; b:=z; end; end; begin clrscr; cerceve; bilgi_al; s:=b; iterasyon; gotoy(,5);write(' Yazıcıya aktarmak ister misiniz[e/h]?'); ch:=readkey; if upcase(ch)='e' then yazici; end.

107 EK.. Doğrusal Olmayan Programlama Tekniklerinin Yorumsuz Ek Uygulamaları ) Doğrusal Olmayan Programlama Değişken sayısı : Kısıtların sayısı : Ma Z = Kısıtlar 3 + l l ve, > Frank - Wolfe Algoritması Başlangıç Aşikar Çözüm: (, ) f() = 3 Xl df7d = 3-4 Xl df/d = k (k-) (k ) c c t * k LP (, ) 3 5 ( 3, ).79 (.88,.458) (.88,.458) (, 3.).3 (.9,.686) 3 (.9,.686) ( 3, ). (.4,.7) 4 (.4,.7) (, 3.).8 (.966,.763) 5 (.966,.763) ( 3, ).4 (.8,.773) 6 (.8,.773) (, 3.). (.986,.788) 7 (.986,.788) ( 3, ).7 (.4,.79) 8 (.4,.79) (, 3.).5 (.994,.799) 9 (.994,.799) ( 3, ).7 (.,.8) (.,.8) (, 3.). (.997,.83) ) İKİ BOYUTLU PROBLEMLER İÇİN NELDER - MEAD METODU Değişken Sayısı : İterasyon Sayısı : []. Min []. Ma : l Amaç Fonksiyon : 4 + y - 8y 3

108 Vektör Elemanları. Vektör Elemanları : (.,.). Vektör Elemanları : (3.,.) 3. Vektör Elemanları : (3., 3.) k B ( k, y k ) G ( k. y k ) W( k,y k ) F ( k, y k ) (.,.) (3., 3.) (.5,3.5) -8. (.5,3.5) (.,.) (.375,.875) (.5,3.5) (.,.) (.5,.65) (.5,3.5) (.35,3.65) (.75,.75) (.75,.75) (.5, 3.5) (.9375, 3.875) (.9375,3.875) (.8438,.9688) (.788,3.3438) (.9375,3.875) (.788,3.3438) (.7969,3.8594) (.7969, ) (.9375,3.875) (.56, 3.73) (.56,3.73) (.963,3.783) (.9766, ) (.963,3.783) (.56,3.73) (.9453,4.39) (.9453,4.39) (.958,3.9) (.985,3.87) (.985,3.87) (.9453,4.39) (., 4.) (., 4.) (.99,3.9355) (.977,4.95) (., 4.) (.995,3.9678) (.9863,4.98) (., 4.) (.9976,3.9839) (.993,4.49) (., 4.) (.9988,3.999) (.9966,4.4) (., 4.) (.9994,3.996) (.9983,4.) (., 4.) (.9997,3.998) (.999,4.6) (., 4.) (.9998,3.999) (.9996,4.3) -6. (., 4.) (.9999,3.9995) (.9998,4.) -6. 3) İKİ BOYUTLU PROBLEMLER İÇİN NELDER - MEAD METODU Değişken Sayısı : İterasyon Sayısı : []. Min []. Ma : l Amaç Fonksiyon : 4 + y - 8y Vektör Elemanlarları. Vektör Elemanları : (-.,-.). Vektör Elemanları : (-.,-3.) 3. Vektör Elemanları : (-.,-.) 4

109 k B( k, y k ) G ( k, y k ) W( k,y k ) F ( k, y k ) (-., -.) (-.5, -.) (-.5, -.5) -8. (-.5, -.5) (-.5, -.5) (-.75, -.5) (-.5,,.5) (-.75, -.5) (-.875, -.65) (-.875, -.65) (-.5, -.5) (-.565, ) (-.565, ) (-.875, -.65) (-.563, ) (-.563, ) (-.565, ) (-.8438, -4.83) (-.8438, -4.83) (-., -4.) (-.73, ) (-., -4.) (-.8438, -4.83) (-.46, ) (-., -4.) (-.73, ) (-.99, -4.46) -6. (-., -4.) (-.35, ) (-.969, -4.73) -6. (-., -4.) (-.76, ) (-.985, -4.35) -6. (-., -4.) (-.88, -4.34) (-.99, -4.76) (-., -4.) (-.44, -4.7) (-.995, -4.88) (-., -4.) (-., -4.85) (-.9976, -4.44) (-., -4.) (-., -4.43) (-.9988, -4.) (-., -4.) (-.5, -4.) (-.9994, -4.) (-., -4.) (-.3, -4.) (-.9997, -4.5) (-., -4.) (-., -4.5) (-.9998, -4.3) (-., -4.) (-., -4.3) (-.9999, -4.) -6. (-., -4.) (-., -4.) (-., -4.) -6. 4) İKİ BOYUTLU PROBLEMLER İÇİN NELDER - MEAD METODU Değişken Sayısı : İterasyon Sayısı : 5 []. Min []. Ma : l Amaç Fonksiyon : 3 + y y + 5 Vektör Elemanlarları. Vektör Elemanları : (.,.). Vektör Elemanları : (.,.) 3. Vektör Elemanları : (.,.) k B( k, y k ) G ( k, y k ) W( k,y k ) F ( k, y k ) (.,.) (.,.) (.,.) 5. (.,.) (.,.) (.5,.) 3. 3 (.,.) (.,.) (.5,.). 4 (.,.) (.75,.) (.,.5). 5

110 5 (.,.) (.875,.) (.,.75). 6 (.,.) (.9375,.) (.,.875). 7 (.,.) (.9688,.) (.,.9375). 8 (.,.) (.9844,.) (.,.9688). 9 (.,.) (.99,.) (.,.9844). (.,.) (.996,.) (.,.99). (.,.) (.998,.) (.,.996). (.,.) (.999,.) (.,.998). 3 (.,.) (.9995,.) (.,.999). 4 (.,.) (.9998,.) (.,.9995). 5 (.,.) (.9999,.) (.,.9998). 5) İKİ BOYUTLU PROBLEMLER İÇİN NELDER - MEAD METODU Değişken Sayısı : İterasyon Sayısı : 6 []. Min []. Ma : l Amaç Fonksiyon : + y + - y - y + l Vektör Elemanları. Vektör Elemanları : (.,.). Vektör Elemanları : (.,.) 3. Vektör Elemanları : (.,.) k B( k, y k ) G ( k, y k ) W( k,y k ) F ( k, y k ) (.,.) (.,.) (.,.). (.,.) (.,.) (.,.75). 3 (.,.) (.,.) (-.,.5). 4 (.,.) (-.5,.65) (.,.5). 5 (.,.) (-.5,.85) (.,.75). 6 (.,.) (-.5,.963) (.,.875). 7 (.,.) (-.65,.953) (.,.9375). 8 (.,.) (-.33,.9766) (.,.9688). 9 (.,.) (-.56,.9883) (.,.9844). (.,.) (-.78,.994) (.,.99). (.,.) (-.39,.997) (.,.996). (.,.) (-.,.9985) (.,.998). 3 (.,.) (-.,.9993) (.,.999). 4 (.,.) (-.5,.9996) (.,.9995). 5 (.,.) (-.,.9998) (.,.9998). 6 (.,.) (-.,.9999) (.,.9999). 6

111 6) İKİ BOYUTLU PROBLEMLER İÇİN NELDER - MEAD METODU Değişken Sayısı : İterasyon Sayısı : 5 []. Min []. Ma : l Amaç Fonksiyon : + y - 3y Vektör Elemanları. Vektör Elemanları : (.,.). Vektör Elemanları : (.,.) 3. Vektör Elemanları : (.,.) k B( k, y k ) G ( k, y k ) W( k,y k ) F ( k, y k ) (.,.) (.,.5) (.,.5). (.,.5) (.5,.5) (.5,.75) (.5,.75) (.5,.65) (.5,.65) (.5,.65) (.5,.75) (.5,.85) (.5,.85).5,.65) (.3438,.7344) (.5,.85) (.3438,.7344) (.88,.99) (.5,.85) (.88,.99) (.88,.38) (.88,.38) (.9766,.977) (.34,.73) (.9766,.977) (.34,.73) (.94,.664) (.9766,.977) (.34,.73) (.957,.33) (.957,.33) (.9668,.9) (.99,.33) (.99,.33) (.9668,.9) (.5,.9834) (.5,.9834) (.59,.68) (.994,.993) (.994,.993) (.,.) (.78,.9883) (.,.) (.39,.994) (.997,.9966) -. 7) Doğrusal Olmayan Programlama Değişken sayısı : Kısıtların sayısı : l Ma Z = Kısıtlar 4 + < 5 ve l >, > Frank - Wolfe Algoritması Başlangıç Aşikar Çözüm: (, ). 7

112 f() = 4 - df/d, = df/d = - k (k-) c c (k ) t * k (, ) 4 (.5, ).8 (, ) LP (, ) (,.5).8 (.77,.569) 3 (.77,.569) (.5, ).5 (.875,.446) 4 (.875,.446).37.7 (,.5).74 (.8,.598) 5 (.8,.598) (.5, ).45 (.874,.5) 6 (.874,.5) (,.5).54 (.87,.6) 7 (.87,.6) (.5, ).3 (.875,.549) 8 (.875,.549).33.9 (,.5).43 (.837,.633) 9 (.837,.633) (.5, ).96 (.877,.57) (.877,.57) (,.5).35 (.846,.64) Sonuç Çözüm: (.846,.6398) 8) Doğrusal Olmayan Programlama Değişken sayısı : Kısıtların sayısı: Min Z = Kısıtlar : + < < 3 ve >, > Frank - Wolfe Algoritması Başlangıç Aşikar Çözüm: (, ). 3 f() = df/d = df/d =

113 k (k-) c c (k ) t* k LP (, ) -9-8 ( 3, 3) ( 3, 3) ( 3, 3) ( 6, ).3 (3.9,.98) 3 (3.9,.98) ^ ( 6, ) (3.9,.98) 4 (3.9,.98) ( 6, ) (3.9,.98) Sonuç Çözüm: (3.97,.983) 9) Otomatik Bir-Boyutlu Arama İşlemi Ma f() : Alt Sınır : -l Üst Sınır : 4 Hata Toleransı :.8 Yaklaşık Çözüm : = f() =.35 ) Otomatik Bir-Boyutlu Arama İşlemi Min f() : Alt Sınır : -l Üst Sınır : 4 Hata Toleransı:.8 Yaklaşık Çözüm : = f() = -583 ) Ardışık Kısıtsız Minimizasyon Tekniği Alt Sınır Kısıtlardaki Değişkenlerin Sayısı : Alt Sınır Kısıtsız Değişkenlerin Sayısı : Eşitsizlik Kısıtların Sayısı : l Eşitlik Kısıtların Sayısı : P(, r) = f() r r r P(,r)=f() B ( ) L L ( ) k r X f()

114 F() = B () =- - L () = L () = ) Ardışık Kısıtsız Minimizasyon Tekniği Alt Sınır Kısıtlardaki Değişkenlerin Sayısı Alt Sınır Kısıtsız Değişkenlerin Sayısı Eşitsizlik Kısıtların Sayısı Eşitlik Kısıtların Sayısı r r r r P(, r) = f() - B ) B ( ) L ( ) L ( ) Burada; ( f() = B () =-4-3 B () =4 - - Lj() = L() =I Ardışık Kısıtsız Minimizasyon Tekniği Çözümü k r X X f()

115 5) Doğrusal Olmayan Programlama Değişken sayısı : 3 Kısıtların sayısı: l Min Z = Kısıtlar = 5 ve >, >, 3 > Frank - Wolfe Algoritması Başlangıç Aşikar Çözüm: ( l,, ). f() = df/d = 3 df/d = 8 df/d 3 = 6 3 k X (k-) c c c (k ) 3 t * k Adım Uzunluğu LP (,, ) ( 5,, ).8 (.39,.43,.43) (.4,.43, (, 5, ).7 (.985,.687,.38) (.99,.69, ( 5,, ).6 (.7,.583,.45) (.7,.58, (, 5, ).5 (.67,.748,.85) ) (.7, ( 5,, ).4 (.96,.67,.33) (.,.67, (, 5, ).4 (.7,.79,.9) (.,.79, ( 5,, ).3 (.,.733,.57) (.,.73, (, 5, ).3 (.5,.8,.8) (.5,.8, ( 5,, ).3 (.5,.774,.).95 (.,.77, ) (, 5, ). (.77,.843,.98) (.8,.84,.98) ( 5,, ). (.34,.86,.96).7838 (.3,.8,.96) (, 5, ). (.94,.86,.943) (.9,.86,.94) ( 5,, ). (.4,.83,.98) (.4,.83, (, 5, ). (.8,.879,.93) (.,.88,.9) ( 5,, ). (.49,.85,.9) (.5,.85,.9) (,, 5) (.49,.85,.9). 7 (.5,.85,.9) (,, 5) (.49,.85,.9).6 Sonuç Çözüm: (.493,.858,.8998).

116 6) Doğrusal Olmayan Programlama Değişken sayısı : Kısıtların sayısı : Ma Z=. + Kısıtlar Frank - Wolfe Algoritması Başlangıç Aşikar Çözüm: (.5,.5). f() = 4j df/d = 4 3 df/d = 6-4 k (k-) (k ) c c LP t* k (.5,.5) (, ).587 (.77,.77) (.77,.77) (,.667). (.,.447) 3 (.,.447).9.4 (, ).49 (.64,.474) 4 (.64,.474) (,.667).3 (.49,.49) 5 (.49,.49).4.4 (, ).9 (.56,.494) 6 (.56,.494) -..4 (,.667).3 (.53,.497) 7 (.53,.497).9. (, ).3 (.56,.498) 8 (.56,.498) -..6 (,.667). (.54,.5) 9 (.54,.5).4 (.8, ) (.55,.5) (.55,.5).. (, ) (.55,.5) Sonuç Çözüm: (.545,.4996). 7) Etkileşimli Gradient Arama Sistemi Başlangıç Aşikar Çözüm: (, X ) = (, ) Ma f(, ) = df/d = df/d = -- It. ' Grad f( ) +t[grad f( )] t* ' + t [grad f] (, ) ( 6, -) ( O+ 6t.. - t). (., -.4) (., -.4) (.4,.) (.+.4t, -.4+.t) (.6,.8) 3 (.6,.8) (., -.4) (.6+.t,.8-.4 t). (.84,.7)

117 4 (.84,.7) (.8,.4) (.84+.8t,.74.4t) (.9,.96) 5 (.9,.96) (.4, -.8) (.94.4t,.96-.5t). (.968,.944) 6 (.968,.944) (.6,.48) (.968+.t, t) (.984,.99) 7 (.984,.99) (.48, -.) ( t.9-.t).89 (.993,.988) Sonuç Çözüm: (, ) = (.984,.99) 8) Etkileşimli Gradient Arama Sistemi Başlangıç Aşikar Çözüm: (, ) = (, ) Ma f(j, ) = df/d = df/d = + 8 It. grad f( ) ' + t [grad f(')] t* ' + t [grad f] (, ) ( -, 8) ( - t, + 8t).9 (-.9,.59) (-.9,.59) (.35,.353) (-.9+.3t, t).94 (-.99,.986) 3 (-.99,.986) (-.8,.57) (-.99- O.OSt t).6 ( -,.995) 4 ( -,.995) (.,.3) ( -4 Ot,.995+ Ot) ( -,.998) 5 ( -,.998) (-.,.8) ( --.,.998+.lt).85 ( -,.999) 6 ( -,.999) (.,.) ( -4 t,.999+ t) ( -,.999) 7 ( -,.999) ( -,.) ( -+ t,.999+ t).5 ( -, ) Sonuç Çözüm: ( l, ) = ( -,.999) 9) Etkileşimli Gradient Arama Sistemi Başlangıç Aşikar Çözüm: (, ) = (,.5) Ma f(, ) = - df/d = - df/d = l - 4 It. ' Gradf( ) ' + t[gradf(')] t* ' + l [grad f] (,.5) ( -, -4) ( - t,.5-4t).7 (.73, -.8) (.73, -.8) (-8.,.573) (.73-8.t, t).436 (-.77, -.3) 3 (-.77, -.3) (-.53, -7.4) ( , t).7 (-.9, -4.3) 4 (-.9, -4.3) (-4.4,.33) ( t, t).436 (-3.76, -3.9) 5 (-3.76, -3.9) (-.8, -3.9) ( t, t).7 (.3.84, -4.96) 6 (-3.84, -4.96) (-.4,.6) ( , t).436 (-4.8, -4.89) 7 (-4.8, -4.89) (-.5, -.7) ( t, t).7 (-4.86, -5.45) 8 (-4.86, -5.45) (-.8,.86) ( t, t).435 (-5.37, -5.4) 9 (-5.37, -5.4) (-.8, -.9) ( t, t).73 (-5.39, -5.7) (-5.39, -5.7) (-.63,.46) ( ı, ı).44 (-5.67, -5.69) Sonuç Çözüm: (, ) = (-5.39, -5.7) 3