T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
|
|
- Ayşe Izzet
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ İÇİN METHOD OF LİNES YÖNTEMİ Fatih DURMUŞ YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı Aralık - 05 KONYA Her Hakkı Saklıdır
2
3 TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work. Fatih DURMUŞ Tarih: 4//05
4 ÖZET YÜKSEK LİSANS KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ İÇİN METHOD OF LİNES YÖNTEMİ Fatih DURMUŞ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Yıldıray KESKİN 05, 3 Sayfa Jüri Doç. Dr. İbrahim YALÇINKAYA Doç. Dr. Yıldıray KESKİN Yrd. Doç. Dr. Yücel ÇENESİZ Son zamanlarda Method of Lines yöntemi çeşitli kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılmaktadır. Bu tez çalışmasında, Adomian'ın ayrıştırma yöntemi (ADM), Homotopy Pertürbasyon Yöntemi (HPM), Homotopy Analiz Yöntemi (HAM) ve Varyasyon iterasyon yöntemi (VIM) gibi nümerik yöntemlerde olyşan karmaşık hesaplamalı üsstesinden gelmek için alternatif yöntem sunulmuştur. Bu yöntemin diğer bilinen yöntemlere göre etkili ve güçlü olduğunu göstermek için üç test problemleri çözülerek karşılaştırmalar yapılmıştır. Anahtar Kelimeler: Method of Lines yöntemi, İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi, Kısmı Türevli Diferansiyel Denklem iv
5 ABSTRACT MS THESIS A METHOD OF LINES METHOD FOR SOLVING PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Fatih DURMUŞ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor:Assoc.Prof.Yıldıray KESKİN 05, 3 Pages Jury Assoc. Prof. İbrahim YALÇINKAYA Assoc. Prof. Yıldıray KESKİN Asst. Prof. Yücel ÇENESİZ Recently Method of Lines (MOL) has been used to solve various partial differential equations. In this paper, an alternative approach is presented to overcome the demerit of complex calculation of numerical methods such as the Adomian Decomposition Method (ADM), the Homotopy Perturbation Method (HPM), the Homotopy Analysis Method (HAM) and Variational Iteration Method (VIM). Comparing this methodology with some known techniques shows that the present approach is effective and powerful. In addition, three test problems of mathematical physics are discussed to illustrate the effectiveness and the performance of the Method of Lines. Keywords: Method of lines, Reduced differential transform method. iv
6 ÖNSÖZ Bu yüksek lisans tez çalışması Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Doç. Dr. Yıldıray KESKİN yönetiminde hazırlanarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne sunulmuştur. Yüksek Lisans tezi içerik olarak dört bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde temel tanımlar verilmiş olup ikinci bölümde kullanılan yöntemler üzerinde durulmuştur. Üçüncü bölümde problemler ele alınmış olup dördüncü bölümde araştırma sonuçları incelenmiş, sonuç ve önerilere yer verilmiştir. Tez çalışması seçimi ve yürütülmesi sürecinde yardımlarından ve yönlendirmelerinden dolayı tez yöneticisi Doç. Dr. Yıldıray KESKİN e ve öğretim süreci boyunca maddi manevi desteklerini esirgemeyen aileme teşekkürü borç bilirim. Fatih DURMUŞ KONYA-05 v
7 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT... iv ÖNSÖZ... v İÇİNDEKİLER... vi. GİRİŞ.... KULLANILAN YÖNTEMLER Method of Lines (Çizgiler Yöntemi) İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (RDTM) Variational İterasyon Yöntemi Adomian Ayrışım Yöntemi PROBLEMLER Problem Method of Lines ile Çözüm İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm Problem Method of Lines ile Çözüm İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm Problem Method of Lines ve Maple ile Çözüm İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemiyle Çözüm Varyasyonel İterasyon Yöntemi ile Çözüm Adomian Ayrışım Yöntemi ile Çözüm SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 8 KAYNAKLAR... 9 ÖZGEÇMİŞ... 3 vi
8 . GİRİŞ Mühendislik Bilimleri, Doğa Bilimleri ve ekonomi problemlerinin matematiksel modellemelerinde kısmi türevli diferansiyel denklemler karşımıza çıkmaktadır. (Evans, 998), (Wazwaz, 008) Bu denklemlerin çözümü için birçok yöntem bulunmaktadır. (Wazwaz, 00) Biz tezimizde daha çok Method of Lines metodunu anlatacağız ve bunun dışında üç adet yöntem daha kullanacağız. Method of Lines yöntemi ise yaklaşık çözüm üzerine kurgulanmıştır. İncelediğimiz kısmi diferansiyel denklem bir başlangıç değer problemi ise sonuçta oluşan adi diferansiyel denklemde bir başlangıç değer problemidir. Kısmi diferansiyel denklem eğer bir sınır-değer problemi ise sonuç olarak adi diferansiyel denklem oluşur. İndirgenmiş Diferansiyel denklem yöntemi ilk olarak diferansiyel dönüşüm yönteminin bir adım ötesi olarak Y. Keskin (Keskin,Oturanç 0) tarafından tanıtılmıştır. Bu yöntemin farkı kısmi diferansiyel denklemi yarı cebirsel denkleme dönüştürmesidir. Avantajı ise daha az cebirsel işlem yapılmasıdır. Variational İterasyon yöntemi ise Analitik çözüme hızla yakınsayan başarılı yaklaşımlar veren bir metottur. Metodu Ji Huan He (997) tanıtmıştır. Bu metot ile elde edilen nümerik çözümlerin hata miktarının az olmasının yanında işlemler sırasında kullanılacak bilgisayarda yüksek kapasiteye de ihtiyaç duyulmaması metodun uygulamalarını artırmıştır. He, geliştirdiği metodu otonom diferansiyel denklemlere (000), lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlere (004), integro diferansiyel denklemlere uyguladı (Wang ve He 007). He nin metodunu, Abdou ve Soliman (005), Burger ve coupled Burger, Schrodinger- KdV, genelleştirilmiş KdV ve sığ su denklemlerinin çözümlerini araştırmada kullandılar. Momani ve Abuasad, lineer Helmholtz kısmi diferansiyel denklemin çözümü için bu metodu uyguladılar. Ganji ve arkadaşları (006) lineer olmayan Joulent-Miodek, coupled KdV ve coupled MKdV denklemlerinin çözümlerini varyasyonel iterasyon metodu ile araştırdılar. Adomian yönetmi ise G.Adomian ın 980 yılında tanıttığı kendi ismi ile anılan bir yöntemdir. Yöntem picard yönteminden türetilmiştir. Bu yöntemde ardışık integraller alarak yaklaşık çözüm elde edilir. Biz tezimizde öncelikle bu yöntemleri tanıtıp ardından bu yöntemleri uygulamalı olarak inceleyerek karşılaştırmalarını yapacağız.
9 LİTERATÜR TARAMASI: KESKİN Y., OTURANÇ G., Reduced Differential Transform Method for Partial Differential Equations, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 0(6), (009). Bu çalışmada indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ilk defa tanıtılmıştır. KESKİN Y., OTURANÇ G., Reduced differential transform method for generalized KdV Equations, Mathematical and Computational Applications, 5 (3), , (00). Bu çalışmada indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi genelleştirilmiş KdV denklemlerine başarılı bir şekilde uyarlanmıştır KESKİN Y., OTURANÇ G., The Reduced Differential Transform Method: a New Approach to Fractional Partial Differential Equations, Nonlinear Science Letters A, (), 07-8, 00. Bu çalışma kısmi türevli diferansiyel denklemlere indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemini uygulanmıştır. KESKİN Y., KURNAZ A., KİRİŞ M.E., OTURANÇ G., Approximate solution of Generalized Pantograph Equations by the differential transform method, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8() 007, Bu çalışmada, genelleştirilmiş pantograf denklemlerin çözümü için diferansiyel dönüşüm yöntemi uygulanmış, konuyla ilgili örnekler ortaya konulmuştur. KESKİN Y., OTURANÇ G., The Differential Transform Methods For Nonlinear Functions And Its Applications, Selçuk Journal of Applied Mathematics, 9(), 69-76, 008. Bu çalışmada lineer olmayan fonksiyonlar için diferansiyel dönüşüm tanımı verilmiş ve Emden Fowler diferansiyel denklemi çözülmüştür. WAZWAZ A.M., Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, 4, , 008. Bu çalışmada Adomian Ayrışım yöntemi kullanılarak KdV denkleminin soliton çözümleri araştırılmıştır. WAZWAZ A.M., Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory, Springer, 009. Bu çalışmada kısmi türevli diferansiyel denklemler incelenip bu denklemlerin çözümleri varyasyonel iterasyon yöntemi ve adomian ayrışım yöntemiyle çözülmüştür.
10 3. KULLANILAN YÖNTEMLER Kısmi türevli diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri hesaplanırken kullanacağımız belli başlı yöntemler aşağıda belirtilen şekildedir... Method of Lines (Çizgiler Yöntemi) Çizgiler yöntemi bağımsız değişken veya zamana bağlı kısmi diferansiyel denklemin yerine uygun sonlu farkın yazılması sonucu oluşan nümerik çözüm tekniğidir. İlk olarak parabolik denklemlere uygulanmıştır. Çizgiler yöntemi genellikle sonlu fark veya sonlu eleman teknikleri ile kısmi diferansiyel denklemleri adi diferansiyel denklem sistemlerine indirgeyen bir çalışmadır. İncelenen kısmı diferansiyel denklem bir başlangıç-değer problemi ise sonuçta oluşan adi diferansiyel denklem de bir başlangıç değer problemidir. Kısmi diferansiyel denklem bir sınır değer problemi ise sonuç olarak adi diferansiyel denklem sistemi oluşur. Method of Lines yöntemi ile bağımsız değişkene göre veya zamana bağlı değşkene göre dağılma yapılabilir. Yani değişkenin boyutu sayılabilir sonlu parçaya ayrılarak işlem yapılır. (Çağlar, 0, Schiesser, 99) Yöntemi bir kısmi türevli diferansiyel denklem üzerinde incelersek; V xx V 0 (..) yy Çözümün bulunduğu alan x ekseni boyunca sayılabilir sonlu parçaya ayrılarak başlanır. Bu ayrışma sonucunda x e göre türev yerine fark denklemi yazılır. Denklem üç noktalı merkezcil fark denklemi olarak yazılırsa Vi Vi Vi a [ Vi] xx, hx (..) h N (..) denklemini (..) de yerine yazılırsa [ Vi] yy [ V i( y) Vi( y) Vi ( y)] 0 (..3) h denklemi elde edilir. Böylece (..) denklemini de i,,..., N açılımı yapılırsa
11 4 i, [ V] yy [ V ( y) V( y) V0( y)] 0 h i, [ V] yy [ V 3( y) V( y) V( y)] 0 h i 3, [ V3] yy [ V 4( y) V3( y) V( y)] 0 h i N, [ VN] yy [ V N( y) VN( y) VN ( y)] 0 h (..4) denklemi matris formunda yazılırsa d dy V V V 0 V V 3 V 3 0 h V N 0 V N V N VN (..5) denklemi daha sade şekilde yazılırsa (..4) (..5) d dy V PV (..6) 0 denklemi yazılabilir. Burada ve P t,, V V V V N 0 h 0 dir. Sonraki adımımız ise y koordinatı boyunca analitik çözümü bulmak olacaktır. (..6) denklemi ikinci dereceden adi homojen diferansiyel denkleme dönüşmüştür. (..6) denkleminin çözüm kümesi ise şeklindedir. iy P iy P V Ae Be
12 5.. İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (RDTM) İndirgenmiş diferansiyel dönüşüm yönteminin (Keskin, 00) tanımını vermeden önce bu yönteme temel teşkil eden bir boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemini (Zhou, 986) ve iki boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemini (Chen, 999) açıklayacağız. Daha sonra bu yöntemler ışığında indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yönteminin tanımını vereceğiz. (Keskin ve Oturanç, 009)... Bir Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Tek değişkenli w(x) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu W(k) olmak üzere, w(x) nin tek boyutlu diferansiyel dönüşümü k d W( k) k w( x) k! dx x 0 (..) olarak tanımlanır. W(k) dönüşüm fonksiyonunun tersi; diferansiyel ters dönüşüm fonksiyonu, wx ( ) Wkx ( ) k (..) k 0 biçimde tanımlanır. (..) ve (..) eşitlikleri dikkate alınarak aşağıdaki eşitlik elde edilir. k d wx ( ) wx ( ) x k! dx k k 0 x0 k... İki Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Benzer şekilde, İki değişkenli w(x,y) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu W(k,h) olmak üzere, w(x,y) nin iki boyutlu diferansiyel dönüşümü kh W( k, h) w( x, y) k h kh!! x y x0, y0 (..3) olarak tanımlanır. W(k,h) dönüşüm fonksiyonunun tersi; diferansiyel ters dönüşüm fonksiyonu, wxy (, ) Wkhxy (, ) k h (..4) k0 h0 biçimde tanımlanır. (..3) ve (..4) eşitlikleri dikkate alınarak aşağıdaki eşitlik elde edebiliriz.
13 6 kh k wxy (, ) wxy (, ) xy kh!! x y k h k0 h0 x0, y0 h..3. İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Kabul edelim ki iki boyutlu kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümü uxt (, ) Ukhxt (, ) k h k0 h0 şeklinde olsun. O zaman fonksiyonun diferansiyel dönüşüm karşılığı olarak tanımlanmıştı. kh Ukh (, ) uxt (, ) k h kh!! xt x0, t0 olduğundan fonksiyonu açık halde yazarsak k h uxt, Ukh, x t k0 h0 U, U x, U x,..., U t, U tx, U tx,..., U t, U t x,... 0,0 0, 0,,0,,,0, elde edilir. Buradaki terimleri t nin kuvvetlerine göre düzenleme yapılırsa yani ilk grup 0 k t Uk,0x k 0, ikinci grup k t Uk,x, üçüncü grup k t Uk,x v.b. Böylece k 0 u, ( ) h xt Uh x t h0 fonksiyonu elde edilir. Buradan hareketle aşağıdaki tanımları verilmiştir[keskin, 00]. k 0 Tanım.. İki bileşenli u(x,t) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu U(k,h) olmak üzere, u(x,t) nin t boyunca hesaplanacak çözümü şeklindedir. uxt (, ) U( xt ) h (..5) h0 h
14 7 Tanım... İki bileşenli u(x,t) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu U(k,h) olmak üzere, u(x,t) nin t boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş diferansiyel dönüşümü şeklindedir. h Uh( x) u( x, t) h h! t t0 (..6) Tanım..3 U ( ) h x nin t boyunca indirgenmiş diferansiyel dönüşüm fonksiyonunun tersi; uxt (, ) U( xt ) h (..7) h0 h şeklinde tanımlanır. (..6) ve (..7) eşitlikleri dikkate alınarak aşağıdaki eşitlik elde edebiliriz. h uxt (, ) uxt (, ) t h! t h h h0 t0 Tanım..4 İki bileşenli u(x,t) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu U(k,h) olmak üzere, u(x,t) nin boyunca hesaplanacak çözümü x şeklindedir. uxt (, ) U( ) k k tx k 0 Tanım..5 İki bileşenli u(x,t) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu U(k,h) olmak üzere, u(x,t) nin x boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş diferansiyel dönüşümü, şeklindedir. h Uk () t u( x,) t k k! x x0
15 8.3. Variational İterasyon Yöntemi Bu metot ile elde edilen nümerik çözümlerin hata miktarının az olmasının yanında işlemler sırasında kullanılacak bilgisayarda yüksek kapasiteye de ihtiyaç duyulmaması metodun uygulamalarını artırmıştır. (Abdou ve Soliman, 005) Varyasyonel iterasyon metodunun uygulanmasında, L lineer operatör, N lineer olmayan operatör ve gx ( ) ise homojenliği bozan terim olmak üzere, çözümü aranan diferansiyel denklem, Lu Nu g( x) formunda ele alınır. Varyasyonel iterasyon metoduna göre denklemin, x un ( x) un( x) { Lu ( ) ( ) ( )} 0 n s Nu n s g s ds formundaki varyasyon fonksiyonu kurulur. Burada, Lagrange çarpanı (Inokuti 978) olup varyasyon teorisinden hareketle Maple, Mathematica gibi paket programları yardımıyla hesaplanır. u n sınırlanmış varyasyon (He 999) olup u n 0 dır. Bulunan sayı değerine göre varyasyon fonksiyonu yeniden düzenlenerek aranan çözüm fonksiyonu için rekürans bağıntısı oluşturulmuş olur. Başlangıç koşulu olarak verilen fonksiyon u 0 olarak seçilmek suretiyle n 0 için u n terimleri için yaklaşımlar elde edilmiş olur. Son olarak çözüm fonksiyonu, eşitliğinden elde edilir. u lim u n n.4. Adomian Ayrışım Yöntemi G.Adomian ın yaptığı gibi önce metodu yapısal olarak tanıtalım. Bunun içinde Fu t g t denklemini göz önüne alalım. Burada ut bilinmeyen fonksiyon ve g t sürekli bir fonksiyon olup F ise lineer ve lineer olmayan terimleri içeren lineer olmayan bir diferansiyel operatörü göstersin. [Ganji, 007] Lineer terim L+R şeklinde ayrıştırılır, R lineer operatörün geri kalan kısmıdır. L yüksek mertebeden ve tersi alınabilen bir diferansiyel operatör olsun. O zaman yukarıdaki denklemi Lu Ru Nu g şeklinde verebiliriz. Burada N lineer olmayan operatör ve L de tersi alınabilen bir operatör olduğundan, denklemin her iki tarafına L L Lu L gl Ru L Nu ters operatörü uygulanırsa
16 9 bulunur. Ayrışım metodu, u t nin çözümünü şeklinde seri formunda hesaplar ve lineer olmayan Nu terimlerini de biçiminde ayrıştırır. Burada A n ler u0 u n0 n0 Nu A olarak adlandırılan polinomlarıdır. u ve Nu lar, sırası ile, u u n n,,, un lere bağlı olan ve Adomian polinomları i ui, i0 i i Nu N ui Ai i0 i0 olarak elde edilir. Burada uygunluk için alınan bir parametredir. A n ler ifadesiyle bulunur. Buradan n d na! n N u n d n n n0 0 elde ederiz. Burada un L gl R un L An n0 n0 n0 0 u dır. u u n0 n 0 serisinin terimleri indirgeme formülü ile L g u L Ru L A 0 0 n n n, u L Ru L A, n0. şeklinde yazılır. Böylece ifadenin doğru çözümü seri formunda belirtilmiş olur. Fakat uygulamada u n0 n serisinden başlayarak yaklaşık çözümü; serisinin bütün terimlerini hesaplamak zordur. Bu nedenle kesme, veya n n u i0 n
17 0 u 0 u şeklinde buluruz. (Adomian, 988) n 0, u u u u,, u u u u, n0 n
18 3. PROBLEMLER Bu bölümde bazı özel kısmi türevli diferansiyel denklemlerin. Bölümde verilen yöntemlerle elde edilen çözümler ve bu çözümlerin sayısal değerleri tablo halinde verilmiştir. 3.. Problem Kimya ve mühendislikte sıvının yatay olarak hareketinin modellemesi olan lineer advection denklemi literatürde u u c (3.) t x ve bu denkleme ait başlangıç şartı da u x,0 f x analitik çözümü şeklinde tanıtılır ve bu denklemin u x, t f( x ct) şeklindedir. (c= sabittir) (Pregla, 989) 3... Method of Lines ile Çözüm (3.) Denklemin başlangıç şartı ux (,0) f( x) e x a x b Şeklinde ve sınır şartlarını da uat (, ) 0, ubt (,) 0 t 0 olarak alalım. (3.) denkleminin bağımsız değişkenini sayılabilir sonlu parçaya ayıralım. xi ih ( i,,..., N), a x i b ve ( b a) h N (3.) denkleminde u x ifadesinin yerine x i nin sonlu fark yaklaşımını yazarsak du f ( u i ) dt i,,..., N Şeklinde t ye bağlı bir adi diferansiyel denklem sistemi oluşur. Burada beş noktalı fark denklemleri yazarsak
19 5u48u 36u3 6u4 3 u5, i= , i= u u u u u u f( u ) u 8u 8 u u, i=3,4,...,n- t i h i i i i un4 6un3 8un 0un 3 un, i=n- 3un4 6un3 36un 48un 5 un, i=n şeklinde f ( u i ) ler elde ederiz. Çözüm matlab programı ile de aşağıdaki şekilde elde edilir. [Schiesser W.E., Griffiths G.W.,0] t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(nümerik) Hata Çizelge 3.. MOL ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri 3... İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm Lineer advection denkleminin( (3.) denkleminin) başlangıç şartı ux (,0) f( x) e x a x b (3..) şeklinde olsun. Bu denklemi indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ile çözelim. (3.) denkleminin diferansiyel dönüşüm karşılığı ( k) Uk ( x) c Uk( x) (3..) x burada U ( x), u( x, t ) nin t boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş diferansiyel k dönüşüm fonksiyonudur. Başlangıç değerinin dönüşüm karşılığı ise ( ) x U0 x e (3..3) olur. Şimdi (3..3) denklemini (3..) de yerine yazılarak değerlerinin hesaplayacak olursak
20 3 ( ) x U0 x e ( ) x U x cxe x U ( x) c e (x ) 3 x 3 U3( x) c e (x 3 x) (3..4) 3 4 x 4 U4( x) c e (4x x 3) 6 5 x 5 3 U5( x) c e (4x 0x 5 x) 5.. Elde edilen bu değerler (..7) denkleminde yerine yazarsak k 0 U x t U x U x t U x t k k ( ) 0( ) ( ) ( )... dır. Hemen belirtelim ki terim sayısını arttırırsak daha fazla iş yükü ortaya çıkar ve bilgisayar için daha fazla bellek kullanılmasına neden olur. 6 terim kullanarak elde edilen yaklaşık çözüm 30 60cxt 30c t 60c t x 6 x uxt (, ) U6( xt, ) Uk ( x) e 60ctx40ctx 60ctx k ctx 5ct 40ctx8ctx 30ctx şeklindedir. Bulduğumuz ifadenin ne kadar kesin çözüme yakın olduğu ile ilgili tablo verilmiştir. (N =terim sayısı) [Bozdemir, 03] t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(rdtm) Hata Çizelge 3.. RDTM ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri
21 4 Şimdi iki tabloyu alt alta koyarak karşılaştırma yapalım; t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(rdtm) Hata Çizelge 3.. RDTM ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(nümerik) Hata Çizelge 3.. MOL ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri 3.. Problem Literatürde KdV denklemi olarak bilinen u 6uu u 0, x R, (3..) t x xxx ve başlangıç değeri k k ux (,0) sech x (3..) şeklinde olan kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz. (Keskin 009) 3... Method of Lines ile Çözüm KdV denkleminin başlangıç şartı Sınır değerleri ise k k, a x bolsun. ux (,0) sech x uat (, ) 0, ubt (,) 0, t 0 olsun. Kdv denkleminde istenilen sonuç a x b ile 0 t T bögesinin içindedir. Bu bölgeyi x boyunca sayılabilir sonlu parçaya ayırırsak,
22 5 xi ih( i,,..., N), a xi b ve ( b a) h N u Denklemde ve x 3 u yerine sonlu fark yaklaşımı yapıldığında 3 x du f ( u i ) dt, i,,..., N Şeklinde t ye bağlı bir adi diferansiyel denklem sistemi oluşur. Buradan ileri fark denklemlerini yazalım, 5ui 8ui 4ui 4ui3 3ui4 3ui 4ui ui 6, 3 ui i h h ui3 8ui 3ui 3ui8ui ui3 ui ui f( ui ) 6u 3,4,..., 3 3 i i N 8h h 3ui4 4ui34ui 8ui 5ui ui 4ui 3ui 6u, 3 i i N N h h Şeklinde sonuç elde edilir. Matlab ile aşağıdaki şekilde sonuç elde edilir. [Griffiths ve Schiesser 00] t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(nümerik) Hata Çizelge denkleminin MOL ile çözümü 3... İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm k k Diferansiyel denklemin analitik çözümü uxt (, ) sech xkt dir. Şimdi indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ile denklemi çözelim. (3..) denklemine indirgenmiş dönüşüm yöntemi uygulanırsa h 3 ( h) Uh ( x) 6 Uhs( x) Us( x) Uh( x) 3 s0 x (3..3) x elde edilir. Burada U x, uxt (, ) nin t boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş h diferansiyel dönüşümüdür.(3..) başlangıç değerinden
23 6 ( ) k k U0 x sech x (3..4) (3..4) denklemini (3..3) denkleminde yerine yazılması sonucunda istenilen mertebe kadar Uh x değerleri ardışık olarak hesaplanabilir. İterasyon uygulanırsa kx 5 sinh k U( x), 3 kx cosh 8 kx k 3cosh U( x) 4 8 kx cosh kx kx k sinh cosh 3 U3( x), 5 kx cosh 4 4 kx kx k cosh 5 5cosh U4( x) 6 96 kx cosh O zaman U ( ) 4 h x değerlerinin ters indirgenmiş diferansiyel dönüşümü h 0 alınarak verilen denklemin dördüncü mertebeden yaklaşık çözümü
24 7 4 kx kx 4 k 5k 5k cosh k cosh t 4 h 4(, ) h( ) 6 h0 u x t U x t kx 96cosh 3 9 kx kx 9 kx kx k 8k sinh cosh 4k sinh cosh 3 t 6 96 kx cosh 4 6 kx 6 kx k 36k cosh 4k cosh t 6 96 kx cosh 5 kx k sinh k t 3 kx kx cosh cosh böylece problemin aranılan analitik çözümü uxy (, ) lim u ( xy, ) şeklinde verilir. (Keskin ve Oturanç 00) k k Bu çözüm uxt (, ) sec h xkt. analitik çözüme yakınsak olduğu ayrıca literatürde verilen varyasyonel iterasyon yöntemi ile kıyaslandığında aynı olduğu şekilden görülebilir. n n Şekil 3.. İndirgenmiş dönüşüm yöntemiyle elde edilen u 4 ( x, y) yaklaşık çözümü ( k ): (a) k k uxt (, ) sech xkt yöntemi soliton dalga çözümünün kıyaslaması analitik çözüm ile kıyaslanması, (b) varyasyonel iterasyon
25 Problem 3 Isı iletim denklemini ele alalım; Başlangıç şart ve sınır şartı u u, t x ux (,0) u(0,) t 0, u(,) t 0 şeklinde verilsin Method of Lines ve Maple ile Çözüm Bu denklemin çözümü için Maple programı yardımıyla ve Method of lines yöntemiyle aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz. (Wouwer ve Saucez ve Schiesser ve Thompson, 005) (Schiesser ve Griffiths, 009) Maple programı ile çözdüğümüz takdirde grafik üzerinde inceleme fırsatı bulmamızda çözüm konusunda bize daha fazla yardımcı olacaktır. (Schiesser, 99) >restart; >with(linalg):with(plots): >ge:=diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),x$); ge := t u ( x, t) u ( x, t) x =>Başlangıç şartı olarak x=0: >bc:=u(x,t); bc := u ( x, t ) =>Sınır şartımız da x=l: >bc:=u(x,t); bc := u ( x, t) =>Başlangıç şartını girersek >IC:=u(x,0)=; IC := u ( x, 0) =>Düğüm noktalarının sayısını gireriz >N:=4; N := 4 =>Alanın büyüklüğünü gireriz
26 9 >L:=4; L := 4 =>X=L için ilk türev işlemi; >dydxf:=/*(-u[](t)-3*u[0](t)+4*u[](t))/h; u 3 u 0 ( t ) 4 u ( t ) dydxf := h =>İkinci türev işlemi; >dydxb:=/*(u[n-](t)+3*u[n+](t)-4*u[n](t))/h; dydxb := u 3 ( t )3 u 5 ( t ) 4 u 4 ( t ) h =>Sınır şartı sonlu diferansiyele dönüştürürsek; >dydx:=//h*(u[m+](t)-u[m-](t)); dydx := u m ( t )u m ( t ) h > dydx:=/h^*(u[m-](t)-*u[m](t)+u[m+](t)); dydx := u m u ( t ) u ( ) m m t h >bc:=subs(diff(u(x,t),x)=dydxf,u(x,t)=u[0](t),x=0,bc); bc := u 0 >bc:=subs(diff(u(x,t),x)=dydxb,u(x,t)=u[n+](t),x=,bc); bc := u 5 =>Sınır şartlarımızı eq[0] ve eq[n+] olarak kaydedelim; >eq[0]:=bc; eq 0 := u 0 >eq[n+]:=bc; eq 5 := u 5 =>Ana denklemi sonlu diferansiyel forma çevirecek formülümüz; > for i from to N do eq[i]:=diff(u[i](t),t)= subs(diff(u(x,t),x$) =subs(m=i,dydx),diff(u(x,t),x) = subs(m=i,dydx),u(x,t)=u[i](t),x=i*h,rhs(ge)); od; eq := eq := d dt d dt u 0 u ( t ) u u h u u ( t ) u 3 u h
27 0 eq 3 := eq 4 := d dt d dt u u 3 ( t ) u 4 u 3 h u 3 u 4 ( t ) u 5 u 4 =>Sınır şartları u[0](t) ve u[n+0](t) nu eleyelim; > u[0](t):=(solve(eq[0],u[0](t))); u 0 := 0 h > u[n+](t):=solve(eq[n+],u[n+](t)); u 5 := 0 =>Şimdi ele aldığımız denklem daha basit hale gelmiş oldu; > for i from to N do eq[i]:=eval(eq[i]);od; eq := eq := eq 3 := eq 4 := d dt d dt d dt d dt u ( t ) u u h u u ( t ) u 3 u h u u 3 ( t ) u 4 u 3 h u 3 u 4 u 4 h =>Maple da ki genmatrix komutu ile (A) katsayılar matrisini üretiriz. > eqs:=[seq(rhs(eq[j]),j=..n)]; eqs := u ( t ) u ( t ) u ( t ) u ( t ) u 3 ( t ) u u 3 ( t ) u 4 ( t ),,, h h h > Y:=[seq(u[i](t),i=..N)]; Y := [ u ( t ), u ( t ), u 3 ( t ), u 4 ] > A:=genmatrix(eqs,Y); u 3 ( t ) u 4 ( t ) h
28 0 0 h h 0 A := h h h 0 h h h 0 0 h h =>Düğüm noktaları arasındaki mesafeyi h olarak girelim; > h:=eval(/(n+)); h := 5 =>A matrisi aşağıdaki hale gelir; > A:=map(eval,A); A := > if N > 4 then A:=map(evalf,A);end: > evalm(a); =>Çözüm için üstel matris kullanırız; > mat:=exponential(a,t): > mat:=map(evalf,mat): =>Başlangıç şartı olarak YO vektörü; > Y0:=matrix(N,):for i from to N do Y0[i,]:=evalf(subs(x=i*h,rhs(IC))); od:evalm(y0);.... > Y:=evalm(mat&*Y0): > Y:=map(simplify,Y);
29 e ( t ) e ( t ) Y := e ( t ) e ( t ) e ( t ) e ( t ) e ( t ) e ( t ) =>Bir sonraki adımda bağımlı değişkenleri kaydedelim ; > for i from to N do u[i](t):=evalf((y[i,]));od: > for i from 0 to N+ do u[i](t):=eval(u[i](t));od; u 0 := 0 u := e ( t ) e ( t ) u := e ( t ) e ( t ) u 3 := e ( t ) e ( t ) u 4 := u 5 := e ( t ) e ( t ) Analitik çözümü her farklı değişken nokta için farklı sonuçlar bulduk. Bunları şekil üzerinde incelersek sonuçları görmemiz daha kolay olur. Her bir çözüm içinde farklı renk kullanırız. > pp:=plot([seq(u[i](t),i=0..n+)],t=0..0.4); > pt:=textplot([[0.05,0.05,typeset(u[0],"(t), ",u[5],"(t)")],[0.,0., typeset(u[],"(t), ",u[4],"(t",u, u[4],"(t)")],[0.5,0.4, typeset(u[],"(t), ",u[3],"(t)")]]); > display({pp,pt},axes=boxed,thickness=4,title="figure 5.",labels=[t,"u"]);
30 3 Şekil 3.. =>Çözümü 3 boyutlu olarakta inceleyebiliriz; > tf:=0.; tf := 0. =>Adım sayısını girelim(0 da dahil); > M:=30; M := 30 =>T için ara ne olmalı onu girelim; > T:=[seq(tf*i/M,i=0..M)]; T := [ 0., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ] > PP:=matrix(N+,M+);
31 4 PP := array (.. 6,.. 3, [ ]) =>İlk sütun başlangıç şartımız ile doldurulur: > for i from to N+ do PP[i,]:=evalf(subs(x=(i-)*h,rhs(IC)));od: =>Kalan sütünlar ise elde ettiğimiz çözümler ile dolar; > for i from to N+ do for j from to M+ do PP[i,j]:= evalf(subs(t=t[j],u[i-](t)));od;od: => surfdata komutu ile 3 boyutlu çözümü elde edebiliriz > plotdata := [seq([ seq([(i-)*h,t[j],pp[i,j]], i=..n+)], j=..m+)]: >surfdata( plotdata, axes=boxed, title="3-boyut", labels=[x,t,u],orientation=[45,60]); (Griffiths ve Schiesser 00) Şekil İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemiyle Çözüm Isı iletim denkleminin başlangıç şartı ux (,0) şeklindedir. Bu denklemi indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ile çözelim. (3.) denkleminin diferansiyel dönüşüm karşılığı ( k) Uk ( x) U ( ) k x x
32 5 burada U ( x), u( x, t ) nin t boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş diferansiyel k dönüşüm fonksiyonudur. Başlangıç değerinin dönüşüm karşılığı ise U ( x) 0 olur. Şimdi bulduğumuz değerleri yerine yazılarak değerlerinin hesaplayacak olursak ( ) x U0 x e ( ) x U x cxe x U ( x) c e (x ) 3 x 3 U3( x) c e (x 3 x) 3 4 x 4 U4( x) c e (4x x 3) 6 5 x 5 3 U5( x) c e (4x 0x 5 x) 5 elde edilen bu değerler denklemde yerine yazarsak k 0 U x t U x U x t U x t k k ( ) 0( ) ( ) ( )... şeklindedir. Hemen belirtelim ki terim sayısını arttırırsak daha fazla iş yükü ortaya çıkar ve bilgisayar için daha fazla bellek kullanılmasına neden olur. 6 terim kullanarak elde edilen yaklaşık çözüm 30 60cxt 30c t 60c t x 6 x uxt (, ) U6( xt, ) Uk ( x) e 60ctx40ctx 60ctx k ctx 5ct 40ctx8ctx 30ctx bulunur. Bulduğumuz ifadenin ne kadar kesin çözüme yakın olduğunu ve avantajını incelemek aşağıdaki tablolar verilmiştir. (N =terim sayısı) [Griffiths ve Schiesser 00]
33 6 t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(rdtm) Hata Çizelge 3.4. RDTM ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri Varyasyonel İterasyon Yöntemi ile Çözüm Denklemimizi varyasyon formunda yazalım.,, t un x un x un x, tunx, t d. x 0 yazarsak iterasyon denklemi;,, t un x un x un x, tunx, t d, n 0 x 0 olur. u0 x, t den başlayarak t t t 3 3t t t 6 3 4t3t t t t5t t t t t t t t t t t t t t t t t
34 7 Maple Kodu yazarsak > restart: > Mertebe:=0: > U[0]:=: > for k from 0 to Mertebe do U[k+]:=U[k]-int(subs(t=a,U[k])-subs(t=a,diff(U[k],xx)),a=0..t) > od: > print(u[mertebe]): Şeklinde hesaplanarak 3 5 t t un x, tt... 3! 5! Bu şeklinde bulunur Adomian Ayrışım Yöntemi ile Çözüm Başlangıç değer problemimizin homojen olduğundan eşitliğin her iki tarafına operatörünü uygular ve başlangıç değerlerini kullanırsak;, t xx, u x t t L L u x t denklemini elde ederiz. Buradan Adomian serilerini u x, t için kullanırsak; L t u x, t tl L u x, t n t xx n n0 n0 olur. Sistemi açık şekilde yazarsak: 0, u x t t, t xx u x t L L u t 0 u 5 x, t Lt Lx u t sinx 5! u(x,t) nin seri formundaki çözümü uxt, u0xt, uxt, uxt,... xt t sin xt t t... 3! 5! olur. Çözümün kapalı formdaki ifadesi ise 3 u x, t xt t sinxsint şeklinde olur.
35 8 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Çizgiler yönteminde (MOL) seçilen grid noktalarının iyi sonuç elde edilebilmesi icin,yüzün üzerinde farklı nokta alınması gereklidir. Grid aralıkları ne kadar çok olursa hata payı o kadar fazla olur. Grid noktalarını arttırmak ise hem bilgisayara bağımlı kılar, hem de bilgisayarda yapılan işlemlerin uzamasına neden olur. İndirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ise daha az iterasyon ile daha yaklaşık çözümler vererek iyi sonuçlar alınmıştır. Fakat lineer olmayan ifadelerin derecelerinin fazla olması durumunda bilgisayar kullanmaksızın yöntemin uygulanması karmaşık işlemler meydana getirmektedir.
36 9 KAYNAKLAR Abdou, M. A., & Soliman, A. A., 005, New applications of variational iteration method. Physica D: Nonlinear Phenomena, (), -8. Adomian, G., 988, A review of the decomposition method in applied mathematics. Journal of mathematical analysis and applications, 35(), Bozdemir, T., 03, Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerin Nümerik Çözümleri Üzerine Yeni Yöntemler, Yüksek Lisans Tezi, Aksaray Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Çağlar, İ., 0, Bazı Özel Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerin Gezen Dalga Çözümleri, Yüksek Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Evans, L. C., 998, Partial Differential Equations, American Mathematical Society Ganji, D.D., & Nourollahi, M., & Rostamian, M., 007, A Comparison of Variational Iteratiın Method with Adomian s Decomposition Method in Some Highly Nonlinear Equations, International Journal of Science&Technology, Griffiths, G., & Schiesser, W. E., 00, Traveling wave analysis of partial differential equations: numerical and analytical methods with MATLAB and Maple. Acedemic Press He, J. H., 999, Variational iteration method a kind of non-linear analytical technique: some examples. International journal of non-linear mechanics, 34(4), Keskin, Y., Oturanç, G., 009, Reduced Differential Transform Method for Partial Differential Equations, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 0(6) Keskin Y., Oturanç G., 00, Diferansiyel Dönüşüm Yöntemiyle Diferansiyel Denklemlerin Çözülmesi Keskin, Y., Oturanç, G., 00, Reduced differential transform method for generalized KdV Equations, Mathematical and Computational Applications, 5 (3),
37 30 Keskin, Y., Oturanç, G., 00, The Reduced Differential Transform Method: a New Approach to Fractional Partial Differential Equations, Nonlinear Science Letters A, (), 07-8 Keskin, Y., Kurnaz, A., Kiriş, M.E., Oturanç, G., 007, Approximate solutions of generalized pantograph equations by differential transform method, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8() Keskin, Y., Kurnaz, A., Kiriş, M.E., Oturanç, G., 007, Approximate solution of Generalized Pantograph Equations by the differential transform method, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8(), Schiesser, W. E., 99, The numerical method of lines. Academic Press. Schiesser, W. E., & Griffiths, G. W., 009, A compendium of partial differential equation models: method of lines analysis with Matlab. Cambridge University Press. Pregla, R., 989, The method of lines. Analysis of Electromagnetic Fields and Waves: The Method of Lines, -3. Wazwaz, A. M., 00, Partial differential equations. CRC Press. Wazwaz A.M., 008, Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, 4, Wouwer, A. V., & Saucez, P., & Schiesser, W. E., & Thompson, S., 005, A MATLAB implementation of upwind finite differences and adaptive grids in the method of lines. Journal of computational and applied mathematics, 83(),
38 3 ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı : Fatih DURMUŞ Uyruğu : Türk Doğum Yeri ve Tarihi : Sivas 09/08/988 Telefon : Faks : fdurmus5@hotmail.com EĞİTİM Derece Adı, İlçe, İl Bitirme Yılı Lise : Gebze Anadolu Lisesi 006 Üniversite : Selçuk Üniversitesi 0 Yüksek Lisans : Doktora : İŞ DENEYİMLERİ Yıl Kurum Görevi 03 Maliye Bakanlığı VHKİ UZMANLIK ALANI -İyi Derece Bilgisayar Kullanımı YABANCI DİLLER -İngilizce -Arapça BELİRTMEK İSTEĞİNİZ DİĞER ÖZELLİKLER -Anadolu Üniversitesi İktisat Fakültesi Kamu Yönetimi Yüksek Onur Derecesi ile Mezuniyet -Istanbul Üniversitesi Hasan Ali Yücel Eğitim Fakültesinden Formasyon Sertifikası
EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206
99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE
DetaylıKESİRLİ MERTEBEDEN KISMİ DİFERANSİYEL CEBİRSEL DENKLEMLERİN FARKLI METOTLARLA NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Gökçe Dilek KÜÇÜK Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı
KESİRLİ MERTEBEDEN KISMİ DİFERANSİYEL CEBİRSEL DENKLEMLERİN FARKLI METOTLARLA NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Gökçe Dilek KÜÇÜK Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Doç. Dr. Ercan ÇELİK
DetaylıLİNEER OLMAYAN OLUŞUM DENKLEMLERİNİN ÜSTEL RASYONEL FONKSİYON METODUYLA ÇÖZÜMÜ. Geliş Tarihi: 05.08.2014 Kabul Tarihi: 09.06.2015
LİNEER OLMAYAN OLUŞUM DENKLEMLERİNİN ÜSTEL RASYONEL FONKSİYON METODUYLA ÇÖZÜMÜ Melike KAPLAN 1, Arzu AKBULUT 2, Mehmet Naci ÖZER 3 1 Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
Detaylıİki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı
İki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı Vahid Ferecov Rafet Akdeniz Namık Kemal Üniversitesi, Çorlu Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıSONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER
SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan
DetaylıDİFERANSİYEL DENKLEMLER-2
DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıPlazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine
Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine 1 Yalçın Yılmaz, 2 İsmail Küçük ve 3 Faruk Uygul *1 Faculty of Arts and Sciences, Dept. of Mathematics, Sakaya University, Sakarya, Turkey 2 Faculty of Chemical
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıHATA VE HATA KAYNAKLARI...
İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün
DetaylıMühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN
Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın
DetaylıHanta-virüs Modelinden Elde Edilen Lojistik Diferansiyel Denklem. Logistic Differential Equations Obtained from Hanta-virus Model
SDU Journal of Science (E-Journal), 2016, 11 (1): 82-91 Hanta-virüs Modelinden Elde Edilen Lojistik Diferansiyel Denklem Zarife Gökçen Karadem 1,*, Mevlüde Yakıt Ongun 2 1 Süleyman Demirel Üniversitesi,
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıDiferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
DetaylıProf.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr
Ders Bilgisi Ders Kodu 9060528 Ders Bölüm 1 Ders Başlığı BİLİŞİM SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders Kredisi 3 ECTS 8.0 Katalog Tanımı Ön koşullar Ders saati Bu dersin amacı altyapısı teknik olmayan
DetaylıDerece Bölüm/Program Üniversite Yıl Lisans Matematik Fırat Üniversitesi Yüksek Lisans Uygulamalı Matematik Fırat Üniversitesi
ÖZ GEÇMİŞ FORMUÖDoç. Dr. Mustafa KAHYAOĞLU Vesikalık resim Yapıştırılacaktır. 1. Adı Soyadı: Esra KARATAŞ AKGÜL 2. Doğum Tarihi: 16/10/1989 3. Unvan: Yrd. Doç. Dr. 4. Öğrenim Durumu: Derece Bölüm/Program
DetaylıBahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıYrd. Doç. Dr.Yiğit Aksoy
Yrd. Doç. Dr.Yiğit Aksoy ÖĞRENİM DURUMU Derece Üniversite Bölüm / Program Lisans Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği 00 Y. Lisans Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği 00 Doktora Celal
DetaylıDİFERENSİYEL DENKLEMLERİN VARYASYONEL İTERASYON METODU İLE YAKLAŞIK ANALİTİK ÇÖZÜMLERİ
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN VARYASYONEL İTERASYON METODU İLE YAKLAŞIK ANALİTİK ÇÖZÜMLERİ ESİN İLHAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR
DetaylıSİNGULER BAŞLANGIÇ VEYA SINIR DEĞER PROBLEMLERİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ: DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM VE ADOMİAN AYRIŞTIRMA METODLARI.
SİNGULER BAŞLANGIÇ VEYA SINIR DEĞER PROBLEMLERİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ: DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM VE ADOMİAN AYRIŞTIRMA METODLARI Derya ÜNAL YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.
DetaylıKısmi Diferansiyel Denklemler (MATH378) Ders Detayları
Kısmi Diferansiyel Denklemler (MATH378) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Kısmi Diferansiyel Denklemler MATH378 Bahar 3 0 0 3 6 Ön Koşul Ders(ler)i
DetaylıProje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıHARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15.
HARMONİK DENKLEM Harmonik denklemin sağ tarafının sıfır olması haline Laplace, sağ tarafının sıfır olmaması haline de Possion denklemi adı verilir. Possion ve Laplace denklemi, kısaca harmonik denklem
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 1- GİRİŞ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 Mühendislikte, herhangi bir fiziksel sistemin matematiksel modellenmesi sonucu elde edilen karmaşık veya analitik çözülemeyen denklemlerin
DetaylıElemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıŞeklinde çok sayıda diferansiyel denklemden oluşan denklem sistemleridir. Denklem sayısı = bağımlı değişken eşitliği sağlanmasıdır.
5. Diferansiyel Denklem Sistemleri ve Çözüm Yöntemleri X=bağımsız, Y, Z, W = bağımlı değişkenler olmak üzere; Y= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) Z= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) W= (X, Y, Y, Y,,
DetaylıÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ
ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ 1. KİŞİSEL BİLGİLER Kimlik Bilgileri TC Kimlik No :33107316330 Adı Soyadı Baba Adı Doğum Yeri :Mahmut :MODANLI : Abdülkadir : ŞANLIURFA Doğum Tarihi : 01.01.1978 Uyruk : Türkiye
DetaylıDikkat! NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ Bu şablonu kullanmaya. SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz!
T.C. NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ Bu şablonu kullanmaya Bu şablonu kullanmaya başlamadan önce FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ başlamadan önce SablonNasilKullanilir SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz!
DetaylıÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL
ÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL TC Kimlik No / Pasaport No: Doğum Yılı: 1978 Yazışma Adresi : Telefon : 346-2191010/1531 e-posta : Fen Fakültesi Matematik Bölümü 58140 Sivas/ ntopsakal@cumhuriyet.edu.tr
DetaylıDijital Kontrol Sistemleri Prof.Dr. Ayhan Özdemir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir.
Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir. u(t):kuvvet u(t) F yay F sönm Yay k:yay sabiti m kütle Sönümlirici b:ösnümlirme sabiti y(t):konum 1 1 3
DetaylıDoktora Tezi Başlığı : Simetrik Konumdaki Boyuna Boşlukları Farklı Malzemeden Yapılmış Borularla Takviye edilmiş Silindirik Kirişin Burulması
ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ Ad- Soyadı :Elçin YUSUFOĞLU Ünvanı: Prof. Dr. DOĞUM TARİHİ:17 Şubat 1960 Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl Lisans Uygulamalı Matematik Azerbaycan Devlet Üniversitesi 1982
DetaylıKısmi Diferansiyel Denklemler için Sonlu Fark Metodları (MATH524) Ders Detayları
Kısmi Diferansiyel Denklemler için Sonlu Fark Metodları (MATH524) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Kısmi Diferansiyel Denklemler için Sonlu
DetaylıAddress : Celal Bayar University, Faculty of Arts & Science, Department of Mathematics, Muradiye Campus, 45140, Yunusemre-Manisa/TURKEY
PERSONAL INFORMATION Res.Assist. Sinan DENİZ Manisa Celal Bayar University Faculty of Arts & Science Department of Mathematics Address : Celal Bayar University, Faculty of Arts & Science, Department of
DetaylıCURRICULUM VITAE NİYAZİ ŞAHİN
CURRICULUM VITAE NİYAZİ ŞAHİN Yıldırım Beyazıt Üniversitesi Tel (Ofis): (312) 324-1555 Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fak. Matematik-Bilgisayar Bölümü Fax: (312) 324-1505 Ankara, Türkiye E-mail: nisa70@gmail.com
DetaylıFATMA KANCA. Derece Alan Üniversite Yıl Doktora Matematik Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü Yüksek Lisans Matematik Kocaeli Üniversitesi 2004
FATMA KANCA EĞİTİM Derece Alan Üniversite Yıl Doktora Matematik Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü 2011 Yüksek Lisans Matematik Kocaeli 2004 Lisans Matematik Kocaeli 2001 AKADEMİK UNVANLAR Kurum/Kuruluş
DetaylıMAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
Detaylı2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
DetaylıStandart ve Standart Olmayan Theta Metotlarının Bazı Uygulamaları ve Sonuçları
SDU Journal of Science (E-Journal), 2016, 11 (2): 109-120 Standart ve Standart Olmayan Theta Metotlarının Bazı Uygulamaları ve Sonuçları Fatih ER* 1 Mevlüde YAKIT ONGUN 2 1 Süleyman Demirel Üniversitesi,
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS DİFERANSİYEL DENKLEMLER FEB-211 2/ 1.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıŞekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.
NÜMERİK İNTEGRASYON Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle
DetaylıTez adı: Genelleştirilmiş büzülme dönüşümleri için bazı sabit nokta teoremleri (2016) Tez Danışmanı:(ARAP DURAN TÜRKOĞLU)
HÜSEYİN IŞIK YARDIMCI DOÇENT E-Posta Adresi : h.isik@alparslan.edu.tr Telefon (İş) Telefon (Cep) Faks Adres : : : : 3122021084-5071865605 MUŞ ALPARSLAN ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ Öğrenim Durumu
DetaylıCopyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü
Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıElastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme
DetaylıKimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik
Fen Bilimleri Enstitüsü Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik DERS BİLGİ FORMU DERS BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Yarıyıl Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik T
DetaylıT.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAZI KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ VE DİĞER YÖNTEMLERLE KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıMATEMATİK BÖLÜMÜ BÖLÜM KODU:3201
BÖLÜM KODU:01 011-01 01.Yarıyıl Dersleri 0.Yarıyıl Dersleri MTK 101 Analiz I Analysis I 4 1 5 6 MTK 10 Analiz II Analysis II 4 1 5 6 MTK 11 Lineer Cebir I Linear Algebra I 1 4 MTK 1 Lineer Cebir II Linear
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS SAYISAL YÖNTEMLER FEB-311 3/ 1.YY 2+0+0 2 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI
KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıSembolik Programlama1. Gün. Sembolik Programlama. 20 Eylül 2011
Sembolik Programlama 1. Gün Şenol Pişkin 20 Eylül 2011 Sunum Kapsamı MuPAD İçerik Başlangıç 1. Bölüm: Cebirsel işlemler 2. Bölüm: Denklem çözümleri MuPAD Kısaca MuPAD Bilgisi ve Tarihçesi MuPAD Diğer Araçlar
DetaylıDİFERENSİYEL DENKLEMLERİN HOMOTOPİ PERTURBASYON METODU İLE YAKLAŞIK ANALİTİK ÇÖZÜMLERİ
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN HOMOTOPİ PERTURBASYON METODU İLE YAKLAŞIK ANALİTİK ÇÖZÜMLERİ HURİYE KADAKAL YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR
DetaylıÖZGEÇMİŞ. Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl
ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Fatih Koyuncu Doğum Tarihi: 10 Haziran 1971 Akademik Ünvanı : Y. Doç. Dr. Çalışma Alanları: Cebir, Cebirsel Sayı Teorisi, Cebirsel Geometri, Kodlama Teorisi, Kriptoloji, Cebirsel Topoloji.
DetaylıÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin
DetaylıDoç. Dr. Metin Özdemir Çukurova Üniversitesi
FİZİKTE SAYISAL YÖNTEMLER Doç. Dr. Metin Özdemir Çukurova Üniversitesi Fizik Bölümü 2 ÖNSÖZ Bu ders notları Fizik Bölümünde zaman zaman seçmeli olarak vermekte olduǧum sayısal analiz dersinin hazırlanması
DetaylıDiferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları
Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıBÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
DetaylıÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı: Mehmet Tarık Atay. 2. Doğum Tarihi: 13 Kasım 1969. 3. Unvanı: Yrd. Doç. Dr. 4. Öğrenim Durumu:
ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı: Mehmet Tarık Atay 2. Doğum Tarihi: 13 Kasım 1969 3. Unvanı: Yrd. Doç. Dr. 4. Öğrenim Durumu: Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Orta Doğu Teknik Üniversitesi 1993 Y. Matematik
Detaylı4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
DetaylıDeğişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.
3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı: Bahaddin SİNSOYSAL 2. Doğum Tarihi: Ünvanı: Doç. Dr. 4. Öğrenim Durumu:
1. Adı Soyadı: Bahaddin SİNSOYSAL 2. Doğum Tarihi: 02.0.1969. Ünvanı: Doç. Dr.. Öğrenim Durumu: ÖZGEÇMİŞ Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Karadeniz Teknik Üniversitesi 1991 Y. Lisans Matematik
DetaylıT.C. SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz! TEZ BAŞLIĞINI BURAYA YAZINIZ. Öğrencinin Adı SOYADI YÜKSEK LİSANS/DOKTORA TEZİ.
T.C. NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ Bu şablonu kullanmaya Bu şablonu kullanmaya başlamadan önce FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ başlamadan önce SablonNasilKullanilir SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz!
DetaylıEGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI FİNAL PROGRAMI
II. YARIYIL Soyut Matematik II Mat. 1. Grup Prof.Dr.A.FIRAT 01.06.2015 08:30-10:00 C 012, C 013, C 118, C 119 Mathematics II Mat. 1. Grup Prof.Dr.İ.ÇANAK 10.06.2015 15:00-16:30 C 117, C 118, C 119, C 013
DetaylıProjenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması
Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları
Kompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Kompleks Analiz MATH 346 Güz 4 0 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i Math 251 Dersin Dili
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıQUANTILE REGRESYON * Quantile Regression
QUANTILE REGRESYON * Quantile Regression Fikriye KURTOĞLU İstatistik Anabilim Dalı Olcay ARSLAN İstatistik Anabilim Dalı ÖZET Bu çalışmada, Lineer Regresyon analizinde kullanılan en küçük kareler yöntemine
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSigma 2006/3 Araştırma Makalesi / Research Article A SOLUTION PROPOSAL FOR INTERVAL SOLID TRANSPORTATION PROBLEM
Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi Sigma 6/ Araştırma Makalesi / Research Article A SOLUTION PROPOSAL FOR INTERVAL SOLID TRANSPORTATION PROBLEM Fügen TORUNBALCI
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıDOÇ. DR. BANU UZUN Işık Üniversitesi Matematik Bölümü
DOÇ. DR. BANU UZUN Işık Üniversitesi Matematik Bölümü buzun@isikun.edu.tr 1. Adı Soyadı : Banu UZUN 2. Doğum Tarihi : 22.09.1971 3. Ünvanı : Doçent 4. Öğrenim Durumu : ÖĞRENİM DÖNEMİ DERECE ÜNİVERSİTE
DetaylıDiferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları
Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math
Detaylı