DENEY 3: DFT-Discrete Fourier Transform. 2 cos Ω d. 2 sin Ω d FOURIER SERİSİ

Transkript

1 DENEY 3: DFT-Discrete Fourier Transform FOURIER SERİSİ Herhangi bir periyodik işaret sonsuz sayıda sinüzoidalin ağırlıklı toplamı olarak ifade edilebilir: 2 cosω sinω 1 Burada Ώ 0 birinci (temel) harmonik (frekans) olmakla beraber, a k ve b k katsayıları Fourier serisi katsayılarıdır. (NOT: b 0 =0) Her ne kadar bu açılım bir sonsuz seri açılımı olsa da, pratikte birkaç harmoniğin alınması birçok pratik uygulama için yeterli olacaktır. Unutulmaması gereken nokta, x(t) nin Fourier serisine açılabilmesi için mutlaka periyodik olması gerekliliğidir. Fourier katsayıları ise aşağıdaki gibi hesaplanır. 2 cosω d 2 sinω d 2 Burada T, x(t) işaretinin temel periyodudur ve temel frekansla ilişkisi 2/Ω şeklindedir. Bir işaretin Fourier serisi katsayılarının bulunabilmesi için Dirichlet koşullarını sağlaması gerekmektedir. Yukarıdaki denklemden de anlaşılabileceği gibi, periyodik işaretlerin Fourier serisi katsayıları ayrıktır. Bunun tersi de geçerlidir: Bir ayrık işaretin Fourier dönüşümü periyodik olmaktadır. Bir sonraki sayfadaki şekilde, periyodik bir kare dalga işaretinin sırasıyla ilk dört katsayısı kullanıldığında geri elde edilen işaretler gösterilmiştir. Fourier serileri komplex formda da ifade edilebilmektedir. Periyodik bir işaretin komplex Fourier serisi katsayıları, 3 şeklinde elde edilir. cossin olmasından faydalanılarak ile arasındaki ilinti, olarak bulunur. 4

2 Periyodik kare dalga işaretinin sadecee bir Fourier serisi katsayısıyla geri elde edilmiş hali. İki katsayı kullanılarak geri elde edilmiş işaret. İlk üçç katsayı kullanıldığında geri elde edilen e işarett kare dalgaya daha fazla benzemektedb edir. İlk dört d Fourier serisi katsayısı kullanıldığında geri eldee edilen işaret.. 1. Aşağıdaki MATLAB kodunu çalıştırınız: N=50; %İşareti in uzunluğu n=[0:n-1]; %50 uzunuklu dizi M=3; %Alınaca ak Fourier serisi kaysayısı sayısı m=[0:m-1]; x=[zeros(1,28), ones(1,,12), zeros(1, N-40)]; N a=(2/n)* *x*cos(2*pi*(n')*m/n); %x in Fourier ser. kats. a(1)=a(1)/2; b=(2/n)* *x*sin(2*pi*(n')*m/n); xr=a*cos(2*pi*(m')*n/n) )+b*sin(2*pi*(m')*n/n);; subplot( (2,1,1), plot(x) ) subplot( (2,1,2), plot(xr,'r')

3 Yukarıdaki program, ötelenmiş ötelenmi bir periyodik kare dalganın Fourier serisi katsayılarını ve ilk 5 terimi kullanarak x(t) nin yaklaşık yakla yaklaşşık ık kestirimini hesaplamaktadır. Bu örnekte, periyodik iişaretin iş sadece bir periyodu alınmı alınmıştır. ştır. M değerini ğerini erini 1 ile 5 arasında de değiş ğiştirerek tirerek terim sayısının etkisini gözlemleyi gözlemleyiniz. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ DÖNÜŞ Fourier serisinin serisinin, periyodik olmayan işaretlere işaretlere aretlere geni genişletilmesiyle letilmesiyle Fourier dönüş dönü dönüşümü şümü elde edilir. Fourier dönü dönüşümü, şümü, işaretin gerçek frekans spektrumunu verir. Dönüşüm Dönü şüm üm çiftinin matematiksel eşitlikleri şitlikleri aaşağıdaki ş ğıdaki gibidir. Fourier dönü dönüşümü, şümü, ümü, Fourier serilerinin genelle genelleştirilmiş ştirilmiş halidir. Periyodik olmayan (aperiyodik) bir işaretin şaretin aretin periyodu sonsuz olarak düşünülebilmektedir. dü ünülebilmektedir. Periyodu sonsuz olan bir iişaretin iş temel frekansı limitte sıfıra gider. Bu durumda (3) teki denklem, (5) e yakınsar. Özetle Fo Fourier urier dönüşümü, dönüşşümü, ümü, komplex katsayılı Fourier serilerinin, temel periyodun sonsuza gittiği özel halidir halidir.. AYRIK FOURIER DÖNÜ DÖNÜŞÜMÜ ŞÜMÜ Eğer (5) ) daki x(t), Ts örnekleme periyoduyla örneklenirse, x(nts)=x(n) olur ve x(n) artık ayrık bir değiş ğişken olduğundan ğundan undan integral de toplam ifadesine dönü dönüşür:

4 Ω burada değişken dönüşümü yapılıp Ω ve yerine konulursa 7 ve Ω 8 elde edilir. Burada 2π/ (radyan/örnek) ayrık açısal frekanstır. Örnekleme işleminden sonra frekans spektrumu periyodik hale gelir. (ayrıntılı bilgi için örnekleme teoremine bakınız). Ancak burada integral sınırlarının ± olması pratik değildir. Hemen her zaman ayrık işaretler sınırlıdır. Bunun nedenleri şöyle sıralanabilir: 1. Eğer örneklenecek işaretler periydikse, sadece bir periyot boyunca örnekleme yeterlidir ve bir periyottan N adet örnek alınır. (Bu durumda, Fourier serileri katsayıları kullanılır.) 2. Eğer işaret periyodik değilse, işaretten N adet örnek alınır. Sonsuz örnek almak mümkün değildir, çünkü sonsuz örnek demek sonsuz depolama alanı ve sonsuz işlem karmaşıklığı demektir. Kısacası örnekleri depolamak için sonlu depolama alanı (harddisk, flash hafıza, RAM, vs) bulunduğundan ve alınan örneklerin ayrık Fourier dönüşümünü hesaplamak için sınırlı sayıda eleman (çarpıcı, toplayıcı) kullanılması gerektiğinden, örnekleme sonucu elde her zaman sonlu sayıda örnek bulunmaktadır. Yukarıda sayılan nedenlerden ötürü (8) de verilen ayrık Fourier dönüşümü,,0,1,2,,1 9 olarak elde edilir. Ayrık Fourier dönüşümü, sınırlı sayıda örneği dönüştürdüğünden dolayı, ayrık Fourier dönüşümü periyodiktir ve periyodu 2 olmaktadır. Ters ayrık Fourier dönüşümü ise,,0,1,2,,1 10

5 şeklinde tanımlıdır. 2. Bu deneyin ikinci bölümü olarak aşağıdaki programı çalıştırarak x[n] in ayrık Fourier spektrumunu elde edin. N=50; n=[0:n-1]; m=[0:n-1]; x=[zeros(1,28), ones(1,12), zeros(1,n-40)]; X=x*exp(-j*2*pi*m'*n/N); % x işaretinin DFT değeri Aşağıdaki komutları da çalıştırarak işaretin genlik ve faz spektrumlarını elde edin. subplot(2,1,1), subplot(2,1,2), plot(abs(x)) plot(angle(x)) DFT formülünde indeksler [0, N-1] aralığındadır. Bu aralık frekans ekseninde [0, 2π] aralığına denk gelir. 3. Genlik spektrumunu düzgün görüntülemek için plot(abs(fftshift(x))); komutunu kullanarak yukarıdaki kodu yeniden çalıştırınız. Bu komut, işaretin genlik spektrumunu nasıl değiştirmektedir? 4. Faz spektrumu hesaplanırken kullanılan angle komutu atan2 komutunu kullanmaktadır. Bu komut arctg işleminin sonucunu her zaman [0, 2π] aralığında hesapladığından faz spektrumunda süreksizlikler oluşmaktadır. Bu süreksizlikleri gidermek için faz spektrumunu plot(unwrap(angle(x))); ile yeniden çizdirin. DFT yi yukarıdaki gibi hesaplamak işlemsel açıdan son derece karışıktır. N uzunluklu DFT için N 2 karmaşık işlem yapmak gerekir. Bir karmaşık çarpımın 4 gerçel çarpım ve 2 gerçel toplamadan oluştuğu düşünülürse işlem boyutu anlaşılabilir. Fourier dönüşümü almak için işlemsel karmaşıklığı daha az olan yöntemler vardır. MATLAB de fft() fonksiyonu hızlandırılmış fourier dönüşümünü hesaplamak için kullanılır., 5. 2 numaralı örnekteki x[n] in frekans ve faz spektrumlarını fft() fonksiyonu ile hesaplayın. DFT nin özellikleri: 6. Doğrusallık: İki işaretin toplamlarının Fourier dönüşümü Fourier dönüşümlerinin toplamlarına eşittir. Aşağıdaki kodu çalıştırarak Array Editor yardımı ile X1+X2 değerinin X3 değerine eşit olup olmadığını gözlemleyin.

6 x1=[ ]; x2=[ ]; X1= fft(x1); X2=fft(x2); X3=fft(x1+x2); 7. Sıfır ekleme: Eğer x(n) in sonuna K adet sıfır eklenirse DFT çözünürlüğü artar. y[n]=[x 0{ L0] olsun. K adet y(n) in son K adet elemanı 0 olduğundan, 0,1,,1 olur. Böylece Y[k], aslında X[k] nın frekansta çözünürlüğü artmış hali olmaktadır. Bunu, aşağıdaki kodu çalıştırarak görünüz: N1=32; N2=128; x=[ones(1,n1/2),-ones(1,n1/2)]; X=fft(x,N1); Y=fft(x,N2); subplot(2,1,1); stem (abs((x))); subplot(2,1,2); stem(abs(y)); X ve Y nin genliklerini karşılaştırarak yorumlayınız. 8. Doğrusal faz kaydırma: x[n] işaretinin K kadar ötelenmişinin Fourier dönüşümü, öüşüü

7 şeklindedir. Bunu şu şekilde gösterebiliriz: y[n] = x[n-m] olsun, değişken dönüşümü yaparak n = n-m yukarıdaki denklemde yerine konulursa Doğrusal faz kaydırma işlemini gözlemlemek için aşağıdaki kodu çalıştırıp yorumlayınız: x=[cos(2*pi*[0:0.05:1]), zeros(1,44)]; X=fft( x); y=[zeros(1,14),cos(2*pi*[0:0.05:1]),zeros(1,30)]; Y=fft(y); subplot(4,1,1); plot(abs(x)); subplot(4,1,2); plot(abs(y)); subplot(4,1,3); plot(angle(x)); %plot(unwrap(angle(x))); subplot(4,1,4); plot(angle(y)); %plot(unwrap(angle(y))); sürekli işaretini t=[0, 0.07]s aralığında, T S =0.1 ms örnekleme periyoduyla örnekleyerek x[n] i elde ediniz. Subplot ile alt alta 2 çizim oluşturup üst çizimde x[n] i, alt çizimde X[k] işaretini gösterin ve alt çizimi kullanarak x[n] in maksimum frekansını bulun.