Dr. Uğur HASIRCI. Blok Diyagramlar Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı

Transkript

1 EET305 MM306 OTOMATİK SİSTEM DİNAMİĞİ KONTROL I Blok Diyagramlar Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı 1

2 Birçok kontrol sistemi, aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi çeşitli altsistem ler içerir. Dolayısıyla tüm sistemin blok diyagramı, her bir alt sistemi temsil eden blokların kompozisyonundan oluşur. Karmaşık sistemlerde, sistemi temsil eden blok diyagram da karmaşıklaşır ve sistem genel transfer fonksiyonunu elde etmek için bir takım manipülasyon ve işlemlere ihtiyaç duyulur. Bugün ağırlıklı olarak bu karmaşık blok diyagramların sadeleştirilmesi konusundan bahsedeceğiz. Bunun için önce blok diyagramların temellerinden başlayalım.

3 Her bir altsistem bir blok ile temsil edilir ve bu bloğun bir girişi, bir çıkışı ve bir de transfer fonksiyonu vardır. Çok sayıda altsistem birbirine bağlandığında, genel sistemin blok diyagramına birkaç yeni bileşen eklenir: Bu yeni bileşenler toplama noktları ve dağılma noktaları dır. 3

4 Şimdi blok diyagramlardaki temel bazı topolojilere bakalım: Kaskat Form: 4

5 Paralel Form: 5

6 Geribesleme Formu: Sistem mühendisliğine temel teşkil eden formdur. İlk derste açık çevrim ve kapalı çevrim kavramlarını tanıtmıştık. Dersin geri kalanının önemli bir kısmında bu geribeslemeli sistemlerin analizini ve tasarımını yapacağız. Tipik bir geribeslemeli sistem, aşağıda Şekil a da görülmektedir. Bu sistemin basitleştirilmiş ve yaygın olarak kullanılan hali ise Şekil b de görülmektedir. Şimdi Şekil b deki basitleştirilmiş blok diyagrama odaklanıp, geri beslemeli sistemin transfer fonksiyonunu türetelim. 6

7 Bu sistemin girişi ile çıkışı arasındaki transfer fonksiyonunu türetelim. Hata denklemini yazmakla başlayalım: E( s) R( s) C( s) H( s) Burada C( s) E( s) G( s) olduğundan, E( s) C( s) / G( s) ifadesi ilk denklemde yerine yazılıp, bu ilk denklem, kapalı çevrim transfer fonksiyonunu elde etmek amacıyla C( s) / R( s) için çözülürse, bundan sonra sıkça karşılaşacağımız ve kapalı çevrim sistemlerin transfer fonksiyonunu ifade eden aşağıdaki denklem elde edilir: G () s e C( s) G( s) R( s) 1 G( s) H( s) 7

8 G () s e C( s) G( s) R( s) 1 G( s) H( s) Elde edilen bu kapalı çevrim transfer fonksiyonu ifadesine dayalı olarak, indirgenmiş blok diyagram yukarıda Şekil c de görülmektedir.!!! Formüldeki işaret değişimine dikkat ediniz!!! Yani eğer negatif geribesleme yapılırsa paydadaki işaretin +, eğer pozitif geribesleme yapılırsa paydadaki işaretin olduğuna dikkat ediniz. 8

9 Gerekli olduğu durumlarda, takip eden birkaç slaytta görüldüğü gibi, kimi zaman sistemin analizini basitleştirmek kimi zaman da daha aşina olunan formlar oluşturmak üzere blok diyagramlar manipüle edilebilirler. Ancak blokların manipüle edilmesi genellikle ilkel bir yöntem olarak addedilir ve bunun yerine kapalı çevrim sistemin blok diyagramını hesaplamak için ileride göreceğimiz işaret akış diyagramları kullanılır. Şimdi blokların manipüle edilmesi ve indirgenmesi üzerine birkaç örnek verelim: 9

10 10

11 11

12 1

13 EET305 MM306 OTOMATİK SİSTEM DİNAMİĞİ KONTROL I Blok Diyagramlar Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı 13

14 Az önce kapalı çevrim sistemlerin kapalı çevrim transfer fonksiyonu nu elde ettik. Elde ettiğimiz bu transfer fonksiyonu formülasyonu kullanılarak, ikinci mertebeden bir sistemin geçici durum cevabının analizi yapılabilir ve ayrıca sistemin önceden belirlenmiş bazı geçici durum spesifikasyonlarını sağlaması için kontrol kazancının değeri de tasarlanabilir. Örneğin aşağıdaki blok diyagramı düşünelim. Bu blok diyagram, bir uydu anteninin azimuth eksenindeki konum kontrolü yapan kapalı çevrim kontrol sistemine ilişkin blok diyagramdır. Buradaki K kazancı, sistemin istenen performans kriterlerini sağlaması için değeri tasarlanacak olan kontrol kazancıdır. 14

15 Transfer fonksiyonu K/[s(s+a)] olarak verilen blok; yükseltecin (K), yükün (anten), yükü süren motorun (DC motor) ve dişlinin modelini içerir. Bu sistemin kapalı çevrim blok diyagramını bulalım: G() s K T( s), G( s) H ( s) 1 1 G( s) H ( s) s( s a) Ts () K s as K 15

16 Ts () K s as K Dikkat edilirse burada, yükseltecin kazancı olan K değiştikçe, kapalı çevrim sistemin kutupları da değişecektir. Dolayısıyla sistemin geçici durum cevabı da değişecektir. Yani K nın değerine göre sistem aşırı sönümlü, kritik sönümlü ya da düşük sönümlü olabilir. Dolayısıyla verilen bir K değeri için sistemin geçici durum performans spesifikasyonlarının (yükselme zamanı, yüzde aşım, yerleşme zamanı, tepe zamanı) değeri bulunabilir (analiz), ya da bunun tam tersi yani bu performans spesifikasyonlarının belirli bazı değerler almasını sağlayacak K değeri bulunabilir (tasarım). Şimdi bir analiz ve bir tasarım örneği yapalım. 16

17 Ör: Blok diyagramı aşağıdaki gibi olan sistemin tepe zamanı, yüzde aşım ve yerleşme zamanı değerlerini bulunuz. C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: Buna göre; n Ts () 5 5 rad/sn n n s 5 5s 5 4 Tp T OS e 1 n / sn, s 1.6 sn, % n 17

18 Ör: Aşağıda verilen sistemde yüzde aşımın %10 olmasını sağlayacak K değerini bulunuz. C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: n K n K 5 n rad/sn 5 K Ts () K 5 s s K %10 aşım değerine karşılık gelen sönüm oranı değeri ζ=0.591 dir. Bu değer, için yukarıda elde edilen formülde yerine konulursa, K=17.9 bulunur. Yani yükseltecin kazancı 17.9 olmalıdır. 18