ELASTİK DALGA YAYINIMI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ELASTİK DALGA YAYINIMI"

Irmak Güven
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 ELASTİK DALGA YAYINIMI 8. ders Prof.Dr. Eşref YALÇINKAYA

2 Geçiğimiz ders; Elasisie eorisi Gerilme ve bileşenleri Deformasyon ve bileşenleri Bu derse; Gerilme-deformasyon bağınıları Elasik sabiler Hareke denklemeleri ve çözümleri

3 Gerilme Deformasyon Bağınıları Elasik cisimlerde gerilme ile deformasyon arasındaki ilişki Hook Kanunu ile anımlanır. Hook kanununa göre deformasyon uygulanan gerilme ile doğru oranılıdır linear doğrusal elasisie. Yerküre doğrusal elasisie özelliği göserdiğinde sismik dalgaların oluşumunu doğurur. Doğrusal elasisie, sismik dalgaların yayılımını kapsayan kısa zaman ölçekleri için geçerlidir. Uzun zaman ölçeklerinde binlerce yıl yerküre, bir viskoz sıvı gibi akar. Sismik dalgalar için doğrusal elasisie durumu aynı zamanda çok küçük yerdeğişirmeler için geçerlidir. Örneğin, bir sismik dalga 10 mikron civarında yerdeğişirmeler oluşurabilir, bu durum yaklaşık 10-9 deformasyona karşılık gelir en daha büyük deformasyon değerleri için sress-srain arasındaki doğrusal ilişki kırılır. 3

4 Hooke Kanunu ij E ij, i, j, y, z ij c ijkl kl Buna göre, elasik cismin içinde herhangi bir nokada gerilmenin bağımsız alı bileşeninden herbiri sreynin alı bileşeninin bir fonksiyonudur. 4

5 c11 c1 c13 c14 yz c15 z c16 c1 c c3 c4 yz c5 z c6 c31 c3 c33 c34 yz c35 z c36 c c c yz yz 45 z 46 z c51 c5 c53 c54 yz c55 z c56 y c61 c6 c63 c64 yz c65 z c66 C mn kasayılarına malzemenin elasik sabileri denir. İzorop, yani elasik davranışı isikamee bağlı olmayan bir elasik cisim için bağımsız elasik sabilerin sayısı 36 dan ye iner ; λ,. Lame sabileri olarak adlandırılan bu iki bağımsız elasik sabi kullanılarak gerilme-deformasyon ilişkileri ekrar yazılırsa; c c c y y y y y y 5

6 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ yz yz z z y y Yukarıda verilen ilişkiler biraz sonra sismik dalgaları anımlarken kullanılacakır. Aynı zamanda, sismik dalga hızlarının elasik sabilere bağlı olduğunu göreceğiz. İzorop bir oram içinde sismik dalga hızları yayıldıkları yöne bağımlı değildir. 6

7 Elasik Sabiler ; rijidie kaılık veya kayma modülü ; elasik izorop bir cismin kayma gerilmesine ör. y karşı direnci olarak anımlanabilir. y y F l / / A L Δl Yüksek değerine sahip bir cisim uygulanan kayma gerilmesine çok küçük bir kayma deformasyonu ile karşılık verir. Sıfır rijidie değeri kayma gerilmelerinin oluşmadığı sıvı oramlara karşılık gelir. Yerkabuğu için rijidie değeri yaklaşık ; 30 GPa dir. Çelik için; 80 GPa, Lasik için; GPa dır. 7

8 Diğer bir elasik sabi sıkışmazlık veya bulk modülü - k dür. k P V / V λ 3 Bir cismin hacim değişikliğine karşı direnci olarak anımlanabilir. Uygulanan bir basınç alında büyük k değeri daha küçük bir hacim değişikliğine işare eder. Sıvı içinde kλ dir. Çelik için bulk modülü; 160 GPa, cam için; 40 GPa, su için;. GPa, hava için; GPa dır. 8

9 Poisson oranı v bir cisim üzerinde enine daralmanın boyuna uzamaya oranı olarak anımlanır. v d l / / D L λ λ D L Poisson oranı arasında değişir ve sıvılar için 0.5 ir. Çelik için; 0.30, alın için; 0.4, cam için; 0., manar için ~0.0 dır. 9

10 Young modülü E bir cisim üzerinde boyuna gerilmenin boyuna deformasyona oranı olarak anımlanır. E F / A l / L 3λ λ Kabuk için Young modülü 75 GPa iken, lasik için 0.5 GPa, çelik için; 00 GPa, cam için 70 GPa dır. 10

11 Elasik sabiler E, v ve k basi deneylerle kolayca ölçülebilmeleri nedeniyle mühendislike sık kullanılan sabilerdir. Sismik dalga yayılımı için ise λ ve, bazen de k daha yaygındır. Çoğu sismolojik problem λ kabul edilerek basileşirilir. Böyle bir cisim Poisson kaısı olarak bilinir ve yerküre için uygun bir yaklaşımdır. Bu durumda Poisson oranı 0.5 değerine, Young modülü E 5/, bulk modülü k 5/3 e eşi olur. Kayaçlar için; E, k, λ ve değerleri genellikle 0-10 GPa arasındadır. 1 Pa 1 N/m 1 GPa 10 9 Pa 1 bar 10 6 dyne/cm 1 Gpa 10 4 bar 10 kbar 11

12 1

13 3 Boyulu Dalga Denklemleri Hareke Denklemleri u, 1 ν ν τ / 1 / u, u, f ± v Bir Boyulu Dalga denklemi ve çözümü 13

14 z dz dy d Hacim elemanı üzerinde ne kuvve: F F A [ d ]dydz y d u m [ d ]dydz u ddydz [ d ]dydz u ddydz [ d ]dydz u 14

15 u u λ λ u u λ 1 u v u λ v, v f u ± Bir Boyulu Dalga denklemi ve çözümü 15

16 dy y y y d y z y dz dy d dydz dydz d u ddydz F ma ddz ddz dy y y y y ddy ddy dz z z z z z y u z y z y v yz y z y w zy z Üç Boyulu Dalga denklemleri 16

17 Bu denklemeler gerilme-deformasyon ve deformasyonyerdeğişirme ilişkileri kullanılarak yerdeğişirmelere göre yazılabilir : u u λ v y v λ w z w λ Üç Boyulu Dalga denklemleri yerdeğişirmelere göre z y Laplace operaörü z w y v u Dilaasyon 17

18 Bu denklemeler, izorop, am elasik bir kaı içinde üç boyulu hareke denklemlerini emsil ederler. Bu denklemeler oram içerisinde iki ür dalga yayılımını belirlerler. Bunlar gerekli işlemlerden sonra ; λ Bu denklem dilaasyonunun λ/ 1/ hızı ile oram içerisinde yayıldığını göserir ki bu P dalgası yayılma hızıdır. ; kayma ve roasyonun dönme olmadığı hacimsel bir deformasyonu anımlar. θ θ Bu denklem oram içerisinde ekseni boyunca θ roasyonunun / 1/ hızı ile yayıldığını göserir ki bu S dalgası yayılma hızıdır. Tanecik harekei dalga yayılım yönüne dik bir düzlem içinde sınırlıdır. θ deformasyonunu haırlayınız. 18

19 İki farklı dalga ürünün yayılması düzlem dalga hali gözönüne alınarak basiçe göserilebilir. Dalganın yönünde yayıldığını düşünürsek u, v, ve w yerdeğişirmeleri ; u u λ v v w w Görüldüğü gibi yayılma doğrulusundaki yerdeğişirme V P hızı ile, buna dik yöndeki yerdeğişirmeler ise V S hızı ile yayılırlar. Sıvı içinde 0 ve λ k olduğu için sadece dilaasyon dalgası P dalgası V P k/ 1/ hızı ile yayılır. 19

20 Z S P X Y 0

21 , 1, φ α φ 1/ 1/ 3 4 λ α k, 1, ψ β ψ 1/ β Skaler dalga denklemi; Vekörel dalga denklemi; P dalgası S dalgası 1

22 Üç boyulu dalga denkleminin çözümü Üç boyulu bir oramda düzlemsel yayılan dalga durumunda denklem çözümü : u, f1 c f c Üç boyulu bir oramda bir O merkezinden küresel yayılan dalga durumunda küresel koordinalarda denklem çözümü : 1 1 u r, f1 r c f r c r r Küresel yayılan dalgalarda görüldüğü gibi dalga genliği r -1 ile oranılı olarak azalır.

23 Bir eksene göre simerik yayılan, yani silindirik olarak yayılan dalga durumunda çözüm : 1 1 u r, f1 r c f r c 1 / 1 / r r Silindirik dalga için dalga cephesi r ile oranılı genişlerken dalga genliği r -1/ ile oranılı olarak azalır. 3

Benzer belgeler

Elastisite Teorisi. Elçin GÖK. 5. Hafta. Stress-Strain. Gerilme Deformasyon Gerilme Gerinim Gerilme Yamulma. olarak yorumlanır.

Elastisite Teorisi. Elçin GÖK. 5. Hafta. Stress-Strain. Gerilme Deformasyon Gerilme Gerinim Gerilme Yamulma. olarak yorumlanır. Elastisite Teorisi Elçin GÖK 5. Hafta Stress-Strain Gerilme Deformasyon Gerilme Gerinim Gerilme Yamulma olarak yorumlanır. Stress -Gerilme Gerilme; birim alana düşen kuvvettir: Gerilme = kuvvet / alan