ELASTİSİTE TEORİSİ (Stress-Strain) Gerilme-Deformasyon İlişkisi

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ELASTİSİTE TEORİSİ (Stress-Strain) Gerilme-Deformasyon İlişkisi"

Aylin Tuncel
9 yıl önce
İzleme sayısı:

1 ELASTİSİTE TEORİSİ Sress-Srain Gerilme-Deformason İlişkisi Doç.Dr. Eşref YALÇINKAYA 3. Ders Sress - Gerilme Gerilme; birim alana düşen keir: Gerilme = ke / alan brada F / A ke = küle ime Gerilme birimi : [kgm/s ]/m = N/m = Pa pascal bar = 5 Pa= 6 dne/cm E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA

2 Sress - Gerilme Gerilmee bir örnek basınçır. Yerküre içinde hangi derinlike basınç en büükür? 4 km de.6 GPa, 9 km de ~35 GPa, er içinin merkeinde ~ 35 GPa Derin okans araşırma araçları niçin küçükür? E.YALÇINKAYA 3 Sress - Gerilme Bir cisim gerilme alında kaldığında, bna farklı şekillerde ceap erir : Deforme olr şekli ea hacmi değişir B çoğ ke elasik deformasondr e gerilme kalkığında cisim ilk haline döner. Plasik deformasonda, cisim orijinal haline döneme. Akar B isko daranış biçimidir. Gerilme kalkığında cisim ilk haline döneme. Dkil dcile daranış olarak a bilinir. Kırılır B kırılgan daranış şeklidir e sadece kaı cisimlerde olşr. Gerilme kalkığında cisim ilk haline döneme. E.YALÇINKAYA 4 E.YALÇINKAYA

3 Srain - Deformason Deformason ; glanan bir gerilme karşılığında cisim içinde medana gelen şekil ea hacim değişikliğidir. Deformason, birimsi e bosdr. E.YALÇINKAYA 5 Srain - Deformason Örnek : 5 cm nlğndaki bir lasiği çekerek nlğn 6 cm apabilirsini. B drmda deformason: Deformason = cm / 5 cm =. ea % Deformasonn birimi okr. E.YALÇINKAYA 6 E.YALÇINKAYA 3

4 Srain - Deformason Baı maeraller küçük gerilmelerde çok büük deformasonlara ğrarken, baıları ise büük gerilmelerde çok küçük deformasonlar göserirler B nedenle gerilme e deformason arasındaki ilişki maeralin öelliğile örneğin oğnlk ilgilidir B sress-srain ilişkisi, maeralin rheolog olarak anımlanır. E.YALÇINKAYA 7 Elasik Enerji Elasik bir cisim deforme oldğnda, kendisini deforme eden enerjii içinde depolar. Bir fırsa erildiğinde depoladığı enerjii serbes bırakabilir. Depremler, falar erafındaki kaalar içinde depolanan büük deformason enerjilerinin açığa çıkması sonc olşr. E.YALÇINKAYA 8 E.YALÇINKAYA 4

5 Elasik cisim Bir kein ekisi alında deformasona ğraan e ke kaldırıldıkan sonra eski drmna dönen cisme elasik cisim, böle bir deformasona da elasik deformason denir. Lineer elasisie eorisinde deformason gerilmenin deamı süresine bağlı değildir e gerilme ile deformason arasında doğrsal bir bağını ardır : Gerilme E Hooke Kann Deformason Elasik Paramere Yong modülü E.YALÇINKAYA 9 Gerilme e Bileşenleri Bir hacim elemanı üeleri üerinde gerilme dok bileşeni ile anımlanır : E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 5

6 Denge drmnda, ne momen sıfırdır ; B sebeple, daha önce anımladığımı 9 gerilme bileşeninden sadece alısı birbirinden bağımsıdır. E.YALÇINKAYA Yüee dik olan bileşenler :Normal gerilmeler,, Yüee paralel olan bileşenler :Kama gerilmeleri,,,,, E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 6

7 Normal gerilmeler poiif ise; Çekme ension gerilmeleri Normal gerilmeler negaif ise; Basınç compression gerilmeleri E.YALÇINKAYA 3 İoropik gerilme Gerilmeler negaif ise; hidrosaik basınç hacimsel daralma Gerilmeler poiif ise; hacimsel genleşme Anioropik gerilme Şekil değişimi E.YALÇINKAYA 4 E.YALÇINKAYA 7

8 Deformason Srain e Bileşenleri Deformason ; glanan bir gerilme karşılığında cisim içinde medana gelen şekil ea hacim değişikliğidir. E.YALÇINKAYA 5 O O + L M + L M O nokasında sabilenmiş bir elasik ip önünde gerilirse L nokası kadar er değişirip L nokasına; M nokası ise + kadar er değişirip M nokasına gelir. önündeki deformason ; = LM nlğndaki değişim orijinal LM nlğ L M LM LM drmnda ; E.YALÇINKAYA 6 E.YALÇINKAYA 8

9 drmnda ; E.YALÇINKAYA 7 Kama shear deformason; an çok küçük açıçılar an çok küçük açıçılar bolar drmnda ; E.YALÇINKAYA 8 E.YALÇINKAYA 9

10 E.YALÇINKAYA 9 Dönme deformasonları ; B A B C D C D E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA

11 E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA Bölece, bir noka için,,,,,,,, gibi dok büüklük bilinirse komş nokaların rölaif erdeğişirmeleri hesaplanabilir. Srain kasaıları aşağıdaki gibi anımlaalım : E.YALÇINKAYA

12 Tek eksenli genleşme 3 Tek eksenli sıkışma 3 E.YALÇINKAYA 3 Basi kama Pre kama E.YALÇINKAYA 4 E.YALÇINKAYA

13 Dönme E.YALÇINKAYA 5 B denklemler üç ür deformasona işare ederler ;. Hacimsel değişim, genleşme ea daralma,,. Şekil değişimi,,,,, 3. Dönme,, E.YALÇINKAYA 6 E.YALÇINKAYA 3

14 Dilaason Dilaason; birim hacime ekabül eden hacim armasıdır; lim V V V E.YALÇINKAYA 7 STRESS STRAIN E Hooke Kann Oranı sabii E.YALÇINKAYA 8 E.YALÇINKAYA 4

15 Gerilme Deformason Bağınıları Elasik cisimlerde gerilme ile deformason arasındaki ilişki Hook Kann ile anımlanır. Hook kannna göre deformason glanan gerilme ile doğr oranılıdır ; ij E ij, i, j,, Bna göre, elasik cismin içinde herhangi bir nokada gerilmenin bağımsı alı bileşeninden herbiri srain nin alı bileşeninin bir fonksiondr ; E.YALÇINKAYA 9 c c c3 c4 c5 c6 c c c3 c4 c5 c6 c3 c3 c33 c34 c35 c36 c4 c4 c43 c44 c45 c46 c5 c5 c53 c54 c55 c56 c6 c6 c63 c64 c65 c66 C mn kasaılarına malemenin elasik sabileri denir. İorop, ani elasik daranışı isikamee bağlı olmaan bir elasik cisim için bağımsı elasik sabilerin saısı ikie iner ;,. Lame sabileri olarak adlandırılan b iki bağımsı elasik sabi kllanılarak gerilme-deformason ilişkileri ekrar E.YALÇINKAYA 3 aılırsa; E.YALÇINKAYA 5

16 Ykarıda erilen ilişkiler ileride sismik dalgaları anımlarken kllanılacakır. Anı amanda, sismik dalga hılarının elasik sabilere bağlı oldğn göreceği. İorop bir oram içinde sismik dalga hıları aıldıkları öne bağımlı değildir. E.YALÇINKAYA 3 ; rijidie kaılık ea kama modülü ; elasik iorop bir cismin kama gerilmesine ör. karşı direnci olarak anımlanabilir. Yüksek değerine sahip bir cisim glanan kama gerilmesine çok küçük bir kama deformason ile karşılık erir. Sıfır rijidie değeri kama gerilmelerinin olşmadığı sıı oramlara karşılık gelir. Yerkabğ için rijidie değeri aklaşık ; 3 dne/cm dir. Çelik için ise ; 8 dne/cm dir. E.YALÇINKAYA 3 E.YALÇINKAYA 6

17 Diğer bir elasik sabi sıkışmalık ea blk modülü - k dür. P k 3 Bir cismin hacim değişikliğine karşı direnci olarak anımlanabilir. Uglanan bir basınç alında büük k değeri daha küçük bir hacim değişikliğine işare eder. Sıı içinde k= dir. K G Demir.7 Pa.8 Bakır.33.5 Silikon.98.7 Kars.3.47 B.73.5 E.YALÇINKAYA 33 Poisson oranı bir cisim üerinde enine daralmanın bona amaa oranı olarak anımlanır. ile.5 arasında değişir. Hiç sıkışmaan e am sıkışan sırasıla. Sünger çok küçük bir poisson oranına sahip iken meal bir silindir üksek poisson oranına sahipir. Düşük poisson oranı anı amanda malemenin üksek oranda poansiel enerji depolaabildiğinin gösergesidir. Baal=.5, Kireçaşı=.3 Cam=.4, Sünger=... E.YALÇINKAYA 34 E.YALÇINKAYA 7

18 Yong modülü E bir cisim üerinde bona gerilmenin bona deformasona oranı olarak anımlanır. Kabk kaaları için E pascal. 3 E Elasik sabiler E, e k basi denelerle kolaca ölçülebilmeleri nedenile mühendislike sık kllanılan sabilerdir. Sismik dalga aılımı için ise e, baen de k daha agındır. Çoğ sismolojik problem = kabl edilerek basileşirilir. Böle bir cisim Poisson kaısı olarak bilinir e erküre için gn bir aklaşımdır. B drmda Poisson oranı.5 değerine, Yong modülü E = 5/, blk modülü k = 5/3 e eşi olr. E.YALÇINKAYA 35 L+ L E L F / A L / L b b- b b / b L / L V F P k P V / V V- V F F / A E.YALÇINKAYA 36 E.YALÇINKAYA 8

19 Sress e srain e göre elasik daranış; E Uama deformason Shear Sress e göre elasik daranış; S G Kama deformason Hacim değişimindeki oranı sabii ise; K V V V / Hacimsel deformason E.YALÇINKAYA 37 3 Bol Dalga Denklemleri,, / / Bir Bol Dalga denklemi e çöümü, f E.YALÇINKAYA 38 E.YALÇINKAYA 9

20 ma F ddd d dd dd d d d d Üç Bol Dalga denklemleri d d dd dd E.YALÇINKAYA 39 d dd dd B denklemeler gerilme-deformason e deformasonerdeğişirme ilişkileri kllanılarak erdeğişirmelere göre aılabilir : Üç Bol Dalga denklemleri erdeğişirmelere göre Laplace operaörü E.YALÇINKAYA 4 Dilaason E.YALÇINKAYA

B denklemeler, iorop, am elasik bir kaı içinde üç bol hareke denklemlerini emsil ederler. B denklemeler oram içerisinde iki ür dalga aılımını belirlerler.

21 B denklemeler, iorop, am elasik bir kaı içinde üç bol hareke denklemlerini emsil ederler. B denklemeler oram içerisinde iki ür dalga aılımını belirlerler. Bnlar gerekli işlemlerden sonra ; B denklem dilaasonnn + / / hıı ile oram içerisinde aıldığını göserir ki b P dalgası aılma hııdır. ; kama e roasonn dönme olmadığı hacimsel bir deformason anımlar. B denklem oram içerisinde ekseni bonca roasonnn / / hıı ile aıldığını göserir ki b S dalgası aılma hııdır. Tanecik harekei dalga aılım önüne dik bir dülem içinde sınırlıdır. deformasonn haırlaını. E.YALÇINKAYA 4 E.YALÇINKAYA 4 E.YALÇINKAYA

22 İki farklı dalga ürünün aılması dülem dalga hali göönüne alınarak basiçe göserilebilir. Dalganın önünde aıldığını düşünürsek,, e erdeğişirmeleri ; Görüldüğü gibi aılma doğrlsndaki erdeğişirme V P hıı ile, bna dik öndeki erdeğişirmeler ise V S hıı ile aılırlar. E.YALÇINKAYA 43 Z S / P dalgası P X Y / S dalgası Sıı içinde = e k = oldğ için sadece dilaason dalgası P dalgası V P = k/ / hıı ile aılır. E.YALÇINKAYA 44 E.YALÇINKAYA

23 Üç bol dalga denkleminin çöümü Üç bol bir oramda dülemsel aılan dalga drmnda denklem çöümü :, f c f c Üç bol bir oramda bir O merkeinden küresel aılan dalga drmnda küresel koordinalarda denklem çöümü : r, f r c f r c r r Küresel aılan dalgalarda görüldüğü gibi dalga genliği r - ile oranılı olarak aalır. E.YALÇINKAYA 45 Bir eksene göre simerik aılan, ani silindirik olarak aılan dalga drmnda çöüm : r, f r c f r c / / r r Silindirik dalga için dalga cephesi r ile oranılı genişlerken dalga genliği r -/ ile oranılı olarak aalır. E.YALÇINKAYA 46 E.YALÇINKAYA 3

Benzer belgeler

ELASTİK DALGA YAYINIMI

ELASTİK DALGA YAYINIMI 8. ders - 016 Prof.Dr. Eşref YALÇINKAYA Geçiğimiz ders; Elasisie eorisi Gerilme ve bileşenleri Deformasyon ve bileşenleri Bu derse; Gerilme-deformasyon bağınıları Elasik sabiler