Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun bir model geliştirilebilir: Eğitimli bir tahminle bilinen dağılımlardan birini seçiniz Dağılımın parametrelerini belirleyiniz Uygunluğunu test ediniz 1
Kuyruk Sistemleri Bir kuyruk sisteminde varışlar arası süreler ve servis sürelerinin düzeni olasıksal olabilir. Varışlar arası süreler ve servis sürelerinin dağılımı için örnek istatiksel modeller: Üssel Dağılım: Servis süreleri tümü ile rasgele ise Normal Dağılım: Oldukça sabit ancak bir miktar değişim söz konusu ise (pozitif veya negatif yönde) Kesik Normal Dağılım: Normal dağılım gibidir ancak değerler sınırlanmıştır. Gamma ve Weibull Dağılımı: Üssel dağılıma göre daha geneldir (pdf deki tepe değerlerin yeri ve kuyrukların şekli bakımından). Stok ve Tedarik Zinciri Gerçekçi stok ve tedarik zinciri sistemlerinde en az üç rasgele değişken vardır: Belli bir zaman diliminde sipariş başına talep edilen adetler Talepler arası süre Sipariş ile teslimat arasında geçen süre (lead time) Lead time dağılımı için örnek istatiksel model: Gamma Talep dağılımı için örnek istatiksel modeller: Poisson: basit ve büyük ölçüde tablolaştırılmış. Negatif binom dağılımı: Poisson a göre daha uzun kuyruğa sahip (daha büyük talepler). Geometrik: Negatif binom dağılımının özel bir durumu (en az bir talebin oluştuğu verilmişse). 2
Ayrık Dağılımlar Ayrık rasgele değişkenler, sadece integer değerlerin oluştuğu rasgele olayları tanımlamak için kullanılır: Bernoulli denemeleri ve Bernoulli dağılımı Binom dağılımı Geometrik ve negatif binom dağılımı Poisson dağılımı Bernoulli Denemeleri ve Bernoulli Dağılımı Bernoulli Denemeleri: Sonucu başarı veya başarısızlık olan n denemenin yapışdığı bir deney gözönüne alalım: X j = 1, eğer j. denemenin sonucu başarı ise X j = 0, eğer j. denemenin sonucu başarısızlık ise Bernoulli dağılımı (bir deneme): p, x j = 1, j = 1,2,..., n p j ( x j) = p( x j ) = 1 p = q, x j = 0,j = 1, 2,...,n E(X j ) = p ve V(X j ) = p(1-p) = pq Bernoulli süreci: Denemeler bağımsızken n Bernoulli denemesi için: p(x 1,x 2,, x n ) = p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) p n (x n ) 3
Binom Dağılımı n Bernoulli denemesindeki başarıların sayısı, X, binom dağılımına sahiptir. Gerekli sayıda başarı ve başarısızlığa sahip sonuçların sayısı n p( x) = x p x q n x, x = 0,1,2,..., n x adet başarı ve (n-x) adet başarısızlık olma olasılığı Ortalama değeri, E(x) = p + p + + p = n*p Varyansı, V(X) = pq + pq + + pq = n*pq Geometrik & Negatif Binom Dağılımı Geometrik dağılım İlk başarılı sonuç elde edilene kadarki Bernoulli denemelerinin sayısı, X E(x) = 1/p, ve V(X) = q/p 2 x 1 q p, x = 0,1,2,..., n p( x) = Negatif binom dağılımı k. başarı elde edilene kadarki Bernoulli denemelerinin sayısı, Y,p ve k parametreleri ile negatif binom dağılımına sahiptir: y 1 q p( y) = k 1 E(Y) = k/p, ve V(X) = kq/p 2 y k p k, y = k, k + 1, k + 2,... 4
Poisson Dağılımı Poisson dağılımının, α > 0 için, olasılık yoğunluk (pdf) ve kümilatif yoğunlık (cdf) fonksiyonları: α e p( x) = x! 0, x α E(X) = α = V(X), x = 0,1,... F( x) = x e α i= 0 i! i α Poisson Dağılımı Örnek: Bilgisayar tamir elemanı her servis ihtiyacında bir çağrı almaktadır. Saatteki çağrı sayısının yaklaşık Poisson (saatte α = 2) olduğu verilmişse: Önümüzdeki saat içinde elemenın 3 çağrı alma olasılığı: p(3) = e -2 2 3 /3! = 0.18 veya, p(3) = F(3) F(2) = 0.857-0.677=0.18 1-saatlik periyotta 2 veya daha fazla çağrı alma olasılığı: p(2 veya üstü) = 1 p(0) p(1) = 1 F(1) = 0.594 5
Sürekli Dağılımlar Değişkenin belli bir aralıkta herhangibir değer alabildiği rastsal olayları tanımlamak için sürekli rasgele değişkenler kullanılabilir: Uniform Üssel (Exponential) Normal Weibull Lognormal Uniform Dağılım Olasılık yoğunluk ve kümilatif yoğunluk fonksiyonları aşağıdaki olan bir X rasgele değişkeninin (a,b) aralığında uniform dağılıma sahip olduğu, U(a,b), söylenir: 0, x a 1, a x b x a f ( x) = b a F( x) =, a x b 0, Özellikleri b a 1, x b P(x 1 < X < x 2 ) [F(x 2 ) F(x 1 ) = (x 2 -x 1 )/(b-a)] aralığın uzunluğu ile orantılı E(X) = (a+b)/2 V(X) = (b-a) 2 /12 U(0,1) raslantı değişkenlerinin (variates) üretilebileceği rasgele sayıları ürtme olanağı sağlar. 6
Üssel Dağılım Olasılık yoğunluk ve kümilatif yoğunluk fonksiyonları aşağıdaki olan bir X rasgele değişkeninin λ > 0 parametresi ile üssel dağılıma sahip olduğu söylenir: λe f ( x) = λx, x 0 = 0, F( x) = x λe dt 1 e 0 λt λx, x 0 x 0 E(X) = 1/λ V(X) = 1/λ 2 Şekildeki farklı üssel pdf ler içn dikey ekseni kesim noktasının λ, değerini verdiği ve tüm pdf lerin kaşistiği görülebilir. Üssel Dağılım Hafızasız olma özelliği 0 veya daha büyük tüm s ve t değerleri için: P(X > s+t X > s) = P(X > t) Örnek: Bir ampulün yaklaşık üssel (λ = 1/3 saatte) olduğu verilmiş yani ortalama üç saate 1 başarısızlık sözkonusu. Ampülün ortalama ömründen daha uzun dayanma olasılığı: P(X > 3) = 1-(1-e -3/3 ) = e -1 = 0.368 Ampülün 2 ile 3 saat arasında dayanma olasılığı: P(2 <= X <= 3) = F(3) F(2) = 0.145 2.5 saat kullanılmış olduğu halde ampulün 1 saat daha dayanma olasılığı: P(X > 3.5 X > 2.5) = P(X > 1) = e -1/3 = 0.717 7
Normal Dağılım Normal dağılıma sahip bir X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu: 2 1 1 x μ f ( x) = exp, x σ 2π 2 σ Ortalama: Varyans: Gösterim: X ~ N(μ,σ 2 ) Sahip olduğu özellikler: lim f ( x) 0, ve lim f ( x) = 0. x μ σ 2 0 = x f(μ-x)=f(μ+x); pdf μ civarında simetriktir. pdf x = μ için en büyük değerini alır; ortalama ve tepe değeri eşittir. Normal Dağılım Dağılımın Değerlendirilmesi: Nümerik yöntem kullanılmalı, F(x) için kapalı formda çözümü yok μ ve σ, değerlerinden bağımsız standard normal dağılım (ortalaması 0, varyansı 1): Z ~ N(0,1) Değişken dönüşümü ile: Z = (X - μ) / σ olarak alınırsa F( x) = P = = ( X x) ( x μ )/ σ ( x μ )/ σ x μ = P Z σ 1 2 z / 2 e dz 2π φ( z) dz = Φ( x μ σ ), Φ( z) = z 1 e 2π 2 t / 2 dt 8
Normal Dağılım Örnek: Bir geminin yüklenmesi için gerekli süre, X, N(12,4) normal dağılıma sahip ise Geminin 10 saatten az sürede yüklenme olasılığı: 10 12 F( 10) = Φ = Φ( 1) = 0.1587 2 Simetri özelliğinden: Φ(1), Φ (-1) in tümleyenidir: Weibull Dağılımı Weibull dağılımına sahip bir X rasgele değişkeninin pdf i: β x ν f ( x) = α α 3 parametresi var: β 1 x ν exp α Konum parametresi: υ, ( ν ) Ölçek parametresi: β, (β > 0) Biçim parametresi. α, (> 0) Örnek: υ = 0 and α = 1: β, x ν β = 1 iken, X ~ exp(λ = 1/α) 9
Lognormal Dağılım Lognormal dağılıma sahip bir X rasgele değişkeninin pdf i: 1 exp f ( x) = 2πσx ( ln x μ) 2σ 2 2, x 0 μ=1, σ 2 =0.5,1,2. Ortalama E(X) = e μ+σ2 /2 Varyans V(X) = e 2μ+σ2 /2 ( e σ2-1) Normal Dağılım ile İlişkisi Y ~ N(μ, σ 2 ) iken, X = e Y ~ lognormal(μ, σ 2 ) μ ve σ 2 parametreleri lognormal dağılımın ortalama ve varyansı değil Poisson Dağılımı Tanım: N(t) [0,t] aralığında meydana gelen olayların sayısını temsil eden bir sayma fonksiyonudur. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa {N(t), t>=0} sayma süreci λ ortalamasına sahip bir Poisson sürecidir: Her seferinde bir varış oluşur {N(t), t>=0} durağan artımlara sahip {N(t), t>=0} bağımsız artımlara sahip Properties λt n e ( λt) P[ N( t) = n] =, t 0 ve n = 0,1,2,... için n! Ortalama ve varyansı eşit: E[N(t)] = V[N(t)] = λt Durağan artım: s ile t aralığındaki varışların sayısı da λ(t-s) ortalaması ile Poisson dağılımına sahip 10
Varışlar Arası Süre i. ve i+1. varışalar arasında geçen süre A i olmak üzere bir Possion sürecindeki varışlar arası süreleri (A 1, A 2, ) göz önüne alırsak: [0,t] aralığında varış gerçekleşmemişse ilk varış t süresi sonunda olur, böylece: P{A 1 > t} = P{N(t) = 0} = e -λt P{A 1 <= t} = 1 e -λt [exp(λ)ye ait cdf] Varışlar arası süreler, A 1, A 2,, üssel olarak dağılmıştır ve 1/λ ortalaması ile bağımsızdırlar. Arrival counts ~ Poi(λ) Durağan ve Bağımsız Interarrival time ~ Exp(1/λ) Hafızasız Ayırma ve Birleştirme Ayırma: Poisson sürecindeki her bir olayın p olasılığı ile Tip I, ve 1-p olasılığı ile Tip II olarak sınıflanabildiğini varsayarsak: N1(t) ve N2(t) λp and λ(1-p) ile Poisson süreçleri iken N(t) = N1(t) + N2(t) Birleştirme: N(t) ~ Poi(λ) İki Poisson süreci birleştirildiğinde N1(t) + N2(t) = N(t), N(t) λ 1 + λ 2 ile bir Poisson sürecidir λ λp λ(1-p) N1(t) ~ Poi[λp] N2(t) ~ Poi[λ(1-p)] N1(t) ~ Poi[λ 1 ] λ 1 λ 1 + λ 2 N(t) ~ Poi(λ 1 + λ 2 ) N2(t) ~ Poi[λ 2 ] λ 2 11
Durağan Olmayan Poisson Süreci Nonstationary Poisson Process (NSPP) Durağan artımları olmayan Poisson süreci t anındaki varış oranı λ(t), ile karakterize edilir. Bir t anına kadar olan varışların sayısının beklendik değeri, Λ(t): Λ(t) = t λ(s)ds 0 λ=1 oranına sahip durağan bir n(t) Poisson süreci ile λ(t) oranına sahip durağan olmayan bir Poisson sürecinin ilişkisi: Durağan Poisson süreci için λ = 1 ile varış zamanları t 1, t 2,, ve durağan olmayan Poisson süreci için λ(t) ile T 1, T 2,, ise: t i = Λ(T i ) T i = Λ 1 (t i ) Durağan Olmayan Poisson Süreci Örnek: Bir postaneye varışların 8 ile 12 saatleri arasında dakikada 2 oranı ile gerçekleştiğini ve daha sonra 16 ya kadar dakikada 0.5 oranı ile gerçekleştiğini varsayalım. t = 0 saat 8 e karşılık gelmek üzere, NSPP N(t) için: 2, 0 t 4 λ( t) = 0.5, 4 t 8 t anına kadar beklendik varış sayısı: 2t, 0 t 4 Λ( t) = 4 t t + = + 2ds 0.5ds 6, 4 t 8 0 4 2 11 ila 14 arasındaki varış sayısına ait olasılık dağılımı: P[N(6) N(3) = k] = P[N(Λ(6)) N(Λ(3)) = k] = P[N(9) N(6) = k] = e (9-6) (9-6) k /k! = e 3 (3) k /k! 12
Deneysel (Empirical) Dağılımlar Parametreleri veri örneğinde gözlemlenen değerlerdir. Rasgele değişkenin parametrik bir dağılıma sahip olup olmadığının tesbit edilmesinin imkansız veya gereksiz olduğu durumlarda kullanılabilir. Avantajı: Örnek içinde gözlemlenen değerler dışında bir varsayım yapmaya gerek bırakmaz. Dezavantajı: Örnek olası değerlerin alabileceği tüm değer aralığını kapsamıyor olabilir. Özet Simülasyon modelinin oluşturulmasında giriş verilerinin toplanması ve analizi (örneğin giriş verileri için bir dağılımın öngörülmesi) önemli bir iştir. Özellikle bilmeniz gerekenler: Ayrık, sürekli ve deneysel dağılımlar arasındaki fark. Poisson süreci ve özellikleri. 13