CEBİRDEN SEÇME KONULAR

CEBİRDEN SEÇME KONULAR MATRİS OYUNLARI HAZIRLAYANLAR : METEHAN ŞAHİN 080216030 SEDA SAYAR 080216062 AYSU CANSU ÇOĞALAN 080216058 ÖĞRETİM GÖREVLİSİ : PROF.DR. NEŞET AYDIN ARŞ. GRV. AYKUT OR ÇANAKKALE 2012

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ 1. Temel kavramlar 1 2. Getiri matrisi 2 3. Maxmin ve Minmax kriteri 8 4. Karma strateji 12 4.1. Optimal stratejiler ve oyunun çözümü 14 KAYNAKÇA 1

ÖNSÖZ Oyun teorisi mücadele içeren olayları matematiksel yöntemlerle inceleyen bilim dalıdır. Oyun teorisine ait ilk kitap olarak bilinen Theory of Games and Economic Behaviour isimli kitabın J. Von Neumann ve O. Morgenstern tarafından yazılıp yayımlanmasından bugüne kadar nerdeyse 60 yıl geçmiştir. Bu süre içerisinde oyun teorisi bilimin birçok farklı alanında, örneğin ekonomide, biyolojide, fizikte, mekanikte uygulama alanı bulmuş ve uygulamalı matematiğin gelişmiş dallarından biri olmuştur. Oyun teorinin yapısını oluşturan en önemli problemler şunlardır: Birinci problem, ele alınan oyunun matematiksel modelinin oluşturulması problemidir. İkinci problem, verilen oyunda iyi davranışın belirlenmesi, yani optimal stratejinin ne olduğunun tanımlanmasıdır. Üçüncü problem, optimal stratejinin var olup olmadığının araştırılmasıdır. Dördüncü problem, optimal stratejileri bulmak için analitik ve nümerik yöntemlerin geliştirilmesidir. Oyun teorisi üzerine araştırmalara en fazla yoğunlaşmış ülkeler eski Sovyetler Birliği (Şimdi Rusya Federasyonu), Amerika Birleşik Devletleri ve İsrail dir. Bu kitapçığımızda oyunda mücadele eden iki kişinin ve bu kişilerin sonlu sayıda stratejilerinin olduğunu, yani oyunun iki kişilik ve sonlu olduğunu varsayacağız. Genelde böyle oyunların matematiksel modeli, eğer oyun sıfır toplamlı ise bir matrisle, eğer oyun sıfır toplamlı değilse bir bimatrisle karakterize edilebilir. Bundan dolayı iki kişilik ve sonlu oyunlara, eğer oyun sıfır toplamlı ise matris, sıfır toplamlı değilse bimatris oyunlar denir. Kitapçığımızda, iki kişilik matris oyunları ele alınacak ve bu oyunlarda kullanılacak stratejiler bulunarak, oyunların bir matrisle karakterize edilen matematiksel modelleri oluşturulacaktır. Daha sonra iki kişilik matris oyunlarında, oyuncuların optimal stratejileri,karma stratejileri, oyunun değeri, oyunun çözümü gibi kavramlar tanımlanacak ve bunların bulunması için bazı analitik ve nümerik yöntemler verilecektir. 2

1) TEMEL KAVRAMLAR Tanım 1.1: Mücadele içeren herhangi bir olaya oyun denir. Tanım 1.2: Oyunda karar alan taraf ve gruplara oyuncu denir. Tanım 1.3: Herhangi bir oyuncunun, oyun sürecinde oluşabilecek tüm pozisyonlar için alabileceği kararlara strateji denir. Tanım 1.4: Oyunda her oyuncunun stratejisi sayısı sonlu ise, bu oyuna sonlu oyun denir. Tanım 1.5: Oyun sürecinde her oyuncu kendi stratejisini uygulayarak oyunu bitirmek zorundadır ve oyun bittiğinde, her oyuncu kendi kullandığı ve diğer oyuncularına kullandığı stratejilerin karşılığı olarak belli bir kazanç elde eder. Bu kazanç gerçel sayı olarak verilir ve bu sayıya oyuncunun getirisi denir. Tanım 1.6: Oyuncuların kullandığı keyfi stratejiler için oyuncuların getirilerinin toplamı her zaman sabit ise, bu oyuna sıfır toplamlı oyun denir. Aksi halde sıfır toplamsız oyun denir. Tanım 1.7: Oyuncunun stratejisi olasılık içermiyorsa bu stratejiye saf strateji denir. Tanım 1.8: İki kişilik sıfır toplamlı ve sonlu oyunlara matris oyunları denir. 3

2) GETİRİ MATRİSİ Tanım 2.1: İki kişilik sıfır toplamlı bir oyunda I. oyuncunun n tane (I 1, I 2, I n ), II. oyuncunun m tane (II 1, II 2,, II m ) stratejisi var ise bu tür oyunlara nxm oyun denir. Tanım 2.2: nxm lik bir oyunda I. oyuncunun getirisi g 1 ij=g 1 (I i,ii j ) II. oyuncunun getirisi g 2 ij=g 2 (I i,ii j ) olsun. Oyun sıfır toplamlı olduğundan, yani, olur. O halde, g 1 ij+ g 2 ij=0 g 1 ij= - g 2 ij g 1 11 g 1 12 g 1 1m G 1 = g 1 21 g 1 22 g 1 2m.... g 1 n1 g 1 n2 g 1 nm matrisine I. oyuncunun getiri matrisi denir. g 2 11 g 2 12 g 2 1m G 2 = g 2 21 g 2 22 g 2 2m..... g 2 n1 g 2 n2 g 2 nm matrisine II. oyuncunun getiri matrisi denir. 4

Oyun sıfır toplamlı olduğundan G 1 =-G 2 olur. Bundan dolayı iki kişilik sıfır toplamlı oyunda oyunculardan herhangi birinin getiri matrisinin verilmesi yeterlidir. Bu yüzden I. oyuncunun getiri matrisini oyunun getiri matrisi olarak kullanacağız ve G ile göstereceğiz. II 1 II 2 II m I 1 g 11 g 12 g 1m G = I 2 g 21 g 22 g 2m..... I n g n1 g n2 g nm G matrisinde g ij, I. oyuncunun I i, II. oyuncunun II j stratejilerini kullandığında I. oyuncunun getirisini göstermektedir. Bu durum II. oyuncunun getirisi g ij dir. Başka bir deyişle, I. oyuncu I i, II. oyuncu II j, stratejilerini kullandıklarında ortaya konulan g ij ifadesi I. oyuncunun kazancı, II. oyuncunun kaybını göstermektedir. 5

Örnek 2.1 : (Dershane) 4000 6 2000 1 2 5 2 4 3 4 3 1000 4 3000 Yukarıda verilen düğümler bir yerleşim birimindeki mahalleleri, çizgiler de mahalleler arası yolları göstermektedir. Düğümlerin yanındaki sayılar mahallelerdeki potansiyel öğrenci sayıları, çizgilerin yanındaki sayılar da yol uzunluklarıdır. A ve B dershaneleri bu yerleşim birimine birer şube açmaya niyetlenmişlerdir. Rakibine göre daha çok isim yapmış A dershanesinin kurduğu şube, rakip şubeye göre, yakın mesafedeki öğrencilerin % 80 ini, eşit uzaklıktaki öğrencilerin % 60 ını, uzakta olan öğrencilerinde % 40 ını almakta ve geri kalan öğrenci potansiyeli rakip dershaneye kaymaktadır.her iki dershanenin de amacının, öğrenci potansiyelinden en büyük dilimi almak olacağı açıktır. Dershaneler şubelerini hangi mahallelere kurmalıdır? Çözüm: A dershanesinin şubesini i mahallesine kurma stratejisi A i (i=1,2,3,4), B dershanesinin şubesini j mahallesine kurma stratejisi B j (j=1,2,3,4) ve (A i,b j ) durumunda, A nın kazanacağı öğrenci sayıları cinsinden oyun matrisi 4x4 şeklinde olacaktır. (A 1,B 1 ): İki dershanede şubelerini 1 numaralı mahalleye kurması durumunda; A ve B dershanelerinin 1,2,3,4 mahallelerine uzaklıkları eşit olduklarından A dershanesi tüm mahallerinin potansiyel öğrenci sayısının sırasıyla % 60 ını alır. 6

4000 60 100 = 2400 2000 60 100 = 1200 3000 60 100 = 1800 1000 60 100 = 600 A dershanesinin potansiyel öğrenci sayısı ; 2400 + 1200 +1800 + 600 = 6000 olur. O halde (A 1,B 1 )=6000 olur. (A 2,B 3 ): A dershanesi 2 numaralı mahalleye, B dershanesi 3 numaralı mahalleye şubelerini kurması durumunda; A dershanesinin 1. mahalleye uzaklığı, B dershanesinin 1. mahalleye olan uzaklığından daha fazla olduğu için A dershanesi 1. mahalledeki öğrenci potansiyelinin % 40 ını; A dershanesinin 2. mahalleye uzaklığı, B dershanesinin 2. mahalleye olan uzaklığından daha yakın olduğu için A dershanesi 2. mahalledeki öğrenci potansiyelinin % 80 ini; A dershanesinin 3. mahalleye uzaklığı, B dershanesinin 3. mahalleye olan uzaklığından daha fazla olduğu için A dershanesi 3. mahalledeki öğrenci potansiyelinin % 40 ını; A dershanesinin 4. mahalleye uzaklığı, B dershanesinin 4. mahalleye olan uzaklığından daha yakın olduğu için A dershanesi 4. mahalledeki öğrenci potansiyelinin % 80 ini alır. 7

4000 40 100 = 1600 2000 80 100 = 1600 3000 40 100 = 1200 1000 80 100 = 800 A dershanesinin potansiyel öğrenci sayısı ; 1600 + 1600 + 1200 + 800 = 5200 olur. O halde (A 2,B 3 )=6000 olur. Benzer şekillerde (A i,b j ) ler bulunarak getiri matrisini hesaplanır. B 1 B 2 B 3 B 4 A 1 6000 5600 5600 6200 A 2 6400 6000 5200 6000 A 3 6400 6800 6000 6800 A 4 5800 6000 5200 6000 8

3)MAXMİN VE MİNMAX KRİTERİ İki kişilik sıfır toplamlı sonlu oyunu ele alalım. Bu oyunda I. oyuncunun n tane (I 1, I 2, I n ), II. oyuncunun m tane (II 1, II 2,, II m ) saf stratejisinin olduğunu kabul edelim. Bu oyunun getiri matrisi, II 1 II 2 II m I 1 g 11 g 12 g 1m G = I 2 g 21 g 22 g 2m..... I n g n1 g n2 g nm Şekil 3.1 olsun. Oyunda I. oyuncu I 1, I 2, I n stratejilerini, II. oyuncu II 1, II 2,, II m stratejilerini kullanarak getirilerini maksimalleştirmeye çalışırlar. Oyun sıfır toplamlı olduğundan I. oyuncu I İ stratejisini seçtiği anda, II. oyuncu da II j stratejisini seçtiği andaki g ij I. oyuncunun getirisi, -g ij ise II. oyuncunun getirisi olur. Yani I. oyuncunun getirisinin eksi değeri ikinci oyuncunun getirisi olur. Bu durumda II. oyuncunun kendi getirisini maksimalleştirmesi; II. oyuncunun, I. oyuncunun getirisini minimalleştirmesine denk olur. Böylece oyunda I. oyuncu I 1, I 2, I n stratejilerini kullanarak g ij leri maksimalleştirmeye, II. oyuncu ise II 1, II 2,, II m stratejilerini kullanarak g ij leri minimalleştirmeye çalışır. I. oyuncunun amacı getirileri maksimalleştirmek olduğundan, bu durumda I. oyuncunun en iyi stratejisi max i=1,2,..,n min j=1,2,,m g ij =min j=1,2,,m g i*j olacak biçimde I i* stratejisidir. Bu stratejiye I. oyuncunun saf stratejiler sınıfındaki optimal stratejisi denir. II. oyuncunun amacı getirileri minimalleştirmek olduğundan, II. oyuncunun en iyi stratejisi min j=1,2, n max i=1,2,,n g ij =max i=1,2,,n g ij* 9

eşitliğini sağlayacak II J* stratejisidir. Bu stratejiye II. oyuncunun saf stratejiler sınıfındaki optimal stratejisi denir. Tanım 3.1: Getiri matrisi şekil 3.1 de verilen oyunda V L =max i=1,2,,n min j=1,2,,m g ij sayısına oyunun saf stratejiler sınıfında alt değeri (I. oyuncunun kazançlarının alt değeri), V U =min j=1,2,,m max i=1,2,,n sayısına oyunun saf stratejiler sınıfında üst değeri (II. oyuncunun kayıplarının üst değeri) denir. V U =V L =v ise v sayısına oyunun saf stratejiler sınıfında değeri denir. Şimdi Dershane oyununu ele alalım. Bu oyunun getiri matrisinin B 1 B 2 B 3 B 4 A 1 6000 5600 5600 6200 A 2 6400 6000 5200 6000 A 3 6400 6800 6000 6800 A 4 5800 6000 5200 6000 olduğunu biliyoruz. O zaman Dershane oyununun alt değeri, V L = max i=1,2,3,4 min j=1,2,3,4 g ij V L = max { min j=1,2,3,4 g 1j, min j=1,2,3,4 g 2j min j=1,2,3,4 g 3j min j=1,2,3,4 g 4j } 10

V L = max { 5600, 5200, 6000, 5200} = 6000 Üst değeri ise, V U = min j=1,2,3,4 max i=1,2,3,4 g ij V U = min { max i=1,2,3,4 g i1, max i=1,2,3,4 g i2 max i=1,2,3,4 g i3 max i=1,2,3,4 g i4 } V U = min {6400, 6800, 6000, 6800} = 6000 olur. V U =V L olduğundan Dershane oyunun değeri vardır ve V U =V L =v=6000 olur veya kısaca oyunun değerinin olup olmadığına şu şekilde de bakabiliriz.eğer satırdaki getirilerin en küçüğü, sütundaki getirilerin en büğününe eşit oluyor ise oyunun değeri vardır ve bu getiri oyunun değerine eşittir. B 1 B 2 B 3 B 4 A 1 6000 5600 5600 6200 5600 A 2 6400 6000 5200 6000 5200 A 3 6400 6800 6000 6800 6000 A 4 5800 6000 5200 6000 5200 6400 6800 6000 6800 Görüldüğü gibi, her iki dershane de şubelerini 3 mahallesine kurmalıdır. Yani A dershanesinin ve B dershanesinin optimal stratejileri 3. stratejileri olur. 11

Yani A dershanesi 3 numaralı mahalleye şubesini açarsa öğrenci potansiyelinin en büyük dilimini alır. A dershanesi 6000 öğrenci kazanırken toplam 10000 öğrencinin 4000 i de B dershanesine kalacaktır. 12

4.KARMA STRATEJİ Saf stratejiler sınıfında oyunun değerinin her zaman olmayabileceğini söylemiştik. Saf stratejiler sınıfı genişletildiğinde, yani saf stratejiler sınıfı karma stratejiler sınıfına genişletildiğinde, oyunun değerinin var olduğunu göstereceğiz. Tanım 4.1: Keyfi i=1,2,...,n için x i 0 ve i=1 xi=1 olacak biçimde n-boyutlu X=(x 1, x 2,...,x n ) vektörüne I. oyuncunun karma stratejisi denir. Tanım 4.2: Keyfi j=1,2,...,m için y i 0 ve j=1 yj=1 olacak biçimde n- boyutlu Y=(y 1,y 2,...,y m ) vektörüne II. oyuncunun karma stratejisi denir. I. oyuncunun oyunda X=(x 1, x 2,...,x n ) karma stratejisini seçerek oynaması, I 1 stratejisini x 1 olasılığı ile, I 2 stratejisini x 2 olasılığı ile,.. I n stratejisini x n olasılığı ile seçerek oynaması anlamını taşımaktadır. n m Yani, oyun s kez oynandığında, I.oyuncunun s x 1 kez I 1 stratejisi ile, s x 2 kez I 2 stratejisi ile, s x n kez de I n stratejisi ile oynadığı anlaşılır. Örnek : I. oyuncu oynarken X=(0,0,...,1,...,0)єX n karma stratejisini seçerse, I i stratejisi 1 olasılğı ile, diğer stratejiler ise 0 olasılığı ile seçildiğinden, her seferinde I i stratejisi ile oynanmış olur. Böylece I. oyuncunun tüm saf stratejileri, bu oyuncunun karma stratejisidir. 13

Getiri matrisi, II 1 II 2 II m I 1 g 11 g 12 g 1m G = I 2 g 21 g 22 g 2m..... I n g n1 g n2 g nm olan oyunda I. oyuncu X=(x 1,x 2,..., x n ) єx n karma stratejisi, II. oyuncu Y=(y 1,y 2,...,y m )єy m karma stratejisi ile oynarsa oyunun getirisi; olarak tanımlanır. m n g(x,y)= j=1 i=1 x i g ij y j = X G Y T 14

4.1.OPTİMAL STRATEJİLER VE OYUNUN ÇÖZÜMÜ Getiri matrisi; II 1 II 2 II m I 1 g 11 g 12 g 1m G = I 2 g 21 g 22 g 2m..... I n g n1 g n2 g nm olan oyunda I. oyuncu karma XєX n stratejilerini seçerek g(x,y) getirisini arttırmaya, II. oyuncu ise karma YєY n stratejilerini seçerek g(x,y) getirisini azaltmaya çalışır. Şimdi oyunun karma stratejiler sınıfında alt degerini, üst değerini ve değerini tanımlayalım. Tanım 4.1.1 V L M =max X min Y X G Y T sayısına oyunun karma stratejiler sınıfındaki alt değeri, V U M =min Y max X X G Y T sayısına oyunun karma stratejiler sınıfındaki üst değeri denir. Eğer, V L M = V U M =v ise oyunun değeri vardır ve v sayısına karma stratejiler sınıfındaki oyunun değeri denir. Tanım 4.1.2 X=(x 1, x 2,...,x n ) vektörü I. oyuncunun karma stratejisi ve Y=(y 1,y 2,...,y m ) II. oyuncunun karma stratejisi olsun. Min Y g(x *,Y)=max x min y X G Y T =v olacak biçimdeki X* X n stratejisine I. oyuncunun karma stratejiler sınıfındaki optimal stratejisi, max X g(x,y * )=min Y max X X G Y T =v 15

olacak biçimdeki Y* Y m stratejisine II. oyuncunun karma stratejiler sınıfındaki optimal stratejisi denir. X* X n, I. oyuncunun optimal stratejisi, Y* Y m II. oyuncunun optimal stratejisi ve v oyunun değeri olmak üzere (X*,Y*,v ) üçlüsüne oyunun çözümü denir. Teorem 4.1.1: (von NEUMONN) Getiri matrisi II 1 II 2 II m I 1 g 11 g 12 g 1m G = I 2 g 21 g 22 g 2m..... I n g n1 g n2 g nm olan iki kişilik sıfır toplamlı sonlu oyunun her zaman değeri vardır. Yani olur. V L M = V U M =v Örnek: (Basit Poker) Aynı sayıda as ve ikililerden oluşan oyun kağıtlarıyla iki oyuncu poker oynamaktadır.oyunun kuralları; A oyuncusu bir kart çekiyor ve rakibine (B oyuncusu) göstermeden bakıyor. Eğer A oyuncusunun çektiği kart as ise as olduğunu söylemek zorundadır. Çektiği kart ikili ise ikili ya da as olduğunu söyleyebilir. A oyuncusu çektiği kartın as olduğunu söyleyip B oyuncusu da inanırsa B, A ya 1 TL ödüyor. İnanmayıp elini göstermesini istediğinde, çekilen kart gerçekten as ise A ya 2 TL ödüyor. Yok, A nın as dediği kart açıldığında ikili çıkarsa bu sefer A, 16

B ye 3 TL ödüyor. A nın çektiği kartın ikili olduğunu söylediğinde A oyuncusu B ye 1 TL ödüyor. Oyuncuların optimal stratejilerini, oyunun değerini ve oyunun çözümünü bulun uz. Çözüm: Önce, oyuncuların stratejilerini tespit edelim. A oyuncusunun stratejileri; A 1 : Blöf yapmak A 2 : Doğruyu söylemek B oyuncusunun stratejileri; B 1 : İnanmak B 2 : İnanmamak Görüldüğü gibi oyun 2x2 lik bir oyun yapısında olacaktır. A nın kazançlarına göre kurulacak getiri matrisinin elemanlarını belirleyelim. (A 1,B 1 ) durumunda; A oyuncusu as ta çekse, ikili de çekse, blöf yaptığından as çektim diyecek ve B oyuncusu inandığından 1 TL ödemeyi A ya verecektir. Yani; olur. g 11 =1 (A 1,B 2 ) durumunda; B inanmama stratejisini kullandığından as çekimi A oyunucusuna 2 TL, ikili çekimi B oyuncusuna 3 TL kazandıracaktır. As ya da ikili çekimi olasılıkları ½ olduğuna göre bu durumda A nın kazancı; olur. g 12 = 1 2 2 + 1 2 (-3) = - 1 2 (A 2,B 1 ) durumunda; A oyuncusu doğruyu söylüyor ve B oyuncusu da inanıyor. Bu durumda as çekimi A ya 1 TL, ikili çekimi B ye 1 TL kazandıracaktır. Yani; olur. g 21 = 1 2 1 + 1 (-1) =0 2 17

(A 2,B 2 ) durumunda; A oyuncusu doğru söylüyor ve B oyuncusu da inanmıyor. As çekimi A ya 2 TL kazandırırken ikili çekimi B ye 1 TL kazandıracaktır. O halde; g 22 = 1 2 2 + 1 2 (-1) = 1 2 olur. Getiri matrisi; y 1 y 2 B 1 B 2 x 1 A 1 1-1 2 x 2 A 2 0 1 2 yapısındadır. Bu getiri matrisine göre saf stratejilerde oyunun değeri bulunmadığından yani, satırın en küçüğü sütunun en büyüğüne eşit olmadığından oyunun çözümü için karma strateji kullanılır. 1 x 1 + 0 x 2 =v (- ½) x 1 +(½) x 2 =v x 1 +x 2 =1 denklem sisteminin çözümünden x 1 * =1/4, x 2 * =3/4 ve v= ¼ olarak tanımlanır. Buna göre A oyuncusunun optimal karma stratejisi X*=(1/4, 3/4) olur. Yani, oyuncu ¼ olasılıkla blöf yapmalı, ¾ olasılıkla doğru söylemelidir. Oyun değeri ise v= ¼ olur. Böylece, oyun A oyuncusuna oyun başına ¼ TL kazandıracak şekilde kurulmuştur. B oyuncusu ¼ TL den daha fazla kaybetmemek için kendi optimal karma stratejilerini belirlemelidir. 1 y 1 + (- ½) y 2 =v 0 y 1 +(½) y 2 =v y 1 +y 2 =1 sistemini çözerek Y * =(1/2,1/2) şeklinde bulunur. Böylece B oyuncusu ½ olasılıkla rakibine inanmalı, ½ olasılıkla da inanmamalıdır. 18

KAYNAKÇA OYUNLAR TEORİSİ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Doç. Dr. Mehmet AHLATÇIOĞLU Yard. Doç Dr. Fatma TİRYAKİ OYUN TEORİSİ Çatışma ve Anlaşmanın Matematiksel Modelleri Khalik G. GUSEİNOV Emrah AKYAR Serkan A. DÜZCE OYUN TEORİSİ Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Prof. Dr. Hüsamettin BAKOĞLU 19