Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 50 Soruda 30 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR
Komisyon ÖABT Lise Matematik Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı ISBN: 978-605-318-911-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 5. Baskı: 2018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş. İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemekte Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % 80 1-40 a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 28 % 18 % 18 % 16 Alan Eğitimi Testi % 20 41-50 Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER SOYUT CEBİR 1. Sayılar ve Özellikleri...3 1.1. Rakam...3 1.2. Sayma Sayıları...3 1.3. Doğal Sayılar...3 1.4. Tam Sayılar......3 1.5. Aralarında Asallık...3 1.6. Rasyonel Sayılar...3 1.7. İrrasyonel Sayılar...3 1.8. Reel Sayılar...3 1.9. Tek ve Çift Sayılar...3 1.10. Ardışık Sayılar...4 1.11. Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler...4 1.12. Tam Sayılarda Bölünebilme...4 1.13. En Büyük Ortak Bölen...6 1.14. En Küçük Ortak Kat...7 2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler...8 3. Euler {-Fonksiyonu...11 {-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri...11 4. Kongrüanslar...13 Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik...13 5. Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri...17 İki veya Daha Fazla Değişkenli Lineer Kongrüanslar...18 6. İkinci Dereceden Kalanlar...19 İkinci Dereceden Kongüranslar...19 7. Gruplar...28 7.1. Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri...28 7.2. Mertebe...30 8. Alt Gruplar...31 8.1. Normal Alt Gruplar...33 9. Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar...34 10. Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm...35 10.1. Homomorfizma...35 10.2. İzomorfizma...35 11. Bölüm Grupları...38 12. Devirli Gruplar...39 12.1. Devirli Grupların Alt Grupları...40 12.2. Üreteç Sayısı...41 13. Çarpım Grupları...41 İzomorf olmayan Abelyan Gruplar...42
vi 14. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi...42 14.1. Alt Halka...44 14.2. Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi...44 14.3. Bölüm Halkası...45 14.4. İdeal...45 14.5. Nilpotent Eleman...45 15. Polinom Halkası...45 16. Cisim...46 16.1. Cebirsel Sayı...46 16.2. Transandant Sayı...46 16.3. Sayılabilir Küme...46 Çözümlü Test 1...47 Çözümler...49 Çözümlü Test 2...51 Çözümler...53 Çözümlü Test 3...55 Çözümler...57 Çözümlü Test 4...59 Çözümler...61 LİNEER CEBİR 1. Vektör Uzayları...66 1.1. Tanım ve Aksiyomlar...66 2. Alt Vektör Uzayı...68 2.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık...72 3. İç Çarpım Uzayları...74 3.1. İç Çarpım...74 3.2. Norm...76 4. Ortonormal Baz...82 5. Direkt Toplam Uzayı...86 6. İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları...87 7. Lineer Dönüşümler...89 8. Matrisler ve Matris Uzayları...96 8.1. Matris Toplamı...97 8.2. Skaler ile Matris Çarpımı...97 8.3. Matris Çarpımı...97 8.4. Bir Matrisin Transpozu...99 8.5. Kare Matrisler...100 8.6. Bir Matrisin Tersi...100 9. Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler)...110 10. Determinantlar...111 10.1 Sarrus Kuralı...112 10.2 Minör ve Kofaktör...114
vii 11. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar...121 11.1 n-lineer Fonksiyonlar...121 12. Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi...121 Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı...122 13. Matrislerin Polinomu...123 13.1. Karakteristik Değerler ve Karakteristik Vektörler...123 13.2. Karakteristik Uzay...125 13.3. Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem...125 Çözümlü Test 1...128 Çözümler...131 Çözümlü Test 2...133 Çözümler...135 Çözümlü Test 3...137 Çözümler...140 Çözümlü Test 4...142 Çözümler...144 Çözümlü Test 5...146 Çözümler...148
SOYUT CEBİR
3 SOYUT CEBİR 1. Sayılar ve Özellikleri 1.1 Rakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandığımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur. Rakamlarla oluşturulan ifadelere sayı denir. 1.2 Sayma Sayıları {1, 2, 3, 4,...} kümesi sayma sayıları kümesi 1.3 Doğal Sayılar N = {0, 1, 2, 3,...} kümesi N + pozitif doğal sayılar kümesini ifade eder. 1.4 Tam Sayılar Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} kümesi Tam sayılar kümesi üç ana bölümden oluşur. Negatif tam sayılar (Z ), pozitif tam sayılar (Z + ) ve {0} kümesi Ayrıca Z = Z {0} Z + dır. 1.5 Aralarında Asallık p ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayılarını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı 1 ise p ve q aralarında asaldır denir. 1.6 Rasyonel Sayılar Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q 0} kümesi 1.7 İrrasyonel Sayılar I = Q sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q tipinde yazılamayan sayılardan oluşur. Yani rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayı denir. 1.8 Reel Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesi R ile gösterilir. R = Q Q dür. a, b, c N olmak üzere 3a + 6b c = 24 eşitliğini sağlayan a, b ve c değerleri için a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 Katsayısı büyük olana büyük değer verilir. Sayılar aynı olabileceğinden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur. a + b + c = 4 olur. a ve b doğal sayılardır. 56. a = b 3 eşitliğini sağlayan en küçük b değeri kaçtır? Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = 2 3.7 56.a = 2 3.7.a = b 3 tür. Buradan a = 7 2 seçilirse b = 2.7 = 14 bulunur. x, y, z Z olmak üzere, x. y = 12, y. z = 4 ve x. z = 3 eşitliklerini sağlayan x, y, z sayılarının en büyük toplamı en küçük toplamından kaç fazladır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 xy. 12 x = & = 3 & x = 3. z bulunur. yz. 4 z Bu ifade x. z = 3 eşitliğinde yerine yazılırsa 3z 2 = 3 z = "1 bulunur. z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 bulunur. 8 ( 8) = 16'dır. Doğru seçenek C olarak elde edilir. 1.9 Tek ve Çift Sayılar 2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n 1 ile gösterilir (n Z). 1.9.1 Tek ve Çift Tam Sayılar İle İlgili Özellikler 1) T " T = Ç 5) Ç. Ç = Ç 2) Ç " Ç = Ç 6) T. T = T 3) T " Ç = T 7) n N olmak üzere T n = T 4) T. Ç = Ç 8) n N + olmak üzere Ç n = Ç' Tek ve çift sayılarda bölme işlemine ait kural tanımlanamaz. Örneğin 40 çift sayıdır. 40 40 40 = Ç, = T, sayısı ne tek ne de çifttir. 2 40 60
4 1.10 Ardışık Sayılar n Z olmak üzere n, n + 1, n + 2,... sayılarına ardışık tam sayılar denir. n Z + için n. `n+ 1j 1+ 2+... + n = 2 n Z olmak üzere 2n 1, 2n + 1, 2n + 3,... sayılarına ardışık tek sayılar denir. n Z + için 1 + 3 + 5 +... + 2n 1 = n 2 n Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4,... sayılarına ardışık çift sayılar denir. n Z + için 2 + 4 +... + 2n = n(n + 1) Ardışık terimleri arasındaki artış miktarı eşit olan dizide Son Terim İlk Terim Terim Sayısı = Artış miktarı + 1 ve Terim Toplamı = Terim Sayısı. (Son terim + İlk terim) 1.11 Negatif ve Pozitif Sayılar İle İlgili Özellikler 1) ( ). ( ) = (+) 5) ( ) / ( ) = (+) 2) ( ). (+) = ( ) 6) ( ) / (+) = ( ) 3) (+). (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+) 4) (+). ( ) = ( ) 8) (+) / ( ) = ( ) 9) n N olmak üzere ( ) 2n = (+) dır. 10) n N olmak üzere ( ) 2n 1 = ( ) 11) n N olmak üzere (+) n = (+) dır. 1.12 Tam Sayılarda Bölünebilme m, n, r Z olmak üzere m. n = r olsun. Bu durumda m ve n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum m r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir. 1.12.1 2 ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bölünür. 1.12.2 3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünür. 1.12.3 4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basamağı (birler ve onlar basamağı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile tam bölünür. 2 1.12.4 5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür. 1.12.5 7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları altına sağdan sola doğru sırasıyla 3, 2, 1 sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdığımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sağdan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür. 1.12.6 8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basamağı (birler, onlar ve yüzler basamağı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür. 1.12.7 9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünür. 1.12.8 10 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 ise verilen sayı 10 ile tam bölünür. 1.12.9 11 ile bölünebilme: Verilen sayı sağdan sola doğru sırası ile (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 11 veya 11'in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür. Verilen bağıntılarda sayı istenilen sayıya tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla bulunur. Örneğin 256 sayısının 5 ile bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden kalana eşit ve 1' Hangi n doğal sayıları için (n + 1) (n 2 + 1) n 2 1 = (n 1)(n + 1) olduğundan n N için (n + 1) (n 2 1) NOT (n + 1) (n 2 + 1) ve (n + 1) (n 2 1) olduğundan n + 1 [(n 2 + 1) (n 2 1)] n + 1 2 olur. n N olduğundan ve n + 1 2 olması gerektiğinden n = 0, 1 elde edilir. [1, x] aralığında n ile bölünebilen doğal sayıların sayısı x & 0 n a Z ve m, n N olsun. n < m için a n 2 + 1 m 2 1 a n 2 olmak üzere n ve k iki doğal sayı olsun. n 1 n k 1
5 n bir doğal sayı ve k bir tek sayı olsun. (1 + 2 +... + n) (1 k + 2 k +... + n k ) dır. a, b Z olsun. a sayısı b ile bölündüğünde kalan r ise 2 a 1 sayısı 2 b 1 ile bölündüğünde kalan 2 r 1' {1, 2,..., 600} dizisinde 13 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır? Teorem: m, n ve r tam sayı olmak üzere, i) m Z iken a l 0 dır. ii) m Z için ±1 l m ve ±m l m iii) m l ±1 m = " 1 iv) m l n ise ±m l ±n v) m l n ve n l r ise m l r vi) m l n ve n l m ise m = ±n vii) c 0 olmak üzere cm l cn ise m l n m1 m. viii) n ve 2 m m n ise 1 2 1 2 n 1. n 2 ix) m l n ve m l r ise m l n+r 600 ' 1 = 46 adettir. 13 1000'den küçük kaç doğal sayı 17 ile bölünür? [1, 1000] kümesinde 1000 ) 3 = 58 ve 0 N için 17 17 0 olup toplam 58 + 1 = 59 adet sayı 17 ile tam bölünür. Çıkmış Sorular k m gösterimi k sayısının m sayısını tam bölündüğünü ifade eder. Buna göre a, b ve c tam sayıları için, I. c ab $ ise c a ve c b ' II. abc $ ise a c ve b c ' III. a b ve b c ise a c ' yargılarından hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) Yalnız III N = 1. 2 + 2. 3 +... + n(n + 1) sayısının 41 ile bölünebilmesi için n en az kaç olmalıdır? N = 1. 2 + 2. 3 +... + n(n + 1) = (1 2 + 1) + (2 2 + 2) +... + (n 2 + n) = (1 2 + 2 2 +... + n 2 ) + (1 + 2 +... + n) n`n+ 1j`2n+ 1j n. `n + 1j = + 6 2 n`n+ 1j`n + 2j = 3 sayısının 41 ile bölünebilmesi için n(n + 1) (n + 2) çarpanlarından en az biri 41'e bölünmeli n + 2 = 41 n = 39 olmalıdır. c sayısı a b yi bölüyor ise c a ve c b doğru olmayabilir, 6 23 $ tür ama 6 2 ve 6 3 yanlıştır. II ve III. öncül doğrudur. Cevap D Tanım: (Asal Sayı) : n > 1 tam sayısının kendisinden ve birden başka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir. Tanım: (Bileşik Sayı): Asal olmayan sayılara bileşik (= combined) sayı denir. Tanım: Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir. Teorem: Her bileşik sayının en az bir asal çarpanı vardır. Teorem (Euclid): Asal sayıların sayısı sonsuzdur.