Türev Notasyonu : TÜREV Türev bulma işlemine diferasiyel alma prosesi denir Diferansiyel alma işlemine fonksiyonlar üzerinde bir operasyon olarak bakabiliriz ve bu operasyon 0 ile alakalı olup 0 'den türetilir Eğer bağımsız değişken ise diferansiyel operasyonu sıklıkla aşağıdaki gibi gösterilir 0 ÐÑ Ò0ÐÑÓß H Ò0ÐÑÓß C ÐÑ ß 0 ÐÑ ß CÐÑ u 0 fonksiyonunun değişkeninegöre türevidir Ò Ó ß Ò78Ó7ß È Ò Ó È C0ÐÑfonksiyonunun noktasındaki türevi Ò0ÐÑÓ ¹ 0 Ð Ñ olarak gösterilir Ò Ó ¹ ß Ò7 8Ó¹ 7 8 ß ÒCÓ 0 ÐÑ ve ÒCÓ ¹ 0 Ð Ñ C C C 0ÐÑve ¹ CÐÑ 0ÐÑ C C 'nin 'e göre türevi olarak okunur ağımsız değişkenin değiştirilmesi sonucu değiştirilemez C C??? C 0Ð?Ñ Ê C Ð?Ñ veya ¹ C Ð? Ñ 0 Ð? ÑÞ Diğer notasyonlar : 0ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ 0Ð Ñ 0ÐÑ Ä 0ÐÑ7 ir Aralığın Uç Noktalarındaki Türev : C Ä >+8 Ä 0Ð Ñ0ÐÑ C0ÐÑ fonksiyonu Ò+ß,Óüzerinde tanımlanmış olsun 77
Eğer 0ÐÑ 0ÐÑ0ÐÑ mevcut ise 0ÐÑ0ÐÑ 0ÐÑ0ÐÑ 0 ÐÑ ve 0 ÐÑ mevcut ve eşit olduğunu biliyoruz una göre C0ÐÑfonksiyonu, noktasında soldan diflenebilir eğer 0Ð,Ñ 0Ð,Ñ0Ð,Ñ mevcut ise benzer olarak C0ÐÑfonksiyonu + noktasında sağdan diflenebilirdir denir 0Ð+Ñ0Ð+Ñ ancak 0Ð+Ñ mevcut ise ir C 0ÐÑ fonksiyonu Ò+ß,Ó üzerinde diflenebilirse Ð+ß,Ñ üzerinde 0ÐÑ 0ÐÑ a Ð+ß,Ñ sağdan ve soldan diflenebilir ve ek olarak ta + ve, noktasında sırası ile 0 sağdan 0 Ð+Ñ ve soldan 0 Ð,Ñ diflenebilir olmalıdır Diferansiyel Alma Teknikleri : Sabit Fonksiyonun Türevi : 0ÐÑ - Sabit fonksiyonunun grafiği 9 /5=/83 ne yatay olan bir doğru olup bu doğrunun tanjant (teğet) doğrusunun eğimi her x için sıfırdır unun için sabit fonksiyonun her reel sayısı için türevinin sıfır olmasını bekleriz Teorem : C0ÐÑ - sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır Ò-Ó İspat : C 0ÐÑ - ve 0 ÐÑ -- C1 ß/ßßß8ß7ßÞÞÞ ÒCÓ 'in kuvvetlerinin türevi : 0ÐÑ0ÐÑ Teorem : Eğer 8 bir pozitif tamsayı ise, o zaman 8 8 8 8 8 5 85 Ò Ó8Þ ÐCÑ ˆ 5 ÞC 5 İspat : C0ÐÑ 8 olsun türevin tanımını ve binomial açılımı kullanarak ˆ 8 8x 5 ÐÐ85ÑxÞ5x Ñ 78
8 0ÐÑ 0ÐÑ ÐÑ 0 ÐÑ Ò Ó ˆ 8 8x 5 ÐÐ85ÑxÞ5x Ñ 8 8 ˆ 8 ˆ 8 ˆ 8 ÞÞÞ ˆ 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8ÞÐ8Ñ 8 8 8 x 8 ÞÞÞ 8 8 Ð8 Þ Ð8ÑÑ 8 8 Ò 8 ÞÞÞÞ 8 x 8 8 * Ò Ó ß ÒÓ Þß ÒÓ Teorem : 0 fonksiyonu noktasında diflenebilir ve - herhangi bir sabit olmak üzere Ò-0ÐÑÓ - İspat : Ò-0ÐÑÓ Ò0ÐÑÓ -Þ0 ÐÑ -Þ0ÐÑ-Þ0ÐÑ 0ÐÑ0ÐÑ -Þ - Þ Ò0ÐÑÓ - Þ 0 ÐÑ ) ) ( Ò Ó Þ Ò Ó Þ ) Þ ß Ò Ó Ò1Ó 1 ÒÓ Ò Óß Toplamın ve Farkın Türevleri : Teorem : 0 ve 1 fonksiyonları diflenebilir iki fonksiyon olsun buna göre Ð0 1Ñ ve Ð0 1Ñ 'de diflenebilirdir Ð01ÑÐÑ Ð01ÑÐÑ İspat : Ò0 1Ó ÐÑ 0ÐÑ1ÐÑ0ÐÑ1ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 1ÐÑ 79
Ò0ÐÑÓ Ò1ÐÑÓ Toplamın türevleri türevler toplamına eşittir una göre farkın türevini türevler farkıdır Yani Ò0 1ÓÐÑ Ò0ÐÑÓ Ò1ÐÑÓ Ò Ó ß Ò7 8 1 87 Ó ß Ò C Ó ß Ò 1Ó ß Çarpımın Ve ölümün Türevleri 0 ve 1 fonksiyonları noktasında diflenebilirse çarpımları da 'de diflenebilir ve Ò0ÐÑ Þ 1ÐÑÓ 0ÐÑ Ò1ÐÑÓ 1ÐÑ Ò0ÐÑÓ İspat : İspatı kolay olup tanımı uyguladıktan sonra paya 0ÐÑÞ1ÐÑ ekleyip çıkartmalıyız una göre 0ÐÑÞ1ÐÑ0ÐÑÞ1ÐÑ Ò0ÐÑ Þ 1ÐÑÓ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ0ÐÑÞ1ÐÑ0ÐÑ1ÐÑ 0ÐÑ Ò1ÐÑ 1ÐÑÓ 1ÐÑ Ò0ÐÑ 0ÐÑÓ 0Ð Ñ Þ 1ÐÑ Þ 1ÐÑ 1ÐÑ 0ÐÑ0ÐÑ f sürekli oldu1undan 0ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ Ò1ÐÑÓ 1ÐÑ Ò0ÐÑÓ % ÒCÓ bulunuz eğer C Ð& Ñ Þ Ð Ñ ise ölümün Türevi : Teorem : Eğer 0 ve 1 fonksiyonları ' de diflenebilir ve 1ÐÑ Á ise, o zaman 0Î1 de 'de diflenebilir ve 0ÐÑ 1ÐÑ Ò0ÐÑÓ 0ÐÑ Ò1ÐÑÓ Ò1ÐÑ Ó Ò1ÐÑÓ 80
Önce tanımı uygular payı ve paydayı organize ettikten sonra paya 0ÐÑÞ1ÐÑ ekleyip çıkarırsak ispat aşikar olur 0ÐÑ 1ÐÑ Ò0ÐÑ Î 1ÐÑÓ 0ÐÑÞ1ÐÑ0ÐÑÞ1ÐÑ Þ1ÐÑÞ1ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ Ò0ÐÑ Þ 1ÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑÓ Þ1ÐÑÞ1ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 1ÐÑ 1ÐÑÞ1ÐÑ Ò 1ÐÑ Þ 0ÐÑ Þ Ó Þ Ò Ó Ò 1ÐÑ Þ Ò0ÐÑÓ 0ÐÑ Þ Ò1ÐÑÓÓ Þ Ò1ÐÑÓ Þ % 0ÐÑ % ise Ò0ÐÑÓ? 1ÐÑ Fonksiyonunun Türevi : ölümün türevinde 0ÐÑ alırsak Ò1ÐÑÓ 1ÐÑ Ò1ÐÑÓ Ò Ó ÐÑ 0ÐÑ ß 1ÐÑ ß ÐÑ Yüksek Dereceden Türevler : 0 ß 0 Ð0 Ñ ß 0 Ð0 Ñ ÒÐ0 Ñ Ó ÞÞÞ 8 8 Ð8Ñ 8 0 ÐÑ Ò0ÐÑÓ Þ Ð8Ñ C ß C ß C ß ÞÞÞ ß C 8 C C C C ß ß ß ÞÞÞ ß 8 ß Ÿ 0ÐÑ olarak verilen 0ÐÑfonksiyonu ß için 0 ÐÑ 0 ÐÑ olduğunu fakat 0 ÐÑ 'ın mevcut olmadığını gösteriniz Ä Ä 0ÐÑ ß Ÿ 0 ÐÑ ß 'ın mevcut fakat 0 ÐÑ olmadığını gösteriniz 'ın mevcut 81
ß Ÿ 0ÐÑ 0 'nin +,ß olması için + ve, değerleri ne olmalıdır? noktasında diflenebilir ) Kabul edeki 0ÐÑ olsun buna göre 0 ÐÑ0 ÐÑ 0 ÐÑ 0 ÐÑ ve Ä ß 0 ÐÑ 0 ÐÑ 8
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ W38ß G9=ß >+8ß -9>ß =/-ve -=-gibi trigonometrik fonksiyonların türevlerini bulmak için, radyan olarak kabul edilecek ve aşağıdaki itlere ihtiyacımız olacaktır unlar : =38-9= ve Þ W38ve G9= fonksiyonlarının türevleri ile işe başlayalım =38 ÐÑ =38 Ò W38Ó =38 Þ -9= -9= Þ=38=38-9= -9= Þ=38-9= =38 Š -9= =38 Š =38 Þ =38 Þ -9= Þ Ò W38Ó -9=Þ enzer olarak Ò -9=Ó =38 olarak elde edilir Geri kalan trigonometrik fonksiyonların türevleri ise sırası ile: Ò>+8 Ó >+8 =/- Ò-9>Ó Ð-9> Ñ -=- Ò=/- Ó =/-Þ>+8 Ò-=- Ó -=-Þ-9> u türevler trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkilerden elde edilir unlar ; =38-9= >+8-9= ß -9> =38 ß -=- =38 ß =/- -9= Þ Örneğin >+8 'in türevi : =38-9= Ò=38Ó=38 Ò-9=Ó Ò>+8 Ó Ò-9=Ó Ò-9=Ó -9= =38-9= -9= =/- Ò >+8 Ó >+8 =/- ÖRNEK: 0ÐÑ Ð ÑÞ>+8 fonksiyonunun türevini bulunuz 0 ÐÑ Ð Ñ=/- Þ>+8 C =38 C -9= C Ð-9=ÑÞ Ò=38Ó=38 Ò-9=Ó Ð-9=Ñ ÖRNEK: Eğer ise, türevini bulunuz Ð-9=ÑÞ-9==38=38-9=-9= =38 Ð-9=Ñ Ð-9=Ñ -9= Ð-9=Ñ -9= -9= yol: =38 Ð-9=Ñ C À -9= -9= =38 =38 =38-9= ÖRNEK: CÐÑ =/- ise =/- ¹ 1 83 %
C C =/-Þ>+8ß =/-Þ >+8 >+8 =/- =/-Þ=/- >+8Þ=/-Þ>+8 =/- =/- >+8 =/- >+8 C 1 1 1 % % È ¹ =/-Ð Ñ >+8 Ð Ñ Ð Ñ È % =38 ÖDEV: 0ÐÑ -9= 0ÐÑ -9= 0ÐÑ Ð Ñ-=- -=- =/- 0ÐÑ >+8 0ÐÑ >+8 0ÐÑ =38-9= =38 =/- 0ÐÑ-9==38 0ÐÑ >+8 0ÐÑ =38-9= 0ÐÑ =38Þ-9= 0ÐÑ >+8Þ-9> 0ÐÑ =/-Þ-9= ÖRNEK: Kabul ede ki güneş 100 m yüksekliğindeki bir binanın üzerinden yükseliyor ve ) da güneşin yükselme açısı olsun ) =45 olduğunda binanın gölgesinin uzunluğu ' deki değişim oranının ) ya bağlı olarak bulunuz >+8 Ê >+8) -9>) Ð) Ñ -9>) 1 ) -=-Ð) Ñ Ê ) ¹ ) 1 % % -=-Ð Ñ Ð È Ñ ÖRNEK: ir uçak 3800 mt yükseklikte yere paralel olarak uçuyor ve uçakla 1 kule arasındaki uzaklık = ise buna göre yolun ) 'ya bağlı değişim oranı ) ' olduğunda ne olur? ) = =Ð) Ñ ) ) 1 1 1 =Ð ' Ñ ) -=- ' -9> ' 1 È ' 1 1 ' azaldı, sin ) =Ð) Ñ )Þ-=-Ð) Ñ ) ) Ð -=- -9> Ñ =Ð Ñ )ÞÞ ) È Ðyani azalma var) Ä ) Ä ) È + rttı 84
ÖRNEK: Dünyanın yarıçapı < '() km ve uydu ile uydunun kontrol merkezine olan uzaklığı olsun una göre 'nin )'ya bağlı değişim oranın ) olduğunda bulunuz < -9=) =38) =r Ð-=-) Ñ >+8) Ê < -9>) < < -=-) =38 ) < =38) Ê <-=-) ß < -=-) <Þ-=-) Þ-9= ) < -9=)-=-) -9= ) < =38 ) < -=- ) < =38 ) < Ð Ñ =38 ) % ÖRNEK: A >+8ve > > > ise A A > Þ > Ð >+8 ÑÞÐ%> > Ñ % =/- Ð> > >ÑÞÐ%> > Ñ ÖRNEK: 0ÐÑÐ Ñ À? 0Ð?Ñ Ð?Ñ 0 0?? Ð Ñ Ð Ñ ÞÐ Ñ? % ÖRNEK: ÐÑ a Ò=38Ð ÑÓ ÐÑ b Ò>+8Ð ÑÓ ÐÑ c È -=- ÐÑ d ' Ð >+8Ñ ÐÑ e È =38Ð -9= Ñ ÐÑ f eger =secèa> à A =,> ÖRNEK: ÐÑEger a CE-9=ÐA>Ñise C > C > ACÞ ÐÑEger b C E=38Ð>Ñ ise C %=38Ð>ÑÞ ÖRNEK: C-9=ÐÑfonksiyonunun 1 noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz CŠ ß C=38Ð Ñ ß Þ 85
ZİNCİR KURALI : Problem : Kabul ede ki 0 ve 1 fonksiyonlarının diferansiyellenebilir iki fonksiyon olsunlar, o zaman Ð091ÑÐÑ 0Ð1ÐÑÑ 'in türevini nasıl bulabiliriz C Ð091ÑÐÑ 0Ð1ÐÑÑ À? 1ÐÑ Ê C 0Ð1ÐÑÑ 0Ð?Ñ?? 0Ð?Ñ 1ÐÑ? 0Ð?Ñ 1ÐÑ? 1 ÐÑ Teorem : 1ÐÑ fonksiyonu noktasında diferansiyellenebilir ve 0ÐÑ fonksiyonu 1ÐÑ noktasında diferansiyellenebilir ise Ð091ÑÐÑ fonksiyonu noktasında diferansiyellenebilir urada ; C C?? C0Ð1ÐÑÑ ve?1ðñ ise C0Ð?Ñolup Þ % ÖRNEK : C-9=Ð Ñ %? ÊC-9=Ð?Ñ C C? %? =38Ð?ÑÐ% Ñ =38Ð Ñ Þ % % =38 Ð Ñ C 0Ð?Ñ?? Eger C0Ð?Ñ Ê 0Ð?Ñ Ters Fonksiyonların Türevi :? A, IR ve 0 À E Ä F birebir ve örten bir fonksiyon olsun 0 fonksiyonu E da diferansiyellenebilir ve 0 Ð Ñ Á ise 0 À F Ä E fonksiyonu da C 0Ð Ñ da diferansiyellenebilir ve Ðf Ñ ÐC Ñ 0 Ð Ñ 0 ÐCÑ0 ÐC Ñ C CÄC CC 0ÐÑ0Ð Ñ CC 0ÐÑÄ0Ð Ñ İspat : Ò0 ÐC ÑÓ º Ä 0ÐÑ 0ÐÑ0Ð Ñ 0 fonksiyonu da diflenebilir olduğundan aynı zamanda süreklidir 0 ÐC Ñ da C 'da süreklidir unun için C Ä C için Ä dır 86
) 0ÐÑ À0ÀMVÄMV C y Ò0 ÐCÑÓ º bulunuz C ) ve Ê 0ÐÑ 0ÐÑ Ð0 Ñ ÐÑ Ð* )( Ñ ¹ ) Ters trigonometrik Fonksiyonların Türevi : Ð0 ÐÑÑ 0ÐCÑ 1 1 1) C +<-=38 0 À Ò ß Ó Ä Ò ß Ó fonksiyonunun türevini bulalım u fonksiyon, 1ÐCÑ =38C şeklinde tanımlanan 1 1 1À Ò ß ÓÄÒßÓ fonksiyonunun ters fonksiyonu, yani C +<-=38 Í =38C olduğundan Ð=38CÑ -9=C È=38 C Ð+<-=38Ñ Ð+<-=38Ñ È ) 0ÐÑ +<--9= fonksiyonu için Ð+<--9=Ñ ß 1 1 È 3) 0ÐÑ +<->+8 0 À MV Ä Ò ß Ó fonksiyonu 1 1 >+8 À Ò ß Ó Ä MV fonksiyonunun ters fonksiyonudur Dolayısı ile C +<->+8 Í >+8C Ð>+8CÑ >+8 C Ð+<->+8Ñ Ð Ñ 4) enzer şekilde Ð+<--9>Ñ ß 5) 0ÐÑ +<-=/- şeklinde tanımlanan 0 ÀMVÐßÑÄÒß1Ó fonksiyonu 1À Òß1Ó Ä MVßÐßÑ CÄ1ÐCÑ=/-C fonksiyonunun tersi olduğu için Ð+<-=/- Ñ Ð>+8C È=/- Ñ Ð=/-CÑ =/-C Þ >+8C 87
È ±± È Ð ± ± Ñ enzer şekilde ±± È Ð+<--=- Ñ Ð ± ± Ñ olduğu gösterilebilir C+<-=/-Ð Ñ C +<->+8Ð C +<-=38Ð Ñ È Ñ C È + + +<--9=Ð+ Ñ 0ÐÑ Ð Ñ +<--9=ÐÈ Ñ È 0 ÐÑ ß 0 ÐÑ 0ÐÑ È +<--9=/-ÐÑß 0 Ð È Ñ ß 0 Ð ÈÑ Kapalı Fonksiyonların Türevi JÐßCÑ olacak şekildeki fonksiyonlara kapalı fonksiyonlar denir Örneğin % % JÐßCÑ C C C fonksiyondur unun türevi : fonksiyonu bir kapalı ÒJ Ðß CÑÓ % %C C CC C CC % C %C C C Ð%C CÑ 88
JÐßCÑC C C fonksiyonunun noktasındaki türevini hesaplayınız ÒJ Ðß CÑÓ ¹ ßC %C C C CC %CC C Ð C%CÑ C %C C ¹ ßC C %C C%C % * % C +<-=38 Ê =38C Logaritmik Fonksiyonların Türevi : ÊÐ-9=CÑC -9=C C È 0ÐÑ 691+ şeklinde tanımlanan 0 À MV Ä MV türevini bulunuz fonksiyonunun + + ( 691 ) 691 + Ð Ñ Ð 5 dersekñ + 691 ÐÑ691 Ð Ä ise 5 Ä Ñ Î5 + 5Ä 5 691 Ð5Ñ Ð < dersekñ 691+ Ð5Ñ 5Ä 5 <Ä_ + < < Ð5 Ä ise < Ä _Ñ 691 Ð Ñ olur Ð Ñ / <Ä_ < < olduğundan < + <Ä_ < 691 Ð Ñ 691 + / Eğer +/ alırsak, log / olup ÐM8Ñ + 0ÐÑ 691 Ð %Ñ À 0ÐÑ 691 Ð>Ñ 89
> % 0ÐÑ 0 > > Þ Yrd Doç Dr Coþkun YAKAR dersek > Ð691 /ÑÐÑ % 691 / Not: 0ÐÑ 691+ Ò?ÐÑÓ ise 0ÐÑ 0?? Þ?ÐÑ + Þ 691 Ò/ÓÞ? ÐÑ 0ÐÑ M8Ð>+8Ñ için 0 Ð Ñ 1 % türevini hesaplayınız Ð>+8Ñ >+8 >+8 >+8 0 ÐÑ Üstel Fonksiyonların Türevi : + MV Ö olmak üzere 0ÐÑ + şeklinde tanımlanan 0 À MV Ä MV logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğunda C+ Ê 691+ C Ð691 CÑ 691 / Ð+ Ñ + C691+ / + 691+ / Ð+ Ñ + M8+ C + Özel olarak +/ ise Ð/ Ñ / M8/ / 90
% % C/ %??% denirse C/ C C? C? Þ Genel olarak /?? % Ð% Ñ C / Ð' %Ñ?ÐÑ?ÐÑ?ÐÑ?ÐÑ Ò+ Ó? ÐÑÞ+ ÞM8+ ve Ò/ Ó? ÐÑÞ/ =38Ð Ñ 0ÐÑ? =38Ð Ñ ß? =38Ð@Ñ 0 0? 0??? Þ? Þ? Þ 0 =38Ð Ñ ¹ -9=Ð Ñ Þ ÐÑ Þ Þ M8-9=ÐÑÞM8Þ =38ÐÑ Logaritmik Türev Alma Kuralı : C Ò0ÐÑÓ 1ÐÑ ifadesinin türevini bulalım M8C 1ÐÑ Þ M8Ò0ÐÑÓ C C 1 ÐÑ Þ M8 Ò0ÐÑÓ 1ÐÑ Þ 0 ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 0 ÐÑ 0ÐÑ C Ò0ÐÑÓ š 1 ÐÑ M8Ò0ÐÑÓ 1ÐÑ % CÐÑ % % % M8C ÞÐM8Ð ÑÑ %M8ÐÑ Þ % C C % % % % % % % % C Ð Ñ š % Þ M8Ð Ñ Þ % 91
-9= 0ÐÑ À0 Ð Ñ 1 M8C Þ-9=ÞM8-9= C Þ-9=ÞÒ =38ÞM8Ó 1 È 1 1 ÞÐ ÑÞÒ Þ Þ M8Ð ÑÓ Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri : ¹ 1 1) Ð-9=Ñ =38 3) Ð>+8Ñ =/- ) Ð=38Ñ -9= 4) Ð-9>Ñ -9=/- 5) Ð=/-Ñ =/- Þ >+8 6) Ð-=-Ñ -=- Þ -9> C =38Ð?ÐÑÑ À?ÐÑ > denilirse C =38Ð>Ñ olup zincir kuralında C C > > Þ -9=Ð>Ñ Þ? ÐÑ -9=Ð?ÐÑÑ Þ? ÐÑ C =38ÐM8Ñ C -9=ÐM8ÑÞ / / M8 M8 Ò ÓÞ Ò ÓÞ C +<->+8Ð>+8Ñ C Ð>+8Ñ =/- >+8 >+8 0 ÐÑ 9
0ÐÑ M8 Ð=38Ð+ÑÑ M8Ð-9=Ð+ÑÑ M8Ð =38Ð+Ñ -9=Ð+Ñ Ñ M8Ð>+8Ð+ÑÑ Ð>+8Ð+ÑÑ + =/- Ð+Ñ >+8Ð+Ñ >+8Ð+Ñ 0 ÐÑ Þ / / // // =/-ÐÑ ß >+8ÐÑ / / // // =/-Ð+Ñ ß >+8Ð+Ñ + + + + + + 0 ÐÑ +=/- Ð+ Ñ >+8Ð+ Ñ CÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ M8CÐÑ M80ÐÑ M81ÐÑ C 0 1 C 0 1 0 0 1 1 0 1 C Ò Ó 0 0 0 1 0 0 Þ1 1Þ0 0 Þ1 1 1 1 C CÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ M8 CÐÑ M8 Ð0Þ1ÑÐÑ C ÐÑ 0 ÐÑ 1 ÐÑ CÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 80ÐÑM81ÐÑ C ÐÑ 0 ÐÑ Þ 1 ÐÑ Ò Ó C ÐÑ 1ÐÑ Þ 0 ÐÑ 0ÐÑ Þ 1 ÐÑ È Ð% Ñ CÐÑ Ð Ñ CÐÑ Þ Ð Ñ =38 CÐÑ Î Ð &Ñ Þ Ð Ñ È' 0ÐÑ ÐÑÞÐÑÞÐÑ 93
0 ÐÑ % ' %ÞÞÐÑ ) % È( È( Þ % È( È( Þ Üstel Fonksiyonun Türevi : + MV olmak üzere 0ÐÑ + şeklinde tanımlanan 0ÀMVÄMV fonkisyonu logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğundan + Í 691+ Cdir u nedenle C Ð691 CÑ Þ691 / / Ð+ Ñ C Þ 691 + Ð+ Ñ + Þ M8+ Özel olarak + C + +/ alınırsa Ð/ Ñ / C/ için C'nin türevini hesaplayınız?? dersek C / olur Zincir kuralından C C??? Þ / ÞÐ Ñ C / Ð Ñ Genel olarak?ðñ?ðñ Ò+ Ó? ÐÑÞ+ ÞM8+ ve?ðñ?ðñ Ò/ Ó? ÐÑ Þ / 94
=38ÐÑ 0ÐÑ için 0 ÐÑ'ın türevini hesaplayınız =38ÐÑ 0 ÐÑ Ð=38Ñ Þ Þ M8-9=ÐÑ Þ 0 ÐÑ Þ M8 =38ÐÑ ÞM8 Hiperbolik Fonksiyonların Türevi : Daha önceki bölümde gördüğümüz gibi, hiperbolik fonksiyonlar // // -9=ÐÑ ß =38ÐÑ =38-9=ÐÑ -9= =38ÐÑ >+8 >+8ÐÑ ß -9>ÐÑ -9=ÐÑ =38ÐÑ =/-ÐÑ ß -=-ÐÑ olarak tanımlanmışlardı 1) 0ÐÑ -9=ÐÑ fonksiyonunun türevi : // // Ð-9=Ñ Ð Ñ =38ÐÑ Ñ 0ÐÑ =38ÐÑ fonksiyonunun türevi : // // Ð=38ÐÑÑ Ð Ñ -9=ÐÑ 3) 0ÐÑ >+8ÐÑ fonksiyonunun türevi : Ð>+8ÐÑÑ Ð Ñ >+8 ÐÑ =/- ÐÑ =38ÐÑ -9=ÐÑ Þ -9=ÐÑ =38ÐÑ Þ =38ÐÑ -9=ÐÑ Ð-9=ÐÑÑ 4) 0ÐÑ -9>ÐÑ fonksiyonunun türevi : -9=ÐÑ =38ÐÑ 0 ÐÑ Ð-9>ÐÑÑ Ð Ñ =38ÐÑ Þ =38ÐÑ -9=ÐÑ Þ -9=ÐÑ =38 ÐÑ -9> ÐÑ -9=/- ÐÑ 95
5) 0ÐÑ =/-ÐÑ fonksiyonunun türevi : -9=ÐÑ =38ÐÑ -9= ÐÑ 0 ÐÑ Ð Ñ =/-ÐÑ Þ >+8ÐÑ 6) 0ÐÑ -9=/-ÐÑ fonksiyonunun türevi : =38ÐÑ -9=ÐÑ =38 ÐÑ 0 ÐÑ Ð Ñ -9=/-ÐÑÞ -9>ÐÑ bağlantıları elde edilir C =38Ð?ÐÑÑ ise C ÐÑ? ÐÑ Þ -9=Ð?ÐÑÑ urada?ðñ > denirse C =38Ð>Ñ ve C C > > > Þ -9=Ð>ÑÞ C >+8ÐM8ÐÑÑ için C türevini bulunuz C ÐÑ 'ı hesaplayınız C C > > Þ burada > M8ÐÑdir =/- Ð>ÑÞ =/- ÐM8ÐÑÑÞ / / Þ Þ / M8ÐÑ/ M8ÐÑ M8ÐÑ M8ÐÑ C Þ C ÐÑ C 0ÐÑ +<->+8Ð>+8Ð ÑÑ için 0 ÐÑ ve 0 ÐÈM8Ñ 'nin türevlerini hesaplayınız? >+8 dersek 0ÐÑ +<->+8Ð?ÐÑÑ olur 0 0???? 0 ÐÑ Þ Þ? @ dersek?ðñ >+8Ð@ÐÑÑ olup =/- Ð@ÐÑÑ @? =/- Ð@ÐÑÑ =/- Ð Ñ Þ ÐÑ Þ una göre @ @ Ð>+8 Ð ÑÑ 0 ÐÑ Þ Þ =/- Ð Ñ Þ ÐÑ >+8 ÐÑ 0 ÐÑ Þ =/- ÐÑ Þ Ð Þ Ñ 0 ÐÈ M8Ñ Þ=/- ÐM8Ñ Þ ÞÈM8 >+8 ÐM8Ñ 96
M8 M8 / / / M8 / M8 & & >+8ÐM8Ñ ve % / M8 / M8 & & =/-ÐM8Ñ unlara göre 0 ÐÈ ' M8Ñ Þ Þ È * M8 & & ŸŸ/ ' M8 Ÿ M8 Ÿ M8/ Þ È ' % M8 ( ÞÈM8 ŸM8Ÿ Ÿ ' ( M8 0ÐÑ M8Ð>+8Ð&ÑÑ M8Ð=38Ð&ÑÑ için 0 Ð & Ñ hesaplayınız 'ün türevini Ð>+8Ð&ÑÑ Ð=38Ð&ÑÑ =/- Ð&Ñ -9=Ð&Ñ >+8Ð&Ñ =38Ð&Ñ >+8& =38Ð&Ñ 0 ÐÑ &Þ &Þ M8 =/- ÐM8Ñ -9=ÐM8Ñ & >+8ÐM8Ñ =38ÐM8Ñ 0 Ð Ñ & Þ &Þ &Þ Ò Ó ' Ð Ñ Ð Ñ ) ) % Î & & % % % Ð Ñ & &ÞÒ Ó &ÞÒ Ó &Ò Ó &Þ Ters Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri : 1) 0ÐÑ +<--9=ÐÑ 'in türevini hesaplayalım & -9=ÐCÑ olup Ð=38ÐCÑÑ Þ C Ê C =38ÐCÑ -9= ÐCÑ =38 ÐCÑ denkliğinden -9= ÐCÑ =38 ÐCÑ È -9= ÐCÑ =38ÐCÑ È =38ÐCÑ una göre C È Yada È +<--9=ÐÑ M8Ð Ñ ÐÈ Ñ È ÐÈ Ñ È Ð+<--9=ÐÑÑ olduğunu göstermiştik una göre È ) 0ÐÑ +<-=38ÐÑ 'in türevini hesaplayalım 97
-9=ÐCÑ =38ÐCÑ olup Ð-9=ÐCÑÑ C Ê C +<-=38ÐÑ M8Ð È Ñ dan È yada ÐÈ Ñ È È È È Ð+<-=38ÐÑÑ 3) ±± için C+<->+8ÐÑ fonksiyonunun türevini hesaplayalım >+8ÐCÑ olup =/- ÐCÑ Þ C Ê C =/- C >+8 ÐCÑ Ê C >+8 ÐCÑ =/- ÐCÑ enzer olarak fonksiyonunun tersini bularak çözdüğümüzde C // // C C C C C C C Ê/ / / / C C Ê/ / C C / ÐÑ Ê / C M8Ð Ñ ve C M8Ð Ñ Ð ± ± Ñ ÐÑ ÐÑ Ò Ó ÐÑ ÐÑ Ð Ñ C Þ Þ olarak bulunur 98
%Ñ enzer olarak C +<--9>ÐÑ fonksiyonunun türevini hesaplayalım -9>ÐCÑ Ê Ð -9> ÐCÑÑÞ C -9>ÐCÑ Ê C +<--9>ÐÑ M8Ð Ñ ÒM8Ð Ñ M8Ð ÑÓ C Ò Ó Ò Ó -9> ÐCÑ Sonuç olarak C 5) enzer olarak C+<-=/-ÐÑ fonksiyonunun türevi için È È C ve C +<--=-ÐÑ ise için C C +<->+8Ð-9=ÐÑÑ fonksiyonu için C Ð Ñ 'ini hesaplayınız Ð-9=Ñ =38-9= -9= C È % -9= Ð Ñ 1 1 =38Ð Ñ % C Ð Ñ 1 % Þ È % È % 1 % C È Þ +<--9=ÐÑ ß için Þ È È È È C Þ +<--9=ÐÑ Þ +<--9=ÐÑ % C Ð Ñ Þ +<--9>Ð Ñ ß ise C ÐÑ? % % C % Þ +<--9>Ð Ñ % Þ +<--9>Ð Ñ Þ Ð Ñ C ÐÑ % +<--9>Ð%Ñ ß +<--9>ÐÑ M8Ð Ñ ß %Þ ÞM8Ð Ñ %'ÞM8Ð Ñ & & 99
Parametrik Denklemi Verilen Fonksiyon Türleri : 0 À E MV Ä MV fonksiyonu C 0ÐÑ bağıntısı ile verildiği gibi?ð>ñ ve C @Ð>Ñ biçiminde de verildebilir u bölümde fonksiyonun C parametrik olarak verilmesi halinde türevinin nasıl bulunabileceğini göstereceğiz urada C 0ÐÑ fonksiyonunun 'in ve?ð>ñ ve @Ð>Ñ 'de > 'nin türevlenebilen birer fonksiyon olsunlar una göre?ð> >Ñ?Ð>Ñ ß C @Ð> >Ñ @Ð>Ñ olduğundan C @Ð> >Ñ@Ð>Ñ >?Ð> >Ñ?Ð>Ñ yazılabilir ve fonksiyonları diflenebilir olduklarından > süreklidirler Dolayısı ile t Ä Í Ä Þuna göre 0ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ 0Ð Ñ C Ä Ä C C Ò Ó >Ä @Ð> >Ñ@Ð>Ñ @ > >?Ð> >Ñ?Ð>Ñ? > > bulunur C C C? > > una göre > Þ İ ve Ú ile gösterilirse > C? C İ Ú, biçiminde yazılabilir Ð>Ñ + Þ -9=Ð7>Ñ CÐ>Ñ + Þ =38Ð7>Ñ parametrik denklemiyle verilen bağıntının > 7 ß( 7Á için) anındaki türevini bulunuz C C > +Þ7Þ-9=Ð7>Ñ +Þ7Þ=38Ð7>Ñ -9=Ð7>Ñ > 1 1 C Ð Ñ È > > Ð>Ñ / Ð -9=Ð>ÑÑ > CÐ>Ñ / Ð =38Ð>ÑÑ 1 ise C Ð Ñ? > C /Ð-9=>=38>Ñ / > Ð=38>-9=>Ñ Ê C ÐÑ > Ð>Ñ / Þ =38Ð>Ñ ve +Ð-9=Ð>Ñ >=38Ð>ÑÑ > CÐ>Ñ / Þ -9=Ð>Ñ C +Ð=38Ð>Ñ >-9=Ð>ÑÑ 100
C > yi bulunuz?ð>ñ @/ @Ð>Ñ Türevlenebilen Fonksiyonlar Olmak Üzere Fonksiyonunun İkinci Mertebeden Türevi : C 0ÐÑ C C? İ Ú?? İ Ú Ê C ÒC Ó Ò Ó İ > > Ú? C ÞÒ ÓÞ > ÞÒ? > İ Ú Ó CÞ?? ÞC Ð? Ñ?? C Þ?? ÞC C Ð? Ñ Ð>Ñ + Þ -9=Ð7>Ñ Ê + Þ 7 Þ =38Ð7>Ñ CÐ>Ñ + Þ =38Ð7>Ñ C + Þ 7 Þ -9=Ð7>Ñ C +Þ7 Þ-9=Ð7>Ñ +Þ7 Þ=38Ð7>Ñ C + Þ7 Þ=38 Ð7>Ñ+ Þ7 Þ-9= Ð7>Ñ + Þ7 Þ=38 Ð7>Ñ 1 + =38 Ð7>Ñ 7 Þ Ò=38 Ð7>Ñ -9= Ð7>ÑÓ Þ > ) % + % % È Þ + È + È ÞÒ ÓÞ Þ Þ Yüksek Mertebeden Türevler : % C C 0ÐÑ fonksiyonu verildiğinde C 'nin 1türevi C 0 ÐÑ eğer C C C ÐÑ türevlenebilirse C ÞÒ Ó 0 ÐÑ enzer olarak eğer 8 8 türevlenebilirse Ð8Ñ 8 Ð8Ñ C Ò Ó0 ÐÑ 8 ' CÐÑ 0ÐÑ için Ð&Ñ 0 ÐÑ hesaplayınız türevini & C ' ' C C C % ' ' ' ' 101
Ð&Ñ C ( Ê C ÐÑ ( CM8ÐÑfonksiyonu için y ÐÑ Ð8Ñ değerini bulunuz C ÐÑ ß C ÐÑ ß C ÐÑ Þ Þ ß % Ð8Ñ 8 8 C ÐÑ ÞÞÞ ÞÞÞ C ÐÑÐÑ ÞÐ8ÑxÞ ß 8 ß ß ß ÞÞÞ Ð8Ñ 8 C ÐÑ Ð Ñ Ð8 Ñ x + Ð8Ñ C/ fonksiyonu için 0 ÐÑ türevini hesaplayınız + + Ð8Ñ 8 + C ÐÑ + Þ / ß C ÐÑ + Þ / ß ÞÞÞ ß C ÐÑ + Þ / Ð8Ñ 8 Ð8Ñ Ð8Ñ C ÐÑ+ Þ Eğer + ise C/ ve C ÐÑ/ ßC ÐÑ Ð8Ñ 8 Ð8Ñ enzer olarak + ise C / ve C ÐÑ Ð Ñ Þ /, y ÐÑ ÐÑ 8 Ð8Ñ // Ð8Ñ /ÐÑ Þ/ C-9=ÐÑ ÊC ÐÑÒ Ó 8 Ð8Ñ ÐÑ ß 8 5 C ÐÑ ß 8 5 Ð8Ñ C =38ÐÑ Ê C ÐÑ Ò Ó 8 // Ð8Ñ /ÐÑ Þ/ 8 Ð8Ñ Ð8Ñ ÐÑ ß 8 5 C ÐÑ ß 8 5 10
CÐÑ Ð Ñ C ÐÑ Ð Ñ ß C ÐÑ ÞÞÐ Ñ ß % C ÐÑ ÞÞÞÐ Ñ ÞÞÞ C C Ð8Ñ 8 Ð8Ñ ÐÑÐÑ ÞÐÑ Ð8Ñ 8 8 ÐÑ Ð Ñ Þ ÐÑ Ð Ñ ß Ð8Ñ 8 Ð8Ñ C ÐÑ Ð Ñ Þ Ð Þ Ð8 ÑÑ Ð8Ñ Ð8Ñ CÐÑ Ð Ñ Ê C ÐÑ Ð Ñ Ð8Ñ Ð8Ñ 8 Ê C ÐÑ ß C ÐÎÑ Ð Ñ irbirine ağlı Oranlar : 8 Problem : ir göktaşı okyanusa düşüyor ve düştüğü yerde halkalar oluşturuyor u halkaların yarıçapı 6 cm/sn lik oranla artıyor ise 3 sn 'de çemberlerin alanındaki değişim oranı ne olur? E 1 < ß < > '-7Î=8ß >=8<Þ' )-7 E < > > 1Þ Þ < Þ 1Þ Þ Ð)Ñ Þ ' 1Ð)Ñ Þ ' 1-7 Î=8 Çevresindeki değişim oranı : Ç= 1< G < > > 1 Þ 1Þ ' 1-7Î=8 Problem : 10 metre uzunluğundaki bir merdiven duvara yaslanıyor Merdivenin alt ayağının duvardan 8 metre uzaklaştığında merdiven dışarı doğru 4 m/sn oranla hareket ediyor una göre merdivenin üst kısmı hangi hızla aşağı doğru hareket eder? C > > )? ¹ % 7Î=8 C C > > Þ C Þ C ) Þ % > > Þ ' C ' Þ Î C ' 7Î=8 103
Problem : Helyum gazı ile şişirilen küre şeklindeki bir balonun < yarıçapının artma oranı, < -7 olduğunda Þ) -7Î=8 'dir una göre : (i) u anda balonun hacmindeki değişme oranı nedir? (ii) u anda balonun alanındaki değişim oranı nedir? (ii) Kürenin =8sonraki hacmindeki ve alanındaki değişim oranı nedir? < @ < > < < > < -7 için ¹ Þ) -7Î=8 Þ % @ % < > > < Ð3Ñ Z Z Ð<Ñ 1< Ê ¹ Þ 1Þ Þ < Þ ¹ Z < % 1< % Þ 1Þ ÐÑ Þ ÐÞ)Ñ % Þ 1 Þ Þ ÐÞ)Ñ Ð33Ñ E % 1 < E ¹ E < Þ ¹ > < > 1-7 Î=8 < > < % Þ 1Þ Ð<Ñ Þ ¹ % Þ 1Þ Ð Þ Ñ Þ ÐÞ)Ñ '% 1-7Î=8 < > <Þ% Ð333Ñ > =8 < Þ% Þ% ¹ Þ) @ % > Ð+Ñ ¹ Þ 1Þ ÞÐÞ%Ñ Þ ÐÞ)Ñ '%Þ 1 &&Þ&% -7 Î=8 E E < > < > Ð,ÑE %Þ1Þ< Ê Þ )Þ1Þ< ¹ ÞÐÞ)Ñ ) Þ 1 Þ ÐÞ%Ñ Þ ÐÞ)Ñ (*Þ' -7 Î=8 <Þ% 104
Problem : ) metreye & metre boyutundaki bir levha ile köşelerinden eşit parça alınarak (kesilerek) maximum hacimli bir kutu yapılmak isteniyor una göre kutunun boyutlarını bulunuz Maximum hacimi bulunuz Z ÐÑ ÐÑ Þ Ð) Ñ Þ Ð& Ñ Ð) Ñ Þ Ð& Ñ Z ÐÑ % %' Z ÐÑ Þ %' Þ Z ÐÑ Þ % Þ * '* * * Ð Ñ %ÞÞ * ' ß & ' '* É & % & & % & oyutları ß ve Þ Maximum hacim = Þ Þ *Þ(%( 7 Problem : Yarıçapı ' 7 yüksekliği 7 olan bir düzgün koni 'nin içine maximum hacimli bir düzgün silindir konmak isteniyor una göre silindirin yüksekliğini ve yarıçapını bulunuz Maximum hacmi nedir? İstenen silindirin hacmi : @1 Þ< ÞÞ enzer üçgenleri kullanarak < & &< ' Ê < Ê &< Ê &< & Z 1Þ< ÞÐ ÑÞ1Þ< Þ1Þ< ß Ÿ< Ÿ' Z < Þ1Þ< &Þ1Þ< &Þ1Þ<Ð%<Ñ Ê< @/ < % <% Ê ' Z 1Þ< Þ 1ÞÐ'ÑÞ Þ1Þ7 105
Problem : Kapalı silindir şeklinde bir kutu -7 sıvı tutabiliyor u silindiri en az malzemeyle yapmak için bu cismin yüksekliğini ve yarıçapını bulunuz W 1< Þ 1< 1 < Z 1< Þ Ê 1Þ < Þ Ê 1< < È 1 WÐ<Ñ 1<ÞÐ Ñ 1< 1< Ê < Maksimum Minimum : Teorem : M bir aralık, 0 À M Ä MV fonksiyonu sürekli ve + M 'da türevli olsun Öyle bir vardır ki, 0 Ð+Ñ ise 0fonksiyonu Ð+ ß+ Ñda artan, 0Ð+Ñ ise Ð+ ß+ Ñde azalandır 0ÐÑ0Ð+Ñ İspat : 0 Ð+Ñ olsun u takdirde Ä+ + olur u durumda öyle bir vardır ki Ð+ ß +Ñ ve Ð+ß + Ñ için zira 0ÐÑ0Ð+Ñ + olur u da 0 'nin Ð+ ß+ Ñda artan olduğunu gösterir + ise 0ÐÑ 0Ð+Ñ Ê 0ÐÑ 0Ð+Ñ + için ÐÑ 0Ð+Ñ Ê 0ÐÑ 0Ð+Ñ olur enzer olarak 0 Ð+Ñ olduğunda 0 'nin Ð+ ß+ Ñaralığında azalan olduğu gösterilebilir Sonuç : 0 fonksiyonu Ò+ß,Óde sürekli ve Ð+ß,Ñ'nin herbir noktasında türevli olsun Her Ð+ß,Ñ için 0 ÐÑ ise 0, Ò+ß,Ó de artan, 0 ÐÑ ise Ò+ß,Ó de azalandır 0ÐÑ '& fonksiyonunun artan yada azalan oldukları aralıkları bulunuz 0 ÐÑ ' u ifadenin işaretini incelersek O halde 0 fonksiyonu Ð_ßÓde azalan, Òß _Ñda artandır Verilen fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir bulunuz 0ÐÑ fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları 0 ÐÑ olduğundan fonksiyon Ð_ß _Ñ aralığında artandır 106
Not : 0ß Ò+ß,Ó de sürekli ve -ß Ð+ß,Ñ olsun 0 fonksiyonu Ð+ß-Ñ'de artan, Ð-ß,Ñ 'de azalan yada 0 ÐÑ fonksiyonu ise - 'de bir yerel maksimuma sahiptir Eğer 0 Ð+ß Ñ 'de azalan, Ðß,Ñ 'de artan yada 0 ÐÑ ise 'de bir yerel minimuma sahiptir 0ÐÑ ( fonksiyonunun yerel ekstremmum noktalarını ve değerlerini bulunuz 0 ÐÑ ( Þ Ð *Ñ Þ Ð Ñ Þ Ð Ñ inceleye türevinin işaretini u tabloya göre 0ÐÑfonksiyonu Ð_ß Óaralığında artan ÒÞÓ aralığında azalan ve Òß _Ñ aralığında artandır 'ün solunda artan sağında azalan olduğundan de yerel maksimum ve benzer olarak da 'de yerel minimuma sahiptir Yerel maksimum değeri 0ÐÑÐÑ (ÞÐÑ ( Þ Ð Ñ &%Þ Yerel minimum değeri 0ÐÑ ÐÑ ( Þ ÐÑ ( Þ Ð Ñ &% Yerel extremum noktalarının sağında ve solunda türev farklı işaretlidir Extremum noktalarında türev sıfırdır Teorem (Fermat Teoremi) : 0 À Ò+ß,ÓÄMV fonksiyonunun bir - Ð+ß,Ñ noktasında bir yerel minimumu veya maksimumu varsa ve 0 fonksiyonu - noktasında türevlenebiliyorsa 0 Ð-Ñ dır İspat : Kabul ede ki 0 fonksiyonu - Ð+ß,Ñ'de yerel maksimuma sahip olsun u taktirde öyle bir MV vardır ki ± - ± şartını sağlayan her için 0ÐÑ Ÿ 0Ð-Ñ ± ± olacak şekilde seçilen her için - ' da bu komşuluğa dahil olacağından ister negatif ister pozitif olsun 0Ð- Ñ Ÿ 0Ð-Ñ Ê 0Ð- Ñ0Ð-Ñ Ÿ dolayısı ile 0Ð-Ñ0Ð-Ñ için Ÿ Ê0 Ð-ÑŸ 0Ð-Ñ0Ð-Ñ için Ê0 Ð-Ñ f, c noktasında türevlenebilir olduğundan yada için 0Ð-Ñ0Ð-Ñ 107 0 Ð-Ñ 0 Ð-Ñ 0 Ð-Ñ Ÿ Not : 0 À Ò+ß,Ó Ä MV fonksiyonu için 0 - Ð+ß,Ñ ve 0 Ð-Ñ 0 Ð-Ñ olup 0 Ð-Ñ 'de türevli ve
0 Ð-Ñ olması, fonksiyonun - noktasında bir extremuma sahip olmasını gerektirmez Yani Fermat Teoreminin karşıtı her zaman doğru değildir 0ÐÑ Þ 0 À MV Ä MV 0 ÐÑ için 0ÐÑ Þ için 0ÐÑ ne yerel maksimuma ne de yerel minimuma sahiptir Not : Fonksiyon bir noktada yerel ekstremuma sahip olduğu halde o noktada türevli olmayabilir Örneğin : 0ÐÑ Î ß1ÐÑ ±± È fonksiyonları için 0 ÐÑ Þ olup ise 0 ÐÑ ß ise 0 ÐÑ için 0ÐÑ bir yerel minimumdur fakat noktasında 0ÐÑ Î fonksiyonunun türevi yoktur enzer şekilde 1ÐÑ ±± için ise 1 ÐÑ ve ise 1 ÐÑ olup 1ÐÑ 'da yerel minimuma sahip 1ÐÑ Þ Fakat 1 ÐÑ noktasında türevi mevcut değildir Tanım : 0À+ MVÄMV fonksiyonu için 0 Ð-Ñ şartını sağlayan - noktasına 0 fonksiyonunun duraklama yada kritik noktaları denir & & 0ÐÑ & Þ Þ fonksiyonunun varsa kritik noktalarını bulunuz unlardan hangileri yerel ekstremum noktalarıdır? % 0 ÐÑ & Þ Þ Ð &Ñ Þ Ð &Ñ Þ Ð &Ñ Ê ß &ß & % Kritik noktalar kümesi ß &ß & türevin işaret tablosu yapılırsa : bulunur Tablodan görüldüğü gibi, & 'de yerel maksimum & 'de yerel minimum vardır kritik noktası bir ekstremum nokta değildir & & & C0ÐÑ 108
0ÐÑ Þ/ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını ve değerlerini bulunuz 0 ÐÑ ÐÑÞ/ Ê 0ÐÑ / Teorem : 0 À Ò+ß,Ó Ä MV fonksiyonunun kritik noktalarını c ß - ß ÞÞÞ ß - : ß türevsiz olduğu noktalar D ß D ßÞÞÞß D< ise 0Ð+Ñß0Ð-Ñß0Ð-ÑßÞÞÞß0Ð-Ñß0ÐDÑß0ÐDÑßÞÞÞß0ÐDÑß0Ð,Ñ : < kümesinin en büyük elemanına 0 'nin mutlak maksimum (en büyük) değeri, en küçük elemanı 0 'nin mutlak minimumu (en küçük) değeridir 0ÐÑ biçiminde tanımlanan 0 À Ò ß Ó Ä MV fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerini hesaplayınız 0 ÐÒ ß ÓÑ kümesini hesaplayınız 0ÐÑÐÑ olup 0 ÐÑ ÞÐÑ 0 Ð Ñ Ð Ñ 0ÐÑ ÐÑ 'da mutlak minimumu var ve 0Ð Ñ ve 'da mutlak maksimum var ve 0ÐÑ & & 0ÐÑ & Þ Þ fonksiyonu 0 ÀÒ'ß'Óüzerinde tanımlanmış olsun una göre yerel ve mutlak ekstremumlarını bulunuz & & & & 0Ð&Ñ ÞÐ&Ñ Þ& ÞÐ&Ñ & ÞÒ Ó & & Þ & & & & & & ÞÒ Ó & & & & yerel maksimum ve 0Ð&Ñ & Þ& Þ& & ÞÒ& Ó & Þ & & & yerel minimumdur 0Ð'Ñ 0Ð&Ñ olup 0 Ð&Ñmutlak maksimum ; 0Ð'Ñ 0Ð&Ñ olup 0Ð&Ñ mutlak minimumdur u örnek için yerel ekstremum noktaları, mutlak ekstremum noktalarıdır Teorem : 0 fonksiyonu Ð+ß,Ñ aralığında türevli, -noktası 0 fonksiyonunun bir kritik noktası, yani 0 Ð-Ñ ß 0 Ð-Ñmevcut ve sıfırdan farklı olsun (i) Eğer 0 Ð-Ñ [(concave don) convex] ise - 'de bir yerel minimum, 109
vardır İspat : (ii) Eğer 0 Ð-Ñ [(concave up) conkav] ise - 'de bir yerel maksimum (i) 0 ÐÑ 1ÐÑ olsun una göre 1 Ð-Ñ 'dır 1 artandır 1ÐÑ1Ð-Ñ - için, 1Ð-Ñ1ÐÑ-Þ 0 ÐÑß - ve 0 ÐÑ O halde 0 fonksiyonu -noktasında bir yerel minimuma sahiptir (ii) ' de benzer olarak ispatlanabilir & EÐ ß Ñ noktasının C È eğrisine olan uzaklığını bulunuz & & É Ð Ñ Ê 0ÐÑ Ð Ñ 0 ÐÑ% Ê kritik yada duraklama noktasıdır Ê * % 0 ÐÑ olduğundan 0ÐÑyerel minimumdur 0ÐÑ Ð Ñ 0ÐÑ M8 şeklinde tanımlanan 0 À MV Ä MV fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz 0 ÐÑ M8 Þ M8 M8 0ÐÑ ÊM8 Ê/ olur / 0 ÐÑ Ê 0 Ð/Ñ olduğunda / yerel minimum noktasıdır Yerel minimum değeri 0Ð/Ñ / Þ M8Ð/Ñ Þ / / / / olur 110
Tanım : O MV olsun Eğer Okümesinin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası O kümesinin içinde kalıyorsa O'ya bir konveks küme adı verilir Konveks küme Konveks olmayan küme Tanım : 0 fonksiyonu Ò+ß,Ó'de sürekli bir fonksiyon olsun Eğer O ÖÐßCÑ À Ò+ß,Óve C 0ÐÑ kümesi, yani fonksiyonun grafiğinin üst tarafında bulunan bölge konveks ise 0 fonksiyonu konvekstir veya yukarı bükümlüdür denir 0ÐÑ fonksiyonu konveks fonksiyondur Yani O ÖÐß CÑ MVß C kümesi bir konveks kümedir Çünkü bu küme içinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğrununtüm noktaları yine bu bölgededir Türevle İlgili Teoremler : Kapalı bir aralıkta sürekli ve bu aralığın iç noktalarında türevli fonksiyonların arasında bazı ilişkiler vardır u bölümde bununla ilgili teoremleri verip ispatını yapacağız Teorem (Rolle Teoremi) : 0, Ò+ß,Ó aralığında sürekli ve a Ð+ß,Ñ noktasında türevli olsun Eğer 0Ð+Ñ 0Ð,Ñ ise Ð+ß,Ñ aralığında 0 Ð-Ñ olacak şekilde en az bir - noktası vardır 0Ð+Ñ 0Ð,Ñ Ê b - Ð+ß,Ñ ½ 0 Ð-Ñ İspat : 0 'nin Ò+ß,Ó ' de aldığı en büyük değer M, en küçük değer 7olsun Eğer Q7ise fonksiyon sabit fonksiyon olur bu durumda aiçin 0 ÐÑ olacağından teorem açıktır Şimdi QÁ7 yani 7Qolsun 0Ð+Ñ0Ð,Ñolduğundan fonksiyon Qve 7 değerlerini aralığın uç noktalarında olamaz Kabul ede ki 0 fonksiyonunun Q değerini bir - Ð+ß,Ñ 'de alsın Fermat teoreminden dolayı 0 Ð-Ñ olur öylece teorem ispatlanmış olur Not : 1) 0 ß Ò+ß,Ó 'de sürekli ve Ð+ß,Ñ de türevlenebilen ve 0Ð+Ñ 0Ð,Ñ ise eğrinin en az bir noktasındaki teğeti O eksenine paraleldir (teğetinin eğimi sıfırdır) Not : ) 'de sürekli ve de türevli ve özel olarak ise 0ß Ò+ß,Ó Ð+ß,Ñ 0Ð+Ñ 0Ð,Ñ 0 fonksiyonunun iki sıfır yeri (kökü) arasında türevinin sıfır olduğu en az bir yer vardır 111
% 0ÐÑ % olsun 0 ÐÑ birer sınır bulunuz denkleminin kökleri için % 0ÐÑ % Ð Ñ Þ Ð Ñ Ð ÈÑ Þ Ð ÈÑ Þ Ð Ñ Þ Ð Ñ olduğundan 0 ÐÑ denkleminin üç reel kökü vardır Èß ß ß È % 0Ð È Ñ0ÐÑ olup b Ð È ßѽ0 ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ olup b ÐßÑ ½ 0 Ð Ñ 0ÐÑ 0Ð È Ñ olup b Ð ß È Ñ ½ 0 Ð Ñ Gerçekten 0 ÐÑ% ) Ê%Ð Ñ Ê È ß ß È olur Rolle teoreminden faydalanarak 5x % % ) denkleminin Ðß Ñ aralığında bir köke sahip olduğunu gösteriniz & % 0ÐÑ ) dersek % 0 ÐÑ & % ) olur Diğer taraftan 0ÐÑ 0ÐÑ olduğundan 0 ÐÑ olacak şekilde en az bir ÐßÑvardyr Dolayısı ile % & % denkleminin bir kökü Ðß Ñ Teorem : (Diferansiyel Hesabın ODT) 0 À Ò+ß,Ó ÄMV fonksiyonunun Ò+ß,Ó de sürekli ve a Ð+ß,Ñ'de türevlenebilir olsun u taktirde 0ÐÑ 0Ð,Ñ0Ð+Ñ,+ olacak şekilde en az bir x Ð+ß,Ñ vardır İspat : KÀÒ+ß,ÓÄMVßKÐÑ0ÐÑ5olarak tanımlayalım 5 sabit K Ò+ß,Ó 'de süerkli ve Ð+ß,Ñ 'de türevlidir Şimdi 5 değerini KÐ+Ñ KÐ,Ñ olacak şekilde seçe 0Ð+Ñ5+ 0Ð,Ñ5, 11
0Ð,Ñ0Ð+Ñ 0Ð,Ñ0Ð+Ñ Ê 5,+ Þ una göre KÐÑ 0ÐÑ,+ Þ KÐÑ Rolle Teoreminin bütün şartlarını sağlar u yüzden K Ð Ñ olacak şekilde b Ð+ß,Ñvardır 0Ð,Ñ 0Ð+Ñ,+ ÊK ÐÑ0 ÐÑ Ê0 ÐÑ 0Ð,Ñ0Ð+Ñ,+ Sonuç : 0@/1ßÒ+ß,Óaralığında sürekli ve bu aralığın iç noktalarında tüervli olsun a Ð+ß,Ñ için 0 ÐÑ 1 ÐÑ ise 0ÐÑ ile 1ÐÑ bir sabit kadar farklıdır Yani a Ò+ß,Óiçin 0ÐÑ1ÐÑ5 olacak şekilde bir 5sabiti vardır İspat : ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ denirse a Ð+ß,Ñ ÐÑ 0 ÐÑ 1 ÐÑ için ÐÑ 5 sabit Þ 0ÐÑ 1ÐÑ 5 yada 0ÐÑ 1ÐÑ 5 % 0 ÐÑ & ve 0ÐÑ ) olduğuna göre 0ÐÑ nedir? & % 1ÐÑ & türevi & olan bir fonksiyon olduğundan b 5 sabiti vardır ki & 0ÐÑ1ÐÑ5 & 5 0ÐÑ) olduğunda fonksiyon : &5) Ê5 bulunur Şu halde istenen & 0ÐÑ & elirsizlik Şekilleri : ir 0 fonksiyonu noktasındaki iti araştırılırken, belirsizlik şekiller denilen : ß ß ß ßß_ß ifadelerinden biri ile karşılaşılabilir u tip itler türev yardımıyla kolayca hesaplanabilir elirsizlik Hali : Aşağıdaki verilen teorem bu belirsizlik halini ortadan kaldırır Teorem (L' Hospital Kuralı) : 0 ve 1 fonksiyonları + noktasında sürekli, Á + için türevli iki fonksiyon ve 1ÐÑ Á olsun Eğer 0ÐÑ 1ÐÑ ise Ä+ Ä+ 113
0ÐÑ Ä+ 1ÐÑ 0 ÐÑ Ä+ 1 ÐÑ İspat : 0 ve 1 fonksiyonları + noktasında sürekli olduklarından 0ÐÑ 0Ð+Ñ ve 1ÐÑ 1Ð+Ñ Ä+ Ä+ una göre Teoreminden 0ÐÑ 1ÐÑ 0ÐÑ0Ð+Ñ 1ÐÑ1Ð+Ñ Þ + olsun Genelleştirilmiş Ortalama Değer 0ÐÑ0Ð+Ñ 0 Ð Ñ 1ÐÑ1Ð+Ñ 1 Ð Ñ olacak şekilde bir Ð+ßÑ vardır una göre bu ifade 0ÐÑ 0ÐÑ0Ð+Ñ 0 Ð Ñ Ä+ 1ÐÑ Ä+ 1ÐÑ1Ð+Ñ Ä+ 1 Ð Ñ olur Ä + için Ä + olacağından 0ÐÑ Ä+ 1ÐÑ 0 ÐÑ Ä+ 1 ÐÑ + için de benzer yol takip edilir 0 ÐÑ Eğer şeklinde ise yani belirsizlik devam ediyorsa L'Hospital Ä+ 1 ÐÑ kuralı yeniden uygulanır belirsizlik halinde kurtuluncaya kadar kural tekrarlanabilir M8Ð Ñ PÞL Ä Ä olup olup -9=ÐÑ =38ÐÑ=38ÐÑ PÞL -9=ÐÑ Ä Ä 1ÐÑ ß + 1ÐÑ1Ð+Ñ Ä+ 0ÐÑ Ä+ 0ÐÑ0Ð+Ñ + + % Ä+ Ä+ 0ÐÑ0Ð+Ñ + 1ÐÑ1Ð+Ñ + Ä+ 0 ÐÑ 1 ÐÑ / Ä PÞL / Ä Mevcut Değildir Ä =38ÐÑ Ä Ð =38Ñ Ä Ä olan elirsizlik halidir, 114
PÞL -9=ÐÑ Ä PÞL =38ÐÑ Ä ' elirsizlik hali hala elirsizlik hali hala PÞL -9=ÐÑ Ä ' ' M8Ð-9=Ð7ÑÑ Ä5 M8Ð-9=Ð8ÑÑ 1 5 ßßßÞÞÞ 7 ß ß ÞÞÞ 8 ß ß ÞÞÞ t Ä 0 7=38Ð7Ñ PÞL 7-9=Ð8Ñ =38Ð7Ñ Ä51 8=38Ð8Ñ 8 Ä51-9=Ð7Ñ Ä51 =38Ð8Ñ -9=Ð7Ñ Þ Þ -9=Ð8Ñ 7Þ-9=Ð7Ñ 8 Ä5 8Þ-9=Ð8Ñ 8 PÞL 7 7 Þ 1 0ÐÑ 1ÐÑ > belirsizliği için >Á olmak üzere yazılırsa Ä _ için Sonuç : 0 ve 1 fonksiyonları bir 7 reel sayısından büyük her noktasında türevlenebilir olsunlar Ayrıca 0ÐÑ 1ÐÑ Ä_ Ä_ ve her 7 için 1 ÐÑ Á olsun bu taktirde 0ÐÑ Ä_ 1ÐÑ 0 ÐÑ Ä_ 1 ÐÑ 115
=38Ð Ñ Ä_ itini hesaplayalım PÞL Ä Þ Þ-9=Ð Ñ _ Ð Ñ Ð Ñ -9=Ð ÑÞ Þ Ä_ Þ 0ÐÑ 1ÐÑ Ä+ Ä+ Ð Ñ Ä_ ÞÐ Ñ 0ÐÑ Ä+ 1ÐÑ 0 ÐÑ Ä+ 1 ÐÑ ß 1 ÐÑ Á Ä > JÐ>Ñ > > KÐ>Ñ İspat : 0Ð ÑJÐ>Ñve 1Ð ÑKÐ>Ñ olsun > Ä için ifadesi formundadır una göre 0ÐÑ J Ð>Ñ J Ð>Ñ Ä 1ÐÑ KÐ>Ñ _ >Ä >Ä K Ð>Ñ >Ä 0 Ð> ÑÞÐ Ñ > 0 ÐÑ 1 Ð ÑÞÐ Ñ Ä 1 _ ÐÑ > > Ä_için belirsizliği elde edileceğinden aynı yöntemin uygulanabileceği açıktır elirsizlik Şekli : u belirsizlik halinde de L'Hospital kuralı geçerlidir Çünkü ;? _ @ @ À? _ olup belirsizliği belirsizliğine dönüşür Ä M8Ð=38Ñ M8Ð>+8Ñ belirsizlik biçimindedir PÞL Ä -9= =38 una göre Þ Ä >+8 >+8 >+8 Ä -9= >+8 =38 >+8 M8 Ä_ / Ä -=- (a) ß (b) Þ_ elirsizlik Şekli : 116
?? Þ @ eşitliği yardımıyla Þ_ belirsizliği veya haline getirebilir @ Þ ß Þ ß ÈÞ _ Ä+ Ä Ä Ä Ð -9=Ñ Þ -9> elirsizlik Şekli : u@? @ eşitliği yardımıyla belirsizlik haline dönüştürülür?þ@ Þ_ elirsizlik Şekli : Aşağıdaki itleri hesaplayınız (a) ÞM8 Ä (b) Ð>+8ÑÞ=/- Ä 1 % (a) M8 PÞL Ä Ä Ä veya PÞL Ä ÎM8ÐÑ ÞÐM8Ñ Ä Ä ÐM8Ñ Ä ÒM8ÐÑÓ Ä ÞM8ÐÑÞ ÞM8 Þ ÞM8 Ä Ä Ê ÞM8 Ä (b) Ä >+8 >+8 Ä -9=ÐÑ =/-ÐÑ 1 1 % % elirsizliği mevcuttur PÞL =/- Ä 1 Þ =38ÐÑ % elirsizlik Şekli : (a) Aşağıdaki itleri hesaplayınız Ð Ñ belirsizlik şekli olup Ä =38 117
Ð Ñ Ð Ñ Ä =38 =38 Ä Þ =38 belirsizlik şekli olup PÞL Ä -9= =38-9= Ð Ñ belirsizlik şekli olup PÞL Ä =38 Ð-9=-9==38Ñ (b) Ð Ñ Ä / belirsizlik şekli olup Ð Ñ ß P Ä / / Ð/ Ñ Ä / / PÞL / Ä /// Ä P (c) ÐM8 M8Ð ÑÑ Ä belirsizlik şekli olup M8Ð Ñ M8Ð Ñ Ä_ PÞL Ä_ Ä_ M8Ð ÑM8ÐÑ (d) ÐÈ Ñ belirsizlik şekli olup Ä_ Ä_ È belirsizlik şekli olup PÞL Ä_ È É (e) Ð-=- Ä Ñ belirsizlik şekli olup =38 Ä =38 Ä =38 Ð Ñ Ð Ñ (a) ' daki gibi 118
ß _ ß _ elirsizlik Şekillleri : 1ÐÑ Ò0ÐÑÓ Ä+ Î Ð Ñ Ä _ şeklinde itler bu belirsizlik şekillerini üretebilirler Örneğin u tip itlerin hesabı için alınıp daha sonra iti hesaplanır _ À C Ò0ÐÑÓ 1ÐÑ ifadesinin doğal logaritması Ð Ñ / olduğunu gösteriniz Ä _ CÐÑ belirsizlik şekli olup M8CM8ÐÑ Ð Ñ C / M8C Ä Ä Ä M8ÐÑ / Ä M8C ÞM8Ð Ñ / M8ÐÑ Ä M8ÐÑ PÞL Ä Ä / / À Ð / Ñ Ä >+8 belirsizlik şekli olup CÐ/ Ñ >+8 ÊM8C>+8ÞM8Ð/ Ñ M8C Ä Ä Ä C / / / >+8 Þ Ð/ Ñ Ä >+8ÐM8Ð/ ÑÑ Ä M8Ð/ Ñ -9> belirsizlik şekli olup L'Hospital uygularsak PÞL Ä / / Þ=38 / -=/- ÐÑ Ä / 119
=38 Þ =38 Þ -9= Ä Ä / Ä / / Þ C Ð/Ñ / Ä Ä >+8 _ À Ä_ Î, Ð +Ñ _ belirsizlik şekli olup b Á 0, a ß, CÐ+Ñ, ÊM8C M8Ð+Ñ, P Ð+Ñ / Ä_ M8Ð+Ñ,, Ä_ / M8Ð Ä_ M8Ð+Ñ, Ñ M8Ð+Ñ _ Ä_, _ belirsizlik şekli olup PÞL + + Ä_, M8Ð Ñ _ P/ / 1 _ À Ð Ñ / Ä_ +,, Þ M8 Ð Ñ Ä_ +, + C Ð Ñ Ê M8C, Þ M8Ð Ñ M8C C / / +,ÞM8Ð Ñ + M8Ð+ Ñ / P Ä_, PÞL Ä_ + + P +Þ, /, +Þ, Not : +ß, ise Ð Ñ / Ä_ +, 10