İki Boyutlu Yapılar için Doğrudan Rijitlik Metodu (Direct Stiffness Method) (İleri Yapı Statiği II. Kısım) Doç. Dr. Özgür Özçelik Dokuz Eylül Üniversitesi, Müh. Fak., İnşaat Müh. Böl.
Genel
Genel
Genel
Genel
Sistem Rijitlik Matrisi - K Eleman (a): (Node = Düğüm noktası)
Yapı Rijitlik Matrisi - K Eleman (b): 6
Sistem Rijitlik Matrisi - K Eleman (a): Eleman (b):
Sistem Serbestlik Derecelerinin (S.D. lerin) Numaralandırması Temel Motivasyon: Eleman SD ile global SD arasında bir ilişki kurmak. Bunu yaparken serbest olan global SDler ile tutulmuş SDler arasındaki farkı da dikkate almak! Serbest düğüm nok. Engellenmiş düğ. nok. Serbest düğ. nok. yerdeğiştirmeler Engellenmiş düğ. nok. yerdeğiştirmeler
Serbest (Free) Serbestlik Dereceleri için Denge Denklemleri P 5 P 4 P 6 Serbest S.D. lerindeki dış kuvvetler Yerdeğiştirmeleri bilinen S.D. ndeki dış kuvvetler (mesnet reaksiyonları).
Denge Matrisinin Direkt Asembilasyonu(Direct Assembly) Serbest (free dof s) ve tutulmuş serbestlik dereceleri (restrained dof s) için denge denklemleri: Dış kuvvetler (P) ve iç kuvvetler (F) arasındaki dengeden. Matris formunda yazılırsa.
Denge Matrisinin Direkt Asembilasyonu(Direct Assembly) Eleman dengesinden global eksenlerdeki tüm eleman uç kuvvetlerini,, temel kuvvetler,, cinsinden yazabiliriz: Burada, Birim matris çünkü
Denge Matrisinin Direkt Asembilasyonu(Direct Assembly) Pg 3-9
Uygunluk Matrisinin Direkt Asembilasyonu Global eksenlerde serbest olan serbestlik derelerindeki yer değiştirmeleri ile eleman uçlarındaki yer değiştirmeler arasındaki uygunluk:
Uygunluk Matrisinin Direkt Asembilasyonu Yukarıdaki ilişkiler matris formda yazılırsa: Boolean deplasman transformasyon matrisi (aelamanı için) Boolean deplasman transformasyon matrisi (b elamanı için)
Uygunluk Matrisinin Direkt Asembilasyonu Eleman uygunlukları kullanılarak eleman temel deformasyonları ile global eksenlerdeki eleman uç yer değiştirmeleri ilişkilendirilebilir. burada
Uygunluk Matrisinin Direkt Asembilasyonu oluşturulabilir. burada Serbest serbestlik dereceleri için yapı uygunluk matrisi Pg 3-11
Doğrudan Rijitlik İmplementasyonu Bu yöntemde aşağıdaki şekilde ilerlenecektir: Serbest serbestlik derecelerindeki denge denklemleri aşağıdaki gibi yazılır: Dengeden! Temel eleman kuvvetleri ile temel deformasyonlar aşağıdaki gibi ilişkilidir (e: eleman anlamına geliyor): Temel eleman deformasyonları ile global eksenlerdeki serbest serbestlik dereceleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir: Uygunluktan! Hatırlatma! Başlangıç kuvvetlerinin olmaması durumunda (mesnet çökmesi, sıcaklık değişimi, fabrikasyon hatası):
Tekrar: Doğrudan Rijitlik Metodu Doğrudan Rijitlik İmplementasyonu Burada aşağıdaki formdaki çarpımlara dikkat edilirse: : a. elemanın global koordinatlardaki eleman rijitlik matrisi. Serbest serbestlik derecelerindeki yer değiştirmeleri ortak paranteze alırsak, aşağıdaki ilişki elde edilir: Parantez içindeki terimin global eksenlerdeki serbest serbestlik dereceleri için kurulmuş sistem rijitlik matrisi olduğu açıktır: : Nel burada eleman sayısıdır.
Doğrudan Rijitlik İmplementasyonu Dikkat edilirse, sistem rijitlik matrisi eleman rijitliklerinin toplamından oluşmuştur. Toplama eleman rijitliklerinin tümünün global koordinatlarda ifadesi durumunda mümkündür. Ayrıca, Boolean matrisleri 1 ve 0 lardan oluşmuştur. 1 ler eleman lokal serbestlik dereceleri ile global (sistem) serbestlik derecelerinin ilişkide olduğu satır ve sütün elemanlarını oluşturmaktadır. Her satır ve kolon en fazla bir tane 0 dan farklı elemana sahiptir. Bu durumda, eleman rijitlik matrisleri ile lerin çarpımı eleman rijitlik değerlerinin sistem rijitlik matrisinde (global eksenler) doğru yerlere konumlanması ile sonuçlanır.
Eleman (a) için bunu gösterirsek: Doğrudan Rijitlik Metodu Doğrudan Rijitlik İmplementasyonu Bu matris şunu gösterir: 4. global eleman S.D. 1. global serbest sistem S.D. ne, 5. global elemans.d. 2. global serbest sistem S.D. ne, 6. global elemans.d. 3. global serbest sistem S.D. ne denk düşmektedir. Diğer S.D. ise sınırlandırılmış S.D. lerine karşılık gelmektedir.
Doğrudan Rijitlik İmplementasyonu Bu durumda a. ve b. elemanlar için ID array ler şu şekilde düzenlenir: (a) (b) (a) Elemanı için ID Array (b) Elemanı için ID Array
Doğrudan Rijitlik İmplementasyonu Eleman rijitlik matrisinden, sistem rijitlik matrisine rijitlik elemanlarının elemanların konumlandırılması (a) elemanı için aşağıda gösterilmiştir:
Dış Kuvvetlerin Doğrudan Asembilasyonu Yukarıdaki incelemeden açıktır ki, sistemin iç kuvvet vektörünü direkt olarak oluşturmak ve böylece, sistem denge denklemlerini elde etmek mümkündür: Lineer elastik malzeme için: Eleman uç kuvvetleri Sistem iç kuvvet vektörü denge durumu Denge şartı! P r : Uf serbestlik derecelerindeki iç kuvvet vektörü P f : Uf serbestlik derecelerine etkiyen dış kuvvet vektörü
Örneğe Geri Dönüş Rijit off-set yok (rijit uç bölgesi yok)
Örneğe Geri Dönüş (a) Elemanının temel S.D. deki eleman rijitlik matrisi
Örneğe Geri Dönüş (a) için ID array:
Örneğe Geri Dönüş
Örneğe Geri Dönüş (b) İçin ID array:
Örneğe Geri Dönüş Sistem rijitlik matrisinin direkt asembilisi: Denge denklemleri:
Örneğe Geri Dönüş 2. Nodun (düğüm noktasının), 1. serbest S.D. sinin, yatay yöndeki dengesi. 2. Nodun, 2. serbest S.D. sinin, düşey yöndeki dengesi. 2. Nodun, 3. serbest S.D. sinin, dönme yönündeki dengesi. Denge denklemi Matlab kullanılarak hesaplanır Matlab kullanılarak hesaplanır: Kontrol et: