KISALTILMIŞ SİMPLEKS YÖNTEMİ

KISALTILMIŞ SİMPLEKS YÖNTEMİ Öğr. Görv. Dr. Orhan İDİL (İ.Ü. İşletme Fakültesi) İstatistik Demografi ve İktisadi Analizler Kürsüsü l.l. Doğrusal Programlama Problemleri : Doğrusal programlama problemlerinde kullanılan Simpleks Yöntemi G.B. Dantzig tarafından 1947 yıllarında geliştirilmiştir. Aradan geçen uzun süreye rağmen bu yöntem günümüzde daha yeni olan «Multipleks», «Duopleks» ve «Tripleks» yöntemlerine ekseriyetle tercih edilmektedir. Zira simpleks doğrusal denklem sistemlerinin matris cebri yardımıyla çözümünün genelleştirilmesine dayanmakta ve ileri bir matematik nosyonuna hitiyaç göstermemektedir. Bu nedenle öğrenilip tıygulanması kolay olan Simpleks Yönteminin çeşitli kademelerde yorumlanabilmesi olanağı da yöntemi çekici hale getirmektedir. Doğrusal programlamanın amacı belirli sınırlar altında çok sayıda faaliyetin (activity) kapsayan bir sistemdeki optimal faaliyet seviyelerini belirlemektir. Böyle bir sistemde önce doğrusal bir gaye fonksiyonu bulunur. Bu fonksiyon Z, değişkenler X 2 X :.,X Ö ve değişkenlerin katsayıları C lf C 3 C n ile gösterildiğinde gaye fonksiyonu Z = C 1 X 1 - -C a -X a +.... +C J X j + şeklini alır. Doğrusal programlama problemlerinde yukardaki Z'yi maksimize veya minimize edecek X d değerleri aranır. Minimizasyon problemi aslında negatif bir maksimizasyon olduğundan bundan sonraki açıklamalarımızda maksimizasyon problemi -üzerinde duracağız.

174 O. İdil Gaye fonksiyonu sınırlayıcı şartlar bulunmadığı takdirde Xj > co olduğunda maksimum değerini alır. Pratikte ise problemde bazı sınırlamalar vardır. Doğrusal programlama problemlerinde bu sınırlar da doğrusaldır. Şayet m tane sınırlayıcı şart varsa bunları aşağıdaki eşitsizlik sistemiyle gösterebiliriz: «n x ı + a J2 x 2 + + a 1} x t + + a la x < b, a 21 x 1 + a 22.x 2: + + a 2i x J + + a ia x n < b z - a ml #! + + + a^'sci +... + <wx <b m. Böyle bir sistemde < işareti yerine > de bulunabilir. Bu takdirde.eşitsizliğin her iki tarafı -^1 ile çarpılarak ilk duruma dönülebilir. Yukarıdaki sınırlamalar. dışında son olarak değişkenlerin pozitiflik ; şartı;mevcuttur.,. \ ' ; x l t x s,,x n >o Bütün bu sınırlayıcı şartlar sistemi bir çözüm meydana getirir. Bu alan içindeki her ] X J ( X 2,... X n \ seti bir alternatif:faaliyet olarak düşünülürse doğrusal programlama probleminin çözümü mümkün bütün setler yani alternatif faaliyetler arasından gaye fonksiyonu değerini maksimize edecek olanının bulunması şeklinde ifade edilebilir. Simpleks yönteminde çözüm alanının köşeleri sistematik şekilde incelenerek optimal sonuca ulaşılır. Büyük boyutlu doğrusal programlama modellerinin ancak kompüter yardımıyla çözülebileceği bir gerçektir. Ancak. ekseriyetle karşılaşılan küçük problemlerden elle veya hesap makinesi ile çözümü gerekmektedir. Bu gibi hallerde G.B. Dantzig tarafından geliştirilen iki fark Simpleks Yöntemi her ne kadar yapılan hesapların anlaşılmasını kolaylaştırmaktaysa da böyle bir çözüm çok vakit kaybına yol açmaktadır. Ülkemizde doğrusal programlama ile ilgili yayınları İncelediğimizde Dantzig yönteminin uygulandığı! görülür. Diğer taraftan doğrusal programlama için çeşitli paket programlar mevcuttur. Dolayısiyle Dantzig yönteminin doğrusal programlamanın esasını vermeye

Kısaltılmış Simpleks Yöntemi 175 yaradığı /pratikte- karşılaşılan;- -problemlerde - paket- programlardan yararlanılabileceği ileri sürülebilir. Ancak az ^önce' de; belirtildiği gibi işletmecilik hayatında kompüteri gerektirmeyen problemlerle sık sık karşılaşılabilir ve bunların çözülmesi için kompüter kullanılması masrafı faydasını; aşan bir uygulama olur. Diğer taraftan Dantzig.: yönteminin kompüterin uygulanması zaman israfına yol açar. Bu nedenle aşağıda Simpleks yöntemi için kısa ve basit bir hesap şeması geliştirilecektir. 1.2. Kısaltılmış Simpleks Tablosu Simpleks yönteminin açıklanması için basit bir örnek ele alalını; Bir fabrikada iki mamûl günde 8 ve 6 saat çalıştırabilen iki ayrı makinede yapılmaktadır. Birinci mamûl ilk makinede iki saat, ikinci makinede 1 saat, ikinci mamûl ise her makinede birer saat kalmaktadır. Mamullerin kâr marjları sırasıyla 3000 ve 2000 TL. olduğuna göre kârı maksimize edecek günlük üretim programı ne olmalıdır? Bu Örneği doğrusal programlama problemi halinde yazarak malların üretilecek miktarları Xj ve X 2 olduğuna göre: "' : -'--Z^İ=i'300Ö'X 1 +-"2000X2 ' 2 X x + X 2 < 8 X, + X 2 < B ' X X 2 > o çözümü istenen sistemdir, Simpleks yönteminde Önce eşitsizlikler gevşek değişkenler variabies) eklenmesi ile denklemlere dönüştürülür: (slacfc 2X, + X 2 + X 3 = 8 Xı + X 2 + Xj = 6 Bazı problemlerde gaye fonksiyonunun belirli bir başlangıç değeri vardır. Örneğin, yukardaki problemde fabrikanın 10.000 TL. hk sabit maliyeti bulunduğundan ve ancak bunun üstünün kâr olarak kalacağını varsaysaydık gaye fonksiyonu 2ma x = 3000 Xj + 2000 X 2 10000

176 O. İdil Şimplekste gaye fonksiyonu değişkenlerinin hepsi hır tarafa.geçirilir. Sabit maliyetli örnekte fonksiyon esas problemde ise, Z 3000 X! 2000 X 2 - ~ 10000 Z 3000 X 1 2000 X 2 = 0 tabloya konacak gaye fonksiyonudur. Gaye fonksiyonu ve sınırlamalar aşağıdaki başlangıç tablosunu meydana getirirler: Tablo 1. X, X 2 T 3000 2000 0 2 1 8 1 1 6 Tabloda T sütunu X 3 ve X d gevşek değişkenler hizasında tahditîi değerlerini vermektedir. Aynı sütunun gaye fonksiyonu satırı ile kesiştiği yerde bu fonksiyonun o andaki değeri görülmektedir. Soldaki X 3 ve Xi değişkenleri başlangıç tablosunda temel çözümdedirler. Simpleks iterasyonlannda önce temel çözümde olmayan strüktüı 1 değerlerini vermektedir. Aynı sütunun gaye fonksiyonu satırı ile kelemi «pivot sütunu seçimi» olarak adlandırabiliriz. Gaye fonksiyonunun negatif değerli elemanlarından mutlak değeri en büyük olanının ait olduğu sütun pivot sütunu sejilir. Bu seçime T sütuna dahil edilmez. Örneğimizde bu 3000 elemanının olduğu X, sütunudur. Bundan sonra temelden çıkarılacak değişken belirlenir, yani «pivot satırı» seçilir. Bu seçim için gaye fonksiyonu dışında T sütunu elemanları pivot satırı elemanlarına bölünürler ve en küçük pozitif sonucu veren satır pivot satırı olur. Örnekte bu bölmelerini 3'aparsak (V 2 4, V 1 = 6) X 3 satırının pivot satırı olduğunu ve Xı ile X 3 satırının kesiştiği yerde bulunan 2 nin «pivot elemanı» olduğunu anlarız. Pivot ele- 1) Sistemdeki esas değişkenleri gevşek değişkenlerden ayırdedebilmek içir bunlara genellikle -strüktür değişkenleri» olarak adlandırılır.

Kısaltılmış Simpleks Yöntemi 177 manı belirlendikten sonra yeni tabloya geçiş işlemlerine başlanır. Bunun için tabloya A ve B diye kodlandıracağımız bir ek satır ve bir ek sütun eklenir. Ek satırı pivot satır elemanları pivota bölünerek yazılır, pivotun sırası boş bırakılır. Ek sütuna ise pivot hariç pivot sütun elemanları gelir. Aşağıdaki tabloda bu durum görülmektedir. Tablo 2. x t x 2 T B 7 3000 2000 0 3000 (2) 1 8 1 1 6 1 A 0 4 Bundan sonraki işlemler şöyle sıralanabilir: i Pivot satır Ve sütunun başındaki elemanlar (i ve X 3 ) yer değiştirir. Yani Xi in temel çözüme girdiği, X 3 ün çıktığı görülür. ii Pivot hanesine pivot elemanı l'e bölünerek yazılır Wz), iii A satırının diğer elemanları aynen alınarak pivot satırı yeni şekline getirilir Vh, 2, 4), iv Pivot sütunu elemanları pivota bölünüp işaretleri ters çevrilerek, yani (- 11 ile çarpılarak değiştirilir. Bu işlem esasen değiş- 1500 tirilmiş olan pivota uygulanmaz ( x k % < pivot değişmez). v Son olarak pivot satır ve sütununa ait olmayan elemanlar değiştirilir. Bunun için bu elemanlardan hizalarındaki A satırı ile B sütunu elemanlarının çarpımı çıkartılır': 2000 {%) ( 3000) = 500 0 ( 4 ) ( 3000) - 12000 1 (%) (1) = Vz 6 (4) (1) =,2 Aşağıda 2. Simpleks tablosu görülmektedir.

178 O. İdil Tablo 3. x 2 " T 7 1500 500 12000 Vz 4 x Vz 2 Tabloya göre 1, maldan 4 birim üretildiği takdirde kâr 12000 TL. olacaktır. Bu tabloda X 2 temelde değildir, dolayısıyla üretim söz konusu değildir. Simpleks tablosunda gaye fonksiyonunda X'lere ait katsayıların hepsi pozitif olduğunda optimal çözüme ulaşılmış demektir. Örnekte X 2 'nin katsayısı negatiftir, yani X 2 temele geçilirse kâr artacaktır. Şimdi daha önce incelediğimiz kriterlere dayanarak yeni bir pivot seçeriz. Pivot sütunu; X 2, zira yalnız bu sütundaki gaye fonksiyonun elemanı negatiftir. Pivot satırı : A/Vz = 8, 2/Vz 4 olduğundan X, satırı pivot seçilir. Pivot elemanı: Vz Aşağıda seçilen pivota göre A ve B ile genişletilmiş tablo görülmektedir. Tablo 4. T B 1500 500 12000 500 Vz % 4 Vz x 4 y 2 ivz) 2 A 1 4 Bundan sonra i v işlemleri yardımıyla yeni tablo meydana getirilebilir.

Kısaltılmış Simpleks Yöntemi 179 Tablo 5. T 7 1000 1000 14000 X, 1 1 2 1 2 4 Yukardaki 3. Simpleks tablosunda gaye fonksiyonunun X 3 ve X4 sütunlu elemanları pozitiftir, dolayısıyla optimal çözüme ulaşılmıştır. Bu çözüme göre birinci maldan 2, ikinci maldan 4 birim üretilecek ve 14000 TL. kâr gerçekleştirilecektir. İncelediğimiz problemde gaye fonksiyonu maksimize edilmek isteniyordu. Minimizasyon problemlerinde ise sadece gaye fonksiyonu i 1) ile çarpılır, yani elemanların işaretleri ters çevrilir. İterasyon işlemleri ise değişmez. 1.3. Serbest değişkenler ve denklem şeklindeki sınırlamalar Yukarda ele aldığımız örnekte değişkenlerin sıfırdan büyük olma şartı aranıyordu. Bazı problemlerde böyle bir şart söz konusu değildir, yani değişkenler pozitif veya negatif olabilirler. «Serbest Değişkenler» şeklinde adlandırabileceğimiz bu değişkenler mutlaka temel çözümde bulunmalıdır. Bunun için ilk Simpleks tablosu kurulduktan sonra önce bütün serbest değişkenler temel çözüme sokulurlar. Bu safhada pivot sütunu olarak herhangi bir serbest değişkenin sütunu alınır, pivot satırı olarak da serbest bir değişkene ait olmayan ve pivot sütunundaki elemanı sıfırdan farklı bir satır seçilir. Serbest bir değişken temel çözüme girdikten sonra bir daha çıkartılmayacağından istenirse bu satır tablodan çıkartılabilir. Diğer taraftan birçok doğrusal programlama problemlerinde sınırlayıcı şartların bazıları eşitlik halinde bulunur. Başlangıç tablosunda temel çözümde daima gevşek değişkenler bulunacağından, bu eşitliklere de birer gevşek değişken eklenmesi gerekir. Bu değişkenlerin değerlerinin ise sıfır olacağı muhakkaktır. Dolayısıyla bu değişkenlerin iterasyonlar sırasında tabloda temel çözümden çıkartılması lâzımdır. Böyle değişkenlerin temel çözümden çıkartılması için bulundukları satır pivot satırı, böyle bir değişkenin bulunmadığı sütun ise

180 O. İdil pivot sütunu seçilir. Bu arada ortaya çıkacak pivot elemanının sıfır olmamasına dikkat edilir. Eşitliklere eklenen gevşek bulundukları değişkenleri bir kere temel çözümden çıkarıldıktan sonra bunların sütunları yeniden pivot- seçimi İçin kullanılamayacaklarından tablodan çıkarılabilirler. 1.4. Mümkün ilk çözümün bulunmadığı haller Doğrusal programların problemlerinin bazılarında koordinat sistemi Orijini mümkün çözüm alanının bir köşesini meydana getirir. Bu nedenle strüktür değişkenlerin hepsi sıfır olduğu vakit orijin mümkün çözüm alanına dahil olur ve iterasyona bu köşeden hareket edilerek başlanır. Ancak birçok problemde böyle bir hâl söz konusu değildir. Bu gibi durumlarda önce mümkün çözüm setine ulaşılmaya çalışılır ve daha sonra optimal çözüm aranır.. İlk Simpleks' tablosunda T sütununda görülen her negatif değer negatif olmama şartını zedeleyen bir değişkenin varlığına işarettir. Bu değişkenleri iterasyonlarla temel çözümden çıkartıp mümkün çözüm alanına girebilmek için bulundukları satırın pivot satırı seçilmesi gerekir. Bu satırdaki her negatif eleman pivot olarak seçilebilir. Görüldüğü gibi bu safhada diğer safhaların aksine; i) Önce pivot satın seçilmektedir ve ii) Pivot elemanı negatif olmaktadır. Şayet pivot elemanı olarak pozitif bir eleman seçilirse iterasyon sonucunda T sütununda yine negatif bir elemanla karşılaşılacağı kolaylıkla anlaşılabilir-. Yukardaki kriterlere dayanılarak yapılan iterasyonîar T sütununda hiçbir negatif eleman kalmaymcaya kadar devam eder. 1.5. Kısaltılmış Simpleks Yöntemi Simpleks yönteminde karşılaşılabilecek, çeşitli durumları tek inceledikten sonra bunları topluca aşağıdaki şekilde gösterebiliriz: 1. Safha: Serbest değişkenli herhangi bir sütun pivot sütunu seçilir. Şayet serbest bir değişken yoksa 2. safhaya geçilir. Pivot satırı olarak serbest bir değişkeni olmayan ve. pivot elemanı sıfırdan farklı herhangi bir satır..seçilir. 2. Safha: Bir eşitlik halinde olan herhangi, bir" tahdidin satırı p.i-. vot satırı olarak seçilir. Böyle bir durum söz konusu değilse 3. safhaya geçilir. tek

Kısaltılmış Sirapİeks Yöntemi 181 Pivot sütunu olarak bir eşitliğe ait olmayan ve pivot elemanı sıfırdan farklı herhangi bir sütun seçilir. 3. Safha: Pivot satırı olarak serbest bir değişkene ait olmayan ve T sütunundaki elemanı sıfırdan küçük bir satır seçilir. Böyle bir satır yoksa 4. safhaya geçilir. Pivot sütunu olarak bir eşitliğe ait olmayan ve pivot elemanı negatif herhangi bir sütun seçilir. 4. Safha: Bir eşitliğe ait olmayan ve gaye fonksiyonu elemanı mutlak olarak en büyük negatif sayıya sahip sütun pi» vot sütunu seçilir. Böyle bir gütun yoksa optimum sonuca ulaşılmıştır. Pivot satırı olarak serbest bir değişkene ait olmayan satırlardan T sütunu elemanlarının pivot sütunu elemanlarına bölünmelerinden en küçük pozitif sayıyı veren satır seçilir. Kısaltılmış Simpleks yöntemini uygularken yukarıdaki sırayı takip etmelidir. Birçok hallerde dört safhanın hepsini uygulamak gerekmeyebilir, zira bazen bunlardan bazıları söz konusu değildir, bazen ise herhangi bir safhada yapılan hesaplar daha sonraki safhalara da içerir. Şayet safhaların herhangi birinde aranılan şartlara haiz satır veya sütun bulunmazsa hesapları kesmek gerekir, zira optimuma ulaşmak olanağı yoktur. 1.6. Sonuç Simpleks yönteminin yukarda incelediğimiz ele alış biçimi özellikle birim matrisin hesaplara girmeyişi açısından çabuk bir sonuca götürür. Diğer taraftan bu yöntem karşılaşılabilecek çeşitli durumlar için faydalı olacaktır. Örneğin, serbest değişkenler başlığı altmdaki bölüm doğrudan doğruya denklem sistemlerini çözmekte kullanılabilir. Teklif edilen yöntem yardımıyla birçok doğrusal programlama problemini kompütere gerek duymadan bir sonuca ulaştırmak mümkündür. incelediğimiz modeli tamamlamak için değişkenlerin alt ve üst hudutlarının bulunduğu halleri de gözönünde tutmak gerekir. Her ne kadar alt ve üst hudutlar birer eşitsizlik şeklinde de ele alınabilirse de böyle bir hâl tarzı hesapları zorlaştırabilir. Bu durumda örneğin Xi değişkeni 50 yi asamayacaksa yeni bir X'ı = Xı 60 değişkeni gözönünde tutulup iterasyonlar 3'apılır, bu sırada sadece T sütunu elemanları yeni değişkene uygun şekilde bir transformasyona uğrar. Hesapların sonucunda tekrardan Xı değişkenine dönülür.