Sapma (Dağılma) ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr
Sapma (Dağılma) ölçüleri Mutlak Sapma Ölçüleri Değişim aralığı Kartil ve Desil aralığı Ortalama mutlak sapma Standart sapma ve Varyans Nispi sapma ölçüleri Değişim Katsayısı
II. Sapma ölçüleri Bir veri setini meydana getiren elemanlar ortalama değer etrafında belirli bir dağılış gösterirler. Gözlem değerleri arasındaki farklılıktan ileri gelen bu durum istatistik olarak serinin önemli özelliklerinden biridir. Bilindiği gibi ortalamalar serinin merkezi noktasını belirlemeye yarayan ölçülerdir. Dağılma ölçüleri ise gözlem değerlerinin bu merkezi noktadan uzaklaşma durumunu ortaya koyan ölçülerdir. Aynı ortalamaya sahip seriler farklı dağılış gösterebilirler. Bu yüzden bir seriyi sadece ortalama değere göre tanımlamak yanlış olur. Bunun yanı sıra dağılışının da bilinmesi gerekir. Bir seride ortalamanın temsil kabiliyeti ile dağılma ölçüleri arasında ters bir ilişki vardır. Dağılışı az olan serilerin ortalamaları daha temsili oldukları halde, dağılışı fazla olanların ortalamaları seriyi daha az temsil eder. Bu sayede veri setindeki dağılışın tespiti ortalamanın temsil kabiliyeti hakkında da bilgi verecektir.
Yayılma Ölçülerinin Gerekliliği Örnek 1 Örnek Ölçümler 1,,3,4,5,3,3,3,4 Ortalama 1 3 4 5 15 3 x dan Uzaklıklar 1-3, -3, 3-3, 4-3, 5-3 x 3 5 veya -, -1, 0, 1, 5 x 3 3 3 4 5 15 5-3, 3-3, 3-3, 3-3, 4-3 veya -1, 0, 0, 0, 1 İki veri seti için uzaklıklar a) Örnek 1 b) Örnek
II.1. Mutlak Dağılma Ölçüleri Mutlak dağılma ölçüleri ilgili değişkenin kendi ölçüldüğü birim cinsinden (kg, cm, TL vs) sonuç verir. Bu sebeple mutlak dağılma ölçüleri olarak adlandırılırlar. 1.1. Değişim Aralığı/Range Veri setindeki yayılımı ifade etmede kullanılan en basit ölçü, değişim aralığıdır. Genel olarak az sayıda veri için kullanılır. Gözlem değerlerinin en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark olup, verilerin ne kadarlık bir aralıkta değiştiğini gösterir. En büyük gözlem değeri ile en küçük gözlem değeri arasındaki fark değişim aralığını verir. Range, veri setindeki tek bir gözlemin aşırı derecede küçük veya büyük olmasından etkilendiği için bir başka ifadeyle örnekte yer alan sadece iki veri kullanılarak hesaplanmasından dolayı tüm veri setinin değişkenliğini açıklamak için yetersiz kalmaktadır. R = max min i : 1,15,0,30,50,5,58,70,90 olan bir serinin değişim aralığı R=90-1 =78 olur Yani gözlem değerleri 78 birimlik bir aralıkta değişme göstermektedir. Bu dağılım ölçüsü oldukça basit ve anlaşılır olmasına karşılık sadece iki uç değere bağlı olması sebebiyle serideki aşırı değerlerin etkisi altında kalması zayıf yönünü oluşturur. Sadece iki uç değeri dikkate alması diğer gözlem değerlerinin dağılımının hiç dikkate alınmamasına sebep olmaktadır.
1.) Kartil ve Desil Aralığı Bilindiği gibi değişim aralığı serideki sadece iki uç değeri dikkate almakta, dolayısıyla aşırı değerlerin etkisi altında kalmaktadır. Bu durumu ortadan kaldırmak için kartil ve desillerden faydalanılmaktadır. Kartil ve desil aralıkları kullanılarak gözlem değerleri için daha tutarlı değişme aralığı belirlenmiş olacaktır. Kartil aralığı 3. kartil ile 1.kartil arasındaki fark olup serinin orta bölgesindeki %50 lik gözlem kümesinin değişim aralığını verir. Q = Q 3 Q 1 şeklinde belirlenir. Desil aralığı ise 9. desil ile 1.desil arasındaki fark olup, her iki uçtaki %10 gözlem değeri haricinde kalan %80 lik gözlem değerinin değişim aralığını verir. D = D 9 D 1 şeklinde belirlenir.
Örnek: Bir işletmede belli bir parçayı üreten işçinin bu parçayı üretim süresi gözlemlenmiş ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre parça üretim süresinin; a) Değişim aralığını b) Kartil aralığını c) Desil aralığını bulunuz. Çözüm: a) R=max min R = 60-30 = 30 dakika b) Q = Q 3 Q 1 idi N. h 140.3 Q 3 için r 4 değer Q 3 dür. 105. Bu değer 40-4 sınıfındadır. sıradaki 105 80 Q 3 40 * 41.43 dakika / 35 parça Üretim Süresi 35 10 Benzer şekilde Q 1 35 *36.67 dakika / parça 30 Şu halde kartil aralığı Q = 41,43-36.67 = 4,76 dakika olur. bulunur. Parça Sayısı fi 30-35 10 10 35-37 30 40 37-40 40 80 40-4 35 115 4-50 0 135 50-60 5 140
c) D=D 9 -D 1 idi. D 1 için N. h 140.1 14 olup D 1 35-37 sınıfındadır. Bu sınıf içindeki değeri; r 10 D 9 için N. h r 140.9 10 16 Bu sınıf içindeki D 9 değeri şöyle bulunur. 14 10 D 1 35 *35.7 dakika / 30.sıradaki değer olup 4-50 sınıfındadır. parça 16 115 D 9 4 *8 46.4 dakika / 0 Desil aralığı ise D = 46,4-35,7 = 11,13 dakika olur. parça Burada aşırılıklar yok edildiğinden gözlem değerlerinin ortalamaya daha yakın dağıldıkları anlaşılmaktadır. Bununla birlikte yukarıda anlatılan sapma ölçüleri sadece iki değere bağlı olduklarından serideki bütün değerlerin sapmasını göstermekten uzaktır. Veri setindeki bütün değerlerin merkez noktadan sapmalarını gösterecek başka ölçülere ihtiyaç vardır. Bu amaçla ortalama mutlak sapma ve standart sapma ölçülerinden faydalanılır.
1.3. Ortalama (mutlak) Sapma (( ) 0) Bilindiği gibi sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) toplamı sıfıra eşittir. Bu durumda sapmalar serisinin ortalaması da sıfır olacağından bir sapma ölçüsü elde etmek mümkün değildir. Serinin toplamını sıfır olmaktan kurtarabilmek için mutlak sapmalar dikkate alınabilir. i Çünkü mutlak sapmalar serisinin toplamı sıfırdan büyük olacaktır Böylece mutlak sapmalar serisinin ortalaması alınarak yeni bir sapma ölçüsü elde edilebilir. ( 0) i Bu sapma ölçüsü diğer iki sapma ölçülerinin aksine serinin bütün değerlerini dikkate almaktadır. Bu sebeple daha kullanışlı ve daha temsili bir sapma ölçüsü elde edilmiş olmaktadır.
Ortalama (mutlak) sapma formülleri Ortalama sapmayı şöyle formüle edebiliriz. Basit Seride O. S Tasnif Edilmiş Seride i N O. S fi i fi Gruplanmış Seride O. S fi m i fi
Örnek: Bir atölyede üretim hattında günlük olarak üretilen mamul sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Günlük üretimin ortalama sapmasını bulunuz. Mamul Sayısı ( i ) Gün Sayısı (fi) fi. i i 33 66-3,5 7 fi i 34 5 170 -,5 1,5 35 9 315-1,5 13,5 36 30 1080-0,5 15 37 0 740 0,5 10 38 16 608 1,5 4 39 5 195,5 1,5 40 3 10 3,5 10,5 Toplam 90 386 105 Aritmetik ortalama fii fi 386 90 Ortalama sapma fi i O. S fi 36,5 105 90 OS = 1,167 adet/gün
Örnek: Bir ağrı kesicinin insanlar üzerinden ne kadar süre ile etkili olduğunu belirlemek için yapılan araştırmada, ağrı kesicinin etkinlik süresinin aşağıdaki gibi dağıldığı gözlenmiştir. Bu verilere göre etkinlik sürenin ortalama sapmasını bulunuz. Etkin.Sür (saat) Hast.Say mi fi.mi mi fi m - 5 10 3,5 35-5,8 58 5-8 30 6,5 195 -,8 84 8-1 50 10 500 0,7 35 Aritmetik ortalama Ortalama sapma OS =,68 saat Ortalama sapma serinin sapmasını iyi bir şekilde ölçmektedir. Ancak mutlak işlemler gerektirmesi bu sapma ölçüsünün aritmetik işlemlere elverişsiz olmasına sebep olmaktadır. Bu sebeple istatistik analizde kullanılması mümkün olamamaktadır. i 1-0 16 16 56 6,7 107, Toplam 106 986 84, 986 9, 3 106 saat fi mi O. S fi 84, 106
1.4-Standart Sapma Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları (sapmalar serisi) toplamı sıfır idi. Bu durumu daha önce mutlak değer almak suretiyle önlemiş olduk. Ancak bu yol aritmetik işlemler için elverişli olmamaktadır. Mutlak işlemler yerine kare alma yolu ile sapmalar serisi toplamı sıfır olmaktan kurtarılabilir. Böylece yeni bir sapma ölçüsü elde edilmektedir. Standart sapma, sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) kareli ortalamasıdır. Yani gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareli ortalamasına standart sapma denir. Standart sapmanın karesine varyans adı verilir.
1.4-Standart Sapma Serilerin dağılımı hakkında bilgi veren en önemli mutlak dağılma ölçüsüdür. Rakamla belirtilen hemen hemen her seriye uygulanabilir. Standart sapma sonucunun küçük çıkması, serideki değerlerin birbirine yakın dağıldığını gösterir. Dağılma; bir serideki birimlerin değer bakımından birbirlerinden ya da ortalamadan farklılıklarını, değere nasıl dağıldıklarını ve değiştiklerini ifade eder. Ortalamanın temsil yeteneği ile dağılma arasında ters bir orantı vardır. Dağılma fazlalaştıkça ortalamanın temsil yeteneği düşer; dağılma azaldıkça ortalamanın temsil yeteneği artar.
Standart sapma formülleri Kütle ve örnek standart sapması için aşağıdaki formüller kullanılır. Aşağıda farklı seri ve veri türü için standart sapmanın formülleri verilmiştir. ( i N fi( i ) Basit seri Kütle Örnek Tasnif edilmiş seri Kütle fi ) Örnek ( i ) S n 1 S ( fi( mi ) fi) 1 Gruplanmış seri Kütle fi( mi fi ) Örnek S ( fi( i ) fi) 1 Yukarıdaki formüllerde örnek verileri için standart sapma formüllerinde paydada (n-1) serbestlik derecesi kullanılmıştır. Örnek hacmi büyük olduğunda bu düzeltmeye ihtiyaç kalmaz.
Normal dağılım gösteren veriler için kurallar a- Ölçümlerin yaklaşık %68 i x s yada ( x s, x s) standart sapması için aralığına düşer.- ortalamanın 1 b- Ölçümlerin yaklaşık %95 i ( xs, x s) aralığına düşer.- ortalamanın standart sapması için c- Temelde, tüm ölçümler ( x3s, x 3s) aralığına düşer. - ortalamanın 3 standart sapması için 18
Standart sapma yorumu Bunu biraz daha açmak için iki veri dizisi kullanalım. Bu veri dizilerinden bir tanesinin elemanlarının ; Buradan herhangi bir ölçüm için kullanılan bu dizinin standart sapması, elemanların bir çoğu ortalamaya yakın olduğundan küçük çıkacaktır. İkinci dizide ise elemanların bir çoğunun ortalamadan uzak değerler aldığı görülüyor. Bu dizinin de standart sapması büyük çıkacaktır. Dolayısıyla buradan birinci dizideki verinin daha güvenilir ve dengeli olduğunu söyleyebiliriz. Örnekteki birinci dizinin standart sapması 13,69 ikinci dizinin standart sapması ise 34 bulunur. Merkezi eğilim ölçülerine baktığımızda iki sınıf arasında bir fark gözükmüyor olsa da verilerin yayılımında farklılık olduğu dikkatlerden kaçmamaktadır. Endüstri Müh. bölümündeki öğrencilerin notları göreceli olarak Gıda Müh. bölümündeki öğrencilerin notlarından birbirine daha yakındır. Diğer bir ifadeyle, Endüstri Müh. bölümündeki öğrencilerin notları Gıda Müh. bölümündeki öğrencilerin notlarıyla karşılaştırıldığında ortalama değer etrafında daha yakın dağılmıştır Bu dizilerin bir sınıftaki öğrencilerin notları olduğunu düşündüğümüzde ilk sınıftaki öğrencilerin notları daha istikrarlıdır ve öğrencileri daha başarılıdır diyebiliriz. Yine bu dizideki değerlerin iki marketin günlük satış tutarları olduğunu varsayarsak, birinci marketin verilerin ölçüldüğü zaman dilimi içindeki satışlarının ikinci marketten daha iyi olduğunu söyleyebiliriz. Standart sapma bize verilerin ne kadar düzgün ve dengeli dağıldığını gösterir. Görüldüğü gibi stantart sapmayı dizi ile ilgili tanı koyma ve dolayısıyla bazı kararlar almada kullanabiliriz. Tabiki standart sapma daha büyük veri dizilerinde kullanıldığında daha fazla işimize yarayacaktır.
Standart sapma yorumu Aynı ölçü birimini kullanan farklı serilerdeki gözlem değerlerini standart sapma cinsinden karşılaştırabiliriz. Örneğin bir öğrenci istatistik dersi birinci vizesinden 40 ( =30 ve S=5) ve ikinci vizesinden 80 ( =60 ve S=0) almıştır. Bu öğrenci ilk vizede sınıf ortalamasından 10 puan ikinci sınavda ise 0 puan yüksek not almıştır. Standart sapma cinsinden hesapladığımızda, bu öğrenci ilk vizede sınıf ortalamasından standart sapma ve ikinci sınavda ise sınıf ortalamasından 1 standart sapma daha yüksek not almıştır. Dolayısıyla öğrenci birinci vizede daha başarılıdır.
Örnek: Bir beyaz eşya servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin dağılımı ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz. Aritmetik ortalama: Standart sapma s = 3,85 n Servis isteği 3-4 16 4-3 9 5-4 7 0 0 10 3 9 13 6 36 i =4 4 6 ( i ) S N 1 i 7 74 6 1 ( i ) 74 14,8
Örnek: Doğru, yanlış şeklinde cevap şıkları olan 10 soruya öğrencilerin verdikleri doğru cevap sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu serinin standart sapmasını ve varyansını bulunuz. Doğru Cevap. Sayısı Öğr. Sayısı fi.i (f i ) i fi( i 4-4,69 43,99 3 4 1-3,69 54,46 4 5 0 -,69 36,18 5 10 50-1,69 8,56 6 0 10-0,69 9,5 7 30 10 0,31,88 8 0 160 1,31 34,3 9 10 90,31 53,36 10 3 30 3,31 3,87 Toplam 104 696 96,15 )
Çözüm: Yukarıdaki verileri kütle verisi olarak kabul ederek çözelim. Çözüm için önce aritmetik ortalamanın hesaplanması gerekir. 696 104 6,69 Aritmetik ortalamadan farklar serisi oluşturularak standart sapma elde edilir. fi( i ) 96,15 1,687 varyans: fi 104,847 Yukarıdaki verileri örnek kabul edersek standart sapma şöyle olur. S fi( i ) 96,15 S 1,6956 varyans s ( fi) 1 103,875 Örnek hacmi büyük olduğundan kütle ve örnek varyansları arasında önemli bir fark çıkmamıştır.
Örnek: Bir liseden mezun olan ve ÖSS sınavına giren öğrencilerin puanlarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Buna göre öğrenci puanlarının standart sapmasını bulunuz. ÖSS Puanları Öğr.Sayısı mi fi.mi mi fi( mi 90-110 10 100 1000-37,9 14364,1 110-130 30 10 3600-17,9 961,3 130-150 50 140 7000,1 0,5 150-170 5 160 4000,1 110,5 170-10 5 190 950 5,1 1357,05 Toplam 10 16550 49979, Ortalama : Standart sapma 16550 137, 9 10 fi( mi fi ) puan 49979, 10 0,4 puan )
Standart sapmanın kısa yoldan hesaplanması ) ( i N ifadesi açılarak yazılırsa; ( i. i N Bu ifade ayırarak yazılırsa i i K, N N ) şeklinde yazılabilir. olduğuna göre; i N.. N i N N olur. K. K olur. Buna göre; Standart sapma kısa yoldan K şeklinde yazılır. Şu halde varyans kareli ortalamanın karesinden aritmetik ortalamanın karesinin farkına eşit olup, bunun kare kökü standart sapmaya eşit olur.
Örnek: Yukarıdaki ÖSS örneği için standart sapmayı kısa yoldan hesaplayınız. Aritmetik ortalama 000 146, 67 150 Kareli ortalama 338000 K 186,67 150 Standart sapma K puan ÖSS Puanları Öğr.Sa yısı mi fi.mi fi.mi 90-110 10 100 1000 100000 110-130 30 10 3600 43000 130-150 50 140 7000 980000 150-170 30 160 4800 768000 170-190 0 180 3600 648000 190-10 10 00 000 400000 Toplam 150 000 338000 186,67 146,67 674,58 5,97puan
Standart sapmanın kısa yoldan hesabı Kütle verisi için standart sapma (kısa yol formülünün farklı yazılışı) N Basit seride i N Tasnif edilmiş seride f i i N f i Gruplanmış seride f i m i f i N Örnek verisi için standart sapma hesaplamak için payda N-1 serbestlik derecesi ile bölünür. S i N N 1
Örnek: Bir çekme halatının kopma kuvveti için yapılan deneyde aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Kopma kuvvetinin standart sapmasını yukarıdaki formülden hesaplayınız. Kopma kuvveti Halat sayısı m i f i m i m i f i m i 5 7 3 6 18 36 108 7 9 7 8 56 64 448 9 11 10 10 100 100 1000 11-13 5 1 60 144 70 Toplam 5 34 76 f 34 5 9,36 i m f i i 76 59,36 85,76 fimi N 1,85 N 5 5
Standart Sapmanın Özellikleri: Matematik işlemler için uygun bir dağılma ölçüsüdür. Bu sebeple en yaygın kullanılan ölçüdür. Standart sapmada aritmetik ortalama gibi istatistik analiz için temel ölçülerden birisidir. Genel olarak standart sapma ortalama sapmadan daha büyüktür. (OS < ) N 1 ve N gözlemden oluşan iki serinin ortalamaları aynı ve sırayla varyansları 1 ve olsun. Bu iki serinin birleştirilmiş ortak varyansı. N1. 1 N. N 1 N şeklinde olur.
Standart Sapmanın Yorumlanması; * Bir Dağılımda Standart Sapma KÜÇÜKSE = Öğrencilerin öğrenme düzeyi birbirine yakın, Öğrenciler arası farklılaşma az Homojen yapı vardır yorumları yapılabilir. * Eğer bir dağılımda Standart Sapma BÜYÜKSE = Öğrencilerin öğrenme düzeyleri birbirinden uzak, Öğrenciler arası farklılaşma fazla, Heterojen yapı vardır yorumları yapılır.
II.. Nispi sapma ölçüleri Mutlak dağılma ölçüleri gözlem değerlerinin ifade edildiği birimler cinsinden sonuç vermekte idi. Mutlak dağılma ölçülerinin bu özelliği farklı birimlerle ifade edilen serilerin değişkenliklerini karşılaştırma imkanı vermemektedir. Diğer taraftan aynı birimle ifade edilen serilerde bile gözlem değerleri arttıkça mutlak dağılma ölçüleri de buna paralel olarak artmaktadır. Bu durumda aynı cins serilerin dağılımlarını da mutlak sapma ölçüleri ile karşılaştırmak çoğu zaman mümkün olamamaktadır.
II.. Nispi sapma ölçüleri Nispi dağılma ölçüleri serideki gözlem değerlerinin ölçüldüğü birim farklılıklarını ortadan kaldırmakta ve değişkenliği yüzde(%) cinsinden ifade etmektedir. Böylece nisbi dağılma ölçüleri farklı birimlerle ifade edilen ve farklı büyüklüklerdeki serileri aynı cins ve büyüklükte ifade etme imkanı tanımaktadır. Nispi sapma ölçüleri bu özellikleri dolayısıyla farklı birimlerle ölçülmüş, farklı büyüklük ve özelliklerdeki verilerin sapmalarının karşılaştırılmasına imkan sağlamaktadır
.1. Değişim Katsayısı Aralarında birim bakımından cins farkı bulunan bu seriler karşılaştırılamaz. Örneğin; bir boy serisi ile gelir serisini karşılaştıracak olursak, boy serisinin dağılma ölçüsü santimetre cinsinden, gelir serisininki ise lira cinsinden çıkar. Karşılaştırmayı güçleştiren bu nedenden dolayı, karşılaştırma için mutlak dağılma ölçüleri pek fayda sağlamaz. Bu nedenle oransal dağılma ölçülerine başvurulur. Sayıları sınırlı olan oransal dağılma ölçülerinden en çok kullanılan değişim katsayısıdır. Değişim katsayısı/d.k.: bir seriye ilişkin standart sapmanın, o seriye ilişkin aritmetik ortalamaya oranıdır. Sonuç yüzde olarak belirtileceğinden oranlamadan bulunacak değer 100 ile çarpılır. D. K.100
.1. Değişim Katsayısı Standart sapmanın ortalamanın bir yüzdesi olarak ifade edilmesine değişim katsayısı adı verilir. Bu tanıma göre standart sapmanın büyüklüğü aritmetik ortalamaya göre ifade edilmektedir. D. K.100 Bu ölçü farklı cins ve büyüklüklerdeki serileri aynı cins ve büyüklükte (yüzde cinsinden) ifade etme imkanı sağlamaktadır. Ancak bu ölçünün bir dezavantajı bir üst sınırının olmamasıdır. Yani değişim katsayısı %100 ü geçen değerler de alabilmesi bu ölçünün zayıf tarafıdır. Eğer bu ölçünün üst sınırı %100 olsaydı verinin değişkenliğini daha iyi yorumlamak mümkün olurdu. Özellikle ortalaması sıfıra yakın seriler için kullanımı pek uygun değildir.
.1. Değişim Katsayısı Böyle oransal bir dağılma ölçüsü ile serileri karşılaştırmak çok daha kolay ve sağlıklı olur. Çünkü dağılma ölçüsünün sonucu serilerin değerleri ne ile ifade edilirse edilsin, yüzde olarak belirtilir. Kuruş, kilogram, lira, santimetre gibi birim belirtilmez. Böylece serilerin değerleri arasındaki cins farkı giderilmiş olur. Bunun yanında, ortalama, bir serideki değerlerin büyüklüğünü temsil ettiğine ve değişim kat sayısı hesaplanırken standart sapma, ortalamaya bölündüğüne göre karşılaştırılan serilerin değerleri arasındaki büyüklük farkı da ortadan kalkar.
Değişim Katsayısı Buraya kadar ele alınan değişkenlik ölçüleri, mutlak değişkenlik ölçüleridir. Bu nedenle farklı ölçü birimlerine göre oluşturulan serilerin değişkenlikleri, bu ölçülerle karşılaştırılamaz. Ayrıca mutlak değişkenlik ölçüleri, seriyi oluşturan gözlem değerlerinin büyüklüklerinin de etkisi altındadır. Konuya açıklık kazandırması açısından, aşağıdaki örneği göz önüne alalım. Görüleceği gibi, σ y > σ x dir. Ancak bu sonuç, y serisindeki gözlem değerlerinin x serisine göre daha büyük olmasından kaynaklanmış olabilir. Eğer, sadece standart sapmalarla bu iki seri karşılaştırılırsa, y serisindeki değişkenliğin x serisine göre daha büyük olduğu ifade edilecektir. Eğer karşılaştırılan serilerin standart sapmaları ilişkin oldukları serilerin ortalama değerinin bir yüzdesi olarak ifade edilirse, karşılaştırmalarda ölçü birimlerindeki farklılıklar ve gözlem değerlerinin büyüklüğünden oluşan sakıncalar, giderilebilir. Bu yaklaşımla hesaplanan değişkenlik ölçüsüne, değişim katsayısı adı verilir ve kısaca D.K. ile gösterilir. olarak formüle edilir. Yukarıda verilen serilere ilişkin değişkenlik, serilerin değişim katsayılarıyla bulunursa, x serisi için x ortalama = 13 ve σ x =.7386 y serisi için y ortalama = 57 ve σ y = 11.9373 tür. olarak elde edilir. Görüleceği gibi, gerçekte serisindeki değişkenlik, Y serisine göre daha fazladır.
Örnek: Konutlarda tüketilen aylık elektrik ve su miktarları için aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Değişim katsayılarını bularak hangi grupta değişikliğin daha fazla olduğunu araştırın. Elekt. Tük.(kw/h) Konut Say.(f i ) m i f i.m i f i.m i 50-100 10 75 750 5650 100-150 0 15 500 31500 150-00 30 175 550 918750 00-300 15 50 3750 937500 300-500 5 400 00 800000 Elektrik Tüketimi İçin: 1450 305000 178,15 K 3781, 5 80 80 K 3781,5 178,15 6083,98 78 78 D. K 100. 100 Değişim katsayısı: D K 178,15 DK %44,8
Su Tük.(ton/h) Konut Say. mi fi.mi fi.mi 5-15 10 10 100 1000 15-5 30 0 600 1000 5-35 40 30 100 36000 35-45 0 40 800 3000 45-65 10 55 550 3050 Su Tüketimi İçin değişim katsayısı; 350 11150 9,55 K 1011, 4 110 110 K D. K.100 D. K 1011,4 9,55 138,16 11,75 Bu verilere göre elektrik tüketiminin değişkenliği (DK=44,8) su tüketiminin değişkenliğine göre (DK=39.7) daha fazladır. DK %39, 76 11,75.100 9,55