Sayısal Analiz Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü E-posta:erhan@ktu.edu.tr Ekim, 2018 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 1 / 40
Matematiksel Analiz Analitik E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 2 / 40
Matematiksel Analiz Analitik Sayısal E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 2 / 40
Matematiksel Analiz Analitik Sayısal Kalitatif E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 2 / 40
Matematiksel Analiz Analitik Sayısal Kalitatif Sembolik E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 2 / 40
Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 3 / 40
Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? denklem sisteminin çözümü? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 3 / 40
Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 3 / 40
Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denklemini belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 3 / 40
Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denklemini belirlenmesi? y = t y, t (a, b), y(a) = y 0 başlangıç değer probleminin çözümünün belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 3 / 40
Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 4 / 40
Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 4 / 40
Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 4 / 40
Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin 2 (x)dx integralinin sonucu? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 4 / 40
Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin 2 (x)dx integralinin sonucu? (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen polinomun belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 4 / 40
Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin 2 (x)dx integralinin sonucu? (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen polinomun belirlenmesi? y = t y 2, t (a, b) y(a) = y 0 başlangıç değer probleminin çözümünün belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 4 / 40
Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek.örneği y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 5 / 40
Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek.örneği y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. 0 < y 0 < 1 için denklemin sağ tarafıpozitif, yani y > 0 olup, çözüm eğrileri artarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 5 / 40
Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek.örneği y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. 0 < y 0 < 1 için denklemin sağ tarafıpozitif, yani y > 0 olup, çözüm eğrileri artarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. Öte yandan y 0 < 0 için denklemin sağ yanınegatif olacağıiçin çözüm eğrilerinin devamlıolarak azalmasıgerektiği, çözümü belirlemeksizin anlaşılmaktadır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 5 / 40
Kalitatif Analiz Gerçekten de aşağıda Maxima fonksiyonu plotdf fonksiyonu yardımıyla elde ettiğimiz çözüm eğrileri tahmin edilen davranışı sergilemektedirler. y 2 1 0 1 2 0 0. 5 1 1. 5 x E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 6 / 40
Sembolik analiz Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortamında bilgisayar cebir sistemi adıverilen yazılımlar yardımıyla geçekleştirilen analiz yöntemidir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 7 / 40
Sembolik analiz Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortamında bilgisayar cebir sistemi adıverilen yazılımlar yardımıyla geçekleştirilen analiz yöntemidir. Analitik çözümü kolayca elde edilebilen aşağıdaki başlangıç değer probleminin Maxima ile çözümünün nasıl elde edildiği aşağıda görülmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 7 / 40
Sembolik analiz y + y = x y(0) = 0, y (0) = 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 8 / 40
Sembolik analiz y + y = x y(0) = 0, y (0) = 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 8 / 40
Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 9 / 40
Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 9 / 40
Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 9 / 40
Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 9 / 40
Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı Programın örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 9 / 40
Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı Programın örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) sonuç, yorum ve yöntemin kritiği(kısıtlamaları) ile mümkünse alternatif yöntem arayışları E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 9 / 40
Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Problem:Verilen bir fonksiyonun, verilen bir x 0b noktası komşuluğunda reel sıfıryerini(eğer mevcutsa) içeren [a,b] aralĭgını belirleme problemi E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 10 / 40
Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Problem:Verilen bir fonksiyonun, verilen bir x 0b noktası komşuluğunda reel sıfıryerini(eğer mevcutsa) içeren [a,b] aralĭgını belirleme problemi Sayısal yöntem(sağ veya sol yönde tarama): x 0b noktasınıiçeren uygun bir [x min, x max ] kümesine sıfıryeri tarama aralĭgıadıverelim. x 0 = x 0b noktasından başlayarak önce sağa doğru, uygun bir h adım uzunluklu x i+1 = x i + h, i = 0, 1, 2,... ile tanımlanan noktalarında x i+1 < x max olduğu sürece f (x i )f (x i+1 ) <= 0 eşitsizliğini sağlayan ilk (x i, x i+1 ) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a = x i, b = x i+1 dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 10 / 40
Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Eğer belirtilen kriterleri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x 0 = x 0b noktasından başlayarak, x i+1 > x min olduğu sürece x i+1 = x i h, i = 0, 1, 2,... ile tanımlanan noktalarda yukarıdaki eşitsizliğin sağlandĭgıilk (x i+1, x i ) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a = x i+1, b = x i dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 11 / 40
Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Eğer belirtilen kriterleri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x 0 = x 0b noktasından başlayarak, x i+1 > x min olduğu sürece x i+1 = x i h, i = 0, 1, 2,... ile tanımlanan noktalarda yukarıdaki eşitsizliğin sağlandĭgıilk (x i+1, x i ) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a = x i+1, b = x i dir. Eğer sol yönde tarama işleminde de belirtilen kriteri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise bu durumda [x min, x max ] tarama aralĭgında sıfıryerini içeren alt aralık belirlenememiş olur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 11 / 40
Örnek-I:algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 12 / 40
Örnek-I:algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 12 / 40
Örnek-I:algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması yöntemin icrasıiçin gerekli her bir adım ile E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 12 / 40
Örnek-I:algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması yöntemin icrasıiçin gerekli her bir adım ile kullanıcıya iletilecek sonuçların(çıktıveya Output) açık ve net bir biçimde ifade edildiği komutlar kümesidir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 12 / 40
Örnek-I:Algoritma Girdi : f, x 0b Varsayılan parametreler: R = 10 varsayılan tarama yarıçapı x min = x 0b R, x max = x 0b + R sıfıryeri tarama aralĭgi h = 0.1 ardışık noktalar arasımesafe, x 0 = x 0b ilk tahmini değer Sağ yönde tarama: x 1 = x 0 + h x 1 < x max olduğu sürece 1 eğer f (x 0 )f (x 1 ) 0 ise X = [x 0, x 1 ] tanımla ve çık 2 değilse x 0 = x 1, x 1 = x 0 + h olarak tanımla E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 13 / 40
Örnek-I:Algoritma Sol yönde tarama x 0 = x 0b, x 1 = x 0 h x 1 > x min olduğu sürece 1 eğer f (x 0 )f (x 1 ) 0 ise X = [x 1, x 0 ] tanýmla ve çık 2 değilse x 0 = x 1, x 1 = x 0 h olarak tanımla Sıfır yeri için tahmini aralık bulunamadıyaz ve çık. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 14 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; else x0 = x1; x1 = x0 h; test = x1>xmin; end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; else x0 = x1; x1 = x0 h; test = x1>xmin; end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; else x0 = x1; x1 = x0 h; test = x1>xmin; end end disp( sifir yerini iceren aralik bulunamadi ); X = []; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 15 / 40
Örnek-I:Test f (x) = exp(x) x 4 fonksiyonunun x 0 = 0 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgınıbelirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 16 / 40
Örnek-I:Test f (x) = exp(x) x 4 fonksiyonunun x 0 = 0 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgınıbelirleyiniz. >> f=inline( exp(x)-x-4 ) f = Inline function: f(x) = exp(x)-x-4 >> X=bul(f,0) X= 1.7000 1.8000 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 16 / 40
Sayısal Analiz süreci(örnek-i:test) f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 10 noktası komşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgını belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 17 / 40
Sayısal Analiz süreci(örnek-i:test) f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 10 noktası komşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgını belirleyiniz. >> f=inline( log(x)-x+4 ) f = Inline function: f(x) = log(x)-x+4 >> X=bul(f,10) X=5.7000 5.8000 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 17 / 40
Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfıryeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 18 / 40
Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfıryeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas almaktadır ve sadece sıfır noktasıkomşuluğunda işaret değiştiren sıfır yerlerini( basit yani tek katlısıfıryerlerini) belirlemek amacıyla kullanılabilir, fakat f (x) = x 2 gibi çift katlısıfıryerlerine sahip olan, yani sıfıryeri komşuluğunda işaret değiştirmeyen fonksiyonların sıfıryerlerinin belirlenmesinde kullanılamaz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 18 / 40
Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Yöntem yukarıda bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek şekilde geliştirilebilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 19 / 40
Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Yöntem yukarıda bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek şekilde geliştirilebilir. Problem(Sıfıryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aralĭgında tanımlıve aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren ( f (a)f (b) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b] aralĭgındaki sıfır yerini ɛ hatasıile belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 19 / 40
Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Yöntem yukarıda bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek şekilde geliştirilebilir. Problem(Sıfıryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aralĭgında tanımlıve aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren ( f (a)f (b) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b] aralĭgındaki sıfır yerini ɛ hatasıile belirleyiniz. Sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi çözüm mevcut E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 19 / 40
Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 20 / 40
Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 20 / 40
Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği alt aralık belirlenir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 20 / 40
Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği alt aralık belirlenir. aralık bölme işlemine fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni aralık ile devam edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 20 / 40
Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) f (x) = x 2 2, [a, b] = [0, 5] fonksiyonunun grafiği: E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 21 / 40
Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) f (x) = x 2 2, [a, b] = [0, 5] fonksiyonunun grafiği: 30 5 20 10 0 0 10 0 1 2 3 4 5 [0,5],c=2.5 5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 [0,2.5],c=1.25 2 1 0 0 1 5 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 [1.25,2.5],c=1.875 2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 [1.25,1.875],c=1.5625 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 21 / 40
Örnek-II:algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 22 / 40
Örnek-II:algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 22 / 40
Örnek-II:algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 3 Eğer f (a)f (c) < 0 ise b = c, değilse a = c E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 22 / 40
Örnek-II:algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 3 Eğer f (a)f (c) < 0 ise b = c, değilse a = c 4 f (c) > ɛ olduğu sürece a, c, b, f (c) değerlerini yaz ve (2) ye git değilse işlemi durdur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 22 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); 11 fprintf (Format, a, c, b, fc); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); 11 fprintf (Format, a, c, b, fc); 12 end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 23 / 40
Örnek-II:Uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunu [0, 2]aralĭgındaki sıfıryerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim.f fonksiyonunu E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 24 / 40
Örnek-II:Uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunu [0, 2]aralĭgındaki sıfıryerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim.f fonksiyonunu komutu ile tanımlayalım. f = inline( exp(x) (x + 2) ); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 24 / 40
Örnek-II:Uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunu [0, 2]aralĭgındaki sıfıryerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim.f fonksiyonunu komutu ile tanımlayalım. y 3 f = inline( exp(x) (x + 2) ); 2 1 0 1 0.5 1.0 1.5 2.0 x E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 24 / 40
Örnek-II: Uygulama Programıçalıştırarak, a, c, b, f (c) değerleri aşağıdaki gibi elde edilir: >>ikibol(f,0,2,1e-4) 0.000000 1.000000 2.000000-0.281718 1.000000 1.500000 2.000000 0.981689 1.000000 1.250000 1.500000 0.240343 1.000000 1.125000 1.250000-0.044783............ 1.146193 1.146193 1.146193 0.000000 ans=1.1462 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 25 / 40
Örnek-II: Uygulama Programıçalıştırarak, a, c, b, f (c) değerleri aşağıdaki gibi elde edilir: >>ikibol(f,0,2,1e-4) 0.000000 1.000000 2.000000-0.281718 1.000000 1.500000 2.000000 0.981689 1.000000 1.250000 1.500000 0.240343 1.000000 1.125000 1.250000-0.044783............ 1.146193 1.146193 1.146193 0.000000 ans=1.1462 Virgülden sonra onbeş basamağa kadar sıfıryeri için yaklaşım c = 1.146193220620583 dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 25 / 40
Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Yöntemin söz konusu aralıktaki sıfıryerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyeceği(teorem 1) Sıfıryerini belirleyebilme hızı(orta noktalardan oluşan dizinin yakınsama hızı). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 26 / 40
Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Yöntemin söz konusu aralıktaki sıfıryerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyeceği(teorem 1) Sıfıryerini belirleyebilme hızı(orta noktalardan oluşan dizinin yakınsama hızı). Teorem 1 f fonksiyonu [a, b] = [a 1, b 1 ] aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren sürekli bir fonksiyon ve r de fonksiyonun her n için f (a n )f (b n ) < 0 şartını sağlayan [a n, b n ] aralĭgındaki sıfıryeri ve {c n } n=1 ise c n = (a n + b n )/2 ile tanımlanan orta noktalar dizisi olsun. Bu taktirde dir. lim c n = r n E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 26 / 40
Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Teorem 2 r sıfıryeri için r c n b n a n 2 olduğu açıktır. Öte yandan her bir alt aralĭgın uzunluğu önceki alt aralĭgın uzunluğunun yarısına eşit olduğundan r c n b n a n 2 = b n 1 a n 1 2 2 = = b 1 a 1 2 n elde ederiz. Yukarıdaki eşitsizlikten lim n r c n = 0 elde ederiz. Öte yandan r c n r c n r c n eşitsizliği ve Sıkıştırma teoreminden sonuç açıkça görülür. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 27 / 40
Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Tanım 1 Bir r noktasına yakınsayan {c n } n=0 dizisi verilmiş olsun. Eğer her n N için r c n+1 α r c n β eşitsizliği sağlanacak biçimde α > 0, β 1 reel sayılarıve N > 0 tamsayısı mevcutsa {c n } n=1 dizisi β-ıncıbasamaktan yakınsak bir dizidir denir. β = 1 olmasıdurumunda yakınsama için α (0, 1) olmalıdır ve bu durumda diziye lineer yakınsak dizi adıverilir. β = 2 olmasıdurumda ise diziye kuadratik yakınsak dizi adıverilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 28 / 40
Örnek-II:Yakınsaklık Analizi İkiye bölme yöntemi için ve r c n+1 b n+1 a n+1 2 r c n b n a n 2 eşitsizliklerini karşılaştırarak r c n+1 = 1 2 r c n = 1 b n a n 2 2 elde ederiz. O halde yöntem lineer olarak yakınsaktır. r c n+1 / r c n = 1 2 sabiti ise ortalama yakınsaklık oranıolarak tanımlanır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 29 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her adımda aralĭgıorta noktasından ikiye bölmek yerine, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 30 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her adımda aralĭgıorta noktasından ikiye bölmek yerine, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarınıbirleştiren kirişin x eksenini kesim noktasıyardımıyla aralĭgıiki alt parçaya böler ve söz konusu kesim noktasınısıfır yeri için yaklaşımlar dizisinin bir elemanıolarak kabul eder. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 30 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 31 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 31 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a Bu doğrunun x = c olarak adlandıracağımız x eksenini kesim noktası, y = 0 alarak (b a) c = a f (a) (1) f (b) f (a) elde ederiz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 31 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a Bu doğrunun x = c olarak adlandıracağımız x eksenini kesim noktası, y = 0 alarak (b a) c = a f (a) (1) f (b) f (a) elde ederiz. f (c) > epsilon olduğu sürece işleme devam edilir.(daha etki sonuçlandırma kriterleri düşünülebilir). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 31 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 32 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. Bir sonraki adımda a noktası, önceki adımın b noktası, b noktasıise önceki adımın c noktasıolarak seçilmek suretiyle işleme devam edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 32 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. Bir sonraki adımda a noktası, önceki adımın b noktası, b noktasıise önceki adımın c noktasıolarak seçilmek suretiyle işleme devam edilir. f (c) > epsilon olduğu sürece işleme devam edilir.(daha etkin sonuçlandırma kriterleri düşünülebilir). Kriteri sağlamayan ilk c değeri sıfır yeri olarak kabul edilebilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 32 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 33 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini fonksiyonun sıfır yeri için yaklaşım kabul edelim. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 33 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini fonksiyonun sıfır yeri için yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 33 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini fonksiyonun sıfır yeri için yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam f (x 3 ) > epsilon olduğu sürece işleme devam edelim. Kriteri sağlamayan ilk x 3 değerini sıfır yeri olarak kabul edelim. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 33 / 40
Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini fonksiyonun sıfır yeri için yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam f (x 3 ) > epsilon olduğu sürece işleme devam edelim. Kriteri sağlamayan ilk x 3 değerini sıfır yeri olarak kabul edelim. Yukarıda ana hatlarıyla bahsedilen yöntem Muller yöntemi olarak bilinir( [6]). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 33 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktası komşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 34 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktası komşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren [a, b] aralĭgını Örnek 1 de geliştirdiğimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aralĭgıörnek 2 deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonunu sıfıryerini belirleyebiliriz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 34 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktası komşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren [a, b] aralĭgını Örnek 1 de geliştirdiğimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aralĭgıörnek 2 deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonunu sıfıryerini belirleyebiliriz. Algoritma Yönteme ait algoritma aşağıda verilmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 34 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f(a)=0 ise c=a, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f(a)=0 ise c=a, 2 değil ve eğer f(b)=0 ise c=b dir, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f(a)=0 ise c=a, 2 değil ve eğer f(b)=0 ise c=b dir, 3 değilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f(a)=0 ise c=a, 2 değil ve eğer f(b)=0 ise c=b dir, 3 değilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul :Çıktı: c E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi 4 Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 36 / 40
Örnek-III: Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 37 / 40
Örnek-III: Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. >> f=inline( log(x)-x+4 ) f = Inline function: f(x) = log(x)-x+4 >> fsifir(f,4) ans = 5.7490 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 37 / 40
Örnek-III :Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Aynıişlem MATLAB/OCTAVE fzero fonksiyonu yardımıyla da gerçekleştirilebilir: >> fzero(f,4) ans = 5.7490 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 38 / 40
Örnek-III :Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi f (x) = xsin(1/x) fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 39 / 40
Örnek-III :Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi f (x) = xsin(1/x) fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. >> f=inline( x*sin(1/x) ) f = Inline function: f(x) = x*sin(1/x) >> fsifir(f,4) ans = 0.3183 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 39 / 40
Kaynaklar Atkinson, K. An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, 1988. Coşkun, E. OCTAVE ile Sayısal Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). Coşkun, E. Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). Coşkun, E. Sayısal Analize Giriş(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). Kincaid, D., Cheney, W., Numerical Analysis, Brooks/Cole, 1991. Stoer, J., Bulirsh, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, 1976. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 40 / 40