KESİRLİ MERTEBEDEN KISMİ DİFERANSİYEL CEBİRSEL DENKLEMLERİN FARKLI METOTLARLA NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Gökçe Dilek KÜÇÜK Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı

KESİRLİ MERTEBEDEN KISMİ DİFERANSİYEL CEBİRSEL DENKLEMLERİN FARKLI METOTLARLA NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Gökçe Dilek KÜÇÜK Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Doç. Dr. Ercan ÇELİK 2014 Her hakkı saklıdır

ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KESİRLİ MERTEBEDEN KISMİ DİFERANSİYEL CEBİRSEL DENKLEMLERİN FARKLI METOTLARLA NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Gökçe Dilek KÜÇÜK MATEMATİK ANABİLİM DALI Uygulamalı Matematik Bilim Dalı ERZURUM 2014 Her hakkı saklıdır

T.C. ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEZ ONAY FORMU KESİRLİ MERTEBEDEN KISMİ DİFERANSİYEL CEBİRSEL DENKLEMLERİN FARKLI METOTLARLA NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ercan ÇELİK danışmanlığında, Gökçe Dilek KÜÇÜK tarafından hazırlanan bu çalışma.../.../... tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı nda Doktora tezi olarak oybirliği/oy çokluğu ( / ) ile kabul edilmiştir. Başkan :... İmza : Üye :... İmza : Üye :... İmza : Üye :... İmza : Üye :... İmza : Yukarıdaki sonuç; Enstitü Yönetim Kurulu.../.../.. tarih ve....../.............. nolu kararı ile onaylanmıştır. Prof. Dr. İhsan EFEOĞLU Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaklardan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak olarak kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

ÖZET Doktora Tezi KESİRLİ MERTEBEDEN KISMİ DİFERANSİYEL CEBİRSEL DENKLEMLERİN FARKLI METOTLARLA NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Gökçe Dilek KÜÇÜK Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Ercan ÇELİK Beş bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümünde literatür özetinden bahsedildi, ikinci bölümde bazı özel fonksiyonlar tanıtıldı ve tezde kullanılacak olan çeşitli tanım ve teoremler verildi, üçüncü bölümde tamsayı mertebeden ve kesirli mertebeden diferansiyel denklemler için Adomian ayrışım metodu (AAM), varyasyonel iterasyon metodu (VİM), kesirli varyasyonel iterasyon metodu (KVİM) ve homotopi analiz metodu (HAM) tanıtıldı ve analiz edildi. Tezin esas kısmı olan dördüncü bölümde, AAM, KVİM ve HAM kesirli mertebeden kısmi diferansiyel cebirsel denklemler üzerine uygulanarak seri çözümler elde edildi, elde edilen sonuçlar şekil ve çizelgeler üzerinde gösterildi. Son bölümde ise uygulanan metotlar karşılaştırıldı ve elde edilen sonuçlar değerlendirildi. 2014, 80 sayfa Anahtar Kelimeler: Adomian ayrışım metodu, kesirli varyasyonel iterasyon metodu, homotopi analiz metodu, kısmi diferansiyel-cebirsel denklemler, kesirli mertebeden kısmi diferansiyel- cebirsel denklemler, i

ABSTRACT Ph. D. Thesis NUMERICAL SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL ALGEBRAIC EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER BY DIFFERENT METHODS Gökçe Dilek KÜÇÜK Ataturk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Department of Applied Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ercan ÇELİK This thesis is composed of five parts. In the first part of this study, literature summary is mentioned, in the second part some particular functions are introduced and various definitions and theorems to be used in the thesis are given. In the third part, Adomian decomposition method (ADM), Variation iteration method (VIM), Homotopy Analysis method (HAM), fractional variational iteration method (FVIM) are introduced and analyzed for differential equations which are integer and fractional order. In the fourth part, which is the main part of the thesis, by applying AAM, VIM, HAM into the partial differential algeabric equation of fractional order, solutions in the form of power series are obtained. The obtained results are demonstrated through figures and charts. In the last chapter, applied methods are compared within themselves and obtained results are evaluated. 2014, 80 pages Keywords: Adomian decomposition Method, fractional variational iteration method, homotopy analysis method, partial differential- algebraic equation, partial differential- algebraic equation of fractional order, ii

TEŞEKKÜR Doktora tezi olarak sunduğum bu çalışma, Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Bölümü nde hazırlanmıştır. Bu çalışmada bana her türlü kolaylığı sağlayan, tezin her aşamasında yanımda olan değerli hocam Sayın Doç. Dr. Ercan ÇELİK e sonsuz teşekkür eder saygılarımı sunarım. Çalışmalarımı devam ettirmem de yardımlarını esirgemeyen Iğdır Üniversitesi nin değerli öğretim üyelerine ve arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Tezin hazırlanması sürecinde benden yardımlarını esirgemeyen Sayın Yrd. Doç. Dr. Eşref TÜRKMEN e, Sayın Arş. Gör. Kadirhan POLAT a, Sayın Arş. Gör. Rıdvan ŞAHİN e, Sayın Arş. Gör. Ali AYDOĞDU ya ve Sayın Arş. Gör. Mesut KARABACAK a; Matematik bölümünde gerekli ilgi ve yardımı esirgemeyen anabilim dalımızın değerli öğretim üyelerine teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca, çalışmalarım esnasında sonsuz özverilerinden ve kendilerinden görmüş olduğum destekten dolayı aileme ve eşim Soner KÜÇÜK e teşekkür ederim. Doktora eğitimim boyunca Yurt İçi Doktora Burs Programı ile tarafıma vermiş olduğu destekten dolayı TÜBİTAK a teşekkür etmeyi bir borç bilirim. Gökçe Dilek KÜÇÜK Ağustos, 2014 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ... vi ŞEKİLLER DİZİNİ... vii ÇİZELGELER DİZİNİ... ix 1. GİRİŞ... 1 2. KURAMSAL TEMELLER... 4 2.1. Kesirli Türevler ve Kesirli İntegraller... 7 2.1.1. Riemann-Liouville kesirli türevleri ve kesirli integralleri... 8 2.1.2. Caputo kesirli türevleri... 9 2.1.3. Modifiye edilmiş Riemann-Liouville türevi... 10 2.2. Kesirli Mertebeden Diferansiyel Denklemler... 11 2.3. Kesirli Mertebeden Kısmi Diferansiyel Denklemler... 13 2.4. Kesirli Mertebeden Diferansiyel-Cebirsel Denklemler... 14 2.5. Kesirli Mertebeden Kısmi Diferansiyel-Cebirsel Denklemler... 15 3. MATERYAL ve YÖNTEM... 17 3.1. Adomian Ayrışım Metodu... 17 3.2. Varyasyonel İterasyon Metodu... 20 3.2.1. Varyasyonel iterasyon metodunun temel kavramları... 20 3.2.1.a. Genel lagrange çarpanı... 21 3.2.1.b. Stasyoner şartlar... 22 3.3. Homotopi Analiz Metodu... 25 3.3.1. Homotopi türevinin bazı özellikleri... 30 3.3.2. Deformasyon denklemleri... 32 3.3.3. Sıfırıncı derece deformasyon denklemi... 34 3.3.4. Yüksek derece deformasyon denklemi... 36 3.3.5. Yakınsaklık teoremi... 37 3.4. Kesirli Mertebeden Diferansiyel Denklemler için Adomian Ayrışım Metodu... 38 iv

3.5. Kesirli Varyasyonel İterasyon Metodu... 40 3.6. Kesirli mertebeden diferansiyel denklemler için Homotopi Analiz Metodu... 40 4. ARAŞTIRMA BULGULARI... 43 4.1. Test Problemi... 43 4.2. Test Problemi... 60 5. TARTIŞMA ve SONUÇ... 77 KAYNAKLAR... 78 ÖZGEÇMİŞ... 81 v

SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ AAM VİM KVİM HAM TÇ Riemann-Liouville kesirli integral operatörü Riemann-Liouville kesirli türev operatörü Caputo kesirli türev operatörü Modifiye Riemann-Liouville kesirli türev operatörü Adomian ayrışım metodu Varyasyonel iterasyon metodu Kesirli varyasyonel iterasyon metodu Homotopi analiz metodu Tam çözüm vi

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 4.1. için (4.5) te AAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 46 Şekil 4.2. için (4.5) te AAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 46 Şekil 4.3. için (4.5) te KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 48 Şekil 4.4. için (4.5) te KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 49 Şekil 4.5. (4.5) te için eğrileri... 51 Şekil 4.6. (4.5) te için eğrileri... 52 Şekil 4.7. için (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 53 Şekil 4.8. için (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 53 Şekil 4.9. için (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözüm fonksiyonunun farklı değerlerine ait grafiği... 54 Şekil 4.10. için (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözüm fonksiyonunun farklı değerlerine ait grafiği... 54 Şekil 4.11. (4.5) te AAM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 57 Şekil 4.12. (4.5) te AAM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 58 Şekil 4.13. (4.5) te KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 58 Şekil 4.14. (4.5) te KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 59 Şekil 4.15. (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 59 Şekil 4.16. (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 60 Şekil 4.17. için (4.29) da AAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 62 Şekil 4.18. için (4.29) da AAM ile elde edilen v yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 63 vii

Şekil 4.19. için (4.29) da KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 65 Şekil 4.20. için (4.29) da KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 65 Şekil 4.21. için (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 67 Şekil 4.22. için (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik... 68 Şekil 4.23. için (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözüm fonksiyonunun farklı değerlerine ait grafiği... 68 Şekil 4.24. için (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözüm fonksiyonunun farklı değerlerine ait grafiği... 69 Şekil 4.25. - - olduğunda (4.29) sistemindeki yaklaşık çözümünün için grafiği... 69 Şekil 4.26. - - olduğunda (4.29) sistemindeki yaklaşık çözümünün için grafiği... 70 Şekil 4.27. - - olduğunda (4.29) sistemindeki yaklaşık çözümünün için grafiği... 70 Şekil 4.28. - - olduğunda (4.29) sistemindeki yaklaşık çözümünün için grafiği... 71 Şekil 4.29. (4.29) da AAM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 74 Şekil 4.30. (4.29) da AAM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 74 Şekil 4.31. (4.29) da KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 75 Şekil 4.32. (4.29) da KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 75 Şekil 4.33. (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 76 Şekil 4.34. (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözümü... 76 viii

ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 4.1. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 55 Çizelge 4.2. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 55 Çizelge 4.3. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 55 Çizelge 4.4. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için mutlak hata tablosu... 56 Çizelge 4.5. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 56 Çizelge 4.6. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 56 Çizelge 4.7. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 57 Çizelge 4.8. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için mutlak hata tablosu... 57 Çizelge 4.9. için (4.29)kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 71 Çizelge 4.10. için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 71 Çizelge 4.11. için (4.29)kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 72 Çizelge 4.12. için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için mutlak hata tablosu... 72 ix

Çizelge 4.13. için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 72 Çizelge 4.14. için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 73 Çizelge 4.15. için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu... 73 Çizelge 4.16. için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için mutlak hata tablosu... 73 x

1 1. GİRİŞ Diferensiyel cebirsel denklem kavramı ilk kez Petzold (1982) tarafından kullanılmıştır. Sonra (Gear and Petzold 1984; Brenan et al. 1989; Ascher and Petzold 1991, 1995) diferansiyel-cebirsel denklemlerin nümerik çözümleri ile ilgili çalışmalar yapmışlardır. Diferensiyel-cebirsel denklemlerin çözümü için Runge Kutta metodu kullanılmıştır ve bu tip denklemler için başlangıç/sınır değer metotları sunulmuştur (Hairer et al. 1989). Ayaz (2004), diferansiyel dönüşüm yöntemini kullanarak, diferansiyel-cebirsel denklemler için yeni bir nümerik yaklaşım ortaya koymuştur. Kızıloğlu (2005), diferansiyel-cebirsel denklemlerin nümerik çözümü için Adomian ayrışım metodunu kullanmıştır. Diferansiyel-cebirsel denklemlerin Chebyshev serileri yardımıyla ve Páde yaklaşımı yardımıyla nümerik çözümü üzerinde çalışmalar yapılmıştır (Çelik ve Yiğider 2001; Çelik ve Bayram 2003, 2004; Çelik ve Yeloğlu 2006; Turut 2010). Kesirli hesaplama kavramı 1695 te G. W. Leibintz tarafından L Hospital a türev operatörünün kesirli olmasının anlamının sorulduğu mektupla literatüre girmiştir. Bu zamandan sonra kesirli analiz konusu Euler, Laplace, Fourier, Abel, Riemann, Liouville gibi ünlü matematikçilerin dikkatini çekmiştir. Son zamanlarda ise fizik, kimya ve mühendislik, viskoelastisite problemlerinde, elektrik devrelerinde, biyolojide ve kontrol teorisinde sıklıkla karşımıza çıkmaktadır (Blair 1947; Anastasio 1994; Podlubny 1999). Çoğu kesirli diferansiyel denklem analitik çözüme sahip değildir, bu yüzden nümerik teknikler kullanılmaktadır. Bu amaçla son dönemde yapılan çalışmalarda varyasyonel iiterasyon metodu (VIM), homotopi perturbasyon metodu (HPM), homotopi analiz metodu (HAM), Adomian ayrışım metodu (ADM), diferansiyel dönüşüm metodu (DDM) gibi yaklaşık çözüm yöntemlerine sıklıkla yer verilmiştir.

2 Adomian ayrışım metodu, Adomian tarafından verilmiştir (Adomian 1990; Adomian and Rach 1990). Metod lineer/ lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanıldığı gibi diferansiyel cebirsel denklemlerin çözümünde de kullanılmıştır (Hosseini 2006a, 2006b). Momani and Al-Khaled (2005), kesirli mertebeye sahip diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü için Adomian ayrışım metodu kullanmışlardır. Ray and Bera (2005), kesirli mertebeye sahip lineer olmayan diferansiyel denklemler için Adomian ayrışım metodunu kullanmışlardır. Varyasyonel iterasyon metodunu J. He tarafından önerilen bir metottur (He 1997a, 1997b, 2007). Metot diferansiyel cebirsel denklemlere uygulanmıştır (Soltanian et al. 2009) Odibat and Momani (2006), varyasyonel iterasyon metodunu kesirli mertebeye sahip diferansiyel denklemlere uyarlamışlardır. İbiş, Adomian ayrışım metodunu ve varyasyonel iterasyon metodunu kesirli mertebeye sahip diferansiyel cebirsel denklemlere uygulamıştır (İbiş 2011; İbiş ve Bayram 2011). Jumarie (2009) tarafından modifiye edilmiş Riemann-Liouville türevinin önerilmesiyle birlikte varyasyonel iterasyon metodu, kesirli varyasyonel iterasyon metoduna genişletilmiştir (Wu and Lee 2010; Khan et al. 2012). Kesirli diferansiyel denklemler varyasyonel iterasyon metodu ile kesirli türev teriminden kaçınılarak incelenmiştir ve bu terim sınırlı varyasyon olarak ele alınmıştır. Modifiye edilmiş Riemann-Liouville türevi ile birlikte bu durumun üstesinden gelinmiştir. Homotopi analiz metodu 1992 de Liao tarafından geliştirilmiştir (Liao 1992, 1999, 2004) ve farklı yazarlar tarafından da birçok probleme başarıyla uygulanmıştır (Ayub et

3 al. 2003; Wu and Liao 2005; Abbasbandy 2007). Metot herhangi bir varsayım olmaksızın lineer/nonlineer problemlere uygulanabilir. Homotopi analiz metodu kesirli mertebeye sahip cebirsel-diferansiyel denklemlere uygulanmıştır (Zurigat et al. 2010). Bu tezde, kesirli mertebeden kısmi diferansiyel-cebirsel denklemlerin nümerik çözümü incelenecektir. Önce kesirli mertebeden diferansiyel denklemler kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemler, diferansiyel-cebirsel denklemler ve kesirli mertebeden diferansiyel-cebirsel denklemler tanıtılacak ve daha sonra kesirli mertebeden kısmi diferansiyel-cebirsel denklemlerin nümerik çözümlerine geçilecektir. Nümerik çözüm olarak Adomian ayrışım metodu, kesirli varyasyonel iterasyon metodu ve homotopi analiz metodu kullanılacaktır.

4 2. KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde tezde kullanılan bazı temel kavramlar verilecektir. Tanım 2.1: Bir bağımsız değişken ile bir bağımlı değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre türevlerini ihtiva eden denkleme diferansiyel denklem denir. Genel olarak; (2.1) şeklinde gösterilir. Burada, nin e göre inci mertebeden türevidir. (2.1) denklemi ye göre çözülürse (2.2) elde edilir. Bu ise (2.1) in açık formda yazılmış şeklidir. Tanım 2.2: dereceden bir polinomunu göz önüne alalım. Bu polinomun sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen şeklindeki denkleme cebirsel denklem denir. Pozitif tamsayısına, f ( x) 0 denkleminin derecesi denir. polinomunda denklemini sağlayan ye denklemin kökü denir.

5 Tanım 2.3: İçinde en az iki bağımsız ve en az bir bağımlı değişken ile bağımlı değişkenin bağımsız değişkenlere göre çeşitli basamaktan türevlerini kapsayan eşitliklere kısmi türevli denklem denir. Buna göre u bağımlı değişkenler olmak üzere x,..., 1, x2 xn bağımsız ( ) (2.3) bağıntısı bir bağımlı ve bağımsız değişkenli kısmi diferansiyel denklemdir. Örneğin, birer kısmi diferansiyel denklemdir. Tanım 2.4: Diferansiyel-cebirsel denklem genel halde olmak üzere ( ) (2.4) ve ( ) ( ) ( ) (2.5) ( ( ) ) formundadır. (2.4) denklemine genel non-lineer kapalı diferansiyel-cebirsel denklem denir. Diferansiyel-cebirsel denklem yarı açık formda, (2.6) (2.7)

6 şeklinde yazılabilir. Dikkat edilirse değişkeninin türevi yukarıda bulunmamaktadır işte böyle bir değişkeni cebirsel değişken, değişkeni ise diferansiyel değişken olarak adlandırılır. (2.7) denklemine ise cebirsel denklem denir. Diferansiyel cebirsel denklemler Jakobiyen matrisinin singüler olmasıyla açıklanır. Örnek 2.5: Aşağıdaki başlangıç değerleri ile verilen denklem sistemini düşünelim. (2.8) (2.8) denklem sistemi bir diferansiyel-cebirsel denklemdir. Tanım 2.6: sabitler olmak üzere serisine c merkezli kuvvet serisi denir. Tanım 2.7:, de açık bir küme, ve olsun. Bu taktirde [ ] [ ] [ ] serisine nin noktasındaki Taylor serisi denir.

7 Tanım 2.8 (Gama Fonksiyonu): Gama fonksiyonu özel bir fonksiyon olup kesirli türev ve integralin doğuşunda ciddi rol oynamıştır. Basitçe ifade edilirse faktöriyelin tüm reel sayılara genelleştirilmesidir. için, (2.9) şeklinde tanımlanan fonksiyona gama fonksiyonu denir ve Γ ile gösterilir. Γ fonksiyonunun bazı özellikleri aşağıda verilmiştir. a. b. olmak üzere c. olmak üzere Tanım 2.9 (Beta Fonksiyonu): Beta Fonksiyonu B(m,n) ile gösterilir ve genel itibariyle başka birçok şekilde tanımlansa da en genel tanımı; (2.10) şeklindedir. (2.11) yazılabilir (Arfken and Weber 1995). 2.1. Kesirli Türevler ve Kesirli İntegraller Literatürde kesirli mertebeden türevlerin birbirinden farklı birçok tanımı mevcuttur. Fakat bu tanımlar aslında Riemann-Liouville türev tanımının genelleştirilmiş şekli,

8 varyantları veya belirli şartlar altında Riemann-Liouville türev tanımı ile bağlantılı olduğu görülür. Çalışmamızın Adomian ayrışım metodu ve homotopi analiz metoduna ait olan kısmında Caputo kesirli türev tanımı kullanılırken, kesirli varyasyonel iterasyon metoduna ait olan kısmında modifiye edilmiş Riemann-Liouville kesirli türev tanımı kullanılmıştır. Her iki türev tanımında da Riemann-Liouville kesirli integral tanımından yararlanılmıştır. 2.1.1. Riemann-Liouville kesirli türevleri ve kesirli integralleri Riemann- Liouville integral ve türeve ait tanımları ve teoremler bazı kaynaklarda detaylı bir şekilde verilmiştir (Oldham et al. 1974; Ross and Miller 1993; Kılbas et al. 2006; Diethelm 2010). Biz sadece çalışmamızda kullanacağımız tanım ve teoremleri vereceğiz Tanım 2.1.1.1: olsun. için fonksiyonunun mertebeli Riemann-Liouville kesirli integrali aşağıdaki gibi tanımlanır. (2.12) için birim operatörü tanımlanır. Aşağıdaki bazı özellikleri verebiliriz: operatörünün özellikleri Caputo (1967) de bulunabilir. (2.13)

9 (2.14) (2.15) Tanım 2.1.1.2: Bir fonksiyonunun -mertebeli Riemann-Liouville kesirli türevi, Riemann-Liouville kesirli integral operatörü yardımıyla tanımlanır. olmak üzere fonksiyonunun mertebeli Riemann-Liouville kesirli türevi ( ) [ ] (2.16) şeklinde tanımlanır. 2.1.2. Caputo kesirli türevleri Caputo türev tanımı detaylı bir şekilde M. Caputo tarafından ve bazı kaynaklarda verilmiştir (Caputo 1967; Kılbaş et al 2006). Bu yüzden, sadece çalışmamızda kullanacağımız özellikler verilecektir. Tanım 2.1.2.1: ve olsun. Bu taktirde olmak üzere mertebeli Caputo kesirli türev tanımı aşağıdaki gibi verilir. (2.17) veya

10 (2.18) { Teorem 2.1.2.2: Caputo türev tanımına ait 1 (2.19) 2 (2.20) özellikleri de verilebilir. 2.1.3. Modifiye edilmiş Riemann-Liouville türevi Modifiye edilmiş Riemann-Liouville türevini aşağıdaki gibi tanımlamıştır Jumarie (2009). ( ) (2.21) Burada dir. Modifiye edilmiş Riemann-Liouville türevinin bazı özellikleri (2.22) ve (2.23) te verilmiştir: a. Kesirli Leibniz Çarpım Kanunu

11 (2.22) b. Kesirli Leibniz formülü (2.23) c. ya gore integrasyon Kabul edelim ki, sürekli bir fonksiyon olsun. ya göre integrasyon için aşağıdaki eşitlik yazılabilir (Jumarie 2006). (2.24) 2.2. Kesirli Mertebeden Diferansiyel Denklemler Bu bölümde kesirli diferansiyel denklemlere ait tanımlar verilecektir. Detaylı bilgi Podlubny tarafından olarak verilmiştir (Podlubny 1999). Tanım 2.2.1: Bir veya daha fazla değişkenin kesirli türevlerini içeren denklemlere kesirli diferansiyel denklem denir. Yani, kesirli diferansiyel denklemler, tam sayı türevleri yerine, kesirli türevlere sahip olan diferansiyel denklemlerdir (Benghorbal 2004). Örnek 2.2.2:

12 ile verilen denklem bir kesirli diferansiyel denklemdir. Kesirli diferansiyel denklemler aşağıdaki gibi sınıflandırılabilir: a) Adi kesirli diferansiyel denklemler; Örneğin, denklemleri adi kesirli diferansiyel denklemlerdir (Podlubny 1999). b) Kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemler; Örneğin, denklemi bir kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemdir (Podlubny 1999). Başka bir sınıflandırma ise, lineerliğe ya da non-lineerliğe göre yapılan sınıflandırma türüdür. Bir kesirli diferansiyel denklem eğer; (2.25) şeklinde ise lineer kesirli diferansiyel denklem olarak adlandırılır. (2.25) denkleminde;, (i=1,2,,n) kesirli diferansiyel operatörüdür ve lineerdir. Dikkat edilirse, lineer kesirli diferansiyel denklemlerin iki özelliği göze çarpmaktadır: i) Bağımlı değişken ve nin kesirli türevleri birinci derecedendir. Yani, bağımlı değişkenini içeren her terimin kuvveti 1 dir. ii) Her terimin katsayısı yalnız bağımsız değişkenine bağlıdır (Benghorbal 2004).

13 Buna göre, lineer olmayan bir kesirli diferansiyel denklem non-lineer kesirli diferansiyel denklem olarak adlandırılır. Yukarıdaki tanımlardan hareketle; denklemleri lineerdir. Fakat denklemleri nonlineerdir (Benghorbal 2004). Tanım 2.2.3: Kesirli diferansiyel denklemdeki en yüksek mertebedeki türevine denklemin mertebesi denir. Örneğin, ( ) denklemi bir 7. 3 (Benghorbal 2004). mertebeden nonlineer adi fraksiyonel diferansiyel denklemdir 2.3. Kesirli Mertebeden Kısmi Diferansiyel Denklemler Tanım 2.3.1: Bir lineer olmayan kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklem başlangıç koşulları ile birlikte,

14 (2.26) formundadır. Burada bir lineer operatör ve bir lineer olmayan operatör ve bilinen bir sabit fonksiyon ki tüm lerinin derecesi tamsayıdır (Chen et al. 2011). Örnek 2.3.2: (2.27) (2.27) denklemi bir kesirli diferansiyel denklemdir (Chen et al. 2011). 2.4. Kesirli Mertebeden Diferansiyel-Cebirsel Denklemler Tanım 2.4.1: Bir kesirli diferansiyel-cebirsel denklem başlangıç koşulları ile birlikte, (2.28)

15 formundadır. Örnek 2.4.2: kesirli diferansiyel-cebirsel denklem örneğidir. 2.5. Kesirli Mertebeden Kısmi Diferansiyel-Cebirsel Denklemler Fen bilimlerinde ve mühendislikte, farklı tip denklem sistemleri içeren birçok matematiksel model yer almaktadır. Bunlardan birisi kesirli mertebeden kısmi diferansiyel-cebirsel denklemdir. Uygulamalarda bu sistemler genellikle uygun başlangıç ve sınır şartlarıyla tamamlanabilirler Örnek 2.5.1: türlerin yoğunluğu ve besin kaynaklarının yoğunluk vektörleri olmak üzere, besin kaynağına bağlı türün bir popülasyon modeli olarak verilsin. uygun başlangıç ve sınır şartlarının verildiğini kabul edelim. Bu sistem bir reaksiyon-difüzyon modeli olarak değerlendirilebilir. Burada, yayılmış madde konsantrasyonu olarak ve konsantrasyonu olarak görülebilir.., parçacıkları yayılmayan madde

16 Örnek 2.5.2: olmak üzere, [ ] [ ] [ ] [ ] (2.29). Denklemi kesirli metebeden kısmi diferansiyel-cebirsel denklemdir. Bu denklem ( ) olmak üzere şeklinde yazılabilir.

17 3. MATERYAL ve YÖNTEM Bu bölümde tezde kullanılacak olan metodlar verilecektir. 3.1. Adomian Ayrışım Metodu Adomian ayrışım metodu George Adomian tarafından tanıtıldı ve geliştirildi (Adomian 1990; Adomian and Rach 1990). Lineer/lineer olmayan diferansiyel ve integral denklemlerin seri çözümünü elde etmek için kullanılan etkili bir yöntemdir. Metodu uygulamak için, (3.1) denklemini göz önüne alalım. Burada, de en yüksek mertebeli türevi,, de en yüksek mertebeli türevi, lineer operatörden kalan kısmı, lineer olmayan terimi, ise homojen olmayan kısmı göstermektedir. (3.1 ) e göre çözülürse, (3.1) eşitliğinin her iki tarafına ters operatörü uygulandığında ( ) (3.2) ( ) elde edilir. Burada (3.3) {

18 dir. Metot, bilinmeyen lineer fonksiyonunun, (3.4) ayrışım serisi ile temsil edilebileceğini ifade eder, Burada, iterasyon yoluyla elde edilen bileşenlerdir lineer olmayan terimi Adomian polinomları olarak adlandırılan ( ) (3.5) şeklinde sonsuz bir seriyle açıklanır. (3.4) ve (3.5) eşitlikleri (3.2) de yerine yazıldığında, ( ) ( ) ( ) (3.6) elde edilir. Burada elemanları dir. Bu eşitlikten ayrıştırılmış seri (3.7) olarak bulunur. hesaplanabilir. olmak üzere, Adomian polinomları aşağıdaki eşitlik kullanılarak

19 [ ( )] (3.8) Yani (3.9) formülleri ile elde edilir. Adomian tarafından verilen kabuller Wazwaz tarafından modifiye edilmiştir (Wazwaz 1999, 2009; Wazwaz and El-Sayed 2001). Modifiye edilmiş şekli fonksiyonunun ve diye iki kısma ayrılmasıdır. Bu kabul altında yazabiliriz. Bu durum bileşenlerine daha hızlı ve basit yoldan ulaşmayı önerir. Buna göre bileşeni sadece ile belirlenir ve bileşeni ise ve kalan diğer terimlerle belirlenir. Sonuç olarak ardışık yaklaşımlar aşağıdaki gibi yazılabilir. (3.10) Bu tezde Adomian ayrışım metodu ile seri çözüm hesaplarken modifiye edilmiş ardışık yaklaşımlar kullanılacaktır. Örnek 3.1.1: denklemini ele alalım.

20 (3.11) olarak yazılırsa ve (3.11) ün her iki tarafına ters operatörü uygulanırsa elde edilir. yazılarak aşağıdaki iteratif adımlar elde edilir. Buradan bulunur (Wazwaz 2009). 3.2. Varyasyonel İterasyon Metodu Lineer olmayan problemlerin çözümü için Inokuti et al. (1978) genel Lagrange çarpanı yöntemini ileri sürmüşlerdir. J.H. He tarafından bu yöntem baz alınarak lineer/lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılabilen, çözümlere hızlı yakınsayan varyasyonel iterasyon metodu geliştirilmiştir (He 1997a, 1997b). 3.2.1. Varyasyonel iterasyon metodunun temel kavramları Varyasyonel iterasyon metodunda kullanılan bazı kavramlar aşağıda verilmiştir.

21 3.2.1.a. Genel lagrange çarpanı Genel Lagrange çarpanı kavramını anlamak için, (3.12) cebirsel denklemini göz önüne alalım (He 2007). Eğer kökü ise (3.12) denkleminin yaklaşık (3.13) şeklinde yazılabilir. Doğruluğunu geliştirmek için aşağıdaki düzeltme denklemini yazabiliriz: (3.14) Burada Lagrange çarpanıdır ve en uygun biçimde (3.15) ile belirlenebilir ki bu durum çok iyi bilinen (3.16) Newton iterasyon formülünü elde etmeyi sağlar. Düzeltme denklemini oluşturmak için farklı alternatif yaklaşımlar da kullanılabilir. için düzeltme denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz, (3.17)

22 burada ise denklemin yardımcı fonksiyonudur. Lagrange çarpanının belirlenmesinden sonra genel iterasyon formülü, (3.18) olarak bulunur. Yardımcı fonksiyonun değeri tüm iterasyon boyunca sıfır veya daha küçük bir değer olmamalıdır, olarak seçilirse, (3.18) (3.19) olur (He 2007). 3.2.1.b. Stasyoner şartlar Varyasyonlar hesabının en temel problemi (3.20) fonksiyonelinin maximum veya minimum değeri için bir bulmaktır (He 2003). (3.20) nin extremum şartı (stasyoner şart), fonksiyonunu (3.21) (3.22) { } (3.23)

23 { } (3.24) {[ ( )] ( )} {[ ( )] } (3.25) (3.26) olmasını gerektirir. Yukarıdaki ilişkiden, keyfi değeri için, ( ) (3.27) ve aşağıdaki sınır şartları elde edilir; (3.28) (3.27) denklemi Euler-Lagrange diferansiyel denklemi, (3.28) ise doğal sınır değerleri olarak bilinir (He 2003). Varyasyonel iterasyon yönteminde, başlangıç tahmini daima muhtemel bilinmeyen bir parametre olarak seçilir, tek iterasyonda yüksek derecede doğruluğa sahip bir çözüme ulaşılabilir (He 2007). (3.29)

24 genel lineer olmayan denklemini göz önüne alalım. Burada lineer operatör, lineer olmayan operatör, ise sürekli bir fonksiyondur. (3.29) denklemi için aşağıdaki gibi bir düzeltme fonksiyoneli yazılabilir. { } (3.30) varyasyonel teoriyle belirlenen Lagrange çarpanı, sınırlı varyasyon yani dır (He 2007). başlangıç yaklaşımı belirlendikten sonra, yaklaşım fonksiyonu elde edilir ve sonuç olarak tam çözüm olarak elde edilir. Örnek 3.2.1: (3.31) Kısmi diferansiyel denklemini varyasyonel iterasyon metodu ile çözelim (Wazwaz 2009). (3.31) denklemi için düzeltme fonksiyoneli; ( ) (3.32) ile ifade edilir. (3.32) nin her iki tarafının varyasyonunu alırsak, ( ( ) ) (3.33) elde edilir olup

25 ( ( ) ) (3.34) dır. (3.34) ifadesine kısmi integrasyon uygulanırsa, (3.35) elde edilir. Buradan bulunur. Bu değer (3.32) de yerine koyulursa ( ) (3.36) seçilerek iterasyona başlanırsa, (3.37) olarak hesaplanır. analitik çözümü elde edilir. 3.3. Homotopi Analiz Metodu Homotopi analiz metodu, topolojinin temel kavramlarından biri olan homotopi kavramını kullanır (Liao 2004). Yardımcı lineer operatör seçimiyle, denklemin başlangıç yaklaşımından tam çözüme götüren sürekli bir dönüşüm oluşturulur. Bulunan çözüm serilerinin yakınsaklık bölgesini kontrol edebilmek amacıyla yardımcı parametre seçilir. Yardımcı parametrenin, başlangıç yaklaşımının ve yardımcı lineer operatörlerin seçiminde serbestlik sağlaması metodun avantajlarındandır. Metot sayesinde lineer olmayan problem, kolaylıkla çözülebilen sonsuz sayıda lineer alt probleme dönüştürülür.

26 Tanım 3.3.1: ve topolojik uzayları arasındaki, sürekli dönüşümleri ve her için ve olacak şekilde sürekli bir dönüşüm varsa dönüşümüne ve arasında homotopi ve ve ye de homotopiktir denir (Klaus 1980). dönüşümü bir homotopi oluşturur. Burada parametresine homotopi parametresi denir. Homotopi analiz metodunu anlatmak için aşağıdaki cebirsel denklemi göz önüne alalım. İlk olarak aşağıdaki gibi bir homotopi kuralım. Burada x in başlangıç yaklaşımı, homotopi parametresidir. ve için sırasıyla elde edilir. Yani parametresi dan e değiştikçe sürekli olarak dan e değişecektir. Bu şekildeki bir değişime topolojide deformasyon denilmektedir (Sen 1983). alınarak, cebirsel denklemlerin bir ailesi elde edilir. Bu cebirsel denklemler ailesinin çözümü homotopi parametresine bağlıdır. Dolayısıyla aşağıdaki denklem yazılabilir.

27 (3.38) da denklemi elde edilir ki çözümü dır. da denklemi için çözüm tir. Yani, dan e değiştikçe, dan ın çözümü olan e değişir (deforme olur). (3.38) sıfırıncı derece deformasyon denklemi olarak adlandırılır. olmak üzere, Maclaurin serisi (3.39) burada (3.40) (3.39) homotopi serisi ve nin mertebeden homotopi türevi olarak adlandırılır. Eğer bu homotopi serisi de yakınsaksa, olduğu kullanılarak (3.41) homotopi serisi çözümü elde edilir. Taylor serisi hakkındaki temel teoreme göre, (3.39) daki lar tektir. Dolayısıyla lardan oluşan denklem de tektir. (3.38) denkleminin her iki tarafının 1. mertebeden homotopi türevi alınırsa

28 1. dereceden deformasyon denklemi elde edilir, çözümü dir. 2. deformasyon denlemi olarak elde edilir ve çözümü Benzer şekilde için elde edilir. Burada vurgulamak istediğimiz durum, tüm bu yüksek mertebeden deformasyon denklemleri çözülmesi kolay lineer diferansiyel denklemlerdir. 1. homotopi serisi yaklaşımı (3.42) ve 2. homotopi serisi yaklaşımı (3.43) dikkat edilirse (3.42) Newton iterasyon formülüdür ve (3.43) ise 2. dereceden Newton iterasyon formülü olarak düşünülebilir. (3.39) homotopi serisi de her zaman yakınsak olmayabilir, dolayısıyla buna karşılık gelen (3.41) homotopi çözüm serisi de ıraksak olabilir. Bunun nedeni de yakınsak olduğu varsayımından kaynaklanmaktadır. Homotopi analiz metodundaki bu kısıtlamayı ortadan kaldırmak

29 için Liao (2009) sıfırıncı derece deformasyon denklemi oluştururken, aşağıdaki gibi bir yardımcı parametresi vermiştir: (3.44) de olur bu denklemin çözümü ise denkleminin çözümü olan e karşılık gelir. 1. derece deformasyon denklemi olup çözümü dır. 2. mertebeden deformasyon denklemi olup, çözümü dir. 1. derecede homotopi serisi yaklaşımı (3.45) 2. derece homotopi serisi yaklaşımı

30 (3.46) elde edilir. için (3.42), (3.43) denklemleri sırasıyla (3.45), (3.46) denklemlerinin özel bir halidir. değerinin seçimine bağlı olarak homotopi serisinin çözümü garanti edileceği için yakınsaklık-kontrol parametresi olarak adlandırılır. kullanılmadığında (3.39) serisinin yakınsak olduğu kabul edilmek zorundadır, ancak yakınsaklık parametresi kullanılırsa böyle bir varsayıma gerek kalmayacaktır. 3.3.1. Homotopi türevinin bazı özellikleri Yüksek dereceden deformasyon denklemi elde etmek için kullanılan homotopi türevinin tanımı ve kullanılacak olan bazı özellikleri aşağıdaki gibidir: Tanım 3.3.1.1:, homotopi parametresinin bir fonksiyonu olmak üzere için, (3.47) ifadesine nin mertebeden homotopi türevi denir. Tanım 3.3.1.2: N[u]=0 lineer olmayan bir denklem ve, Maclaurin serisi, (3.48) olan homotopi parametresinin bir fonksiyonu olsun.

31 Denklemler ailesine ın sıfırıncı derece deformasyon denklemi denir. ise orijinal denklemine denk olur, öyle ki (3.49) da denklemin çözümü açıktır. (3.48) e homotopi serisi ve (3.49) a homotopi seri çözümü denir. ların oluşturduğu denklemler ise derece deformasyon denklemleri olarak adlandırılır. Teorem 3.3.1.3: dan bağımsız ve fonksiyonları için, dir. Burada homotopi serileridir (Liao 2009). Teorem 3.3.1.4:, homotopi serileri ve ve tamsayılar olmak üzere 1. 2. 3. 4.

32 sağlanır (Liao 2009). Teorem 3.3.1.5: dan bağımsız bir lineer operatör olmak üzere homotopi serisi için elde edilir (Liao 2009). Teorem 3.3.1.6:, homotopi serileri için bölgesinde eşitliği sağlanırsa her tamsayısı ve reel sayısı için ve eşitlikleri elde edilir (Liao 2009). 3.3.2. Deformasyon denklemleri Yukarıda verilen homotopi türevinin özellikleri yüksek derece deformasyon denklemleri elde edilirken kullanılır. Lemma 3.3.2.1: homotopi serisi, homotopi parametresi ve, ve zaman değişkenin bir fonksiyonunu olsunlar. yardımcı lineer operatör ve tahmini çözümü göstermek üzere { } eşitliği sağlanır. Burada { (3.50) olarak tanımlanır (Liao 2009). İspat: dan bağımsız olduğundan aşağıdaki eşitlik sağlanır.

33 sağlanır. Teorem 3.3.1.3-3.3.1.5 kullanılırsa { } { } { } elde edilir. Sonuç olarak olduğunda, iken elde edilir. (3.50) tanımından { } elde edilir. Teorem 3.3.2.2: ve olmak üzere yardımcı bir lineer operatörü, lineer olmayan bir operatörü, başlangıç çözümü, ise dan bağımsız yakınsaklık kontrol parametresini göstermek üzere (3.51) Sıfırıncı derece deformasyon denklemine karşılık gelen denklemi aşağıdaki gibidir (Liao 2009). derece deformasyon (3.52) İspat: Teorem 3.3.1.6 dan { } (3.53) yazılabilir. Lemma 3.3.2.1 e göre

34 { } (3.54) eşitliği sağlanır. 3.3.1.3 ve 3.3.1.4 teoremlerinden (3.55) yazılır. (3.54) ve (3.55), (3.53) te yerine yazılırsa (3.56) m.derece deformasyon denklemi elde edilir. 3.3.3. Sıfırıncı derece deformasyon denklemi (3.57) yaklaşımı, lineer olmayan operatör, bilinmeyen fonksiyondur. başlangıç yakınsaklık kontrol parametresi ve (3.58) şartını sağlayan yardımcı lineer operatördür. kullanılarak homotopi parametresi { } (3.59) sıfırıncı derece deformasyon denklemi elde edilir. için (3.59) (3.60)

35 denklemine dönüşür. (3.58) den (3.61) elde edilir. iken sıfırıncı derece deformasyon denklemi (3.62) şekline dönüşür. olduğundan (3.63) ilk baştaki denklemin aynısı elde edilir. Buradan (3.64) sağlanır. Dikkat edilirse, dan e değiştikçe de den ye değişir (yani deforme olur). Taylor teoremi ile, nun kuvvet serisine açılabilir (3.65) (3.61) denkleminden (3.66) elde edilir. (3.64) ve (3.66) denklemlerinden

36 (3.67) çözüm serisi bulunur. 3.3.4. Yüksek derece deformasyon denklemi { } vektörü için değerleri sıfırıncı derece deformasyon denkleminden türetilebilir., (3.50) ile verilmek üzere (3.68) (3.69) olarak tanımlanır (3.47) ifadesinden ( ) yazılabilir. Bu ifade (3.68) de yerine yazılırsa ( ) (3.70) elde edilir. (3.66), (3.69) da yazılırsa [ ] veya ( [ ])

37 elde edilir. (3.70) denkleminin çözümüyle elde edilir. çözümü bulunmuş olur (Liao 2009). 3.3.5. Yakınsaklık teoremi Teorem 3.3.5.1: serisi yakınsak ise (3.57) denkleminin bir çözümüdür (Molabahrami and Khani 2009). İspat: Kabul edelim ki seri yakınsak olsun. Bu durumda yazılabilir. Seri yakınsaklığından dır. (3.68) den { } [ ] çözümüdür. kabulünden dolayı dır. Dolayısıyla (3.57) nin

38 Örnek 3.3.5.1: denkleminin, şartları altında HAM ile çözümünü inceleyelim. deformasyon denklemi yazılır. Burada dir. olmak üzere ( ) ( ) bulunur. 3.4. Kesirli Mertebeden Diferansiyel Denklemler için Adomian Ayrışım Metodu (3.71) burada lineer operatör, ise nonlineer operatörü göstermektedir. operatörü aşağıdaki gibi yazılabilir. (3.72)

39 Adomian polinomları ise [ ( )] (3.73) ile tesbit edilir. nonolineer fonksiyonunun Adomian polinomları (3.71) denkleminin her iki tarafına operetörünün tersi olan operatörünü uygularsak (3.74) şeklinde çözümler aradığımızdan bu eşitlik ve (3.72) eşitliği (3.74) da yerine yazılırsa ( ) ( ) bulunur ve

40 elde edilir. 3.5. Kesirli Varyasyonel İterasyon Metodu (3.75), de differansiyel operatör, ve sürekli fonksiyonlardır. (2.24) kullanılarak aşağıdaki gibi düzeltme fonksiyoneli elde ederiz. ( ) (3.76) fonksiyonu sınırlı varyasyondur yani =0. Varyasyonel teoriye geöre genel Lagrange çarpanının belirlenmesiyle ve uygun bir başlangıç yaklaşımının seçimiyle ardışık yaklaşımları elde edilir. Sonuç olarak tam çözüm (3.77) ifadesiyle bulunabilir. 3.6. Kesirli mertebeden diferansiyel denklemler için Homotopi Analiz Metodu (3.78) nonlineer operatör olmak üzere (3.78) denklemini göz önüne alalım. HAM kullanılarak sıfırıncı derece deformasyon denklemi aşağıdaki gibi yazılır

41 ( ) (3.79) burada homotopi parametresi ve yardımcı parametre ve yardımcı lineer operatördür. (3.80) olup, dan e değiştikçe de den ye değişir. Taylor teoremi ile (3.81) yazılabilir. (3.81) burada (3.82) dir. Kabul edelimki (3.81) serisi de yakınsak olsun. Bu durumda (3.83) elde edilir. vektörü { } ile tanımlanırsa m. dereceden deformasyon denklemi aşağıdaki gibi elde edilir. ( ) (3.84)

42 Burada dir. (3.79) un her iki tarafına Riemann-Liouville integral operatörü uygulanırsa (3.85) elde edilir.

43 4. ARAŞTIRMA BULGULARI 4.1. Test Problemi [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (4.1) (4.2) kesirli mertebeden kısmi diferansiyel-cebirsel denklemini göz önüne alalım. Burada (4.3) dir ve için analitik çözüm aşağıdaki gibidir. (4.4) (4.1) denklemi, (4.5) şeklinde yazılabilir. Adomian Ayrışım Metodu ile Çözüm (4.5) e operatörü uygulanırsa

44 ( ) ( ) (4.6) elde edilir. (4.2), (4.6) da yazılırsa ( ) ( ) ( ) (4.7) bulunur. Burada, fonksiyonunun çok değişkenli Taylor açılımıdır. Sonuç olarak aşağıdaki iterasyon elde edilir. ( ) ( ) ( ) (4.8) (4.9)

45 Bu şekilde devam ederek diğer bileşenler de elde edilebilir. İlk dört bileşen kullanılırsa (4.10) (4.11) AAM ye ait seri çözümler elde edilir. için aşağıdaki şekiller elde edilir.

46 Şekil 4.1. için (4.5) te AAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik Şekil 4.2. için (4.5) te AAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik Kesirli Varyasyonel İterasyon Metodu ile Çözüm (4.5) kesirli mertebeden kısmi diferansiyel-cebirsel denklemine ait düzeltme fonksiyoneli (3.76) dan aşağıdaki gibi yazılabilir:

47 { (4.12) } { } (4.13) { (4.14) } { } (4.15) (4.16) (4.17) olup (4.16) ve (4.17) den bulunur. ve değerleri (4.12) ve (4.13) da yerlerine yazılarak, ve fonksiyonları ile iterasyona başlanırsa,

48 (4.18) bulunur. edilir. ve için aşağıdaki şekiller elde edilir. olarak alınırsa, KVİM e ait seri çözümler elde Şekil 4.3. için (4.5) te KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik

49 Şekil 4.4. için (4.5) te KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik Homotopi Analiz Metodu ile Çözüm (4.5) denklemi için lineer operatör, ve olmak üzere, m. dereceden deformasyon denklemi [ ( )] [ ( )] (4.19) olup burada ( ) ( ) (4.20) dir. Başlangıç koşulları ve (4.19) kullanılarak için

50 ( ) (4.21) ve (4.22) elde edilir. HAM ile elde edilen ilk dört terim hesaplanarak aşağıdaki yaklaşık çözümler elde edilir. ( ) ( ( ) (4.23) )

51 (4.24) Aşağıda ve eğrilerine ait grafikler verilmiştir. için için için Şekil 4.5. (4.5) te için eğrileri

52 için için için Şekil 4.6. (4.5) te için eğrileri Bu aralıktan değerleri için alındığında aşağıdaki şekiller ve için çizelgeler elde edilir.

53 Şekil 4.7. için (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik Şekil 4.8. için (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik

54 Şekil 4.9. için (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözüm fonksiyonunun farklı değerlerine ait grafiği Şekil 4.10. için (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözüm fonksiyonunun farklı değerlerine ait grafiği

55 Çizelge 4.1. denklem sistemindeki için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM 0 0.0100000000 0.0100000000 0.0100000000 0.1 0.3103529992 0.3103529992 0.3075381508 0.2 0.4345762550 0.4345762550 0.4257357471 0.3 0.5450871419 0.5450871419 0.5277505850 0 0.0200000000 0.0200000000 0.0200000000 0.1 0.3203529992 0.3203529992 0.3175381508 0.2 0.4445762550 0.4445762550 0.4357357471 0.3 0.5550871419 0.5550871419 0.5377505850 0 0.0300000000 0.0300000000 0.0300000000 0.1 0.3303529992 0.3303529992 0.3275381508 0.2 0.4545762550 0.4545762550 0.4457357471 0.3 0.5650871419 0.5650871419 0.5477505850 Çizelge 4.2. denklem sistemindeki için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM 0 0.0100000000 0.0100000000 0.0100000000 0.1 0.1920788061 0.1920788061 0.1919083045 0.2 0.3110694422 0.3110694422 0.3099622719 0.3 0.4167674963 0.4167674963 0.4136360880 0 0.0200000000 0.0200000000 0.0200000000 0.1 0.2020788061 0.2020788061 0.2019083045 0.2 0.3210694422 0.3210694422 0.3199622719 0.3 0.4267674963 0.4267674963 0.4236360880 0 0.0300000000 0.0300000000 0.0300000000 0.1 0.2120788061 0.2120788061 0.2119083045 0.2 0.3310694422 0.3310694422 0.3299622719 0.3 0.4367674963 0.4367674963 0.4336360880 Çizelge 4.3. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM TÇ 0 0.0100000000 0.0100000000 0.0100000000 0.01 0.1 0.1100041666 0.1100041666 0.1100041349 0.11 0.2 0.2100666666 0.2100666666 0.2099941583 0.21 0.3 0.3103374999 0.3103374999 0.3099633016 0.31 0 0.0200000000 0.0200000000 0.0200000000 0.02 0.1 0.1200041666 0.1200041666 0.1200041349 0.12 0.2 0.2200666666 0.2200666666 0.2199941583 0.22 0.3 0.3203374999 0.3203374999 0.3199633016 0.32 0 0.0300000000 0.0300000000 0.0300000000 0.03 0.1 0.1300416666 0.1300041666 0.1300041349 0.13 0.2 0.2300666666 0.2300666666 0.2299941583 0.23 0.3 0.3303374999 0.3303374999 0.3299633016 0.33

56 Çizelge 4.4. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için mutlak hata tablosu x 0.01 0.02 0.03 t 0 0 0 0 0.1 0.416666 0.416666 0.41349 0.2 0.666666 0.666666 0.58417 0.3 0.337499 0.337499 0.366984 0 0 0 0 0.1 0.416666 0.416666 0.41347 0.2 0.666666 0.666666 0.58417 0.3 0.337499 0.337499 0.366984 0 0 0 0 0.1 0.416666 0.416666 0.413489 0.2 0.666666 0.666666 0.584167 0.3 0.337499 0.337499 0.366984 Çizelge 4.5. denklem sistemindeki için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM 0 0.0099998333 0.0099998333 0.0099998333 0.1 0.3092966188 0.3092966188 0.3064858109 0.2 0.4293731112 0.4293731112 0.4205760851 0.3 0.5313867940 0.5313867940 0.5142310196 0 0.0199986667 0.0199986667 0.0199986667 0.1 0.3190448801 0.3190448801 0.3162355467 0.2 0.4387380267 0.4387380267 0.4299489866 0.3 0.5402549144 0.5402549144 0.5231212935 0 0.0299955002 0.0299955002 0.0299955002 0.1 0.3287611063 0.3287611063 0.3259535288 0.2 0.4480584846 0.4480584846 0.4392783145 0.3 0.5490675260 0.5490675260 0.5319577924 Çizelge 4.6. denklem sistemindeki için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM 0 0.0099998333 0.0099998333 0.0099998333 0.1 0.1915774307 0.1915774307 0.1914070623 0.2 0.3081461950 0.3081461950 0.3070422078 0.3 0.4083115788 0.4083115788 0.4051998974 0 0.0199986667 0.0199986667 0.0199986667 0.1 0.2014434594 0.2014434594 0.2012731590 0.2 0.3177510684 0.3177510684 0.3166478489 0.3 0.4175460361 0.4175460361 0.4144374444 0 0.0299955002 0.0299955002 0.0299955002 0.1 0.2112892803 0.2112892803 0.2111190650 0.2 0.3273238349 0.3273238349 0.3262214939 0.3 0.4267378168 0.4267378168 0.4236326279

57 Çizelge 4.7. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM TÇ 0 0.0099998333 0.0099998333 0.0099998333 0.0099998333 0.1 0.1097823309 0.1097823309 0.1097823019 0.1097783008 0.2 0.2085230478 0.2085230478 0.2084506325 0.2084598998 0.3 0.3053711015 0.3053711015 0.3049981867 0.3050586364 0 0.0199986667 0.0199986667 0.0199986667 0.0199986667 0.1 0.1197161628 0.1197161628 0.1197161339 0.1197122073 0.2 0.2182918445 0.2182918445 0.2182194641 0.2182296231 0.3 0.3148746817 0.3148746817 0.3145020444 0.3145665606 0 0.0299955002 0.0299955002 0.0299955002 0.0299955002 0.1 0.1296379944 0.1296379944 0.1296379657 0.1296341426 0.2 0.2280386346 0.2280386346 0.2279662964 0.2279775235 0.3 0.3243462283 0.3243462283 0.3239739060 0.3240430284 Çizelge 4.8. için (4.5) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel denklem sistemindeki fonksiyonu için mutlak hata tablosu x 0.01 0.02 0.03 t 0 0 0 0 0.1 0.403001 0.403001 0.40011 0.2 0.631479 0.631479 0.92673 0.3 0.3124650 0.3124650 0.604498 0 0 0 0 0.1 0.39555 0.39555 0.392661 0.2 0.622214 0.622214 0.101590 0.3 0.3081211 0.3081211 0.645162 0 0 0 0 0.1 0.38518 0.38518 0.38231 0.2 0.61111 0.61111 0.112271 0.3 0.3031999 0.3031999 0.691224 için için Şekil 4.11. (4.5) te AAM ile elde edilen yaklaşık çözümü

58 için için Şekil 4.12. (4.5) te AAM ile elde edilen yaklaşık çözümü için için Şekil 4.13. (4.5) te KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümü

59 için için Şekil 4.14. (4.5) te KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümü için için Şekil 4.15. (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözümü

60 için için Şekil 4.16. (4.5) te HAM ile elde edilen yaklaşık çözümü 4.2. Test Problemi [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (4.25) (4.26) kesirli mertebeden kısmi diferansiyel cebirsel denklemini göz önüne alalım. (4.27) olarak veriliyor. Analitik çözüm ise aşağıdaki gibidir. (4.28) Denklem (4.25) açık şekilde aşağıdaki gibi yazılabilir

61 (4.29) AAM ile çözüm ters operatörü kullanılarak, ( ) (4.30) elde edilir. Burada, ve, fonksiyonlarının Taylor açılımlarıdır. Sonuç olarak aşağıdaki iterasyon elde edilir. ( ) ( ) ( ) (4.31) (4.32) bu şekilde devam edilerek ilk altı terim kullanılırsa,

62 (4.33) (4.34) seri çözümler elde edilir. için aşağıdaki şekiller elde edilir. Şekil 4.17. için (4.29) da AAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik

63 Şekil 4.18. için (4.29) da AAM ile elde edilen v yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik KVİM ile Çözüm (4.29) kısmi diferansiyel-cebirsel denklemine ait düzeltme fonksiyoneli (3.76) dan aşağıdaki gibi yazılabilir: { } (4.35) (4.36) { (4.37) }

64 (4.38) olup elde edilir. değeri (4.35) te yerine yazılarak, ve fonksiyonları ile iterasyona başlanırsa, (4.39) elde edilir. aşağıdaki şekiller elde edilir. ve yaklaşık çözümleri için alındığında

65 Şekil 4.19. için (4.29) da KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik Şekil 4.20. için (4.29) da KVİM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik HAM ile çözüm Denklem (4.29) aşağıdaki gibi yazılır. [ ( )] (4.39)

66 [ ( )] burada ( ) (4.40) ( ) olarak yazılır. Başlangıç koşulları ve (4.39) kullanılarak için (4.41) ve ( ) ( ) (4.42) elde edilir. HAM ile elde edilen ilk altı terim hesaplanarak aşağıdaki yaklaşık çözümler elde edilir.

67 (4.43) ( ) (4.44) ve nin farklı değerleri için yaklaşık çözümün yakınsaklığı da değişecektir. Aşağıdaki şekillerde farklı değerleri için yaklaşık çözüme ait durumlar incelenmiştir. Bu değerlerden ve ait çizelgeler verilmiştir. Ayrıca ve için alındığında aşağıdaki şekiller elde edilir. Şekil 4.21. için (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik

68 Şekil 4.22. için (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözümüne ve tam çözüme ait grafik Şekil 4.23. için (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözüm fonksiyonunun farklı değerlerine ait grafiği

69 Şekil 4.24. için (4.29) da HAM ile elde edilen yaklaşık çözüm fonksiyonunun farklı değerlerine ait grafiği Şekil 4.25. olduğunda (4.29) sistemindeki yaklaşık çözümünün için grafiği

70 Şekil 4.26. olduğunda (4.29) sistemindeki yaklaşık çözümünün için grafiği Şekil 4.27. olduğunda (4.29) sistemindeki yaklaşık çözümünün için grafiği

71 Şekil 4.28. olduğunda (4.29) sistemindeki yaklaşık çözümünün için grafiği Çizelge 4.9. denklem sistemindeki için (4.29)kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM 0.5 0.0045730015 0.0045730015 0.0055935052 0.6 0.0040022014 0.0040022014 0.0052508012 0.7 0.0034871504 0.0034871504 0.0049408178 0.8 0.0030343655 0.0030343655 0.0046595615 0.5 0.0091460029 0.0091460029 0.0111870104 0.6 0.0080044027 0.0080044027 0.0105016024 0.7 0.0069743009 0.0069743009 0.0098816356 0.8 0.0060687310 0.0060687310 0.0093191230 0.5 0.0137190044 0.0137190044 0.0167805155 0.6 0.0120066041 0.0120066041 0.0157524037 0.7 0.0104614513 0.0104614513 0.0148224535 0.8 0.0091030966 0.0091030966 0.0139786845 Çizelge 4.10. denklem sistemindeki için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM 0.5 0.0053903572 0.0053903572 0.0057848601 0.6 0.0047452807 0.0474452807 0.0053583456 0.7 0.0040950565 0.0040950565 0.0049720055 0.8 0.0034353000 0.0034353000 0.0046175477 0.5 0.0107807144 0.0107807144 0.0115697202 0.6 0.0094905615 0.0094905615 0.0107166912 0.7 0.0081901131 0.0081901131 0.0099440109 0.8 0.0068706001 0.0068706001 0.0092350954 0.5 0.0161710716 0.0161710716 0.0173545803 0.6 0.0142358422 0.0142358422 0.0160750368 0.7 0.0122851696 0.0122851696 0.0149160164 0.8 0.0103059001 0.0103059001 0.0138526431

72 Çizelge 4.11. denklem sistemindeki için (4.29)kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM TÇ 0.5 0.0060018361 0.0060018361 0.0060558106 0.0060653066 0.6 0.0053621605 0.0053621605 0.0054873290 0.0054881164 0.7 0.0047427628 0.0047427628 0.0049784662 0.0049658530 0.8 0.0041298567 0.0041298567 0.0045230967 0.0044932896 0.5 0.0120036722 0.0120036722 0.0121116211 0.0121306132 0.6 0.0107243209 0.0107243209 0.0109746581 0.0109762327 0.7 0.0094855257 0.0094855257 0.0099569323 0.0099317061 0.8 0.0082597134 0.0082597134 0.0090461933 0.0089865793 0.5 0.0180055084 0.0180055084 0.0181674317 0.0181959198 0.6 0.0160864814 0.0160864814 0.0164619871 0.0164643491 0.7 0.0142282885 0.0142282885 0.0149353985 0.0148975591 0.8 0.0123895701 0.0123895701 0.0135692900 0.0134798689 Çizelge 4.12. denklem sistemindeki için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için mutlak hata tablosu x 0.01 0.02 0.03 t 0.5 0.634705 0.634705 0.9496 0.6 0.1259559 0.1259559 0.7874 0.7 0.2230902 0.2230902 0.126131 0.8 0.3634329 0.3634329 0.298070 0.5 0.1269410 0.1269410 0.189921 0.6 0.2519118 0.2519118 0.15746 0.7 0.4461804 0.4461804 0.252263 0.8 0.7268659 0.7268659 0.596140 0.5 0.1904114 0.1904114 0.284881 0.6 0.3778677 0.3778677 0.23619 0.7 0.6692706 0.6692706 0.378394 0.8 0.10902988 0.10902988 0.894211 Çizelge 4.13. denklem sistemindeki için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM 0.5 0.0073491872 0.0073491872 0.0083324962 0.6 0.0065862432 0.0065862432 0.0080633191 0.7 0.0056154594 0.0056154594 0.0076844668 0.8 0.0044364856 0.0044364856 0.0072022787 0.5 0.0146983744 0.0146983744 0.0166649924 0.6 0.0131724863 0.0131724863 0.0161266382 0.7 0.0112309189 0.0112309189 0.0153689336 0.8 0.0088729713 0.0088729713 0.0144045574 0.5 0.0220475617 0.0220475617 0.0249974886 0.6 0.0197587295 0.0197587295 0.0241899573 0.7 0.0168463783 0.0168463783 0.0230534003 0.8 0.0133094569 0.0133094569 0.0216068361

73 Çizelge 4.14. denklem sistemindeki için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM 0.5 0.0085286159 0.0085286159 0.0084347610 0.6 0.0080711428 0.0080711428 0.0080653143 0.7 0.0074525855 0.0074525855 0.0076088188 0.8 0.0066603703 0.0066603703 0.0070670746 0.5 0.0170572318 0.0170572318 0.0168695220 0.6 0.0161422856 0.0161422856 0.0161306286 0.7 0.0149051710 0.0149051710 0.0152176376 0.8 0.0133207406 0.0133207406 0.0141341493 0.5 0.0255858477 0.0255858477 0.0253042830 0.6 0.0242134284 0.0242134284 0.0241959429 0.7 0.0223577565 0.0223577565 0.0228264564 0.8 0.0199811108 0.0199811108 0.0212012239 Çizelge 4.15. denklem sistemindeki için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için nümerik çözüm tablosu x 0.01 0.02 0.03 t AAM KVİM HAM TÇ 0.5 0.0088870248 0.0088870248 0.0087436086 0.0087758256 0.6 0.0084145163 0.0084145163 0.0081978870 0.0082533561 0.7 0.0078563113 0.0078563113 0.0075732575 0.0076484219 0.8 0.0072073757 0.0072073757 0.0068782183 0.0069670671 0.5 0.0177740497 0.0177740497 0.0174872173 0.0175516512 0.6 0.0168290327 0.0168290327 0.0163957740 0.0165067123 0.7 0.0157126226 0.0157126226 0.0151465150 0.0152968437 0.8 0.0144147513 0.0144147513 0.0137564366 0.0139341342 0.5 0.0266610745 0.0266610745 0.0262308259 0.0263274769 0.6 0.0252435490 0.0252435490 0.0245936610 0.0247600684 0.7 0.0235689338 0.0235689338 0.0227197726 0.0229452656 0.8 0.0216221270 0.0216221270 0.0206346549 0.0209012013 Çizelge 4.16. denklem sistemindeki için (4.29) kesirli mertebeye sahip kısmi diferansiyel cebirsel fonksiyonu için mutlak hata tablosu x 0.01 0.02 0.03 t 0.5 0.1111992 0.1111992 0.322170 0.6 0.1611602 0.1611602 0.554691 0.7 0.2078894 0.2078894 0.751644 0.8 0.2403086 0.2403086 0.888488 0.5 0.2223984 0.2223984 0.644340 0.6 0.3223204 0.3223204 0.1109383 0.7 0.4157788 0.4157788 0.1503287 0.8 0.4806171 0.4806171 0.1776976 0.5 0.3335977 0.3335977 0.966510 0.6 0.4834806 0.4834806 0.1664074 0.7 0.6236682 0.6236682 0.2254931 0.8 0.7209257 0.7209257 0.2665464

74 için Şekil 4.29. (4.29) da AAM ile elde edilen yaklaşık çözümü için için Şekil 4.30. (4.29) da AAM ile elde edilen yaklaşık çözümü