KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALARI

Transkript

1 EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSANS TEZİ) KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI Meral CANSIZ Tez Danışmanı : Doç. Dr. Emine MISIRLI Matematik Anabilim Dalı Bilim Dalı Kodu : Sunuş Tarihi : Bornova-İZMİR 2010

2 II

3

4 IV

5 V ÖZET KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI CANSIZ, Meral Yüksek Lisans Tezi, Matematik Bölümü Tez Yöneticisi: Doç. Dr. Emine MISIRLI Eylül 2010, 75 sayfa Diferansiyel denklemlere alternatif olarak kullanılan kesirli diferansiyel denklemler çok karmaşık yapıdaki sistemleri anlamaya yönelik yeni bir bakış açısı sunmaktadır. Diferansiyel denklemlerde kullanılan çözüm yöntemleri, tanımlar ve teoremler benzer şekilde kesirli diferansiyel denklemlere de uygulanabilmektedir. Bu tez çalışmasında kesirli hesap tekniği ile ilgili gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Bu kavramlar kullanılarak Adomian ayrıştırma yöntemi (Adomian Decomposition Method, ADM) ve kesirli diferansiyel dönüşüm yöntemleri (Fractional Differential Transform Method, FDTM) incelenmiştir. Bu yöntemlerle ilgili uygulamalar verilmiş, tablo ve grafiklerle nümerik sonuçlar karşılaştırılmıştır. Anahtar Kelimeler: Kesirli Türev, Kesirli İntegral, Kesirli Diferansiyel Denklemler, Kesirli Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi, Adomian ayrıştırma Yöntemi

6 VI

7 VII ABSTRACT FRACTIONAL DIFFERANTIAL EQUATIONS AND APPLICATIONS CANSIZ, Meral MSc in Mathematics Supervisor: Doç. Dr. Emine MISIRLI September 2010, 75 pages Fractional differantial equations are defined as an alternatif to differantial equations provides a new perspective to understand high complex systems. Some result solutions, definitions and theorems, that can be used for differantial equations, can be used for fractional differantial equations. In this thesis, some basic definitions and theorems of fractional derivative and integration are given. By using these definitions and theorems, Adomian Decomposition Method and Fractional Differantial Transform Method are considered. Some examples of these methods are given and numerical results are compared with tables and graphics. Keywords: Fractional Derivative, Fractional İntegration, Fractinal Differantial Equations, Fractional Differential Transform Method, Adomian Decomposition Method

8 VIII

9 IX TEŞEKKÜR Bu Çalışma süresince bilimsel bilgi, düşünce ve önerilerinden yararlandığım ve hiçbir konuda yardım ve desteğini benden esirgemeyen hocam sayın Doç. Dr. Emine MISIRLI ya bugüne kadar beni en iyi şekilde yetişmem için eğitim hayatımda maddi ve manevi desteklerini benden esirgemeyen Aileme minnet ve saygıyı bir borç bilir, teşekkürlerimi sunarım.

10 X

11 XI İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... V ABSTRACT... VII TEŞEKKÜR... IX ŞEKİLLER DİZİNİ... XV TABLOLAR DİZİNİ... XVII 1.GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Gamma Fonksiyonu Beta Fonksiyonu Mittag-Leffler Fonksiyonları Kesirli Dereceden Türev ve İntegraller (Diferintegraller) Türev İntegral Türev ve İntegralin Ortak İfadesi Grünwald-Letnikov Tanımı: Riemann-Liouville Tanımı... 11

12 XII İÇİNDEKİLER (devam) Caputo Kesirli Türevi Kesirli Türev ve İntegrallerin Özellikleri Lineerlik Homojen Olma Özelliği Bir Serinin Diferintegrali Kesirli Türevlerin Leibniz Kuralı Birleşme Özelliği Bileşke Fonksiyonların Kesirli Türevleri Bir parametreye Bağlı Bir İntegralin Riemann-Liouville Kesirli Türevi Ölçek Değişikliği KESİRLİ TÜREVLER İÇİN GENELLEMELER VE UYGULMALAR Kesirli Türev Polinom Fonksiyonlar için Kesirli Türevin Formülü Örnekler ADOMİAN AYIRMA YÖNTEMİ İLE LİNEER OLMAYAN KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Ayrıştırma Metodu Örnekler... 31

13 XIII İÇİNDEKİLER (devam) 5 KESİRLİ DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ Kesirli Diferansiyel Denklemlere Uygulaması Örnekler Kesirli Diferansiyel Denklem Sistemlerine Uygulaması Örnekler SONUÇ KAYNAKLAR DİZİNİ ÖZGEÇMİŞ... 75

14 XIV

15 XV ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil Sayfa Şekil 2.1: Gamma fonksiyonunun grafiği... 4 Şekil 2.2: Mittag-Leffler fonksiyonları grafiği... 6 Şekil 4.1: (0,5) aralığında; örnek çözüm grafiği Şekil 4.2: (0,5) aralığında; örnek çözüm grafiği Şekil 5.1:Örnek için çözüm grafiği Şekil 5.2: Sistem (5.39) un için FDTM ve ADM çözümlerinin karşılaştırma grafiği Şekil 5.3: Sistem (5.39) un için FDTM ve ADM çözümlerinin karşılaştırma grafiği Şekil 5.4: ve için sistem (5.49) un yaklaşık çözümün grafiği Şekil 5.5: Sistem (5.49) un grafiği için FDTM ve ADM çözümleri karşılaştırmalı grafiği Şekil 5.6: Sistem (5.49) un ve için FDTM ve ADM çözümleri karşılaştırmalı grafiği... 68

16 XVI

17 XVII TABLOLAR DİZİNİ Tablo Sayfa Tablo 2.1: Gamma fonksiyonuna ilişkin rakamsal değerler... 5 Tablo 5.1: Momani ve Odibat Z., 2007 deki sonuçlarla nümerik karşılaştırma (N=30) Tablo 5.2: shawagfeh N.T., 2002 deki sonuçlarla nümerik karşılaştırma (N=30)... 59

18 XVIII

19 1 I. BÖLÜM 1. Giriş Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi gibi birçok farklı bilim dalında matematiksel model olarak kullanılan diferansiyel denklemlerle ilgili çalışmalar, 17. yüzyılın ikinci yarısında diferansiyel ve integral hesabın ortaya çıkmasıyla, Newton ve Leibnitz in yaptığı çalışmalarla başlamıştır. Yine bu dönemde tamsayı türevlerden farklı olarak Leibnitz, mertebeden türevlerin varlığı ve anlamı üzerine bazı çalışmalarda bulunmuştur. Ancak matematiksel çalışmaların yeni yeni şekillenmesi, kesirli türevlerin uygulanabilir alanlarının kısıtlı ve problem çözümlerinin oldukça zor olmasından dolayı 17. yüzyılda bu konu ile ilgili yoğun olarak çalışılamamıştır. Matematikte kullanılan yöntem ve tekniklerin gelişiminin ardından ilk ciddi araştırma olarak sayılabilecek kesirli integrasyon tanımı Liouville tarafından verilmiştir. J. Padovan ın 1987 yılında yayınladığı çalışmalardan sonra lineer ve lineer olmayan kesirli diferansiyel denklemler üzerine yoğun olarak çalışmaya başlanmıştır. Bununla birlikte çalışmalara müteakip, Oldham, Spanier, Miller, Ross ve Poldubny kesirli hesap tekniği kesirli diferansiyel denklemlerle ilgili başlangıç sayılabilecek önemli çalışmalar yayınlamışlardır. Bu çalışmalarda kesirli hesap tekniğinin anlaşılması için varlık ve teklik kavramları, kesirli türev ve kesirli diferansiyel denklemlerle ilgili teoremler ve çeşitli çözüm yöntemlerine yer verilmiştir. Son zamanlarda yoğun olarak çalışılmasının nedenleri arasında fiziksel modelleri daha doğru ifade edebilmesi yani; sadece şuan ki zamanı değil ayrıca zaman tarihini içeren modellemeleri sağlayabilmesi, çok karmaşık yapıdaki sistemleri anlamaya yönelik yeni bir bakış açısı sunması, birçok probleme yönelik değişik yaklaşımlar ve daha iyi sonuçlar vermesi gibi durumlar sayılabilir. Kesirli diferansiyel denklemlerin çözümleri için kesirli türev ve kesirli integrasyon hesaplamalarının bilinmesi gerekir. Kesirli türev ve integrasyon notasyonlarının genelleştirilmesinde Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov ve Caputo gibi pek çok yaklaşım mevcuttur. Bu yaklaşımlar 2. bölümde ayrıntılı olarak verilmiştir. Caputo kesirli tanımı diferansiyel denklemler için tamsayı mertebeden başlangıç koşullarını tanımlayabilmesinden dolayı daha avantajlıdır. Riemann-Liouville tanımının aksine Caputo tanımı tekrarlanan integrasyonlardan

20 2 oluşturulmuştur. Grünwald-Letnikov tanımı ise daha çok nümerik algoritmalarda kullanılmaktadır. 3. bölümde ise, verilen kesirli türev tanımları kullanılarak polinom fonksiyonları için türev formülleri oluşturulup, örneklerle uygulamaları yapılmıştır. Denklem çözümlerinin araştırılmasında artık analitik yöntemlerden daha çok belirli yaklaşıklık mertebesine sahip belirli doğrulukta sayısal yöntemler ön plana çıkmaktadır. Adomian ayrıştırma yöntemi, varyasyonel iterasyon, homotopi perturbasyon ve diferansiyel dönüşüm yöntemi gibi birçok matematiksel yöntem tam ve analitik sonuçları elde etmek için geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin bazılarında daha karmaşık olan denklem ya da denklem sistemlerini, daha basit denklem ve denklem sistemlerine indirgemek için dönüşümler kullanılmakta, diğer yöntemlerde tam sonuca yakınsayan, seri formda çözümler elde edilmektedir. 4. ve 5. bölümlerde Adomian ayrıştırma yöntemi ile kesirli diferansiyel dönüşüm yöntemi verilmiş, örneklemelerle uygulamaları yapılmıştır.

21 3 II. BÖLÜM 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde kesirli türev ve kesirli integral tanımları verilmeden önce gerekli bazı tanım ve özellikler verilecektir. Ardından kesirli türev ve kesirli integral tanımları verilerek, örneklerle uygulamaları yapılacaktır Gamma Fonksiyonu Γ(x) ile göstereceğimiz gamma fonksiyonu genelleştirilmiş integrali ile tanımlanır. Aynı zamanda eşitlik (2.1.) den integraline geçiş yapmak mümkündür. Buradan da görüleceği üzere, Gamma fonksiyonuna faktöriyel fonksiyonu da denir. genelleştirilmiş integral yardımı ile olur.

22 4 Gamma fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir. Şekil 2.1

23 5 Çalışmanın ileri aşamalarında kullanılacak Gamma fonksiyonuna ilişkin rakamsal değerler Tablo 2.1 de verilmiştir. Tablo Beta Fonksiyonu Beta fonksiyonu, Euler integralinin ilk türüdür. Çoğu durumda Gamma fonksiyonun değerlerinin belirli kombinasyonları, yerine Beta fonksiyonu olarak adlandırılan bir bağıntı kullanmak uygundur. Beta fonksiyonu çoğunlukla

24 6 şeklinde tanımlanan özel bir fonksiyondur. En belirgin özellikleri arasında verilebilir Mittag-Leffler Fonksiyonları Mittag- Leffler fonksiyonları (Mittag-Leffler G.) kesirli diferansiyel yönteminde çok yaygın kullanım alanları bulan oldukça önemli bir fonksiyondur. Eksponansiyel fonksiyon, tamsayı dereceden diferansiyel denklemler teorisinde çok önemli bir rol oynar. Mittag-Leffler fonksiyonun bir parametreli genelleştirilmiş şekli ile Mittag-Leffler tarafından verilmiştir. Şekil 2.2.Mittag-Leffler fonksiyonları

25 7 Mittag-Leffler tipi iki parametreli fonksiyona genelleştirme ise ilk olarak Agarwal ve Humbert tarafından Laplace dönüşüm tekniği kullanılarak yapılmış olup, kesirli dereceden diferansiyel hesapta önemli bir yere sahiptir. seri açılımı ile verilir. (2.3.)denkleminden ve en genel haliyle elde edilir (Podlublyn I., 1999, Oldham K.B., Spanier J., 1974) Hiperbolik sinüs, hiperbolik kosinüs, Mittag-Leffler fonksiyonun özel birer durumlarıdır.

26 Keyfi Dereceden Türev ve İntegraller ( Diferintegraller ) Türev Türev, şeklinde tanımlanır. Bu ifadenin ardışık olarak türevleri alındığında olarak seçelim, ile türevin en genel tanımına ulaşılır. giderken aralığında eşit parçaya bölünürse yani; olsun. Bu durumda (2.11) bağıntısı

27 9 halini alacaktır. Bu ifade değerleri için kombinasyon terimi sıfır olacağından toplamın sınırını e kadar alınabilir ve limitin sürekli durumlarda var olduğu sınırlamasıyla mertebeden türev şeklinde ifade edilebilir (Bayın S. 2004) İntegral Bir fonksiyonun integrali, onun altındaki alana eşit olacağından Riemann toplamı olarak şeklinde yazılır. Burada (2.12) yaklaşımı kullanılmıştır. Bu ifade daha da genelleştirilebilir. İkinci integral; şeklinde yazılır ve üçüncü integrali ise

28 10 ile verilir. Burada ardışık integral ise olacaktır (Bayın S. 2004). Burada (2.18) denklemi (2.14) denklemi ile oldukça benzerdir. Aradaki fark, kombinasyon terimi ve (2.14) den farklı olarak (2.18) ifadesinde toplamda daima pozitif katsayıların gelmesidir Türev ve İntegralin Ortak İfadesi Grünwald-Letnikov Tanımı: Grünwald Letnikov türevin genel tanımından yola çıkmış ve Gamma fonksiyonlarından faydalanmışlardır. Gamma fonksiyonlarının özdeşliği alınarak nin negatif ve pozitif değerleri için hem türevi hem de integrali aynı anda sağlayan

29 11 ifadesi yazılabilir. Burada nin pozitif değerleri için türevin (2.14) genel tanımına, negatif değerleri için ise integralin (2.18) genel tanımına ulaşılmaktadır. yerine tüm değerleri alabilen ifadesi yerine yazıldığı taktirde (2.20) bağıntısı en genel haliyle şeklinde ifade edilir ve bu bağıntı Grünwald-Letnikov tanımı olarak adlandırılır (Podlubny I. 1999, Bayın S. 2004) Riemann-Liouville Tanımı Sıkça kullanılan bu tanım Cauchy formülünden yararlanılarak elde edilir. İlk olarak; nin anti türevi olsun ve şeklinde tanımlansın. Her iki tarafın dan e kadar integrali alınırsa olacaktır. Her iki tarafın e göre türevi alınırsa

30 12 olduğu görülür. şeklinde bir integral göz önüne alalım. (2.27) denkleminde fonksiyonu ve e bağlıdır. (2.27) denkleminin kısmi türevi olarak elde edilir. Bu ifade, denklem (2.27) de yerine yazılırsa bulunur. Eşitliğin sağ tarafı (2.26) özdeşliği göz önüne alınarak yeniden düzenlenir ise elde edilir. Burada - işareti () denkleminin sağ tarafındaki son integral teriminin sınırlarının yer değiştirmesi neticesinde olmuştur. İntegral alma işleminin özelliğinden faydalanılarak ( burada ve b birer sabittirler ) ve

31 13 integrali için, olduğuna göre, (2.28) ve (2.29) denklemlerinin daha kapalı şekli halini alır ve bu ifade Leibniz kuralı olarak adlandırılır. Aşağıdaki integral verilmiş olsun Burada ve tamsayı, ise sabittir. Bu integralin Leibniz in (2.33) denklemi kullanırsa; burada olduğu görülmektedir, türevi için olarak yazılır. Eşitliğin sağındaki ikinci ifadenin için sıfıra gittiği açıktır ve bu nedenle için ve için ise olacaktır. (2.35) denkleminin defa türevi alınırsa

32 14 ifadesi elde edilir. değeri için daha kullanışlı olarak yazılır ve (2.37) ifadesi de göz önüne alınırsa denklemi elde edilir. Burada değerleri için (2.39) ve (2.40) denklemleri kullanılarak genel ifadesine ulaşılır. Cauchy integrali olarak bilinen (2.42) denkleminin sağ tarafı bir operatör ile temsil edilirse ve yerine her değeri alabilen bir değeri yazılırsa, ifade

33 15 şeklini alır. Bu ifade Riemann-Liouville kesirli integrali olarak adlandırılır. Basit bir matematiksel işlem olmak şartıyla değerleri için bağıntısı elde edilir. (2.44) denklemi Riemann- Liouville kesirli türevi olarak bilinir. Bu yöntemle yazılan (2.43) integrali sadece değerleri için yakınsaktır; bu denklem için olmak koşuluyla çözülür. (2.44) denkleminde görüldüğü gibi kez türevin integrale uygulanması uygulamada zorluklar yaşanmasına neden olabilmektedir. (2.40) denkleminde (2.34) bağıntısı yerine yazılırsa bulunur. Burada ifadenin defa integrali alınır ve bir operatör ile temsil edilirse olduğu görülür. Bu ifade nin negatif değerleri için geçerlidir. Çünkü gösterim integral temsili içindir (Bayın, S., 2004, Podlubny I.,1999, Miller K.S., Ross B., 1993).

34 Caputo Kesirli Türevi Kesirli diferansiyel tekniğin Riemann-Liouville tanımları kesirli türevintegral ve onun uygulamalarıyla ilgilenen matematiksel çalışmalarda çok büyük bir rol oynamıştır. Bununla birlikte modern teknolojinin gelişimi matematiğin uygulama ve ele alınış şeklini de etkilemiştir. Kesirli diferansiyel tekniğinde, başlangıç koşullarını fiziksel durumlara en uygun şekilde veren Caputo olmuştur. Caputo nun tanımı ile verilir. Caputo yaklaşımının en temel avantajı, Caputo kesirli türevlerinin tamsayı mertebeden diferansiyel denklemlerdekiyle aynı formda başlangıç koşullarına sahip olmasıdır. Başka bir ifadeyle alt limitinde, bilinen bir fonksiyonun tamsayı mertebe türevlerinin limit değerlerini içermesidir (Podlubny I., 1999) Kesirli Türev ve İntegrallerin Özellikleri Lineerlik Kesirli türevler tamsayı türevlerine benzer bir lineerlik özelliğine sahiptir. Bu özellik doğrudan Grünwald-Letnikov tanımından a

35 17 a a olduğu görülebilir. Aynı şekilde dereceden Riemann- Liouville kesirli türevleri için a a a olduğu görülür Homojen Olma Özelliği Türev ve integralin homojen olma özelliği 0 0 ile verilir. Burada herhangi bir sabittir (Felber F.S., 2005) Bir Serinin Diferintegrali Düzgün yakınsak bir serinin diferintegralin lineerlik özelliğinden faydalanılarak bütün değerleri için şeklinde diferintegrali alınabilir. Diferintegrallenen seri de aynı aralıkta düzgün yakınsaktır (Bayın S., 2004).

36 Kesirli Türevler için Leibniz Kuralı Eğer ve fonksiyonlarının türevleri aralığında sürekli iseler a a ifadesi Leibniz kuralı olarak adlandırılır. Leibniz kuralı özellikle kesirli türevi bilinen bir fonksiyon ile bir polinomun çarpımının kesirli türevi hesaplamada çok kullanışlıdır (Podlubny I., 1999, Miller K.S., Ross B., 1993) Birleşme Özelliği Diferintegrallerle yapılan işlemlerde gibi işlemler ancak belirli durumlarda geçerlidir. Bir sürekli fonksiyonu için ve pozitif sayılar olmak üzere, yani olduğu durumlarda a a a eşitliğinde geçerlidir. Ancak, önce türevin sonra da integralin alındığı durumlarda ise a a a denklemi ile diferintegraller hesaplanır (Miller K.S., Roos B., 1993, Bayın S., 2004).

37 Bileşke Fonksiyonların Kesirli Türevleri Herhangi bir fonksiyonu şeklinde verilen bir bileşke fonksiyon olsun. Burada diferansiyellenebilir bir fonksiyondur. Bu durum da nin kesirli türevi a ile verilir. Bu ifade Bruno zincir kuralı olarak adlandırılır. Burada toplam olmak üzere nın negatif olmayan tamsayı değerleri üzerinden alınır (Podlubny I., 1999, Miller K.S., Ross B., 1993, Oldham K.B., Spanier J., 1974) Bir Parametreye Bağlı Bir İntegralin Riemann-Liouville Kesirli Türevi Üst limiti ile aynı parametreye bağlı iki parametreli bir integralin türevi şeklinde verilir. Böyle bir integralin Riemann-Liouville kesirli türevi ise, olmak üzere 0

38 20 ile verilir. Eğer yerine şeklinde bir fonksiyon alınırsa (2.61) denklemi 0 şeklini alır (Podlubny I., 1999) Ölçek Değişikliği Bir fonksiyonun alt limit ya göre ölçek değişikliği olarak anlaşılır. Burada sabit olup ölçek faktörüdür. Alt limitin sıfır olduğu durumda olacaktır. Alt limitin sıfırdan farklı olduğu durumlarda ölçek değişikliği diferintegrallerde olarak verilir. Bu formül nın sıfır olduğu durumlarda daha kullanışlıdır. Bu durumda formül şeklini alır (Bayın S., 2004, Loverro A., 2004).

39 21 III. BÖLÜM 3. KESİRLİ TÜREVLER İÇİN GENELLEMELER VE UYGULAMALAR 3.1 Kesirli Türev sürekli fonksiyon olmak üzere diferansiyel adımını göstermek üzere kesirli türev tanımı şeklindedir. Burada ve operatörü ye karşılık gelen tam sayıdır (Ray S.S., Bera R.K., 2004). Bu bölümdeki uygulamalarda (3.1) denkleminden yararlanılmıştır Polinom Fonksiyonlar için Kesirli Türev Formülü olmak üzere polinom fonksiyonunun kesirli türevi şeklinde tanımlanır. Bu ifade Gamma fonksiyonu yardımı ile olarak tanımlanır (Podlubny, I. 1999).

40 Örnekler Örnek fonksiyonunun türevini bulalım. Çözüm: Denklem (3.1) kullanılarak; Tablo 2.1 den olduğu dikkate alınırsa elde edilir. Diğer taraftan (3.2) formülünde yerlerine yazılırsa elde edilir. Bu ifade, denklem (3.1) in denklem (3.2) ile aynı sonucu verdiğini gösterir.

41 23 Örnek fonksiyonunun türevini bulalım. Çözüm: değerlerini (3.1) de yerine yazarsak olarak bulunur. Aynı şekilde temel formülden elde edilir. Görüldüğü üzere denklem (3.3) ile (3.4) ten elde edilen sonuçlar aynıdır. Örnek fonksiyonunun türevini bulalım.

42 24 Çözüm: formül uygulanırsa elde edilir. Örnek fonksiyonunun iki kere mertebeden türevini bulalım. Çözüm: elde edilir.

43 25 Benzer şekilde bulduğumuz bu fonksiyonun bir kez daha aynı mertebeden türevi alınırsa elde edilir. Diğer taraftan olur. Denklem (3.5) ve (3.6) deki sonuçların aynı olması kesirli türev ve kesirli integralin birleşme özelliğinin doğruluğunu gösterir. Örnek fonksiyonu için a a a eşitliliğinin doğruluğunu gösterelim.

44 26 Çözüm: olduğuna göre a hesaplanırsa; buradan a olarak elde edilir. Diğer taraftan a hesaplanırsa;

45 27 ve böylece olarak elde edilir. Buradan denklem (3.7) ile (3.8) in aynı olması verilen eşitliğin doğruluğunu gösterir.

46 28

47 29 IV. BÖLÜM 4. ADOMIAN AYRIŞTIRMA YÖNTEMİ İLE KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 4.1 Ayrıştırma Yöntemi Adomian ayrıştırma yöntemi kısa bir biçimde ele alınırsa; nin tersi doğrusal operatör, kalan lineer parça, lineer olmayan operatör olmak üzere formunda yazılabilir. Ayrıştırma ile denklemlerin genel çözümleri olarak tanımlanır (Ray S.S., Bera R.K. 2004). Burada nin genel çözümüdür. (4.1) den yazılabilir. Her tarafı çarpılırsa olur. Başlangıç değer problemi için alınarak operatörü tanımlanır. dan ye kadar katlı integrasyonu Örneğin operatörü için böylece

48 30 elde edilir. Sınır değer problemleri için olarak yazılabilir. yu çözmek için denklem (4.3) ve (4.4) deki eşitlikler, varsayılan ayrıştırma ile ifadesinde belirlenir. Lineer olmayan için özel polinom serileri yazılabilir (Adomian, G. 1986, Adomian, G ). Adomian tarafından oluşturulan bu polinomların, polinomlarının lineer olmayışına dayanır. Bu ler aşağıda verilmiştir....

49 31 Burada nun li kombinasyonudur. Son yapılan çalışmalarda Adomian ayrıştırma yöntemi tekrar gözden geçirilmiştir ve Adomian polinomlarının matematiksel modeli verilmiştir. Böylece yeni formül olur. Burada ve dır. Böylece sonucu ortaya çıkar. Bilinen kullanılarak bütün bileşenler kullanılabilir. (4.9) eşitliği kullanılarak benzerleri bulunabilir. (4.2) de yerine konularak elde edilir. 4.2 Örnekler Örnek (Daşdemir V., 2006). adi diferansiyel denklemini Adomian ayrıştırma yöntemi ile çözelim.

50 32 Çözüm: olduğu varsayılırsa, eşitliğinin her iki tarafına operatörü uygulanırsa; elde edilir. Burada ler Adomian polinomlarıdır. Denklem (4.5) kullanılarak, şeklinde hesaplanabilir. Böylece, olmak üzere

51 33 değerleri olarak yazılırsa elde edilir. Burada olduğundan sonucuna ulaşılır. Diğer taraftan denkleminin analitik çözümünden ve ise olur. elde edilir. Bu fonksiyonun seri açılımı

52 34 şeklindedir. Bu da Adomian çözümünün doğruluğunu gösterir Örnek (Daşdemir V., 2006). adi diferansiyel denklemini Adomian ayrıştırma yöntemi ile çözelim. Çözüm: olduğu varsayılırsa; eşitliğin her iki tarafında operatörü uygulanırsa, elde edilir. Burada, ler Adomian polinomlarıdır.

53 35 ifadesinde bulunan değerler yerine yazılırsa, olur. Burada, elde edilir. Diğer taraftan diferansiyel denklemi bilinen bir yöntemle çözüldüğünde

54 36 elde edilir. koşulu altında, eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa olur. Bu fonksiyonun seri açılımı olarak elde edilir. Buradan denklem (4.10) ile (4.11)'in aynı olduğu görülür. Örnek (Daşdemir V., 2006). diferansiyel denklemini Adomian ayrıştırma yöntemi ile çözelim. Çözüm: olduğu varsayılırsa; eşitliğin her iki tarafına operatörü uygulanırsa,

55 37 olarak elde edilir. elde edilir. Diğer taraftan diferansiyel denklemi, sabitin değişimi kuralıyla çözülür ise, olur. Denklemde bu ifadeler yerine yazılırsa,

56 38 olur. Her iki tarafın integrali alınırsa olur. Böylece olarak elde edilir. (0,5) aralığında; aşağıdaki grafikte kesik çizgi (4.12) yi ve düz çizgi (4.13) ü ifade etmektedir. Grafiğe bakılırsa sonuçların birbirine yakın olduğu görülür. Şekil 4.1

57 39 Örnek diferansiyel denklemini Adomian ayrıştırma yöntemi ile çözelim. Çözüm: olduğu varsayılırsa; eşitliğin her iki tarafında operatörü uygulanırsa,

58 40 olduğundan olarak elde edilir. Diğer taraftan diferansiyel denklemi sabitin değişimi kuralıyla çözülürse, olur. Denklemde bunlar yerine yazılırsa olur. Her iki tarafın integrali alınırsa olur. Böylece den olarak elde edilir. (0,5) aralığında; aşağıdaki grafikte kesik çizgi (4.14) ü ve düz çizgi (4.15) i ifade etmektedir. Grafiğe bakılırsa sonuçların birbirine yakın olduğu görülür.

59 41 Şekil 4.2 Örnek (Daşdemir V., 2006). Adomian ayrıştırma yöntemiyle yukarıdaki lineer olmayan kesirli diferansiyel eşitliği çözelim. Çözüm: olduğu varsayılırsa; eşitliğin her iki tarafında ile işlem yapılırsa,

60 42 elde edilir. Burada ler Adomian polinomlarıdır.

61 43 ifadesinde bulunan eşitlikler yerine yazılırsa, olur. Buradan yazılırsa elde edilir. Örnek (Ray S.S., Bera R.K. 2004). Adomian ayrıştırma yöntemiyle aşağıdaki lineer olmayan kesirli diferansiyel eşitliği çözelim. Çözüm: olduğu varsayılırsa; Böylece fonksiyonu Adomian ayrıştırma yöntemi ile nin keyfi sabit olduğu şeklinde yazılabilir.

62 44 eşitliğin çözümü olduğu varsayılırsa, elde edilir. Böylece eşitliğin çözümü olur.

63 45 olduğundan olur ve fonksiyonu ise olarak bulunur. Sonuç olarak nin 5 terimi yaklaşık olarak alınabilir. Örnek 4.2.7: Homojen olmayan salınım denklemini (the relaxation oscillation equation) inceleyelim.. terimli lineer kesirli diferansiyel denklemini çözelim. Çözüm Yukarıdaki örnek homojen olmadığından dolayı aşağıdaki gibi oluşturulmalıdır.

64 46 Adomian ayrıştırma yöntemi ile elde edilen sonucu Green fonksiyonlarını kullanarak ifade edebiliriz.

65 47 V. BÖLÜM 5. KESİRLİ DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ Kesirli mertebeden türevli denklemler, akışkanlar mekaniği, biyoloji, fizik ve mühendislik gibi çeşitli uygulamalarda sıklıkla karşılaşılması nedeniyle pek çok çalışmanın odak noktası olmuştur. Çalışmalar yoğunlukla adi diferansiyel denklemleri, integral denklemleri ve kesirli kısmi diferansiyel denklemlerinin çözümleri üzerinedir. Kesirli diferansiyel denklemlerinin tam sonuçları genellikle elde edilemediğinden dolayı, daha çok yaklaşık ve nümerik teknikler kullanılmaktadır. Bu bölümde; lineerizasyon, perturbasyon ve kısıtlı varsayımlar kullanmadan doğrudan sonuca ulaştırmaktadır. Kesirli diferansiyel dönüşüm yöntemi ilk olarak mühendislik alanında uygulanmıştır ( Zhou, J.K., 1986 ). Genel olarak diferansiyel dönüşüm yöntemi elektrik devre problemlerinin çözümünde kullanılmaktadır. Diferansiyel dönüşüm yöntemi, polinom formunda oluşturan Taylor seri açılımını temel alan bir yöntemdir. Bilinen yüksek mertebeden Taylor seri yöntemi sembolik hesaplamalar gerektirmektedir. Ancak, diferansiyel dönüşüm yöntemi, iteratif olarak elde edilebilen bir polinom seri çözümüdür. Son zamanlarda diferansiyel dönüşüm yöntemi, kesirli mertebeden lineer ve lineer olmayan denklemlerin yaklaşık çözümlerinde başarılı olarak kullanılmaktadır (A. Arikoglu, I. Ozkol, 2006). Lineer olmayan denklemlerin çözümleri Adomian polinomlarına gerek kalmadan çözülebildiği için diferansiyel dönüşüm yöntemi Adomian ayrıştırma yöntemine göre daha avantajlıdır. 5.1 Kesirli Diferansiyel Denklemlere Uygulaması Bölüm de verilen Riemann-Liouville türev tanımı, için olmak üzere,

66 48 şeklindedir. Analitik ve sürekli olan fonksiyonun kesirli kuvvet seri açılımını yazalım., kesirli mertebeden fonksiyonunun kesirli diferansiyel dönüşüm fonksiyonudur. Bilimin çeşitli dallarında karşılaşılan pratik uygulamalarda kesirli başlangıç koşulları sıklıkla mevcut değildir ve bu başlangıç koşullarının fiziksel anlamı da net değildir. Bu nedenle denklem (5.1) tanımı, tamsayı başlangıç koşullarını içeren Caputo kesirli türev tanımına modifiye edilmelidir. Başlangıç koşullarını sağladığından dolayı, başlangıç koşullarının dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanır. kesirli diferansiyel denklemin mertebesidir. Teorem 5.1.1: ise, olur. İspat : (5.2) dönüşüm tanımından

67 49 elde edilir ( Arikoglu, A., Ozkol, I., 2007). Teorem 5.1.2: ise, olur. İspat : genel olarak dönüşüm tanımından elde edilir ( Arikoglu, A., Ozkol, I., 2007). Teorem 5.1.3: ise,

68 50 olur. İspat : ifadesinin kuvvet seri açılımı kullanılarak fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir.

69 51 genel olarak, dönüşüm tanımı (5.2) denkleminden elde edilir ( Arikoglu, A., Ozkol, I., 2007). Teorem 5.1.4: İspat : fonksiyonu için Dirac-Delta fonksiyon tanımı kullanılırsa ifadesi elde edilir. Dönüşüm tanımı kullanılarak elde edilir. ( Arikoglu, A., Ozkol, I., 2007). Teorem 5.1.5: olur. İspat : Denklem (5.3) kullanılarak, Caputo kesirli türev tanımından; olmak üzere,

70 52 elde edilir. Denklem (5.2) ve (5.4) kullanılarak elde edilir. için Denklem (5.2) tanımında yerine yazılır ise, Olur ( Arikoglu, A., Ozkol, I., 2007). Teorem 5.1.6: Genel formda kesirli türevlerin çarpımı için, ise

71 53 elde edilir. İspat : için olduğunda in diferansiyel dönüşümü olsun. Teorem 5.3 kullanılarak in diferansiyel dönüşümü aşağıdaki gibidir. Teorem 5.5 kullanılarak aşağıdaki sonuç çıkarılabilir. Bu değerler kullanılarak

72 54 olmak üzere özel durumu için DMT, FDMT nin bir alt kümesidir ( Arikoglu, A., Ozkol, I., 2007). 5.2 Örnekler Örnek 5.2.1: Newtonian akışkanında, katı yüzeyin suya batırılmasını ifade eden Bagley-Torvik denklemi, (Diethelm ve Ford N. J., 2004 ile El-Mesiry 2005) deki çalışmalarını takip eden, aşağıdaki sınır koşullarıyla ve değerleri için çözelim. Çözüm: olarak seçelim, denklem (5.4) kullanılarak sınır koşullarının dönüşümü aşağıdaki gibidir: Teorem 5.4 ve Teorem 5.5 i kullanarak, denklem 5.5 in dönüşümü aşağıdaki gibidir:

73 55 denklem (5.7) ve (5.8) i kullanarak, belirli sayıdaki terime kadar hesaplanır ve ters dönüşüm kuralı kullanılarak, aşağıdaki gibi hesaplanır: analitik olarak ifade edilir ( Arikoglu, A., Ozkol, I., 2007). Örnek (Momani ve Odibat Z., 2007) de ele alınan bileşik kesirli salınım denklemini başlangıç koşulları altında inceleyelim. Çözüm: için Teorem 5.4 ve Teorem 5.5 kullanılarak, denklem (5.10) un aşağıdaki gibi dönüşümü yapılır; fonksiyonun bilinmeyen değeridir. Denklem (5.11) deki koşullar, denklem (5.4) kullanılarak aşağıdaki gibi dönüştürülür; Denklem (5.12) ve(5.13) kullanılarak, değerleri için hesaplanır ve denklem (5.2) ters dönüşüm kuralı kullanılırsa, farklı

74 56 değerleri için hesaplanır. (Momani ve Odibat Z., 2007) çalışması ile karşılaştırmalı nümerik sonuçlar Tablo 5.1 de verilmiştir. Tablo 5.1 t , , , , , , Örnek 5.2.3: (El-Mesiry AEM., El-Sayed AMA., El-Sala HAA., 2005) de ele alınan aşağıdaki denklemi, başlangıç koşulları altında inceleyelim. Çözüm: için Teorem 5.4 kullanılarak denklem 5.14 ün aşağıdaki gibi dönüşümü yapılırsa,

75 57 elde edilir. nin kesirli diferansiyel dönüşümü olsun. Bu dönüşüm, denklem (5.2) kullanarak aşağıdaki gibi elde edilir. denklem (5.15) deki koşullar denklem (5.4) de kullanarak diferansiyel dönüşümü yapılabilir. Denklem (5.16) ve (5.18) kullanılarak, a kadar hesaplanır, denklem (5.2) deki ters dönüşüm kuralı uygulanırsa, aşağıdaki seri çözümü elde edilir. Matematiksel bir yazılım paketi kullanılarak ; e kadar hesaplanabilir ve şekil (5.1) çizimi yapılabilir. Grafiksel sonuçlar (El-Mesiry, 2005) ile oldukça uyuşmaktadır.

76 58 Şekil 5.1 N=1000 terim için zaman tepki grafiği Örnek 5.2.4: Lineer olmayan kesirli diferansiyel denklemi inceleyelim (Shawagfeh N.T., 2002) Çözüm: Teorem 5.2 ve 5.5 kullanılarak denklem (5.20) nin aşağıdaki gibi dönüşümü yapılır. Denklem (5.4) kullanılarak, denklem (5.21) in dönüşümü aşağıdaki gibi yapılır. Denklem (5.22) ve (5.23) kullanılarak, farklı değerleri için elde edilir ve (5.2) kullanılarak hesaplanır. (Shawagfeh N.T., 2002) deki çalışma ile

77 59 karşılaştırmalı sonuçlar ile Tablo 5.2 de verilmiştir. Sonuçlar, (Shawagfeh N.T., 2002) deki sonuçlar uyuşmaktadır. Tablo 5.2 t , , , , , , Örnek 5.2.5: Kesirli lineer diferansiyel denklemi inceleyelim (Diethelm K. Ford N.S., 2002). Çözüm: için denklem (5.4) ve 5.5 kullanılarak, denklem (5.24) ün dönüşümü aşağıdaki gibidir;

78 60 denklem (5.25) in dönüşümü aşağıdaki gibidir. Denklem (5.26) ve (5.27 kullanılarak belirli sayıdaki terime kadar hesaplanır ve denklem (5.2) kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanır. bu çözüm ayrıca denklemin tam çözümüdür. Örnek 5.2.6: Kontrol problemlerinde çoğunlukla karşılaşılan Ricatti denklemini inceleyelim. Çözüm: Bu problem ADM kullanılarak (Manomi S., Shawagfeh N. 2006) çalışmasında incelenmiştir. Denklem (5.29) Teorem 5.2, 5.4 ve 5.5 kullanılarak diferansiyel dönüşümü yapılır. Denklem (5.30) başlangıç koşulları, denklem (5.4) kullanılarak aşağıdaki gibi diferansiyel dönüşümü elde edilir. ve değerleri için denklem (5.31), denklem (5.32) ile birlikte hesap edilir ve ya kadar hesaplanır. Denklem (5.2) ters dönüşüm kuralı kullanılarak, aşağıdaki gibi elde edilebilir.

79 61 (Manomi S., Shawagfeh N. 2006) deki çözüm ile kesirli diferansiyel dönüşüm yöntemiyle elde edilen sonuçlar uyuşmaktadır. 5.3 Kesirli Diferansiyel Denklem Sistemlerine Uygulanması Bu bölümde kesirli diferansiyel denklem sistemlerinin çözümleri üzerinde duracağız;..., Caputo tanımı kullanılarak mertebeden nin türevidir. aralığına tabi başlangıç koşulları şeklinde olur. mertebeden Riemann-Liouville kesirli integrasyon tanımı aşağıdaki gibidir: mertebeden Riemann-Liouville ve Caputo kesirli türev tanımı aşağıda sırayla verilmiştir.

80 62 olmak üzere tanımlar arasındaki farkı daha net belirtmek için Caputo kesirli türev tanımını ile sembolize edelim. Bu bölümdede bilinen sınır ve başlangıç koşuları problemin formülasyon dönüşümünü sağladığı için Caputo kesirli türev tanımını kullanacağız. Bu bölümde anlatılacak olan konu, verilecek teoremler ve çözüm yöntemi bölüm 5,1 deki anlatımla benzer şekildedir, bu nedenle konu anlatımını vermeden örnekler üzerinde sistem çözümlerini inceleyelim. 5.4 Örnekler Örnek 5.4.1: Aşağıdaki kesirli diferansiyel denklem sistemini çözelim. başlangıç koşulları altında ele alalım. Çözüm: Teorem 5.1 ve 5.5 kullanılarak sistem (5.39) şeklinde yazılır. ve, ve nin sırasıyla bilinmeyen değerleridir. Denklem (5.40) başlangıç koşulları, denklem (5.4) kullanılarak dönüşümü aşağıdaki gibidir:

81 63 denklem (5.41) ve (5.42) kullanılarak, için a kadar ve aşağıdaki gibi hesaplanır: Şekil 5.2, için sistem (5.39) in yaklaşık çözümünü göstermektedir. Şekil 5.3, için sistem (5.39) un yaklaşık çözümünü göstermektedir. Şekil 5.2 sistem (5.39) grafiği : (a) FDTM; (b) ADM (Momani, S., Odibat, Z., 2006). Şekil 5.3 sistem (5.39) grafiği : (a) FDTM; (b) ADM (Momani, S., Odibat, Z., 2006).

82 64 Şekil 5.2 ve 5.3 den anlaşıldığı gibi, diferansiyel dönüşüm yöntemi ile Adomian ayrıştırma yönteminin çözümü (Momani, S., Odibat, Z., 2006) birbirine eş değerdir. ( Arikoglu, A., Ozkol, I., 2007). Örnek 5.4.2: Lineer olmayan kesirli mertebeden denklem sisteminin çözümünü başlangıç koşulları altında ele alalım ( Daftardar-Gejji, V., Jafari H., 2007). Çözüm: Teorem 5.1, 5.2 ve 5.5 kullanılarak sistem (5.43) ün dönüşümü olur. Denklem (5.4) kullanarak denklem (5.44) başlangıç koşulları aşağıdaki gibi dönüştürülür.

83 65 Denklemi (5.45) ve (5.46) kullanılarak, ye kadar ve hesaplanır ve denklem (5.2) kullanılarak sırasıyla ve çözüm fonksiyonları elde edilir. Şekil 5.4 de ve çözüm fonksiyonları verilmiş ve (Daftardar-Gejji, V., Jafari H., 2007) deki sonuçlar ile uyuşmaktadır. Şekil 5.4 Örnek 5.4.3: Lineer kesirli diferansiyel denklem sistemini inceleyelim (HE J.H., 1998). başlangıç koşulları:

84 66 verilmiş olsun. Çözüm: Teorem 5.2 ve 5.5 i kullanılarak sistem (5.49) un dönüşümü aşağıdaki gibidir: ve ve nın sırasıyla bilinmeyen değerleridir. Denklem (5.50) başlangıç koşullarının, denklem (2.4) kullanılarak dönüşümü yapılır: denklem (5.51) ve (5.52) kullanılarak için, için ve için hesaplanır ve denklem (5.2) ters dönüşüm kuralı uygulayarak ve nın farklı değerleri için ve hesaplanır. Denklem (5.51) ve (5.52) kullanılarak, a kadar ve hesaplanır ve için denklem (5.2) ters dönüşüm kuralı kullanılarak, aşağıdaki seri açılımları ile elde edilir.

85 67 Şekil 5.5 için sistem (5.49) un yaklaşık sonucunu gösterir. ve için e kadar ve hesaplandığında ve için ilk beş terimden oluşan seri açılımı aşağıdaki gibidir: Şekil 5.6 ; ve için sistem (5.49) un yaklaşık çözümünü gösterir.

86 68 Şekil 5.5; Sistem (5.49) un grafiği :(a) FDTM (b) ADM (Jafari H., Daftardar-Gejji V., 2006). Şekil 5.6: sistem (5.49) un grafiği ve için :(a) FDTM (b) ADM (Jafari H., Daftardar-Gejji V., 2006). Şekil 5.5 ve 5.6 deki grafiksel sonuçlar, Adomian ayrıştırma yöntemiyle (Daftardar-Gejji V., Jafari H., 2006) elde edilen sonuçlarla uyuşmaktadır.

87 69 VI. BÖLÜM 6. SONUÇ Bu tez çalışmasında kesirli türev, kesirli integral, lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemler ve denklem sistemlerinin çözümleri hakkında bilgi verilmiş, kesirli türev ve kesirli integralin tanım formüllerinin yanında polinom fonksiyonları için gamma fonksiyonuna bağlı kesirli türev hesaplama tanımlarına yer verilmiştir. Kesirli türev ve kesirli integralin bir takım özellikleri verilirken tamsayı mertebeden türevlerde olduğu gibi kesirli türevlerde de lineerlik, homojen olma ve birleşme özelliklerinin olduğu gösterilmiştir. Polinom fonksiyonları için kesirli türev tanımı kullanılarak, örneklerle uygulamaları yapılmıştır. Verilen formüllerden yararlanılarak istenilen fonksiyonun, istenilen keyfi mertebeden kesirli türevi hesaplanabildiği gösterilmiştir. Kesirli diferansiyel denklemlerin çözümleri için kesirli türev ve kesirli integral hesaplamaları verilerek, daha sonra Adomian ayrıştırma yöntemi ile kesirli mertebeden diferansiyel dönüşüm yöntemi üzerinde durulmuştur. Örnekler üzerinde nümerik sonuçlar değerlendirilerek, karşılaştırmalı sonuç tabloları ve grafiklere yer verilmiştir. Ayrıca adi türevli diferansiyel denklemlerin bilinen yollarla yapılan çözümünden elde edilen sonucun, Adomian ayrıştırma yöntemi ile yapılan çözümden elde edilen sonuca yakın ya da aynı olduğu gösterildi. Adi türevli diferansiyel denklemlerin, Adomian ayrıştırma yöntemi ile benzer olarak kesirli diferansiyel denklemlerin Adomian ayrıştırma yöntemi ile çözümü yapılmış, bilinen yöntemlerle hesaplanamayan kesirli diferansiyel denklemlerin çözümünün bu yöntemle yapılabileceği gösterilmiştir. Hesaplama kolaylığı, hassasiyet ve algoritma kolaylığı dikkate alındığında diğer yöntemlerden daha hızlı sonuç veren diferansiyel dönüşüm yönteminin, günümüzde sıkça karşılaşılan birçok problemin çözümünde kullanıldığı görülmüştür. Diferansiyel dönüşüm yöntemi kullanılarak; lineerizasyon, perturbasyon ve kısıtlı varsayımlara gerek kalmadan, kolayca hesaplanabilen sürekli seri terimler içeren sonuçlar elde etmek mümkündür. Adomian ayrıştırma

88 70 yöntemi ile diferansiyel dönüşüm yönteminin çözümlerinin uyuşmakta olduğu da gözlemlenmiştir. Bu nedenle, zor ve karmaşık Adomian polinom hesaplamalarına gerek kalmadan kolay ve anlaşılabilir çözümü ile diferansiyel dönüşüm yönteminin, Adomian ayrıştırma yönteminden daha avantajlı olduğu görülmüştür.

89 71 KAYNAKLAR DİZİNİ Adomian, G., 1986, Nonlinear Stochastic Operator Equations, Academic Press,New York, NY. Adomian, G., 1994, Solving Frontier Problems of Physics:The Decomposition Method, Kluwer Academic Publishers, Boston. Arikoglu, A., and Ozkol, I., 2006, Solution of fractional differential equations by using differential transform method, Chaos Sol. Fract. doi: /j.chaos, Arikoglu, A., and Ozkol, I., 2007, Solution of fractional differential equations by using differential transform method, Chaos, Solitons and Fractals 34, pp. Bagley, R. L., and Tornik, P. J. 1986, On the faractional calculus model of viscoelastic behavior,journal of Rheology,vol.30, pp. Daftardar-Gejji, V., and Jafari, H., 2007, Analysis of a system of nonautonomous fractional differential equations involving Caputo derivatives, J. Math.Anal. Appl. 328 (2) pp. Daşdemir, V., 2006, Adomian Ayrıştırma Metodu, Konya. Diethelm, K., and Ford, NJ., 2002, Analysis of fractional differential equations. J Math Anal Appl; 265: pp. Diethelm K., Ford NJ., 2004, Numerical solution of the Bagley Torvik equation. 42: pp. El-Mesiry AEM, and El-Sayed AMA, and El-Saka HAA., 2005, Numerical methods for multi-term fractional (arbitrary) orders differential equations. Appl Math Comput ;160:683 99pp.

90 72 KAYNAKLAR DİZİNİ(devam) He, J.H., 1998, Approximate analytical solution for seepage flow with fractional derivatives in porous media, Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 167, 57 68pp. Jafari, H., and Daftardar-Gejji, V., 2006, Solving a system of nonlinear fractional differential equations using Adomian decomposition, J. Comput. Appl.Math. 196 (2), pp. Miller K. S., and Ross B., 1993, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc. 1993, ISBN pp. Momani, S., and Odibat,Z., 2006, Analytical solution of a time-fractional Navier Stokes equation by Adomian decomposition method, Appl. Math. Comput. 177 (2), pp Momani, S., and Odibat, Z., 2006, Numerical approach to differential equations of fractional order, J. Comput. Appl. Math. doi: /j.cam Momani, S., and Odibat, Z., 2006, Analytical approach to linear fractional partial differential equations arising in fluid mechanics, Phys. Lett.A 355; pp. Momani,S., and Shawagfeh, N., 2006, Decomposition method for solving fractional Riccati differential equations. Appl Math Comput, doi: /j.amc Momani, S., and Odibat, Z., 2007, Numerical comparison of methods for solving linear differential equations of fractional order. Chaos,Solitons & Fractals, 31: pp.

91 73 KAYNAKLAR DİZİNİ(devam) Oldham K.B., and Spanier, J.,1974, The Fractional Calculus, Academic Pres, NewYork Podlubny, I., and Kostial, I. 1993, Fractional derivative based process models and their applications, 4th International DAAAM Symposium,Brno,Czech Podlubny, I. 1999, Fractional Differential Equations, Academic Pres. Ray S.S., and Bera R.K. 2004, An approximate solution of a nonlinear fractional equation by adomian decomposition method, Applied mathematics and Computation, Volume 165, Issue 2, 15 June 2005, Pages pp. Shawagfeh, NT., 2002, Analytical approximate solutions for nonlinear fractional differential equations. Appl Math Comput,131:517 29pp. Zhou, J.K., 1986, DifferentialTransformation and itsapplications for Electrical Circuits, Huazhong University Press,Wuhan, China.

92 74

93 75 ÖZGEÇMİŞ tarihinde İzmir ilinde doğdu. İlköğretimin ilk kademesindeki öğrenimini 1994 yılında Sabri Balcı İlköğretim okulunda, ilköğretimin ikinci kademesini ise 1997 yılında Linyit Lisesinin ortaokul kısmında tamamladı. Aynı yıl başladığı ortaöğretim kademesindeki öğrenimini dört yıl süreyle Özel Betül Lisesinde sürdürdü yılında başladığı Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümündeki lisans eğitimini 2007 yılında tamamladı. Aynı yıl Ege Üniversitesi Matematik Bölümü Uygulamalı Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans eğitimi almaya hak kazandı.