İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz. Sayısal Bilginin Özetlenmesi: N: ex. 7, 4, 8, pp.3-32 2 N: ex. 2, 28 pp.3-3 N: ex. 62, 63, 6, 70, pp.76-79 4 Oniki kişilik doktora düzeyinde bir notları aşağıdaki gibi bulunmuştur: İleri Mikroiktisat dersinde öğrencilerin yıl sonu başarı 6 60 62 74 70 88 2 00 2 70 66 Bu örneklem için aşağıdaki özet istatistikleri (a) Medyan ve mod (b) Aralık (Range) (c) Alt dördebölen (lower quartile), üst dördebölen (upper quartile), Dördebölenler aralığı (Interquartile range) N: ex., 2, 6, pp.98-00 Olasılık: 6 N: ex. 8,, 2, 4, 6, 7, 8, 22, 24, 26, 28, pp.4-8 7 N: ex. 34, 3, 36, 38, 40, 4, 4, 49,, 60, 72, 74, pp.28-38 8 Bir madeni para ardarda üç kere atılıyor ve şu olaylar tanımlanıyor: A= En az iki defa tura gelmesi, B= İkinci Atışta tura gelmesi, C= Yalnız ikinci atışta tura gelmesi 9 (a) A, B bağdaşmaz (ayrık) olaylar mıdır? (b) A, C bağdaşmaz (ayrık) olaylar mıdır? (c) B, C bağdaşmaz (ayrık) olaylar mıdır? (d) P (A B), P (A C), P (B C) olasılıklarını hesaplayınız. Örneklem uzayı S = {a, b, c, d} için şu olaylar tanımlanıyor: A = {a, b, c}, B = {a, c, d}. Buna göre aşağıdaki olasılıkları (a) P (A), P (B) (b) P (A B) (c) P (A B) (d) P (A B)
0 A ve B bağdaşmaz olaylar olmak üzere olduğunu ispatlayınız. P (A (A B)) = P (A) P (A) + P (B) A ve A 2, S uzayında tanımlı iki olay olsun. Venn diyagramını kullanarak (A A 2 ) = A A 2 (A A 2 ) = A A 2 olduğunu gösterin. (Not: Bu eşitlikler DeMorgan kuralları olarak bilinir.) 2 Örneklem uzayı S = A A 2 ve P (A ) = 0.7, P (A 2 ) = 0. tir. P (A A 2 ) olasılığını 3 Bir öğrenci 4/ olasılıkla matematikten, 2/3 olasılıkla fizikten, /2 olasılıkla her ikisinden başarılı oluyor. Bu öğrencinin (a) Fizikten başarısız olma, (b) Matematik veya Fizikten başarılı olma, (c) Matematikten başarılı veya Fizikten başarısız olma. olasılıklarını (cevaplar: /3, 29/30, /6) 4 matematikçi ve 7 iktisatçı arasından, 2 matematikçi ve 3 iktisatçıdan oluşan bir komite kurulacaktır. Aşağıdaki koşullar altında bu komitenin kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini (a) Herhangi bir matematikçi ve iktisatçı komitede yer alabilir, (b) İktisatçılardan biri komitede kesinlikle yer almalı, (c) İktisatçılardan ikisi kesinlikle komitede yer almamalı. Dört zar atılıyor. Bu dört zarın birbirinden farklı olma olasılığı kaçtır? 6 Bir ayakkabı dolabında 6 çift ayakkabı bulunmaktadır. Her çift birbirinden farklıdır. Bunların arasından 4 tanesi rassal olarak ve yerine konmadan çekiliyor. Seçilenlerin içinde en az bir çift olma olasılığı nedir? (İpucu: En az bir çift bulunması olayının tümleyeni hiç çift bulunmamasıdır. İçinde hiç birbiriyle uyuşan çift bulunmayan seçimlerin toplam sayısını ) 7 Bir kutuda kırmızı ve 4 beyaz top vardır. 2 top ardarda ve yerine konmadan rassal olarak seçiliyor ve ikincisinin beyaz olduğu görülüyor. Birinci topun da beyaz olma olasılığı kaçtır? 8 Bir çift zar birlikte atılmaktadır. En az bir kez düşeş (6,6) gelmesinin olasılığının 0. ten fazla olmasını sağlamak için en az kaç atış yapılmalıdır? 9 Bir zar kere atılıyor. Bunların üçünde 6 gelmesi olasılığını 20 Bir çift zar birlikte atılıyor. Toplam 7 gelmek koşuluyla, zarlardan birinin 4 olma olasılığını Zarlardan birinin 4 veya olma olasılığı kaç olur? 2 Bir çift zar atılıyor. Toplam 8 gelme olasılığı kaçtır? Toplam 8 ya da 9 olma olasılığı kaç olur? 2
22 A ve B iki olay olsun. P (A B) veriyken P (B A) yı nasıl bulursunuz? Açıklayın. 23 Bir kutudaki 2 ampülden tanesi bozuktur. Yerine konmadan (iadesiz), ardarda ve rassal olarak 2 ampül çekiliyor. (a) Her iki ampülün de bozuk çıkma, (b) Her iki ampülün de sağlam çıkma, (c) Birinci ampülün bozuk ve ikincinin sağlam çıkma, (d) Birinci ampülün sağlam ve ikincinin bozuk çıkma olasılıklarını 24 Bir kutuda 8 mavi, 6 kırmızı top vardır. Ardarda ve rassal olarak 3 top çekiliyor. Birinci topun kırmızı, ikincinin mavi ve üçüncünün kırmızı çıkma olasılığını (a) yerine konmadan (iadesiz) ve (b) yerine konarak (iadeli) olma durumlarına göre bulunuz. 2 A kutusunda mavi, 8 kırmızı, B kutusunda 9 mavi, kırmızı, C kutusunda 2 mavi, 8 kırmızı top vardır. Rassal olarak seçilen bir kutudan yine rassal olarak bir top çekiliyor ve bunun MAVİ olduğu görülüyor. Bu topun B kutusundan çekilmiş olma olasılığı nedir? (Cevap: 0.3) 26 Bir üniversite öğrenci kulübü, uyum sağlama toplantısına katılan yeni öğrencilere üyeliğe ilişkin tanıtım belgeleri dağıtmıştır. Bu belgeleri alanların %40 ı erkek, %60 ı kızdır. Sonradan öğrenildiğine göre belgeleri alan erkeklerin %7 si, kızların %9 u kulübe üye olmuştur. (a) Rassal seçilmiş yeni bir öğrenci üyelik belgelerini almışsa, kulübe üye olma olasılığı kaçtır?. (b) Rassal seçilen yeni bir öğrenci üyelik belgelerini aldıktan sonra kulübe üye olmuşsa, bu öğrencinin kız olma olasılığı kaçtır? 27 Bir kasabada oturanların %40 ı erkek %60 ı kadındır. Erkeklerin %0 si, kadınların %30 u sigara içmektedir. Sigara içtiği bilinen bir kimsenin erkek olmasının olasılığı nedir? 28 Büyük bir kentte yaşayanların %8 i belli bir hastalığa yakalanmıştır. Bu hastalık için uygulanan bir test, gerçekten hasta olanların %80 inde hastalığı var göstermekte (sonuç pozitif), hasta olmayanların %80 inde ise hastalığı yok göstermektedir (sonuç negatif). Test sonucunda hasta görünen bir kimsenin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır? 29 Bir fabrikada bir malın üretiminde sırasıyla M, M 2 ve M 3 olarak isimlendirilen üç farklı tipte makine kullanılmaktadır. Bütün malların %20 si M, %30 u M 2 ve %0 si M 3 tarafından üretilmektedir. Ayrıca M in ürettiği malların % inin, M 2 nin ürettiği malların %2 sinin ve M 3 ün ürettiği malların ise %3 ünün hatalı olduğu bilinmektedir. Toplam üretimden bir mal rassal olarak seçiliyor ve hatalı olduğu görülüyor. Bu hatalı malı M 3 ün üretmiş olma olasılığı kaçtır? 30 A kutusunda 3 kırmızı ve 7 mavi top ve B kutusunda 8 kırmızı ve 2 mavi top vardır. Önce bir tavla zarı atılıyor ve üstte gelen sayı ya da 6 ise A kutusu diğer durumlarda ise B kutusu seçiliyor. Seçilen kutudan rassal olarak bir top çekiliyor ve kırmızı olduğu görülüyor. Bu topun A kutusundan çekilmiş olma olasılığı nedir? (Cevap: 3/9). B kutusundan çekilmiş olma olasılığını da 3 Yıldız Teknik Üniversitesi nde birinci sınıfa giden öğrencilerin %60 ının dört yılda mezun olacağı tahmin edilmektedir. Birinci sınıfa yeni giren öğrencilerden rassal seçilmiş beşinden tam üçünün dört yılda mezun olma olasılığı kaçtır? 3
32 N: ex., 2, 6, 4,, 8 pp.3-6 33 N: ex. 9, 20, 22, 24, 27 pp.67-69 Kesikli Rassal Değişkenler: 34 N: ex. 28, 30, 3, 36, 38, 40, 42, 47, 66, 70 pp.8-92 3 Bir madeni para ve bir tavla zarı birlikte atılıyor. Para tura gelirse zarın bir fazlası, yazı gelirse bir eksiği X ile gösteriliyor. Örneklem uzayını ve X in alabileceği x değerlerinin kümesini Olasılık fonksiyonunu oluşturun. 36 37 38 Üç tane madeni para birlikte atılıyor ve turaların sayısı X rassal değişkeni olarak tanımlanıyor. Bu rassal değişkenin olasılık fonksiyonunu oluşturun. 2kx, x =, 2, 3 için; f(x) = k(3 + x), x = 4, için; 0, diğer x değerleri için. (a) f(x) in bir olasılık fonksiyonu olabilmesi için k kaç olmalıdır? (b) X in beklenen değerini, E(X), bulun. (c) X 2 nin beklenen değerini, E(X 2 ), bulun. (d) X in varyansını, σ 2 X, bulun. (e) Y = 2X şeklinde başka bir rassal değişken tanımlanıyor. Y nin beklenen değerini (f) P (X = 3), P (X = 8), P (3 X 8), P (X 2 X 4) olasılıklarını hesaplayın. İki zarın atıldığını ve rassal değişken X in üstteki sayıların farkının mutlak değerini gösterdiğini düşünelim. (a) Örneklem uzayını ve X in alabileceği değerler kümesini belirleyin. (b) X in olasılık fonksiyonunu (c) Bu olasılık fonksiyonunun grafiğini çizin. (d) X in beklenen değerini 39 Kesikli rassal değişken X in olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir: x 3 4 8 0 f(x) 8 4 2 6 6 (a) X in birikimli olasılık fonksiyonunu bulun ve çizimle gösterin. (b) X in beklenen değerini, E(X), bulun. (c) X 2 nin beklenen değerini, E(X 2 ), bulun. (d) X in varyansını, σ 2 X, bulun. (e) Y = 0 0.X şeklinde başka bir rassal değişken tanımlanıyor. Y nin beklenen değerini (f) P (3 X 8) olasılığını 4
40 Aşağıda verilen fonksiyonun bir olasılık fonksiyonu olmasını sağlayacak k sabitini f X (x) = k(6 x 7 ), x = 2, 3, 4,..., 2. 4 İki zarın atıldığını ve rassal değişken X in üstteki sayıların toplamını gösterdiğini düşünelim. 42 (a) X in olasılık fonksiyonunu (b) Bu olasılık fonksiyonunun grafiğini çizin. (c) Önceki sorudaki olasılık fonksiyonunun bu soruda istenenle aynı olduğunu gösterin. f(x) =, x = { 2,, 0,, 2} 2x+3 Yukarıdaki fonksiyon X kesikli rassal değişkeni için bir olasılık fonksiyonu olarak alınabilir mi? 43 X aşağıdaki dağılıma sahip bir rassal değişken olsun. X - 0 2 P X (x) (a) X in beklenen değerini, E(X), (b) X in varyansını, V ar(x), (c) Y = 3 + 2X şeklinde başka bir rassal değişken tanımlansın. Y nin beklenen değerini (d) Y nin varyansını 2 44 X ve Y ortalamaları sırasıyla µ X, µ Y ve varyansları sırasıyla σx 2, σ2 Y değişkendir. a, b, c, d sabit sayılar olmak üzere olan iki rassal (a) Cov(a X, c Y ) = Cov(X, Y ) (b) Cov(a X, Y ) = Cov(X, Y ) (c) Cov(a + bx, c + dy ) = bdcov(x, Y ) (d) V ar(a + bx + c + dy ) = b 2 σ 2 X + d2 σ 2 Y + 2bdCov(X, Y ) olduğunu gösterin. 4 X ve Y iki kesikli rassal değişken olmak üzere Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) olduğunu gösterin. 46 Bir emlak komisyoncusu, bir gazete reklamındaki satır sayısıyla, olası kiracıların başvuru hacmi arasındaki ilişkiyle ilgilenmektedir. Başvuru hacmini düşük ilgi için 0, orta düzeyde ilgi için, yüksek düzeyde ilgi için 2 değerlerini alan rassal değişken X ile gösterelim. Emlak komisyoncusu aşağıdaki çizelgede gösterilen ortak olasılıkları tahmin etmiştir. Satır sayısı, Y Başvuru hacmi, X 0 2 3 0.09 0.4 0.07 4 0.07 0.23 0.6 0.03 0. 0.
(a) X =, Y = 4 için ortak birikimli olasılık fonksiyonunu bulun ve bulgunuzu yorumlayın. (b) Y nin marjinal olasılık fonksiyonunu bulun ve yorumlayın. (c) X = 0 veriyken Y nin koşullu olasılık fonksiyonunu bulup yorumlayın. (d) X ile Y arasındaki kovaryansı bulun ve yorumlayın. (e) Reklamdaki satır sayısıyla başvuru hacmi birbirinden bağımsız mıdır? 47 Giriş düzeyinde İstatistik dersi veren bir üniversite öğretim üyesi öğrencilerin verilen ödevleri yapma sıklıklarıyla dönem sonu başarısı arasındaki ilişki ile ilgilenmektedir. Ödev yapma sıklığını devamlı yapanlar için, arasıra yapanlar için 2 ve hiç yapmayanlar için 3 ile gösterelim. Ayrıca 0 öğrencinin başarısız, ise başarılı olduğunu göstersin. Öğretim üyesi aşağıdaki olasılıkları tahmin etmiştir: Başarı Durumu, Y Ödev Yapma Sıklığı, X 2 3 0 0.08 0.3 0.09 0.62 0.07 0.0 (a) Rassal olarak seçilen bir öğrencinin bu derste başarılı olma olasılığı kaçtır? (b) Hiç ödev yapmayan bir öğrencinin bu derste başarılı olma olasılığı kaçtır? (c) X ile Y arasındaki kovaryansı bulup yorumlayın. (d) Öğrencilerin ödev yapma alışkanlıkları ile başarı durumları birbirinden bağımsız mıdır? 48 Müşteriler kalabalık bir kasaya dakikada ortalama 3 kişi olarak gelmektedir. Gelişlerin dağılımı Poisson ise, verilen herhangi bir dakika içinde kasaya 2 ya da daha az müşteri gelmesinin olasılığı kaçtır? (İpucu: X=müşteri sayısı ise E(X) = λ = 3.) 49 N: ex., 2, 3, 4, 8, 2, pp.208-2 Sürekli Rassal Değişkenler: 0 N: ex. 6, 7, 8, 9, 23, 27, 30, 32, 33 pp.22-224 N: ex. 3, 36, 42, pp.233-234 2 N: ex. 46, 60, 62, 70, pp.237-24 3 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir. Buna göre c sabit sayısını 4 Aşağıdaki fonksiyon veriliyor. f(x) = { x, 0 < x < ; 2 x, x < c. f(x) = k(x + ), 0 < x < 2 (a) Bunun bir oyf olmasını sağlayan k sabitini (b) Bulduğunuz oyf nu kullanarak X in beklenen değerini ve varyansını (c) bof, F (x) i 6
(d) bof nu kullanarak P ( 2 < X < 3 2 ) olasılığını Aşağıdaki fonksiyonu düşünelim: f(x) = { 2 (x + ), < x < 2 ise; (a) Bu fonksiyonun bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) olduğunu gösterin. (b) X rassal değişkeninin Beklenen Değerini (c) X rassal değişkeninin Varyansını (d) Birikimli dağılım fonksiyonunu, F (x), 6 x olmak üzere f(x) = x veriliyor. (a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin. (b) F (x) i (c) P ( X > 2 ) olasılığını (d) E(X) i 7 İktisat bölümü öğrencilerinin evlerinden okula gelme süreleri 0 dakika ile 4 dakika arasında uniform dağılıma uymaktadır. Buna göre, rassal seçilmiş bir öğrencinin yolda geçirdiği sürenin (a) 20 dk dan az (b) 20 dk ile 30 dk arasında (c) 30 dk dan fazla olma olasılıklarını 8 X in oyf nun aşağıdaki gibi olduğunu düşünelim: { f(x) = 2x, 0 < x < 2 ise; 0, değilse. (a) P (X < t) = 2 (b) P (X < t) = 4 olmasını sağlayan t sayısını olmasını sağlayan t sayısını 9 X rassal değişkeni [ 2, 2] aralığında uniform dağılmaktadır. (a) P ( < X < ) olasılığını (b) P (X < t) = 0. olabilmesi için t ne olmalıdır? 60 X rassal değişkeninin oyf nu aşağıdaki gibidir: { 3 f(x) = 2 ( x2 ), 0 < x < ise; 0, değilse. (a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin. (b) Şu olasılıkları bulun: P (X > 2 ), P ( 4 < X < 3 4 ), P (X < 4 ) 6 X ve Y sürekli rassal değişkenler ve x ve y bu değişkenlerin aldığı belli değerler olmak üzere aşağıdaki fonksiyon tanımlanıyor. { k(x + 2y), 0 < x <,0 < y < ise; f(x, y) = 7
(a) Bu fonksiyonunu bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için k kaç olmalıdır? (b) X in marjinal yoğunluk fonksiyonunu (c) X in beklenen değerini (d) P (Y 0.4 X = 0.) i (e) X ile Y birbirinden bağımsız mıdır? 62 X ve Y rassal değişkenleri için, k bir sabit sayı olmak üzere aşağıdaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlanmıştır. { kxy, 0 < x < 2, 0 < y < 2 ise; f(x, y) = (a) Bunun bir ortak oyf olmasını sağlayan k sabitini (b) X in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (c) Y nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (d) Y = y verilmişken X in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu (e) P (0 < X < Y = ) =? (f) X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız mıdır? 63 X ortalaması µ X ve varyansı σx 2 olan bir rassal değişkendir. a, b sabit sayılar olmak üzere Y = a + bx şeklinde yeni bir rassal değişken elde ettiğimizi düşünelim. Buna göre aşağıdaki ifade neye eşittir: Cov(X, Y ) V ar(x) =? 64 X rassal değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır: F (x) = e 0.2x, x 0 Buna göre X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu 6 X ortalaması µ X, varyansı σx 2, Y de ortalaması µ Y ve varyansı σy 2 olan iki rassal değişkendir. Buna göre (X + Y ) ile (X Y ) arasındaki kovaryansı (Cov(X + Y, X Y )) 66 X ve Y rassal değişkenleri için aşağıdaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlanmıştır. { f(x, y) = 4 x + 3 4 xy2, 0 < x < 2, 0 < y < ise; (a) X ve Y birbirinden bağımsız mıdır? İspatlayın. (b) X in beklenen değerini, E(X), (c) Y nin beklenen değerini, E(Y ), (d) E(XY ) i (e) X ve Y arasındaki kovaryansı, cov(x, Y ), 67 X ve Y rassal değişkenleri için aşağıdaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlanmıştır. { x + y, 0 < x <, 0 < y < ise; f(x) = 8
(a) Bunun bir ortak oyf olduğunu gösterin. (b) X in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (c) Y nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (d) Y = y verilmişken X in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu (e) P ( 2 < X < Y = 2 ) =? (f) X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız mıdır? 68 Z ortalaması 0 ve varyansı olan bir rassal değişkeni göstersin. Aşağıdaki rassal değişken tanımlansın: (a) X in beklenen değerini (b) X in varyansını (c) X ile Z nin kovaryansını X = 3 + 2Z 69 Bir mala gelecek ay olması beklenen talep ortalaması 2000 standart sapması 220 birim olan bir normal dağılımla gösterilebilir. (a) Satışların 800 ile 200 birim arasında kalma olasılığı kaçtır? (b) Satışların kaç birimi aşma olasılığı 0.20 dir? 70 Z standart normal dağılıma uyan bir rassal değişkendir. Buna göre aşağıdaki olasılıkları (a) P (0 X.) (b) P ( 0. X ) (c) P (0.8 X.8) (d) P (.7 X ) (e) P ( 0.7 X 0) (Cevaplar:, sırasıyla, 0.4332, 0.328, 0.76, 0.86, 0.2734.) 7 X rassal değişkeni ortalaması 60 varyansı 400 olan bir dağılıma uymaktadır. Bu anakütleden 200 gözlemden oluşan bir örneklem çekilmiştir. Örneklem ortalamasının anakütle ortalamasından farkının 4 den daha fazla olmamasının olasılığı nedir? 72 Bir tavla zarı 6000 kere atılmaktadır. X rassal değişkeni toplam 6 gelme sayısını göstermektedir. Buna göre P (000 X 00) olasılığını 73 Bir elektronik cihazın X rassal değişkeni ile gösterilen ömrü λ = 0.003 parametresi ile üstel dağılıma uymaktadır: f(x) = λe λx = 0.003e 0.003x, x > 0 Bu cihazlardan 00 tanesinin ömrünün ortalamasının 900 saatten az, 200 saatten fazla olmamasının olasılığını (İpucu: Üstel dağılımın ortalama (λ ) ve varyansından (λ 2 ) hareketle Merkezi Limit Teorimini uygulayın.) 9