Parametrik Olmayan İstatistiksel Yöntemler IST-4035-6- EÜ İstatistik Bölümü 08 Güz Non-Parametric Statistics Nominal Ordinal Interval One Sample Tests Binomial test Run test Kolmogrov-Smirnov test X test Sign test Wilcoxon Rank test Related Mc Nemar test Sign test Walsh Test Wilcoxon Signed Rank test Randomization test Two Sample Tests Unrelated Fisher Exact Probability test X test Median test Mann-Whitney U test Kolmogrov-Smirnov test Ansari-Bradley Mood Testi test Moses test Related Cochran Q test Friedman F test Page test k - Samples Tests Unrelated X test Kruskal-Wallis test Median test Jonckheere-Terpstra test
İki Bağımlı (Eşleştirilmiş) Örneklem İçin Testler İki bağımlı örnekleme ilişkin veri genel olarak iki şekilde elde edilir. Birincisi işlem öncesi-işlem sonrası tasarımıdır. Bu tasarımda önce örnekleme seçilen birimlerin ilgili bağımlı değişken bakımından aldıkları değerler ölçülür. Sonra bu birimlere ilgili deneysel işlem uygulanır ve uygulama sonrası bağımlı değişkenin değeri tekrar ölçülür. 3 İki Bağımlı (Eşleştirilmiş) Örneklem İçin Testler İkinci tasarım eşleştirme dir. Bu tasarımda örnekleme çekilen birimler önce belirli bir değişken bakımından eşlere ayrılır. Bu değişken bağımlı değişken üzerinden etkisi arındırılmak istenen değişkendir. Eşler, ya da çiftler oluşturulurken etkisi arındırılmak istenen değişken bakımından aynı değeri ya da birbirine en yakın olan iki birim eş olarak alınır. 4
İki Bağımlı (Eşleştirilmiş) Örneklem İçin Testler Sonra eşlerdeki birimler rassal olarak iki gruptan birine atılır. Gruplardan biri kontrol diğeri deney grubu olabilir ya da iki teknik arasındaki fark belirlenmek isteniyor ise iki gruba farklı teknikler uygulanabilir. 5 İki Bağımlı Örneklem İçin İşaret Testi Tek örneklem işaret testinden farkı verilere bir dönüştürme yapılması gerekmesidir. 6 3
Eşleştirilmiş İşaret Testi/Varsayımlar Veriler (X,Y ),( X,Y ),,( X n,y n )gibinsayıdaeştenelde edilen ölçümlerden oluşur. Eşlerdeki ölçümler ya aynı birimden alınmıştır ya da etkisi arındırılan değişken bakımından aynı değerli olan iki birimden alınmıştır. İlgilenilen değişkenin ölçme düzeyi en az sıralı ölçektedir. İlgilenilen değişken süreklidir. n gözlem çifti birbirinden bağımsızdır. 7 Eşleştirilmiş İşaret Testi/Hipotezler 8 4
Eşleştirilmiş İşaret Testi/Test İstatistiği i =X i -Y i, i=,,,n farkları bulunur. X i =Y i ise i =0 dır. Bu durumda i. gözlem çifti veri setinden çıkartılır, n azaltılır. Farklar bulunduktan sonra işaretlerine göre + ve sayıları bulunur. Test istatistiği (k) hipoteze göre ; A + veya işaretlerden küçük olanın sayısıdır. B - işaretlerin sayısı C + işaretlerin sayısı k n k n n f ( k) k,,..., n k k n 9 Eşleştirilmiş İşaret Testi/Karar Kuralı Hipotezleri işaretlerin olasılıkları ile şöyle ifade edebiliriz. A P(K k n, 0.50) α/ ise H 0 reddedilir. B ve C P(K k n, 0.50) α ise H 0 reddedilir. 0 5
Eşleştirilmiş İşaret Testi/Örnek EÜ iyabet merkezine gelen ve rassal olarak seçilen 0 kadının ağırlıkları ölçülmüş (X i ), sonra bu 0 kadına bir zayıflama diyeti uygulanmıştır. iyet sonrası ağırlıkları ölçülerek (Y i ) aşağıdaki tabloda verilmiştir. %5 önem düzeyinde yaptırılan diyetin etkili olduğunu araştırınız. Eşleştirilmiş İşaret Testi/Örnek H 0 : M H : M Test istatistiği (-) işaretlerin sayısı k= ve n=9 (aynı değerde olan çift var) alınır. 9 9 9 9 9 P( K ) P( K ) P( K ) ( 9).095.0 0 p=0.0<0.05 olduğunda H 0 reddedilir. %95 güvenle diyet etkili olmuştur. 6
Eşleştirilmiş İşaret Testi/Örnek Kobay hayvanların birlikte yaşamasının kalp atış hızına etkisi araştırılmak isteniyor. Bu amaçla tek başına yaşayan 0 kobay ile başka bir kobay ile yaşayan 0 kobaya ait ölçümler tabloda verilmektedir. kobayların diğer özellikleri bakımından benzer olduğu varsayımından hareketle %5 önem düzeyinde kalp atış hızı arasında fark olup olmadığını araştırınız. 3 Eşleştirilmiş İşaret Testi/Örnek H 0 : M H : M Test istatistiği (+) işaretlerin sayısı, (-) işaretlerin sayısı 8, bu durumda k= ve n=0 alınır. 0 0 0 P( K ) P( K ) P( K ) P( K ) 0 ( 0 45).(0,000977) p=0.0547>0.05 olduğundan H 0 reddedilemez. 4 7
İki Bağımlı Örneklem için Wilcoxon İşaretlenmiş Sıra Sayıları Testi İşaret testinde gözlem çiftlerinin analizinde kullanılan tek bilgi X in Y den büyük veya küçük olduğu ile eşit olup olmadığıdır. Ölçek türü çok düşük ise uygun bir test olmasına rağmen verinin daha çok bilgi içerdiği durumlarda istatistiksel analiz olarak daha güçlü olan testlerin kullanımı önerilir. Bu testte işareti kadar farkların büyüklükleri de dikkate alınır. İki Bağımlı (Eşleştirilmiş) Örneklem için Wilcoxon İşaretlenmiş Sıra Sayıları Testi: EWISST 5 EWISST/Varsayımlar Veriler (X,Y ),( X,Y ),,(X n,y n )gibinsayıdaeştenelde edilen ölçümlerden oluşur. Eşlerdeki ölçümler ya aynı birimden alınmıştır ya da etkisi arındırılan değişken bakımından aynı değerli olan iki birimden alınmıştır. Analiz için kullanılan veriler i =X i -Y i olmak üzere n sayıda farktan oluşur. Farklar en az aralıklı ölçektedir. Farklar sürekli bir rassal değişkendir. Farklar birbirinden bağımsızdır. Farkların kitle dağılımı medyan değerine (M) göre simetriktir. 6 8
EWISST/Hipotezler 7 EWISST/Test İstatistiği Test istatistiği aşağıdaki yöntemle hesaplanır. i =X i -Y i i farkların mutlak değerleri küçükten büyüğe ranklanır. Rank değerlerine farkın işareti verilir. T+ ve T- hesaplanır. (İlgili işaretin rank toplamları.) Test istatistiği hipoteze göre T+ ve T- alınır. Ties (aynı değerlerin olması) : ilk durum i =X i -Y i =0 olmasıdır. Bu çift değerlendirmeden çıkartılır ve n azaltılır. İkinci durum i değerlerinin eşit olmasıdır. Bu durumda rank değeri olarak aynı değerdeki mutlak farkların ranklarının ortalaması verilir. 8 9
EWISST/Karar Kuralı A test istatistiği T+ veya T- den küçük olandır. Wilcoxon işaretli sıra sayıları test tablosundan n ve α/ göre bakılan T tablo değeri kullanılır. T h T tablo ise H 0 reddedilir. B T- T tablo (n,α) ise H 0 reddedilir. C T+ T tablo (n, α) ise H 0 reddedilir. 9 EWISST/Örnek Akut akciğer damar tıkanıklığı olan hastaların hemodynamic değişimine ilişkin bir çalışmada 9 hastaya ilişkin enzim tedavisi öncesi ve 4 saat sonrası damar basınç değerleri ölçülerek aşağıda verilmiştir. %5 önem düzeyinde enzim tedavisinin basıncı düşürdüğü iddiasını test ediniz. 0 0
EWISST/Örnek H 0 : M H : M Test istatistiği T-=0 Tablo değeri n=8 ve α=0.05 T tablo =5 T- < T tablo olduğundan H 0 reddedilir. veya T-=0 ve n=8 için tablodan bakılan p=0.0039 < 0.05 olduğundan H 0 reddedilir. EWISST/Örnek Zayıflamak için uygulanan bir diyet türünün kilo aldırdığı iddia edilmektedir. Rassal olarak seçilen 0 kişinin ağırlıkları ölçülmüş (Xi), sonra bu 0 kişiye bu zayıflama diyeti uygulanmıştır. iyet sonrası ağırlıkları ölçülerek (Yi) aşağıdaki tabloda verilmiştir. İddiayı %5 önem düzeyinde araştırınız. No 3 4 5 6 7 8 9 0 Xi (kg) 8 8 80 68 70 7 68 67 66 6 Yi (kg) 80 8 80 63 65 66 6 60 59 59
Test istatistiği T+=44 EWISST/Örnek Tablo değeri n=9 ve α=0.05 T tablo =8 T+>T tablo olduğundan H 0 reddedilemez. Bu diyetin kilo aldırdığı söylenemez. P-değeri??? H : M 0 H : M No 3 4 5 6 7 8 9 0 Xi 8 8 80 68 70 7 68 67 66 6 Yi 80 8 80 63 65 66 6 60 59 59 i + - 0 +5 +5 +5 +6 +7 +7 + Rank i +.5 - X +5 +5 +5 +7 +8.5 +8.5 +.5 3 EWISST/Örnek 3 (Eşleştirilmiş İşaret Testi/Örnek ) H : M 0 H : M No 3 4 5 6 7 8 9 0 Yalnız Yaşayan 463 46 46 456 450 46 48 45 409 40 Birarada yaşayan 53 494 46 535 476 454 448 408 470 437 i -60-3 + -79-6 -8-30 +7-6 -35 Rank i 8 6 0 3 4 5 9 7 Rank i -8-6 + -0-3 -4-5 + -9-7 4
EWISST/Örnek 3 (Eşleştirilmiş İşaret Testi/Örnek ) H : M Test istatistiği T+=3 Tablo değeri n=0 ve α=0.05/ T tablo =8 T+<T tablo olduğundan H 0 reddedilir. P-değeri??? 0 H : M 5 EWISST/Örnek 4 Rasgele seçilen öğrenci kurs öncesi ve kurs sonrası iki kere yabancı dil sınavına girmişler ve aşağıda verilen puanları almışlardır. α=0,05 alınırsa kursun yabancı dil başarı puanını arttırdığı söylenebilir mi? No 3 4 5 6 7 8 9 0 Kurs 60 60 65 6 68 64 70 50 40 48 47 55 öncesi Kurs 75 74 7 7 73 79 7 6 40 4 43 4 sonrası 6 3
McNemar Testi Bu test iki bağımlı örneklem durumunda ölçüm veya işlem sonucuna göre eşlerin kategorilere ayrıldığı durumlarda kullanılır (McNemar, 947). Eşleştirilmiş örneklemlerde yanıt değişkeninin aldığı değer iki kategoriden birine düşer. Evet-hayır, Pozitif-Negatif, Yaşıyor-Yaşamıyor, Sağladı-Sağlamadı vb. Burada sonuçlar x lik çapraz tablo şeklinde özetlenir. Yani i. birimin işlem öncesi ve işlem sonrası ölçüm sonucuna göre kategorilere ayrıldığı durumda McNemar testi kullanılır. 7 McNemar Testi N: eşleştirilmiş çiftlerin sayısı A: hem deney hem de kontrol grubunda ilgilenilen ölçüm sonucuna göre pozitif olan eşlerin sayısı : hem deney hem de kontrol grubunda ilgilenilen ölçüm sonucuna göre negatif olan eşlerin sayısı B: kontrol grubunda pozitif deney grubunda negatif sonuç veren eşlerin sayısı C: kontrol grubunda negatif deney grubunda pozitif sonuç veren eşlerin sayısı A+B: Kontrol grubunda ölçüm sonucu pozitif olan eşlerin sayısı C+: Kontrol grubunda ölçüm sonucu negatif olan eşlerin sayısı A+C: eney grubunda ölçüm sonucu pozitif olan eşlerin sayısı B+: eney grubunda ölçüm sonucu negatif olan eşlerin sayısı *Burada tablo deney-kontrol grubu yerine işlem öncesi-sonrası şeklinde de 8 verilebilirdi. 4
McNemar Testi/Varsayımlar N çift birim rassal ve birbirinden bağımsız olarak deney ve kontrol grubuna atanacaktır. Ölçek türü sınıflayıcı olacaktır. 4 kategori vardır. Evet-Evet, Evet-Hayır, Hayır-Evet, Hayır-Hayır Çiftteki gözlemler birbiri ile ilişkili iken, çiftler birbirinden bağımsız olacaktır. 9 McNemar Testi/Hipotezler Bir işlem altında ilgilenilen özellikte olanların oranı p ve diğer işlem altında ilgilenilen özellikte olanların oranı p olmak üzere; 30 5
McNemar Testi/Test İstatistiği İlgilenilen özelliğin örneklem oranını pˆ ve pˆ ile gösterelim. Buna göre eğer ilgilendiğimiz karakteristik Evet yanıtını almak ise A B A C B C pˆ pˆ N pˆ pˆ N N H 0 hipotezi doğru iken E(B-C/N)=0 olur. H 0 hipotezinin testi için McNemar test istatistiği; B C z B C H 0 hipotezi doğru ve B+C en az 0 ise z istatistiği std. Normal dağılır. 3 McNemar Testi/Karar Kuralı A Z h >Z α/ veya Z h <-Z α/ ise H 0 reddedilir. B Z h >Z α C Z h <-Z α H 0 reddedilir. H 0 reddedilir. 3 6
McNemar Testi/Örnek Rassal olarak seçilen 0 hastanın kandaki şeker ölçümleri alınmış ve bu ölçümler normal değerler (N) içinde olup olmamasına göre değerlendirilmiştir. Bu 0 hastaya 4 ay boyunca kandaki şeker düzeyini düşürme amaçlı bir tedavi uygulanmış ve ardından kandaki şeker düzeyi ölçümleri tekrar alınarak N içinde olup olmadığına bakılmıştır. Aşağıda tablo olarak verilen değerlere göre %5 önem düzeyinde tedavinin etkili olduğu söylenebilir mi? Tedavi sonrası N içinde N dışında Toplam N içinde 4 (A) (B) 6 Tedavi öncesi N dışında (C) () 4 Toplam 6 4 0 33 McNemar Testi/Örnek H : p p 0 H : p p Tedavi öncesi Tedavi sonrası N N içinde dışında Toplam N içinde 4 (A) (B) 6 N dışında (C) () 4 Toplam 6 4 0 z B C B C.67 z 0.05 =.645 z < - z 0.05 olduğundan H 0 reddedilir. %95 güvenle tedavinin etkili olduğu söylenebilir. P-değeri??? 34 7
McNemar Testi/Örnek 85 Hodgkin s hastası, aynı cinsiyette ve 5 yaş farkı içinde olan kardeşleri ile eşleştirilmiştir. İki grup arasında bademciklerin alınma oranları açısından fark olup olmadığını %5 önem düzeyinde araştırınız. Kontrol Grubu Bademcikleri alındı Evet Hayır Toplam Hodgkin s hastası olanlar Bademcikleri alındı Evet 6 5 4 Hayır 7 37 44 Toplam 33 5 85 35 McNemar Testi/Örnek H :p p 0 H :p p Kontrol Grubu Bademcikleri alındı Evet Hayır Toplam Hodgkin s hastası olanlar Bademcikleri alındı Evet 6 5 4 Hayır 7 37 44 Toplam 33 5 85 5+7> z B C B C 5 7 5 7.7 z 0.05 =.96 z < z 0.05 olduğundan H 0 reddedilemez. 36 8
McNemar Testi/Örnek 3 Rassal olarak seçilen 30 sporcunun kondisyon programı uygulanmadan önce ve uygulandıktan sonraki değerlendirmesi aşağıda verilmektedir. %5 önem düzeyinde kondisyon programının başarıyı arttırdığı söylenebilir mi? Program öncesi Program sonrası Başarılı Başarısız Toplam Başarılı 8 4 Başarısız 6 8 Toplam 0 0 30 37 McNemar Testi/Örnek 3 H : p p 0 H : p p +4>6 Program öncesi Program sonrası Başarılı Başarısız Toplam Başarılı 8 4 Başarısız 6 8 Toplam 0 0 30 z B C B C 4 4 z 0.05 =.645 z < -z 0.05 olduğundan H 0 reddedilir. %95 güvenle kondisyon programının etkili olduğu 38 söylenebilir. 9
McNemar Testi/Örnek 3 SPSS ile çözüm? Exact p-değeri nasıl hesaplanır? 39 0