; k = 1; 2; ::: a (k)

Analiz III Ara S nav 2 Kas m 2 x k = ; 2 ; :::; ; k = ; 2; ::: olmak üzere (x k ) R dizisi veriliyor. ; dizi ise (x k ) dizisi de yak nsak olur. Ispatlay n z. 2 ; :::; 2 A; B R olsun. A B ise A B olur mu? edenleriyle aç klay n z. 3 A R ve x 2 R olsun. x 2 e A ise d (x; An fxg) = olur. ispatlay n z. 4 f : A R R M fonksiyonu A üzerinde düzgün sürekli ise g : A R; g (x) = kf (x)k fonksiyonu da A üzerinde düzgün sürekli olur. Ispatlay n z. R dizileri yak nsak birer Her soru 25 puan ve süre 6 dakikad r.

Analiz III Ara S nav 2 Kas m 2 x k = ; 2 ; :::; ; k = ; 2; ::: olmak üzere (x k ) R dizisi veriliyor. ; 2 ; :::; dizisi ise (x k ) dizisi de bir Cauchy dizisi olur. Ispatlay n z. 2 A; B R olsun. A B ise A B olur mu? edenleriyle aç klay n z. 3 A R ve x 2 R olsun. d (x; An fxg) = ise x 2 e A olur. ispatlay n z. 4 f; g : A R R M fonksiyonlar sürekli ise h : A R; h (x) = hf (x) ; g (x)i fonksiyonu da sürekli olur. Ispatlay n z. R dizileri birer Cauchy Her soru 25 puan ve süre 6 dakikad r.

Analiz III Ara S nav 2 Kas m 2 (x k ) ; (y k ) R birer Cauchy dizisi olsunlar. Bu durumda (hx k ; y k i) R dizisi de bir Cauchy dizisi olur. Ispatlay n z. 2 A; B R olsun. e A e B ise A B olur mu? edenleriyle aç klay n z. 3 A R ve x 2 R olsun. d (x; A c ) > ise x 2 A olur. ispatlay n z. 4 f : A R R M sürekli bir fonksiyon ise her F R M kapal kümesi için f (F ) kümesi A da kapal olur. Ispatlay n z. Her soru 25 puan ve süre 6 dakikad r.

Analiz III Ara S nav 2 Kas m 2 x k = ; 2 ; :::; ; k = ; 2; ::: olmak üzere (x k ) R dizisi veriliyor. ; 2 dizi ise (x k ) dizisi de s n rl bir dizi olur. Ispatlay n z. ; :::; R dizileri s n rl birer 2 A; B R olsun. @A @B ise A B olur mu? edenleriyle aç klay n z. 3 A R ve x 2 R olsun. x 2 A ise d (x; A c ) > olur. ispatlay n z. 4 f : A R R M bir fonksiyon olsun. Her G R M aç k kümesi için f (G) kümesi A da aç k ise f süreklidir. Ispatlay n z. Her soru 25 puan ve süre 6 dakikad r.

Analiz III Final S nav 4 Oca2 S n rl her A R kümesi kompakt m d r? edenleriyle aç klay n z. 2 Sürekli ve örten bir f : R Q fonksiyonu var m d r? edenleriyle aç klay n z. 3 f : A R R M sürekli bir fonksiyon ve B R M olsun. B ba¼glant l ise f (B) ba¼glant l olmak zorunda m d r? 4 Iç içe kümeler özelli¼ginin ifadesini yaz n z. 5 A R olsun. A ba¼glant l ise A ba¼glant l olmak zorunda m d r? edenleriyle aç klay n z. 6 ; x 2 Q f : [; ] R; f (x) = ; x =2 Q fonksiyonuna düzgün olarak yak nsayan (Riemann anlam nda) integrallenebilir fonksiyonlar n bir f n : [; ] R; n = ; 2; ::: dizisi var m d r? edenleriyle aç klay n z. 7 Her x 2 R için oldu¼gunu gösteriniz. X k= sin (kx) = k 3 X k= cos (kx) 8 Kuvvet serisi ve yak nsakl k yar çap kavramlar n tan mlay n z. 9 f (x) = sin x fonksiyonunun Maclaurin aç l m ndan yararlanarak g (x) = sin ( x 2 ) fonksiyonunu Maclaurin serisine aç n z ve bu aç l m n geçerli oldu¼gu aral ¼g belirtiniz. X 2 k k X ( ) k =? k Her soru puan ve süre 8 dakikad r.

Analiz III Final S nav 4 Oca2 Kompakt ve aç k bir A R kümesi bulunuz. 2 Sürekli ve örten bir f : [; ] (; ) fonksiyonu var m d r? edenleriyle aç klay n z. 3 Ba¼glant s z iki kümenin birleşimi ba¼glant l olabilir mi? edenleriyle aç klay n z. 4 A R olsun. e A ba¼glant l ise A ba¼glant l olmak zorunda m d r? edenleriyle aç klay n z. 5 ; x 2 Q f : [; ] R; f (x) = ; x =2 Q fonksiyonuna düzgün olarak yak nsayan sürekli fonksiyonlar n bir dizisi var m d r? edenleriyle aç klay n z. 6 Her x 2 R için oldu¼gunu gösteriniz. P 7 Bir a k (x f n : [; ] R; n = ; 2; ::: X k= cos (kx) = k 3 X k= sin (kx) x ) k kuvvet serisi hangi aral klar üzerinde düzgün yak nsakt r? 8 Taylor teoreminin ifadesini yaz n z. 9 f (x) = log ( x) fonksiyonunun Maclaurin aç l m ndan yararlanarak g (x) = log ( + x 2 ) fonksiyonunu Maclaurin serisine aç n z ve bu aç l m n geçerli oldu¼gu aral ¼g belirtiniz. X ( ) k 2k+ 2 2k+ (2k + ) =? Her soru puan ve süre 8 dakikad r.

Analiz III Final S nav 4 Oca2 Ba¼glant s z ve aç k bir A R kümesi bulunuz. 2 A = f(x; y) 2 R 2 : x 2 + y 2 = g olsun. Sürekli her f : A R fonksiyonu düzgün sürekli midir? edenleriyle aç klay n z. 3 Kompakt olmayan iki kümenin arakesiti kompakt olabilir mi? edenleriyle aç klay n z. 4 Ara de¼ger teoreminin ifadesini yaz n z. 5 A = f(x; y) 2 R 2 : x g [ f(x; y) 2 R 2 : < x < 3g kümesini ay ran iki aç k küme bulunuz. 6 ; x 2 Q f : [; ] R; f (x) = ; x =2 Q fonksiyonuna düzgün olarak yak nsayan türevlenebilir fonksiyonlar n bir dizisi var m d r? edenleriyle aç klay n z. 7 =2 Z oldu¼gunu ispatlay n z. P 8 Bir a k (x X k= f n : [; ] R; n = ; 2; ::: sin (kx 2 ) dx = X Z @ k= =2 sin kx 2 dxa x ) k kuvvet serisi hangi noktalarda kesinlikle raksakt r. 9 f (x) = cos x fonksiyonunun Maclaurin aç l m ndan yararlanarak g (x) = cos ( x 2 ) fonksiyonunu Maclaurin serisine aç n z ve bu aç l m n geçerli oldu¼gu aral ¼g belirtiniz. X k X ( ) k =? k Her soru puan ve süre 8 dakikad r.

Analiz III Final S nav 4 Oca2 Ba¼glant s z ve kapal bir A R kümesi bulunuz. 2 A = f(x; y) 2 R 2 : x 2 + y 2 = g olsun. Sürekli her f : A R fonksiyonu s n rl m d r? edenleriyle aç klay n z. 3 Ba¼glant l her küme yol ba¼glant l m d r? edenleriyle aç klay n z. 4 Maximum-Minimum teoreminin ifadesini yaz n z. 5 A = f(x; y) 2 R 2 : < y g [ f(x; y) 2 R 2 : y 2g kümesini ay ran iki aç k küme bulunuz. 6 f : [; ] R; f (x) = ; x = ; x < fonksiyonuna düzgün olarak yak nsayan sürekli fonksiyonlar n bir dizisi var m d r? edenleriyle aç klay n z. 7 =2 Z oldu¼gunu ispatlay n z. P 8 Bir a k (x X k= f n : [; ] R; n = ; 2; ::: cos (kx 2 ) dx = X Z @ k= =2 cos kx 2 dxa x ) k kuvvet serisi hangi noktalarda kesinlikle yak nsakt r. 9 f (x) = arctan x fonksiyonunun Maclaurin aç l m ndan yararlanarak g (x) = arctan ( x 2 ) fonksiyonunu Maclaurin serisine aç n z ve bu aç l m n geçerli oldu¼gu aral ¼g belirtiniz. X ( ) + (2k + ) X ( ) =? (2k) Her soru puan ve süre 8 dakikad r.