GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER İÇİN SABİT NOKTA YAKLAŞIM METOTLARI VE VARYASYONEL EŞİTSİZLİK PROBLEMLERİ İbrahim KARAHAN Doktora Tezi Matematik Anabilim

GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER İÇİN SABİT NOKTA YAKLAŞIM METOTLARI VE VARYASYONEL EŞİTSİZLİK PROBLEMLERİ İbrahim KARAHAN Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı Prof. Dr. Murat ÖZDEMİR 2015 Her hakkı saklıdır

ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER İÇİN SABİT NOKTA YAKLAŞIM METOTLARI VE VARYASYONEL EŞİTSİZLİK PROBLEMLERİ İbrahim KARAHAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANALİZ ve FONKSİYONLAR TEORİSİ BİLİM DALI ERZURUM 2015 Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER İÇİN SABİT NOKTA YAKLAŞIM METOTLARI VE VARYASYONEL EŞİTSİZLİK PROBLEMLERİ İbrahim KARAHAN Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Murat ÖZDEMİR Bu tezde sabit nokta problemleri ile varyasyonel eşitsizlik problemlerinin ortak çözümünü bulmak için yeni iterasyon metotları teşkil edilmiştir. Bu iterasyon metotlarının Banach ve Hilbert uzaylarında uygun şartlar altında zayıf ve kuvvetli yakınsamaları incelenmiştir. Ayrıca keyfi bir aralıkta tanımlı sürekli fonksiyonlar için Picard-Mann hybrid iterasyonunun dönüşümün sabit noktasına kuvvetli yakınsaklığı ispatlanmış ve bu iterasyonun diğer iterasyonlarla yakınsama hızı karşılaştırılmıştır. Sonuç olarak sürekli fonksiyonlar için Picard-Mann hybrid iterasyonunun, diğer iterasyonlardan daha hızlı olduğu gösterilmiştir. 2015, 93 sayfa Anahtar Kelimeler: Sabit nokta, varyasyonel eşitsizlik, metrik izdüşüm, zayıf ve güçlü yakınsama, yakınsama hızı. i

ABSTRACT Ph. D. Thesis FIXED POINT APPROXIMATION METHODS AND VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEMS FOR NONEXPANSIVE MAPPINGS Ibrahim KARAHAN Ataturk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Discipline of Analysis and Functional Theory Supervisor: Prof. Dr. Murat OZDEMIR In this thesis, new iterative methods are introduced to find the common solutions of fixed point problems and variational inequality problems. Under the suitable conditions, the weak and strong convergence of proposed iteration methods are studied in Banach and Hilbert spaces. Also, it is proved that Picard-Mann hybrid iteration for continuous functions on an arbitrary interval converges strongly to a fixed point of the mapping and it is compared that the rate of convergence of this iteration with the other iterations. Consequently, it is showed that the Picard-Mann hybrid iteration for the continuous functions converges faster than the other iterations. 2015, 93 pages Keywords: Fixed point, variational inequality, metric projection, weak and strong convergence, rate of convergence. ii

TEŞEKKÜR Doktora tezi olarak sunduğum bu çalışma, Atatürk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü nde hazırlanmıştır. Bu çalışmada bana her türlü kolaylığı sağlayan, bilgi ve tecrübeleriyle beni destekleyen çok değerli hocam Sayın Prof. Dr. Murat ÖZDEMİR e en içten dileklerimle teşekkür eder saygılarımı sunarım. Tezin hazırlanması sürecinde değerli fikirlerinden yararlandığım Tez İzleme Komitesine, çalışmalarım esnasında kendilerinden görmüş olduğum destekten dolayı Erzurum Teknik Üniversitesi Fen Fakültesi Dekanlığına ve Matematik Bölümü Öğretim Üyelerine teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca aileme ve arkadaşlarıma teşekkür ederim. Doktora eğitimim boyunca Yurt İçi Doktora Burs Programı ile tarafıma vermiş olduğu destekten dolayı TÜBİTAK a teşekkür etmeyi bir borç bilirim. İbrahim KARAHAN Ocak 2015 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... v ÇİZELGELER DİZİNİ... vi 1. GİRİŞ... 1 2. KURAMSAL TEMELLER... 4 2.1. Sabit nokta kavramı ve bazı dönüşüm sınıfları... 4 2.2. Bazı sabit nokta teoremleri... 9 2.3. Metrik izdüşüm operatörü... 19 2.4. Varyasyonel eşitsizlik problemi... 23 3. MATERYAL ve YÖNTEM... 34 3.1. İterasyon yöntemleri... 34 3.2. Bazı önemli tanımlar ve lemmalar... 40 3.3. Varyasyonel eşitsizlik ve sabit nokta problemleriyle ilgili yapılan çalışmalar.. 46 4. ARAŞTIRMA ULGULARI... 49 4.1. Yeni 3-adım iterasyon şeması... 49 4.2. Varyasyonel eşitsizlik ve sabit nokta problemleri için zayıf yakınsama teoremleri... 58 4.3. Varyasyonel eşitsizlik ve sabit nokta problemleri için kuvvetli yakınsama teoremleri. 65 4.4. Sürekli fonksiyonlar için yakınsama teoremleri... 71 5. TARTIŞMA ve SONUÇLAR... 86 KAYNAKLAR... 90 ÖZGEÇMİŞ... 94 iv

SİMGELER DİZİNİ Sıfıra yakınsayan dizilerin uzayı Normalleştirilmiş eşlenik dönüşüm kuvveti toplanabilir dizilerin kümesi Serisi mutlak yakınsak dizilerin uzayı Sınırlı dizilerin uzayı dönüşümünün sabit noktalarının kümesi ve dönüşümlerinin ortak sabit noktalarının kümesi uzayının normlu duali uzayının konveksliğinin modülü uzayındaki kapalı birim yuvar uzayındaki birim küre yüzeyi Metrik izdüşüm operatörü nin gradyen operatörü kümesinin sınırı kümesinin içi kümesinde tanımlı normal koni Varyasyonel eşitsizlik Varyasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi v

ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 4.1. Bazı iterasyonların yakınsama hızlarının karşılaştırılması... 54 Çizelge 4.2. MannII ve PMH iterasyonların yakınsama hızlarının karşılaştırılması... 82 Çizelge 4.3. PMH iterasyonunun kontrol dizilerine bağlı yakınsama hızı... 85 vi

1 1. GİRİŞ Matematikte denklemler söz konusu olduğunda denklemin bir çözüme sahip olup olmadığını bilmek önemlidir. Çözümün varlığını garanti eden teoremler genellikle sabit nokta ilkeleri formunda ifade edilen teoremlerdir. Sabit noktanın varlığı veya yokluğu bir dönüşümün temel özelliklerindendir. Sabit nokta teorisi diferansiyel denklemler, topoloji ve fonksiyonel analiz gibi matematiğin temel alanlarında doğrudan kullanılmasının yanı sıra ekonomi, oyun teorisi, dinamik ve optik kontrol gibi birçok alana uygulanması dolayısıyla da büyük bir öneme sahiptir. Bu önem sabit noktanın bulunması için doğru ve etkili tekniklerin gelişimiyle daha da artmaktadır. Sabit nokta teorisinin gelişmesine büyük katkı sağlayan ünlü matematikçilerin başında L. E. J. Brouwer, S. Banach ve J. Schauder bulunmaktadır. Bu teorideki temel teoremlerden birincisi, analizde sıkça kullanılan ve Banach Daralma Prensibi olarak bilinen 1922 yılında S. Banach tarafından verilen teoremdir. Bu teorem, bir tam metrik uzaydan kendi üzerine tanımlı daraltan dönüşümlerin bir tek sabit noktaya sahip olduklarını ifade eder. Bir diğer teorem de Alman matematikçi Brouwer (1881-1966) in 1910 yılında ispatladığı nin kapalı birim yuvarından kendi üzerine tanımlı sürekli dönüşümlerin bir sabit noktaya sahip olduklarını ifade eden teoremdir. Bu teoremin ispatında kullanılan altyapı 1886 yılında ünlü Fransız matematikçi Henri Poincare (1854-1912) tarafından verilmiştir. 1930 yılında J. Schauder, Brouwer sabit nokta teoremini kompakt operatörler için sonsuz boyutlu uzaylara genelleştirmiştir. Kompakt operatörlerin önemi, deki sürekli operatörlerle ilgili birçok sonucun süreklilik ile kompaktlık yer değiştirildiğinde Banach uzaylarına taşınıyor olmasından kaynaklanmaktadır. Bununla birlikte kompakt olmayan operatörlerle ilgili bazı önemli problemler de mevcuttur. Kompakt olmayan operatörlerle ilgili Schauder teoreminin genelleştirilmesi için ilk adım 1955 de G. Darbo tarafından atılmıştır. G. Darbo nun ardından F. E. Browder, Ky

2 Fan, M. Furi, R. D. Nussbaum, Z. Opial, W. V. Petryshyn ve A. Vignoli, Schauder sabit nokta teoreminin çeşitli genelleştirmelerini vermişlerdir. Sabit noktaları bulmak için kullanılan iterasyon metotları, modern nümerik analiz için de büyük bir öneme sahiptir. Diferansiyel denklemlerin varlık teoremlerini ardışık yaklaşımlar metodu ile çözen ilk matematikçi Augustine Louis Cauchy (1789-1857) dir. Sabit nokta iterasyonlarının temeli de diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlık ve tekliğini ispat etmede kullanılan ardışık yaklaşımlar metoduna dayanır. Ardışık yaklaşım metodunu geliştiren ilk matematikçi Picard olmuştur. Liouville, Lipschitz ve Peano, bu metotla ilgilenen 19. yüzyılın ünlü matematikçileridir. Son 40 yılda gerek metrik uzaylarda gerekse Banach ve Hilbert uzaylarında sabit nokta iterasyon yaklaşımlarıyla ilgili çok sayıda teorem ispatlanmıştır. Kesin daraltan dönüşümler için sabit noktanın bulunmasında Picard iterasyonu kullanılırken daha zayıf daraltan tipteki dönüşümler için farklı sabit nokta iterasyonlarına ihtiyaç duyulmuştur. Krasnoselskij, Mann, Ishikawa ve S iterasyonları en çok kullanılan iterasyonlardır. Özellikle son yıllarda Banach ve Hilbert uzaylarında varyasyonel eşitsizliklerin yanı sıra lineer olmayan operatör denklemleri çözmek ve konveks dönüşümlerin minimizerini bulmak için yukarıdaki iterasyonları da ihtiva eden birçok iterasyon metodu geliştirilmiştir. Varyasyonel eşitsizlik problemleri ilk olarak Lions and Stampachhia (1967) tarafından verilmiş ve daha sonra Kinderlehrer, Zeidler, Iiduka ve Takahashi gibi birçok araştırmacı tarafından çalışılmıştır. Bu problem ise optimizasyon problemi, sabit nokta problemi, denge problemi, tamamlayıcı problem ve denklem sistemlerinin çözümleri ile bağlantılıdır. Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Literatür bilgisinin verildiği giriş bölümünden sonra ikinci bölümde, çalışmamızda kullandığımız temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde çeşitli sabit nokta iterasyonları tanıtılmış ve varyasyonel

3 eşitsizlik ile sabit nokta problemlerinin ortak çözümleriyle ilgili çalışmalara yer verilmiştir. Bu tezin orijinal kısmını oluşturan dördüncü bölümde öncelikle üç adımdan oluşan yeni bir iterasyon verilmiş ve bu iterasyonun hızı ve yakınsaması çalışılmıştır. Daha sonra Hilbert uzaylarında Picard-Mann hybrid iterasyonunun uygun şartlar altında zayıf ve kuvvetli yakınsaması çalışılmıştır. Son olarak keyfi bir aralıkta tanımlı sürekli fonksiyonlar için Picard-Mann hybrid iterasyonunun yakınsaklığı ispatlanmış ve bu iterasyonun yakınsama hızı ile diğer iterasyonların yakınsama hızları karşılaştırılmıştır. Beşinci bölümde çalışmamızda elde ettiğimiz sonuçlar değerlendirilmiştir.

4 2. KURAMSAL TEMELLER 2.1. Sabit Nokta Kavramı ve Bazı Dönüşüm Sınıfları Bu bölümde sabit nokta kavramı ve bazı özel dönüşüm sınıfları verilecektir. Tanım 2.1.1 (Sabit Nokta): boş olmayan bir küme ve herhangi bir dönüşüm olsun. Eğer olacak şekilde bir varsa, bu noktasına nin sabit noktası denir (Agarwal et al. 2007). O halde denkleminin çözümleri nin sabit noktalarıdır. nin sabit noktalarının kümesi veya ile gösterilir. Yani, { } dir. Aşağıda bazı dönüşümlerin sabit noktalarıyla ilgili örnekler verilmiştir. 1) olmak üzere özdeş dönüşümü için in her bir noktası bir sabit noktadır. 2) ] olmak üzere, dönüşümü için { } dür. 3) olmak üzere, dönüşümünün sabit noktalarının kümesi { } dir. 4) ve olmak üzere herhangi bir dönüşümünün sabit noktası yoktur. 5) ] ], dönüşümünün sabit noktası yoktur. Bu dönüşüm için tek sabit nokta olabilirdi. Fakat ] dir.

5 boş kümeden farklı bir küme ve bir dönüşüm olsun. Herhangi bir için in altındaki iterasyonu ile gösterilir ve olarak tanımlanır. bir dönüşüm olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler yazılabilir. 1) Keyfi bir için dir. 2) Keyfi bir için { } ise, { } dir. Ancak bunun tersi genelde doğru değildir. Örneğin, { } { } dönüşümü olarak tanımlanırsa, { } olduğu halde { } dir. boş kümeden farklı bir küme ve herhangi iki dönüşüm olsun. Eğer olacak şekilde bir varsa, bu noktasına ve nin ortak sabit noktası denir. Bu dönüşümlerin ortak sabit noktalarının kümesi ile gösterilir. Aşağıda birden fazla dönüşümün ortak sabit noktalarıyla ilgili örnekler verilmiştir. Örnek 2.1.2: olmak üzere, ve dönüşümlerinin ortak sabit noktalarının kümesi { } dir. Örnek 2.1.3: olmak üzere, ve dönüşümlerinin ortak sabit noktalarının kümesi { } dir. Tanım 2.1.4: bir metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. a) Her için (2.1)

6 olacak şekilde bir sabit sayısı varsa ye Lipschitzian dönüşüm denir. (2.1) eşitsizliğine Lipschitz şartı ve bu şartı sağlayan en küçük sayısına da Lipschitz sabiti denir. b) Eğer (2.1) eşitsizliği olması halinde sağlanıyorsa ye daraltan dönüşüm veya büzülme dönüşümü (contraction) denir. c) Her ve için ise ye kesin daraltan dönüşüm (contractive) denir. d) Her için ise ye genişlemeyen dönüşüm (nonexpansive) denir (Agarwal et al. 2009). Lipschitz koşulunu sağlayan her dönüşüm düzgün sürekli olduğundan yukarıdaki dönüşüm sınıfları da düzgün süreklidir. Dolayısıyla eğer sürekli değilse, daraltan ve genişlemeyen dönüşüm de olamaz. Herhangi bir Banach uzayında tanımlı genişlemeyen dönüşümlerin sabit noktalarının mevcut olması gerekmez. Bunun için ya uzay üzerine ya da dönüşüm üzerine bazı ek koşullar konulması gereklidir. 1965 yılında Browder, Godhe ve Kirk daha sonra bahsedeceğimiz düzgün konveks bir Banach uzayının kapalı, sınırlı ve konveks alt kümesi üzerinde tanımlı genişlemeyen bir dönüşümün sabit noktaya sahip olduğunu ispatlamıştır. Tanım 2.1.5: bir Hilbert uzayı, bu uzayda tanım ve görüntü kümelerine sahip lineer olmayan bir dönüşüm olsun. a) Her için

7 eşitsizliği sağlanıyorsa ye monoton dönüşüm denir. b) Her için eşitsizliği sağlanıyorsa ye kesin monoton dönüşüm denir. c) Her için olacak şekilde sabiti varsa ye η-kuvvetli monoton dönüşüm denir. d) Her için olacak şekilde sabiti varsa ye -ters kuvvetli monoton dönüşüm denir. e) Bir monoton dönüşümün grafiği başka bir monoton dönüşümün grafiği tarafından içerilmiyorsa ye maksimal monoton dönüşüm denir (Zeidler 1986). Yukarıdaki tanımdan her -ters kuvvetli monoton dönüşümün monoton ve - Lipschitzian dönüşüm olduğu açıktır. Gerçekten ters kuvvetli monoton dönüşümün tanımından olduğundan dir.

8 Örnek 2.1.6: ve [ ] olmak üzere dönüşümü olarak tanımlanırsa ( ) dır. Bu halde dönüşümü monotondur. olarak tanımlanırsa olduğundan her için yazılabilir. Dolayısıyla dönüşümü -kuvvetli monotondur. olarak tanımlanırsa bu dönüşüm -ters kuvvetli monotondur. Gerçekten eşitsizliği için sağlanır. Tanım 2.1.7: bir lineer uzay ve bir dönüşüm olsun. a) Her ve [ ] için eşitsizliği sağlanıyorsa ye konveks dönüşüm denir. b) Her, ve için eşitsizliği sağlanıyorsa ye kesin konveks dönüşüm denir. c) Her ve [ ] için

9 eşitsizliği sağlanacak şekilde bir sayısı varsa ye kuvvetli konveks dönüşüm denir (Cegielski 2012). 2.2. Bazı Sabit Nokta Teoremleri Daraltan, kesin daraltan, genişlemeyen ve Lipschitzian dönüşümlerin bazılarının sabit noktası olmadığı halde bazılarının bir veya birden fazla sabit noktası olabilir. Bu bölümde hangi dönüşüm sınıflarının sabit noktalarının var ve bu sabit noktaların hangi koşullar altında tek olduğunu teorem ve örneklerle ifade edeceğiz. Aşağıdaki teorem analizdeki en basit sabit nokta teoremi olarak bilinir. Teorem 2.2.1: [ ], de kapalı bir aralık ve [ ] [ ] sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda olacak şekilde en az bir [ ] sayısı vardır. Teorem 2.2.2 (Brouwer Sabit Nokta Teoremi): { }, de kapalı bir küre (dolayısıyla nin bir kompakt konveks alt kümesi) olsun. Bu durumda sürekli dönüşümü en az bir sabit noktaya sahiptir (Brouwer 1912). Brouwer ın bu teoremi herhangi bir sonsuz boyutlu Banach uzayında geçerli değildir. Bu durumu bir örnekle gösterelim. Örnek 2.2.3:, { } Banach uzayında kapalı birim yuvar olmak üzere dönüşümünü alalım. Her için

10 olduğundan süreklidir. Ancak denkleminin da bir çözümü yoktur. Teorem 2.2.4 (Schauder Sabit Nokta Teoremi): bir Banach uzayı, boş kümeden farklı kompakt konveks bir alt küme ve sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda en az bir sabit noktaya sahiptir (Schauder 1930). Aşağıdaki örnek ile tam metrik uzay üzerinde tanımlanan genişlemeyen bir dönüşümün sabit noktaya sahip olması gerekmediği gösterilmiştir. Örnek 2.2.5: Banach uzayında her için şeklinde tanımlanan dönüşümünü alalım. genişlemeyen bir dönüşümdür ve, nin bir sabit noktasıdır. Fakat dır. Yani genişlemeyen dönüşümü, uzayında bir sabit noktaya sahip değildir. Teorem 2.2.6 (Banach Daralma İlkesi): tam metrik uzay ve daraltan bir dönüşüm olsun. Bu durumda bir tek sabit noktaya sahiptir (Banach 1922). İspat: dönüşümü daraltan olduğundan her için olacak şekilde bir reel sayısı vardır. de keyfi bir nokta ve olsun. Bu durumda

11 dır. Eğer ise olur. olduğundan dır. Buradan { } dizisi de bir Cauchy dizisidir. tam olduğundan olacak şekilde de bir noktası vardır. Bu noktası nin sabit noktasıdır. Çünkü ( ) dir. Ayrıca noktası tekdir. Gerçekten eğer başka bir sabit nokta ise yazılabilir. olup buradan yani dir. Örnek 2.2.7: [ ], ve bir dönüşüm olsun. Eğer, [ ] kapalı aralığında sürekli, açık aralığında türevlenebilir bir dönüşüm ve her için şartı sağlanıyorsa nin de bir tek sabit noktası vardır. Gerçekten Ortalama Değer Teoreminden her [ ] için olmak üzere olur. Böylece Banach Daralma İlkesi gereği nin bir tek sabit noktası vardır.

12 Teorem 2.2.8: tam metrik uzayı ve için daraltan dönüşüm olacak şekilde bir dönüşümü verilsin. Bu durumda bir tek sabit noktaya sahiptir (Khamsi and Kirk 2001). Teorem 2.2.9: kompakt bir metrik uzay ve kesin daraltan bir dönüşüm olsun. Bu durumda bir tek sabit noktasına sahiptir. Üstelik her için dir (Khamsi and Kirk 2001). Şimdi bazı özel Banach uzaylarını tanıtacağız. Tanım 2.2.10 (Kesin Konveks Uzay): bir Banach uzay olsun. Eğer olmak üzere her { } ve her için şartı sağlanıyorsa uzayına kesin konveks (strictly convex) denir (Clarcson 1936). Bu tanım, deki birim küre yüzeyine ait birbirinden farklı ve noktalarının orta noktasının de olmadığını gösterir. Bir başka deyişle eğer ve ise dir. Örnek 2.2.11:, ve normu verilsin. Bu durumda kesin konvekstir. Örnek 2.2.12:, ve normu verilsin. Bu durumda kesin konveks değildir. Gerçekten ve olarak seçilirse olduğu halde dir.

13 Tanım 2.2.13: bir Banach uzay ve uzayının duali olsun. Bu durumda { } şeklinde tanımlanan çok değerli dönüşümüne normalleştirilmiş eşlenik dönüşüm (normalized duality mapping) denir (Agarwal et al. 2007). Örnek 2.2.14: Bir reel Hilbert uzayındaki normalleştirilmiş eşlenik dönüşüm, özdeş dönüşümdür. Bunu göstermek için olacak şekilde bir alalım. ve olması olmasını gerektirir. olduğunu kabul edelim. nin tanımından olduğunu biliyoruz. olduğundan elde edilir. O halde { } dir. Önerme 2.2.15: bir Banach uzay olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir. a) kesin konvekstir. b) Sıfırdan farklı her için ve olacak şekilde in en fazla bir elemanı vardır (Agarwal et al. 2009). Bir normlu uzayının kesin konveksliği, olmak üzere noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının birim küre yüzeyinde olmadığını ifade eder. Yani dir. Böyle uzaylarda birim küre yüzeyi ile orta noktası arasındaki uzaklık yani hakkında bilgiye sahip değiliz. uzunluğu hakkında daha fazla fikir sahibi olmak için kesin konvekslikten daha güçlü bir özellik olan düzgün konveksliğe ihtiyaç vardır.

14 Tanım 2.2.16 (Düzgün Konveks Uzay): bir Banach uzayı olsun. Her ve ve şartlarını sağlayan her için olacak şekilde sayısı varsa e düzgün konveks uzay denir (Clarcson 1936). Bu tanım, ve için orta noktasının den bir uzaklığında ve kapalı birim yuvar içinde olduğunu ifade eder. Örnek 2.2.17: Her Hilbert uzayı düzgün konvekstir. Gerçekten her için paralel kenar kuralından dir. olmak üzere ve olduğunu kabul edelim. Böylece olur. Eğer seçilirse elde edilir. O halde düzgün konveks bir uzaydır. Örnek 2.2.18: { } ve { } uzayları sırasıyla ve { } normlarına göre düzgün konveks uzay değildir. Bunu göstermek için olmak üzere alalım. Bu durumda normuna göre

15 olur. Ancak olduğundan olacak şekilde bir sayısı yoktur. Dolayısıyla uzayı düzgün konveks değildir. Benzer olarak, ve olarak alalım. Böylece { } normuna göre elde edilir. olduğundan uzayı düzgün konveks değildir. Agarwal et al. (2007) düzgün konveks bir Banach uzayının boş kümeden farklı, kapalı, konveks ve sınırlı alt kümesi üzerinde tanımlı genişlemeyen dönüşümlerin bir sabit noktaya sahip olduklarını göstermiştir. Aşağıdaki teorem kesin konveks ve düzgün konveks uzaylar arasındaki bağıntıyı göstermektedir. Teorem 2.2.19: Her düzgün konveks Banach uzayı, kesin konveks uzaydır (Agarwal et al. 2009). Örnek 2.2.20: olmak üzere her { } için normu ( ( ) ) şeklinde tanımlansın. Bu durumda uzayı için kesin konveks fakat düzgün konveks değildir. Eğer olmaz. uzayı alışılmış norm ile verilirse kesin konveks uzay Teorem 2.2.21: bir Banach uzayı olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir. a) düzgün konvekstir. b) deki { } { } dizileri için

16 (2.2) dır (Agarwal et al. 2009). İspat: in düzgün konveks olduğunu kabul edelim ve de olacak şekilde { } ve { } dizilerini alalım. Ayrıca olsun. Uygun bir için olacak şekilde { } nin { } alt dizisi vardır. düzgün konveks olduğundan ( ) (2.3) olacak şekilde bir sayısı vardır. ve ifadesinden ( ) çelişkisi elde edilir. için ifadesinin sağlandığını kabul edelim. Eğer düzgün konveks değilse olacak şekilde sayısı yoktur. Dolayısıyla, ve olacak şekilde de { } { } dizilerini bulabiliriz. Açıkça ifadesi hipotez ile çelişir. Çünkü olduğundan dir. O halde düzgün konveksdir. Tanım 2.2.22: bir Banach uzay olsun. [ ] [ ] { }

17 şeklinde tanımlanan fonksiyonuna in konvekslik modülü denir (Opial 1967). Yukarıdaki tanımdan ve her için olduğunu görmek kolaydır. Örnek 2.2.23: Bir Hilbert uzayının konvekslik modülü ] dir. Önerme 2.2.24: { } uzayında olmak üzere her için (2.4) dir (Agarwal et al. 2009). Şimdi uzayı için konvekslik modülünü vereceğiz. Örnek 2.2.25: için ( ( ) ) dir. Bunu göstermek için ve şartlarını sağlayan alalım. (2.4) ifadesinden elde edilir. Buradan

18 ( ( ) ) [ ( ( ) ) ] olur. Burada ( ( ) ) dir. Banach uzaylarında konvekslik modülünün bazı önemli özellikleri aşağıda verilmiştir. Teorem 2.2.26: bir Banach uzayı olsun. a) uzayının kesin konveks olması için gerek ve yeter şart olmasıdır. b) uzayının düzgün konveks olması için gerek ve yeter şart her ] için olmasıdır (Agarwal et al. 2009). Teorem 2.2.27: Her düzgün konveks Banach uzayı yansımalıdır (Agarwal et al. 2009). Tanım 2.2.28: bir normlu uzay olmak üzere her için limiti varsa noktasında in normu Gâteaux diferensiyellenebilirdir denir. Yukarıdaki limit ifadesiyle de gösterilebilir. Burada, normunun noktasındaki gradyeni olarak adlandırılır. in normu, in tüm noktalarında Gâteaux diferensiyellenebilirse bu durumda in normu Gâteaux diferensiyellenebilirdir denir (Agarwal et al. 2009). Örnek 2.2.29: bir Hilbert uzay olmak üzere nın normu Gâteaux diferensiyellenebilirdir. Gerçekten herhangi için ile

19 dir. O halde nın normu Gâteaux diferensiyellenebilirdir. Tanım 2.2.30: bir Banach uzayı olsun. olmak üzere her bir için limiti den bağımsız olarak mevcut ise in normu Fréchet diferensiyellenebilirdir denir. Eğer bu limit her için ve den bağımsız olarak mevcutsa bu durumda in normu düzgün Fréchet diferensiyellenebilirdir denir (Agarwal et al. 2009). Düzgün konvekslik, normun düzgün Fréchet diferensiyellenebilirliği ile karakterize edilebilir. Teorem 2.2.31: bir Banach uzayı olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir. a) düzgün Fréchet diferensiyellenebilir norma sahiptir. b) düzgün konvekstir (Agarwal et al. 2009). 2.3. Metrik İzdüşüm Operatörü Bu bölümde, metrik izdüşümün Hilbert uzayındaki tanımı ve bazı temel özellikleri verilecektir. Tanım 2.3.1:, Hilbert uzayının boş kümeden farklı bir alt kümesi ve olsun. Eğer her için

20 olacak şekilde bir noktası varsa ye in üzerine metrik izdüşümü denir ve ile gösterilir. vektörüne de in üzerine izdüşüm vektörü adı verilir. Eğer her için mevcut ve tek olarak tanımlıysa bu durumda operatörüne ( üzerine) metrik izdüşüm denir (Cegielski 2012). Metrik izdüşümün tanımından her için dir. Eğer ve metrik izdüşümü mevcutsa bu durumda dir. Gerçekten eğer ise olacak şekilde yarıçaplı bir açık yuvar vardır. Bu durumda noktasını şeklinde tanımlanırsa olacağından ve ( ) olur ki bu eşitsizlik metrik izdüşümünün tanımı ile çelişir. Dolayısıyla dir. Tanım 2.3.1, herhangi bir alt kümesi ve noktası için metrik izdüşümünün varlık ve tekliğini garanti etmez. kümesinin kompakt olması durumunda metrik izdüşümünün varlığı Weierstrass Teoremi nden elde edilir. Üstelik burada birden fazla değer de alabilir. Örneğin, [ ] aralığının orta noktası olan nin { } kümesi üzerine metrik izdüşümleri noktalarıdır. Dolayısıyla herhangi bir noktası için tanımlanan metrik izdüşümünün tekliği için nin konveks olduğu kabul edilmelidir. Üstelik metrik izdüşümünün tanımından ve normun sürekliliğinden in mevcut olması durumunda nin kapanışına ait olduğu açıktır. Yani ise dir. Bu nedenle herhangi bir noktası için tanımlanan metrik izdüşümünün varlığı için nin kapalı olması gerektiği görülür. Bir Hilbert uzayında nin kapalılığı ve konveksliği her için metrik izdüşümünün varlık ve tekliği için yeterlidir. Böylece metrik izdüşümünün varlık ve tekliği ile ilgili aşağıdaki teoremi verebiliriz.

21 Teorem 2.3.2:, Hilbert uzayının kapalı ve konveks bir alt kümesi olsun. Bu durumda her için metrik izdüşümü var ve tektir (Cegielski 2012). İç çarpım uzaylarında bu durum aşağıdaki minimum vektör teoremi ile ifade edilir. Teorem 2.3.3: bir iç çarpım uzayı ve, in tam ve konveks bir alt kümesi olsun. Bu durumda keyfi fakat sabit olmak üzere { } olacak şekilde bir tek vardır (Bayraktar 1994). Sonuç 2.3.4: bir iç çarpım uzayı ve, in tam ve konveks alt kümesi olsun. Bu durumda, normu minimum olan bir vektör içerir (Bayraktar 1994). Bu teoremden sonra akla ilk olarak teoremin tersinin geçerli olup olmadığı sorusu gelir. Öklid uzaylar için cevap olumludur ve Motzkin Teoremi olarak bilinir. Ancak genel Hilbert uzaylar için bu durum açık bir problemdir. Aşağıdaki teorem bir nin noktasının konveks kümesi üzerine metrik izdüşümü olabilmesi için gerekli olan bir kriter sunmaktadır. Teorem 2.3.5 (Karakterizasyon Teoremi):, Hilbert uzayının kapalı ve konveks bir alt kümesi, ve olsun. Bu durumda her için aşağıdakiler denktir. a) dir. b) dir (Cegielski 2012). İspat:, ve olmak üzere

22 olarak tanımlansın. konveks olduğundan olduğu açıktır. (a) şıkkı ve iç çarpımın özelliklerinden yazılabilir. olduğu göz önüne alınırsa, yukarıdaki eşitsizlikten bulunur. Buradan için (b) elde edilir. İç çarpımın özelliklerinden ve (b) şıkkından herhangi için elde edilir. Bu son eşitsizlik, metrik izdüşümü tanımından (a) şıkkını verir. Teorem 2.3.5 in (b) şıkkı, ve nin sıfırdan farklı vektörler olması durumunda aralarındaki açının den büyük olduğunu ifade eder. Lemma 2.3.6: bir Hilbert uzay ve olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir. a) dir. b) dir. c) dir. d) dir. Teorem 2.3.7:, Hilbert uzayının kapalı ve konveks bir alt kümesi, ve olsun. Bu durumda her için aşağıdakiler denktir.

23 a) dir. b) dir (Cegielski 2012). Sonuç 2.3.8:, Hilbert uzayının kapalı ve konveks bir alt kümesi olsun. Bu durumda izdüşümü genişlemeyen bir dönüşümdür. Yani her için dir (Cegielski 2012). İspat: olmak üzere ve olsun. Teorem 2.3.7 den ve her için (2.5) ve için (2.6) yazılabilir. (2.5) eşitsizliğinde, (2.6) eşitsizliğinde de alınır ve çıkan eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa Schwarz eşitsizliğinden yazılır. Buradan elde edilir. O halde metrik izdüşüm, genişlemeyen bir dönüşümdür. 2.4. Varyasyonel Eşitsizlik Problemi Bu başlık altında sabit nokta teorisiyle bağlantılı bazı özel problemleri tanıtacağız. Öncelikle konveks minimizasyon problemini vereceğiz.

24 A) Konveks Minimizasyon Problemi Tanım 2.4.1:, Hilbert uzayının boş kümeden farklı bir alt kümesi ve bir dönüşüm olsun. nin üzerindeki yerel minimum noktalarının bulunmasına minimizasyon problemi denir. Eğer her için ise noktasına dönüşümünün genel minimum noktası ya da (2.7) probleminin optimal çözümü denir ve bu noktaların kümesi gösterilir. değerine de nin üzerindeki minimumu denir. ile (2.7) deki kümesi genellikle { } olmak üzere { } şeklinde verilir. Bu durumda (2.7) problemi, aşağıdaki kısıtlı (yan şartlı) minimizasyon problemine denktir: (2.8) (2.8) problemindeki fonksiyonlarına problemin kısıtları denilir. Eğer ve fonksiyonları konveks ise bu durumda (2.8) problemine konveks minimizasyon problemi, diferensiyellenebilir ise kısıtlı diferensiyellenebilir minimizasyon problemi denir. Bir minimizasyon probleminde problemin kısıtlarını sağlayan tüm noktaların kümesine feasible küme, problemdeki fonksiyonuna ise amaç (objektif) fonksiyonu denir. Teorem 2.4.2:, Hilbert uzayının boş kümeden farklı konveks bir alt kümesi ve konveks bir fonksiyon olsun. Eğer, nin üzerindeki yerel minimum noktası ise aynı zamanda bir genel minimum noktasıdır. Üstelik kesin konveks ise bu

25 durumda minimum nokta tektir. Eğer kapalı ise dir (Cegielski 2012). sürekli, kuvvetli konveks bir dönüşüm ve Örnek 2.4.3: 1) ve ] olmak üzere, fonksiyonu verilsin. Bu durumda fonksiyonu konvekstir. Ancak kapalı olmadığından ] konveks minimizasyon probleminin çözümü yoktur. 2) ve [ ] olmak üzere fonksiyonu verilsin. Bu durumda fonksiyonu konveks olup [ ] konveks minimizasyon probleminin çözüm kümesi [ ] dir. Örnek 2.4.4: de şeklinde verilen problemi ele alalım. Bu problem için feasible küme { }, amaç fonksiyonu ise dir. B) Varyasyonel Eşitsizlik Problemi Tanım 2.4.5:, Öklid uzayının boş kümeden farklı kapalı ve konveks bir alt kümesi ve sürekli bir dönüşüm olsun. Her için (2.9)

26 eşitsizliğini sağlayan elemanlarının bulunmasına, sonlu boyutlu varyasyonel eşitsizlik problemi denir ve sembolüyle gösterilir. Varyasyonel eşitsizlik probleminin çözüm kümesi ise ile gösterilir. Geometrik olarak (2.9) varyasyonel eşitsizliği, ın noktasında kümesine dik olduğunu ifade eder. Örnek 2.4.6: [ ] olmak üzere fonksiyonunu şeklinde tanımlayalım. Bu durumda her [ ] için varyasyonel eşitsizliğinin çözümü noktasıdır. Şimdi varyasyonel eşitsizlik problemlerinin çözümünün varlık ve tekliği ile ilgili bazı teorem ve sonuçları verelim. Teorem 2.4.7 (Kompaktlık ve Süreklilik Altında Varlık): nin kompakt konveks bir alt kümesi ve, üzerinde sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda varyasyonel eşitsizlik probleminin en az bir çözümü vardır (Nagurney 2002). İspat: Brouwer Sabit Nokta Teoremi nden sürekli bir dönüşüm olmak üzere olacak şekilde en az bir vardır. özdeş dönüşüm ve olmak üzere ve sürekli olduğundan de süreklidir. O halde dönüşümünün en az bir sabit noktası vardır. Bir sonraki başlık altında yer alan Teorem 2.4.23 den dönüşümünün sabit noktası varyasyonel eşitsizlik probleminin bir çözümüdür. kümesinin sınırsız olması durumunda Brouwer Sabit Nokta Teoremi uygulanabilir değildir. Dolayısıyla varyasyonel eşitsizlik probleminin çözümünün varlığını gösterebilmek için bazı şartlara ihtiyaç vardır.

27, merkezli yarıçaplı kapalı yuvar olmak üzere olsun. Bu durumda sınırlıdır. Her için eşitsizliğini sağlayan noktasının bulunması problemini ile gösterelim. Teorem 2.4.8: varyasyonel eşitsizlik probleminin bir çözümünün olması için gerek ve yeter şart olacak şekilde bir sayısının ve nin bir çözümünün var olmasıdır (Nagurney 2002). Varyasyonel eşitsizlik probleminin çözümünün varlığı koersivlik şartlarına bağlı olarak da verilebilir. Sonuç 2.4.9: dönüşümünün koersivlik şartını sağladığını kabul edelim. Yani her ve uygun için iken ( ) olsun. Bu durumda nin bir çözümü vardır. Sonuç 2.4.10: noktası nin bir çözümü olsun. Bu durumda dır. Varlık ve tekliğin özellikleri, kesin monotonluk şartı altında kolayca elde edilebilir. Şimdi bununla ilgili sonuçları verelim. Teorem 2.4.11 (Teklik):, üzerinde tanımlı kesin monoton bir operatör olsun. Bu durumda nin bir çözümü varsa tektir (Nagurney 2002).

28 İspat: ve birbirinden farklı iki çözüm olsun. Bu durumda her için ve sırasıyla (2.10) ve (2.11) eşitsizliklerini sağlar. (2.10) ve (2.11) eşitsizliklerinde yerine sırasıyla ve yazılırsa ( ) elde edilir. Fakat bu eşitsizlik kesin monotonluk tanımıyla çelişir. Dolayısıyla dir. Teorem 2.4.12: kuvvetli monoton bir operatör olsun. Bu durumda nin bir tek çözümü vardır (Nagurney 2002). İspat: Varlık ve teklik, sırasıyla kuvvetli monotonluğun koersivliği ve kesin monotonluğu gerektirmesinden çıkar. O halde kümesinin sonsuz olması halinde operatörünün kuvvetli monotonluğu, çözümün varlık ve tekliğini garanti eder. nin kompakt olması halinde nin sürekliliği çözümün varlığı garanti ederken, nin kesin monotonluğu da tekliği garanti etmektedir. Teorem 2.4.13: ve, eşitsizliğini sağlayan sabitler olmak üzere, - kuvvetli monoton ve -Lipschitz sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda her için olmak üzere dir. Yani, -daraltan bir dönüşümdür (Nagurney 2002).

29 Teorem 2.4.13 ve Banach Sabit Nokta Teoremi nden aşağıdaki sonuç verilebilir. Sonuç 2.4.14: dönüşümünün tek sabit noktası vardır (Nagurney 2002). Teorem 2.4.15:, -ters kuvvetli monoton bir dönüşüm ve olsun. Bu durumda her için dir. Yani genişlemeyen bir dönüşümdür (Nagurney 2002). Örnek 2.4.16: [ ] birinci mertebeden sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. [ ] eşitliğini sağlayan [ ] noktalarını araştıralım. Burada üç durum söz konusudur. 1. ise dır. 2. ise dır. 3. ise dır. Bu üç durum her [ ] için şeklinde tek bir eşitsizlikle özetlenebilir. Bu eşitsizliğe denir. de varyasyonel eşitsizlik Örnek 2.4.17:, Öklid uzayının kapalı ve konveks bir alt kümesi üzerinde tanımlı reel değerli bir fonksiyon olsun. Örnek 2.4.16 daki gibi yine

30 eşitliğini sağlayan elemanlarını araştıralım. fonksiyonunu minimum yapan değer ve olsun. konveks olduğundan, nin bir elemanıdır. fonksiyonunu ( ) şeklinde tanımlayalım. fonksiyonu minimum değerini noktasında alır. Dolayısıyla her için olur. Sonuç olarak noktası her için (2.12) şeklindeki varyasyonel eşitsizliği sağlar. Eğer eşitsizliğini sağlayan en az bir noktası mevcuttur. sınırlı ise, (2.12) varyasyonel Matematikte denklem sistemleri, minimizasyon problemleri, tamamlayıcı problemler ve sabit nokta problemleri gibi birçok problem, varyasyonel eşitsizlik problemi şeklinde ifade edilebilir. Varyasyonel eşitsizlik problemiyle bağlantılı olan problemlerden bazıları aşağıda verilmiştir. C) Denklem Sistemleri Piyasa denge koşulları, toplam arz ve talebin eşit olmasını gerektirdiğinden birçok klasik ekonomik denge problemi denklem sistemleri şeklinde formüle edilebilir. Denklem sistemlerinin varyasyonel eşitsizlik problemi şeklindeki formülüzasyonu aşağıdaki gibidir. Önerme 2.4.18:, -boyutlu Öklid uzayı ve bir dönüşüm olsun. Bu durumda bir vektörünün probleminin çözümü olması için gerek ve yeter şart olmasıdır (Nagurney 2002).

31 D) Minimizasyon Problemleri Bir minimizasyon problemi, minimum yapılacak olan özel amaç fonksiyonu ile karakterize edilir. Muhtemel amaç fonksiyonları, kar, fiyat, pazar payı ve portfolyo riski gibi ifadeleri içerir. Genelde bir minimizasyon problemi tek amaç fonksiyonundan oluşur. Hem kısıtlı hem de kısıtsız minimizasyon problemleri, varyasyonel eşitsizlik problemleri şeklinde ifade edilebilir. Aşağıdaki iki önerme minimizasyon problemi ile varyasyonel eşitsizlik problemi arasındaki bağlantıyı göstermektedir. Önerme 2.4.19: kapalı ve konveks bir kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli diferensiyellenebilir reel değerli bir fonksiyon olsun. Eğer, (2.7) minimizasyon probleminin bir çözümü ise aynı zamanda her için (2.12) varyasyonel eşitsizlik probleminin de bir çözümüdür (Nagurney 2002). Önerme 2.4.20: konveks bir fonksiyon ve, varyasyonel eşitsizlik probleminin bir çözümü olsun. Bu durumda, (2.7) minimizasyon probleminin de bir çözümüdür (Nagurney 2002). E) Tamamlayıcı Problemler Varyasyonel eşitsizlik problemleri özel kabuller altında tamamlayıcı problemleri de içerir. Tanım 2.4.21: { } ve bir dönüşüm olsun. üzerinde ve (2.13)

32 şeklindeki bir eşitsizlik ve denklemden oluşan sistemi çözen noktalarının bulunmasına lineer olmayan tamamlayıcı problemi denir. dönüşümünün afin olması durumunda (yani, tipinde bir matris ve, tipinde bir vektör olmak üzere şeklinde ise) (2.13) problemi, lineer tamamlayıcı problemi olarak adlandırılır. Tamamlayıcı problem ile varyasyonel eşitsizlik problemi arasındaki ilişki aşağıdaki şekildedir. Önerme 2.4.22: Çözüm kümeleri boş kümeden farklı olmak üzere ve (2.13) problemlerinin çözüm kümeleri birbirine eşittir (Nagurney 2002). F) Sabit Nokta Problemleri Sabit nokta teorisi, ekonomik denge problemlerinin çözümlerini formüle etmek, analiz etmek ve hesaplamak için de kullanılmaktadır. Varyasyonel eşitsizlik ve sabit nokta problemleri arasındaki bağıntı izdüşüm operatörleri kullanılarak aşağıdaki şekilde verilir. Teorem 2.4.23:, kapalı ve konveks bir küme olsun. Bu durumda nin varyasyonel eşitsizlik probleminin bir çözümü olması için gerek ve yeter şart herhangi bir için ın dönüşümünün sabit noktası olması yani olmasıdır (Nagurney 2002). İspat:, varyasyonel eşitsizliğin bir çözümü olsun. Bu durumda her için yazılabilir. Bu eşitsizlik önce ile çarpılır ve her iki tarafa eklenirse

33 [ ] eşitsizliği elde edilir. Böylece Teorem 2.3.7 den elde edilir. Tersine için olduğu kabul edilirse her için [ ] ve buradan her için elde edilir.

34 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.1. İterasyon Yöntemleri Bir dönüşümün sabit noktasını veya noktalarını bulurken çeşitli iterasyon metotları kullanılır. Bunlardan bazıları Picard iterasyonu, Kirk iterasyonu, Krasnoselskij iterasyonu, Mann iterasyonu, Ishikawa iterasyonu, Noor iterasyonu, SP iterasyonu, Rhoades in n-adım iterasyonu, S iterasyonu ve Picard-Mann hybrid iterasyonudur. Picard İterasyonu: bir metrik uzay, kapalı bir alt küme ve bir dönüşüm olsun. olmak üzere Picard iterasyonu (3.1) şeklinde tanımlanır. Picard iterasyonu literatürde ardışık yaklaşıklar dizisi (sequence of successive approximations) olarak da bilinir (Picard 1890). Tam metrik uzayda tanımlı daraltan dönüşümlerin sabit noktalarına yaklaşmak için kullanılan iterasyonlardan biri de Picard iterasyonudur. Daraltan dönüşüm yerine farklı sınıftan bir dönüşüm alınırsa bu iterasyon, dönüşümün sabit noktasına yakınsamayabilir. Örnek 3.1.1: [ ] olmak üzere [ ] [ ], olsun. genişlemeyen bir dönüşüm ve { } dir. Herhangi bir noktası için (3.1) Picard iterasyonu

35 şeklinde olup dizisine karşılık gelir. Bu dizi için yakınsak olmadığından Picard iterasyonu dönüşümün sabit noktasına yakınsamaz. Dolayısıyla aranan sabit noktayı bulmak için diğer iterasyon metotlarını göz önüne almak gerekir. Krasnoselskij İterasyou: bir normlu uzay ve bir dönüşüm olsun. ve [ ] için Krasnoselskij iterasyonu (3.2) şeklinde tanımlanır. Bu iterasyon (Krasnoselskij 1955). için (3.1) Picard iterasyonuna indirgenir Kirk İterasyonu: bir normlu uzay ve bir dönüşüm olsun. Kirk iterasyonu, olmak üzere (3.3) şeklinde tanımlanır. Burada için ve olmak üzere dir. (3.3) eşitliği ile verilen Kirk iterasyonu için Krasnoselskij iterasyonuna indirgenir (Kirk 1971). Mann İterasyonu: Mann (1953) tarafından kurulmuş ve Banach daralma ilkesini sağlamayan dönüşümlerin sabit noktalarını elde etmek için kullanılmıştır. bir normlu uzay, boş olmayan konveks bir alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere Mann iterasyonu (3.4) şeklinde tanımlanır. Burada { }, aralığında

36 şartlarını sağlayan bir dizidir (Mann 1953). (3.4) eşitliği ile verilen Mann iterasyonunda (sabit) olarak alınırsa bu iterasyon Krasnoselskij iterasyonuna indirgenir (Berinde 2006). Mann ın sonuçları Franks and Marzec (1971) tarafından aynı şekilde Franks and Marzec in sonuçları da Rhoades (1974) tarafından genişletilmiştir. Yine Rhoades 1974 yılında yapmış olduğu çalışmasıyla herhangi bir kapalı ve sınırlı aralıktan yine bu aralığa tanımlı bir dönüşüm (self-map) için Mann iterasyonunun bu dönüşümün sabit noktasına yakınsadığını göstermiştir. Örnek 3.1.2: [ ] kümesi üzerinde, olarak tanımlanırsa Mann iterasyonu bu dönüşümün sabit noktası olan ye yakınsar. Ishikawa İterasyonu: S. Ishikawa (1974) tarafından kurulmuş, Lipschitzian ve pseudocontractive dönüşümler için Mann iterasyonunun yetersizliği durumunda yeni bir iterasyon metodu olarak oluşturulmuştur. Bu iterasyon ilk olarak bir Hilbert uzayının konveks ve kompakt alt kümesi üzerinde tanımlı Lipschitzian ve pseudocontractive bir dönüşümün sabit noktaya güçlü yakınsadığını göstermek amacıyla kullanılmıştır. bir normlu uzay, boş olmayan konveks alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere Ishikawa iterasyonu { (3.5) şeklinde tanımlanır. Burada { } ve { } aralığında

37 şartlarını sağlayan dizilerdir (Ishikawa 1974). (3.5) eşitliği ile verilen iterasyonda alınırsa bu iterasyon Mann iterasyonuna indirgenir. Buna rağmen Mann ve Ishikawa iterasyonları için yakınsama sonuçları arasında genel bir bağ yoktur (Berinde 2006). Rhoades and Şoltuz, 2003-2004 yıllarında dönüşümlerin çeşitli sınıfları için Ishikawa iterasyonunun yakınsaklığının Mann iterasyonunun yakınsaklığına denk olduğunu göstermişlerdir. Noor İterasyonu: Noor (2000) tarafından kurulmuştur. bir normlu uzay, boş olmayan konveks alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere Noor iterasyonu { şeklinde tanımlanır. Burada { }, { }, { } ve dur (Noor 2000). Xu ve Noor, Noor iterasyonunun düzgün konveks bir Banach uzayının kapalı, sınırlı ve konveks alt kümesinden kendi üzerine tanımlanmış asimptotik genişlemeyen bir dönüşümün sabit noktaya yakınsaklığını çalışmışlardır (Xu and Noor 2002).

38 SP İterasyonu: Phuengrattana and Suantai (2011) tarafından kurulmuştur. keyfi bir aralık, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere SP-iterasyon { şeklinde tanımlanır. Burada { }, { }, { } [ ] dir. Phuengrattana ve Suantai SP iterasyonunun keyfi bir aralıkta tanımlı sürekli fonksiyonunun sabit noktasına yakınsadığını göstermişlerdir (Phuengrattana and Suantai 2011). n-adım İterasyonu (Multistep Iteration): Rhoades and Şoltuz (2004) tarafından kurulmuştur. bir normlu uzay, boş olmayan konveks alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere -adım iterasyonu için { ( ) ( ) şeklinde tanımlanır. Burada { } ve { } [ dır (Rhoades and Şoltuz 2004). S İterasyonu: bir lineer uzay, boş olmayan konveks alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere S-iterasyonu

39 { şeklinde tanımlanır. Burada { } { } dir (Agarwal et al. 2007). S iterasyonu, Mann ve Ishikawa iterasyonundan bağımsızdır. Yani S iterasyonu ile Mann veya Ishikawa iterasyonu birbirinden elde edilemez. Agarwal, O Regan ve Sahu, daraltan dönüşümler için S iterasyonunun yakınsama hızının Picard iterasyonunun yakınsama hızına denk ve diğer sabit nokta iterasyonlarının yakınsama hızlarından daha iyi olduğunu göstermişlerdir (Agarwal et al. 2007). Agarwal et al. (2007), çeşitli dönüşümler için S iterasyonunun dönüşümün sabit noktasına güçlü ve zayıf yakınsamasını incelemişlerdir. Picard-Mann Hybrid İterasyonu: Khan ve Sahu tarafından ayrı ayrı tanımlanmış ve Khan tarafından Picard-Mann hybrid (PMH) iterasyonu olarak adlandırılmıştır. Bu iterasyon, bir normlu uzay, boş olmayan konveks alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere { (3.6) şeklinde tanımlanmıştır. Khan, Banach uzaylarda genişlemeyen bir dönüşümü için (3.6) iterasyonunun zayıf ve kuvvetli yakınsaklığını incelemiştir. Ayrıca bu iterasyonun daraltan dönüşümler için Picard, Mann ve Ishikawa iterasyonlarından daha hızlı yakınsadığını göstermiştir (Khan 2013). Şimdi yakınsama hızlarıyla ilgili tanımları verelim. Tanım 3.1.3: { } ve { } reel dizileri sırasıyla ve sayılarına yakınsak olsun. Eğer

40 ise { } dizisinin ya yakınsması, { } dizisinin ye yakınsamasından daha hızlıdır denir (Berinde 2004). Tanım 3.1.4: { } ve { } sıfıra yakınsak pozitif sayı dizileri olmak üzere noktasına yakınsayan { } ve { } iterasyon dizileri her için sabit eşitsizliklerini sağlasınlar. Eğer { } dizisi { } den daha hızlı yakınsak ise { } iterasyonu { } den daha hızlı yakınsar denir (Berinde 2004). 3.2. Bazı Önemli Tanım ve Lemmalar Bu kısımda çalışmamızda kullanacağımız bazı tanım ve lemmalar verilmiştir. Tanım 3.2.1:, bir bir dönüşüm olsun. Banach uzayının boş kümeden farklı bir alt kümesi ve a) deki { } dizisi a zayıf ve { } dizisi ye güçlü yakınsadığında oluyorsa dönüşümüne de demicloseddir denir. b) Her sınırlı { } dizisinin bir { } alt dizisi var ve { } dizisi nin görüntü kümesinde yakınsak ise 1990). dönüşümüne tamamen süreklidir denir (Goebel ve Kirk Bir dönüşüm sürekli ve kompakt ise tamamen süreklidir. Tanım 3.2.2 (Opial Şartı): Bir Banach uzayında zayıf yakınsaması her için

41 olmasını gerektiriyorsa, bu durumda uzayı Opial şartını sağlar denir (Opial 1967). Bu eşitsizlikteki ifadeleri ile yer değiştirirse, benzer bir şart elde edilir. Yine aynı eşitsizlikte yerine alınırsa zayıf Opial şartı olarak adlandırılan şart elde edilir. Örnek 3.2.3: Her Hilbert uzayı Opial şartını sağlar. Yani bir Hilbert uzayında { } dizisi noktasına zayıf yakınsak ise her ve için dir. Her zayıf yakınsak dizi sınırlı olduğundan ve sonludur. olduğundan elde edilir. Lemma 3.2.4: düzgün konveks Banach uzayı, de in boş kümeden farklı, kapalı ve konveks bir alt kümesi olsun. genişlemeyen bir dönüşüm ise sıfırda demiclosedtır (Goebel and Kirk 1990). Lemma 3.2.5:, Opial şartını sağlayan yansımalı bir Banach uzayının boş kümeden farklı konveks bir alt kümesi ve, sabit noktalar kümesi boş olmayan ve sıfırda demiclosed olacak şekilde bir dönüşüm olsun. { }, de ve her için limitinin varlığı şartlarını sağlayan bir dizi ise bu dizi nin bir sabit noktasına zayıf yakınsar (Agarwal et al. 2007).

42 Lemma 3.2.6:, bir Hilbert uzayının boş kümeden farklı, kapalı ve konveks bir alt kümesi ve { }, da bir dizi olsun. Her ve için eşitsizliği sağlansın. Bu durumda { }, bir noktasına kuvvetli yakınsar (Takahashi and Toyoda 2003). İspat: diyelim. olsun. Bu durumda (3.7) elde edilir. olduğundan limiti mevcuttur. (3.7) de için limit alınırsa { } nin bir Cauchy dizisi olduğu görülür. Böylece { } bir noktasına kuvvetli yakınsar. Lemma 3.2.7:, bir Hilbert uzayının boş kümeden farklı, kapalı ve konveks bir alt kümesi ve -ters kuvvetli monoton dönüşüm olsun. Bu durumda varyasyonel eşitsizlik probleminin en az bir çözümü vardır (Takahashi and Toyoda 2003). İspat: olmak üzere dönüşümünü şeklinde tanımlayalım. genişlemeyen olduğundan dönüşümü de genişlemeyendir. Buradan boş kümeden farklıdır. Her için

43 olduğundan nın en az bir çözümü vardır. Tanım 3.2.8:, Hilbert uzayının boş kümeden farklı, kapalı ve konveks bir alt kümesi, [ ] reel sayılar ve { } üzerinde tanımlı genişlemeyen dönüşümlerin sonsuz ailesi olmak üzere şeklinde tanımlı dönüşümüne ve tarafından oluşturulan -dönüşümü denir (Shimoji and Takahashi 2001). Lemma 3.2.9:, Hilbert uzayının boş kümeden farklı, kapalı ve konveks bir alt kümesi olsun. { } üzerinde olacak şekilde genişlemeyen dönüşümlerin bir dizisi ve [ ] olsun. Bu durumda her ve için limiti mevcuttur (Shimoji and Takahashi 2001). Yukarıdaki lemma kullanılarak her için şeklinde bir dönüşümü tanımlanabilir. Bu şekilde tanımlanan dönüşümüne 2001). ve tarafından oluşturulan -dönüşümü denir (Shimoji and Takahashi

44 Lemma 3.2.10:, Hilbert uzayının boş kümeden farklı, kapalı ve konveks bir alt kümesi olsun. { } üzerinde olacak şekilde genişlemeyen dönüşümlerin bir dizisi ve { }, olacak şekilde reel bir dizi olsun. Bu durumda dir (Shimoji and Takahashi 2001). Lemma 3.2.11: düzgün konveks bir reel Banach uzayı ve için olsun. { } ve { }, de iki dizi olmak üzere uygun bir için şartları sağlansın. Bu durumda dır (Schu 1991). İspat: için ispat açıktır. olsun. Kabul edelim ki { } dizisi sıfıra yakınsaktır. Bu durumda { } dizisinin olacak şekilde { } alt dizisi vardır. ve olduğundan olacak şekilde { } alt dizisi için olduğunu kabul edebiliriz. Her için ( ) olacak şekilde seçebiliriz. düzgün konveks olduğundan her,,, ve için [ { } ( )] (3.8) elde edilir. (3.8) den ( ) [ ( ) ( )] [ ( )] olur. Bu durum hipotezle çelişmektedir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

45 Lemma 3.2.12: { } ve { } dizileri a) { } [ ] ve veya denk olarak b) veya ) şartlarını sağlasın ve { } de her için (3.9) eşitsizliğini sağlayan negatif olmayan bir reel dizi olsun. Bu durumda dır (Xu and Kim 2003). İspat: Öncelikle (a) ve (b) şartlarının sağlandığını kabul edelim. Herhangi ve için olacak şekilde yeterince büyük bir tamsayısı vardır. (3.9) dan için ( ) elde edilir. Tümevarımla için ( ) [ ( )] dır. (a) şartını kullanarak son eşitsizlikte üst limit alınırsa bulunur. Şimdi ise (a) ve ( ) şartlarının sağlandığını kabul edelim. Yine (3.9) eşitsizliği göz önünde bulundurulursa her için ( )

46 elde edilir. Son eşitsizlikte önce sonra için limit alınırsa olur. 3.3. Varyasyonel Eşitsizlik ve Sabit Nokta Problemleriyle İlgili Yapılan Çalışmalar Varyasyonel eşitsizlik problemi ve sabit nokta probleminin ortak çözümlerini bulmak için birçok araştırmalar yapılmış ve bu çözümlere yakınsayan çeşitli iterasyon şemaları tanımlanmıştır. Şimdi bu çalışmalardan bazılarını verelim., Hilbert uzayının boş kümeden farklı, kapalı ve konveks bir alt kümesi, -ters kuvvetli monoton bir dönüşüm ve üzerinde olacak şekilde genişlemeyen bir dönüşüm olsun. ve için { } [ ] ve { } [ ] olmak üzere Takahashi and Toyoda (2006), { (3.10) iterasyonunu vermiş ve noktasına zayıf yakınsadığını göstermişlerdir. olmak üzere (3.10) ile üretilen { } dizisinin Nadezkhina and Takahashi (2006), (3.10) iterasyonunu genelleştirerek dönüşümü ile monoton ve -Lipschitzian dönüşümü için genişlemeyen { (3.11) iterasyonunu tanımlamış ve (3.11) ile üretilen { } dizisinin uygun şartlar altında zayıf yakınsadığını ispatlamışlardır.

47 Yukarıdaki iterasyonlardan farklı olarak Iiduka and Takahashi (2005), { (3.12) iterasyonu tanımlamışlardır. Burada, genişlemeyen ve, -ters kuvvetli monoton dönüşümler, { } ve { } bazı özel şartları sağlayan dizilerdir. Iiduka ve Takahashi, nin boş kümeden farklı olması durumunda (3.12) ile üretilen { } dizisinin bir noktasına kuvvetli yakınsadığını göstermişlerdir. Yao et al. (2007), genişlemeyen dönüşümü ve monoton -Lipschitzian sürekli dönüşümü için { (3.13) şeklindeki iki adım iterasyonu tanımlamışlardır. Burada sabit ve ise keyfi bir noktadır. Yazarlar, uygun şartlar altında (3.13) iterasyonu ile üretilen { } dizisinin kuvvetli yakınsaklığını çalışmıştır. Moudafi (2000), Hilbert uzaylarda genişlemeyen dönüşümler için viscosity yaklaşım metodunu aşağıdaki gibi tanımlamıştır., da daraltan bir dönüşüm, de bir dizi ve keyfi başlangıç noktası olmak üzere { } dizisi (3.14) şeklinde verilsin. Moudafi, uygun koşullar altında (3.14) ile üretilen { } dizisinin her için varyasyonel eşitsizliğinin tek çözümü olan ispatlamıştır. noktasına kuvvetli yakınsadığını

48 Marino and Xu (2006) ise Moudafi nin tanımlamış olduğu iterasyondan hareketle aynı koşullar altında (3.15) şeklindeki iterasyonu tanımlamış ve, kuvvetli pozitif sınırlı lineer dönüşüm olmak üzere (3.15) ile üretilen { } dizisinin her için varyasyonel eşitsizliğin tek çözümüne kuvvetli yakınsaklığını göstermiştir.

49 4. ARAŞTIRMA BULGULARI Bu bölümde çalışmalarımızda elde ettiğimiz teorem ve sonuçlara yer verilecektir. 4.1. Yeni 3-Adım İterasyon Şeması Bu bölümde iterasyonu olarak adlandırdığımız yeni bir üç adım iterasyonu teşkil edilmiş ve Banach uzaylarında daraltan dönüşümler için iterasyonunun iterasyonu ile hızları karşılaştırılarak iterasyonunun daha hızlı yakınsadığı gösterilmiştir. Son olarak daraltan ve genişlemeyen dönüşümler için iterasyonu ile ilgili bazı kuvvetli ve zayıf yakınsama teoremleri verilmiştir., bir normlu uzayının boş kümeden farklı, kapalı ve konveks bir alt kümesi ve bir dönüşüm olsun. Ayrıca { }, { } ve { }, [ ] aralığında uygun sayıları için eşitsizliklerini sağlayan diziler olsun. herhangi bir nokta olmak üzere için { } dizisini { (4.1) şeklinde teşkil edelim. (4.1) iterasyonunu iterasyonu olarak adlandıracağız. Dikkat edilirse (4.1) ile tanımlı iterasyonu, diğer tüm iterasyonlardan bağımsızdır. Yani kontrol dizileri veya dönüşümlerin özel seçimleri ile iterasyonu diğer iterasyonlardan elde edilemez. iterasyonu ile ilgili sonuçları vermeden önce bu sonuçları ispatlamak için gerekli olan bazı tanım ve lemmaları verelim.